Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS70\MTS70_t8z1_4_PDF\mts70_t8z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3, 8 (1970) TE OR I A  P RZ YSTOSOWYWAN IA  SI Ę  BELEK LESZEK  K O N I E C Z N Y  (G DAŃ SK) 1.  Wstę p «D la  procesów  zwią zanych  z  pojawieniem  się  odkształ ceń plastycznych  przestaje  obowią zywać  jedno- znaczność zależ noś ci, wią ż ą cych  odkształ cenia z naprę ż eniami...  Wynika  stą d  wniosek, że w  zagadnieniach teorii  plastycznoś ci  podać należy  nie tylko  koń cowy  stan  obcią ż enia  (co był o wystarczają ce  dla  rozwią zy- wania zagadnień teorii ciał  sprę ż ystych  liniowych  oraz nieliniowych), lecz również cał ą  uprzednią  „ historię " rozpatrywanego  procesu  (jego  „ drogę "),  począ wszy  od  pierwotnego  stanu  beznaprę ż eniowego  i  bezod- kształ ceniowego...  N ależy jeszcze wyjaś nić, czy konieczność znajomoś ci  „ historii"... nie ogranicza zbytnio naszych rozważ ań i moż liwoś ci ich praktycznych zastosowań.  Innymi sł owy, należy wyjaś nić, czy otrzymane rozwią zanie,  znalezione przy  pewnej  ustalonej  przez  nas kolejnoś ci  i  sposobie  wzrostu  obcią ż eń ... bę dzie istotnie tą  nitką , za którą  musimy zdą ż ać do celu, jeś li konstrukcja lub element konstrukcyjny  poddane bę dą w  rzeczywistych  warunkach  pracy  pewnym  kolejnym  nastę pstwom  obcią ż eń lub sposobowi  ich narastania, które  róż nią   się   od  tych, jakie  wzię liś my  za  podstawę   naszych  obliczeń. N a  pytanie to nie moż na dać dziś jeszcze w  peł ni pozytywnej  odpowiedzi.  Jednak  duży  krok naprzód stanowią   twierdzenia o „ dostosowywania  się "  konstrukcji  czyli  ich „ adaptacji".,. Zrezygnujemy  w  zwią zku z  tym z  zał oż enia przyję tego  uprzednio,  a  dotyczą cego  kolejnoś ci  nastę pstw  obcią ż eń;  bę dziemy  teraz uważ ali,  że  dana  konstrukcja  poddan a jest  dział aniu takich  obcią ż eń, iż z  każ dego  z  nich  znamy  tylko najmniejszą   i najwię kszą   moż liwą   jego wartoś ć; przyjmujemy  przy  tym, że każ de z tych obcią ż eń  może się zmieniać  dowolnie  i  niezależ nie  od  drugich...w1' Z  twierdzeń  o  plastycznym  zniszczeniu  wynika,-  że  obcią ż enie  graniczne jest  niezależ ne od  poprzedn iej  historii  obcią ż an ia  kon strukcji.  M oż na wię c mówić  o  zabezpieczeniu  kon- strukcji  przed  zniszczeniem  plastyczn ym  w  dowolnym  program ie  obcią ż ania,  jeż eli  n a każ dym  etapie pro gram u m n oż n ik obcią ż eń m a wartość mniejszą   od odpowiedniej  wartoś ci gran iczn ej. Istnieje  też  inne  kryterium  dla  kon strukcji,  bę dą ce  również  inwariantem  wzglę dem historii  obcią ż ania.  Jest  n im  ogran iczon ość  cał kowitej  pracy  odkształ ceń  plastycznych, ja ka  może  być  rozproszon a  w  kon strukcji  przy  nieograniczonym  powtarzan iu  dowolnego cyklu  obcią ż ania.  Są   podstawy,  ż eby  się   spodziewać,  że  speł nienie tego  kryterium  zapewnia w  praktyce  dostateczn e  ograniczenie  trwał ych  odkształ ceń  konstrukcji. Z  p u n kt u  widzenia  tego  kryterium  zabezpieczenie  konstrukcji  przed  zniszczeniem  pla- stycznym  w  ogólnym  przypadku  n ie  wystarcza  (ograniczoność  cał kowitej  pracy  odkształ - 1 1  Cytaty  zaczerpnię to  z  [1], z  rozdział u  napisanego  przez  W.  Olszaka. 258  L.  KON IECZN Y ceń  plastycznych  m oż na wówczas  udowodnić  tylko  dla  skoń czonych  program ów  obcią ż a- n ia). W przypadku  powtarzają cych  się , dostatecznie zł oż onych cyklów  obcią ż eń, cał kowita praca  odkształ ceń plastycznych  roś nie  nieograniczenie.  Typ  zniszczenia  kon strukcji,  jaki wówczas  wystę puje,  jest  nazywany  ogólnie  zniszczeniem  w  wyniku  cyklicznych  odkształ - ceń  plastycznych.  R ozróż nia się   wtedy  dwa  rodzaje  zniszczenia.  Pozostawiają c  n a  boku stronę   fizyczną   zjawiska  m oż na  stwierdzić,  że  gdy  obcią ż anie  m a  ch arakter  przem ien n y powstaje  zjawisko  przemiennej  plastycznoś ci  (alternating  plasticity),  co  może  doprowa- dzić  do  pę knięć  po  niewielkiej  liczbie  cykli. N iech  ekstremalne  wartoś ci  obcią ż eń  dadzą   się   opisać  przez  podan ie  jedn ego  para- metru  p 0 .  G dy  po  przekracza  pewną   krytyczną   wartość  (p o ) kI ,  wówczas  kon strukcja  nie przystosuje  się   i podczas każ dego  cyklu  obcią ż ania powstają   przyrosty  obrotów  w  plastycz- nych przegubach. U stala się   stan stacjonarny, w którym przyrosty  obrotów w każ dym  prze- gubie  są   takie  same  w  każ dym  cyklu.  P roces  ten  prowadzi  do  n adm iern ych odkształ ceń plastycznych;  mówimy,  że  konstrukcja  uległ a  przyrostowem u  zniszczeniu  (incremental collapse). 1.  Podstawowe  hipotezy  i  definicje Rozpatruje  się   konstrukcje  prę towe  poddan e  gł ównie  zginaniu,  dla  których  wpł yw innych  sił   wewnę trznych  (oprócz  m om en tu zginają cego)  n a  proces  uplastycznienie  m oże być  pominię ty.  P otrzebn a  teoria  w  zasadzie  istnieje  (m onografia  N E ALA  [2]), jakkolwiek jest  on a  obarczona  poważ nymi  n iedostatkam i  n atury  formalnej,  które  au t o r  st arał   się w  niniejszej  pracy  u su n ą ć .2 )  Istotną   róż nicą   jest  wprowadzenie  tu  innej  m atem atyczn ej definicji  przystosowania  się  konstrukcji  w zbiorze  obcią ż eń, co umoż liwiło przeprowadzen ie poprawnego  wywodu  warunków  wystarczają cych  przystosowan ia  się   (Twierdzenie  1). Przy  przyję ciu  tej  definicji  wywód  warun ków  koniecznych  nie jest  trywialny  i  został   rów- nież  podan y  w  niniejszej  pracy  (Twierdzenie  2). P odstawowa  hipoteza  teorii  dotyczy,  ja k  wiadom o,  ch arakteru  zależ noś ci  mię dzy  m o- mentem  zginają cym  a  krzywizną   dla  ustalon ego  przekroju  belki  (hipoteza  o  przegubach plastycznych).  D la  belki  znajdują cej  się   począ tkowo  w  stanie  n aturaln ym  (bez  n aprę ż eń i  odkształ ceń) postulowana  zależ ność  przedstawiona  jest  n a  rys.  1  (OAB),  przy  zał oż en iu zgodnoś ci  konwencji  znaków  dla  m om en tu  i  krzywizny.  P ostuluje  się ,  że  gdy  m om en t zginają cy  M  wzrasta  i  dą ży  do  wartoś ci  m om en tu granicznego,  krzywizna  «  w  rozpatry- wanym  przekroju  roś nie  nieograniczenie; odpowiada  to  przejś ciu  w  stan  plastyczny  cał ego przekroju  belki.  Jeż eli  prę t znajdują cy  się   począ tkowo  w  stanie  n aturaln ym obcią ż any  jest ujemnym  momentem zginają cym,  postulowan a  zależ ność  mię dzy  m om en tem i  krzywizną w  ustalonym  przekroju  belki  jest  analogiczna  (OCD). M atematycznie,  przyję ta  hipoteza  oznacza,  że  m om en t zginają cy  w  każ dym  przekroju prę ta  speł nia  podwójną   nierówność (2- 1)  - M gr Ś Mś M gr 2>  N a nieś cisł oś ci istnieją cej  teorii adaptacji  dla  oś rodka cią gł ego  zwrócił   uwagę   J. Rychlewski  w  refe- racie:  O podstawowych  twierdzeniach  teorii przystosowywania  się   ciał  sprę ż ysto- plastycznych,  wygł oszonym na  konferencji  naukowej  ZM ÓC  IPPT PAN ,  Bielsko- Biała  1967. T E O R I A  P R Z YSTOSOWYWAN I A  SIĘ   BELEK 259 o raz  że  przyrosty  krzywizny  są   zawsze  tego  samego  zn aku  co przyrosty  m om en tu zginają - cego dM  „ (2.2) CIK Osią gnię cie  m om en tu granicznego  odpowiada  nieograniczonej  krzywiź nie,  a  wię c  w  prze- kroju  obcią ż onym  m om en tem gran iczn ym  mogą   powstać  skoń czone przyrosty  ką ta  ugię cia n a  nieskoń czenie m ał ym odcin ku  belki.  M ogą   wię c  wystą pić  wzglę dne  obroty  0 obu  czę ś ci belki  wokół   przekroju  obcią ż onego  m om en tem  granicznym,  przy  czym (2.3)  Mód  ^  0. P ostulowan ą   zależ ność  M- x  m o ż na  wyprowadzić  przy  przyję ciu  m ateriał u sprę ż ysto- ide- alnie  plastycznego  i  szeregu  zał oż eń przyjmowanych  zazwyczaj  w  teorii  belek [3]. Obecność  n aprę ż eń  wł asnych  w  przekroju  belki  w  stanie  począ tkowym  wpł ywa  n a  za- leż ność  moment  zginają cy- krzywizna.  W  ogólnym  przypadku  funkcja  t a  nie jest  okreś lona jedn ozn aczn ie  i  może  być  n p .  t aka,  ja k  OA'B',  OC'D'  n a  rys.  1.  Podstawowe  wł asnoś ci (2.1) —  (2.3)  pozostają   jed n ak  zawsze  zachowan e. Rys.  1 P rzy  odcią ż aniu belki  obcią ż onej  poza granicą   sprę ż ystoś ci  zależ ność mię dzy momentem zginają cym  i krzywizną   jest in n a, n iż przy  obcią ż aniu. Jeż eli belka, znajdują ca  się  począ tko- wo  w  stanie  n aturaln ym , jest  obcią ż ona  m om en tem zginają cym  wię kszym  od  m om en tu M s (wywoł ują cego  uplastyczn ien ie  skrajnych  wł ókien) i  nastę pnie  m om en t maleje,  t o  obowią - zuje  sprę ż ysta  zależ ność  mię dzy  zm ian am i  krzywizny  i  m om en tu  zginają cego  t ak  dł ugo, d o pó ki  nie  n astą pi  powtórn e  uplastycznienie,  p o  czym —  gdy  m om en t zginają cy  dą ży  do —  M gr   —  krzywizna  maleje  nieograniczenie  (rys.  1,  BEF).  P rzy  odcią ż aniu  od  ujemnego m om en tu  zginają cego  obowią zuje  analogiczne  prawo  (DGH).  Postuluje  się ,  że  zakres sprę ż ystej  pracy  belki  jest  niezależ ny  od  historii  obcią ż ania  i  równy  2M S   (podwojonemu zakresowi  sprę ż ystemu  dla  belki  obcią ż anej  od  stan u  n aturaln ego). 260 L.  KON IECZN Y D la  belki  o  przekroju  z  dwiema  osiami  symetrii,  znajdują cej  się   począ tkowo  w  stanie n aturaln ym ,  m oż na  uzasadnić  hipotezę   o  odcią ż aniu  w  oparciu  o  zał oż enia  wspom n ian e wyż ej  [3]. D la  belek  o  przekroju  z  jedną   tylko  osią   symetrii,  hipoteza  o  sprę ż ystym  odcią ż aniu nie jest  sł uszna  w  cał ym zakresie  moż liwych  m om en tów  zginają cych.  M oż na  to  wykazać V •   Rys.  2 rozważ ając  belkę , dla której  oś dzielą ca pole przekroju  poprzecznego n a poł owy nie  pokry- wa  się   z  osią   przechodzą cą   przez  ś rodek  cię ż koś ci  przekrojii.  Odcią ż ając  belkę   od. stan u, w  którym  obszar  pł ynię cia  przekroczył   ś rodek  cię ż koś ci  przekroju  zauważ ymy,  że  gdyby miał o  miejsce  sprę ż yste  odcią ż anie, to  p o  jednej  stron ie  osi  ś rodków  cię ż koś ci  n aprę ż en ia Obcią ż anie zmniejszał yby  się   poniż ej  granicy  plastycznoś ci,  n atom iast  p o  drugiej  stronie  n aprę ż en ia musiał yby wzrastać powyż ej  granicy  plastycznoś ci  (w czę ś ci przekroju  mię dzy  osią   ś rodków cię ż koś ci  i  osią   dzielą cą   przekrój  n a  poł owy),  co  jest  niemoż liwe  dla  m ateriał u  idealn ie plastycznego. Przy  speł nieniu  hipotezy  pł askich  przekrojów,  nie  m oż na  znaleźć  takiego  przyrostu naprę ż eń,  który  dawał by  zerową   sił ę   osiową   oraz  nie  powodował   przekroczen ia  granicy plastycznoś ci  w  ż adnym  punkcie przekroju  belki.  W  przypadku  odcią ż ania  stan odkształ - ceń belki  z jedną   osią   symetrii  nie zawsze wię c może być  opisany  przez podan ie krzywizny. T E O R I A  P R Z YSTOSOWYWAN I A  SIĘ   BELEK  261 W  dą ż eniu  do  maksymalnego  uproszczenia  przyjmuje  się   dalej  tak  zwaną   idealną   za- leż ność  mię dzy  momentem  zginają cym  i  krzywizną   (rys.  2).  Postuluje  się   zachowanie sprę ż yste  aż  do  chwili  cał kowitego  uplastycznienia  przekroju,  kiedy  przekrój  nie  może przenosić  m om entu  wię kszego  od  granicznego,  a  krzywizna  jest  równa  odpowiedniej krzywiź nie  sprę ż ystej,  bą dź nieskoń czona. Zależ ność taka jest  speł niona dla hipotetycznego idealnego  przekroju  —  dź wigara  dwupasowego.  Z akł ada  się   również  w  tym  przypadku sł uszność  hipotezy  o  sprę ż ystym  odcią ż aniu. P odam y  definicje  szeregu  poję ć  uż ywanych  dalej. D e f i n i c j a  1.  Zniszczeniem  plastycznym  nazywamy  stan, w  którym  mogą   powstać niezerowe przyrosty  ugię ć w  konstrukcji  przy  zerowych  przyrostach  obcią ż eń zewnę trznych (przy  równoczesnym  speł nieniu  warunków  równowagi  z  obcią ż eniami  zewnę trznymi). Odpowiednie  obcią ż enia  nazywamy  obcią ż eniami  granicznymi,  a  stan  równowagi  —  rów- nowagą   graniczną   [4]. M oż na udowodnić [2], że wszystkie moż liwe poł oż enia równowagi  granicznej  konstrukcji róż nią   się  o przemieszczenia mechanizmu, zwanego  mechanizmem zniszczenia plastycznego. D e f i n i c j a  2.  Statycznie  dopuszczalny  rozkł ad  momentów  jest  to  taki  rozkł ad m om entów  zginają cych  w  konstrukcji,  ż e: 1°.  F unkcja  M(x)  okreś lona  jest  z  równania d 2 M ~dx^   ~   q W z  dokł adnoś cią   do  wielkoś ci  hiperstatycznych; 2°.  M omenty nigdzie  nie przekraczają   m om en tu granicznego  co do wartoś ci  bezwzglę d- nej. D e f i n i c j a  3.  Bezpieczny  statycznie  moż liwy  rozkł ad  momentów  okreś lamy  jak wyż ej,  wymagają c  pon adto,  aby  momenty  zginają ce  był y  wszę dzie  mniejsze  od momentu granicznego  co  do  bezwzglę dnej  wartoś ci. D e f i n i c j a  4.  Zbiór  obcią ż eń  ograniczony. N iech  bę dzie  dany  nieskoń czenie- pa- rametrowy  zbiór  obcią ż eń  Q,  który  jest  podzbiorem  przestrzeni  liniowej  unormowanej (przestrzeń  funkcyjna).  M ówimy,  że  zbiór  ten jest  ograniczony, jeż eli  norma każ dego  ele- m entu  peQ  speł nia  nierówność V  A M  =  N- D e f i n i c j a  5.  Momenty  zginają ce  wł asne.  M omentem  sprę ż ystym  Jt^ x )  w  prze- kroju  x  prę ta  nazywamy  m om en t  zginają cy  obliczony  dla  dowolnego  danego  obcią ż enia przy zał oż eniu, że cał a konstrukcja  znajduje  się  w zakresie sprę ż ystym  (materiał  jest idealnie liniowo  sprę ż ysty).  JPffi  i  Jl^   są   ekstremalnymi  wartoś ciami  funkcjonał u  Jl( x ) w  zbiorze  Q.  Jeż eli  oznaczyć  przez  M( x)   rzeczywisty  moment  zginają cy  jaki  powstanie w  przekroju  x  n a  dowolnym  etapie  program u  obcią ż ania,  to  moment wł asny r M   w  tym przekroju  jest  zdefiniowany  nastę pują co (2- 4)  r (x)   =   M lx) - J( M . Tak  okreś lony  m om en t r^   może  być  róż ny  od  momentu; jaki  pozostanie  w  konstrukcji po  usunię ciu  obcią ż eń  zewnę trznych,  ze  wzglę du  n a  moż liwość  powstawania  nowych  od- kształ ceń  plastycznych  podczas  odcią ż ania. 262  L.  KON IECZN Y D e f i n i c j a  6.  M ówimy,  że  kon strukcja  przystosował a  się ,  jeż eli  dla  dowoln ego nieskoń czonego  program u  obcią ż ania  cał kowita  praca  plastyczna  dysypowana  w  kon - strukcji  jest  ograniczona,  tzn . N >0  PJ)EQ  0  L J  fwpdxdt  ^ TV". Przyję te  cał kowe  kryterium  przystosowania  się  nie  zabezpiecza  przed  lokaln ym  (wy- stę pują cym  na  zbiorze  miary  zero)  zmę czeniem  plastycznym .  Jest  on o  równ oważ ne  kry- terium  lokalnemu,  o  ile  wystę pują ce  funkcje  są  wystarczają co  regularn e  wzglę dem  współ - rzę dnych,  a  obszar  ciał a  ograniczony. 3.  Teoria  dla  idealnego  profilu T w i e r d z e n i e  1.  Jeż eli  istnieje  taki  szczególny  rozkł ad  m om en tów  wł asnych Q(X),  do którego m oż na dodać ekstremalne m om en ty zginają ce  (w ograniczonym zbiorze  Q) nie  osią gając  (z  danym  współ czynnikiem  zapasu  m  >  1)  w  ż adn ym  przekroju  m om en tu granicznego,  to  konstrukcja  przystosuje  się  w  każ dym  program ie  obcią ż ania  p(t)  e  Q. D aleko  precyzyjniej  m oż na  wypowiedzieć  t o  twierdzenie  uż ywając  zapisu  logiczn ego: .  .  M gr (x) Q(X)  - \ - Jiy£?  g  — - —- m ^  M gr {x)m > l m P( O«Ao"   m~l  L D o w ó d .  Rozpatrzym y  dowolny  program  obcią ż ania.  Wprowadzim y  wielkość  e okreś loną  przez  równanie - J- gdzie  r oznacza rzeczywisty  m om en t wł asny  w  przekroju  x  n a  dowolnym  etapie program u obcią ż ania  (dla  okreś lonego  t).  Cał kowanie  rozcią ga  się  n a  wszystkie  prę ty  kon strukcji. Z  definicji  wynika, że e jest nieujemne; jest to  m iara róż nicy  mię dzy  rzeczywistym  i  hipo- tetycznym  rozkł adem  m om en tów  wł asnych. Z akł adam y,  że  podczas  nieskoń czenie  mał ego  przedział u  czasu  dt  powstan ą  takie zmiany  przykł adanych  obcią ż eń,  że  rzeczywisty  m om en t zginają cy  w  dowolnym  przekro- ju  x  zmieni  się  o  dM(x).  N iech  bJi{x)  i  dr(x)  bę dą  odpowiedn io  przyrostam i  m om en tów sprę ż ystych  i  wł asnych. W  tym  samym  czasie  przyrosty  obrotów  plastycznych  przegubów  wynoszą  dd k   (k  = P rzyrost  e  wynosi óe  = :  I  (r—Q)——dx. L T E O R I A  P R Z YSTOSOWYWAN I A  SIĘ   BELEK  263 N apiszemy  równanie  prac  przygotowanych  dla  samozrównoważ onego  rozkł adu  mo- m entów  wł asnych  (/• —g).  Zauważ ymy,  że  rzeczywiste  przyrosty  krzywizny  dMjEJ  muszą speł niać  warunki  geometrycznej  zgodnoś ci  z rzeczywistymi  przyrostami  obrotów  w prze- gubach  plastycznych  60 k .  C o  wię cej,  przyrostom  krzywizny  — -   (które miał yby  miejsce, gdyby  cał a  konstrukcja  zachowywał a  się   w  sposób  czysto  sprę ż ysty)  powinny  odpowiadać zerowe przyrosty  obrotów w plastycznych przegubach. Stą d wynika,  że przyrosty  krzywizny ~EJ  ~EJ muszą   być  zgodne z rzeczywistymi  przyrostami  dd k   obrotów  w  plastycznych  przegubach. Z  zasady  prac  przygotowanych  wynika d + ]  ik~Qk)d6k =  0; tutaj  sumowanie  obejmuje  wszystkie przekroje  k,  w  których  wystę pują   obroty  w  plastycz- nych przegubach w rozpatrywanym, nieskoń czenie mał ym przedziale czasu  dł . Otrzymujemy wię c (a)  Se=- ^ (r k ~Q k )dd k . k Rozpatrzymy  teraz  przekrój  k  taki,  że r k ~Qk  < 0. Biorą c  pod  uwagę   nierównoś ć,  tkwią cą   w zał oż eniu  twierdzenia,  otrzymamy <   Mgr,k lecz  z definicji  m om en tu  wł asnego  wynika, że gdzie  Mfax  jest  rzeczywistym  maksymalnym  momentem  zginają cym,  jaki  mógł by powstać w  przekroju  k,  gdyby  m om en t  wł asny  był   równy  r k .  Tak  wię c k  ^  lvlgr,k* Wynik  ten wskazuje,  że  obroty  w  przegubie  plastycznym  w  tym przekroju  mogą  wystą - pić  tylko  w kierunku  ujemnym  ó k d <  0, ponieważ  dd k   mogł yby  być  tylko  wtedy  dodat- nie,  gdyby  M k   =   M gr>k . Stą d  wynika, że (r k - Q k )d8 k   > 0. W  podobn y  sposób  m oż na  pokazać,  że  gdy  r k —Q k  > 0,  to  66 k   musi  być  dodatnie, tak że  również  w tym  przypadku (r k - e k )d6 k >0. W  konkluzji  stwierdzamy, że (r k - Q k )d0 k   k 0. 264 L.  KON IECZN Y Z n ak  równoś ci  dotyczy  przekrojów,  w  których  n a  dan ym  etapie  obcią ż ania  r k   =  gt .  Z  za- leż noś ci  (a)  otrzymujemy  wię c  de <  0.  Jeż eli  w  nieskoń czenie  mał ym przedziale  czasu  6t nie  m a  obrotów  w  plastycznych  przegubach,  to  oczywiś cie  wtedy  de  =  0. Pokazaliś my  wię c,  że e maleje,  gdy  wystę pują   obroty w przegubach plastycznych  i pozo- staje  stał e,  gdy  zachowanie  jest  czysto  sprę ż yste.  P onieważ  e  jest  oczywiś cie  nieujemne, wię c  może  albo  osią gnąć  zero,  albo  pewną   wartość  d o d at n ią .3' M oż na  pokazać,  że  cał kowita praca  odkształ ceń plastycznych  jest  ogran iczon a  dla  do- wolnego  nieskoń czonego  program u.  Biorą c  pod  uwagę   poprzedn ie  rozważ an ia  m am y Stą d OJ o  i/ 2 0 Ar Wykorzystano  tutaj  fakt,  że  (r k —Q k )dQ k   >  0. Wybierzmy  taki  przekrój  k,  w  którym Wtedy  w  tym  przekroju a  ponieważ  z  zał oż enia m m wię c Vk~Qk\ = P odobnie  w  przekroju,  w  którym  dd k   >  0  mamy I*, —L / m, — A/ f . ,1 k\ "'''k 1 Y ĝr, k oraz Otrzymujemy  wię c,  że m m- \ m • Mgr. gr.k. m - MgPir, 3)  Z faktu  tego  (po upewnieniu się , że e = const tylko wtedy, gdy  brak jest  przyrostów  obrotów w prze- gubach plastycznych)  N EAL  [2] wycią ga  zbyt  daleko idą cy  wniosek,  że powstanie  rozkł ad momentów wł as- nych,  umoż liwiają cy  przenoszenie  dalszych  zmian  ograniczonych  obcią ż eń  w  sposób  czysto  sprę ż ysty TEORIA  PRZYSTOSOWYWANIA  SIĘ  BELEK  265 O statn ia  cał ka p o prawej  stron ie jest cał kowitą  pracą  plastyczną   rozproszoną  w  konstrukcji dla  belki  o  idealnym  przekroju  m am y  bowiem U wzglę dniono  przy  tym , że  w  każ dym  przegubie  plastycznym  praca  t a jest  nieujemna, co wynika z podstawowej  hipotezy. W konkluzji  dowodu otrzymaliś my wię c, że dla  każ dego nieskoń czonego  pro gram u  obcią ż an ia  i  współ czynnika  zapasu  ze  wzglę du  n a  przystoso- wanie  m  >  1  cał kowita  p raca  plastyczn a  jest  ogran iczon a m—l  J  2EJ o  L co  koń czy  dowód  Twierdzen ia  1. Warun ki  podan e w  twierdzeniu  są   warun kam i  wystarczają cymi  dla przystosowania  się kon strukcji  z  prę tów  o  przekroju  idealnym . T w i e r d z e n i e  2.  Jeż eli  kon strukcja  się  przystosował a,  to istnieje  taki  szczególny rozkł ad  m om en tów  wł asnych  Q(X)  (niezależ ny  od  czasu),  że  wszystkie  moż liwe  zmiany obcią ż eń,  wewną trz  dan ych  ograniczeń,  są   przen oszon e  bez  naruszenia  warun ku  uplas- tycznienia. > \   /   A  r  •   \   / N >omeao  ess Istnienie  hipotetycznego  rozkł adu  m om en tów  wł asnych  Q(X) takiego,  że  dla  każ dego  x jest  wię c  warun kiem  kon ieczn ym  dla  przystosowan ia  się   konstrukcji. D o w ó d .  N iech n ie istnieje  taki  rozkł ad m om en tów wł asnych  Q(X),  który speł niał by warun ki  podan e  w  tezie.  R ozważ my  cykliczny  program  obcią ż ania,  przy  czym  realizacja każ dego  cyklu  trwa  skoń czony  odcin ek  czasu  A t  (czas  odgrywa  tutaj  jedynie  rolę   para- m etru,  charakteryzują cego  kolejność  przykł adan ia  obcią ż eń ). W  każ dym  z  przekrojów  k,  w  których  wystę pują   przyrosty  obrotów  w  przegubach plastycznych  n a  róż n ych  etapach  tego  samego  cyklu,  muszą   być  speł nione  warun ki =   M grA   gdy  50* >  0, =- M ffik   gdy  M k <0. N iech  cał kowite  przyrosty  (za jeden  cykl  obcią ż ania)  m om entów,  krzywizn  i  ką tów o bro t u  bę dą   równe At  At  At AM=   j  ÓM;  AH=   J  dx;  Adk  =   /   Mk. 0 0 0 N apiszmy  równanie p rac przygotowan ych  dla przyrostów  AM(x),  które  speł niają   warunki 5  M ech an ika  teoretyczna 266  L.  KON IECZN Y równowagi  z  zerowymi  przyrostam i  obcią ż eń  zewnę trznych  (obcią ż enia  zewnę trzne  n a począ tku  i  n a  koń cu  każ dego  cyklu  są   takie  same) JAMAxdx+  ^ AM k A6 k   =  0 L  k lub  uwzglę dniają c,  że  AJt  = 0  mamy (b) Wskazujemy  cykliczny  program  obcią ż ania  taki,  że  p o  każ dym  cyklu  sumaryczne przyrosty  AB k   obrotów  w przegubach  plastycznych  speł niają   warun ek .  ]?Ar k A6 k =0, k P rogram  taki nazywać  bę dziemy  zł oż onym, programem  obcią ż ania.^ N a  podstawie  (b) mamy  wtedy  A r  = 0  (przy  dr #   0),  a  wię c n a począ tku i n a  koń cu każ dego  cyklu  rozkł ad m om entów wł asnych w konstrukcji  jest  identyczny, proces jest  wię c cał kowicie  powtarzalny.  Oczywiś cie  kon strukcja  n ie przystosuje  się , gdyż  przy  powta- rzaniu  cykli  obcią ż ania  praca  plastyczna  roś nie  nieograniczenie.  G dy  zachodzi  teza  twier- dzenia,  wówczas  m oż na  pokazać  (podobnie jak  w  dowodzie  twierdzenia  1), że  dO k  - * 0, f/ co a  wię c  również  Ad k  - + 0, co koń czy  dowód. */ co D e f i n i c j a  7.  Z biór  {A6 k },  k =   1, ..., n,  przyrostów  obrotów  w  przegubach  plas- tycznych  po jednym  cyklu,  dla którego  speł niony jest  warun ek (2 . 5 ) nazywamy  — mechanizmem  zniszczenia  przyrostowego —  {mechanism  of  incremental  col- lapse). Zauważ my,  że gdyby  takie  obroty  wystą piły  równocześ nie,  to  kon strukcja  istotnie przekształ cił aby  się  w mechanizm.  Wynika  stą d  praktyczn y  sposób  budowan ia  takich me- chanizmów  dla danej  konstrukcji. N iech  dan y  bę dzie  dowolny  zbiór  obcią ż eń  (skoń czony,  przeliczalny  lub  nieprzeli- czalny), ograniczony w taki  sposób, że ograniczenia n orm y  dan e są  przez  podan ie  wartoś ci jednego  param etru p 0   >  0.  N iech  pon adto  ekstremalne  m om en ty  sprę ż yste  dla  ustalo- nego  przekroju  ( ^ m a x ,  „ # m i n )  bę dą   liniowymi  funkcjami  p 0 D e f i n i c j a  8.  Obcią ż eniem  krytycznym  (p o ) kr   ze wzglę du  n a przystosowywanie  się w  zbiorze  obcią ż eń  Q  nazywamy  taką   wartość  param etru p 0 ,  że gdy p 0   g  , to kon - strukcja  przystosuje  się  w  każ dym  program ie  obcią ż ania,  którego  elementy  należą   do Q *)  Przyjmujemy  taki  cykl  obcią ż ania, że po pewnej  liczbie powtórzeń ustala się  stan stacjonarny, w któ- rym  gdyby  przyrosty  obrotów  w plastycznych  przegubach  wystą piły  równocześ nie, to konstrukcja  prze- kształ cił aby  się  w mechanizm.  Przykł ad  takiego  programu  dla  ramy  podaje  N eal  [2]. T E O R I A  P R Z YSTOSOWYWAN I A  SIĘ   BELEK  267 >  (Po)kr>  to  m oż na  znaleźć  taki  program  obcią ż ania,  którego  elementy  należą   do Q,  że  kon strukcja  nie przytosuje  się   (m  >  1  jest  współ czynnikiem zapasu). T w i e r d z e n i e  3  (twierdzenie  statyczne  o  przystosowywaniu  się ).  Jeż eli  istnieje taki  szczególny  rozkł ad m om en tów  wł asnych  Q(X),  do  którego  m oż na  dodać  ekstremalne m om en ty  sprę ż yste,  odpowiadają ce  wartoś ci  p 0   bez  n aruszen ia  warun ku  uplastycznienia, to  wartość  p 0   g  (p o ) kr   i  odwrotn ie. ^wn  Ł  ~Mgr(. D o w ó d .  Z akł adam y,  że  są   speł nione zał oż enia  twierdzenia,  jeż eli  istnieje  taki  roz- kł ad  Q{X) m om en tów wł asnych w  kon strukcji,  dla  którego  speł nione są   nierównoś ci podan e w  zał oż eniach. D zielą c  obie  stron y  tych  nierównoś ci  przez  współ czynnik  zapasu  m  >  1 otrzymujemy + ( ) m  m  ~  m m  m  m D la  wartoś ci param etru p o / m  istnieje  wię c taki  rozkł ad Q(x)/ m momentów wł asnych w kon- strukcji,  że  speł nione  są   warun ki  wystarczają ce  przystosowania  się   (Twierdzenie  1), a  wię c  z  definicji  8  wyn ika,  że p 0   ^  (/>o)*r • U dowodn im y  teraz,  że  gdy  p 0   =   (j) 0 )kr> to speł nione  są   zał oż enia  twierdzenia.  Z ał o- ż enia  te  są   warun kam i  koniecznym i  przystosowan ia  się   konstrukcji  w  zbiorze  obcią ż eń (Twierdzenie  2), jeś li  wię c  n ie  są   speł nione, t o p 0   >  (po)kr • D e f i n i c j a  9.  M ówim y,  że  wartoś ć p 0   odpowiada danemu  mechanizmowi zniszcze- nia przyrostowego  (okreś lon emu  przez  zbiór  przyrostów  obrotów  {Ok}),  gdy  istnieje  taki rozkł ad  m om en tów  wł asnych  r(x),  ż e: 1°.  W  każ dym  przekroju  k,  w  którym  zdarzają   się   obroty  w  danym  mechanizmie, speł niony jest jeden  z dwóch  waru n kó w: -   (M gr ) k   dla  6 k   >  0, r k  +po^ f ln  =   -   (M gr ) k   dla  0 k  <  0. 2°.  Równocześ nie  z  równ an ia  prac  przygotowanych  dla  danego  mechanizm u  musi wynikać  równ ość Z auważ m y,  że  obydwa  warun ki  okreś lają   jedn ozn aczn ie  wartość p 0   —  wystarczy  dla  każ- dego  k  okreś lić  r k   z  waru n ku  1 i  podstawić  do  warun ku  2. 268  L.  K O N I E C Z N Y T w i e r d z e n i e  4  (twierdzenie  kinematyczne  o  przystosowywaniu  się ).  Wartość p 0 ,  odpowiadają ca  dowolnemu  zał oż onemu  mechanizmowi  przyrostowego  zniszczenia, jest  wię ksza  lub równa  obcią ż eniu  krytycznemu  (po)*i- - D owód  tego  twierdzenia  został   podan y  przez  N EALA [2], D e f i n i c j a  10.  Rozwią zaniem zupeł nym problem u przystosowywania  się   nazywamy okreś lenie  (po)kr dla danej  konstrukcji  i danego  ograniczonego  zbioru  obcią ż eń. 4.  Przypadki  szczególne Zajmijmy  się  teraz  waż nymi  przypadkam i  szczególnymi  podan ej  teorii. I.  N iech  Q(X) =   0; jest to oczywiś cie jeden z moż liwych  rozkł adów m om en tów wł asnych. Warunki  wystarczają ce  przystosowania  m oż na  wówczas  zapisać  w  postaci «• >! m D la  konstrukcji  z  prę tów  o przekroju  idealnym  odpowiada  to  osią gnię ciu  tzw. n oś n oś ci sprę ż ystej.  Analiza  konstrukcji  oparta  o  model  ciał a  sprę ż ystego,  sprowadza  się  wię c do zapewnienia  warunków  wystarczają cych  przystosowan ia.  Otrzym an e  w  ten sposób  osza- cowanie  (j>o)kr  od doł u jest n a ogół   bardzo  m ał o  ostre. I I .  Rozpatrzymy  program  obcią ż enia  tego  rodzaju,  że  dowolny  element  p(pć ) e  Q mnoż ymy  przez  liczbę   X, zależ ną   od  czasu  t  (tworzymy  jednowym iarową   podprzestrzeń unormowanej  przestrzeni  liniowej).  Jest  rzeczą   oczywistą ,  ż e' w  takim  przypadku  m echa- nizm  zniszczenia  przyrostowego  staje  się   mechanizmem  zniszczenia  plastycznego.  Jeż eli bowiem  w takim  programie  zdarzą   się  przyrosty  obrotów w plastycznych  przegubach AQ k speł niają ce  warunek ^ r k Ad k   =  0, t o  przyrosty  te zachodzą   równocześ nie  (n a jedn ym  i tym samym  etapie  program u  obcią - ż ania).  W  omawianym  przypadku  (p o ) kr   =   (p o ) g r>  a  wię c  kon strukcja  przystosuje  się przy  takich program ach obcią ż an ia55, gdy tylko p 0   <;  -• I I I .  M oż na postawić  pytanie  o wyznaczanie  (p o ) gr   w  dowolnym  ograniczonym  zbiorze obcią ż eń  Q,  gdzie  przez  (po) gr   w zbiorze  obcią ż eń  bę dziemy  rozum ieć minimalną   wartość s '  M o ż na  je  n azwać  prostymi  programami  obcią ż ania. TEORIA  PRZYSTOSOWYWANIA  SIĘ  BELEK  269' g  d l a  wszystkich  elem entów  zbioru  Q.  Z  twierdzeń  o  zniszczeniu  plastycznym  [3, 4J wynika,  że jeż eli  istnieje  t aki  szczególny  rozkł ad m om en tów  wł asnych  Q(X),  że  n a  każ dym etapie  dowolnego  p ro gram u  ze  zbioru  Q  nie  jest  naruszony  warunek  plastycznoś ci,  t o Po  £   (Po) B r w  zbiorze  Q, P oszukiwanym  rozwią zaniem  (j>o)gr  w  zbiorze  obcią ż eń  Q  jest  najwię ksza  wartość p aram et ru  p 0 ,  dla  której  istnieją  jeszcze  takie  dwa  szczególne  rozkł ady  gx( x)  i  Q2(X) m o- m en tów wł asnych w kon strukcji,  że dla każ dego  x  speł nione są  nierównoś ci ś  M gr (x), (c) pon ieważ  dla  ustalon ego  x  ekstrem aln e  w  zbiorze  Q  momenty  sprę ż yste  Ji™*  i  JKffi n a  pewn o  nie powstają  n a  tym  sam ym  etapie program u  obcią ż enia. M oż na  uważ ać,  że  zagadn ien ie  okreś lenia  (p o ) gr   w  zbiorze  Q jest  szczególnym  przypad- kiem  problem u  przystosowywan ia  się,  gdy  ograniczyć  się  tylko  do  program ów  prostych (z  których  każ dy  utworzon y  jest  w  ten  sposób,  że  ustaloną  funkcję  p(x)  e  Q  mnoż ymy przez  liczbę  zależ ną  od  czasu). P o d an e warunki  (c) są  sł absze  niż warunki  przystosowania się  w  ogólnym  przypadku,  więc  (p o ) kr   g (jp o )gr- 5.  Ogólne  twierdzenie  o  przystosowywaniu  się  belek D o  tego  miejsca  zakł adaliś my  kon sekwen tn ie,  że  obowią zuje  tzw.  idealna  zależ ność mię dzy  m om en tem zginają cym  i  krzywizną  belki  (rys.  2).  D la  profili  rzeczywistych  zakł a- dam y  bardziej  ogóln ą  zależ ność  moment- krzywizna  (rys.  1).  D la  profili  tych  pewne  plas- tyczne  pł ynię cie m oże  się  zdarzyć  w .skrajnych  wł ókn ach belki,  bez  cał kowitego  uplastycz- n ien ia  przekroju.  Jakkolwiek  n ie  wpł ywa  t o  n a  przyrostowe  zniszczenie  konstrukcji,  to jedn ak  może  doprowadzić  do  pę knięć  wskutek  przemiennej  plastycznoś ci.  Warunki przystosowania  się  kon strukcji  z  prę tów  o idealn ym przekroju  nie wystarczają  dla przekro- jów  rzeczywistych.  P on iż ej  podam y  warun ki  wystarczają ce  do  przystosowania  się  belki o  takim  przekroju,  ostrzejsze  n iż  dla  profilu  idealnego.  P onieważ  nie  potrafimy  równo- cześ nie podać odpowiedn ich nowych  warun ków  koniecznych  przystosowania  się,  to  teoria traci  swój  ch arakter,  w  którym  warun ki  konieczne  i  wystarczają ce  wzajemnie  się  uzupeł - n iał y. N ie m oż na więc  dla przekrojów  rzeczywistych  podać rozwią zania  zupeł nego problem u przystosowywania  się,  m oż na jedyn ie  oszacować  od  góry  i od  doł u wartość  (p o )kr • T w i e r d z e n i e  5.  D la  przystosowan ia  się  belki  o  dowolnym  przekroju 6)  w  ograni- czonym  zbiorze  obcią ż eń  Q,  oprócz  warun ków  podan ych  w  Twierdzeniu  1,  wystarczy speł nienie  dla  każ dego  x  dodatkowego  warun ku OM  (Y\ gdzie  a  >  1 jest  współ czyn n ikiem  zależ nym  od  kształ tu przekroju,  m  >  1 jest współ czyn- n ikiem zapasu. 6>  Zakł adamy, że dla belki  sł uszna jest hipoteza  o przegubach plastycznych, warunki  obcią ż enia muszą być  więc  takie,  aby  wystę powało  pł askie zginanie. 270  L.  KON IECZN Y Współ czynnik  a  zdefiniowany  jest  n astę pują co: MI d f   M s a  — _M ar   ,  M* M s   +   M s gdzie  M*  oznacza  m om en t  zginają cy,  którem u  (przy  obcią ż aniu  od  stan u  n aturaln ego) odpowiada taki rozkł ad naprę ż eń w przekroju  belki, że granica strefy  uplastycznienia  osią ga wł aś nie  ś rodek  cię ż koś ci  przekroju. 1°.  D la przekroju  idealnego mamy M*  =   M s   =   M gt   i stą d  a  =   1.  D odatkowy  warun ek (5.1) m a wówczas  postać Warunek  ten jest  nieistotny,  gdyż jak  ł atwo  sprawdzić,  jest  toż sam oś ciowo  speł niony, gdy  tylko  są   speł nione zał oż enia Twierdzenia  1. 2°.  D la  przekroju  rzeczywistego  o  dwóch  osiach  symetrii  m am y  M*  =   M gr   >  M s i  stą d  a  =  M 3r / M s .  D odatkowy  warunek  miJl^ —Ji^ f)  =  2 M s   jest  zn an y  [2, 3], ale  przy  m  — 1. D o w ó d  T w i e r d z e n i a  5.  D owód  przeprowadzim y  dla  jedn owym iarowego stanu  naprę ż eń,  przy  zał oż eniu  m ateriał u  sprę ż ysto- idealnie  plastycznego.  C ał kowite odkształ cenia  przedstawimy  w  postaci  sumy  odkształ ceń sprę ż ystych  i  plastycznych wtedy Jeż eli er i  e są   rzeczywistymi  naprę ż eniami i  odkształ ceniam i n a  dan ym etapie  program u obcią ż ania, to odpowiedni  stan naprę ż eń wł asnych jest  okreś lony  ja ko a r   =  a—a", gdzie  ae  jest  odpowiednim  naprę ż eniem dla  m ateriał u idealnie  liniowo- sprę ż ystego. W  pierwszej  czę ś ci  dowodu  wykaż emy,  że jeż eli  m oż na  znaleźć  taki  ustalon y  rozkł ad ffr  naprę ż eń  wł asnych  w  belce,  że  w  każ dym  pun kcie  belki  bę dzie  speł niona  n ierówn ość (przy m  >  1) (d)  ^  ^ m  '  '  m dla  wszystkich  aa,  które  mogą   być  osią gnię te  przy  danych  warun kach  obcią ż ania,  to belka  przystosuje  się , czyli  przy  dowolnym  nieskoń czonym program ie  obcią ż ania cał kowita praca  plastyczna  bę dzie  ograniczona. R ozpatrujem y  energię   sprę ż ystą   odkształ cenia  dla  n aprę ż eń  wł asnych  (or—W ) (e)  • *• Pokaż emy,  że  SF =  const,  gdy  nie  zachodzi  plastyczne  pł ynię cie  i  maleje,  gdy  prę dkość odkształ ceń  plastycznych jest  róż na  od  zera. T E O R I A  P R Z YSTOSOWYWAN I A  SIĘ   BELEK  271 Róż niczkując  (e) wzglę dem  czasu  t  otrzymujemy U wzglę dniają c, że E  ~  E  ~E~~ 3 ~  ~ e  ' o r - ~a r  =  a- (a r +a E ), otrzymujemy (f)  Ś F=  f  {(k- k°)[a- (ar  +a°)]- k"[  0 to a =  a p i. Korzystają c  z zał oż enia (d), że otrzymujemy [ tf- < ?+ < !• )] e"  > 0 . Analogicznie, gdy s"  <  0, to er =   —crp, <   cr r+ (Te i również w tym przypadku mamy [a- (a r +a e )]k"  > 0 . Ostatnią   moż liwoś cią   jest  s"  =   0. W każ dym  przypadku  mamy  wię c [*- (?+ *• )]«" a o, ską d  zawsze &  < 0. 272  L.  KON IECZN Y J5"  maleje,  gdy  tylko  zachodzi plastyczne  pł ynię cie. P onieważ  # " jest  oczywiś cie nieujemne, więc może  albo  osią gnąć  zero, albo  pewną  wartość  dodat n ią 7'. Pokaż emy, że cał kowita praca odkształ ceń plastycznych jest ogran iczon a dla  dowolnego nieskoń czonego  program u  obcią ż enia.  U wzglę dniają c,  że  &  ^  0,  m am y lub V  0  V W  ostatnim  kroku  uwzglę dniono,  że  zawsze [ a- (ar+ae)] k" £ 0, Rozważ my  najpierw  przypadek,  gdy  s"  >  0.  Wtedy a  =   a pl   oraz  [or— (ar+ae)]  >  0. U wzglę dniając  zał oż enia  (d),  otrzymujemy a- (B r +a°)=c pl - (d r   + a e )  ^  a pl -   —a pl   =   ^ W  przypadku,  gdy  e "  <  0  mamy a——a p i  oraz  [a—(ar+ae)]  <  0. U wzglę dniając  zał oż enia  (d)  otrzymujemy a- (a r +a e )  =   - ( T p i - ^ + ff6 )  S  - ct pl   + —  o pX = Otrzymujemy  więc  ostatecznie, że  w  każ dym  przypadku /  l  ̂ j J 0  V  OK Ostatnia cał ka po  prawej  stronie jest  cał kowitą pracą plastyczną  dysypowaną  w  dowoln ym , nieskoń czonym  program ie  obcią ż ania. W  konkluzji  otrzymujemy  wię c,  że  gdy  są  speł nione zał oż enia  (d), to  cał kowita  praca plastyczna  dysypowaną  w  dowolnym,  nieskoń czonym  program ie  obcią ż ania,  jest  ogra- niczona O  V  V co  koń czy  pierwszą  czę ść  dowodu  twierdzenia. 7>   H OD OE [3]  na tym koń czy pierwszą  czę ść dowodu stwierdzają c,  że w dowolnym  programie  obcią ż ania nastą pi  skoń czone  plastyczne  pł ynię cie. TEORIA  PRZYSTOSOWYWANIA SIĘ   BELEK  27J W  drugiej  czę ś ci  dowodu  pokaż em y,  że jeż eli  są   speł nione  zał oż enia twierdzenia, to  dla każ dego  przekroju  istnieje  rozkł ad  n aprę ż eń  wł asnych  a r  zapewniają cy  przystosowanie się ,  a  wię c  speł niają cy  warun ki  (d). D owód przeprowadzim y dla belki o przekroju  z jedn ą   tylko pł aszczyzną  symetrii, bę dą cą pł aszczyzną   zgin an ia 8'  (dla  przekroju  o  dwóch  pł aszczyznach  symetrii  dowód  został podan y  przez  H O D G E 'A  [3], dla  takich przekrojów  wystarczy  przyją ć  a  — M gr jM^ .  W  przy- pad ku  przekroju  o jedn ej  osi  sym etrii,  h ipoteza  o  sprę ż ystym  odcią ż aniu  obowią zuje,  jak wiadom o, jedynie  w pewn ym  ogran iczon ym zakresie.  Rozpatrują c cykl  obcią ż ania od stanu n aturaln ego  stwierdziliś my  (n a  wstę pie  niniejszej  pracy), że  sprę ż yste  odcią ż anie zachodzi jedyn ie  od  takich  stan ów  n aprę ż eń,  w  których  strefa  uplastycznienia  nie  przekroczył a jeszcze  osi  ś rodków  cię ż koś ci  przekrojów.  G dy  przekrój  jest  odcią ż any  od  m om entów  co do  bezwzglę dnej  wartoś ci  wię kszych,  wywoł ują cych  uplastycznienie w  pun ktach przekroju leż ą cych  mię dzy  osią   ś rodków  cię ż koś ci  a  osią   dzielą cą   przekrój  poprzeczny  n a  poł owy, to  w  pun ktach  tych  m oże  n astą pić  wtórn e  plastyczne  pł ynię cie przy  odcią ż aniu  (rys. 3). Z  tego  powodu  istn iał o  n awet  przekon an ie,  że  problem u  przystosowywania  się   belek o przekroju  zjed n a  osią   symetrii  wogóle  nie m oż na formuł ować w  m om en tach  lecz  należy wprost  rozpatrywać  rozkł ady n aprę ż eń [2], Okazuje  się ,  że  równ ież  w  tym  przypadku  m oż na podać pewne  warun ki  wystarczają ce dla  przystosowan ia  się ,  wyraż one  w  m om en tach zginają cych.  Z akł adam y, że  każ dy  prze- krój  belki  został   obcią ż ony  do  najwię kszego  co  do  bezwzglę dnej  wartoś ci  m om entu zgi- nają cego,  pom n oż on ego przez współ czynnik zapasu  m  >  1 i nastę pnie odcią ż ony  do hipo- tetycznego  m om en tu wł asnego  Q, zapewniają cego  przystosowanie  się ,  a  wię c  takiego,  że Z akł adam y,  że  belka  znajdował a  się   począ tkowo  w  stanie  n aturaln ym ,  m oż na  wię c n a  każ dym  etapie aktywnego  procesu p o d ać jedn ozn aczn y  rozkł ad naprę ż eń. D la ustalenia uwagi  rozpatrzym y  przekrój,  w  którym  najwię kszym  co  do  bezwzglę dnej  wartoś ci  mo- m en tem  jest  Jź ™* .  Oznaczymy  przez  M*  m om en t, którem u  (przy  obcią ż aniu  od  stanu n aturaln ego)  odpowiada taki rozkł ad n aprę ż eń w  przekroju  belki,  że  granica  strefy  uplas- tycznienia  osią gnę ła wł aś nie oś  ś rodków  cię ż koś ci. R ozpatrzym y  najpierw  przypadek,  gdy obowią zuje  wię c  jeszcze  h ipoteza  o  sprę ż ystym  odcią ż aniu.  P o  odcią ż eniu  do  m om en tu Q  m oż na  wię c  jedn ozn aczn ie  wskazać  rozkł ad  ar  naprę ż eń  wł asnych  w  przekroju  taki,, że  przekrój  może  być  pon own ie  obcią ż ony  do  m om en tu  m ^ r m a x  w  sposób  sprę ż ysty. N atom iast  przy  obcią ż aniu  do m o m en t u mJćmin  również nie  bę dzie  odkształ ceń  plastycz- n ych,  gdy  tylko  m aksym aln y  zakres  zm ian  m om en tów  zginają cych  nie  przekroczy  2M S , ze  współ czynnikiem  zapasu  m.  Wystarczy  wię c  w  zał oż eniu  twierdzenia  (5.1)  przyją ć w  tym  przypadku  a  =   M gr jM s . 8>  D owód jest  również  sł uszny w  ogólniejszym  przypadku  przekroju  bez  pł aszczyzn  symetrii, gdy  za- chodzi  pł askie zginanie. 274 L.  KON IECZN Y Przejdziemy  teraz  do przypadku,  gdy  mji™- **  >  M*.  Wprowadzimy  oznaczenie  Ar  = = » m.JfmaK  —  M*. Przyjmiemy,  że przed  obcią ż aniem  istnieje  w  rozpatrywanym  przekroju  m om en t wł asny r Q   =  —  Ar,  którem u  odpowiada  rozkł ad naprę ż eń  wł asnych  ar 0   zmieniają cych  się   liniowo n a  wysokoś ci  belki Ar G dy od takiego  stanu bę dziemy  obcią ż ać przekrój  do m om en tu mM™*,  to  sumaryczny m om en t  zginają cy  w  przekroju  bę dzie  równy  M*.  P o  sprę ż ystym  odcią ż eniu  do m om en tu wł asnego  Q,  speł niają cego  warunki  (g),  jest  okreś lony  jedn ozn aczn ie  pewien  rozkł ad naprę ż eń  ar  odpowiadają cy  tem u  m om entowi  wł asnemu. Przekrój  może  być  obcią ż ony  ponownie  m om en tem  mJźmm  w  sposób  sprę ż ysty,  po- nieważ odcią ż anie od tego  samego m om en tu zginają cego  do  Q był o sprę ż yste,  a wię c  powta- rzalne.  N atom iast  przy  obcią ż aniu  m om en tem  przeciwnego  zn aku  przekrój  pozostan ie w  zakresie  sprę ż ystym,  gdy  bę dzie  speł niony warun ek  (rys.  4) przy  czym  oczywiś cie  Armm  =  M gr —M*. P o  przekształ ceniach  otrzymujemy  zał oż enie  (5.1),  przy  czym M gt a = Af, M  M* __ M s   ^   M s Współ czynnik ten jest wię c  zajejmy  od kształ tu przekroju  belki. AM i T o—Ar Rys.  4 TEORIA  PRZYSTOSOWYWANIA  SIĘ  BELEK  275 Otrzymaliś my  wię c  wniosek,  że  gdy  są   speł nione zał oż enia twierdzenia,  to m oż na wska- ć  takie pole n aprę żę speł n ion a  n ierówn ość zać  takie pole  n aprę ż eń wł asnych  w  kon strukcji  dr  ~  — ,  że  w  każ dym  punkcie  bę dzie m  m dla  wszystkich  ae, które mogą   być  osią gnię te  przy  danych  warunkach  obcią ż ania,  co  koń- czy  dowód  twierdzenia. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  Praca zbiorowa,  T eoria plastycznoś ci,  PWN , Warszawa  1965. 2.  B.  G .  N EAL,  T he plastic methods of  structural analysis,  Chapman and  H all  Ltd.,  London 1963. 3.  P . G .  H OD G E, Plastic analysis of structures,  McG raw- H ill, N ew York- Toronto- London 1959. 4 .  B. T .  K O H T E P ,  O6ufue  ?neopeMU  meopuu  ynpyio- njiacmtmecKux  cped,  H 3fl.  H H . J I H T . ,  MocKBa  1961 (tł umaczenie z  angielskiego). P  e 3 io  M e T E O P H fl  LTPH Cn'OCOEJIH EM OCTH   BAJIOK B  paSoTe  paccM arpH Batorca  CTepnaieBM e  HOHCTpyHUHH, n o ^ H e p r u yr we  H 3n i6y.  CiiHTaeTCH,  mo n n acTiraecKoe  cocTOHHHe  B  ceqeH H H  flocTH raeTCH  nofl  fleftcTBH eM   H 3rn 6aiom ero  MoiweHTa  (BBHHHHeiw a p y r n x  BuyTpeiiHHX  ycHUHM   n peH e6peraeM ) •  TIpeH noJiaraeTCfi  cnpaBeflnHBOH   rH noTe3a  njiacTiwecKHX m apH H poB.  B  ocHOBy  n epBoii  MacTH   pa6oTBi  3ajio>iKeciBe  H arpy3oi<.  3 T O  flano  BO3MO>KH OCTŁ  n p o B e c m  n paBH Jitn oe flOKa3aTeni>cTBo flocTaTo^nbix ycjioBH ii )CTH.  Jl|0Ka3aTen5CTB0  Heo6xOflHMbIX  yCJIOBHH  He HBJlfieTCH   TpHBHajIbHbIM   H  TSKWe CO- B  paSoTe. onpefleneH H e  KpaTH^iecKOił   «narpy3KH »  c  TO^JKH   3pen i«i  npHcnocoSirHeMOCTH  B  orpaH H - .  MHO>ii