Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS70\MTS70_t8z1_4_PDF\mts70_t8z2.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  2  ,8  (1970)  A N A L O G I A  M E C H A N I C Z N O ­ S T E R E O M E C H A N I C Z N A  W  K L A S I E  D W U W S K A Ż N I K O W Y CH  R Ó W N A Ń  L A G R A N G E ' A  D R U G I E G O  R O D Z A J U  R O B E R T  К  R  Z  Y  W  I  E  С  ( W A R S Z A W A )  1.  Wprowadzenie  Dzię ki  uż yciu  cią gów  wielowskaź nikowych  [1]  m o ż na  b a d a ć  struktury  r ó ż n y ch  wiel­ k i c h  systemów,  j a k  też  w  moż liwie  ogólny  s p o s ó b  formalizowa ć  poję cie  u k ł a d u .  Powstaje  przy  tym  moż liwość  konstruowania  analogii  r ó ż n o r o d n y ch  zjawisk  w  klasie  pewnych  przekształceń  i  modelowania  za  ich  p o m o c ą  wielu  o d r ę b n y ch  zjawisk.  R o z w a ż my  wielki  system  stereomechaniczny  nazwany  oscylatorem  stereomechanicz­ nym  w i e l o w s k a ź n i k o w y m,  k t ó r y  rozpatrzono  w  pracy  [2].  Wskazano  tam  na  a n a l o g i ę   m e c h a n i c z n o ­ s t e r e o m e c h a n i c z n ą  w  klasie  wielowskaź nikowego  r ó w n a n i a  r ó ż n i c z k o w e go  zwyczajnego  rzę du  drugiego,  zwanego  r ó w n a n i e m  oscylatora  harmonicznego  {matema­ tycznego),  lub  k r ó t k o  —  oscylatorem  matematycznym.  Okazuje  się,  że  m o ż na  tę  a n a l o g i ę  u z a s a d n i ć  bą dź  też  rozcią gnąć  na  r ó w n a n i a  Lagran­ ge'a  drugiego  rodzaju.  W  zwią zku  z  tym  należy  o t r z y m a ć  te  r ó w n a n i a  w  terminologii  stereomechanicznej.  Przypominamy,  że  o  analogii  mię dzy  teoriami  (naukami)  {Г  i  2T  m ó w i m y  wtedy,  gdy  potrafimy  p o d a ć  pewną  r ó w n o w a ż n o ść   wynikają cą  z  r ó w n o w a ż n o ś ci  C G r ^ Ć G F)  cią gów  r o z w a ż ań  logicznych  obu  nauk.  Istnieje  ciąg  r o z w a ż ań  logicznych  w  mechanice,  k t ó r y  u m o ż l i w ia  otrzymanie  wielowskaź­ nikowych  r ó w n a ń  Lagrange'a  drugiego  rodzaju  [3].  Wyprowadzimy  je  obecnie  w  terminologii  stereomechanicznej  z  uż yciem  cią gów  dwu­ w s k a ź n i k o w y ch  i  tym  samym  uzasadnimy  analogię  m e c h a n i c z n o ­ s t e r e o m e c h a n i c z n ą   w  klasie  tych  r ó w n a ń  d w u w s k a ź n i k o w y c h.  Praca  [4]  przedstawia  tę  samą  analogię  w  klasie  j e d n o w s k a ź n i k o w y ch  r ó w n a ń  Lagran­ ge'a.  U o g ó l n i e n i a  polegają  na  uż yciu  cią gów  o  wyż szych  Walencjach.  A n a l o g i i  mcchaniczno­stereomechanicznej  w  klasie  w i e l o w s k a ź n i k o w y ch  r ó w n a ń   Lagrange'a  drugiego  rodzaju  p o ś w i ę c o na  jest  oddzielna  praca.  176  R .  K R Z Y W I E C  Wszelkie  r o z w a ż a n ia  dotyczą ce  uzasadnienia  omawianej  analogii  prowadzone  są  bez  uż ycia  rachunku  wariacyjnego.  Zastosowana  algebra  cią gów  wielowskaź nikowych  nie  wymaga  znajomoś ci  rachunku  tensorowego.  2 .  Ruch  dynamicznego układu  stereomechanicznego  d w u w s k a ź n i k o w e g o.  W i ę zy  Bę dziemy  rozważ ali  przestrzeń  cią gów  d w u w s k a ź n i k o w y ch  (2.1)  3У =  \У м г {х )],  j\ =j2  =  1 , 2 ,  ...,n\  xe..  czyli  У и (х ),  ...,У 1„(Х )  _У т (х ),  ...,ym(x)_  =  b>i(x),  ...,y„(x)],  u t w o r z o n ą  z  rozwią zań  róż niczkowych  zwyczajnych  rzę du  2  d w u w s k a ź n i k o w y c h,  przy  czym  w przypadku  o g ó l n y m  mogą  one  być rzę du n  (2.2)  2y^  =  2y^(x,2y,2y',  ...,2^(n­,)),  У \  d"  "  'dx"  k t ó r y c h  strony  prawe  są funkcjami  cią głymi  i  posiadają cymi  cią głe  pochodne  czą stkowe  wzglę dem  każ dej  zmiennej,  przy  czym  funkcja  y(x)  m o ż e  na  p r z y k ł a d  mieć  charakter  ugię cia  p r ę ta  w przekroju  x.  Definicja  1.  Ruchem  (jednoparamelrowym)  u k ł a d u  stereomechanicznego  d w u w s k a ź ­ nikowego  2y  nazywa  się k a ż dą  funkcję  (2.1) lub w postaci  uwikłanej  (2.3)  czyli  2U(x,2y)  =  20,  ~U,(x,  2yf  0  _Un(x,  2~y).  _ 0 _  P r z y k ł a d e m  takiego n2 ­elementowego  u k ł a d u  d w u w s k a ź n i k o w e go  m o ż e  być n odcin­ k ó w  równoległych  jednej  płaszczyzny,  do  k t ó r y c h  zamocowano  prostopadle  jednym  k o ń ­ cem  po n  p r ę t ów  sprę ż ystych.  K o ń ce  tych  p r ę t ów  są p o ł ą c z o ne  sprę ż yś cie  k a ż dy  z  k a ż ­ dym  [2]. K a ż dy  p r ę t  jest  obcią ż ony  j e d n ą  siłą  powodują cą  wyboczenie.  A N A L O G I A  M E C H A N I C Z N O ­ S T E R E O M E C H A N I C Z N A  177  Definicja  2.  Prę dkoś cią  2y(k)(x)  rzę du  к ,  к =  1, 2, ...,  n  nazywa  się  k­ta.  p o c h o d n ą   funkcji  (2.1),  to jest  (2.4)   2Ук\х )  =  ^ F 2 ^ * )  =  ^ i W >  ­,У п (х )].  Definicja  3.  R ó w n a n i e  (2.2) lub w postaci  uwikłanej  (2.5)  2G(x,2y,2y",  . . . , y ­ V j W )  =  2 Ó ,  czy  też  po rozpisaniu  w postaci  Gi(x,  2y,  2y  2y", •   2y(">)  0  Gn(x  2y,  2У  ,2y",.  2y(l>­l)  2j7(»))  0 _  nazywa  się  r ó w n a n i e m  (stanu)  ruchu  u k ł a d u  stereomechanicznego  d w u w s k a ź n i k o w e g o.  Definicja  4.  Wię zami  ruchu  nazywamy  niezależ ne  od siebie  zwią zki  (2.6)  czyli  po  rozpisaniu  2H(x,2y,2y',  ...,2У "­^)  =  20.  2H=[Hklk2],  ky  =  k2=\,2,...,n,  'Н,(х  2У2У ,  . . . , 2 J < ­ 1 ) )  o "  0 _H,n(x,  %   2y',  ...,2У "~")_  _ 0 _  posiadają ce  cią głe  pierwsze  pochodne  czą stkowe  w  r o z w a ż a n ym  otoczeniu  zmiennych  х ^ У У , . . . , ^ ­ ».  Przyjmujemy,  że badane  zjawisko  m o ż e  p o d l e g a ć  pewnym  ograniczeniom.  P o s t u l a t  I. Istnieje  absolutna  zmienna  niezależ na  x.  P o s t u l a t  II. Istnieje  inercjalny  u k ł a d  odniesienia.  P o s t u l a t  III. Słuszne  są prawa  Newtona  z tym,  że czas  absolutny  t jest  zastą piony  a b s o l u t n ą  zmienną  niezależ ną  x.  U w a g a .  Jeś li  ograniczymy  się do  p r z y k ł a d u  wyboczenia  sprę ż ystego  p r ę ta  pryzma­ tycznego  o długoś ci  s k o ń c z o n e j,  to y(x) jest jego  ugię ciem  w przekroju  opisanym  odcię tą  x.  W  przypadku  n — 2 otrzymujemy  z  (2.2) r ó w n a n i a  ruchu  u k ł a d u  stereomechanicznego  (2.7)  2y"  =  2f(x,  2y,  2y')  analogicznie  do newtonowskich  r ó w n a ń  ruchu [3]  2T" =  2f(t,2f,2­r').  W y n i k a  to  stą d,  że zamiast  proporcji  d2  dt 2 2 m  «2?(t)  178  R .  K R Z Y W I E C  stotnej  w przypadku  oscylatora  mechanicznego  d w u w s k a ź n i k o w e go  słuszna  jest  proporcja  W   2y(x),  k t ó r ą  otrzymujemy  z  uwzglę dnienia  d w u w s k a ź n i k o w ej  l i n i i  ugię cia.  Wtedy  wię zy  stereomechaniczne,  przez  analogię  do  wię zów  mechanicznych,  mogą   p r z y j m o w a ć  p o s t a ć   (2.8)  2H{x,  2y,  2y')  =  2 0 — nieholonomiczne  (róż niczkowe  lub  kinematyczne),  (2.9)  2H(x,  2y)  =  2 0  — holonomiczne  reonomiczne,  (2.10)  2H(2y)  =  2 0  —holonomiczne  skleronomiczne.  D l a  stereomechanicznych  r ó w n a ń  ruchu  stawiamy  zagadnienie  Cauchy'ego.  Definicja  5.  Siłą  stereomechaniczną  przez  a n a l o g i ę  do  siły  newtonowskiej  F  =  md,  m — masa,  a — przyspieszenie,  nazywamy  funkcję  liniową  p r z e d s t a w i o n ą  ^­iloczynem 1 )  2F=EJ/I2y"  =  [ ( Ł / ) , K ' ,  (Ё 7)„УЯ'],  (2.11)  gdzie  Fi"  EuJi\)''i'i,  ••  _E„\Jn\y„i,  ..  • 5  E\nJ\n}\n  • 9  EnnJnnynn  2EJ  =  [(EJ)hh],  j\  =j2  =  1,  ...,n  jest  cią giem  d w u w s k a ź n i k o w ym  sztywnoś ci  u k ł a d u ,  przy  czym  2F=2F(x,2y,2y'),  :,(x,2y,2yT  (2.12)  jeś li  _Fn(x, 2y,2y'\  F =  EJy"  w  przypadku  wyboczenia jednego  p r ę t a.  Definicja  6. Zwią zki  (2.1),  (2.12)  nazywamy  r ó w n a n i a m i  ruchu  u k ł a d u  dynamicznego  stereomechanicznego  d w u w s k a ź n i k o w e g o.  Definicja  6.1.  Dynamiczne  u k ł a d y  stereomechaniczne  spełniają ce  r ó w n a n i a  wię zów  nazywamy  u k ł a d a m i  nieswobodnymi.  'j  Symbol  U oznacza  m n o ż e n ie  d w ó c h  c i ą g ów  w i e l o w s k a ź n i k o w y ch  w sensie p­iloczynu  [1].  A N A L O G I A  M E C H A N I C Z N O ­ S T E R E O M E C H A N I C Z N Ą   179  Prawa  ruchu  dynamicznych  u k ł a d ó w  stereomechanicznych  d w u w s k a ź n i k o w y ch  są   u o g ó l n i e n i e m  praw  ruchu  u k ł a d u  dynamicznego  stereomechanicznego  z e r o w s k a ź n i k o w e g o.  EJy"  =f{x,y,y'),  gdzie  EJ  jest  sztywnoś cią  p r ę ta  pryzmatycznego  o  długoś ci  s k o ń c z o n e j.  Wymagają  one  k i l k u  dalszych  p e w n i k ó w  zgodnych  z  doś wiadczeniem.  P o s t u l a t  I V .  Z  istnienia  wię zów  i  ruchu  u k ł a d u  dynamicznego  stereomechanicz­ nego  d w u w s k a ź n i k o w e go  po  nich  (ruchu  zgodnego  z  wię zami)  wynika  istnienie  sił  dzia­ ł a n i a  (reakcji)  wię zów  2R  na  u k ł a d  i  odwrotnie.  P o s t u l a t  V .  P o d  wpływem  sił  2F  nieswobodny  dynamiczny  u k ł a d  stereomecha­ niczny  d w u w s k a ź n i k o wy  2y  porusza  się  j a k  u k ł a d  dynamiczny  d w u w s k a ź n i k o wy  swo­ bodny  pod  działaniem  sił  danych  i  o d d z i a ł y w a ń  wię zów,  czyli  w  inercjalnym  układzie  odniesienia  spełnione  są  r ó w n a n i a  ruchu  2EJ  II 2y"  =  2F+2R,  przy  czym  w s p ó ł r z ę d ne  cią gu  2y  spełniają  odpowiednie  r ó w n a n i a  wię zów.  U w a g a .  Siły,  k t ó r e  nie  są  spowodowane  działaniem  wię zów  nazywamy  siłami  czyn­ nymi.  Bę dziemy  rozważ ali  tylko  takie  wię zy  r ó ż n i c z k o w e,  k t ó r e  są  spełnione  liniowo  przez  p r ę d k o ś ci  (2.4)  dynamicznego  u k ł a d u  stereomechanicznego  d w u w s k a ź n i k o w e g o,  to  zna­ czy  dane  równoś cią  przedstawiają cą  ciąg  sum  w­iloczynu 2 )  ĄlyZ2y'+2D  =  2 6 ,  czyli  2 / i . K +  . . .  +2Tuy'.+Dl  =  o ,  2lj[+...  + а д + д,  =  о ,  wynikają ce  z  ogólnej  definicji  wię zów  2H(x,  2y,  2y')  =  2 0 ,  przy  czym  l  oraz  2D  są  funkcjami  x,  2y  i  nie  wszystkie  2lh,  j\  =  1,  . . . , n  są  r ó w n e  zeru.  M a m y  tutaj  У и  ••• У и   2y=  .  •  •  >'nl  • ••  У п п   2)  Symbol  5C  oznacza  m n o ż e n ie  w  sensie  ш ­ i l o c z y nu  d w ó c h  c i ą g ów  w i e l o w s k a ź n i k o w y c h,  а  X  przed­ stawia  c i ą g  sum  /^­iloczynu  [1].  A  2D  DA  2/  .  21  • 11  • ••  ' l n  21  21  M l  • ••   dni  180  R .  K R Z Y W I E C  3.  Przemieszczenia  m o ż l i w e.  Przemieszczenia przygotowane  N i e c h  dany  dynamiczny  u k ł a d  stereomechaniczny  d w u w s k a ź n i k o wy  2y  spełnia  wię zy  s k o ń c z o ne  (3.1)  2H(x,2y)  =  20,  k t ó r e  zastę pujemy  wynikają cymi  z  nich  wię zami  r ó ż n i c z k o w y m i3 )  (3­2)  +  ^  =  %  czyli  dHu  ,  д Нп  „  д Ни   ­ A  3*11+ • ••  + ­ v — У п Л ­ *—  =  о,  д уп  д уп п  д х   д Нт  ,  д Нт  ,  д Нт   ­ г —  У п +  •••  +^  У»п +^—  =  °  о у и  д ут  д х   i  wię zy  r ó ż n i c z k o w e,  о  k t ó r y c h  z a k ł a d a m y ,  że  są  liniowe,  to  jest  (3.3)  7 DC2y'+2D  =  2 0 .  Definicja  7. P r ę d k o ść  2y'(x)  dynamicznego  u k ł a d u  stereomechanicznego  d w u w s k a ź n i k o­ wego  znajdują cego  się w  p o ł o ż e n iu  2y  =  2A  nazywamy  prę dkoś cią  moż liwą  (zgodną  z  wię zami)  w  tym  p o ł o ż e n i u,  jeś li  u k ł a d  m o ż e  ją  p o s i a d a ć  w  miejscu  x,  co  zachodzi  wtedy,  gdy  ta  p r ę d k o ść  spełnia  r ó w n a n i a  liniowe  wię zów  (3.2)  i (3.3).  Definicja  8.  Przez  analogię  do  u k ł a d u  dr  =  r'dt,  gdzie  r —  w e k t o r ­ p r o m i e ń  punktu  materialnego,  u k ł a d  nieskoń czenie  m a ł y c h  przemiesz­ czeń   d2y  =  2y'dx,  gdzie 2y'(x)  jest  prę dkoś cią  moż liwą  dynamicznego  u k ł a d u  stereomechanicznego  d w u w s k a ź ­ nikowego,  nazywamy  nieskoń czenie  m a ł y m  przemieszczeniem4)  m o ż l i w ym  tego  u k ł a d u .  Przemieszczenia  moż liwe  spełniają  r ó w n a n i a  (3.4)  '  II d2y  +  ^~dx  =  2 0  д у  —  д х   3)  Symbol  Л  oznacza  tu  c i ą g  sum  p­iloczynu  tensorowego  r ó ż n i c z k o w e go  r z ę du  pierwszego  funkcji  w i e l o w s k a ź n i k o w ej  argumentu  w i e l o w s k a ź n i k o w e go [1].  4)  M a m y  tu  na  m y ś li  przemieszczenie  u o g ó l n i o n e  imlH=h2.  R ó w n a n i a  (3.9) i  (3.10)  zawierają  n2  niewiadomych  współrzę dnych  cią gu  d w u w s k a ź n i­ kowego  82y.  Jeś li  r ó w n a n i a  te  są niezależ ne,  to  wś ród  w s p ó ł r z ę d n y ch  Ó y j2  =  6 y h h  istnieje  (4.4)  k2  =  n2­d2~h2  w s p ó ł r z ę d n y ch  niezależ nych.  Definicja  10. Liczbę  k2  współrzę dnych  niezależ nych  cią gu  b2y  nazywa  się  liczbą  stopni  swobody  danego  dynamicznego  u k ł a d u  stereomechanicznego  / г ­ k r o t n e g o.  182  R .  K R Z Y W I E C  M ó w i ą c  o  układzie  fc2­krotnym  bę dziemy  mieli  na  myś li  u k ł a d  /z2­krotny  o  k2  stopniach  swobody.  Podstawowe  zagadnienie  dynamiki  nieswobodnego  układu  stereomechanicznego  o  k2  stop­ niach  swobody  m o ż na  sformułowa ć  nastę pują co.  Należy  okreś lić  ruch  (4.5)  2У  =  2у (х ),  xxn2+d2+h2.  Podstawowe  zagadnienie  dynamiki  u k ł a d u  stereomechanicznego  staje  się  o k r e ś l o n e,  jeś li  mamy  2n2­(n2+d2+h2)  =  n2­d2­h2  =  k2  dodatkowych  niezależ nych  zwią zków  mię dzy  szukanymi  wielkoś ciami  dyj.  Zwią zki  te  otrzymujemy  postulując  istnienie  klasy  wię zów  idealnych.  P o s t u l a t  V I . W y r a ż e n i e5 )  2 (   2R  II 62y  „ jako  praca  sił  o d d z i a ł y w a n i a  wię zów  na  do­ wolnych  (zgodnych  z  wię zami)  przemieszczeniach  przygotowanych  zeruje  się,  gdy  nie  wystę pują  siły  rozpraszają ce,  albo  włą czamy  je  do  sił  danych,  to  znaczy  (4.10)  „2RII  ó 2 y  =  0,,  czyli  l t R i f l y i [ +  ­••  + ,  ,Rn 6^ n |  =  Rndyu+  ...  +Ran6y„n  =  0 .  Definicja  11.  Wię zy  stereomechaniczne  nazywamy  idealnymi,  jeż eli  siły  o d d z i a ł y w a n i a  2R  na  punkty  dynamicznego  u k ł a d u  stereomechanicznego  spełniają  zwią zek  (4.10).  5.  O g ó l n e  równanie  dynamiki  R o z w a ż my  dynamiczny  u k ł a d  stereomechaniczny  n ­krotny  nieswobodny.  Jego  r ó w n a ­ nie  ruchu  ma  p o s t a ć   (5.1)  2FJI!2y"  =  2F+2R.  5)  Symbol  2 _  oznacza  s u m ę  d w u k r o t n ą  p­iloczynu  [1].  A N A L O G I A  M E C H A N I C Z N O ­ S T E R E O M E C H A N I C Z N Ą   183  Jeś li  wię zy  są  idealne,  to  w  k a ż d ym  p o ł o ż e n iu  u k ł a d u  dowolne  przemieszczenia  przygoto­ wane  spełniają  r ó w n a n i e  (4.10)  Z  u k ł a d u  tych  d w ó c h  zwią zków  wynika  r ó w n o ś ć   (5.2)  ^ ( M T O ,  =  0 ,  k t ó r a  nosi  nazwę  ogólnego  r ó w n a n i a  dynamiki  u k ł a d u  stereomechanicznego.  Podczas  ruchu  u k ł a d u  w  dowolnym  miejscu  x  (przekroju)  suma  prac  sił  czynnych  i  stereomechanicznych  sił  b e z w ł a d n o ś c i6 )  na  dowolnych  przemieszczeniach  przygotowa­ nych  jest  r ó w n a  zeru.  Twierdzenie.  Warunkiem  koniecznym  i  dostatecznym  na  to,  by  ruch  u k ł a d u  dynamicz­ nego  stereomechanicznego  zgodny  z  wię zami  o d p o w i a d a ł  danemu  u k ł a d o w i  sił  czyn­ nych  2F,  jest  spełnienie  ogólnego  r ó w n a n i a  dynamiki.  6.  Zasada  p r z e m i e s z c z e ń  przygotowanych.  Zasada  d'Alemberta  Definicja  12.  Położ eniem  równowagi  2y  dynamicznego  u k ł a d u  stereomechanicznego  n2­ krotnego  nazywa  się  takie  jego  położ enie,  w  k t ó r y m  u k ł a d  znajduje  się  w  s p o s ó b  cią gły,  jeś li  w  miejscu  p o c z ą t k o w ym  był  on  w  tym  p o ł o ż e n iu  i  p r ę d k o ś ci  2y'  wszystkich  jego  p u n k t ó w  były  r ó w n e  zeru.  Położ enie  u k ł a d u  \y  jest  wtedy  i  tylko  wtedy  p o ł o ż e n i em  r ó w n o w a g i ,  gdy  ruch  (6.1)  2y{x)  =  ly  spełnia  ogólne  r ó w n a n i e  dynamiki,  to  jest  jeż eli  w  tym  p o ł o ż e n iu  (6.2)  ?I 2F!I  ó2y]=Q.  R ó w n o ś ć  ta  jest  treś cią  zasady  przemieszczeń  przygotowanych.  Twierdzenie.  Warunkiem  koniecznym  i  dostatecznym  na  to,  aby  pewne  (zgodne  z  wię­ zami)  położ enie  dynamicznego  u k ł a d u  stereomechanicznego  « 2 ­ k r o t n e g o  było  p o ł o ż e n i em  r ó w n o w a g i ,  jest  r ó w n a  zeru  w  tym  p o ł o ż e n iu  suma  prac  sił  czynnych  2F  na  dowolnych  przemieszczeniach  przygotowanych  ó2y.  R ó w n o ś ć  (6.2)  wyraż ają ca  zasadę  przemieszczeń  przygotowanych  jest  przypadkiem  szczególnym  ogólnego  r ó w n a n i a  dynamiki  (5.2).  Potraktujmy  r ó w n a n i e  dynamiki  jako  z a s a d ę  przemieszczeń  moż liwych,  charakteryzu­ ją cą  położ enie  równowagi  dynamicznego  u k ł a d u  stereomechanicznego  n2­krotnego,  k t ó r e  powstaje  z  dodania  sił  bezwładnoś ci  do  sił  czynnych.  Stąd  wynika  zasada  d'Alemberta.  Podczas  ruchu  dynamicznego  u k ł a d u  stereomechanicznego  H 2 ­krotnego  m o ż na  dowolne  ")  Stereomechanicznymi  silami  b e z w ł a d n o ś ci  ­B  nazywamy  w y r a ż e n ie  2B  =  —2EJ  \\  1y"  .  184  R .  K R Z Y W I E C  jego  p o ł o ż e n ia  t r a k t o w a ć  jako  p o ł o ż e n ia  r ó w n o w a g i  dodając  siły  bezwładnoś ci  2B  do  sił  czynnych  2F  w  danym  położ eniu  (6.3)  2F+2B  =  2 Ó .  Dzię ki  tej  zasadzie  metody  statyki  przenoszą  się  na  zagadnienia  dynamiki.  7.  W s p ó ł r z ę d ne  n i e z a l e ż ne  ( u o g ó l n i o n e )  u k ł a d ó w  stereomechanicznych  u o g ó l n i o n y c h .  S i ł y  u o g ó l n i o n e  N i e c h  bę dzie  dany  dynamiczny  u k ł a d  stereomechaniczny  2y  holonomiczny  « 2 ­ k r o t n y  spełniają cy  wię zy  (7.1)  2H(x,2y)  =  2 0 .  Przyjmujemy,  że  funkcje  2H  w  iloś ci  h2  są  niezależ ne,  przy  czym  л: jest  parametrem,  natomiast  zmiennych yj  jest  n2.  Wobec  powyż szego  m o ż na  z  r ó w n a ń  wię zów  wyrazić  h2  w s p ó ł r z ę d n y ch  (czyli  ciąg  d w u w s k a ź n i k o wy  współrzę dnych)  przez  funkcje  n2—h2  pozos­ tałych  współrzę dnych  oraz  zmiennej  x  i  r o z p a t r y w a ć  te  współrzę dne  w  liczbie  (7.2)  k2  =  n2­h2  j a k o  wielkoś ci  niezależ ne  okreś lają ce  p o ł o ż e n ia  dynamicznego  u k ł a d u  stereomechanicz­ nego  holonomicznego  w  miejscu  x.  T a k i m i  w s p ó ł r z ę d n y mi  nie  koniecznie  muszą  być   w s p ó ł r z ę d ne  k a r t e z j a ń s k i e.  T a k ż e  współrzę dne  kartezjań skie  cią gu  2y  (w  liczbie  n2)  m o ż na  wyrazić  j a k o  funkcje  cią głe  i  r ó ż n i c z k o w a l ne  A­2­elementowego  cią gu  d w u w s k a ź n i k o w e go  p a r a m e t r ó w  niezależ nych  (7.3)  2q  =  [lqi,..., 1qk\  i  zmiennej  x,  mianowicie  (7.4)  2y  =  2y(x,2q),  przy  czym  (7.5)  D i m 2 ?  =  k2.  Funkcje  te  spełniają  t o ż s a m o ś c i o wo  r ó w n a n i a  wię zów  podane  wyż ej.  Z a k ł a d a m y  ponadto,  że  dowolne  (zgodne  z  wię zami)  p o ł o ż e n ia  dynamicznego  u k ł a d u  stereomechanicznego  « 2 ­ k r o t n e g o  w  miejscu  x  m o ż na  przy  pewnych  w a r t o ś c i a ch  2q  otrzy­ m a ć  z  r ó w n a ń  (7.4).  Definicja  13.  Wielkoś ci  2q  wystę pują ce  w  równoś ci  (7.4)  nazywamy  w s p ó ł r z ę d n y mi  u o g ó l n i o n y m i  niezależ nymi  dynamicznego  u k ł a d u  stereomechanicznego  holonomicznego  « 2 ­ k r o t n e g o .  K a ż d ej  współrzę dnej  u o g ó l n i o n e j  2q  jako  cią gowi  fc2­elementowemu  ( d w u w s k a ź n i k o­ wemu)  odpowiada  siła  u o g ó l n i o n a  2Q.  Wprowadza  się ją  nastę pują co.  Niech  bę dzie  dana  praca  óL  sił  czynnych  2 F j a k o  iloczyn  (7.6)  ÓL =  2 2FII  d2y,.  Przemieszczenie  przygotowane  (7.7)  ó2y  =  j^lló2q,  A N A L O G I A  M E C H A N I C Z N O ­ S T E R E O  M E C H A N I C Z N A  185  czyli  я  дУ "л  ,  i  дУ п  .  dqu  °Ч ш   ,  д ут  д у „„  jest  róż niczką  p r z y g o t o w a n ą  funkcji  2J>(x,  2q)  przy  ustalonym  x.  Podstawienie  zwią zku  (7.7)  do  (7.6)  prowadzi  do  w y r a ż e n ia  pracy  elementarnej  sił  czynnych  2F  przez  dowolne  przyrosty  Ó2q  w s p ó ł r z ę d n y ch  u o g ó l n i o n y c h  2q  (7.8)  dL  =  2Fll^^gd2q  =  2| 2QHfl\  •   Definicja  14.  W s p ó ł c z y n n i k  2Q  (ciąg  d w u w s k a ź n i k o w y)  przy  b2q  wyraż ają cy  się  wzorem  ( т . ч .  d  zie  T—  symbol  cią gu  transponowanego,  nazywamy  siłą  u o g ó l n i o n ą .  8.  D w u w s k a ź n i k o we  równania  Lagrange'a  drugiego  rodzaju  we  w s p ó ł r z ę d n y ch  n i e z a l e ż n y ch  dynamicznego  u k ł a d u  stereomechanicznego n2­krotnego  R ó w n a n i e  to  wyprowadzimy  z  r ó w n a n i a  o g ó l n e g o  dynamiki  ?I( 2F~2EJ  II  2y")  II 62yt =  0.  Praca  6L  sił  czynnych  w  układzie  k a r t e z j a ń s k im  we  w s p ó ł r z ę d n y ch  niezależ nych  2q  przyjmuje  p o s t a ć   g | = „ a 6 / / 3 a g p  gdzie  w e d ł u g  (7.9)  2Q=2F  Analogiczną  p o s t a ć  ma  praca  6BL  sił  bezwładnoś ci  (8.1)  dBL=­, 2BII  ó2qr  gdzie  we  w s p ó ł r z ę d n y ch  niezależ nych  (8.2)  'В  =  ('Ё З Н >у ")&[Щ  =.  6  Mechanika  teoretyczna  186  R .  K R Z Y W I E C  (8.3)  Ponadto  stwierdzamy,  że  p r ę d k o ść   d  _  У  =  д2у   dx  y(x, 2q)  =  ~^ll2q'  д2у   д х   jest  funkcją  liniową  2q'.  Wobec  tego  (8.4)  Dodatkowo  z  (8.3)  mamy  (8.5)  Jeś li  bowiem  d2y'  _  d 2 ^  d2q'  ~  ~Щ   д2у '  _  d  д2у   d2q'  dx  d2q  2У  =  2y(x,2q),  to  czyli  fy  d2q  ^2p{x,2q),  ­Щ  =  [pi (x,  2q),  .. • , p„ (x,  2q)]  i  wtedy,  analogicznie  do  (8.3),  mamy  dx  d2q  d2q  ­  4  dx  d2q  d2q  ~  4  +  Эх  d2tf  '  Wobec  powyż szego  po  uwzglę dnieniu  zwią zkуw  (8.4)  i  (8.5)  r у w n o ś ć  (8.2)  przyjmie  p o s t a ć   d2y'  ( 8 ­ 6 )  2 * = ^ { W ^ ^ l l r j l  ­ • • •>  Е п п (У п п ) .  przedstawia  ciąg  d w u w s k a ź n i k o wy  energii  kinetycznych tego  u k ł a d u .  A N A L O G I A  M E C H A N I C Z N O ­ S T E R Ł O M E C H A N I C Z N A  1 8 7  Z  r ó w n a n i a  o g ó l n e g o  dynamiki  mamy  (8.8)  ÓL+óBL  =  0,  lub  po  wykorzystaniu  w y r a ż eń  na  prace  (8.9)  „(2Q­2B)II  d2qt=0.  R ó w n o ś ć  ta  zachodzi  wtedy  i  tylko  wtedy,  gdy  współczynniki  przy  d2q  są  r ó w n e  zeru 7 ).  Zatem  zwią zek  (8.9)  jest  r ó w n o w a ż ny  r ó w n o ś ci  2B  =  2Q,  k t ó r a  zgodnie  z  (8.6)  może  być  zapisana  w  postaci  d  д Т  д Т  , ­ (8.10)  dx  d2q  d2q  Ostatnia  r ó w n o ś ć  nosi  n a z w ę  r ó w n a ń  Lagrange'a  drugiego  rodzaju  lub  r ó w n a ń  Lagran­ ge'a  we  w s p ó ł r z ę d n y ch  niezależ nych  ( u o g ó l n i o n y c h )  dynamicznego  u k ł a d u  stereomecha­ nicznego  « 2 ­ k r o t n e g o .  P r z y k ł a d .  W y p r o w a d z i ć  m e t o d ą  Lagrange'a  r ó w n a n i a  ruchu  d r g a ń  swobodnych  u k ł a d u  stereomechanicznego  o  n2  stopniach  swobody.  Przedstawimy  p r z y k ł a d  ruchu  u k ł a d u  dynamicznego  stereomechanicznego  d w u w s k a ź ­ nikowego  otrzymanego  za  p o m o c ą  r ó w n a ń  Lagrange'a  drugiego  rodzaju  wyprowadzonych  w  tej  pracy.  R o z w a ż my  jeden  p r ę t  sprę ż ysty  o  sztywnoś ci  EJ  =  ax  =  const  poddany  wyboczeniu  siłą   P  =  a 2  =  const.  ,  W  tym  przypadku  z e r o w s k a ź n i k o we  r ó w n a n i e  ruchu  ma  p o s t a ć   а \У "\агу  =  0  z w a n ą  oscylatorem  stereomechanicznym  z e r o w s k a ź n i k o w y m.  Otrzymujemy  je  z  zero­ w s k a ź n i k o w e go  r ó w n a n i a  Lagrange'a  d  д Т  д Т   ~dx~  д у '  .  д у  ~  '  gdzie  Tjest  energią  kinetyczną  p r ę t a.  R o z w a ż my  n a s t ę p n ie  ciąg  n  p r ę t ów  sprę ż ystych  [2]  usytuowanych  na  jednym  odcinku  i  na  p r z y k ł a d  utwierdzonych  sztywno  jednym  k o ń c e m.  Swobodne  k o ń ce  są  p o ł ą c z o ne  sprę ż yś cie.  K a ż dy  p r ę t  jest  poddany  wyboczeniu j e d n ą  siłą.  7)  Wynika  to  s t ą d,  ż e  w s p ó ł r z ę d ne  n i e z a l e ż ne  c i ą gu  d w u w s k a ź n i k o w e go  zą  m a j ą  z u p e ł n i e  dowolne  przyrosty  d2q.  6*  188  R .  K R Z Y W I E C  J e d n o w s k a ź n i k o we  r ó w n a n i e  ruchu  m a  p o s t a ć   \dy"+lay  =  0,  czyli  iany"+  ...  1ainy'n'+2ally1+  ...  +2alny„  =  0 ,  •••  + i a „„j „'+ 2 a „i > 'i +  ...  + 2 f l n n ^ n  =  0 ,  k t ó r ą  nazywamy  oscylatorem  stereomechanicznym  j e d n o w s k a ź n i k o w y m.  Otrzymujemy  je z j e d n o w s k a ź n i k o w e go  r ó w n a n i a  Lagrange'a  d_dlT  д Т  ­ Oscylator  stereomechaniczny  d w u w s k a ź n i k o wy  przedstawia  r ó w n a n i e  lub  gdzie  EJn,  EJn\,  EJ  J S J 2 7 ' +  f 2 ^=  o,  \a2y"+ia2y  =  0 ,  EnJn  ...  ElnJln  En\J„\  ...  EmJ„„  E\\Ju  ...  EinJ\„  En\Jn\  ...  EnnJnn  E\\J\\  •  E„\Jn\  •  EnJn  .  E„\J„\ •  •  Et„Ju  F  T  E{„J i„  F  J  nit  tin.  }«  =  EJ  =[{EJ)hhhU],  ji>jz,jy*U  — 1» •••> n—cią g  c z t e r o w s k a ź n i k o wy  w s p ó ł c z y n n i k ó w  sztywnoś ci  (stały  jfl =  P =  [Pj1j2jyj4]  — c i ą g  c z t e r o w s k a ź n i k o wy  sił obcią ż ają cych  (stałych).  Energia  kinetyczna  u k ł a d u  « 2 ­ k r o t n e g o  >ii  •••  У \п   У ш  • • •  У п .  w y r a ż a  się  równoś cią   gdzie  (2y')2 =  У и У п  • • • У п У ш   У 'п У 'ш  • • •  У п У 'н п А   У м /и  • • • У 'ш У 'щ '*  _1У '1ч У п 1  • • • У 'п \У п п .  У ш У и  • • • У ш У ш   У 'Ш У 'Ш • • •  У 'ш У п п   гу 'п пу 'и  • ••  У п п У 'п   У п п У п 1  • •• У п п У п   (2У и )2  1Ш2  6 %) 2 1  Ш2.  A N A L O G I A  M E C H A N I C Z N O ­ S T E R E O M E C H A N I C Z N A  189  natomiast  / « ( У )2 ,  =  j a . i f f l i ) 2 , +  • • • +  fe^O",  =  =  ian 1 1 jii>'i'i+  ••• + Л « & ) < 1 +  ••• + i a 1 i „ „ j ; n / , 1 +  •••  +ia„„nny'ntty'nn,  przy  czym  \а(2у ')г  jest  odpowiednio  zbudowanym  cią giem  c z t e r o w s k a ź n i k o w ym  energii  kinetycznej  dynamicznego  u k ł a d u  stereomechanicznego  « 2 ­ k r o t n e g o .  Umawiamy  się,  że energię  kinetyczną  1T  zapiszemy  w postaci  i  M I  • ••  \Tin  iT„i  ...  \T„„  ze  wzglę du  na formalne  p o d o b i e ń s t wo  do przekształcenia  liniowego.  W tym  wzorze  2xTn  ш  ,aUny'ny'n  +  ...  +1а щ1у [1у 'и+  ...  ­т­1аП ыу 'пу 'п 1+  ...  +1aininy'uy'm,  2iTnn  =  ia„lnly'nny'n+  ...  +ian„n,y'n„y'i„+  ...  +iCt„lnny'my'„i+  ...  +iamnny'my'„n.  M a m y  wtedy  Podobnie  zapisujemy  energię  potencjalną  u k ł a d u  3 T = l [ 2 ^ ^ ]  =  ­ 4 [ 2 l Ј ( 5 ) l l l .  Energia  całkowit a  u k ł a d u  jest  s u m ą   2f=\f+lf,  przy  czym  d2T  г  4 ­ 2 ­ 1  Ze  wzglę du  na drgania  swobodne  Q =  0.  R ó w n a n i a  Lagrange'a  (8.10)  stanowią  ciąg  d w u w s k a ź n i k o wy  — u k ł a d  u k ł a d ó w  r ó w ­ nań ").  Wynikają  one  z  odpowiedniego  r ó ż n i c z k o w a n ia  funkcji  T  wzglę dem  kolejnych  zmiennych.  8)  S ą one s ł u s z n e r ó w n i e ż — j a k  wiadomo — w przypadku  d z i a ł a n i a na u k ł a d sit p o s i a d a j ą c y ch p o t e n c j a ł ,  czyli  przy  u w z g l ę d n i e n iu energii  potencjalnej.  190  R .  K R Z Y W I E C  Ten  sam  wynik  otrzymamy  w p r o w a d z a j ą c  poję cie  cią gu  energii  T.  Wtedy  k a ż da  jego  w s p ó ł r z ę d na  przedstawia  tylko  tę energię  u k ł a d u ,  które j  pochodna  wzglę dem  odpo­ wiednich  współrzę dnych  nie  jest  r ó w n a  zeru.  Pochdne.  p o z o s t a ł y c h  w s k a ź n i k ów  są r ó w n e  zeru.  Z a u w a ż m y,  że ten sam wynik  uzyska  się  po  zdefiniowaniu  pochodnej  przekształcenia  kwadratowego  1 « п и К 1 Л 1 + 1 « 1 ­ .п / п К+  • •• + i « n , „ > ' i i J , ń i+  ••• +iain.  У и У п  nn  nn  L  i f l n i „ i У п п Уи  nr   • • • ­*г\ап пп ХУ п п У [п Л ­  • • •  ~\­id„\nny'„ny'ni  +  ... +  \On„nny'my'nn  I ,  skąd  iaUlly'n+  •••  + i « i B l i y ł B +  ••  +ianlny'ni+  •••  +^inlny'„  T  \  i  1  1 nn  dynn  1 Я ц„ У и+  • •• +l"„n„,y'ln  +  •  + i O B i „ „ J B i + i O B B „ „ y'm +  \am„ny'„  W  ten s p o s ó b  otrzymamy  jeś li  oznaczymy  5 ­ i « n 1 1 j i i J i i +  ••• +  ialniny'ny'm;  I I  i  i  \Оп\,аУ п п У 1\  T  • • •  Bę dziemy  pisali  Wtedy  ;  i a B i „ , y i +  ••• +iammy'^tm  Zatem  A N A L O G I A  M E C H A N I C Z N O ­ S T E R E O M E C H A N I C Z N A  191  d  д2Т  г  4 ­ 2 ­ / ' i  d  ,  д г у  ~  [2\J­M\  ; — Р щп 1У и  +  • • •  +(—Р мп^)У п   Wobec  powyż szego  z  równoś ci  (8.10),  danej  cią giem  d w u w s k a ź n i k o w y m,  czyli  u k ł a d e m  d  d2f  d2f  _2Ó  dx  d2y'  d2y  ~~  Q  wynika  u k ł a d  r ó w n a ń  r у ż n i c z k o w y ch  l « l l 1 1 / l i +  • • •  + l f l l n l n J ' ™ + 2 « l I 1 1 > ' l l +  • • •  + 2 t f W m ,  =  0,  i f l « i „ , T n +  ... +\ап„п пу 'п'п+2аМ п 1У п ­г ­  ... +2а „П п пу„п  =  0,  k t у r y  zapiszemy  w postaci  ­1"п Уп'­Н а п У 1+  ... +2alnyn  =  0,  lub  \a^y\'  ­\amyn  =  0  \d2y  =  %.  Literatura  cytowana  W  t e k ś c ie  1.  R.  K R Z Y W I E C ,  Cią gi  wielowskaź nikowe,  Zagadn.  D r g a ń  Nielin.  (w  druku).  2.  R.  K R Z Y W I E C ,  Wyboczenic wielkiego systemu­ukladit wielowskaź nikowego  prę tów  sprę ż ystych  jako ruchu  przez  analogię ,  Arch.  Bud.  Masz.  (w  druku).  3.  R.  K R Z Y W I E C ,  Wielowskaź nikowe  równania  Lagrange'a drugiego  rodzaju  układów  mechanicznych wielo­ krotnych jako  wielkich systemów,  Zagadn.  D r g a ń  Nielin.  (w  druku).  4.  R.  K R Z Y W I E C ,  Analogia  mechaniczno­stereomechaniczna  w klasie jednowskaź nikowych  równań  Lagrange'a  drugiego rodzaju,  Mat.  II Konf.  Dynamiki  Maszyn,  R z e s z ó w  1969  (w  druku).  192  R.  K R Z Y W I E C  Р е з ю ме   М Е Х А Н И К О ­ С Т Е Р Е О М Е Х А Н И Ч Е С К АЯ  А Н А Л О Г ИЯ  У Р А В Н Е Н ИЙ   Л А Г Р А Н ЖА  В Т О Р О ГО  П О Р Я Д КА  С  Д В У МЯ  И Н Д Е К С А МИ   В  р а б о те  д а е т ся  о б о с н о в а н ие  м е х а н и к о ­ с т е р е о м е х а н и ч е с к ой  а н а л о г ии  в т о р о го  р о да  у р а в н е н ий   Л а г р а н жа  с  д в у мя  и н д е к с а м и,  в ы в е д е н н ых  н а я з ы ке  с т е р е о м е х а н и ки  б ез и с п о л ь з о в а н ия  в а р и а ц и о­ н н о го  и  т е н з о р н о го  и с ч и с л е н и й.  Т е о р е т и ч е с к ие  р а с с у ж д е н ия  п о д и т о ж е ны  и х  п р и м е н е н и ем  д ля  в ы в о да  у р а в н е н ий  с т е р е о­ м е х а н и ч е с к о го  о с ц и л л я т о р а.  Т а к им  о б р а з ом  у к а з а на  т а к же  м е х а н и к о ­ с т е р е о м е х а н и ч е с к ая  а н а л о г ия   у р а в н е н ий  г а р м о н и ч е с к о го  ( м а т е м а т и ч е с к о г о)  о с ц и л л я т о р а.  П ри р а с с м о т р е н ии  в о п р о са  б ы ли  и с п о­ л ь з о в а ны  п о с л е д о в а т е л ь н о с ти  с  д в у мя  и  ч е т ы р е мя  и н д е к с а м и.  S u m m a r y  M E C H A N I C A L ­ E L A S T I C  A N A L O G Y  I N  T H E C L A S S  O F  T W O ­ I N D E X  L A G R A N G E  E Q U A T I O N S  O F  S E C O N D  K I N D  The  analogy  has  been  derived without  using the  variational  and tensor calculus.  Theoretical  considerations  are  illustrated  by  their  application  to  the  derivation  of  the  equations  of  a  two­index  elastic  oscillator. This  proves  the  mechanical­elastic  analogy  in the  class  of  harmonic (mathe­ matical)  oscillator equations.  Multi­index  series  (2­index  and 4­index  in particular)  have  been  used  in the paper.  P O L I T E C H N I K A  W A R S Z A W S K A  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia 31 paź dziernika  1969  r.