Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS70\MTS70_t8z1_4_PDF\mts70_t8z2.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  2,  8 (1970)  W P Ł Y W  O D K S Z T A Ł C A L N O Ś CI  G I Ę T N EJ  S K R Z Y D Ł A  N A  S T A T E C Z N O Ś Ć  P O D Ł U Ż NĄ   S Z Y B O W C A  JERZY  M A R Y N I A K ,  MARWAN  LO S T A N  (WARSZAWA)  1.  W s t ę p  Przedmiotem  niniejszej  pracy  jest  zbadanie  wpływu  odkształcalnoś ci  gię tnej  skrzydeł  na  stateczność  p o d ł u ż ną  szybowca.  W  pracy  [5], przy  rozpatrywaniu  wpływu  odkształcalnoś ci  gię tnej  skrzydeł  na  statecz­ n o ś ć  p o d ł u ż ną  szybowca,  z a ł o ż o n o,  że  p r ę d k o ść  w  kierunku  osi  p o d ł u ż n ej  zwią zanej  z  szybowcem  nie  ulega  zmianie.  Powyż sze  założ enie  nie  pozwolił o  na  zbadanie  wpływu  odkształcalnoś ci  gię tnej  na  wahania  fugoidalne  i  ograniczono  się  do  b a d a ń  oscylacji  szybkich.  W  niniejszej  pracy  do  badania  statecznoś ci  zastosowano  teorię  małyc h  zakłóceń .  R ó w ­ nania  ruchu  otrzymano  w  postaci  u k ł a d u  r ó w n a ń  róż niczkowych  zwyczajnych  drugiego  rzę du  ze  stałymi  w s p ó ł c z y n n i k a m i .  Wyznaczono  współczynniki  r ó w n a n i a  charakterys­ tycznego  szóstego  stopnia,  zastosowano  kryteria  statecznoś ci  R o u t h a ­ H u r w i t z a , jak  r ó w ­ nież  obliczono  pierwiastki  r ó w n a n i a  charakterystycznego  m e t o d ą  Bairstowa  [9]. W  pracy  u w z g l ę d n i o no  tylko  o d k s z t a ł c a l n o ś ć  gię tną  skrzydła,  bowiem  czę stoś ci  odpowiadają ce  I  postaci  gię tnej  skrzydeł  szybowców  są  r z ę du  1,5­3,5  H z  i  są  najbliż sze  czę stoś ci  oscy­ lacji  szybkich  szybowca;  podczas  gdy  I  s k r ę t na  p o s t a ć  skrzydła  wystę puje  przy  czę stoś ci  20­28  H z  [4,  8].  Jako  o d k s z t a ł c e n i a  przyję to  postacie  własne,  otrzymane  doś wiadczalnie  na  drodze  b a d a ń  rezonansowych  szybowców  [4,  8, 10].  Zagadnienie  rozwią zano  m e t o d ą  przyję tą  przy  r o z w a ż a n iu  statecznoś ci  a p a r a t ó w  lata­ ją cych  [2,  3,  6,  11]. Pozwoliło  to  p r z e p r o w a d z i ć  konfrontację  w y n i k ó w  otrzymanych  dla  szybowca  o d k s z t a ł c a l n e g o  i  sztywnego.  Otrzymane  wyniki  wskazują,  że  o d k s z t a ł c a l n o ś ć  gię tna  skrzydeł  ma  wpływ  na  oscy­ lacje  szybkie, j a k  r ó w n i e ż  silnie  wpływa  na  wahania  fugoidalne  szybowca.  N a  podstawie  obliczeń  numerycznych,  wykonanych  na  elektronowej  maszynie  cyfro­ wej  G I E R ,  na  przykładzie  produkowanego  w  kraju  szybowca  wyczynowego  zbadano  wpływ  z m i a n :  sztywnoś ci,  zapasu  statecznoś ci  statycznej,  p r ę d k o ś ci  na  czę stość  oscylacji  i  tłumienie  szybowca  o d k s z t a ł c a l n e g o  i  sztywnego.  3  Mechanika  teoretyczna  138  J .  M A R Y N I A K ,  M .  L O S T A N  2 .  R ó w n a n i a  ruchu  R ó w n a n i a  ruchu  szybowca  wyprowadzono  w  układzie  współrzę dnych  zwią zanych  ze  ś r o d k i em  masy  szybowca.  Rozpatrzono  mał e  z a k ł ó c e n i a  od  ustalonego  lotu  prostolinio­ wego  z a c h o d z ą c e go  w  płaszczyź nie  pionowej  zgodnej  z  u k ł a d e m  osi  (x,  y).  M a ł e  z a k ł ó c e n i a  oznaczono  n a s t ę p u j ą c o:  u  —  zmiana  p r ę d k o ś ci  Ux  w  kierunku  osi  X  zwią zanej  z  szybowcem,  w —  zmiana  p r ę d k o ś ci  W\  w  kierunku  osi  z  zwią zanej  z  szybowcem,  •& —  zmiana  k ą ta  pochylania  szybowca  Bu  o b r ó t  w  płaszczyź nie  x,  z  wzglę dem  osi  y,  q  —  zmiana  p r ę d k o ś ci  ką towej  pochylania.  "z  Rys.  1.  P r z y j ę ty  u k ł a d  w s p ó ł r z ę d n y ch  z w i ą z a n y ch  z  szybowcem  i  odpowiednie  p r ę d k o ś ci  liniowe  i  k ą t o we  R ó w n a n i a  ruchu  szybowca  sztywnego  wzglę dem  u k ł a d u  osi  zwią zanych  z  szybowcem  (rys.  1)  zostały  wyprowadzone  w  pracach  [2,  3,  11].  P o  wprowadzeniu  do  nich  sił  Xe.  Ze  i  m o m e n t ó w  aerodynamicznych  M,,  p o c h o d z ą c y ch  od  zginania  skrzydła  otrzymano  m(it+  Wtf)  =  XuU+XnW+Xaq—mg&cosQi+Xe,  tn(w—Uiq)  —  Z U M + Z w w + Z e f l ' — m g & s i n d l ­ \ ­  Ze,  (2.1)  Jyq  =  Muu+Mww+Mqq+M^w+Mc,  q  =  b.  Uwzglę dnienie  zginania  skrzydeł  wprowadza  stopnie  swobody  wynikają ce  z  o d k s z t a ł ­ ceń,  k t ó r e  p r o w a d z ą  do  dodatkowych  r ó w n a ń  ruchu.  Przyję to,  że  ugię cie  skrzydła  w  każ­ dym  jego  przekroju,  przy  założ eniu,  że  drga  ono  ruchem  harmonicznym  Cj(t)  —  acosoj,/,  o k r e ś l o ne  jest  funkcją   (2.2)  zj(y,t)  =  0j(y)l;j(t),  gdzie  Ф / О О —  p o s t a ć  własna  ugię cia  skrzydła  o d p o w i a d a j ą ca  y'­tej  postaci,  coj  —  czę stość  d r g a ń  o d p o w i a d a j ą ca  y­tej  postaci.  W P Ł Y W  O D K S Z T A Ł C A L N O Ś CI  G I Ę T N EJ  S K R Z Y D Ł A  1 3 9  Stosując  r ó w n a n i a  Lagrange'a  II  rodzaju  otrzymano  dodatkowe  r ó w n a n i a  ruchu  szy­ bowca  wynikają ce  z  o d k s z t a ł c e ń  gię tnych  skrzydła  /1  71  (2.3)  ^  EMt)+  У  Ejco%(t)  =  Fj,  ;=i  J = I  gdzie  6/2  (2.4)  Ej=  2  J '  т (у )Ф ](у )с у  +  ткФ %0);  o  Ej  —  masa  u o g ó l n i o n a  o d p o w i a d a j ą ca  j­tej  postaci  własnej  skrzydła,  Ы2  (2.5)  F,  =  2  f  F:(y,tW(y)dy,  o  Fj —  siła  u o g ó l n i o n a  o d p o w i a d a j ą ca  y'­tej  postaci,  wynikają ca  z  obcią ż enia  skrzydła  siłą   wymuszają cą  F:(y,  t)  przy  wyłą cznym  uwzglę dnieniu  jego  zginania,  '»(>')  —  funkcja  r o z k ł a d u  masy  wzdłuż  rozpię toś ci  skrzydła,  mk  —  masa  k a d ł u b a  wraz  z  usterzeniem  traktowana  jako  masa  skupiona  w  płaszczyź nie  symetrii  skrzydła.  W z o r y  na  pochodne]  aerodynamiczne  Xu,  Xw,  Xq,  Z „ , Zw,  Zq,  Mu,  Mw>  Mq  i  wys­ tę pują ce  w  układzie  r ó w n a ń  (2.1)  są  wyprowadzone  w  pracy  [3]  i  o m ó w i o n e  w  pracach  [2,  3,  11].  Poniż ej  wyznaczono  siły  i  momenty  aerodynamiczne  Xe,  Zc  i  Me  wystę pują ce  w  układzie  r ó w n a ń  (2.1)  wywołane  drganiami  gię tnymi  skrzydła.  Z m i a n a  k ą ta  natarcia  elementu  skrzydła  w  dowolnym przekroju  w y w o ł a n a  drganiami  gię tnymi  jest  n a s t ę p u j ą c a:  wtedy  zmiana  siły  noś nej  na  skrzydle  w y w o ł a n a  odkształcenie m  gię tnym  bę dzie  * Д  г  6/2  (2.7)  z<  =  2 f  Z„{y)M,dyy=  ­ e t f j ­ ^ ­ J  l(yW(y)dy\t(t).  o  l ­  o  J  P o  wprowadzeniu  pochodnej  aerodynamicznej  Zft  otrzymano  (2.8)  Zc  =  Z/rt,  gdzie  6/2  (2.9)  Zjt  = ­ e U l ­ £ ­ f  l(y)0j(y)dy.  o  Analogicznie  wyprowadzono X^,  Mrf  6/2  ( 2 . Ю )  х л  =  ­ e i / i   d2  f  KyW(y)dy.  o  6/2  (2.11)  Щ  = 6 ^ 1 % /   ?(y)*j(y)dy,  3*  140  J .  M A R Y N I A K ,  M .  L O S T A N  Siła  wymuszają ca  Fz(y,  t)  wystę pują ca  w  wyraż eniu  (2.5)  na  siłę  u o g ó l n i o n ą  Fj  m a  pos­ t a ć   (2.12)  Fz(y,  t)  =  ieuV(y)^­(«+A».)  =  jQU 2«y)­~«­  ±еи г 1(у )^Ф &К ,  przy  czym  iv  P o  podstawieniu  (2.12)  do  (2.5)  i  przekształceniach  otrzymano  (2.13)  Fj  =  Ejww+Ejit,  gdzie  6/2  (2.14)  EJw  =  l(y)0j(y)dy.  o  6/2  (2.15)  Er;  = e U ^ J  l(y)0)(y)dy.  o  Z a k ł a d a j ą c,  że  przed  z a k ł ó c e n i e m  =  0  i  uwzglę dniając  (2.15),  (2.14),  (2.13),  (2.11),  (2.10)  i  (2.9)  po  podstawieniu  do  (2.3)  i  (2.1)  otrzymano  u k ł a d  r ó w n a ń  r ó ż n i c z k o w y ch  zwyczajnych  drugiego  rzę du  ze  stałymi  w s p ó ł c z y n n i k a m i  л  SHEfilG  '  Г  • ' '  >Т ШЯ   mu­Xuu­Xww+X»­&­Xq­&­  £Xji£  =  0,  j=i  n  ­Zuu+mw­Zww+Z!fi­rnUi4­Zqb—  Zfit  =  0 ,  2.16)  я   ­Muu­Mń W­Mww+Jy&­Mq§­  £  Mjct  =  0 ,  j­l  n  2  (Ej't+Ejct+Ejm 2C­Ejww)  =  0 ,  gdzie  JV3 =  mgcosBu  Z 9  =  X^tgO,.  3.  R o z w i ą z a n ie równań  ruchu  i  badanie s t a t e c z n o ś ci  W  dalszych  r o z w a ż a n i a ch  u w z g l ę d n i o no  stopień  swobody  wynikają cy  z  o d k s z t a ł c a l ­ noś ci  gię tnej  skrzydeł —  I  p o s t a ć  gię tną  skrzydeł  szybowca.  U k ł a d  r ó w n a ń  (2.16)  prze­ k s z t a ł c o n o  do  postaci  bezwymiarowej  dzieląc  r ó w n a n i a  sił  przez  cUJS,  r ó w n a n i a  mo­ m e n t ó w  przez  QU2SIH  oraz  w p r o w a d z a j ą c  oznaczenia  przyję te  w  lotnictwie  [2,  3,  6,  11]:  i—  czas  aerodynamiczny,  /+0,163y 2 .  F u n k c j ę  ugię cia  skrzydła  odpowiadają cą  I  postaci  gię tnej  wyznaczono  na  podstawie  p r ó b  rezonansowych  [10]  wykonanych  zgodnie  z  [4,  8]  i  otrzymano  w  postaci  Ф1О )  =  ­ 0 , 2 1 7 + 0 , 0 2 6 8 j 2 ­ 0 , 0 0 0 0 9 8 1 / .  W  obliczeniach  zmieniano  kolejno:  czę stość  d r g a ń  własnych,  zapas  statecznoś ci  sta­ tycznej,  p r ę d k o ść  i  wysokość  lotu.  Pozwoliło  to  znaleźć  wpływ  powyż szych  czynników  na  stateczność  p o d ł u ż ną  szybowca.  Jednocześ nie  przeprowadzono  obliczenia  statecznoś ci  szybowca  sztywnego  i  p o r ó w n a n o  je  z  wynikami  obliczeń  dla  szybowca  o d k s z t a ł c a l n e g o .  P o  numerycznym  rozwią zaniu  m e t o d ą  Bairstowa  r ó w n a n i a  charakterystycznego  (3.3)  otrzymano  pierwiastki  w  postaci  (3.4),  sześć  p i e r w i a s t k ó w  ).%  dla  szybowca  o d k s z t a ł c a l ­ nego  i  cztery  pierwiastki  A*  dla  szybowca  sztywnego.  D l a  szybowca  sztywnego  współ­ czynniki  Bf  =  C f  =  £>?  =  Ef  =  F f  =  G\  =  0.  Pierwiastki  Aj i  ?.k  z  jednakowymi  indek­ sami  k,  odpowiadają  tym  samym  przypadkom  ruchu  szybowca  o d k s z t a ł c a l n e g o  i  sztyw­ nego.  Otrzymano  trzy  pary  p i e r w i a s t k ó w  zespolonych  sprzę ż onych  A? > 2 ,  A 3 > 4  i  Af, 6 ,  k t ó r e  charakteryzują  ruchy  okresowe  szybowca  o d k s z t a ł c a l n e g o  oraz  dwie  pary  p i e r w i a s t k ó w  zespolonych  A ] 2  i  A 3 4  dla  szybowca  sztywnego.  Pierwiastki  Af > 2  i  A 1 2  odpowiadają  głównie  szybkim  silnie  t ł u m i o n y m  oscylacjom  po­ chylają cym  z a c h o d z ą c ym  w o k ó ł  osi  poprzecznej  y.  Pierwiastki  ?ĄA  i  A 3 4  charakteryzują   okresowe  ruchy  fugoidalne  [2,  3]  słabo  t ł u m i o n e ,  zachodzą ce  na  kierunku  osi  p o d ł u ż n ej  x.  Trzecia  para  pierwiastków  A?> e  odpowiada  pionowym,  okresowym  przemieszczeniom  szybowca  w y w o ł a n y m  odkształcalnoś cią  gię tną  skrzydeł.  W P Ł Y W  O D K S Z T A Ł C A L N O Ś CI  G I Ę T N EJ  S K R Z Y D Ł A  143  N a  rysunkach  2­4  liniami  grubymi  naniesiono  zmian ę  p a r a m e t r ó w  odnoszą cych  się   do  szybowca  o d k s z t a ł c a l n e g o ,  a  linie  cienkie  dotyczą  szybowca  sztywnego.  Linie  cią głe  przedstawiają  zmiany  współczynników  t ł u m i e n i a  (f)  w  postaci  bezwymiarowej,  a  linie  przerywane,  zmiany  bezwymiarowych  czę stoś ci  oscylacji  (rj).  N a  rysunkach  2  i  3  przedstawiono  wpływ  p a r a m e t r ó w  konstrukcyjnych  na  czę stoś ci  oscylacji  i  współczynniki  tłumienia .  Z m i a n a  vg  charakteryzuje  wzrost  sztywnoś ci  gię tnej  skrzydeł  przy  nie  zmieniają cych  się  własnoś ciach  geometrycznych,  aerodynamicznych  i  tym  samym  rozkładzie  mas  (rys.  2).  N a  rys.  3 przedstawiono  wpływ  zmiany  zapasu  sta­ tecznoś ci  statycznej  przy  założ eniu  niezmiennej  sztywnoś ci  i  r o z k ł a d u  mas.  N a  zapas  02  0,1  ­0,005  ­Ц2  ­0,3  I  * 4  ­  У   У   У   • • ч Ь   ,41,2  I  / i  ±3,4  т е   Г   ­1  Н = 0т   ­ 2  Cz=0,2  V­4IJm/s  11,­0,14 ­ 2  Cz=0,2  V­4IJm/s  11,­0,14  A. ­ ­3  Ill  ­3  Rys.  2.  Zmiany  bezwymiarowych  w s p ó ł c z y n n i k ó w  t ł u m i e n i a  i  c z ę s t o ś ci  oscylacji  szybowca  w  funkcji  c z ę s t o ś ci  I  postaci  g i ę t n ej  s k r z y d ł a  dla  w y s o k o ś ci  Я = 0ш   144  J .  M A R Y N I A K ,  M .  L O S T A N  statecznoś ci  statycznej  [2,  3]  mają  wpływ  parametry  geometryczne  i  charakterystyka  aerodynamiczna  szybowca.  Wpływ  zmian  prę dkoś ci  lotu  na  czę stoś ci  oscylacji  i  tłumienie  przy  stałej  sztywnoś ci  i  rozkładzie  mas  przedstawiono  na  rys.  4.  W n i o s k i  wynikają ce  z  obliczeń  numerycznych  są  słuszne  dla  danego  szybowca  i  nie  wszystkie  m o g ą  być  u o g ó l n i o n e .  Szersze  uogólnienie  w n i o s k ó w  w y m a g a ł o b y  obliczeń   numerycznych  dla  szeregu  szybowców.  Przyję cie  do  obliczeń  tylko  pierwszej  postaci  gię tnej  jest  daleko  idą cym  uproszczeniem,  jednak  pozwala  z b a d a ć  wpływ  odkształcal­ noś ci  gię tnej  skrzydeł  na  stateczność  szybowca.  N a l e ż a ł o by  r o z p a t r z y ć  wię kszą  ilość   stopni  swobody  wynikają cych  z  o d k s z t a ł c a l n o ś c i:  skrzydeł,  usterzenia  i  k a d ł u b a .  N i e ­ 0,1  0,2  0,3  0,4  0,5  0.6  ft­i