Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS70\MTS70_t8z1_4_PDF\mts70_t8z2.pdf
M E C H A N I K A
T E O R E T Y C Z N A
I S T O S O W A N A
2, 8 (1970)
P R Z Y B L I Ż O NE O B L I C Z A N I E P Ł Y T Y K O Ł O W E J , U Ż E B R O W A N EJ J E D N O S T R O N N I E ,
O B C I Ą Ż O N EJ A N T Y S Y M E T R Y C Z N I E
ANDRZEJ M Ł O T K O W S K I (ŁÓDŹ)
Oznaczenia
stale,
a p r o m i e ń z e w n ę t r z ny p ł y t y ,
s t a ł e ,
b(k) g r u b o ś ć ż e b r a,
С p r o m i e ń w e w n ę t r z ny p ł y t y ,
Щ к ) s z t y w n o ś ć obwodowa p ł y t y ,
Dr(k) s z t y w n o ś ć promieniowa p ł y t y ,
E m o d u ł Younga,
F powierzchnia przekroju poprzecznego ż e b r a,
F(k) w s p ó ł c z y n n i k ,
G m o d u ł s p r ę ż y s t o ś ci postaciowej,
Щ к ) w y s o k o ś ć ż e b r a,
w y s o k o ś ć ż e b ra na promieniu z e w n ę t r z n y m,
Hc w y s o k o ś ć ż e b ra na promieniu w e w n ę t r z n y m,
kk) g r u b o ś ć p ł y t y ,
kk) moment b e z w ł a d n o ś ci przekroju ż e b ra p r z y p a d a j ą cy na j e d n o s t k ę obwodu p ł y t y ,
к indeks o k r e ś l a j ą cy w i e l k o ś ci d o t y c z ą ce kolejnej p ł y t y p i e r ś c i e n i o w e j,
Af moment o b c i ą ż a j ą c y,
Mr(k) moment g n ą cy promieniowy p r z y p a d a j ą cy na j e d n o s t k ę obwodu p ł y t y ,
moment g n ą cy obwodowy p r z y p a d a j ą cy na j e d n o s t k ę promienia,
Mro(k) moment s k r ę c a j ą c y,
m liczba płyt p i e r ś c i e n i o w y c h,
Nr(k) siła promieniowa p r z y p a d a j ą ca na j e d n o s t k ę obwodu p ł y t y ,
Щ к ) siła obwodowa p r z y p a d a j ą ca na j e d n o s t k ę promienia,
n liczba ż e b e r,
Qr,Qo siły t n ą ce — promieniowe i obwodowe,
r p r o m i e ń b i e ż ą cy p ł y t y ,
S(k) iloczyn m o d u ł u Younga i momentu statycznego ż ebra w z g l ę d em p ł a s z c z y z n y ś r o d k o w ej
p r z y p a d a j ą cy na j e d n o s t k ę obwodu p ł y t y ,
Tm siła styczna ( p o ł o ż o na w p ł a s z c z y ź n ie ś r o d k o w ej p ł y t y ) ,
Щ к ) przemieszczenie promieniowe,
"o(*) przemieszczenie promieniowe p ł a s z c z y z n y ś r o d k o w ej p ł y t y ,
v<,k) przemieszczenie obwodowe,
ô(Jfc) przemieszczenie obwodowe p ł a s z c z y z n y ś r o d k o w ej p ł y t y ,
128 A . M Ł O T K O W S K I
Vf<*) u g i ę c ie p ł y t y ,
z w s p ó ł r z ę d na o k r e ś l a j ą ca o d l e g ł o ś ć rozpatrywanego punktu od p ł a s z c z y z n y ś r o d k o w e j,
< * i « ) a 8 « ) s t a } e >
w s p ó ł c z y n n i k ,
в w s p ó ł r z ę d na k ą t o wa rozpatrywanego punktu,
v liczba Poissona,
r
Q = — p r o m i e ń bezwymiarowy,
a
ar n a p r ę ż e n ia promieniowe w p ł y c i e ,
ar n a p r ę ż e n ia w ż e b r z e,
oo n a p r ę ż e n ia obwodowe w p ł y c i e ,
rro n a p r ę ż e n ia styczne w p ł y c i e .
Poniż sze r o z w a ż a n ia są rozszerzeniem pracy [1], w k t ó r e j o m ó w i o n o s p o s ó b obliczenia
płyt k o ł o w y c h wzmocnionych ż e b r a mi po jednej stronie płaszczyzny ś r o d k o w ej i obcią
ż onej antysymetrycznie p a r ą sił p r z y ł o ż o ną w ś r o d k u. K s z t a ł t ż eber był jednak tak dobrany,
by promieniowa sztywność zginania oraz inne współczynniki, wystę pują ce w układzie
r ó w n a ń r ó ż n i c z k o w y ch płyty u ż e b r o w a n e j, były stałe.
Rys. 1
W praktyce, płyty wzmacniane są ż e b r a mi promieniowymi o kształtach , k t ó r e powodują,
że wyż ej wspomniane wielkoś ci są funkcjami promienia.
P ł y t a o zmiennej sztywnoś ci zginania m o ż e być w przybliż eniu przedstawiona j a k o
szereg p o ł ą c z o n y ch ze sobą ortotropowych płyt pierś cieniowych o stałych sztywnoś ciach
zginania. N a p r z y k ł a d dla płyty przedstawionej na rys. 1 sztywność zginania m o ż na przed
stawić, j a k na rys. 2.
M o ż na przyjąć sztywnoś ci poszczególnych pierś cieni r ó w n e sztywnoś ciom w ich ś r o d
kach. Podobnie m o ż na p r z e d s t a w i ć wielkoś ci S i Fx (oraz ewentualnie D0 jeś li g r u b o ś ć
płyty jest zmienna). Odpowiada to jakby zmianie k s z t a ł t u ż eber według rys. 3.
P R Z Y B L I Ż O NE O B L I C Z A N I E P Ł Y T Y K O Ł O W E J 129
Jeś li płytę podzielić na dostatecznie dużą liczbę pierś cieni, wówczas «stopnie» na ż e b
rach bę dą praktycznie bez znaczenia dla d o k ł a d n o ś ci obliczeń.
N a styku d w ó c h kolejnych pierś cieni muszą być spełnione warunki cią głoś ci dotyczą ce
odkształceń i sił w e w n ę t r z n y c h. Ugię cia, ką ty ugię cia, przemieszczenia promieniowe i ob
wodowe, momenty promieniowe, siły normalne, styczne oraz zastę pcze siły poprzeczne
muszą być na liniach styku płyt pierś cieniowych odpowiednio sobie r ó w n e .
Щ к ) — Щ к + 1)> M R(K) = Mrlk+1Ą
dw(k)
dq dQ
Щ к )
(1) Щ к ) — W(Jk+l)> П к )
Щ к ) = Щ к + i)
Мг (К к) Q Н к )'
••д О
Qr(k + i> —
M, rO{k + 1 )
rdO
gdzie к oznacza numer kolejny pierś cienia.
Dr=f(p)
Rys. 2 Rys. 3
Obliczenia wykonane tą m e t o d ą przy podziale płyty na pięć pierś cieni dały wię kszą
d o k ł a d n o ś ć niż przy zastosowaniu metody róż nic s k o ń c z o n y ch ze wzglę du na wysoki
rząd pochodnych w r ó w n a n i a c h r ó w n o w a g i (2.14) w pracy [1].
Jak wykazano w cytowanej pracy, przemieszczenia poszczególnych p u n k t ó w powierzch
n i ś r o d k o w ej /с tego pierś cienia płyty m o ż na wyrazić w nastę pują cej postaci
(2)
Щ к )
>*'(*) = [лНк )е + А2(к )б\п д + ^ A 4 ) t , o
u ; u ) + 1 ] c o s 0 ,
8
«o<*) = [вП к)т В2{к )\п (>+ ]?piik)Aiik)o
nia)}cosO,
j = 5
8
= [ ^ i ( t ) | ^ : ^ + l r i ( ? J5 2 ( t ) 4 ^Р ц к )1ц к )А цк)С >"^> sinO,
130 A . M L O T K O V V S K I
gdzie
A x * ) =
Eh\k)
12(1 v 2 )
О ) 5 , » , г < . , . , я „ , (я " ' + й ' " ) ^ —
\ 2 / 2naQirik)
2 ( Г = '̂
2 т г а р, 'sr(*>
^r(fc)(«2(fc) — 1) — 3 D 0 W
£(*)а (а .ч *)—1)
(1 + » ) « , » , + ( 3 r )
( l v ) a ? ( k ) ( 3 v )
Współczynniki a 5 ( t ) 4 a 8 ( l ) znajdujemy z r ó w n a n i a dwukwadratowego
(1—v)0S(Ł)— i ? i ( * ) ^ r ( * ) ) « ( * ) + [ ( l : = T ' ) ( F i ( W i ) ł . ( t ) + 3 2 ) 0 № ) F , ( j k ) ) —
( 4 ) (3 v ) ( l » ) f t t t D r ( * » (1 + v)%k)D,m + 0v)FHk)Dnk)
2 ( 2 i ^ ) 0 & ) ] [ ( 3 v ) ( l ^
0v)(FHk)Drik) + 3F1(k)Dm)S
2
k))] = 0.
Stałe A2(k), Bl{k), B2{k), А5^к)^А щ ) m o ż na wyznaczyć z w a r u n k ó w brzegowych
oraz w a r u n k ó w cią głoś ci (1).
Siły w e w n ę t r z ne o k r e ś l o ne są wzorami
r ( t ) dQ
2 + ~Q~ e 2 <)02 +*ma~dQ
<>(*>
(5) 7 V r ( Ł ) = 2 Ą t ) — ^ y g j p
w 2 fi / , . , < M , W 1 dv4k)
ag \ 1
dO
Q,(k) = — ( Mr(k) M„(k)+Q—Ł^ = ^ ) v
i dv0(k)\
Q ' dQ j'
dMrlk) dMre(k)
dQ dO
P R Z Y B L I Ż O NE O B L I C Z A N I E P Ł Y T Y K O Ł O W E J 131
P o podstawieniu (2) do (5) i wykorzystując (1) otrzymano u k ł a d y r ó w n a ń dla l i n i i
styku kolejnych d w ó c h pierś cieni
8 8
QAHk) + Q\nQA2(k)+ 2^Q
ai(k)+iAnk)—Ai(k+1)—QhxQji^k+i)~ ^ V ' ( *
+ 1 > + 1 A ( * + i) = 0,
1 = 5 i'=5
8
А цк ) + (1+1п д )А2(к )+ 2J ( « « { * ) + l ) e
a « » A * ) _
; = 5
8
АН Ш )~(1 + \п д )А2(к + 1)~ ^ ( а , ( » + 1 ) + 1 ) е
в « * + | ) Л ц *+ 1 ) = 0,
1 = 5
8
вн к )+\п е вч к )+ У 1р цк )д
аи к )АК к )—
1 = 5
8
— BHk + i) — 1п (?Я 2(* + 1)— ^ й ( И 1) ^ «
+ | ) 4 ( Н 1) = 0.
< = 5
8
BHk)^~^_~+\riQJB2ik)+ ^ Р цк )Я цк)С
а'(к )А цк ) +
8
+ 5 , ( к + 1 ) + | ^ ^ ~ + 1 п е | . 82 ( * + 1 ) — ^ Р цк+1)(}ц к + 1)9
а^ + о АК к + 1) = 0,
(Dr+DQv\k)A2(k) S(k)aB2a) +
8
+ 2J [A<k)«?<*>+ (Dr(it) + D0v5(k)^i(k))a1(t)]^i(t)e
a«k)
1 = 5
— ( O r + A>*0(ł + 1) ̂ 2(k + 1) + S(k +1 )OB2(k + l) —
8
/=5
8
+ Г я < * , Л ( * } — • ^ • ( " i ( * ) + i ) J « i ( * ) | ee w » A * j +
8
+ ^ ^ А ( * + 1 ) ( ^ ( » + 1 ) 2 ^ ^ ) А ( *+ 1 ) ^ ^ C J 2 ^ i ( k + 1 ) [ l + ^ + i ) ] +
(6)
132 A . M Ł O T K O W S K I
2(1v)
3
8
^ B2(k)+ 5J Pum— [1 + ?*(*)]+qnk)*i(k)\o
amAK k )
H Д г(*+1) — + — [1 +9i(* + i)] + 9i(* + i)af(t + i)l?a ,'(*: + l ) ^ ' ( * + i) = 0»
(6)
[ C d . ] 8
(3 v)D0A2{k) + 2J {
Dnk)Ccfik) [a,(ik) +1] + (3 v)D0ai(k) +
/=5
8
+ S(k)apma.f(k)\Q
amAKk) (3 v)D0A2(k +,, ^ ( Z ) r ( , +, ; a,
2
( t + 0 [ a , ( » +,, +1] +
i 5
+ (3 — v ) A a i ( t + i ) + S
,
( k + 1 ) a ^ i ( t + 1 ) a
2
( t + 1 ) } o
0 i a + i ) / 4 i ( ) k + 1 ) = 0.
Powyż sze r ó w n a n i a wraz z warunkami brzegowymi dla zewnę trznego i wewnę trznego
brzegu płyty stanowią układ r ó w n a ń , z k t ó r e g o m o ż na wyznaczyć wszystkie stałe dowolne.
L i c z b a stałych dowolnych r ó w n a jest liczbie przedziałów p o m n o ż o n ej przez osiem.
W a r u n k i brzegowe dla płyty podpartej na obwodzie z e w n ę t r z n ym i mają cej sztywną
piastę w ś r o d ku są nastę pują ce:
a) dla obwodu zewnę trznego (g = 1, к = m)
w(k)=0, Mnk) = 0, Nr(k) = 0, T(k) = 0,
+ Я + Я
(7) , a J Mro^sinOdOa2 J Qr(k)cosOdO = M;
— n — я
ponadto, jak udowodniono w [1], stała В цк ) = 0;
b) dla obwodu wewnę trznego (g = g 0 = с ja, к = 1)
W (k) = go , »
(7)2 *
M ( t ) s i n 0 = —»((t)CosO.
W podobny s p o s ó b m o ż na o t r z y m a ć warunki brzegowe dla płyty utwierdzonej na obwo
dzie z e w n ę t r z n ym i mają cej sztywną piastę w ś r o d k u:
• a) dla obwodu zewnę trznego (g = 1, к = m)
ww = 0, = 0, И да = 0, v(k) = 0,
+ я 4 я
(g) ci f Mr{k)cosOdO + a j Mreik)smddO—a
z J Qr(k)cosOdO = M,
—я —я —я
+ я + я
\ Nr{k)cosOdO j T{k)smOdO = 0;
—я —я
b) dla obwodu w e w n ę t r z n e go warunki p o z o s t a n ą bez zmiany.
P R Z Y B L I Ż O NE O B L I C Z A N I E P Ł Y T Y K O Ł O W E J 133
N a p r ę ż e n ia promieniowe w płycie i ż ebrach oraz n a p r ę ż e n ia obwodowe i styczne
w płycie obliczyć m o ż na ze w z o r ó w ([1])
E Г Щ к ) д Щ (к ) , v д щ(к ) _ z ld
2wik) v ć >ww v <Р Щ к А
r ( k ) ~ (l+v2)a[V Q + де
+ Q д в а \ dg2 Q dg Q 2 д в2}}'
Е I h o ( ł ) z d
2w(k) \
= Т \ " 7 —с Т ~ д ^ ~ )'
( i _ r 2 ) a | _~e ~ d e ~ ~
+
e ~ f l \
v « v + e a e
+
e
2 <э е2 / J'
r „ i r z l 1 d w w d2w(k)\,G(ldu0(k) v m ,dv0(k)\
T„ik) = GYre =
2 G я ^ 2 ^ 0 + ^ ( j Je Ę + Sf) •
P r z y k ł a d . Obliczenie n a p r ę ż eń i przemieszczeń płyty kołowej wzmocnionej ż eb
rami według rys. 1 i 4. P ł y t a podparta jest przegubowo na obwodzie z e w n ę t r z n y m. D a n e :
a = 22 cm, с = 5,5 cm, Ha = 1,5 cm, Hc = 3,0 cm, b = 0,3 cm, n = 6.
Rys. 4
Płytę podzielono na m = 5 pierś cieni o jednakowej szerokoś ci. D l a ś redniego promienia
k a ż d e go z pierś cieni obliczono wielkoś ci D r , S, Fl w e d ł u g w z o r ó w (3) p o d s t a w i a j ą c za
b(k), H(k)\ Qir(k) wartoś ci gruboś ci, wysokoś ci ż e b ra i promienia w ś r o d ku pierś cienia.
N a s t ę p n ie dla k a ż d e go pierś cienia r o z w i ą z a no r ó w n a n i e (4) uzyskując wartoś ci а г ( к ).
Obliczone wielkoś ci podstawiono do w z o r ó w (7) na warunki brzegowe po uwzglę dnieniu
(2) i (5) oraz do w z o r ó w (6). P o n i e w a ż r ó w n a n i a (6) muszą być spełnione na liniach styku
kolejnych d w ó c h pierś cieni, to przy podziale na 5 pierś cieni otrzymano u k ł a d 40 liniowych
r ó w n a ń algebraicznych umoż liwiają cych obliczenie stałych A4k)—Ац к) dla k a ż d e go pier
ś cienia. N a s t ę p n ie z w z o r ó w (2) obliczono przemieszczenie poszczególnych pierś cieni.
Obliczenia wykonano na elektronowej maszynie cyfrowej Z A M 2 Beta.
P o w y ż s za metoda p o d z i a ł u płyty na pierś cienie nie zapewnia cią głoś ci n a p r ę ż eń na
styku pierś cieni. W zwią zku z tym najbardziej miarodajne są n a p r ę ż e n ia obliczone dla
ś r o d k ów pierś cieni według w z o r ó w (9). N a wykresie rys. 5 pokazano n a p r ę ż e n ia w ż e b r a ch
1000
600
400
200
б [к В /с т2]
Naprę ż enia promieniowe w ż ebrze
(dla 6 = 0 ° r1=4000 kGcm)
Naprę ż enia promieniowe w ż ebrze
(dla 6 = 0 ° r1=4000 kGcm)
•
•i
N
\ 4
• \ , \
V
I
S N
100
200
0,3 Ц4 0.5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 p
0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Ąg 0,9 1fl P
Naprę ż enia na powierzchni ptyty
°о [Ш с тг]
Rys. 5 N a p r ę ż e n ia w p ł y c i e wzmocnionej n = 6 ż e b r a mi o zmiennej w y s o k o ś c i, podpartej przegubowo
na obwodzie z e w n ę t r z n y m. N a p r ę ż e n ia teoretyczne na k r a w ę d zi ż e b ra — linia przerywana, a na w y s o k o ś ci
naklejenia t e n s o m e t r ó w — l i n i a c i ą g ł a. Wyniki p o m i a r ó w n a p r ę ż eń promieniowych ( • ) i obwodowych ( ® )
[134]
P R Z Y B L I Ż O NE O B L I C Z A N I E P Ł Y T Y K O Ł O W E J 135
w płycie przedstawionej na rys. 1 i 4, dla k ą ta 0 = 0° (płaszczyzna działania momentu M);
krzywe poprowadzono przez punkty odpowiadają ce ś r o d k om pierś cieni.
Płyta poddana została ponadto badaniom tensometrycznym na specjalnym stanowisku
umoż liwiają cym realizację w a r u n k ó w brzegowych oraz obcią ż enia. W y n i k i p o m i a r ó w
naniesiono na rys. 5.
Podobnie wykonano obliczenia i pomiary dla płyty przedstawionej na rys. 6 (wzmoc
nionej sześ cioma ż ebrami o jednakowej wysokoś ci i gruboś ci). W y n i k i przedstawiono
na rys. 7.
Przeprowadzone badania tensometryczne wykazują d o b r ą z g o d n o ś ć z wynikami teo
retycznymi.
Należy p o d k r e ś l i ć, że doś wiadczenia i obliczenia zostały przeprowadzone dla małe j
liczby ż eber, co jest czę sto spotykane w konstrukcjach maszynowych.
Rys. 7. N a p r ę ż e n ia w p ł y c i e wzmocnionej n = 6 ż e b r a mi o stałej w y s o k o ś ci i g r u b o ś c i, podpartej przegu
bowo na obwodzie z e w n ę t r z n y m. N a p r ę ż e n ia teoretyczne na k r a w ę d zi ż e b ra — linia przerywana, na wy
s o k o ś ci naklejenia t e n s o m e t r ó w — linia c i ą g ł a. Wyniki p o m i a r ó w n a p r ę ż eń promieniowych ( • ) i ob
wodowych ( ® )
136 A . M Ł O T K O W S K I
Literatura cytowana w t e k ś c ie
1. A . M Ł O T K O W S K I , Wytrzymałoś ć płyty kołowej jednostronnie uż ebrowanej poddanej antysymetrycznemu
zginaniu. Mech. Teor. i Stos., 4, 6 (1968).
2. S. T I M O S H E N K O , S. W O Y N O W S K Y K R I E G E R , Teoria płyt i powłok, Arkady, 1962.
Р е з ю ме
П Р И Б Л И Ж Е Н Н ОЕ Р Е Ш Е Н ИЕ П О Д В Е Р Г Н У Т ОЙ А Н Т И С И М М Е Т Р И Ч Н О МУ И З Г И БУ
К Р У Г О В ОЙ П Л А С Т И Н КИ П О Д К Р Е П Л Е Н Н ОЙ О Д Н О С Т О Р О Н Н И МИ
Р А Д И А Л Ь Н Ы МИ Р Е Б Р А МИ
П р и б л и ж е н н ым м е т о д ом р е ш е на з а д а ча о н а п р я ж е н и ях и д е ф о р м а ц ии в к р у г о в ой п л а с т и не
п о д к р е п л е н н ой р а д и а л ь н ы ми р е б р а ми л ю б ой ф о р м ы, р а с п о л о ж е н н ы ми о с е с и м м е т р и ч но п о о д ну
с т о р о ну о т с е р е д и н н ой п о в е р х н о с т и.
Р е ш е н ие н а х о д и т ся п у т ем р а з д е л е н ия п л а с т и н ки на н е с к о л ь ко о р т о т р о п н ых к о л ь ц е в ых п л а
с т и н ок п о с т о я н н ой ж е с т к о с ти п ри с о б л ю д е н ии у с л о в ий н е п р е р ы в н о с ти д е ф о р м а ц ии и в н у т р е н н их
с и л. Р а с с м о т р е ны с л у ч аи ш а р н и р но и ж е с т ко з а к р е п л е н н ых к р а ев п л а с т и н к и. П р о и з в е д е ны р а с
ч е ты и т е н з о м е т р и ч е с к ие и з м е р е н ия д ля п л а с т и н ок с 6ю р е б р а ми п е р е м е н н о го и п о с т о я н н о го
с е ч е н и й.
S u m m a r y
A P P R O X I M A T E S O L U T I O N O F A C I R C U L A R P L A T E W I T H O N E S I D E D RIBS S U B J E C T E D
T O A N T I S Y M M E T R I C B E N D I N G
A n approximate method of determination of the state of strain and stress in circular elastic plate rein
forced by radial ribs of arbitrary shape, eccentric with respect to the middle surface, has been discussed.
The plate is loaded by a skewsymmetric bending couple acting on the hub. In order to establish the state
of stress and strain, the plate was divided into several orthotropic rings of constant f Iexural rigidity. C o n
tinuity conditions (6) at the lines of contact between the rings have to be satisfied, the outside edge of
the plate being either simply supported or clamped. Numerical example comparing the theoretical and
experimental results are given.
POLITECHNIKA ŁÓDZKA
Praca została złoż ona w Redakcji dnia 26 maja 1969 r.