Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS70\MTS70_t8z1_4_PDF\mts70_t8z2.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A ,  2,  8 (1970)  P O D S T A W O W E  T W I E R D Z E N I A  Z  Z A K R E S U  T E O R I I  D O S T O S O W Y W A N I A  S I Ę  K O N S T R U K C J I  S P R Ę Ż Y S T O ­ P L A S T Y C Z N Y CH  D O  O B C I Ą Ż EŃ  Z M I E N N Y C H  W  C Z A S I E  JAN  А.  К б N I  G  (WARSZAWA)  I.  W s t ę p  W  projektowaniu  i  obliczaniu  konstrukcji  od  szeregu  lat  uwzglę dniane  są  o d k s z t a ł ­ cenia  plastyczne.  W  szczególnoś ci  teoria  noś noś ci  granicznej  znalazł a  j u ż  dosyć  szerokie  zastosowanie  praktyczne.  J e d n a k ż e  j u ż  w k o ń cu  lat dwudziestych  GRUNING  [ 1 ] i BLEICH [2]  zwrócili  u w a g ę  na  niebezpieczeń stwo  w  postaci  moż liwoś ci  zniszczenia  konstrukcji  p o d  d z i a ł a n i e m  obcią ż eń  cyklicznych,  czy  to w  wyniku  stopniowo  narastają cych  (choć  ogra­ niczonych  na  k a ż d ym  cyklu)  p r z y r o s t ó w  odkształceń  plastycznych,  czy  też  wskutek  z m ę ­ czenia  plastycznego  przy  kolejno  wystę pują cych  odkształceniach  plastycznych  przeciw­ nych  z n a k ó w ,  pomimo  że stan  graniczny  nie został  jeszcze  osią gnię ty.  MELAN  [3]  ( 1 9 3 8 )  i KOITER  [ 5 ,  6 ]  ( 1 9 5 6 )  podali  twierdzenia  podstawowe  dotyczą ce  m o ż ­ liwoś ci  zniszczenia  powyż szego  typu  przed  osią gnię ciem  stanu  granicznego.  PRAGER [7]  i  ROZENBLUM  [ 8 , 9 ] uogólnili  te twierdzenia  na przypadek  obcią ż eń  termicznych.  W pracy  [ 1 7 ]  rozpatrzono  twierdzenie  M e l a n a ,  w przypadku  gdy z a r ó w n o  warunek  plastycznoś ci,  jak  i  m o d u ł y  sprę ż ystoś ci  m a t e r i a ł u  są  zależ ne  od  temperatury.  Poję cie  dostosowywania  się,  tj. powstawania  w ciele  s a m o n a p r ę ż eń  pozwalają cych  mu r e a g o w a ć  na n a s t ę p ne  cykle  obcią ż eń  j u ż  w  s p o s ó b  czysto  sprę ż ysty,  ma sens  również  dla ciał  sprę ż ysto­plastycznych  ze  wzmocnieniem.  D o w ó d  odpowiednio  zmodyfikowanego  twierdzenia  p o d a ł  MELAN  [ 4 ]  dla  wzmocnienia  translacyjncgo.  Bardziej  o g ó l n e  typy  wzmocnienia  były  badane,  ze sta­ nowiska  teorii  dostosowania,  w pracy  [ 1 9 ] .  Bezpoś rednie  wykorzystanie  twierdzeń  o  dostosowaniu  do  bardziej  złoż onych  proble­ m ó w  napotyka  w praktyce  znaczne  t r u d n o ś ci  matematyczne,  podobnie  jak w  przypadku  t r ó j w y m i a r o w y c h  p r o b l e m ó w  teorii  sprę ż ystoś ci  i  plastycznoś ci.  D l a  konstrukcji,  k t ó r y c h  jeden  lub dwa wymiary  są  m a ł e  w  p o r ó w n a n i u  z  p o z o s t a ł y m i  (prę ty,  p o w ł o k i ) ,  buduje  się  teorie  spełniają ce  podstawowe  zależ noś ci  o ś r o d ka  cią głego  w  s p o s ó b  przybliż ony.  Pozwala  to  znacznie  uproś cić  rozpatrywane  problemy  kosztem  stosunkowo  niewielkich  n i e d o k ł a d n o ś c i.  W  takich  przybliż onych  teoriach  operują cych  wielkoś ciami  u o g ó l n i o n y m i  rozpatru­ jemy  konstrukcję  nie jako  zbiór  p u n k t ó w ,  lecz  j a k o  u k ł a d  jej  p o d z b i o r ó w  nazywanych  przekrojami.  Z a siły  u o g ó l n i o n e  bierze  się przy  tym siły  i  momenty  wzajemnego  oddzia­ ł y w a n i a  tych  p r z e k r o j ó w  lub też  wielkoś ci  do nich  proporcjonalne.  150  J .  A .  K O N i G  W  pracy  [ 1 6 ]  pokazano,  jak  m o ż na  stosować  klasyczne  twierdzenie  MELANA  [3] o  dos­ tosowaniu,  w  przypadku  gdy  teoria  opisują ca  stan  sił  wewnę trznych  i  deformacji  rozpa­ trywanej  konstrukcji  w y r a ż o na  jest  w  u o g ó l n i o n y c h  siłach  i  u o g ó l n i o n y c h  odkształceniach,  k t ó r e  to  wielkoś ci  okreś lone  są  nie  dla  p u n k t ó w ,  lecz  dla  p r z e k r o j ó w  konstrukcji.  Zasto­ sowanie  ogólnych  w y n i k ó w  pracy  [ 1 6 ] do  konstrukcji  ramowych,  ł u k o w y c h  oraz  dla  p ł y t  przedstawiono  w  pracach  [ 1 8 i  2 0 ] .  Poję cia  u o g ó l n i o n y c h  odkształceń ,  tj.  wielkoś ci  qr  wprowadza  się  w  ten  s p o s ó b ,  że  w  ramach  ś cisłoś ci  rozpatrywanej  teorii  zachodzi  r ó w n o ś ć   m  (1.1)  faijeijdV  =  f  yQrqrda,  gdzie  V  oznacza  obję tość  rozpatrywanej  konstrukcji, с т ,7 —  tensor  n a p r ę ż e n i a,  Etj  —  tensor  odkształcenia,  Qr  —  siły  u o g ó l n i o n e ,  m  —  ich  liczbę,  a  — pole  wszystkich  p r z e k r o j ó w  danej  konstrukcji.  Istnieje  naturalnie  (por.  [ 1 6 ] )  jednoznacznie  okreś lone  przekształcenie  pola  n a p r ę ż eń   ffyjjjc),  x  e  i,  gdzie  |  e  a  jest  rozpatrywanym  przekrojem  konstrukcji,  w  siły  u o g ó l n i o n e  ( 1 . 2 )  QX^)  =  Фг[<У ц {х )1  r =  1 , 2 ,  . . . , m .  Operatory  Фг  są  liniowe  '  Ф М ;+ги)  =  Фг(р ц )+Фг(т ц ).  (  }  Ф ,Щ )  =  Я Фг ( а 0 ) ,  gdzie  A jest  d o w o l n ą  liczbą  rzeczywistą.  Przekształcenie  odwrotne  nie  jest,  w  ogólnoś ci,  jednoznaczne,  j e d n a k ż e  w  obrę bie  znanych  teorii  operują cych  wielkoś ciami  u o g ó l n i o n y m i  (prę ty  zginane,  płyty,  p o w ł o k i )  otrzymuje  się jednoznaczne  o d w r ó c e n i e  zwią zku  ( 1 . 2 )  dla  przypadku  czysto  sprę ż ystego  zachowania  się  m a t e r i a ł u  przekroju.  W y n i k a  to  z  założ eń   kinematycznych  o d n o ś n ie  moż liwych  deformacji  przekroju.  Zatem  m  (1 ­ 4 )  Ц (Х )  =  £  QriWjix),  M a s * ;  r=­­l  gdzie  afj(x)  jest  sprę ż ystym  r o z k ł a d e m  n a p r ę ż eń  w  przekroju,  w y w o ł a n y m  j e d n o s t k o w ą   siłą  u o g ó l n i o n ą  Qr  =  1,  podczas  gdy  p o z o s t a ł e  siły  u o g ó l n i o n e  r ó w n e  są  zeru,  zaś  tfj  oznacza  sprę ż ystą  czę ść  tensora  n a p r ę ż e n i a.  Wobec  tego,  stan  n a p r ę ż e n ia  w  dowolnym  punkcie  przekroju  m o ż e  być  przedstawiony  w  postaci  m  (1.5)  Gij(x)  =  af,­(x)+%(x)  =  y^Qralj+Sjj,  r = 1  gdzie  0r(sjj)  =  0 ,  r  =  1 , 2 , . . . ,  m.  Jeż eli  dla  danego  typu  konstrukcji  uż yta  teoria  w  wiel­ koś ciach  u o g ó l n i o n y c h  jest  wystarczają co  d o k ł a d n a ,  to  w  ramach  jej  ś cisłoś ci  zbiór  do­ wolnie  wzię tych  pól  n a p r ę ż eń  Sjj(x) dla  poszczególnych  p r z e k r o j ó w  f  m o ż e  być  u w a ż a ny  za  pole  n a p r ę ż eń  resztkowych,  tj.  n a p r ę ż eń  spełniają cych  warunki  r ó w n o w a g i  wewnę trz­ nej  i  pozostają cych  w  r ó w n a w a d z e  z  zerowymi  obcią ż eniami  z e w n ę t r z n y m i.  P O D S T A W O W E  T W I E R D Z E N I A  D O S T O S O W Y W A N I A  SIĘ  K O N S T R U K C J I  151  W y k o n u j ą c  operację  (1.2)  na  r ó w n a n i a c h  r ó w n o w a g i  (lub  wprost  rozpatrują c  warunki  r ó w n o w a g i  p r z e k r o j ó w ) ,  otrzymujemy  r ó w n a n i a  r ó w n o w a g i  zapisane  w  siłach  u o g ó l ­ nionych  (1.6)  2 ^ + ^ ­ < ' '  к  =  \  ,2,  ...,  s,  gdzie  2£kr  są  liniowymi  operatorami  róż niczkowymi,  a  Nk  pewnymi  wielkoś ciami  okreś lo­ nymi  przez  zewnę trzne  siły  powierzchniowe  i  masowe.  K a ż de  pole  Q°(S),  f e e  spełniają ce  r ó w n a n i a  (1.6)  dla  Nk  =  0  bę dziemy,  przez  ana­ logię,  n a z y w a ć  resztkowym  polem  sił  u o g ó l n i o n y c h .  W  pracy  [16]  wprowadzono,  dla  danego  przekroju,  poję cie  powierzchni  sprę ż ystej  jako  brzegu  obszaru  w  przestrzeni  sił  u o g ó l n i o n y c h ,  w  obrę bie  k t ó r e g o  ż a d en  punkt  przekroju  nie  doznaje  uplastycznienia.  Oznacza  to,  że  powierzchnia  sprę ż ysta  dla  m a t e r i a ł u  sprę ż ysto­plastycznego  o k r e ś l o na  jest,  wobec  (1.5),  warunkiem  ( i  .7)  91  'Z  e r « u r w + % w ]  =  к   r = l  w  pewnym  punkcie  przekroju,  a  w  p o z o s t a ł y c h    =  к  tylko  na  brzegu.  Z  tego  faktu  wypukłoś ci  wypływa  szereg  waż nych  własnoś ci  powierzchni  sprę ż ystych.  Ze  wzoru  (1.7)  widać,  że  powierzchnia  sprę ż ysta  o k r e ś l o na  jest  jednoznacznie  przez  podanie  zwią zanych  z  nią  n a p r ę ż eń  s^x).  Powierzchnię  sprę ż ystą  dla  Sy(x)  =  0,  x  e  f  n a z y w a ć  bę dziemy  dalej  począ tkową  powierzchnią  sprę ż ystą.  W y p u k ł o ś ć  warunku  plastycznoś ci  m o ż na  analitycznie  zapisać  w  s p o s ó b  nastę pują cy,  jeż eli  )77(A­),  (1­9)  F f ( x , 0  =  ^ r ( < № ),  to  j a k o  siły  u o g ó l n i o n e  wziąć  m o ż na  parametry  pt,p2,  ...,pm  (por.  [11]),  przy  czym  Tt  oznaczają  siły  powierzchniowe,  Ft  —  obję toś ciowe.  152  J .  A .  K Ó N I G  2.  Twierdzenia o dostosowaniu  w y r a ż o ne  w w i e l k o ś c i a ch  u o g ó l n i o n y c h  Podstawowymi  twierdzeniami  w teorii  dostosowywania  się  o ś r o d ka  idealnie  sprę ż ysto­ plastycznego  do obcią ż eń  zmieniają cych  się dowolnie  w danych  granicach  są twierdzenia  M e l a n a  i  K o i t e r a  (por. np. [6]) przytoczone  p o n i ż e j.  Twierdzenia  te  słuszne  są  ogólnie  pod  warunkiem,  że funkcje  opisują ce  stan  n a p r ę ż e n ia  i  odkształcenia  nie zawierają  osob­ liwoś ci  oraz  że  obję tość  rozpatrywanej  konstrukcji  jest  s k o ń c z o n a.  Zatem  przypadki  koncentracji  n a p r ę ż e ń,  n a r o ż a  lub  lokalne  plastyczne  płynię cie  muszą  być  wykluczone.  Twierdzenie  Melana  (1938).  D l a  dostosowania  ciała  potrzeba  i  wystarcza,  aby  istniało  niezależ ne  od czasu  pole  n a p r ę ż eń  resztkowych  Qij(x)  takie,  by dla  dowolnych  zmian ob­ cią ż eń  w danych  granicach  zachodziła  n i e r ó w n o ś ć   (2.1)  ^j(x,t)+Qij(x)] J  }  DCeh)dVdt,  to  V  h  У   gdzie Dc jest  szybkoś cią  pracy  sił zewnę trznych,  D —  dysypacją  mocy  odkształceń  plastycz­ nych,  przy  czym  przez  c y k l  kinematycznie  dopuszczalnych  o d k s z t a ł c e ń  plastycznych ro­ zumie  się  cykl  taki, że  (2.3)  е .и = ­^(Auij  + Aujj);  Au,  oraz  że  pole  przemieszczeń  u, spełnia  wymagane  warunki  brzegowe.  W y r a ż e n ie  tego  twier­ dzenia  w wiekoś ciach  u o g ó l n i o n y c h  jest  natychmiastowe.  Twierdzenie  Koitera  (dla konstrukcji).  D l a zaistnienia  niebezpieczeń stwa  zniszczenia  przez  niedostosowanie  potrzeba  i  wystarcza,  aby istniał  c y k l  kinematycznie  dopuszczalnych  odkształceń  u o g ó l n i o n y c h  gr(^,t)  w  przedziale  czasu  (r 0 , t0+T),  taki,  aby  zachodziła  n i e r ó w n o ś ć   t0+T  /0 +  Г   (2.4)  f  f  Dedadt  ^  j  f  Qr4rdadt.  to  a  to a  D l a  dowodu  wystarczy  wziąć  pod  uwagę  definicję  odkształceń  u o g ó l n i o n y c h  d a n ą  wzorem  (1.1).  Zastosowanie  tak u o g ó l n i o n e g o  twierdzenia  K o i t e r a  znaleźć  m o ż na  w pracach  [13,  14].  Natomiast  przy  f o r m u ł o w a n i u  u o g ó l n i e n i a  twierdzenia  M e l a n a  skorzystamy  z wprowa­ dzonej  definicji  powierzchni  sprę ż ystych.  Twierdzenie  Melana  (dla  konstrukcji).  D l a  dostosowania  danej  konstrukcji  potrzeba  i  wystarcza,  aby istniały  stałe  w czasie:  pole  resztkowych  sił  u o g ó l n i o n y c h  j2°(f)  oraz dla  j  it,dt  to  P O D S T A W O W E  T W I E R D Z E N I A  D O S T O S O W Y W A N I A  SIĘ  K O N S T R U K C J I  153  k a ż d e go  przekroju  f  konstrukcji,  odpowiednia  powierzchnia  sprę ż ysta  Są , takie  że  dla  obcią ż eń  zewnę trznych  zmieniają cych  się  w przepisanych  granicach  pole  sił wewnę trznych  (2.5)  G f t f , O + £ ( 0  mieś ciło  się dla  k a ż d e go  przekroju  f  w  odpowiedniej  powierzchni  sprę ż ystej  Sg.  Tutaj  Qer  oznacza  pole  sił  u o g ó l n i o n y c h  w  identycznej  geometrycznie  lecz  idealnie  sprę ż ystej  konstrukcji.  Dowiedziemy,  że  w  granicach  ś cisłoś ci  teorii  operują cej  wielkoś ciami  u o g ó l n i o n y m i  twierdzenie  to jest  r ó w n o w a ż ne  twierdzeniu  Melana.  D  o w ó d:  a)  Jeż eli  zachodzi  twierdzenie  Melana ,  to  istnieje  r o z k ł a d  n a p r ę ż eń  resztko­ wych  Q U(X)  taki,  że  spełnione  jest  (2.1).  Te  n a p r ę ż e n ia  resztkowe  m o ż e my  p r z e d s t a w i ć   w  postaci  (2.6)  Qij(x)  =  Qtj(x)+Qtj(x),   x  6  £.  gdzie  Фг(си(х ))  =  0. A  zatem  według  (1.7) r o z k ł a d  g y ( x )  definiuje  pewną  p o w i e r z c h n i ę   sprę ż ystą  S j .  Pole  sił u o g ó l n i o n y c h  № )  =  #r((?y(*))  =  Ф Л е Ы х ))  spełnia  warunki  r ó w n o w a g i  (1.6)  dla  Nk  =  0, jest  zatem  resztkowym  polem  sił u o g ó l n i o ­ nych.  N i e r ó w n o ś ć  (2.1)  stwierdza,  że  [wobec  (1.7)]  stan  Qer+Q°,  gdzie —  Ф ,(<Х у ),  znaj­ duje  się  wewną trz  powierzchni  sprę ż ystej  S j , jak  to jest  wymagane  przez  u o g ó l n i o n e  twier­ dzenie  Melana.  b)  Jeż eli  prawdziwe  jest  twierdzenie  u o g ó l n i o n e ,  to  istnieje  [wobec  (1.7)]  pewien  stan  Sjj(x)  taki, że  m  (2.7)  Ф [£  (Ql+QSab+Sij]  <  к   r—l  dla  k a ż d e go  x e f  i dla k a ż d e go  przekroju  £ e a, przy  czym  0r(stJ) =  0.  W  ramach  do­ k ł a d n o ś ci  teorii  w wielkoś ciach  u o g ó l n i o n y c h  pole  %(x)  jest  polem  n a p r ę ż eń  resztkowych,  m  z a ś g ?i  =  ­ 2  Qara"ij  stanowi  pole  r ó w n i e ż  resztkowe,  gdyż  spełnia  ono  r ó w n a n i a  (1.6).  r =  l  Zatem  suma  Sy+eSj  stanowi  stan  n a p r ę ż eń  resztkowych,  jak  tego  wymaga  twierdzenie  M e l a n a .  Teraz  jasny  staje  się  s p o s ó b  stosowania  tak u o g ó l n i o n e g o  twierdzenia  Melana.  M i a n o ­ wicie  zamiast  poszukiwania  pola  s a m o n a p r ę ż eń  p , 7  =  g y + g y  wymaganego  wzorem  (2.1),  szukamy  pola  resztkowych  sił u o g ó l n i o n y c h  Q°r dla otrzymania  członu  Q1J  (co odpowiada  poszukiwaniu  rozwią zania  r ó w n a n i a  (1.6) dla Nk  =  0)  oraz  dobieramy  odpowiednie po­ wierzchnie  sprę ż yste  (co  odpowiada  dobieraniu  odpowiedniego  członu  gy).  Zawieranie  się  sumy  (2.5) w  powierzchni  sprę ż ystej  Ss  dla  k a ż d e go  przekroju  f  daje  nam  wtedy  spełnienie  warunku  (2.1) wymaganego  przez  twierdzenie  M e l a n a .  Metody  poszukiwania  resztkowych  sił  u o g ó l n i o n y c h  zależ eć  bę dą  od  formy  r ó w n a ń   r ó w n o w a g i  w  konkretnym  rozpatrywanym  problemie  i  trudno  tu  o  jakie ś  u o g ó l n i e n i a .  Natomiast  w y p u k ł o ś ć  warunku  plastycznoś ci  oraz  ewentualnie jego  symetria  wzglę dem  znaku  n a p r ę ż eń  pozwalają  wysnuć  pewne  ogólne  własnoś ci  powierzchni  sprę ż ystych,  4  Mechanika  teoretyczna  154  J .  A .  KÓNIG  k t ó r e  mogą  być  pomocne  przy  rozwią zywaniu  p r o b l e m ó w  szczegółowych.  Odpowiednie  twierdzenia  podano  w  rozdziale  3 ,  a  ich  zastosowania  do  obliczeń  praktycznych  znaleźć   m o ż na  w  pracach  [18,  2 0 ] .  3.  Twierdzenia  d o t y c z ą ce  powierzchni  s p r ę ż y s t y ch  Powierzchnie  sprę ż yste  posiadają  szereg  własnoś ci,  z n a j o m o ś ć  k t ó r y c h  jest  pomocna  przy  rozwią zywaniu  z a g a d n i e ń  szczegółowych.  N i e k t ó r e  z  nich  przedstawione  zostaną   p o n i ż e j.  Twierdzenie  1.  Powierzchnia  sprę ż ysta  ogranicza  obszar  wypukły.  D o w ó d :  niech  P x  =  (Q\,  Q\,...,  Ql);  P2  =  {Q\,  Q\,  • • • ,  б , 2.,)  oznaczają  dwa  punkty  na  brzegu  tego  obszaru.  Wtedy,  w  myśl  (1.7)  m  m  [A Х ­ Р г Ч у ­ т ­ а ­ Д)  2 , ^ 2 ^ + Н + ( 1 ­ Я ) 4]  =  Ą ^P^j+sl]^k.  Twierdzenie  3.  N i e c h  obszary  A2  leżą  odpowiednio  w e w n ą t rz  powierzchni  sprę­ ż ystych  Si,  S2  i  niech  przystaje  do  Л 2  poprzez  ruch  sztywny  bez  obrotu.  Wtedy  obszar  A  =  AAi  +  (l  — X)A2,  gdzie  0  <  Я  <  1  jest  stałą,  przystają cy  w  ten  sam  s p o s ó b  do  Ax  i  A2  i  p o ł o ż o ny  mię dzy  n i m i ,  leży  wewną trz  pewnej  powierzchni  sprę ż ystej  S.  D o w ó d  wynika  z  twierdzenia  2 , jeż eli  p o ł o ż yć  Px  e  A 1 ;  P 2  e  Л 2 .  Wtedy  obszar  5 Д  po­ krywa  się  z  obszarem , 4 .  P O D S T A W O W E  T W I E R D Z E N I A  D O S T O S O W Y W A N I A  SIĘ  K O N S T R U K C J I  155  Twierdzenie  4.  Jeż eli  warunek  plastycznoś ci  <р (ри)  =  к  spełnia  (1.8)  oraz  funkcja  (p(Pij)  jest  parzysta  wzglę dem  n a p r ę ż eń   (3.1)  4>(.­',); P2  =  (Q\,Q\,  Q2J  oznaczają  dwa  punkty  począ tkowej  powierzchni  sprę ż ystej  leż ą ce  na  tej  samej  prostej  przechodzą cej  przez  po­ czą tek  u k ł a d u .  Wtedy  wobec  (3.1)  musi  być  Q2r  =  — g j ,  r  =  1 , 2 ,  W  k a ż d ym  punkcie  r o z w a ż a n e go  przekroju  mamy  m  m  (3.2)  A Z  e t a ]  =  ч >  L T  # < J  <  * .  przy  czym  istnieje  punkt  x0  e  £,  dla  k t ó r e g o  zachodzi  r ó w n o ś ć.  Rozpatrzmy  teraz  taki  sam  obszar  przesunię ty  o  wektor  Q°r  i  niech  Ą )(x)  oznacza  pole  n a p r ę ż eń  okreś lają ce  według  (1.7)  j a k ą ś  d o w o l n ą  powierzchnię  sprę ż ystą.  Niech  R\  =  Qi+Qr,  R­l  =  Q2r +  Q°r­  Jeż eli  co  najmniej  jeden  z  tych  p u n k t ó w  R\  R 2,  powiedzmy  Rl,  leży  wewną trz  tej  powierzchni  sprę ż ystej,  a  drugi  wewną trz  niej  lub  na  brzegu,  to  wtedy  dla  k a ż d e go  x  e  ij  musi,  wobec  (1.8),  zachodzi ć   m  m  (3.3)  ę [£  (Qł+Q№ £x)+sl}(x)]  <  к ;  (°y)  =  C>(­Oy)  =  к ,  gdzie  atJ  ­  J£  Qra r,j(x).  r=l  W a r u n k i  (3.3)  oznaczają,  że  (3.5)  ф ц +й ц )  <  к ,  gdzie  a 0 ­ =  ^ е ? < ; Ы + ^ ( ^ о ),  r—1  ф ( — t f y + « y)  <  fc»  tj.  у Щ —«y)  <  A:.  Z  d w ó c h  w a r u n k ó w  (3.5)  wynika  dla  Я =  1/2,  że  ? > | д O t y + e f yH  у (f f y — « y ) l  =  K)  <  к ,  co  wraz  z  (3.4)  stanowi  sprzecznoś ć.  Zatem  oba  punkty  R\  R2  muszą  leż eć  na  brzegu  lub  na  zewną trz  tej  samej  powierzchni  sprę ż ystej,  a  to  dowodzi  j u ż  twierdzenia.  Twierdzenie  5.  Jeż eli  program  obcią ż enia  okre ś l ony  jest  przez  u k ł a d  nierównoś ci  (3.6)  ­oCiPl  <  pi  <  p!,  p1>0,  «i>—  1,  i=  1 , 2 ,  m,  gdzie  pi  oznaczają  współczynniki  obcią ż enia  j a k  we  wzorach  (1.9),  to  wtedy  obszar  do­ stosowania  w  przestrzeni  w s p ó ł c z y n n i k ó w  p]  jest  wypukły.  4*  156  J .  A .  KONIG  D o w ó d :  jeż eli  punkty  P1  =  {p\,p\,  P2  =  O J ' , К .  ...,psń )  należą  do  ob­ szaru  dostosowania,  tzn.  dana  konstrukcja  dostosowuje  się  do  programu  ­с е я ?