Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS70\MTS70_t8z1_4_PDF\mts70_t8z2.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  2,  8  (1970»  P E W N E  P R O B L E M Y  O P T Y M A L N E G O  KSZTAŁTOWANIA  PRĘ TA  Ś CISKANEGO  SIŁĄ   SKIEROWANĄ  DO  BIEGUNA  ANTONI  G A J E W S K I  (KRAKÓW)  1.  W s t ę p  Niniejsza  praca  zawiera  rozwią zania  d w ó c h  z a g a d n i e ń :  1)  optymalnego  parametrycz­ nego  k s z t a ł t o w a n i a  p r ę t ów  sprę ż ystych  (o  o k r e ś l o n ym  sposobie  zmiany przekroju  poprzecz­ nego)  ś ciskanych  siłą  skierowaną  do  bieguna,  2)  optymalnego  wariacyjnego  k s z t a ł t o w a n i a  p r ę t ów  ś ciskanych  siłą  skierowaną  do  bieguna,  w  przypadku  gdy  znajdują  się  one  w  sprę­ ż ysto­plastycznym  zakresie  pracy.  Stosowanie  optymalizacji  parametrycznej  m o ż e  być  podyktowane  wzglę dami  techno­ logicznymi  (łatwoś cią  wykonania).  Poszukujemy  tu  takiej  wartoś ci  pewnego  parametru  (na  przykład  ką ta  wierzchołkowego  s t o ż k a ),  wyróż niają cego  kształt  p r ę ta  s p o ś r ód  pewnej  klasy  p r ę t ów  tak,  aby  o t r z y m a ć  najwię kszy  zysk  na  cię ż arze  (obję toś ci),  wynikają cy  z  za­ stą pienia  p r ę ta  pryzmatycznego  —  optymalnym,  p r z e n o s z ą c ym  tę  samą  siłę  krytyczną.  K s z t a ł t  optymalnego  p r ę ta  s t o ż k o w e g o,  ś ciskanego  osiowo,  został  podany  przez  Ż YCZ­ KOWSKIEGO  [10]  dla  zakresu  sprę ż ystego  i  sprę ż ysto­plastycznego,  a  niekonserwatywne  zagadnienie  optymalizacji  p r ę t ów  stoż kowych  ś ciskanych  siłą  podś ledzą cą  jest  rozwią zane  w  pracy  GAJEWSKIEGO [2].  Sama  metoda  k s z t a ł t o w a n i a  parametrycznego,  w  zastosowaniu  do  róż nych  p r o b l e m ó w ,  o m ó w i o n a jest  szerzej  w pracach  KRZYSIA i Ż YCZKOWSKIEGO [5, 6],  a  absolutnie  optymalne  (w  sensie  rachunku  wariacyjnego)  kształty  p r ę t ów  sprę ż ystych,  jednorodnych  i  niejednorodnych,  ś ciskanych  siłą  skierowaną  do  bieguna,  podano  w  pracy  GAJEWSKIEGO  i  Ż YCZKOWSKIEGO [3].  W  pracy  tej  o m ó w i o n o  szerzej  literaturę  odnoszą cą   się  do  p r o b l e m ó w  optymalizacji  p r ę t ów  ś ciskanych.  D r u g i  problem  należy  do  z a g a d n i e ń  optymalizacji  absolutnej,  przeprowadzanej  me­ todami  rachunku  wariacyjnego,  a  polegają cej  na  poszukiwaniu  p r ę ta  o  najmniejszej  obję­ toś ci,  przenoszą cego  d a n ą  siłę  krytyczną.  Poszukujemy  tu  zatem  minimum  funkcjonału —  obję toś ci  p r ę t a,  przy  dodatkowym  warunku  w  postaci  r ó w n a n i a  r ó ż n i c z k o w e go  ugię tej  osi  p r ę ta  ś ciskanego.  T a k i  s p o s ó b  p o s t ę p o w a n ia  zastosowano  w  pracach  CZENCOWA [1],  GAJEWSKIEGO i Ż YCZKOWSKIEGO [3] i i n n y c h ­ d o  optymalizacji  kształtu  p r ę t ów  sprę ż ystych,  a  także  w  pracy  KRZYSIA [6]  do  optymalizacji utwierdzonego  p r ę ta  cienkoś ciennego  o  pro­ filu  z a m k n i ę t y m,  w  sprę ż ysto­plastycznym  zakresie  pracy.  D o  rozwią zania  powyż szych  z a g a d n i e ń  wystarczają ce  jest  stosowanie  statycznego  kry­ terium  statecznoś ci.  160  A .  G A J E W S K I  2.  Optymalne  k s z t a ł t o w a n i e  parametryczne  2.1.  S f o r m u ł o w a n i e  zagadnienia.  Wspornikowy  p r ę t  przedstawiony  na  rys.  1  jest  ob­ cią ż ony  siłą  P,  o  kierunku  zmieniają cym  się  podczas  wyboczenia,  lecz  skierowaną  do  sta­ łego  punktu  A  —  bieguna.  Punkt  ten  jest  p o ł o ż o ny  na  osi  n i e o d k s z t a ł c o n e g o  p r ę ta  w  od­ ległoś ci  a  od  punktu  utwierdzenia,  przy  czym  odległość  ta  jest  liczona  jako  dodatnia,  gdy  A  znajduje  się  poniż ej  utwierdzenia.  W  tej  czę ś ci  pracy  z a k ł a d a m y ,  że  p r ę t  jest  sprę ż ysty  i  jednorodny,  o  module  Y o u n g a  E0,  a  moment  bezwładnoś ci  jego  przekroju  poprzecznego  zmienia  się  w e d ł u g  wzoru  (2.1)  J(x)  =  У 0 ( 1 ­EX)"  =  Ą g(x),  g(xj  =  (l­exf.  J0  jest  momentem  bezwładnoś ci  przekroju  utwierdzonego  (dla  x  =  0),  e jest  parametrem  c h a r a k t e r y z u j ą c ym  zbież ność  p r ę t a,  x  =  Ł//  jest  zmienną  bezwymiarową.  Dowolny  pa­ rametr  Ł  m o ż e  się  zmieniać  w  przedziale  (—co,  + 1 ) .  Zadaniem  naszym  jest  znalezienie  IP Wl w) f > W A 0 v f > W A 0 Rys.  1  takiej  wartoś ci  parametru  e,  dla  k t ó r e j  obję tość  p r ę ta  jest  najmniejsza  przy  danej  sile  kry­ tycznej  powodują cej  u t r a t ę  statecznoś ci.  N a s t ę p u je  tu  utrata  statecznoś ci  przez  wybocze­ nie  i  statyczne  kryterium  statecznoś ci  jest  wystarczają ce  do  rozwią zania  zagadnienia.  Skorzystamy  zatem  ze  znanego  r ó w n a n i a  l i n i i  ugię cia  badanego  p r ę ta  (2.2)  [ ( 1 ­ е х ) "Л "+ # >"  =  0 ,  w  k t ó r y m  przyję to  oznaczenia:  у  ==  w/l,  fi  =  PI2  /EJ0,  gdzie  w jest  ugię ciem  p r ę ta  w  od­ ległoś ci  I  od  p o c z ą t ku  u k ł a d u  w s p ó ł r z ę d n y c h.  R ó w n a n i a  (2.2)  należy  uzupełnić  warun­ kami  brzegowymi  [3]  у ф )  =  0 ,  =  o .  С2­3)  r  /  n  / ( o ) = o ,  [ ( g / o ' + ^ y ­ ^ j j ^ ^ o ;  P E W N E  P R O B L E M Y  O P T Y M A L N E G O  K S Z T A Ł T O W A N I A  P R Ę TA  161  Wprowadzony  tu bezwymiarowy  parametr  (2.4)  a =  j  okreś la  położ enie  bieguna,  do k t ó r e g o  z w r ó c o n a  jest  siła.  Całkując  dwukrotnie  r ó w n a n i e  róż niczkowe  (2.2)  otrzymujemy  (2.5)  (l­е х У у ''+в у  =  C, +  C2x,  gdzie  Ci i C2 są dowolnymi  stałymi  c a ł k o w a n i a .  Wprowadzamy  nastę pnie  nową  zmienną   zależ ną   (2.6)  v(x)  = y(x)­jj­­  Q­x.  Z  r ó w n a n i a  (2.5)  i z w a r u n k ó w  brzegowych  (2.3)  otrzymujemy  (2.7)  (l­exyv"+pv  =  0,  (2.8)  v(l)  = 0,  ©(0)­oro'(0)  =  0.  C a ł k a  o g ó l n a  r ó w n a n i a  (2.7)  jest  znana  dla  dowolnych  wartoś ci  w y k ł a d n i k a  n i  w y r a ż a  się  przez  funkcje  Bessela  pierwszego  i drugiego  rodzaju,  rzę du  v, Jv  i Yv,  2­n­l  (2.9)  v(x) =  (l­eXy' 2Zv^­^LcL­ax)  "  1 ,  Z v ( x )  =  AiJv+A2Yv,  v =  ~  ,  n Ф  2.  Z — n  D l a  n =  2 i /; =  4  rozwią zania  r ó w n a n i a  (2.7)  wyraż ają  się  przez  funkcje  elementarne  i  są podane  dalej.  Stałe  c a ł k o w a n i a  Ax  i  A2  należy  wyznaczyć  korzystając  z  w a r u n k ó w  brzegowych  (2.8).  Podstawiając  (2.9)  do  (2.8) otrzymujemy  u k ł a d  d w ó c h  jednorodnych  r ó w n a ń  liniowych  na  stałe  A{  i  A2,  k t ó r y  ma niezerowe  rozwią zanie  tylko  wtedy, gdy  wyznacznik  tego  u k ł a d u  jest  r ó w n y  zeru.  Warunek  ten pozwala  obliczyć  siłę  krytyczną  fi  w  zależ noś ci  od p a r a m e t r ó w  e i a z nastę pują cego  r ó w n a n i a  u w i k ł a n e g o  (2.10)  F(fi,  e, a) =  ( l +  [ Л ( 0 ) П ( 1) ­ Л 0) П ( 0 ) ]­ ­ а [ У ; ( 0 ) 7у ( 1 ) ­ Л ( 1 ) П ( 0 ) ]  =  0.  W  r ó w n a n i u  tym  podobnie  dla  x  = 0.  2 . 2 .  Op(ymali/.acja  parametryczna. Obliczenia  przebiegają  tu  analogicznie  do  przedstawionych  w  pracy  [2];  przyjmujemy,  że powierzchnia  przekroju  poprzecznego  jest  zwią zana  z  mo­ mentem  bezwładnoś ci  wzorem  (2.11)  A(x) =  A0g"(x),  162  A .  G A J E W S K I  w  k t ó r y m  A0  oznacza  pole  powierzchni  przekroju  utwierdzonego,  a  w y k ł a d n i k  x  charak­ teryzuje  kształt  p r ę ta  i  s p o s ó b  wyboczenia.  G d y  x  =  1,  pręt  jest  płasko­zbież ny  i  wybo­ czenie  nastę puje  z  płaszczyzny  zbież noś ci,  gdy  x  =  0,5  —  p r ę t  jest  wszechstronnie  rów­ nomiernie  zbież ny  ( o s t r o s ł u p  lub  stoż ek),  wreszcie  gdy  x  =  1/3  —  pręt jest  płasko­zbież ny,  lecz  wyboczenie  zachodzi  w  płaszczyź nie  zbież noś ci.  Obliczamy  obję tość  p r ę ta  1  1 — (1—  FYn+l  (2.12)  V  =  — ^ т ­ Л/  K  }  oraz  znajdujemy  stosunek  obję toś ci  (2.12)  i  obję toś ci  p r ę ta  pryzmatycznego  И 0 )  o  dłu­ goś ci  /  i  powierzchni  przekroju  Am  _ L  1.  .Ao  l ­ ( l ­ e y ­ ł l  K L A I )  .К <°>  ~  Х П +\  Л<°>  F.  Ż ą d a my  teraz,  aby  badany  p r ę t  (o  zbież noś ci  e)  przenosił  tę  samą  siłę  krytyczną,  co  p r ę t  pryzmatyczny.  Otrzymujemy  stąd  (2.14)  ^  =  £<0)J__L_  P o  podstawieniu  (2.15)  do  (2.13)  mamy  1  lPm\"  xn  +  \  \  в  )  j _  i  //*<«>у  i _ ( i _ e ) « + i  W y n i k a  stą d,  że  dla  ustalonej  wartoś ci  parametru  a,  stosunek  obję toś ci  zależy  tylko  od  zbież noś ci  p r ę ta  s  i  należy  się  spodziewać,  że  dla  pewnej  w a r t o ś ci  e  =  £ o p t  bę dzie  on  najmniejszy.  Zysk  na  materiale jest  najwię kszy  gdy  <2Л 7)  Te  P o n i e w a ż  wystę pują ca  we  wzorze  (2.16)  siła  krytyczna  /9 ( 0 )  jest  tylko  funkcją  a  i  nie  zależy  od  e,  a  siła  krytyczna  8 jest  o k r e ś l o na  r ó w n a n i e m  p r z e s t ę p n ym  (2.10),  więc  po  wy­ .  д в   konaniu  r ó ż n i c z k o w a n ia  w  (2.17)  i  wyraż eniu  pochodnej  T J —  przez  pochodne  c z ą s t k o we  funkcji  F(fi,  s,  a)  (2.10)  otrzymujemy  l _ ( I _ e ) » + i  dF  ,  ( 1 _ ^ Г + » + ( к я ' + 1 ) в ( 1 — e ) ^ ­l  ,dF  n  X  :  г  2   =  0 ,  (2.18)  £  д £  4  F()  =  0 .  O p t y m a l n ą  w a r t o ś ć  parametru  £  dla  p r ę ta  r ó w n o m i e r n i e  wszechstronnie  zbież nego  (x  =  0,5),  a  więc  p r ę ta  o  liniowo  zmieniają cej  się  powierzchni  przekroju,  obliczymy  na  podstawie  (2.18)  i  (2.21)  z  u k ł a d u  r ó w n a ń   ­ o .  (2.24)  '  R o z w i ą z a n i em  tego  u k ł a d u  r ó w n a ń  nie  bę dziemy  się  dalej  zajmowali,  natomiast  zba­ damy  szczegółowo  przypadek  waż niejszy  z  praktycznego  punktu  widzenia,  mianowicie  optymalizację  p r ę t ów  s t o ż k o w y c h.  2.4.  Optymalizacja  prę tów  s t o ż k o w y c h,  n  =  4,  х  =  0,5.  Przyjmując  x  =  0,5  i n  =  4,  a  więc  p r ę t  r ó w n o m i e r n i e  zbież ny  o  liniowo  zmieniają cej  się  długoś ci  boku  lub  ś rednicy,  otrzy­ mujemy  z  r ó w n a n i a  (2.7)  (2.25)  o(jc)  =  4 t ( l ­ a x ) s i n  +A2(l­ex)cos­   1  £(1 — ex)  £(1  — EX)'  Podstawiając  (2.25)  do  w a r u n k ó w  brzegowych  (2.8)  oraz  p r z y r ó w n u j ą c  wyznacznik  główny  u k ł a d u  r ó w n a ń  na. Ax  i  A2  do  zera,  dostajemy  (2.26)  F 2 ( a ,  в ,  £)  =  tg  +  1/̂   =  0 .  164  A .  G A J E W S K I  G d y  a  ­*  ±  oo,  (2.26)  przechodzi  w  znane  r ó w n a n i e  [9]  (2.27)  t g M . +  Vl  =  0 .  G d y  a  =  0  (siła  eulerowska  ś ciskają ca  p r ę t  dwuprzegubowy),  siła  krytyczna jest  r ó w n a  fi  =  (1 — е )2т г2,  a  gdy  £ =  O —  otrzymujemy  (2.23).  D o b ó r  parametru  £ o p t ,  przy  k t ó r y m  stosunek  obję toś ci  p r ę ta  s t o ż k o w e go  do  obję toś ci  p r ę ta  pryzmatycznego  jest  ekstremalny,  przeprowadzamy  na  podstawie  r ó w n a ń  (2.18),  w  k t ó r y c h  przyjmujemy  ­к =  0,5,  n  =  4,  F(cc,  fi,  e) =  F2(OL,  fi,  s)  ( 3 ­ 3 £  +  £ 2 ) ^ 2  + 2 ( 2 6 — 3 ) ^ ^ ­  =  0 ,  (2.28)  tg  1—£  1 + Ł 0 C  dF2  dF2  Po  obliczeniu  pochodnych  c z ą s t k o w y c h ­ ­̂  i ­щ  u k ł a d  ( 2 . 2 8 ) . m o ż e my  z a p i s a ć  w  postaci  _  a 2 ( 3 ­ 6 e + 2 f i 2 ) + « ( 3 ­ 8 e  +  3 g 2 ) ­ £ ( 2 ­ £ )  P  ~  "  £ ( 2 ­ e ) 2  '  (2.29)  t g T ^ ­  +  T ~ ^ ] / / 5 = 0 .  1 ­ е  l + £ a  '  1  U k ł a d  powyż szych  r ó w n a ń  rozwią zywano  m e t o d ą  graficzną;  z a k ł a d a n o  w a r t o ś ć  pa­ rametru  a  i  obliczano  z  pierwszego  r ó w n a n i a  (2.29)  funkcję  fi  =  /3(f).  F u n k c j ę  tę  wsta­ wiano  do  drugiego  r ó w n a n i a  (2.29),  otrzymując  w  ten  s p o s ó b  jedno  r ó w n a n i e  p r z e s t ę p ne  o  niewiadomej  £.  G d y  a  =  0  i  a  ­*• —1, rozwią zania  uzyskano  na  drodze  rozwinię cia  wielkoś ci  a,  fi,  e  w  odpowiednie  szeregi  p o t ę g o w e.  Т ак  więc  dla a  ­>  0  m o ż na  parametr  £ rozwinąć  w  szereg  p o t ę g o wy  wzglę dem  a.  Z  r ó w n a ń  (2.29)  i  (2.23)  otrzymujemy  3  27  ,  £  =  T a ­ — «  +  . . . ,  ( 2 ­ 3 0 )  /? =  7 r 2 ( l ­ 5 a ­ f ­ 2 1 a 2 +  . . . ) ,  ]//gW  =  я ( 1 ­ а +  а 2 +  . . . ) .  Zysk  na  materiale,  obliczony  za  p o m o c ą  wzoru  (2.16), jest  wobec  tego  r ó w n y  (2.31)  z =  l ­ ^  =  l a 2 + g d y c c ^ O .  W  przypadku,  gdy  а  dą ży  do  —1  przez  wartoś ci  mniejsze  od  —1  okazuje  się,  że  siła  krytyczna  dą ży  do  zera.  Rozwijamy  tu  parametry  а  i  £  na  szeregi  p o t ę g o we  wzglę dem  fi  (2.32)  £ =  sQ+Sifi+  •  а  =  ­ 1 + « . / ? +  . . . .  P E W N E  P R O B L E M Y  O P T Y M A L N E G O  K S Z T A Ł T O W A N I A  P R Ę TA  165  k t ó r e  wstawione  do  r ó w n a ń  (2.29)  pozwalają  wyznaczyć  wartoś ci  e0 =  0,56574  oraz  ­=т щ  =  — 0  • =  0,82087,  a  tym samym  zysk  na  materiale  Z  =  17,913%  y  3 \/ 1 — £ 0  \Z(%)  15  • 10  5  i i i  I I  •1,2  ­0,8  ­0,4  0  0,4  0,8  1,2  tfi  2,0  7  Rys.  2  W y n i k i  liczbowe  przedstawiono  w tablicy  l  i na rys. 2.  Tablica  1  С   а   eopt  A>Dt  /3(0)  Z(%) — о о   ­ 1 , 0 0 0  0,56574  0,000  0,000  17,91  ­20,000  ­ 1 , 0 5 0  0,557  0,062  0,141  17,50  ­10,000  ­ 1 , 1 0 0  0,545  0,120  0,268  17,23  ­ 5 , 0 0 0  ­ 1 , 2 0 0  0,533  0,217  0,483  16,27  ­ 2 , 0 0 0  ­ 1 , 5 0 0  0,506  0,433  0,935  14,86  ­ 1 , 0 0 0  ­ 2 , 0 0 0  0,481  0,645  1,357  13,51  ­ 0 , 5 0 0  ­ 3 , 0 0 0  0,459  0,852  1,753  12,31  0,000  T o o  0,4204  1,252  2,467  10,36  0,3333  2,000  0,374  1,809  3,367  8,21  0,4000  1,500  0,361  1,980  3,637  7,45  0,5000  1,000  0,337  2,31  4,120  6,38  0,6667  0,500  0,280  3,18  5,240  4,24  0,8333  0,200  0,185  4,97  7,044  1,61  0,9091  0,100  0,117  6,53  8,197  0,55  1,0000  0,000  0,000  7Г1  0,00  1,1111  ­ 0 , 1 0 0  ­0,156  16,58  12,08  0,62  1,2500  ­ 0 , 2 0 0  ­0,187  21,12  14,36  1,18  1,4285  ­ 0 , 3 0 0  ­0,144  21,69  16,16  0,63  2,0000  ­0,500  ­0,0718  21,12  18,27  0,17  3,3333  ­ 0 , 7 0 0  ­0,0317  20,63  19,34  0,07  +  oo  ­ 1 , 0 0 0  0,0000  20,1906  20,1906  0,00  166  A .  G A J E W S K I  P o n i e w a ż  funkcje  Ł o p l ( a ) ,  Bopt(cc),  8 m(ot.) i  Z(a)  mają  punkt  niecią głoś ci  dla  a  =  — 1,  więc  przedstawiono  je  w  zależ noś ci  od  parametru  f  =  1/(1  ­fa).  Jak  w i d a ć  z  wykresu,  najwię kszy  zysk  na  materiale  otrzymujemy  wtedy,  gdy  siła  jest  skierowana  do  bieguna  p o ł o ż o n e go  na  przedłuż eniu  osi  p r ę t a,  w  nieduż ej  odległoś ci  od  jego  swobodnego  k o ń ca  (dla  oc  <  —1).  Wynosi  on  prawie  18%  wobec  10%  zysku  dla  siły  eulerowskiej  (cc ­»  ± 0 0 ) .  3.  Optymalne  k s z t a ł t o w a n i e  prę tów  ś c i s k a n y ch  w  zakresie  s p r ę ż y s t o ­ p l a s t y c z n ym  3.1.  R o z w i ą z a n ie  o g ó l n e .  Obecnie  znajdziemy  optymalny  kształt  p r ę ta  jednostron­ nie  utwierdzonego,  ś ciskanego  siłą  skierowaną  do  bieguna  w  przypadku,  gdy  siła  kry­ tyczna  powoduje  w  całym  prę cie  n a p r ę ż e n ia  wię ksze  od  granicy  p r o p o r c j o n a l n o ś c i.  D a l ­ sze  r o z w a ż a n ia  oprzemy  na  prostej  teorii  wyboczenia  sprę ż ysto­plastycznego  podanej  przez  SHANLLYA  [8].  W   odniesieniu  do  statecznoś ci  p r ę t ów  ś ciskanych  teoria  ta  sprowadza  się  do  zastą pienia  m o d u ł u  Y o u n g a  E  w  r ó w n a n i u  l i n i i  ugię cia  dla  zakresu  sprę ż ystego  przez  m o d u ł  styczny  E  =  .  de  R ó w n a n i e  l i n i i  ugię cia  p r ę ta  obcią ż onego  w  s p o s ó b  przedstawiony  na  rys.  1 jest  więc  n a s t ę p u j ą c e:  (3.1)  (EJw")"+Pw"  ­  0 ,  (w'  =  Щ .  Jeś li  w  dalszym  cią gu  wprowadzimy  oznaczenia:  (3.2)  y  =  j ,  x  =  j ,  0  =  _ ,  ? ( * )  =  ­ ^ ,  * * )  = =  g»  w  k t ó r y c h  A0,J0,E  oznaczają  odpowiednio  p o w i e r z c h n i ę  przekroju,  moment  bezwład­ noś ci  przekroju  i  m o d u ł  Y o u n g a  w  pewnym,  na  ogół  dowolnie  wybranym  punkcie  p r ę ta  x  =  x 0 ,  to  r ó w n a n i e  (3.1)  m o ż e my  z a p i s a ć  w  postaci  (3.3)  Lf(.x)g(x)y'']" + ey"  =  0,  [y'  =  %  Całkując  (3.3)  dwukrotnie  i  w p r o w a d z a j ą c  nową  zmienną  zależ ną  v(x)  okreś loną  wzo­ rem  (2.6),  otrzymujemy  (3.4)  f(x)g(x)v"+pv =  0 ,  lub  (3.5)  G ( 9 , )  +  ^ _  =  0 ,  v  gdzie  funkcję  G(cp) zdefiniowano  n a s t ę p u j ą c o:  (3­6)  G(CP) =  jMtp)g(i,HMv)­ P E W N E  P R O B L E M Y  O P T Y M A L N E G O  K S Z T A Ł T O W A N I A  P R Ę TA  167  W  funkcji  G(cp) zawarta jest  zależ ność  od zmiennej x  poprzez  zależ ność  od funkcji  cp(x)  charakteryzują cej  powierzchnię  przekroju  poprzecznego  p r ę t a.  W  s p o s ó b  istotny  zależy  ona  od przyję tego  prawa  fizycznego  a =  cr(e),  a  więc  m n o ż n i ka  fi{q>)  w  r ó w n a n i u  ( 3 . 6 ) .  Problem  optymalizacji  polega  w tym przypadku  na  znalezieniu  takiej  funkcji  g(x) lub  (p(x), aby obję tość  p r ę ta  i  i  (3.7)  V =  A0l  f   w zależ noś ci  od argumentu  (—»/©")  i wstawiamy  do (3.7)  (3.8)  V ==  A01 j  y> {­­,,}  dx,  o  '  '  gdzie  f  jest  funkcją  o d w r o t n ą  do  G( i + =  0.  W s k a ź n i ki  0 i  1 we wzorze  (3.10) odnoszą  się do wartoś ci  funkcji  lub  wariacji  dla  x  = 0  1 x =  1.  Obliczając  odpowiednie  pochodne  czą stkowe  | y y =  0,  y>v,, =  y> ­ l 7 1  =  /j i  k o ­ rzystając  z  r ó w n a n i a  (3.9) dostajemy  r ó w n a n i e  (3.11)  (C+v'otol^­iC+vlt^^­todv'o  + ttdvl  =  0,  k t ó r e  pozwala  obliczyć  nieokreś loną  dotychczas  stałą  C. Z  uwagi  na  d o w o l n o ś ć  stałego  m n o ż n i ka  w funkcji  v(x)  m o ż e my  przyjąć  v(0) =  1,  czyli  dvn =  0, a z  w a r u n k ó w  brzego­ wych  ( 2 . 8 )  wynika  ponadto  dv'0 =  0 i dvx =  0.  Iloraz  dvjvi  musimy  zastą pić  przez dv'Jv't  168  A .  G A J E W S K I  (stosując  regułę  de  THospitala)  p o n i e w a ż  z a r ó w n o  dv{  =  0,  jak  i  vx  =  0.  Jak  więc  wynika  z  r ó w n a n i a  (3.11),  stała  С  musi  być  r ó w n a  zeru,  gdy  siła  ś ciskają ca  jest  skierowana  do  bieguna.  D o w ó d  jest  waż ny  dla  dowolnego,  dostatecznie  regularnego  prawa  fizycznego  o  =  cr(e).  Wiedzą c,  że  stała  С jest  r ó w n a  zeru  m o ż e my  s c a ł k o w a ć  r ó w n a n i e  (3.9)  i  napisa ć   je  w  postaci  (3.12)  v"2  =  С ^г р ,  C\  —  dowolna  stała  lub  też, w ś lad  za  KRZYSIEM [6], wyrazić  rozwią zanie  w postaci  funkcji  odwrotnej  x  =  x(cp),  w  zależ noś ci  od  parametru  okreś lają cego  p r z e k r ó j  poprzeczny  oraz  przekształcić  r ó w n a ­ nia  (3.12)  i  (3.5)  do  postaci  „  3GG"2­2GG'G"'  ,  2G'  ,3  (3.13)  xv  +  2(GG"­2G' 2)G'  X"  +  GG"­2G'2  X"  ~  Oczywiś cie  charakterystyka  m a t e r i a ł u  wpływa  na  efektywność  rozwią zania  r ó w n a n i a  (3.12)  lub  (3.13);  spełniając  postulat  prostoty  przyjmiemy  za  KRZYSIEM [6]  taki  model  ciała,  dla  k t ó r e g o  funkcja  G(cp) jest  liniowa  (a  tym  samym  funkcja  odwrotna  г р  jest  r ó w ­ nież  liniowa)  (3.14)  G{q>) =  ­\{M+N  В   w  =  ­C­ =  COnSt.  Tutaj  M,  N  — pewne  stałe.  P o r ó w n u j ą c  (3.6)  i  (3.14)  otrzymujemy  nastę pują cy  charakter  zmiennoś ci  m o d u ł u  Y o u n g a :  CX \4\  fl\  M + N ( P  ( 3 ­ 1 5 )  / i ( y )  =  I/H  »  a  rozwią zując  r ó w n a n i e  (3.12)  i  korzystając  z  w a r u n k ó w  brzegowych  (2.8)  znajdujemy  funkcję  l i n i i  ugię cia  p r ę ta  (3.16)  v(x)  =  Cz\­^—  +  X­X 2),  C2  —  dowolna  stała.  \ l + a  l + o  /  Bezwymiarowa  powierzchnia  przekroju  poprzecznego  jest  tu  r ó w n a  Przyjmują c,  że  powierzchnia  przekroju  utwierdzonego  jest  r ó w n a  A0,  czyli  że  q>(0)  =  1,  otrzymujemy  z  (3.17)  r ó w n a n i e  okreś lają ce  siłę  krytyczną  В  w  zależ noś ci  od  p o ł o ż e n ia  bieguna  oraz  stałych  M  i  N  ( k t ó r e  również  zależą  od  B)  (3.18)  2 ( l + a )  " ( М + ^ )  =  ° ­ Przejdziemy  obecnie  do  przedstawienia  rozwią zań  szczegółowych  w trzech  przypadkach:  x = U = l / 2 i z =  1/3.  P E W N E  P R O B L E M Y  O P T Y M A L N E G O  K S Z T A Ł T O W A N I A  P R Ę TA  169  3.2.  P r ę t  p l a s k o ­ z b i e ż n y,  x  —  1.  S p o s ó b  zmiany  m o d u ł u  Y o u n g a  jest  tu  nastę pują cy  M+Ncp  (3.19)  /,(?>)  9  jest to zależ ność  od powierzchni  przekroju  OJ. Jak ł a t w o  s p r a w d z i ć ,  w z ó r  ten  otrzymujemy,  gdy  zależ ność  Ł o d < r  jest  liniowa  O—a  (3.20)  Ł = Ł | ~ ^ ;  S  oznacza  tu  granicę  p r o p o r c j o n a l n o ś c i,  Q — granicę  plastycznoś ci,  E —  m o d u ł  Y o u n g a .  W z ó r  (3.20)  prowadzi  do  nastę pują cej  zależ noś ci  a od e  (3.21)  o =  Q­(Q­S)exp[­~­=&­  '  '  Q­S  Q­SI  P  P  EJ  Podstawiając  w  (3.20), a =  —  =  — —  oraz  P =  в  mamy  A  AQ  (p  l  (3.22,  / l W  =  rf5bgdzie,  =  ^ L ,  Z  p o r ó w n a n i a  (3.22)  i  (3.19)  obliczamy  stałe  M  i N,  (3.23)  M=  ­р д д1г  N=  д1г   a  ze wzoru  (3.18)  wyznaczamy  siłę  krytyczną   Л / 1Л  p  26,  F / o  (3.24)  P f c = —  ­ p ­ .  2 < 3 « 5 1 + ­ ^ ­ 1 +  a  K s z t a ł t  p r ę ta  jest  wobec  tego  opisany  r ó w n a n i e m  1  l + o  ,  ( 3 ' 2 5 )  4 > { ? i ) ~  1 +  а +  2 ( 1 + а ) й й ,~  а + 2 ( 1 ­ г ­ а ) < 5 < 5 ,л  1  P r z y k ł a d  1. Siła  eulerowska  dla  p r ę ta  jednostronnie  utwierdzonego,  а  ­*  ± o o ;  1  2ó  P r z y k ł a d  2. Siła  eulerowska  dla p r ę ta  dwuprzegubowego,  а  =  0;    S  otrzymujemy  'max  (3.27)  *• ­  '  l  2 ( l + a )  gdzie  h0  oznacza  wysokość  przekroju  poprzecznego  w  miejscu  utwierdzenia.  Natomiast,  gdy  siła  działa  w  s t r o n ę  bieguna,  k t ó r e g o  położ enie  jest  wyznaczone  przez  n i e r ó w n o ś ć:  — o o  <  a  <  — 1,  otrzymujemy  C3.28,  ^ j / j b f ­ 3.3.  P r ę t  w s z e c h s t r o n n i e ­ r ó w n o m i e r n i e  zbież ny,  x  =  0,5.  W  tym  niewą tpliwie  najważ niej­ szym  praktycznie  przypadku  okazuje  się, że wzór  Johnsona­Ostenfelda  linearyzuje  funkcję   G((p).  Ł a t w o  się m o ż na  o tym p r z e k o n a ć  przyjmując  a =  P/A,  P =  BEJ0/l 2  , 3 . 2 9 ,  E ­  =  E « & * r Z  =  В * Ф *.  (Q­S)S  A20cf(Q­S)S  cp 2  gdzie  przyję to  oznaczenia  (3­30)  < 5 = 7 ^ ,  <51  =  P o r ó w n u j ą c  (3.29)  i  (3.15)  znajdujemy  stałe  M i  N  (3.31)  М =­В Ч ди  N=Bdlt  a  z  r ó w n a n i a  (3.18)  wyznaczamy  siłę  krytyczną   n  vr>  Я  2 ( l + a ) ó 1 ­ q  ( 3 J 2 )  P k  =  " 2 ( 1 + " о ) Ж "  '  K s z t a ł t  p r ę ta  opisany  jest  tu  wzorem  < 3 ­ 3 3 >  .  ^ = 1 + 2 ( T l ^ ^ ­ 2 i ^ 2 ­ P r z y k ł a d  1.  Siła  eulerowska  dla  p r ę ta  jednostronnie  utwierdzonego,  a ­ •  ± 0 0 ;    т ^ ^ Ж Т Щ г'  !  ! '  albo  Ao  _2  £  P  2(1 +  ч п  'V  .л  T 7 P   D L A — o o < a < — 1 ,  w  k t ó r y c h  у  charakteryzuje  kształt  przekroju;  dla  kwadratu  j *  =  — ,  a  dla  k o ł a  у  =  ­^~  12  4л:  ( Л ­ у Л2 ) ­ 3.4.  Pręt  plasko­zbież ny,  *  =  1/3.  Funkcja  G(