Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS70\MTS70_t8z1_4_PDF\mts70_t8z3.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  8  (1970) GĘ STE  HEKSAGONALNE  SIATKI  SPRĘ Ż YSTE P I O T R  K L E  M M   ( Ł Ó D Ź ),  CZESŁAW  W O Ź NI  A K  (WARSZAWA) M odele  cią głe  gę stych  i  regularn ych  siatek  sprę ż ystych  o  doskonale  sztywnych  wę zł ach został y  okreś lone  dla  róż n ych  rodzajów  siatek,  [1, 2, 3].  D otychczasowe  opracowania, których  przeglą d  zawiera  ksią ż ka  [3], n ie  obejmują   jedn ak  waż nej  w  zastosowaniach tech- nicznych  siatki  heksagon aln ej.  Schem at takiej  siatki  przedstawia  rys.  1. Celem  tej  pracy  jest  wyprowadzen ie  podstawowych  równ ań  modelu  cią gł ego  takiej siatki.  M odele  cią głe  róż n ych  gę stych  i  regularn ych  siatek,  utworzonych  ze  sprę ż ystych prę tów  sztywno  poł ą czon ych  w  wę zł ach,  są   opisywane  równ an iam i  anizotropowego oś rodka  C osseratów  z  pewną   wewnę trzną   «wł óknistą »  strukturą   [1].  M odele  cią głe  po- szczególnych  siatek  róż nią   się   mię dzy  sobą   tylko  budową   tensorów  sztywnoś ci  sprę ż ystej, wystę pują cych  w  zwią zkach  kon stytutywn ych.  Tym  samym  rozważ ania  tej  pracy  dotyczą w  pierwszym  rzę dzie  budowy  poten cjał u  sprę ż ystego  rozpatrywanych  siatek,  z  którego wyprowadzamy  zwią zki  kon stytutywn e  oraz,  przy  wykorzystaniu  podejś cia  wariacyjnego, także  równ an ia  równ owagi.  Przyjmujemy,  że  wszystkie  prę ty  są   pryzmatyczne,  a  każ de trzy  prę ty  schodzą ce  się   w  jedn ym  wę ź le  mają   wspólną   pł aszczyznę   symetrii  sprę ż ystej. Z akł adam y  p o n ad t o , że  odkształ cen ia są   m ał e.  Oba  powyż sze  zał oż enia prowadzą   do roz- dzielenia  zwią zków  mię dzy  stan em  napię cia  a  odkształ cenia n a  niezależ ne równania  stanu «tarczowego»  i  «pł ytowego».  W  zwią zku  z  tym , w  pierwszym  punkcie pracy  rozpatrujemy tarcze  siatkowe,  a  w  drugim —  pł yty  siatkowe  przyjmują c,  że  siatka  jest  kształ towana  n a pł aszczyź nie.  Siatki  h eksagon aln e  kształ towan e  n a  dowolnej  powierzchni  omawiamy w  trzecim  pun kcie  pracy.  Z akł adam y jednocześ nie,  że  są   speł nione  wszystkie  zał oż enia dotyczą ce  stosowalnoś ci  m odelu  cią gł ego  siatki  [3]. 1.  Tarcze  siatkowe Każ dą   siatkę   heksagon aln ą   m oż emy  traktować jako  zł oż oną  z  wycinków  w  kształ cie li- tery  Y  (rys.  1), poł ą czon ych ze  sobą   w  pun ktach , które  nazwijmy  wę zł ami  ograniczają cymi (przekroje  przy  tych  wę zł ach  ozn aczon o n a  rys.  1 przez  S A ,A  =  I, II, III).  Oprócz  wę z- ł ów  ograniczają cych,  siatka  zawiera  także  p o  jedn ym  wę ź le  w  obrę bie  każ dego  wycinka (wę zeł  So n a rys.  1); wę zły te nazwijmy  wę zł ami poś redn im i. Celem okreś lenia, które wę zły są   ograniczają ce,  a  kt ó re poś redn ie —  wystarczy  wyróż nić  jeden  «typowy»  wycinek  siatki, 278 P .  KLEMM,  C Z .  WOŹ N IAK co  jest  równoznaczne  z  podział em  cał ej  siatki  n a  rozł ą czne wycinki,  powią zane  wę zł ami ograniczają cymi.  Istnieją   dwa  sposoby  podział u  rozważ anej  siatki  n a  wycinki  (wę zły ograniczają ce  przy jednym podziale stają   się  wę zł ami poś redn imi przy  drugim  i odwrotn ie); w dalszym  cią gu  przyjmujemy  jako  dany jeden z nich. Pł aszczyznę  n, n a której jest kształ to- wana  siatka,  parametryzujemy  prostoką tn ym  ukł adem  współ rzę dnych  kartezjań skich x K  n .  Rozpatrują c  najpierw  tarcze  siatkowe,  pł aszczyznę   n  traktujem y  jako  pł aszczyznę Rys.  1 obcią ż enia.  Ponieważ  jest  to  z  zał oż enia  pł aszczyzna  symetrii  sprę ż ystej  tarczy,  przeto w  ram ach  teorii  I  rzę du  moż emy  przyją ć,  że  wszystkie  wę zły  siatki  doznają   przesunię ć i  obrotów w  pł aszczyź nie n  [3]. Traktują c  ukł ad jako  regularny  [3], wprowadzimy  róż nicz- kowalne  funkcje  u K   =   u K (x x ,  x 2 ),  v  =   v(x*,  x2),  kt ó r e: 1)  w  pun ktach  pł aszczyzny  n  odpowiadają cym  wę zł om  ograniczają cym  przyjmują wartoś ci  kolejno  równe  przesunię ciom  tych  wę zł ów  (w  kierun ku  osi  xK)  oraz  ich  ką t om obrotu, 2)  w  każ dym  sześ cioką cie  odpowiadają cym  jedn em u  «oczku»  siatki  m oż emy  z  wystar- czają cym  przybliż eniem  traktować  jako  liniowe. Wprowadzimy  nastę pnie  róż niczkowalne  funkcje  u K   =   u K (x l ,  x 2 ),  v  —  v(xx,  x2), które  w  analogiczny  sposób  opisują   skł adowe wektora  przesunię cia  oraz  obrót poś redn ich wę zł ów  siatki.  F unkcje  u K   i  v  wyrazimy  przez  funkcje  u K   i  v  oraz  ich  poch odn e. W  tym celu  rozpatrzymy  typowy  wycinek  siatki  (rys.  1).  Skł adowe  wektora  przesunię cia  i  obroty UK(SA)> V (SA)  przekrojów  S A   przy  wę zł ach  ograniczają cych  wycinek  moż emy  przyją ć jako  ró wn e 2 ) UASA)  = (1- 1) przy  czym tffc są   skł adowymi wektorów  jedn ostkowych  t ( / t ) oraz / ( / 1)  są  odległ oś ciami wę zła ograniczają cego  od  wę zła  poś redniego  (rys. 2).  Wartoś ci  funkcji  u K ,v  i  ich  poch odn ych we  wzorze  (1.1) i  dalej  należy  przyjmować  w  punkcie  S o .  Oznaczmy przez N w ,  Q( A ),  K (A) , kolejno  sił ę   podł uż ną,  sił ę   poprzeczną   oraz  m om en t  zginają cy,  dział ają ce  w  przekroju 'I  Wskaź niki  K,  L , Mprzebiegają   cią g  1,  2 —  obowią zuje  dla tych wskaź ników  konwencja  sumacyjna. 2 )  Wskaź nik  A  przebiega  cią g  I,  I I  i  I I I ,  pochodną   czą stkową   oznaczamy  przecinkiem. G Ę STE  HEKSAGONALNE  SIATKI  SPRĘ Ż YSTE  279 przy wę ź le poś redn im So n a ten wę zeł. Oznaczmy nastę pnie przez E (A)   A iA)   i  E (A)   J (A)   kolejno sztywność  podł uż ną  i  sztywność  zgin an ia  prę ta  S 0 ~S A .  Z  uwagi  n a  regularność  ukł adu wszystkie  te  wielkoś ci  traktujem y  jako  róż niczkowalne  funkcje  argumentów  x1,  x2  [3]. Rys.  2 Z akł adając  jedn orodn ość  i  liniową  sprę ż ystość  każ dego  prę ta  S 0 —S A   mamy  (porównaj rys.  2) l2E iA) J( A) \ v(S {A) +£  -K  u K (S A )- u K ] '(/ I)  L  l  '(/ I)  J r  *  i ^  2£ '( / 1) / ( / 1)  *  ~ K  u K ( S A )  —  u K \   ~ K  __  .KL K- tA)—  1  \ V\ pA)~T *™~~   il (A)  J  '  '( / I )  =   bL   l(A)> L(A)  L  ' C )  J co  p o  uwzglę dnieniu  (1.1)  prowadzi  do —  t (A) t (A) y L K   z  t (A) H K 6 Ą A)J(A) ^l(A) '(A) gdzie  ozn aczon o oraz (1- 4) zł u  =   K\ [Av  J ^  L D K ;  D J (1.8) 2J .  A M L  A - 1 YMN - n wyraż ając  tym  samym  Au K   i  Av  przez  skł adowe  stan u  odkształ cen ia  (1.3)  oraz  przez obcią ż enie  wę zł ów  poś rednich. G Ę STE  H E KSAG ON ALN E SI ATKI  SP RĘ Ż YSTE  281 Oznaczm y przez P (A) ,  P ( / t ) , M (A)  kolejno sił ę podł uż n ą, sił ę poprzeczną, m om en t  zginają cy dział ają ce w pł aszczyź nie n(v)  w przekroju  poł owią cym  pręt  S 0 —S A   oraz  zorientowanym dodatn im  zwrotem  wektora  t A .  M am y  oczywiś cie  P ( / 1 ) =  N ^ A),  P ( y l ) =  Q^ A)  oraz  M ( / 1 J = =   K^ —0,5  Q(A)l(A),  co zgodnie  z  (1.2)  prowadzi  d o 3 ) P iA)   = '(A) '(/ I) M lA)   = P odstawiając  do  (1.9) wyraż enia  dla Au K  i Av dan e zwią zkami  (1.8) oraz  oznaczając r  m III ŜL  A  -, U)[2  * (/I )*(/ !)  ;3 ni HA) I I I III +L > S   ?  -   - j  W w '(/I)  L  £{   \   W  ' III ~T- U  /   i  ;  l( kAy(A)\ ' 3 )  G dy AuK =  0 i Av =  0, t o wyraż enie  dla / ( ^ )  nie sprowadza  się  jednak  do podanego w [3]  [wzór (9.20)], gdyż w niniejszej  pracy  wartoś ci  skł adowych  stanu  przemieszczenia i odkształ cenia należy  obliczać dla  współ rzę dnych  pun ktu  skrajnego  prę ta  ( 5 0) ,  a nie w jego  poł owie, jak w  [3], 6  M ech an ika  teoretyczn a 282  P .  KLEMM,  C Z .  WOŹ N IAK •   HA)  VS )  L m 6 E J  ~L  ,K III  III (1.10) III  n i "(.AV(A)  V  6Eld)J(d)  ~L   t K l(A) m =   1  \ £>N  2j  *W z j  2h (A) J iA) t (A) \   j %   D L   ?  —- . i  •   J  'W  L  f- (  l(A) E (A)J(A)t?Ą , otrzymamy ( l. ii) Oznaczmy przez a' potencjał  sprę ż ysty  tarczy siatkowej.  Przyjmują c,  że tarcza  siatkowa jest obcią ż ona tylko  w wę zł ach, dla potencjał u sprę ż ystego  otrzymamy  wyraż enie cm, =   JL  V  lMU)k P  ^  V- E (A)J{ i  P(A)l?A)  _|_  F(A)l(A) G Ę STE  HEKSAGONALNE  SIATKI  SPRĘ Ż YSTE  283 w  którym  F  jest  polem  sześ cioką ta  stanowią cego  «oczko»  siatki  oraz w  którym  za  P^ A ), P(A)>M( A ),  należy  przyjąć  wyraż enia  (1.11). P o  rozpisaniu  prawej  strony  (1.12)  zgodnie z  (1.11) oraz po wprowadzeniu  nastę pują cych  tensorów  sztywnoś ci  sprę ż ystej n i AKL MN   *  V 1  I  'W   OKL   oMff  i  'W   BKL   yMN   ,  HA) A=t  ^   (A)  ( - A) '   lZ ^ A)- >(,A)   Ł (A) A (A) m III A^ t  W W >   U ^ A)J(A)   h W A W i  I oraz  poniż szych  wielkoś ci  charakteryzują cych  obcią ż enia  wę zł ów  poś rednich in „KŁ _  \ ^  /   'W   P lŁ l/*  i  ha)  nKL   p*  i  '(/ I ) *  A~i  \   Ł WJ(. '̂> III • P  f- j.  \   £ (A III K  *  (4)  nK  p *  i  ' ( n i h)  ^ )  k^   *  \ l (1.14) „i  _ f^   \ ZŁ >\ A) otrzymamy  dla  potencjał u sprę ż ystego  wyraż enie (1.15)  a1 =   i  ^ f  L M W y K L r M - v + ' £ K L J V L  «M  +   - j Jeż eli wę zły poś rednie n ie są  obcią ż one, wtedy G dy  skł adowe stan u  n apię cia pKL,  mK  okreś limy  zwią zkami (1.16)  pU — pL ,   m » = | ^ - s czyli to  warunki  równowagi  przyjmą  postać  (por.  [3], czę ść I) ( U 8 )  m w  której  bL  oraz  /i są  funkcjami  charakteryzują cymi  obcią ż enie  wę zł ów  ograniczają cych. 6* 284 P .  KLEMM,  C Z .  WOŹ N IAK Okreś limy  teraz  zwią zki  zachodzą ce  mię dzy  wprowadzon ym i  skł adowymi  stan u  n a- pię cia pKL,  mK  a wielkoś ciami P w ,  P {A) ,  M (Ay   Z godnie z .definicjami  (1.16), oraz  zwią zkiem (1.12),  po  oznaczeniu (1.19) mamy (1.20) // ni r i \ i 4- 4  L,  \ \ 2E,AslA=l III *- 2Ł '2 (. (A)J(A) (A) V N ależy  zauważ yć,  że  dla  rozpatrywanych  t u  siatek  skł adowe  pKL  zależą   także  od  M (A) , a  skł adowe mK—od  P (A)   oraz  l\ Ay   Jeż eli obcią ż enia b%  i h* przył oż one do  wę zł ów  poś red- nich  są   takie,  że  Au K   =  0  i  Av  =  0,  wtedy  z  (1.20),  (1.9)  i  (1.11)  wynika,  że pKŁ / 2 )• / • _   fK O0 K  *L (A)HA —  H VW> -   n — u, f K yK \ A) - - 0. E (A) A iA) co  sprowadza  wzory  (1.20)  do  postaci  podobn ej  ja k  w  [3]  [por.  wzory  (9.21)  w  cyto- wanej  ksią ż ce  oraz  ostatn i  odsył acz]. Rys.  3 R ówn an ia  równowagi  (1.18),  zwią zki  geometryczne  (1.9)  oraz  zwią zki  mię dzy  skł ado- wymi  stan u  napię cia  i  odkształ cenia  (1.17)  tworzą   podstawowy  ukł ad  równ ań  heksago- nalnych  tarcz  siatkowych.  Skł adowe  tensorów  sztywnoś ci  sprę ż ystej  wyznaczamy  n a podstawie  wzorów  (1.13),  (1.10)  i  (1.7).  U kł ad  równ ań  dla  rozpatrywan ych  siatek  róż ni się  formalnie  od ukł adów równań wyprowadzonych  oraz  om ówionych w  [3], tylko  budową zwią zków  (1.17).  N atom iast  warunki  brzegowe  dla  siatek  heksagon aln ych  przyjmujemy w  takiej  samej  postaci, jak  dla  siatek  rozważ anych  w  [3], w  zwią zku  z  czym  nie  bę dziemy ich  tu  omawiać. G Ę STE  H EKSAG ON ALN E  SI ATKI  SP RĘ Ż YSTE  285 Z ał óż my  teraz,  że  «oczka»  siatki  są   sześ cioką tami  foremnymi,  oraz  że  sztywnoś ci wszystkich  prę tów  są   takie  sam e.  Wtedy l W   -   / ,  E W A W   =  EA,  E iA) J {A)   =  EJ,  F  =   1, 5]/ I / 2. Oznaczają c  0"(a)  =  cosa(3sin 2a—cos2or), $'(cc)  =   sin a (3 cos2 a—sin 2a) ,  &(a)  = =   [ $ ' ( a ) ] 2 + [ 0 "( a ) ] 2 ,  A'  s  I 1 Ar1,  po  przeprowadzeniu  rachunku  zgodnie  z  wzorami (1.12),  (1.10)  i  (1.7)  otrzym am y (1.21)  ^  " ^  -   12 =  A L KL L   =  A L L KL   ^   A L L L K  ^   Q>   L   ^   K\ =   _ ^ 2 1 1  =   _ , 2)/ 3m  „ I  {lZ- f~A  ) P okazan y  n a  rys.  3  ką t  a  m oż na  przyją ć  jako  równy  zero.  Powyż sze  zależ noś ci  są prawdziwe  tylko  w  prostoką tn ym  ukł adzie  współ rzę dnych  kartezjań skich. 2.  Pł yty  siatkowe Z godn ie  z  przyję tymi  zał oż eniam i, w  pł ytach  siatkowych  stan  przemieszczenia  wę zł ów ograniczają cych  opisywać  bę dziemy  róż niczkowalnymi  funkcjami  u  — u(xl,x2),  v K   = =   Vici*1, x2),  kt ó r e :  1)  w  p u n kt ach  pł aszczyzny  TE  odpowiadają cym  wę zł om  ogranicza- ją cym  są   kolejno  równ e  przesunię ciom  tych  wę zł ów  (w  kierun ku  n orm aln ym  do  n)  oraz skł adowym  wektora  m ał ego  o bro t u  (w  pł aszczyznach  n orm aln ych  do  n);  2)  w  każ dym sześ cioką cie  odpowiadają cemu  jedn em u  «oczku»  siatki  m oż emy  traktować  jako  liniowe. D la  dowolnego  typowego  wycinka  siatki  (rys.  3)  mamy  teraz u(S A )  =  t =   vK+ t{A)l{A)vKiL, 286  P.  KLEMM,  C Z .  WOŹ N IAK gdzie wartoś ci  funkcji  u,  v K   oraz ich pochodnych należy  przyjmować  w punkcie  S o .  P rze- sunię cia i skł adowe wektora  mał ego obrotu poś redniego  wę zła S o   tego  wycinka  oznaczymy przez u, v K   (rys.  1). Oznaczymy nastę pnie przez K (A) ,  K iA) ,  Q (A)   kolejno m om ent  skrę cają cy, moment  zginają cy  i  sił ę  poprzeczną   w  przekroju  przy  wę ź le  poś rednim  S o ,  dział ają ce  n a ten  wę zeł  w  przekroju  przywę zł owym  S A .  Oznaczają c  dalej  przez  C (A) ,  E^ A) Ą A)   kolejno sztywność  skrę cania  i  zginania  prę ta  S 0 —S A ,  przy  analogicznych  zał oż eniach,  jak  w  po- przednim  punkcie  pracy,  otrzymamy j K (A)   =  ~ (A)  L  '(/ I) =  ]2  t(A)  9  1  1  • '(/ I)  L  l  '(A) Oznaczmy (2.2)  Av K   =  v & —Vz,  AU =  U—U, oraz  wprowadź my  skł adowe  stanu  odkształ cenia  pł yty  siatkowej  [3] (2.3)  ^ - ^ Zgodnie  z  (2.1)  otrzymamy  wtedy -   ^ Ł li  tf A) Av K , ?A)Av x . Oznaczają c  przez  &*,  h%  obcią ż enie  wę zła  poś redniego  S o   sił ą   (normalną   do  pł asz- czyzny  ń )  oraz  momentem (którego  wektor  jest  styczny  do  n),  warunki  równowagi  tego wę zła  napiszemy  w  postaci m $  =   0. G Ę STE  H E KSAG ON ALN E  SI ATKI  SP RĘ Ż YSTE 287 P odstawiając  do  (2.5)  prawe  stron y  wyraż eń  (2.4),  otrzym am y  ukł ad  trzech  równ ań  dla trzech  wielkoś ci  Av K ,  Au n i IU =  _ y^k A= l ni - i (2.6) m in in 4 = 1 '(.A) ^ A= \ '(/ i) A= l I  (A} Wprowadzim y  symetryczną  m acierz  3 x 3 ,  utworzon ą  z  bloków  o  wyrazach \ H KL ,  HA [HK,  H  \ = hi  H12 2̂1  # 2 2 H, H oraz  zdefiniowaną  wzorem (2.7) "£ *  T  —  1 [HK, A  '  A Rozwią zanie  ukł adu  równ ań  (2.6)  moż emy  wtedy  n apisać  w  postaci U I (A) t2- t Oznaczmy teraz przez  Af(/ 1),  M ( / 1 ) ,  P ( / , } kolejno  m om en t skrę cają cy,  m om en t  zginają cy i  sił ę poprzeczną  (dział ają ce  w  pł aszczyznach n orm aln ych  do  ri)  w  przekroju  poł owią cym 288  P-   KLEMM,  C Z .  WOŹ N I AK pręt  S 0 S A   oraz zorientowanym  dodatn im zwrotem wektora  t (A) .  M am y  tutaj  M (A)   =  K (A) , M (A)   =   K (A) +0,5l (A) Q (A) ,  P {A)   =   Q (A)   co  zgodnie  z  (2.4)  prowadzi  do4> M(Aj  =   CCA)tfA)t{A)xLK-   ~J (2.9) v  12E (A) Ą A)K "(.A)  —  Ji  'A lA) W   7 —i—- — '(A) '(.A)  '(A) Podstawiając  do  (2.9)  wyraż enia  dla  Au  i  Av K   okreś lone  zwią zkami  (2.8)  oraz  oznaczając ,   sKL ĉ  tK  (L  (  cJALtS  L iA)iA){A)  l(A)   iA)VS"£ (' TTT i  J  -   I - j  h%hA)  \ ' (A)  - i III m n i  „   III ~1 HA) III EL(Ayf(A)  v s  T T   V   t K j  t (A )\ HSN   /   t ui n i ,   U I  III —  EiA) J(A)  f =   f HA) III £ I *'  G dy  Au  — QIAVK  =  0,  to wyraż enia dla M( A ) i M(/ i)  sprowadzają  się do podanych w [3], n atom iast w wyraż eniu dla P( A ) pozostaje skł adnik zależ ny od KJ,K. Powód wystę powania takiego skł adnika  wyjaś niono w  poprzednim odsył aczu. G Ę STE  HEKSAG ONALNE SIATKI  SPRĘ Ż YSTE  289; n i  „   .  ~   I I I \   I\ 2E{A)JiA)  K  \   6E{A)J(A)~ S ł   l n i nKL 1 ni • "«  y )  L  j ^fHA)  j^ f III ^(A)l{A T  ~ r [A) J(.A)  fS  \ JJ (A)  L ^ i I I I A= \ '(.A)  '(.A) otrzymamy (2.11)  M (A)   = Korzystają c  ze wzorów  (2.11)  moż emy  wyznaczyć  potencjał   sprę ż ysty  o"  pł yty  siatkowej. Przyjmują c,  że  obcią ż enia  zewnę trzne  pł yty  są   zaczepione  tylko  w  wę zł ach,  otrzymamy I I I  °'5'(y (2.12)  °"~T2(  I 1  \ ~i  /   P  I  M  I  A  M  1  \ ~  F  ZJ  \ 2AEtAJIA,  2E,AJ(A,  2 C ( Ą  / ' przy  czym  za P {A) ,  M (A)   i  M (^) należy  tu podstawić  wyraż enia  (2.11).  Po  wprowadzeniu nastę pują cych  tensorów  sztywnoś ci  sprę ż ystej III  v H I  v  V  - • 1 3)  A  =   —  y  I  -   ~  1   -   ~—;  h III  , /   nKL   nM   T„ III  v  v 1  \ H   /   pKL   pM   J3 _  \   j  f f 290  P .  KLEMM,  C Z .  WOŹ N IAK oraz  wielkoś ci  charakteryzują cych  obcią ż enie  wę zł ów  poś redn ich in {Z .  I T - J  /?)(*  = = =   "TT  >/   I '  5*  ( ^ )  T "  ~~  3  J U  (/ I)  "1  ^ T  i K i  (/ I)  I  s I I I  „ 1  v—«  I  / **..  v  / . ..  7,  J . / /   x  \   i  I  \ .A)  f  ń *  N2  i  (• ")  (A/ f*  ^2  _i_  C- Ĵ  (A/ f*  \ ^  I A  /  ̂ y  1 0 .̂  C  7"  P  7"  O/ / ł ^ dla  potencjał u  sprę ż ystego  pł yty  siatkowej  otrzym am y  wyraż enie (2.15)  ff"  =   CKL MN  x KL x MN   + "B KL M   x KL y M +A Jeż eli  wprowadzimy  skł adowe  stan u  napię cia  zdefiniowane  zwią zkami dxja,'  ~ 8y K   ' to  muszą   one speł niać nastę pują ce  warunki  równowagi  „(p°r.  [3], czę ść  I ) , w  których  hL i  i  są   funkcjami  charakteryzują cymi  obcią ż enia  wę zł ów  ograniczają cych (2.17) Zgodnie  z  (2.15)  mamy  jednocześ nie R ównania  równowagi  (2.17), zwią zki  (2.18)  mię dzy  skł adowymi  stan u napię cia i odkształ - cenia oraz zwią zki  geometryczne  (2.3) tworzą   podstawowy  ukł ad  równ ań  teorii  heksago- nalnych  pł yt  siatkowych  (rozpatrywanych  oczywiś cie  przy  stosowaniu  cią gł ego  m odelu tych  pł yt).  Powyż szy  ukł ad  równ ań  róż ni  się  od ukł adu równ ań  pł yt  siatkowych  omawia- nych w [3] tylko  inną   budową   tensorów  sztywnoś ci  cKL MN,  AKL  oraz  wystę powaniem  wiel- koś ci  "BKtMi  m^ .L, p*.  Warun ki  brzegowe  mają   n atom iast  taką   samą   postać  ja k  w [3], w  zwią zku  z  czym  nie  bę dziemy  ich  tutaj  omawiać. D la  pł yt  siatkowych,  omówionych w  [3], mię dzy  skł adowymi  stan u napię cia, a  wielkoś- ciami  M (A)>   M {A) ,  P ( / i),  zachodzą   zwią zki m KL  = P K   = l(A) Okreś limy  teraz  odpowiedniki  tych  zwią zków  dla pł yt  siatkowych  heksagonalnych.  Wy- nikają   one z  definicji  (2.16)  oraz  wyraż enia  (2.12)  dla poten cjał u sprę ż ystego.  P rzeprowa- G Ę S TE  H E KSAG ON ALN E  SI AT K I  SP RĘ Ż YSTE  291 dzając  róż niczkowanie  potencjał u  (2.12)  podł ug a^  i y K  oraz  korzystając  z  (2.11),  otrzy- m am y m  ~ (2.19) I I I przy  czym  wykorzystano  t u  oznaczenie  (1.19).  Są  to  zwią zki  mię dzy  skł adowymi  stanu napię cia, formalnie  zdefiniowanymi  przez  (2.16), a momentami M^ A) ,  M (A)   oraz sił ami P^ w  przekrojach  poł owią cych  prę ty  siatki.  D la  Au  =  0 i Av K   — 0,  zwią zki  (2.19)  stają  się podobn e do odpowiednich zwią zków  dla pł yt siatkowych  omówionych w [3], które  powyż ej przytoczyliś my. N a  zakoń czenie  tego  pun ktu  rozpatrzymy  jeszcze  waż ny  w  zastosowaniach  przypadek szczególny,  w  którym  «oczka»  siatki  są  foremnymi  sześ cioką tami,  a  sztywnoś ci  wszystkich prę tów  schodzą cych  się w każ dym  wę ź le  są  takie  same.  Wtedy  F  — l,5}/ 3/ 3, a po  wprowa- dzeniu  ką ta  a,  jak  n a  rys.  3,  oraz  oznaczeniu ~  C C  =   C (A) ,  EJ  =  E iA) J w ,  I =   l (A) ,  X  = = —j } (2.20)  0 ' ( a )  =   sin «( 3c o s2a —sin 2a ) , 0"(a)  ES  c o sa ( 3sin 2 a —c o s2 a ) , i  po  przeprowadzeniu  rachun ków  zgodnie  z wzorami  (2.13),  (2.10) i  (2.7), otrzymamy 2]/ 3EJ  0\ a) P  4+V i£222  __  "̂ 112  _  _ ''£ 121 _  _ "^211  _  2\ / 3EJ  0  («)  _ 292  P.  KLEMM,  C Z .  WOŹ N IAK Rozpatrywana  siatka  ma  trójką tną  oś  symetrii,  bowiem »,  n =   0,  ± 1 ,  ± 2 , ... Jeż eli siatka jest jedn orodn a, wtedy  najdogodniej  przyjąć  ukł ad współ rzę dnych w ten  sposób, aby  a  =  0. 3.  Powł oki  siatkowe G dy  promienie  krzywizny  powierzchni,  n a  której  kształ tujemy  siatkę  są  wielokrotn ie wię ksze od dł ugoś ci poszczególnych  prę tów  siatki, wtedy  każ dy  wycinek  siatki  (wyodrę bnio- ny  przekrojami  $ v   S n ,  S lu   mają cy  kształ t  litery  Y)  (por.  rys.  1)  moż emy  w  przybliż eniu traktować  tak, jak  gdyby  leż ał  on  n a  pł aszczyź nie  stycznej  do  powierzchni  w  pun kcie £ „ . Jeż eli  pł aszczyznę  tę  m oż na  pon adto  uzn ać  za  pł aszczyznę  symetrii  sprę ż ystej  wycinka,, wtedy  postać  zwią zków  (1.17)  oraz  (2.18)  nie  ulega  zm ianie.  P ostę pując  podobn ie,  ja k w  [3], otrzymamy  ukł ad  równań  zł oż ony  z  równ ań  geometrycznych  (kreska  oznacza  p o - chodną  kowariantną,  b KL   i e KL   są  skł adowymi kowarian tn ym i drugiego  ten sora  metrycznego powierzchni  oraz  dwuwektora  Ricciego,  w  dowolnym  ukł adzie  współ rzę dnych  n a  p o - wierzchni) VK  =   u\ równań  równowagi =  0, oraz  zwią zków  mię dzy. skł adowymi  stan u  napię cia  i  odkształ cenia pKl  = (  ' Tensory  sztywnoś ci  sprę ż ystej  wystę pują ce  w  (3.3)  wyznaczamy  n a  podstawie  wzorów (1.13), (1.10), (1.7) oraz  (2.13), (2.10),  (2.7). P rzy  wyznaczaniu  wielkoś ci plL,  ml,  m\ h  i  p\ korzystamy  z (1.14) i (2.14). Z agadnienia brzegowe dla powł ok siatkowych  heksagon aln ych, a  także  dla  takich  tarcz  i  pł yt  formuł ujemy  podobn ie  jak  dla  powł ok  siatkowych  om ó- wionych  w  [3], w  zwią zku  z  czym  nie  bę dziemy  ich  t u  om awiać.  Z auważ my  takż e,  że  dla modelu  cią gł ego  siatek  heksagonalnych  m oż na  n apisać  dwa  równoważ ne  ukł ady  równ ań w  zależ noś ci  od  tego,  które  wę zły  przyjmiemy  jako  poś redn ie,  a  które jako  ograniczają ce (wektory  t ( / 1 ) , t(A)  róż nią  się  wtedy  znakiem ).  Z agadn ien ie  t o ,  a  także  przykł ady  zastoso- wania  wyprowadzonych  równań  są  tem atem  oddzielnego  opracowan ia. G Ę STE  HEKSAGONALNE  SIATKI  SPRĘ Ż YSTE  293 Literatura  cytowana w  tekś cie 1.  Cz.  WOŹ N IAK,  T heory of fibrous  media  II, Arch.  Mech. Stos., 6, 17  (1965),  777- 799. 2.  Cz.  WOŹ N IAK,  On  the  equations of  lattice- type  structures,  Arch.  Mech. Stos.,  6,  19  (1967). 3.  Cz.  WOŹ N IAK,  Siatkowe  dź wigary powierzchniowe.  Podstawy teorii  i przykł ady obliczeń ,  PWN , War- szawa  1970. P  e  3  io  M  e IIJIOTH ŁIE  rEKCArOHAUBHBIE Yn p yr H E  PEIIIETKH B  pa6oTe  BbraefleH bi  ypaBn eroifi  crujom n oit  MOflejiH   peryjinpi- iLix  njioTH bix  reKcaroH aJibH bix  yn p y- . r n x  perueToK  ( p u c .  2 ) .  IIpeflrrojiaraeTCJij  IJTO  Bce  y3JiŁi  peiuei- KH   H BJWWTC H   >iKflbIX  TpH   CTep>KHH   CXOAHIHHXC5I  B  OflHOM   y3Jie M0>KH0 pacciwaipuBaTŁ  KSL K o 6jia# aio m n e  oSm eti  IIJIOCKOCTBIO  yn pyro H   CH M M CTPH H .  TaK  iKCCTKHMH  ysjiaiwn  (oruicbiBaeM bie  c  noM om tio ypaBHeHHii aHH30TponHoił cpeflw  K o ccepa  c  oco6oii  «BOJI OKH H C TOH »  cTpyKTypoii  [3])  owiH ^aioTcn  n p yr  OT  flpyra  JIH U IB  BH,D;OM TeH 3opoB  yn p yr o ii  >KecTKOcTH3  B  n acT o am et t  pa6oTe  o6cy)KflaioTca  npe>Kfle  Bcero  cooTHOineHH   C BJI - 3biBaioiu;H e  i- coiwnoHeHTbi  H anpn>KeH H oro  COCTOH H H H   H   seiJjopManH H .  l i p a  npHHHTbix a r a  cooTHomeHHfl:  pa3,neJTHiOTCH   Ha  H e3aBH cnM tie  ypaBiieH ira  pjin  «flHCK0B0H»  H   «nJiHT0BOH» B  nocrieflH eH   ^acTH   pa6oTW  npeflCTaBJieH bi  ypaBHeHHH  fljiH  reKcaroH anbH wx  penieTOK  $opM H poBanH wx Ha  HeKOTOpoń  noBepxHOCTH.  JJJIJT  nnocKHX  peuieTOK  paccM OipeH   laK we  BawHbift  iiacrH wił   cjiy^aił , Korfla  se e  H^eiiKH   peuieTKH   H BJIH IOTCSI  npaBEUihHbiMH   mecTHrpaHHHKaiwHj  a  >KecTK0CTH   Bcex  e r e p w- Heft  OflHHaKOBbI. S u m m a r y D EN SE  ELASTIC  LATTICES  OF   H EXAG ON AL  TYPE The  equations  of  the continuous  model  are  derived  in  the  paper  for  the case  of  regular  dense  lattices of  the hexagonal type  (F ig.  1). It is assumed  that  all the nodes of  the  lattice are rigid, all the bars are linearly , elastic  and homogeneous, and th at  each three bars joined  together  in the same node can be treated as ele- ments  possessing  a  comon plane  of  elastic  symmetry.  Since  continuous models  for  various  elastic  lattices with  rigid nodes  (described  by  the equations  of  the anisotropic Cosserat  medium with fibrous structure [3]) differ  only  in the form  of  elastic  rigidity  tensors, considerations presented  in the paper contain, first  of  all, the  relations  between  the  corresponding  components of  stress  and  strain.  U nder  the introduced assump- tions, the above  relations  can be separated  into independent «disc» and «plate» problems.  The  last section is  devoted  entirely  to  the equations  for  hexagonal  lattices  formed  on  a surface.  F or plane  lattices,  the im- portant  case  of  lattices  built  of  regular  hexagons  with  the same  rigidities  of  the bars  is  discussed  in detail. POLITECHNIKA  ŁÓDZKA INSTYTUT MECH AN IKI UNIWERSYTETU   WARSZAWSKIEGO Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  S  stycznia 1970  r.