Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS70\MTS70_t8z1_4_PDF\mts70_t8z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  8 (1970) ZAG AD N IEN IA  P LASTYCZ N EJ  AN ALIZ Y  P O WŁ O K 1' (KIERU N KI  BADAŃ   W  P OLSC E  W  D Z I E SI Ę C I OLE C IU   1960- 1969) MAREK  J A N   AS,  AN TON I  S A W C Z U K  (WARSZAWA) 1. Wstę p Analiza  plastyczna  konstrukcji  stanowi  obecnie  dobrze  rozwinię tą   dziedzinę   studiów. N iektóre jej  dział y rozwinę ły się  jako  zamknię te teorie posł ugują ce  się  wł asnymi metodami analizy. W zakresie teorii powł ok plastycznych  szereg zagadnień moż na traktować obecnie jako  klasyczne;  wś ród  nich wymienić  należ y: 1)  noś ność  graniczną ,  czyli  analizę   począ tkowego  pł ynię cia  sztywno- plastycznych powł ok  zbudowanych  z  materiał ów metalo- podobnych; 2)  analizę   mał ych  odkształ ceń  sprę ż ysto- plastycznych  poprzedzają cych  plastyczne pł ynię cie. Szczegółowe  omówienie  równań  opisują cych  te  problemy  znaleźć  moż na  w  pracy [61] lub  w monografiach  [8, 11, 58, 59]; tutaj  potraktujemy je  marginesowo.  N asza uwaga skupia  się  raczej na problemach wybiegają cych  poza zakres  zagadnień  klasycznych,  a mia- nowicie,  na  takich  zagadnieniach,  jak: 3)  noś ność graniczna konstrukcji  zł oż onych,  n p.  zbrojonych  lub  zbudowanych  z  ma- teriał ów o róż nych wł asnoś ciach przy  ś ciskaniu  i  rozcią ganiu; 4)  stany  pokrytyczne  konstrukcji  sztywno- plastycznych  i  sprę ż ysto- plastycznych; to  zagadnienie  sprowadza  się   do  analizy  duż ych  odkształ ceń pł yt  i  powł ok;  , 5)  analiza  dostosowania  się ,  czyli  zachowania  się   konstrukcji  przy  obcią ż eniach  po- wtarzalnych. Z  uwagi  na  analogię   w  metodach  analizy  powł ok  i  konstrukcji  pł ytowo- tarczowych, przeglą d  obejmuje  wyniki  dotyczą ce  także  tych  ostatnich  konstrukcji.  Wył ą czone z  przeglą du  są   problemy  kształ towania  plastycznego,  obliczania  zbiorników  gruboś cien- nych i  wię kszość zagadnień  lepko- sprę ż ysto- plastycznych.  D ane  bibliograficzne  dotyczą ce zagadnień  wykraczają cych  poza tak  zakreś lone  ramy znaleźć moż na w pracy  przeglą dowej Ż YCZKOWSKIEGO  [99].  Omówieniu  stanu  aktualnego  i  kierunków  rozwoju  teorii  powł ok plastycznych, jednak  ze  zwróceniem  uwagi  na  prace  radzieckie,  poś wię cony  jest  przeglą d RYCHLEWSKIEGO  i  SZAPIRO  [71].  Badania  w  zakresie  plastycznego  formowania  powł ok omówił   SZCZEPIŃ SKI w  pracach [91/ 92]  oraz  w  ksią ż ce  [93]. l)  Praca przygotowana  na kolokwium TASS «Progress  in  shell  structures  in the last  10  years  and its  future  development)), Madryt  1969. 206  M.  JAN AS,  A.  SAWCZU K D la jasnoś ci  przedstawimy  na  wstę pie  zasady  analizy  plastycznej.  Peł ny  ukł ad równań problemów  plastycznoś ci  zawiera: 1)  warunek  plastycznoś ci  przedstawiony  w  przestrzeni  naprę ż eń  przez  wypukł ą   po- wierzchnię   zamknię tą; 2)  prawo  pł ynię cia,  czyli  prawo  chwilowego  ruchu  elementów  uplastycznionych; zwykle  przyjmowane  jest  ono  w  postaci  stowarzyszonego  prawa  pł ynię cia; 3)  równania  ruchu; 4)  zwią zki  kinematyczne  opisują ce  prę dkoś ci  odkształ cenia w  zależ noś ci  od  prę dkoś ci ruchu  lub  odkształ cenia  w  zależ noś ci  od  przemieszczeń. Rozwią zanie  problemu  brzegowego  podaje  rozkł ad  naprę ż eń  i  prę dkoś ci  przemiesz- czeń  zgodne  z  warunkami  n a  podporach. Ponieważ  ś cisłe  rozwią zanie  tak  postawionego problemu  jest  rzadko  osią galne,  rozwinę ły  się   pewne  sposoby  przybliż one.  Szczególnie przydatne  okazują   się   tu  metody  teorii  stanów  granicznych.  Opierają   się   one  n a  dwóch podstawowych  twierdzeniach pochodzą cych od  G WOZDIEWA  [5], H ILLA  [6] oraz  DRUCKERA, G REEN BERG A  i  PRAGERA  [1] i  pozwalają   wyznaczać  górne  i  dolne  oszacowania  noś noś ci. Kinematycznie  dopuszczalne  rozwią zania  pomijają   warunki  statyczne  i  dają   oszacowania od góry, podczas gdy rozwią zania  statycznie dopuszczalne speł niają  tylko równania równo- wagi i warunek  plastycznoś ci. Róż ne  aspekty  zastosowania  metod  przybliż onych  opartych  na  powyż szych  zasadach zostaną   omówione  w  rozdział ach  3  i  4. 2.  Powierzchnie  graniczne Aby  mogł o  nastą pić  nieograniczone  pł ynię cie powł oki  z  materiał u  sprę ż ysto- plastycz- nego  lub  aby  powstać  mogł y  jakiekolwiek  odkształ cenia  powł oki  sztywno- plastycznej, cał y przekrój powł oki ulec musi uplastycznieniu. Jednakże warunek plastycznoś ci  okreś lany jest zwykle przy pomocy naprę ż eń i dotyczy izolowanego punktu w przekroju poprzecznym powł oki.  D la potrzeb  analizy  powł ok warunek  ten musi  być  odpowiednio przekształ cony, czyli  wyraż ony  przy pomocy  sił  wewnę trznych zwią zanych  z okreś lonym punktem powierz- chni  ś rodkowej.  Taką   transformację   warunku  plastycznoś ci  z  przestrzeni  naprę ż eń  do przestrzeni  sił  uł atwiają   zał oż enia  o prostych  normalnych i  o  prawie  pł askim  stanie  na- prę ż enia.  D zię ki  temu deformację   dowolnej  warstwy  opisać moż emy przy  pomocy  sześ ciu parametrów  odkształ cenia: zmian krzywizny  xy  i odkształ ceń powierzchni  ś rodkowej  Ay. Stą d  okreś lić moż emy, dla danych prę dkoś ci  odkształ ceń, stan naprę ż eń w cał ym przekroju poprzecznym,  korzystają c  z  warunku  normalnoś ci wektora  pł ynię cia do  powierzchni  gra- nicznej,  czyli  ze  stowarzyszonego  prawa  pł ynię cia. N aprę ż enia  mogą   być  wię c  okreś lone przy  pomocy  sześ ciu  parametrów  &y i  Xij. Po scał kowaniu naprę ż eń po  gruboś ci  powł oki otrzymujemy  sił y  osiowe  2Vy  i momenty  M u ;  one także  zależą   od  wymienionych  sześ ciu parametrów kinematycznych. N ależy zaznaczyć, że dzię ki zał oż eniu o prostych normalnych sił y  poprzeczne nie wchodzą   do tego  przekształ cenia. Okazuje  się , że warunek  symetrii sił osiowych  i momentów równoważ ny jest zał oż eniu o mał ej  gruboś ci powł oki w porównaniu z  promieniami  krzywizn. 208 M .  JAN AS,  A.  SAWCZU K Plastycznie  anizotropowe  powł oki  otrzymuje  się   bą dź  przez  zastosowanie  materiał ów anizotropowych  (anizotropowe  kontinuum),  bą dź  przez  takie  rozmieszczenie  materiał u izotropowego,  że  powł oka  uzyskuje  wł asnoś ci  zależ ne  od  kierunku  (np. powł oki  faliste, zbrojone  czy  ż ebrowane).  Te  dwa  typy  anizotropii  zwane  są   zwykle fizycznym  oraz  tech- nicznym  lub  konstrukcyjnym.  Oba  typy  anizotropii  dają   inne  równania  powierzchni  gra- nicznej.  Róż nice  te  omawiane  był y  przez  M ROZA  [53]  oraz  w  pracy  [73]. P owł oki  zbudowane  z  plastycznie  nieizotropowego  oś rodka  cią gł ego  (anizotropia fizyczna)  analizował o  wielu  badaczy.  D la  materiał ów  speł niają cych  warunek  H ubera- M isesa  (OLSZ AK i URBAN OWSKI [14]) powierzchnię   graniczną   podano w  [74]. Podobne wy- niki, ale dla warunku  H ILLA  [6], otrzymał   MIKELADZE [13]. Dyslaisję  wł asnoś ci powierzchni R ys.  1. a)  Warun ek  plastycznoś ci  dla  róż nych  granic  plastycznoś ci  przy  ś ciskaniu  i  rozcią ganiu  przedsta- wiony  w  przestrzeni  naprę ż eń  gł ównych, b)  powierzchnia  graniczna  dla  koł owych  powł ok walcowych  [72] granicznych  dla  odcinkowo  liniowych  warunków  plastycznoś ci  przeprowadzono  w  pra- cach  [20,  58]. Powierzchnię   graniczną   dla  ż ebrowanych  powł ok  walcowych  podali  BIRON i  SAWCZU K  [22]. W  przypadku  materiał ów,  dla  których  obowią zują   inne  warunki  plastycznoś ci  niż H ubera- M isesa  i  Treski, problem  budowy  powierzchni  granicznych jest  bardziej zł oż ony. Przed  zastosowaniem  przedstawionej  powyż ej  procedury  należy  okreś lić  odpowiedni  wa- runek  plastycznoś ci.  SANKARANARAYANAN   i  OLSZAK  [72] przyję li  dla  pł askiego  stanu na- prę ż enia warunek  opisany  w przestrzeni  naprę ż eń gł ównych przez nieregularny  sześ cioką t. N a  rys.  1  pokazano  uzyskaną   przez  nich  powierzchnię   graniczną   dla  powł oki  walcowej zbudowanej  z  materiał u  o  róż nych  granicach  plastycznoś ci  przy  rozcią ganiu  i  ś ciskaniu. Cechy  powierzchni  granicznych  zbudowanych  z  materiał ów znakoczulych (np. beton) zasł ugują   n a  specjalną   uwagę .  D la  materiał ów  charakteryzują cych  się   w  pł askim  stanie naprę ż enia  trzema granicami plastycznoś ci:  a c  — przy  ś ciskaniu,   oo dają   odpowiednio  ciś nienia:  hydrostatyczne  i równomierne. M R Ó Z  [53]  uzyskał  rozwią zania  kompletne dla ż elbetowej  kopuł y,  dla ś cię tego  stoż ka i  dla walca,  przy  zastosowaniu  zlinearyzowanej  krzywej  granicznej. 4.  Metoda  kinematyczna Z  wyją tkiem  przypadków  symetrii  obrotowej  kompletne rozwią zania  zagadnień  analizy plastycznej  są   rzadko  osią galne.  D latego  podejś cie  dają ce  górne  oszacowania  noś noś ci przycią ga  szczególną   uwagę .  Wś ród  pierwszych  prac  stosują cych  tę   metodę   do  powł ok niesymetrycznych  wymienić  należy  wyniki  FIALKOWA  [2] i  RŻ ANICYNA  [18].  Ten ostatni N ormalna  do  pł asz- czyzny  odniesienia ^ f. Rys.  7. Zależ noś ci kinematyczne w  uogólnionym  przegubie  plastycznym [37] ZAG AD N IEN IA  PLASTYCZNEJ  AN ALIZY  POWŁOK 213 zastosował   w  przypadku  powł ok  poję cie  linii  zał omu wprowadzone  przez  JOHANSENA [9] dla pł yt. Eksperymentalne  i  teoretyczne  studium  dotyczą ce  podstaw  teorii  linii  zał omów  dla ż elbetowych  powł ok walcowych  podano w pracy [75]. W pracy  [28] rozpatrzono mechaniz- my zniszczenia  odpowiadają ce  obrotom sztywnych  pł atów wzglę dem  przestrzennego  ukł a- du  osi.  D la takich mechanizmów w  przegubach  plastycznych  wystę pują   ś cinania  w pł asz- czyznach  stycznych  do  powł oki  i  linie  skupionych  odkształ ceń nie  pokrywają   się   z  gł ów- nymi  kierunkami  odkształ ceń. Poję cie  takich  uogólnionych przegubów plastycznych  wyjaś nione  jest  n a  rys.  7  i  8.  Ry- sunek  7  podaje  wektorowe  przedstawienie  chwilowego  ruchu  dwóch  sztywnych  pł atów Rys.  8. N iecią gł oś ci przemieszczeń  w uogólnionym  przegubie  plastycznym  [35] pł askiej  konstrukcji.  N a linii  dzielą cej  pł aty  wystę pują   niecią gł oś ci  ką ta  obrotu  oraz nor- malnych  i  stycznych  przemieszczeń  pł aszczyzny  ś rodkowej,  które  są   odpowiednio  równe Jak  pokazuje  rys.  8, niecią gł oś ci  te  dają   skupione  odkształ cenia. Są   one nowymi  uogólnio- nymi  prę dkoś ciami  odkształ ceń:  krzywizną  — ««„  =   f] ,  osiowym  odkształ ceniem  nor- malnym  A„„   — U n ] i  odkształ ceniem postaciowym  na  powierzchni  ś rodkowej  k nt   ='U t ]. Obliczenie dysypacji energii jest wówczas pracochł onne, lecz  uzyskane  na tej  drodze  górne oszacowania  noś noś ci  mogą   dawać  znacznie  niż sze  wartoś ci  w  porównaniu  z  wynikami opartymi  na  prostej  teorii  linii  zał omów, jak  np.  w  pracy  [18].  N a  rys.  9  podan o  górne oszacowania  noś noś ci  mał owyniosł ego przekrycia  walcowego  uzyskane  w  pracy  [29]  dla róż nych wielkoś ci parametrów stosunków  dlugoś ć - szerokoś ć A  — L jb  i gruboś ć - wyniosł oś ć o} =   h/ f. Przedstawione  wyniki  dotyczą   wytrzymał oś ci  przekroju  przy  osiowym  rozcią - ganiu  N , równej  10% wytrzymał oś ci  przy  ś ciskaniu  N c .  Linie  cią głe  oznaczają   omawiane rozwią zanie,  zaś  linie  przerywane  odpowiadają   rozwią zaniu  przybliż onemu  opartemu na warunku plastycznoś ci w postaci oś mioś cianu opisanego n a pokazanych n a rys.  1 stoż kach. Linie  osiowe przedstawiają   wyniki  dla  uproszczonej  teorii  linii zał omów. Podejś cie podobne do omówionego powyż ej zastosowane  został o w pracy [37] do  analizy ł ukowych  zapór  ż elbetowych.  Szereg  waż nych  wzorów  n a  dysypację   energii  w  uogólnio- nych przegubach plastycznych podany został  przez  JANASA i  KON IG A  W pracy  [35]. W  przy- padku, gdy  udział  energii pochł onię tej  przez  odkształ cenia gię tne jest  mał y  w  porównaniu 214 M.  JAN AS,  A.  SAWCZU K z  cał ą   energią   rozpraszaną   w  procesie  odkształ cenia plastycznego,  wyrazi  się   ona wzorem (4.2)  i > = = - Intensywność  / - tej  warstwy  zbrojenia  oznaczono  przez  JJ; , N c  oznacza  wytrzymał ość przekroju  betonowego  n a ś ciskanie, zaś  niecią gł oś ci  U„]  i  U t ] objaś nia  wzór  (4.1)  i  rys.  8. W  [35] podan o  przykł ady liczbowe  górnych  oszacowań  noś noś ci  dla przekryć  walcowych, paneli  o podwójnej  krzywiź nie  i dla tarczownic. 5,0 4,0 3,0 2,0 w- 0,2\ \ co- 0,2 w- 0̂   S u= D ,Z< \ \ \ PS? N t = q- r  wc ,  21 \ \ r——: I t  a o\ in- r  - - Z 1 , 0 2,0 3 , 0 Rys.  9.  Obcią ż enia  graniczne dla  mał owyniosł ego przekrycia  walcowego [29] M echanizmy zniszczenia realizują ce  się  poprzez powstanie  ukł adu linii zał omów badane był y  w  pracach  [31, 38].  Wykazano  tam, że jeś li  przy  róż noimiennym zginaniu momenty graniczne  są   róż ne, to  powierzchnia  ś rodkowa  musi  doznawać  odkształ ceń nawet  w  przy- padku  czystego  zginania.  Jeś li  wię zy  poprzeczne  przeciwstawiają   się   powstaniu  takich odkształ ceń,  to  od  samego  począ tku  procesu  deformacji  wystę pują   także  i  w  pł ytach sił y osiowe  (efekt  tarczowy).  Pł yty zachowują   się   wtedy  nawet  przy  mał ych odkształ ceniach jak  powł oki, czy  tarczownice. Okazuje  się , że klasyczna  teoria linii zał omów jest  wówczas kinematycznie  niedopuszczalna  i  niezbę dne jest  wprowadzenie  do  niej  omówionego  po- przednio  poję cia  uogólnionych  przegubów  plastycznych. 5.  Duże ugię cia .  Studia  z  zakresu  duż ych  odkształ ceń plastycznych  przycią gają   wcią ż  wzrastają ce  zain- teresowanie  ze  wzglę du  na  ich  znaczenie  przy  okreś laniu  rzeczywistego  współ czynnika bezpieczeń stwa  konstrukcji.  Efekty  wzmocnienia  geometrycznego  badane  są   bą dź  w  fazie niewielkich  ugię ć jako  tzw.  stany pokrytyczne, bą dź  dla bardzo zaawansowanych  odkształ - ceń  plastycznych,  gdy  powł oki i pł yty zachowują   się  jak  membrany. ZAG AD N IEN IA  PLASTYCZNEJ  AN ALIZY  POWŁOK 215 Teoria  niewielkich,  skoń czonych  ugię ć  zakł ada  mał ość  odkształ ceń,  a  wię c  pomija zmiany  gruboś ci  powł oki.  N atomiast  ką ty  obrotu  odkształ conej  powierzchni  ś rodkowej wpływają   na  postać  równań  równowagi  i  zależ noś ci  kinematycznych.  Teorię   tego  typu dla  idealnie  plastycznych  powł ok  rozwinę ła  D U SZEK  [23] i  zastosował a  do  badania stanów pokrytycznych konstrukcji  sztywno- plastycznych.  Ze  swej  przybliż onej  teorii  otrzymał a ona  zależ noś ci  mię dzy  obcią ż eniem  i  ugię ciem  w  przejś ciowej  fazie  mię dzy  począ tkowym plastycznym  pł ynię ciem  i  czysto  membranowym  stanem  dla  obcią ż onych  równomiernym ciś nieniem  zbiorników  walcowych  o  róż nych  warunkach  podparcia  krawę dzi  [23, 24, 26]. Okazuje  się ,  że walec przechodzi  w  stan  czysto  membranowy  już  dla  ugię ć  rzę du  gruboś ci powł oki. Pokazano  to  na  rys.  10  dla  przegubowego  podparcia  (linie  cią gł e)  i  dla  peł nego zamocowania  krawę dzi  (linie  przerywane).  Przy  tych  samych  zał oż eniach  D U SZ E K otrzymał a w  pracach [25, 27] wyniki  dla mał owyniosł ych  kopuł . H Rys.  10. Zależ noś ci  mię dzy  obcią ż eniem  i przemieszczeniem  dla  powł ok walcowych  obcią ż onych  ciś nieniem równomiernym  [24];  a —  rozwią zanie  bł onowe, b —  teoria  mał ych  przemieszczeń,  c —  przybliż ona  teoria dla  skoń czonych  przemieszczeń Przy  wię kszych  odkształ ceniach konieczne jest  podejś cie  dokł adniejsze  niż  pozwala  na to  teoria  Karmana.  Stosują c  współ rzę dne Lagrange'a,  WASZCZYSZYN   [95] zbudował   uś ciś- lone  równania  dla  teorii  mał ych odkształ ceń i  duż ych  ugię ć  powł ok  obrotowo- symetrycz- nych. Równania te wykorzystał   przy  rozwią zywaniu  zagadnień  w oparciu o teorię  odkształ - ceń  sprę ż ysto- plastycznych.  Obliczenia  numeryczne  zilustrowane  został y  przykł adem mał owyniosł ego  stoż ka  ś cię tego. ORKISZ  zastosował   w  swych  badaniach  duż ych  odkształ ceń  membranowych  powł ok obrotowych  podejś cie  G RIG ORIEWA  (patrz np. [4]). Stan bardzo  duż ych  odkształ ceń powł ok mogą cych  przenosić  jedynie  rozcią gają ce  siły  obwodowe  analizował   on  w  ramach  defor- macyjnej  teorii  plastycznoś ci.  W  szeregu  prac  przedstawił   metody  i  wyniki  rozwią zań numerycznych dla pierś cieniowych  membran, ś cię tych stoż ków  [62, 63] i dla powł ok ortotro- powych  [65].  Waż ny  problem  odcią ż ania  badany  był   w  pracy  [64].  ORKISZ  i  WI L K  [68] podali numeryczny sposób cał kowania równań uzyskanych  w pracy  [66], a  opisują cych  duże deformacje  powł ok  w  ramach  teorii  plastycznego  pł ynię cia. Praca  [67] stanowi  podsumo- wanie  i  rozwinię cie  wymienionych  publikacji  ORKISZA. D uże  odkształ cenia  i  utratę   statecznoś ci  powł ok  poddanych  dział aniu  ciś nienia  we- wnę trznego  i rozcią gają cych  sił  krawę dziowych  badał   MARCIN IAK [49, 50]  dla  celów  teori- 1 216  M .  JAN AS,  A.  SAWCZU K formowania  plastycznego.  Bogaty  przeglą d  prac poś wię conych  formowaniu  plastycznemu znaleźć moż na w  opracowaniach i ksią ż kach  SZCZEPIŃ SKIEGO [91- 93]. Bardzo  duże  odkształ cenia ciś nieniowych  walcowych  zbiorników  stalowych  był y  bada- ne przez JAN ASA i SAVE'A  (badania na rozerwanie  dla  potrzeb  optymalnego  projektowania). D oś wiadczenia  te  [36]  pozwalają   okreś lić  taki  sposób  rozdzielenia  materiał u pomię dzy powł okę   i  dna,  który  daje  konstrukcję   optymalną .  WIERZBICKI i  ANDRZEJEWSKI [97] po- kazali,  że  efekty  geometrycznej  nieliniowoś ci  grają   istotną   rolę   w  przypadki;  dynamicz- nych  obcią ż eń  (obcią ż enia  wybuchowe). Analiza  pł yt  przy  skoń czonych  ugię ciach  wykorzystuje  metody  stosowane  w  teorii powł ok. Z  tego  wzglę du omówimy  tu w  skrócie  także  i wyniki  dotyczą ce  pł yt.  WASZCZY- SZYN   [94] zastosował   wyprowadzone  przez  siebie  ś cisłe  równania  do  numerycznej  analizy sprę ż ysto- plastycznych  ugię ć  pł yt  koł owych.  Podał   on  przykł ad  dla  pierś cieniowej  pł yty JZ materiał u  o liniowym  wzmocnieniu.  WIERZBICKI i  KELLY  [96, 98] wykorzystali  dla sztyw- no- plastycznych  pł yt  koł owych  obcią ż onych  dynamicznie  metodę   opartą   na  teorii  Kar- mana,  zbliż oną   do  metody  stosowanej  do  powł ok  [23- 27]. Jak  już  zaznaczono,  kompletne  rozwią zania  problemów  dla  duż ych  przemieszczeń rzadko prowadzą   do wyników w postaci  analitycznej.  Stą d  wynika  zainteresowanie meto- dami przybliż onymi  pozwalają cymi  okreś lić zależ ność mię dzy obcią ż eniem i ugię ciem w  fa- zie  pokrytycznej,  czyli  po  wyczerpaniu  począ tkowej  noś noś ci  granicznej  konstrukcji. Podejś cie  kinematyczne  zastosowane  został o do pł yt  przez  ONATA  i HAYTHORNTHWAITE'A [15].  Rozpatrywali  oni  odkształ coną  pł ytę  koł ową  jako  powł okę   stoż kową   o  wzrastają cej ^wyniosł oś ci,  okreś lając  dla  każ dej  wartoś ci  ugię cia  odpowiednie  obcią ż enie  graniczne. RŻ AN ICYN   [19]  zastosował   do  duż ych  ugię ć  metodę  linii  zał omów przy  pewnych  uprosz- czeniach  dotyczą cych  sił  wewnę trznych  w  przegubach  plastycznych.  Pierwsze  rozwią zania dotyczą ce  zachowania  pokrytycznego  pł yt  ż elbetowych  podał   WOOD   [21].  M etoda  linii zał omów  zastosowana  został a przez  SAWCZUKA  i  WIN N ICKIEG O  [89, 90] do prostoką tnych pł yt ż elbetowych.  Rozpatrywano  tam mechanizm zniszczenia pł yt w postaci ukł adu pł atów poł ą czonych  przegubami  obrotowymi  i  rozcią gliwymi,  w  których  siły  wewnę trzne  zależ ały od  ugię cia.  Badano  róż ne  warunki  podparcia  i  uzyskane  zależ noś ci  obcią ż enie- ugię cie porównano z wynikami  doś wiadczeń.  D alsze wyniki  dla  duż ych  odkształ ceń pł yt  sztywno- plastycznych  podano w pracach [77—80]. Jeś li  warunki  podparcia  uniemoż liwiają   poziome  przemieszczenia  krawę dzi  pł yty,  to odkształ ceniom  towarzyszą   ś ciskają ce  sił y  osiowe.  Ś ciskanie  to  maleje  ze wzrostem  ugię ć i  dlatego  zależ ność  mię dzy  obcią ż eniem i ugię ciem ma charakter niestateczny. Zagadnienie to  badane  był o  w  pracy  [33]  i  zilustrowane  przykł adami  dla  sztywno- plastycznych  pł yt kwadratowych  i koł owych. Okazuje  się ,  że jeś li  uwzglę dniona  zostaje  osiowa  ś ciś liwość  sprę ż ysta  pł yty  ż elbetowej [34], to wzmacniają cy  efekt  ś ciskania  (efekt  tarczowy) jest  znacznie  sł abszy.  Maksymalne obcią ż enie,  które  przenieść  może  pł yta wystę puje  dla  ugię ć  mniejszych  od poł owy jej  gru- boś ci.  Wyniki  uzyskane  przy  uwzglę dnieniu  ś ciś liwoś ci  sprę ż ystej  dają   przejś cie  od  czysto zgię ciowej  teorii  do  analizy  sztywno- plastycznej  efektu  tarczowego.  Rysunek  11  podaje syntetyczne  wyniki  z  prac  [33, 34, 78]  dla  najprostszego  przypadku  walcowego  zginania zamocowanego  pasma  pł ytowego.  Obcią ż enie  P podano jako  funkcję   ugię cia  ś rodka  w 0 ; obie  zmienne przedstawione  są   w  postaci  bezwymiarowej:  PjP y   (stosunek  obcią ż enia  do ZAG AD N IEN IA  PLASTYCZNEJ  AN ALIZY  POWŁOK 217 zgię ciowego  obcią ż enia  granicznego)  i  w o / h  (stosunek  ugię cia  do  gruboś ci).  Krzywe z  rys.  lla  dotyczą   pasma  ż elbetowego,  zaś  z  rys.  l i b —p a sm a  stalowego.  Jak  widać, jedynie  krzywe dla ż elbetu  mają   charakter niestateczny. 2,0 1,0 0,5 w.  SprĘ ż .- ptast.[34J a)ż e/ tef / • 'Teoria b)stal 7  / /   '  / V'X.Spne II j  / i- ptast[34] T eoria  zgię dowa 2fl 1,5 - 1,0 0,5 O  0,5  1,0  1,5  S,0  Yfy  O  0,5  1fi  1,5 h Rys.  11. Zależ noś ci mię dzy  obcią ż eniem i przemieszczeniem dla  zamocowanego pasm a pł ytowego 6.  Dostosowanie  konstrukcji Konstrukcja  sprę ż ysto- plastyczna  poddana  dział aniu  obcią ż eń  powtarzalnych  lub dział aniu  kilku  obcią ż eń  zmieniają cych  się   niezależ nie w  pewnych  granicach  może utracić cechy  uż ytkowe  bą dź  wskutek  narastania  odkształ ceń  (zniszczenie  przyrostowe),  bą dź wskutek  zmę czenia plastycznego  (przemienne odkształ cenia plastyczne).  Analiza  dostoso- wania  się  konstrukcji  polega  na znalezieniu ograniczeń programu obcią ż enia, przy  których konstrukcja  zachowywać  się  bę dzie sprę ż yś cie.  U znajemy,  że  konstrukcja  dostosuje  się   do danego  programu  obcią ż enia,  jeś li po  skoń czonej  liczbie  cyklów  odkształ cenia plastycz- nego  powstanie  w niej  taki ukł ad  naprę ż eń resztkowych,  że dalsze  odkształ cenia bę dą   już czysto  sprę ż yste. Kompletne rozwią zanie  dla przypadku zmiennych obcią ż eń winno polegać na okreś laniu, krok  po kroku,  cał ej  historii  zachowania się   konstrukcji.  Podejś cie  takie jest  n a  ogół   zbyt pracochł onne  i  dlatego  opracowano  metody  pozwalają ce  oszacowywać  dopuszczalne obszary  zmiennoś ci  obcią ż eń.  Twierdzenie  MFXA.NA  [12]  pozwala  uzyskać  dolne  oszaco- wanie  obszaru  dostosowania  się   konstrukcji.  G ł osi  ono, że  konstrukcja  dostosuje  się   do danego  obcią ż enia, jeś li  istnieje  taki  niezależ ny  od  czasu  ukł ad  naprę ż eń  resztkowych,  że w  każ dej  chwili  suma  naprę ż eń resztkowych  i  naprę ż eń  otrzymanych  z  analizy  sprę ż ystej 1  M ech an ika  teoretyczna 218 M .  JAI^AS,  A.  SAWCZU K nie  bę dzie  przekraczać  warunku  plastycznoś ci.  D la  zastosowania  w  teorii  pł yt  i  powł ok uż ywają cej  zmiennych  uogólnionych  twierdzenie  to  wymaga  odpowiedniego  zmodyfiko- wania.  Takie uogólnienia podał   KON I G   [41, 42] wraz z szeregiem  przykł adów. Zasadniczym elementem jego rozważ ań jest  wprowadzenie  poję cia  powierzchni  sprę ż ystej.  Jest  ona  wy- pukł ą   funkcją   uogólnionych  naprę ż eń  i  znajduje  się   wewną trz  powierzchni  granicznej; przy  stanach  naprę ż enia  odpowiadają cych  wnę trzu  powierzchni  sprę ż ystej  konstrukcja zachowuje  się   czysto  sprę ż yś cie.  Zagadnienia  zwią zane  z  okreś laniem  takiej  powierzchni oraz jej  przemieszczania  się   i  odkształ cenia przy  wzroś cie  plastycznych  odkształ ceń  omó- wione  został y  w  pracach  [41, 42]. G órne oszacowania  obszarów  dostosowania  się  konstrukcji  uzyskać  moż na wykorzystu- ją c twierdzenie  KOITERA  O nieprzystosowaniu [10]. Mówi ono, że konstrukcja  nie  przystosuje się   do  rozpatrywanego  programu  obcią ż enia, jeś li  moż na  znaleźć  taki  kinematycznie  do- puszczalny  cykl  odkształ ceń, że  praca  obcią ż eń  zewnę trznych  przewyż sza  energię   rozpra- szaną   w  trakcie  tego  cyklu.  Energia jest wówczas rozpraszana  w  każ dym  cyklu  i w koń cu 0 , 4  - 0,2- 0,2  K R ys.  12.  G ran ice  dopuszczalnych  obszarów  obcią ż enia  dla  powł oki  walcowej;  a — krzywa  obcią ż enia granicznego  dla jednoparametrowego  obcią ż enia;  b —  górne  oszacowanie  obszaru  dostosowywalnoś ci  [83] konstrukcja  ulec  musi  zniszczeniu  bą dź  przez  wzrost  odkształ ceń, bą dź  przez  plastyczne zmę czenie. Twierdzenie  to jest analogiczne do twierdzenia teorii stanów granicznych o gór- nej granicy  obcią ż enia. W  celu zastosowania  twierdzenia Koitera w teorii powł ok, musi być ono  zapisane  przy  pomocy  zmiennych  uogólnionych.  Łą cząc  twierdzenie  z  warunkami okreś lają cymi  pola  przemieszczeń  dopuszczalnych  zwią zanych  z  okreś lonym  profilem naprę ż eń  w stanie granicznym, moż na uzyskać  oszacowanie  od góry obszaru  dostosowania się .  W  szczególnoś ci  udaje  się   to  przeprowadzić  dla  przypadku  odcinkowo  liniowych  po- wierzchni  granicznych. N a  moż liwość  wykorzystania  twierdzenia  Koitera w praktycznych  obliczeniach wskazał pierwszy  G OCH F ELD   [3]. N iezależ ną   od czasu postać tego  twierdzenia przydatną   do  analizy ZAG AD N IEN IA  PLASTYCZNEJ  AN ALIZY  POWŁOK  219 powł ok  podano  w  pracy  [83].  N a  rys.  12  podano  krzywe  okreś lają ce  obszar  zniszczenia przyrostowego oraz  noś ność  graniczną   powł oki  walcowej  obcią ż onej  pierś cieniem  sił i  ciś nieniem wewnę trznym.  Pokazano tam także odpowiednie drogi  obcią ż enia.  Rozwią za- nie  zagadnienia  noś noś ci  granicznej  dotyczy  obu  grup  obcią ż eń  wzrastają cych  propor- cjonalnie,  zaś  krzywa  zniszczenia  przyrostowego  odpowiada  dowolnej  drodze  obcią ż enia, n p.  oznaczonego] na^  rysunku  ł amaną   OKL M.  Warto  zwrócić  uwagę   na  fakt,  że ^dla obcią ż enia  jednoparametrowego  (np.  droga  OAO)  krzywa  noś noś ci  granicznej  wyraź nie róż ni  się   od  krzywej  oszacowują cej  od  góry  obszar  zniszczenia  przyrostowego  uzyskanej z przyrostowej  postaci twierdzenia  Koitera podanej w [83] dla dowolnego  cyklu  obcią ż enia. Zastosowanie  tego  twierdzenia  wymaga  jednak  na  ogół   w  praktycznych  przypadkach się gnię cia  do  metod  numerycznych. 7.  Wnioski Obecny  stan  badań  w  dziedzinie  powł ok  plastycznych  wydaje  się   wskazywać,  że  nowe rozwią zania  z zakresu  teorii stanów granicznych uzyskać  moż na przez szersze  zastosowanie technik numerycznych. Koncepcyjnie  nowych wyników  oczekiwać  moż na w dziedzinach takich,  jak: 1)  N oś ność graniczna  konstrukcji  zł oż onych  (konstrukcje  zbrojone  i  krucho- plastycz- n e);  zwrócenia  uwagi  wymaga, tak  dobór  wł aś ciwych  warunków  plastycznoś ci,  jak  i od- powiednich  metod  analizy. 2)  Teoria  duż ych  odkształ ceń powł ok; problem  statecznoś ci  odkształ ceń  plastycznych staje  się   istotniejszy  od  klasycznych  zagadnień  począ tkowej  noś noś ci  granicznej. 3)  Przybliż one  metody  analizy  duż ych przemieszczeń  opartych n a  odpowiednio  uogól- nionych twierdzeniach teorii stanów granicznych lub na  nowych  twierdzeniach, na przykł ad o  oszacowaniach  przemieszczeń. 4)  Analiza  odkształ ceń sprę ż ysto- plastycznych  przy  obcią ż eniach  wieloparametrowych; w  dziedzinie  dostosowywania  się   konstrukcji  brak  wcią ż  efektywnych  metod  obliczenio- wych. 5)  Metody  optymalnego  projektowania  plastycznego  dla  specjalnych  funkcji  kosztu, wł ą czając  w to optymalne projektowanie  z uwagi  na  dostosowanie  się   konstrukcji. 6)  Dynamiczne zachowanie się  powł ok plastycznych  i kruchych, szczególnie  z uwzglę d- nieniem  duż ych  przemieszczeń. Literatura  cytowana  w  tekś cie Bibliografia  ogólna 1.  D . C. D R U C KER ,  H . J.  G REEN BERG ,  W.  PRAG ER,  T he safety  factor  of  an  elastic plastic  body  in  plane strain, J. Appl.  M ech., 18  (1951), 371. 2.  M . N .  F IALKOW,  L imit  analysis of  simply  supported circular shell  roofs,  P roc.  ASC E ,  J.  Eng.  M ech . D iv., 84  (1958),  E M 3,  P ap.  1706. 2* 220  M .  JAN AS,  A.  SAWCZU K 3 .  JL  A.  rox*EJiBA,  HeKomopue 3adauu meopuu.  npucnoco6, KypH ., 5(1965),  976. 63.  J.  O R K I SZ ,  Skoń czone  odkształ cenia  obrotowo- symetrycznych  powł ok  w  stanie  bł onowym przy  pewnych typach fizycznej  nieliniowoś ci,  Rozpr.  Inż yn., 13  (1965),  693,  po  angielsku:  Bull.  Acad.  P ol.  Sci.,  15 (1967), 31. 64.  J .  O R K I SZ ,  Problem  odcią ż ania  obrotowo- symetrycznych  powł ok  w  stanie  bł onowym  przy  duż ych  od- kształ ceniach  niesprę ż ystych, Mech. Teor.  Stos., 3  (1965), 63. 65.  J.  ORKTSZ, Skoń czone  odkształ cenia niesprę ż ystych wiotkich osiowo- symetrycznych powł ok ortotropowych w stanie  bł onowym,  R ozpr.  Inż yn., 15  (1967),  697. 66.  J .  O R K I SZ , Skoń czone  odkształ cenia  wiotkich osiowo- symetrycznych powł ok  w stanie bł onowym  w ś wietle teorii plastycznego  pł ynię cia,  Mech. Teor.  Stos., 5  (1967), 463. 67. J .  O R K I SZ ,  Skoń czone  odkształ cenia  wiotkich osiowo- symetrycznych powł ok  z  uwzglę dnieniem  reologicz- nych  wł asnoś ci  materiał u, Zesz. N auk. Polit. Krak.,  Kraków  1967. 68.  J .  O R K I SZ , J.  WI L K , N umeryczne  obliczanie wiotkich obrotowo- symetrycznych powł ok poddanych plastycz- nemu  pł ynię ciu  w  zakresie  duż ych  odkształ ceń ,  M ech. Teor.  Stos.,  7  (1969),  179. 69.  J.  R YC H LE WSKI ,  L imit  analysis  of  helicoidal shells, N on- classical  Shell  Problems  (P roc. Symp.  IASS, Warszawa  1963), N orth - H ollan d- P WN, Amsterdam- Warszawa  1964,  819. 7 0 .  SI.  PfaixHEBCKHfij  K  oSufeu  nieopuu  udeajibuo  njiacmunecKux  oSoAoneK,  TpyflBi  VI  Bc e c .  KoH tb.  O 6 o n . IIjiacT.j  Bai