Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS70\MTS70_t8z1_4_PDF\mts70_t8z1.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

1,8(1970)

U O G Ó LN I O N E  WARU N KI  STATEC Z N OŚ CI  W  P R ÓBI E  ROZCIĄ G AN IA

JAN USZ  K L E P A C Z K O  (WARSZAWA)

1. Wstę p

Z agadnienie  sform uł owania  warun ku  utraty  statecznoś ci  w próbie  rozcią gania,  uwzglę d-
niają cego  wpł yw  prę dkoś ci  odkształ cenia  i  tem peratury  n a  wł asnoś ci  plastyczne  badanej
próbki, jest  coraz  czę ś ciej  przedm iotem  zainteresowania.  M oż na tu  wymienić  n a  przykł ad
prace  [1, 2,  3, 5],

N ależy  podkreś lić,  że  przyję te  w  dan ym  przypadku  kryterium  utraty  statecznoś ci
okreś la  otrzym any  warun ek  statecznoś ci.  D latego  też  wyprowadzone  warunki  statecznoś ci
mogą   róż n ić  się   w  zależ noś ci  od  przyjmowanych  kryteriów  utraty  statecznoś ci.

N a  przykł ad,  w  pracy  [3]  przyję to  klasyczne  kryterium  utraty  statecznoś ci

(1.1)  f-   =  0,  „- inf.
t o  jest  przyję to  za  p u n kt  utraty  statecznoś ci  m om en t,  gdy  sił a  n a  wykresie  P  =   P(cp)
osią ga  maksymalną   wartoś ć;  przez  <p  oznaczono  odkształ cenie  n aturaln e, F

Q
  oraz  F  ozna-

czają   odpowiednio  pole  począ tkowego  przekroju  próbki  i  pole  aktualne.  Równoczesne
zał oż enie  równ an ia  kon stytutywn ego  z  pominię ciem  efektów  historii  prę dkoś ci  odkształ -
cenia  i  tem peratury,  w  formie

(1.2)  tr  =   or  foy.T).  <p =   - ^

prowadzi  do  wartoś ci  sił y  w  dan ym  momencie procesu  rozcią gania  próbki

(1.3)  P  =  Fa(ę ,<p,T ),

gdzie  przez  a  ozn aczon o  rzeczywiste  naprę ż enie,  n atom iast  przez  cp oznaczono  prę dkość
odkształ cenia  w  mierze  logarytmicznej,  T   oznacza  tem peraturę   w  skali  absolutnej.  Po
zróż niczkowaniu  (1.3)  wzglę dem  <p  otrzymuje  się

(1.4)  % 4 ' %
p o  d a l s z y m  z r ó ż n i c z k o w a n iu  •   . • • ' • - . ..

n  i v ' . .  -  •   •   d  •   .  _  3d-   Ba  &cp'  Ba dT
( L 5 )  [ ^ r ) ]  =   +   +



76  J.  KLEPACZKO

Ponieważ

(1.6)  F^ Foe- *,

to

< • • ')  •  ! — - •   £ - - '•   •

Biorąc pod uwagę kryterium  (1.1) oraz  (1.4), (1.5) i (1.7) otrzymuje  się uogólniony  warunek
statecznoś ci  (1.8) zamieszczony  pierwotnie  w pracy  [3]

„   „   do  da  dq>  da  dT   ,  .  __

( L 8 )  +   +   =   a ^ ^
M oż na  tu wyróż nić  dwa  przypadki  szczególne,  mianowicie:

izoter

stąd

f

a) izotermiczny proces  deformacji  próbki; wówczas  - j~  =  0,

Warunek  statecznoś ci  w  postaci  (1.9)  został   ostatnio  przedyskutowany  w  pracy  [2].  Z a
procesy  izotermiczne  moż na  uznać  w  zasadzie  wszystkie  procesy  odkształ cania  próbek
przy  mał ej  prę dkoś ci  deformacji,  rzę du  <f>  =  10~3  sek"1  lub  mniejszych.  Przy  wię kszych
prę dkoś ciach  deformacji  proces  nie  jest  ś ciś le  izotermiczny  i  stopniowo  zmienia  się  n a
adiabatyczny,  zależ nie  od  intensywnoś ci  wymiany  ciepł a  z  otoczeniem  próbki.  M oż na
uznać, że  przy  prę dkoś ci  deformacji  rzę du <p  —  102  sek"1,  czasy  deformacji  są  tak  krótkie,
zwykle  kilka  milisekund,  że  proces  deformacji  jest  wył ą cznie  procesem  adiabatycznym.

W  przypadku  procesu  ś ciś le  izotermicznego  zwię kszenie  prę dkoś ci  deformacji  może
powodować  zwię kszenie  lub zmniejszenie  wydł uż eń równomiernych zależ nie  od  wybranego
metalu.  Z  reguł y  dla  polikrystalicznych  metali  o  sieci  regularnej  pł askocentrowanej  za-
chodzi  zwię kszenie  wydł uż eń  równomiernych  wraz  ze  wzrostem  prę dkoś ci  odkształ cenia;

b) proces  przy  stał ej prę dkoś ci  odkształ cenia,  - =*- = 0,
dtp  -

stąd  warunek  (1.8) przyjmuje  postać

(1.10)  ' ^  +   ^ ^ ^ M ,  *  =   con st.

Klasycznym  przykł adem  procesu  deformacji  o  zmieniają cej  się  temperaturze  jest
wspomniany  uprzednio  proces  adiabatyczny.  D okł adną  analizę  procesu  adiabatycznego
przeprowadzono  w  pracy  [3]. Jak  wynika  z  analizy  przeprowadzonej  w  tej  pracy,  teore-
tyczne  wydł uż enia  równomierne  próbek  są  zawsze  mniejsze  dla  procesu  adiabatycznego
w  porównaniu  z  izotermicznym.  Efekt  ten  nie jest  procentowo  duż y,  rzę du  kilku  procent
w  zakresie  temperatur ś rednich  i  podwyż szonych,  0,2  <  T / T

m
  <  0,5,  (T

m
  oznacza  tempe-

raturę  topnienia). N atomiast w zakresie  temperatur niskich  i  skrajnie  niskich, T / T
m
  <  0,2,

róż nice  w  teoretycznym  wydł uż eniu  równomiernym  dla-  tych  dwóch  procesów  mogą  do-
chodzić do kilkuset  procent i  wię cej.



U OG ÓLN I ON E  WARU N KI  STATECZN OŚ CI  W  PRÓBIE  ROZCIĄ G AN IA  77

O  ile  proces  deformacji  próbki  zachodzi  zarówno  przy  stał ej  prę dkoś ci  odkształ cenia,
ja k  i  w  stał ej  tem peraturze, to  uogólniony  warunek  (1.9)  redukuje  się   do  postaci  analo-
gicznej  do dotychczas  powszechnie  uż ywanej  w literaturze, mianowicie

Ba  T  =   const

< U 1 >  •
  T

r
a M > T h

  9-   const.

2.  P róbka  niejednorodna

Warun ek  (1.8)  odnosi  się   wył ą cznie  do  idealnej  próbki, t o jest  próbki  o idealnie jedno-
rodn ym  materiale  i  o  idealnie jednakowej  powierzchni  pola  począ tkowego  przekroju  po-
przecznego  F

o
.  P rzypadek  próbki  idealnej  został   szeroko  przedyskutowany  w  pracy  [3].

Oczywiś cie  próbka  taka jest  ze  wzglę dów  technicznych niewykonalna.  Zwykle  F
D
 zmienia

się   nieco wzdł uż dł ugoś ci próbki  liczonej  jako  x  od jednego  z jej  koń ców.  Tak  wię c  ——
CIX

m a  zwykle  pewną   skoń czoną   wartoś ć,  stą d  równanie  (1.7)  przedstawi  się   w  nieco  innej
formie

Wartość  —~  może  być  przyję ta  zarówno  jako  dodatn ia lub  ujemna,  gdyż  fakt  ten nie

wpł ywa  n a  m om ent  utraty  statecznoś ci.  Z  fizykalnego  pun ktu  widzenia  należy  przyją ć

dF
0wię c  wartość  bezwzglę dną

„  dq>  .
.  Przez - j-  =   X  oznaczono  pewien  parametr  nazwany

dx
gradientem  odkształ cenia.  U wzglę dniając  jak  poprzednio  równania  (1.1),  (1.4),  (1.5)
i  (2,1)  otrzymuje  się   warunek  statecznoś ci  (2.2) z  uwzglę dnieniem  zmian przekroju  począ t-
kowego  po  dł ugoś ci próbki  i  gradientem X jako  param etrem

da  dm  .  da  dT   ,  . „ , / , .  1
dx

W  obecnym  przypadku  gradient  odkształ cenia  X  odgrywa  rolę   parametru.  Przyję ta
wartość  X  determinuje  wartość  tak  zwanego  wydł uż enia  równomiernego,  przy  czym  X
może  zawierać  się   w  bardzo  szerokich  granicach,  0  <; X <  oo. D la  X =  0 wartość  wydł u-
ż enia  równomiernego  wynosi  <p

r
  =   0,  gdyż  nie  jest  moż liwe  uzyskanie  takiego  procesu

deformacji  z równoczesnym zał oż eniem zmian począ tkowego  przekroju  próbki po dł ugoś ci.
W  takim przypadku  u t rat a statecznoś ci nastę puje  natychmiast. W  przypadku  dopuszczenia
X =   oo, tj.  do  absolutnej  utraty  statecznoś ci,  wydł uż enie  równomierne  osią ga  najwię kszą
moż liwą   wartość  teoretyczną .  Ponieważ  w  rzeczywistoś ci  nawet  w  obszarze  powstał ego
n a  próbce przewę ż enia  wartoś ci  X n ie  osią gają   wartoś ci  nieskoń czenie wielkich,  to w  kon-
kretnych przypadkach wartoś ci  wydł uż eń równomiernych bę dą  zawsze zależ ne, od aktualnie
dopuszczalnej  wartoś ci  gradien tu X.



78  J.  K L E P AC Z K O

Celem  ilustracji  problem u  zakł ada  się   proces  izotermiczny  zachodzą cy  przy  stał ej

prę dkoś ci  odkształ cenia; wówczas  ~~  =   0;  - r— —  0.  Stą d
.  d<p  d<p

Równocześ nie  przyjmuje  się   równanie  konstytutywne,  które  został o pierwotnie  wykorzy-

stane  do  podobnej  analizy  w  pracy  [3]

(2.4)  a =  Bfip™,

gdzie 77(99) =   n
o
- Ą - a.q>,  B,  m  oraz n(cp)  oznaczają   odpowiednio  m oduł   plastycznoś ci,  wykł ad-

nik umocnienia oraz czuł ość na prę dkość  odkształ cenia jako  rosną cą   funkcję   odkształ cenia.
Zwykle czuł ość na prę dkość n przyjmuje  się  jako  stał ą   [3], jedn ak jak  wykazano  w pracach
[4]  i  [6],  czuł ość n a  prę dkość  odkształ cenia  n  nieco  wzrasta  ze.wzrostem  odkształ cen ia.
U wzglę dniając  ten  fakt  moż na  bardziej  dokł adn ie  opisać  wartoś ci  m oduł u  stycznego
krzywej  umocnienia w  obszarze  odkształ ceń, gdzie  tworzy  się   szyjka.  N a przykł ad, wedł ug
danych  z  pracy  [4]

dla  aluminium  n(q>)  =   0,014+ 0,0503?),
dla  miedzi  n(<p)  =   0, 0034+ 0, 0060^.

Z miany począ tkowego  pola przekroju  poprzecznego przyję to  w  liniowej  postaci

(2.5)  F
0
 =  Ft+ax,

to jest  w  formie  stoż ka  o zmieniają cej  się   ś rednicy  wedł ug  (2.6)

(2.6)

gdzie  a  oznacza  stał ą ,  natomiast  d$  stanowi  najmniejszą   ś rednicę   próbki.
M oduł   styczny  m oż na wyznaczyć  z  równ an ia  (2.4)

(2. 7)

(2.8)

R ó w n o c z e ś n ie  .  • • ',  ,  -   •

'  dF
0

dx —  a.

Podstawiają c  zależ noś ci  (2.4), (2.5)  i  (2.8)  do  warun ku  statecznoś ci  (2.3)  otrzymuje  się
wartość  odkształ cenia w momencie utraty  statecznoś ci

(2.9)  ••   <p
r
  =  ™  .

Otrzymany  rezultat  wskazuje  n a  stabilizują cy  wpł yw  prę dkoś ci  odkształ cenia n a  przebieg
procesu  rozcią gania  z jednej  strony  oraz  n a  zmniejszanie  się   wydł uż eń  rp

r
 w  zakresie  od*

kształ ceń  statecznych  przy  powię kszaniu  wartoś ci  a,  to jest  nierównom iernoś ci  począ tko-
wego  przekroju,  z  drugiej.  P roblem  ten  został   przedyskutowany  w  nieco  in n y  sposób,



U O G Ó L N I O N E  WAR U N K I  STATECZ N OŚ CI  W  P R ÓBI E  ROZ C IĄ G AN IA  79

jedn ak  z  podobn ym  wynikiem  w  pracy  [5]. Z  równ an ia  (2.9)  wynika,  że  dla  pewnej  war-
toś ci  prę dkoś ci  odkształ cenia q>

r
  oraz  zał oż onym  1 m oż na  osią gnąć  «teoretyczną »  wartość

wydł uż enia cp
r
 =   m;  wówczas  m usi  być  speł niona zależ ność

y - —a l n c >r  =   0,,

lub  inaczej

a
cp

r
  =  exp

N a  przykł ad, zakł adają c  dopuszczalny  gradient  w  postaci  zmiany  odkształ cenia n a  1 rmn
dł ugoś ci  próbki  jako  Acp =   1  •  10~ 4;  1 = 1 - 1 0 ~4  [l/ mm],  zakł adają c  dalej  wartość  a  jako
powstał ą   z  n iedokł adn oś ci wykon an ia  próbki  w  postaci  wzglę dnej  zmiany  pola  przekroju

a  _  1  F- F
a

,F
Q
  x  F

o
  .  .

i  przyjmują c  wzglę dną   zm ian ę   pola  przekroju  —= —-   =   1 •   10~4 n a  dł ugoś ci  10 m m  mamy
i

1
 o

a/ F
0
  =   1  •  1CT3.  Otrzym an e  wartoś ci  cp

r
  odpowiednio  dla  aluminium  i  miedzi  wynoszą

alum in ium  cp
r
 =  e ljS ) ,  '• • • ••   rp

t
  —  6,68  sek"1,

miedźj  cp
r
 =   e16- 6,  cp

r
 =   l, 6- 107  sek"1.  -   • •

M oż na  wię c  stwierdzić  znaczny  wpł yw  czuł oś ci n a prę dkość odkształ cenia n a  osią gnię cia
teoretycznego  wydł uż enia  <p

r
  =   m.  W  przypadku  niskiej  czuł oś ci  n a  prę dkość  odkształ -

cenia,  co jest  sł uszne w  przypadku  miedzi, wartość  <p
r
 jest  zbyt  duż a,  aby  mogł a  być  zre-

alizowana  w  próbach rozcią gania.  •   .  .„
N ależy  podkreś lić,  że  jeż eli  przeprowadzić  analizę   próbki  nieidealnej,  to  wydł uż enia

równ om iern e  <p
r
  mogą   być,  zależ nie  od  prę dkoś ci  odkształ cenia,  zarówno  mniejsze,  jak

również  wię ksze  od  wartoś ci  teoretycznej  ę
t
  =   m.  P rzy  czym  dla  takich  metali jak  alumi-

n ium  i miedź wzrost  prę dkoś ci  odkształ cenia pocią ga  za  sobą   zwię kszenie  się  (p
r
.  Powyż szy

wniosek jest  zgodny  z  uzyskanym i  wynikami  w  pracach  [3] oraz [5].

3.  Próbka idealna,  przykł ady

Poniż szy  fragment  pracy  może  stanowić  ilustrację   problem u  i  pewne  uzupeł nienie wy-

n ików  uzyskanych  w  pracy  [3].  R ozważ an ia  dotyczyć  bę dą   próbki  idealnej,  a  wię c  przy-

pad ku  szczególnego  dla  —^ -  — 0.  Z akł ada  się   dwa  rodzaje  równ an ia  konstytutywnego,

mianowicie

(3.1)  typ  A  o  <±f(<p)+y>dp).,   .;'  . .

przy  czym/ (q9) oznacza statyczną  krzywą   umocnienia, a ip(ć p) jest rosną cą   funkcją   prę dkoś ci
odkształ cenia  równą   zeru  dla  ć p  —  0.  R ówn an ie  konstytutywne  typu  A  może  być  w  szcze-
gólnoś ci  uż yte  do  opisu  dynam icznych  krzywych  um ocnienia ż elaza  i  mię kkich  stali  z po-
minię ciem  przystan ku  plastyczn oś ci;

(3.2)  typ  B  fr



80  .  •   J .  K L E P AC Z K O

Równanie  typu  B —  (3.2)  jest  zwykle  uż ywane  do  opisu  krzywych  umocnienia  z  grupy
metali  o  sieci  regularnej  plaskocentrowanej;  do  tego  typu  należy  także  równanie  (2.4).

M oduł y  styczne  krzywych  umocnienia moż na przedstawić  w  formie

da

(3.4)  £

Warunki  statecznoś ci  (1.9) przyjmą  formę

(3- 5)  '  ^ - ^  =  f

Struktura  otrzymanych  równań  wskazuje,  że  w  przypadku  stał ej  prę dkoś ci  odkształ cenia

warunek  statecznoś ci  (3.6)  otrzymany  na  podstawie  równania  konstytutyw-(- ^ - = 0 ),dę  J
nego  typii  B  nie  zależy  od  prę dkoś ci  odkształ cenia  jako  param etru,  co  udowodn ion o
uprzednio  w  pracy  [3].  N atom iast  dla  przypadku  równania  typu  A  otrzymany  warunek
statecznoś ci  (3.5)  wskazuje  na  przesuwanie  się  m om entu utraty  statecznoś ci  do  obszaru
odkształ ceń  mniejszych  przy  zwię kszaniu  prę dkoś ci  odkształ cenia.  Wynika  t o  ze  znaku
minus przed funkcją  f(cp) w  równaniu (3.5).

P o  przyję ciu  w  obydwu  przypadkach  statycznej  krzywej  umocnienia f(y)  w  postaci

otrzymuje  się  odpowiednio  warunki  statecznoś ci

(3.7)  A  •  — =   1 +   - ?TT  V (?>)• — - £?

Vr  f(< P)  L  ty
/ 3 8 N   B  = 1

1  8
Vi

  d
9

N a  podstawie  (3.7)  i  (3.8)  moż na  wyznaczyć  wartoś ci  wydł uż enia  równom iernego  w  mo-
mencie utraty  statecznoś ci

(3.9)  A  <p
r
.

1+

(3.10)  B  ?r=—  ~



U O G Ó L N I O N E  WAR U N K I STATECZN OŚ CI  W  P R ÓBI E  ROZ CIĄ G AN IA  81

Z  równ an ia  (3.9) wynika,  że  dla  pewnej  okreś lonej  postaci  historii  prę dkoś ci odkształ cenia
m oż na  osią gnąć  wartość  wydł uż enia  równom iernego  równą   wykł adnikowi  umocnienia,
ę

r
  =   m.  Z achodzi to  dla  przypadku,  gdy

W przypadku  stał ej prę dkoś ci  odkształ cenia ę ,  jest zawsze mniejsze  od wartoś ci  wykł adnika

•   •   dw

um ocnienia  m, tj.  cp  =   const,  —— =   0, cp
r
 <  m.

N atom iast  postać  równ an ia  (3.10)  prowadzi  do  wniosku,  że  dla  rosną cych  prę dkoś ci
odkształ cenia  cp,.  jest  zawsze  wię ksze  od  wartoś ci  wykł adnika  umocnienia  m,  o  ile ip^ tp)
jest  rosną cą   funkcją   cp. G dy  prę dkość  odkształ cenia  maleje  podczas  procesu  deformacji
próbki, to cp

r
  bę dzie  mniejsze  od  m.  Ogólnie  m oż na wyróż nić  trzy  przypadki:

dcp  _
dla  - j- -  >  0,  cp,. >  m,

dq>

i  dcp

dla  - r-  — 0,  cp  =   con st,  ę
r
=m

s

dcp
dla  ~- <0,  cp

r
<m.

dcp
Biorą c  pod  uwagę   równ an ie  kon stytutywn e  (2.4)  otrzymuje  się

stą d

(3.12)  c
Pr
  -   — ^

Takie  zachowanie  się   oraz  równ an ie  (3.12)  przedyskutowano  bardziej  szczegół owo  w  pra-

cy [ 3] .

4.  G rad ien t  odkształ cen ia jako  zm ien n a niezależ na

Jeż eli  bardziej  dokł adn ie prześ ledzić  proces  deformacji  próbki  w postaci  dł ugiego prę ta,
to  okazuje  się ,  że  proces  deformacji  przebiega  niezupeł nie jedn orodn ie. W  danym momen-
cie  miejsca  sł absze  wzdł uż  dł ugoś ci  próbki  odkształ cają   się   bardziej  intensywnie,  zachodzi
w  nich  szybsze  um ocnienie  m ateriał u, w  nastę pnym  momencie  bardziej  intensywnie  od-
kształ cają   się   miejsca  są siednie  itd.  Przy  podejś ciu  tego  rodzaju  akceptuje  się   pewną   nie-
jedn orodn ość  deformacji  wzdł uż  dł ugoś ci,  która  wynika  z  istoty  opisanego  mechanizmu
odkształ cania  się   próbki.  N iewą tpliwie  najbardziej  odpowiednią   miarą   stan u  zaawanso-
wania  rozum ian ego  w  ten  sposób  procesu  deformacji  próbki  jest  gradient  odkształ cenia

6  M echan ika  teoretyczn a



82  J . K.LEPACZKO

po  dł ugoś ci. Pierwotnie  gradient jako  miarę  zdefiniowaną  przy  uż yciu  odkształ cenia inż y-
nierskiego

+  e dx'  £~  l
0

wprowadzono  w pracy [1].
Okazuje  się jedn ak,  że gradient  X lepiej  przedstawić  uż ywając  miary  odkształ cenia  n a-

turalnego ę ,  gdzie q>  =  ln ( l  + e ) ,  stąd

*_dy_.  d<p  _  dip  de  1  de
dx'  dx  de  dx  1 +  e dx  '

Wprowadzenie  gradientu  zdefiniowanego  w  n aturaln ej  mierze  odkształ cenia, jak  t o  uczy-
nion o  w  niniejszej  pracy,  znacznie  upraszcza  dalsze  rozważ an ia  i  odpowiednio  skraca
zapisy  warunków  statecznoś ci.

P o  zróż niczkowaniu  równania  (1.3)  wzglę dem  x  otrzymuje  się

Ś t  I  i l ^ \   FJ  „Ś Ł
T  ] ~r

dx  \ 8<p  dx^   dip dx
  T a r  dx]  ~r  dx'

N a  podstawie  równ an ia (1.6)

Ponieważ  musi  być speł niony warunek  równowagi  - j-  =   0,  równ an ie  (4.2) po  uprzed-

. , . ' . „
  f

.,.  ,  .  .  dT   dT   d<p  dT   dT   .  .
n im  u wzglę d n ien iu  (4.3)  o r a z  (4.1), a  t a kże  —7— =   - =   ~;  —=—  — A—r- ,  p rzyjm u je  n a -ax  d(p  ax  ax  clę
stepują cą  postać

J  \   a  dFo  o
dip dx

  +
\ 8<p

i:
dT

T . r  ,  •   dw  dX

Równocześ nie  - — =  — ,  stąd  ostatecznie  otrzymuje  się

(45)
1  } dt

  h
  da\ 8<p

  +
  8

V
~Ę ~

a
)

A+
  "F^ te  dx  ~

  U-

Jest  to  więc  równanie  róż niczkowe  wzglę dem  X,  którego  rozwią zanie  ogólne  stanowi
nastę pują ca  zależ ność

(4.6)
j  aa  \  ocp  01  acp  /

i  r  n  2ń  rW   r  r  z™  i  z*  a*  AT  \

\ dt+C\ ,F
o
  8a  dx L 6 XP ~ J  W W   + W   dcp



U O G Ó L N I O N E  WAR U N K I  STATECZN OŚ CI W  P R ÓBI E  ROZ CIĄ G AN IA  83

R ówn an ie  (4.6)  okreś la  zmiany  gradien tu  X{l)  podczas  procesu  deformacji  nieidealnej
próbki  dla  dowolnego  procesu  o zmiennej  prę dkoś ci  odkształ cenia i zmiennej temperaturze.

O  ile  zał oż yć  próbkę   idealną ,  - y—  =   0,  to  rozwią zanie  (4.6)  redukuje  się   do  postaci

(4.7)  - 5-  =   exp  - -̂   - =— +  - r=  a\ dt,
v  J

  X
o
  J  da  \ ć cp  3T   dcp  j

wyznaczają cej  bież ą cą   wartość  gradien tu  z  dokł adnoś cią   do  stał ej.  W  przypadku  stał ej

prę dkoś ci  odkształ cenia, <b  odgrywa  rolę   param etru  i  wówczas  w =   wt;  t  — - - ;  dt  =   ——.
cp  ę

Jako  definicję   utraty  statecznoś ci  przyjmuje  się  w tym przypadku  obszar  na pł aszczyź nie

(X, cp)  lub  (er, 99),  w  którym  gradien t  dą ży  do  nieskoń czonoś ci,  tj.  - = —> co.  Odpowied-

n ikiem  nieskoń czonego  wzrostu  gradien tu  X  jest  utworzenie  się   zlokalizowanej  szyjki.

N ależy  również  pam ię tać,  że  dopuszcza  się   zarówn o  wartoś ci  - \ - X jak  i  —X,  stą d  rozwią -

zan ie  równania  (4.5)  m oże  mieć  kilka  gał ę zi.  Zwię kszenie  się   gradientu  X  w  pewnym

obszarze  nie  stanowi  jeszcze  o  utracie  statecznoś ci.  T ak  wię c  istnieją   zawsze  dwa  obszary,

w  pierwszym  gradient  X roś n ie,  lecz  nie  dą ży  do  nieskoń czonoś ci, jest  to  obszar  deformacji

statecznej.  W  drugim  n atom iast  X  dą ży  do  nieskoń czonoś ci, jest  to  obszar  utraty  statecz-

noś ci.

5.  P r zykł a d y  w  przypadku  gradien tu  A jako  zmiennej  niezależ nej

Z akł ada  się  równ an ie kon stytutywn e  w postaci  analogicznej  do  (2.4), jedn ak  dla  uprosz-
czenia  ze  stał ą   czuł oś cią   n a  prę dkość  odkształ cenia  n  i  z  odkształ ceniem  wstę pnym  cp

a

jako  param etrem

(5.1)  a

Z akł adają c  proces  izotermiczny  otrzymuje  się

m  8a  -   n
a

•   —  .   O,c<p  q>o +  q>  Ć cp  (p

P o  podstawieniu  (5.2)  do  (4.7)  i  zał oż eniu  stał ej  prę dkoś ci  odkształ cenia, <p  =  cpt mamy

(5.3)  —  =   exp  P -   ~r-   —\ \ dt\ ,
h  \ . n  - > \ <Pa +   <pt  I  J

a  po  scał kowaniu  otrzymuje  się   szukan e  rozwią zanie  dla  obszaru  rosną cego X

(5- 4)  *  fa+ Ł
  r

*
t
  cp«p

r

M   \   9   I  •



84  J.  KLEP AC Z KO

lub

(5.5)  log i  =  — im log B i 2 .  -   <pM  I,  M  =  log e.

Otrzymane  rozwią zanie  (5.5)  dla  próbki  aluminiowej  i  dla  (p
Q
  =   0  przy  kilku  wartoś ciach

prę dkoś ci  odkształ cenia oraz  przy  kilku  wartoś ciach  czuł oś ci na  prę dkość  odkształ cenia n
przedstawiono  n a  rys.  1.  N a  rysunku  widać  stabilizują cy  wpł yw  wzrostu  prę dkoś ci  od-
kształ cenia  oraz  udowodnioną   uprzedn io  dla  tego  równ an ia  konstytutywnego  niewraż li-

wość  punktu  utraty  statecznoś ci,  tj.  pun ktu,  gdzie  —— =   0,  n a  prę dkość  odkształ cenia.
acp

Rozgraniczają cy  obszary  statecznoś ci  i  niestatecznoś ci  p u n kt , gdzie  - j-  =  0,  przypada

zawsze  dla  rozważ anego  równania  konstytutywnego,  przy  zał oż eniu q>
a
  =  0,  dla  wartoś ci

odkształ cenia <p
f
  =   m.

W  celu  dyskusji  wpł ywu  poszczególnych  czynników,  takich jak  ć p,  cp
a
,  m,  n  n a  wartoś ci

gradientu  X należy  obliczyć  nastę pują ce  róż niczki

dk__
1  }

  dy  ~

(5 7)  8X
  =

m
8<P  n

Z arówno przedstawione wykresy n a rys.  1, jak  również równ an ia od  (5.6) do  (5.9) wskazują ,
że  zwię kszenie  prę dkoś ci  odkształ cenia  oraz  wzrost  czuł oś ci  n a  prę dkość  odkształ cenia
wpł ywają   ustateczniają co  n a  proces  deformacji  próbki,  tj.  nastę puje  zmniejszenie  gradien-
tów.  N atom iast  zwię kszenie  odkształ cenia  wstę pnego  (p

0
  oraz  wykł adnika  um ocn ien ia

m  prowadzi  do  wzrostu  gradientu  X. P odobn e wnioski  otrzym an o  także  w  pracy  [5].
Przypadkiem  szczególnym  równania  konstytutywnego  (5.1)  jest  zwią zek,  gdy  nie  za-

chodzi  umocnienie, tj.  dla  m  — 0

(5.10)  cr.- = <709>".

Równanie  (5.10)  może  stanowić  w  pewnych  przypadkach  dobry  opis  zjawiska  superpla-
stycznoś ci  metali, wówczas  czuł ość n a  prę dkość  odkształ cenia  może  osią gać  stosun kowo
duże  wartoś ci,  w  przybliż eniu  n  =  0,1. D la n —  1 otrzymuje  się   równanie  dla  cieczy  N ew-
ton a.  D la  przypadku  równania  (5.10)  rozwią zanie  (5.4)  upraszcza  się   do  postaci  (5.11)
po  przyję ciu  odpowiedniej  gał ę zi  rozwią zania

(5.11)  - 5-  =   e xp —,  95, =   0,  9 > > 9 v



log

200

150

100

50

­50

-100

/

r

ijlsixiO^sek'1 n = 0,005

ij) = 1x10 sel< n=0,0125

ifsiO^sek'1 n= 0,0125

_yi=1x10"*sek"' n = 0j05

i f ^ s e k " 1 n= 0,0125
_ _

tj) = 102s*k"' n=0,0125

.  "  •

m =0,300

r4 •

•

0,10 0,20 0,30 f

Rys.l

[85]



86 J.  KLEPACZKO

Otrzymany  wynik  przedstawiono  na  rys.  2  dla  róż nych  wartoś ci  czuł oś ci  n a  prę dkość  n.
W  obecnym przypadku  obszar,  w którym  A zwię ksza się  nie zmierzają c  do nieskoń czonoś ci,
redukuje  się   do  zera  i  utrata statecznoś ci  nastę puje  natychm iast, a  wię c dla  cał ego  obszaru
zachodzi  k(<p)  - +  co.  Jednak  obserwuje  się   wydatne  zmniejszenie  gradientów  odkształ -
cenia  dla  materiał ów typu  cieczy  o  bardzo  duż ej  lepkoś ci,  co  zachodzi  dla  metali  super-
plastycznych.

Rys.  2

Jako  drugi  przykł ad  zał oż ono  równanie  konstytutywne  o  strukturze  równ an ia  (3.1)
w postaci

(5.12) a  — lu b  <j>  =  C[a- B<p
m
f.

Równanie  (5.12)  nadaje  się   do  opisu  krzywych  um ocnienia ż elaza  i  mię kkich  stali  z pomi-
nię ciem przystanku  plastycznego  [1]. N a podstawie  (5.12).

(5.13)

(5,14)

8<p  (p

VP



Rys.  3

[87]



J.  KLEPACZKO

P o  podstawieniu  zwią zków  (5.13) i  (5.14)  do  równ an ia  (4.7)  otrzymuje się

(5.15)  - T -=  exp|ró(—I  (  \ ~Bę m—Bę m—\ ~\   \ dt\ ,
M)  I  \  f  I  J  L  9>  \  ^  /   .J  J

a  po  scał kowaniu  dla  przypadku  stał ej  prę dkoś ci  odkształ cenia, (p =   ft,

0,3

0,1

7

10°

R ys.  4

10  J [ se k'

Wartoś ci  wydł uż enia  równom iernego  cp
r
 m oż na  wyznaczyć  z  warun ku

(5.17)

0,  stą d

G dzie wartość  odkształ cenia cp
r
(<p)  należy  in terpretować jako  wartość  rozdzielają cą   obszary

statecznoś ci  i  niestatecznoś ci,  dla q> >  (p
r!
  A(c?) - ^  oo.  R ówn an ia  (5.16)  i  (5.17)  został y

przeanalizowane  numerycznie  dla  przypadku  mię kkiej  stali,  p  — 5;  m =   0,223;  C =
0,1956- 10"4  sek"1; B =   61,3  kG / m m 2.  Wartoś ci  stał ych/ >,  m,  C, B  przyję to  za pracą  [1].
Wyniki  obliczeń  dla czterech wartoś ci  prę dkoś ci  odkształ cenia  <pi =   1CT4 sek"1;  <p

2
  —  10~2

sek^1;  <j>3  —  10°  sek"1;  cp
A
 =   102  sek"1  przedstawion o  n a  rys.  3 i 4. W obecnie  rozważ an ym



U OG ÓLN I ON E  WARU N KI  STATECZN OŚ CI, W  PRÓBIE  ROZCIĄ G AN IA  89

przypadku  widać  również  stabilizują cy  wpł yw  wzrostu  prę dkoś ci  odkształ cenia,  jedn ak
w  m iarę   zwię kszania  wartoś ci  prę dkoś ci  odkształ cenia <p  pun kt  utraty  statecznoś ci  prze-
mieszcza  się   w  stron ę   mniejszych  odkształ ceń.  N ajwię kszą   wartość  cp

r
 =   0,223,  uzyskuje

się   dla  <p  —  0.  Z m ian y  cp
r
 w  funkcji  <p  przedstawion o  n a  rys.  4.  Zmniejszanie  się   y

r
  wraz

ze  wzrostem  <p  wydaje  się   być  charakterystyczne  dla  zachowania  się   ż elaza  i  mię kkich
stali  w  przeciwień stwie  do,  n a  przykł ad,  miedzi  lub  aluminium.

6. D yskusja i wnioski

P orówn an ie  dwóch  przedstawion ych  wyż ej  warun ków  utraty  statecznoś ci  w  próbie
rozcią gania,  które  opierają   się   w  pierwszym  przypadku  n a  definicji  gradientu  odkształ -
cenia  X ja ko  param etru, w  drugim  n atom iast ja ko  zmiennej niezależ nej, prowadzi  do wnio-
sku,  że  dla  A  =   oo  te  dwie  koncepcje  są   zbież ne.  Równoważ ność  obydwu  warunków,
wzory  (2.2)  i  (4.5),  należy  rozum ieć  w  ten  sposób,  że  dla  jednakowego  typu  równania

konstytutywnego  i  idealnej  próbki  (- 77-   = 0 ) , otrzymuje  się  jednakowe  wartoś ci  <p
r
 z wa-

ru n ku  (2.2)  oraz  z  warun ku  - •— =   0  dla  zależ noś ci  (4.7).
d(p

Spoś ród  waż niejszych  wniosków  należy  wym ienić:

(i)  Opis  procesu  utraty  statecznoś ci przy  uż yciu  definicji  gradientu  odkształ cenia w mie-

rze  n aturaln ej  X =  - —-   bardziej  dokł adn ie opisuje  cał y  proces  deformacji  próbki  w prze-

ciwień stwie  do  warun ku  otrzym an ego  w  oparciu  o  kryterium  maksimum  sił y  - 5—=  0,

gdzie  opis  dotyczy  jedyn ie  samego  p u n kt u utraty  statecznoś ci.
(ii) Zwię kszenie  prę dkoś ci  odkształ cenia  wpł ywa  ustateczniają co  na  proces  rozcią -

gania  próbki  powodują c  ogólne  zmniejszenie  się   gradientów  deformacji  po  dł ugoś ci
próbki.

(iii) P onieważ  dla  próbki  rzeczywistej  pun kt  utraty  statecznoś ci  zależy  zarówno  od
począ tkowej  n iejedn orodn oś ci  próbki, ja k  i  od  prę dkoś ci  odkształ cenia, przy  czym jeż eli
tendencje  te  są   przeciwstawne,  to  wydł uż enie równ om iern e q>

r
  może być  zarówno  mniejsze,

jak  i  wię ksze  od  wartoś ci  «teoretycznej»  dla  warun ków  statycznych.  W  przypadku  ma-
teriał ów  takich ja k  stal  wzrost  prę dkoś ci  odkształ cenia może  powodować  zmniejszanie  się
wydł uż eń  równ om iern ych wraz  ze  wzrostem  prę dkoś ci odkształ cenia.

(iiii) W  przypadku  zał oż enia  ja ko  kryterium  utraty  statecznoś ci  odpowiednio  mniej-
szego  gradien tu  odkształ cen ia X niż  X =   00, t j.  X <  00, pu n kt utraty  statecznoś ci  przesuwa
się   do  obszaru  odkształ ceń mniejszych,  wówczas

W  tej  sytuacji  wydł uż enie  równ om iern e <p
r
,  rozum ian e jako  wielkość  charakteryzują ca

wł asnoś ci  plastyczne  m etalu,  wymaga  bardziej  precyzyjnej  definicji  niż  dotychczas.

7  M ech an ika teoretyczn a



90  J.  KLEP AC Z KO

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  J. D .  CAM PBELL, Plastic  instability in rate —  dependent materials, J. M ech.  P h ys.  Solids, 4, 15  (1967),  359*
2.  E. W.  H AR T ,  T heory of  the  tensile test, Acta  M et.,  2, 15  (1967),  351.
3.  J. KLE P AC Z KO,  Generalized conditions for  stability  in tension tests,  I n t . J. M ech .  Sciences, - 5,10  (1968), 225.
4.  J.  KLE P AC Z KO,  O potę gowej postaci  mechanicznego równania  stanu z  uwzglę dnieniem temperatury,  R ozpr.

I n ż ., 3, 13(1965),  561.
5.  Z .  M AR C I N I AK,  Zwią zek  mię dzy  czuł oś cią  materiał u  na prę dkoś ć  odkształ cenia a przebiegiem  rozcią gania

niejednorodnych próbek,  Arch. H u t a . ,  3, 8 (1968),  305.
6.  J.  WAN TU CH OWSKI,  W pł yw prę dkoś ci  odkształ cenia na wielkoś ć  naprę ż eń przy  próbie  rozcią gania, Arch .

H u t a . ,  1, 2  (1957),  47.

P  e  3  IO  M  e

OEOEIH EH H E  YC JI OBtM   yC T O fM H B O C T H   n P H   H C I I t l T AH I M X  H A  P AC TJD KEH H E

B  paSoTe  o6cy>i<flaioTCH   H  cpaBHHBaiOTOi  «Ba  ycjioBHfl  ycTofitiiiBocTH   H U H   H cntiTyeM H x  Ha  p a er -
aaceH ue  MeTajiJttraecKiix  o6pa3n.OB.  I lepBo e  H3  o6o6meH H Bix  ycjioBHft  fljra  HfleajiBHoro  o6pa3a, a,
3aBH camee  OT;  cnoco6H ocTH   niaTepH ana  o6pa3ua  K ynpo^neH H iOj  tiyscTBHTejiLHOCTH   K  cKopocTH   flecjiop-

H  TeiwnepaTypŁij  npHBOflHJioct  n pewfle  B paSoTe  [ 3] . 3 T O ycjioBH e,  on H pam m eeca  Ha K paTepaił
HJibij  B H acTonmeK  pa6oTe  o6o6inaeTCH   iia  cjiyqaft  o6pa3B(a  c  neoflHopoflHMM   n o  fljiH H e

ceqeimeM j  npiraeM   B KaqeciBe  napaiweipa  BBOAH TCH   rpafliieH X  HaTypajitHOH  fle(bopM au(H H  <p

n o  fljiH H e  oopa3t(a:  A —  .
dx

Bio p o e  H3  o6o6meH H H X  ycnoBHft  onpefleneH O  n a  ocuoBe  rpaflueH Ta fle(|iopM aL(H H  X
}
  pacciwaTpH Bae-

Moro  B Ka^iecTBe  He3aBHCHMott nepeiwenHOH,  IITO  npHBOflHT  K flH cb(j)epeH u;H anŁH OM y ypaBH eH iiio
BaiomeMy  Bect  n p o u ec c flechopiwamoi. PemeH H e 3Toro  ypaBHeHHii RaeT H3MeHeHiie  rpan wen Ta
l(t).  OSjiaCTbj  B  KOTOpOH   TpaflHeHT fle(bopM at(H H  A CTpeMHTM   K 6ecKOHeqHOCTH, HBUHeTCH,  oSjiaCTBIO
H eyC T O O T H BO C T H .

J^JI H   O6OH X  cjiyiiaeB  flae- rca  HecKonbKO  n pn in epoB,  HJiJHOCTpHpyioiqHx  noBefleHHe  MeTamioB TaK
c  rpaHeą eHTpHpoBaHHOHj  Kai<  H   o6teMHOi(eHTpHpoBaHHOH  Ky6H iecKoii  peuieTKoił .

S u m m a r y

D ISCU SSION   OF   TH E  G EN ERALIZED  CON D ITION S  F O R  STABILITY
I N   TH E  TEN SION  TEST

The  aim of  the  present work is  a comparison between two existing conditions for  stability  in the tension
test  of  a metal specimen.

The  first  stability  condition for  an ideal  specimen, which takes  into consideration the strain hardening
phenomenon  the  strain  rate  sensitivity  and  temperature  dependence  of  a:m etal  investigated,  has  been
discussed  previously  in the paper  [3].  This condition,  which is  based  on the maximum  of  the tensile  force
criterium, has been generalized  in the present paper for  the case when the specimen cross- section is  initially
nonconstant.  The  new  parameter  is  introduced, namely,  the  strain  gradient  X, when  the natural  measure

•   dip  '  ~  •   - • • • '• '  -

of  st rain  <p is used,  % =   .
dx  :  :  -   .-



U OG ÓLN ION E  WARU N KI STATECZNOŚ CI w  PRÓBIE ROZCIĄ GANIA  -   91

The second condition has  been defined  on the basis  of  the strain gradient  A  as an independent variable.
I n this way, the diffrential  equation was  obtained which describes the all process of deformation. The solution
appears  as  the  changes  of  strain  gradient  in  a  function  of  time,  I  =   %{t).  Over  the range  of  (A, t)  plane
when strain  gradient  tends to  infinity  the specimen behaviour  is  unstable.

F or  both  cases  some  examples  illustrating  behaviour  of  specimens  made  of fee  as  well bcc metals  are
given.

I N STYTU T  P OD STAWOWYC H   P R O BL E M Ó W  T E C H N I K I  P AN

Praca został a zł oż ona w Redakcji dnia 8 sierpnia 1969 r.

7 *