Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS70\MTS70_t8z1_4_PDF\mts70_t8z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  8 (1970) G RAN ICE  OBSZ AR ÓW  P LASTYC Z N YC H   W  ROZCIĄ G AN YCH   ELEM EN TACH Z  KARBEM   LU B  OTWOR E M JACEK  K A P K O W S K I  (WARSZAWA) 1. Wprowadzenie W  praktyce  kon struktorskiej  spotyka  się   wiele  przypadków  zastosowania  rozcią ganych prę tów  z  karbam i  lub  otworam i  o  róż n ym  kształ cie.  W  są siedztwie  tych  nagł ych  zmian przekroju  pojawiają   się   spię trzenia  n aprę ż eń, które prowadzą   do powstania  stref  uplastycz- nionych  wskutek  przekroczen ia  granicy  plastycznoś ci  w  tych  obszarach.  W  miarę   dalszego Opl i- granica  plastycznoś ci Rys. 1 procesu  wydł uż ania prę ta t e tzw.  enklawy  plastyczne  rozszerzają   się  i w pewnym momencie dochodzi  do  uplastyczn ien ia  cał ego  przekroju  prę ta.  W  technicznych  zastosowaniach m om en t  ten  okreś la  m aksym aln e  obcią ż enie,  jakie  może  przenieść  prę t.  Sił ę   wywoł ują cą ni Seria A Seria  B  Seria  C Rys. 2 Seria D takie  wydł uż enie  definiuje  się   ja ko  n oś n ość  graniczną   prę ta.  Odpowiada  t o  przyję ciu m odelu  m ateriał u  sprę ż ysto- plastycznego  (rys.  1),  to  znaczy  zaniedbaniu  wzmocnienia m ateriał u.  W  rzeczywistoś ci  p rę t  taki  wskutek  istnienia  zjawiska  wzmocnienia  może  prze- 320 J.  KAPKOWSKI nosić sił ę wię kszą, ale  zwią zane  z tym  wydł uż enia  są  tak  duż e, że praktycznie  traci  on  war- tość uż ytkową  szczególnie  w  konstrukcjach  maszynowych. W niniejszej  pracy przeprowadzono  obliczenia  rozkł adu naprę ż eń i wyznaczono  granice obszarów  plastycznych  dla  czterech serii próbek  o kształ tach pokazanych  n a  rys.  2. W  każ- dej z serii wzię to pod uwagę próbki  o stosunku bi/ b 0   =   0,25; 0,50;  0,75. Wyniki  zawarte  w  niniejszej  pracy  stanowią  kontynuację  badań ,  których  rezultaty otrzymane przy  innych  warunkach  brzegowych  przedstawione  został y  w  pracy  [12]. 2.  Podstawowe  zał oż enia Obliczenia  przeprowadzono  na  maszynie  cyfrowej  U N IVAC- 1107  przy  uż yciu  metody elementów  skoń czonych  i  przy  zał oż eniu pł askiego  stanu  naprę ż eń.  Rozpatrywane  próbki miał y  proporcje  przedstawione  n a  rys.  3. » Zb a =400 Rys.  3 Warunkiem  brzegowym  był o  zał oż enie  równomiernego  przemieszczenia  d n a  koń cach próbki.  Zał oż ono  pon adto jednorodność  i  izotropowość  materiał u  próbki,  którego  cha- rakterystyka  podana  jest  n a  rys.  4. 'Op/ Rys.  4 Zał oż enie tego  rodzaju  charakterystyki  z  moduł em  E 2   £  0  podyktowane  został o  spe- cyfiką  programu  obliczeniowego,  który  przy  E 2   =   0  prowadził by  do  nieoznaczonoś ci. Jednakże  wydaje  się,  że  przyję cie  E 2   — 0,2%  E x   dostatecznie  dokł adnie  odwzorowuje sprę ż ysto- plastyczny  model  materiał u. Osią gnię cie  stanu plastycznego  został o okreś lone  wedł ug hipotezy  energii  odkształ cenia postaciowego  H ubera- M isesa.  W  warunkach  pł askiego  stanu  naprę ż enia  kryterium  z  niej wynikają ce  m a  postać (2.i)  <&- o a o;+i' G RAN ICE  OBSZARÓW  PLASTYCZNYCH 321 3.  M etoda  rozwią zania D o  rozwią zania  postawion ego  problem u  znalezienia  rozkł adu  naprę ż eń  zastosowano m et o d ę  elementów  skoń czon ych  opisaną   w  [9] i  [10]. 127  - I28  129 - 130 131 - (32 - 133 - (34  135 118 109 100 \ 99 90 126 117 108 Liczba  punktów  wę ztowych-135 L iczba  efementów- 223 R ys.  5 Cią gła  pł aska  st ru kt u ra  zastą piona  został a przez  skoń czoną   liczbę   elementów  trójką t- nych  poł ą czonych  w  skoń czonej  liczbie  pun któw  wę zł owych.  P rzykł ad  takiego  podział u pokazan y  jest  n a  rys.  5.  Liczba  elementów  i  ich  wymiary  zawsze  okreś lane  są   przez  wy- 322 J.  KAPKOWSKI maganą   dokł adność rach un ku.  W  strefach  gdzie  spodziewany  jest  duży  gradien t  naprę ż eń należy  zakł adać  elementy  odpowiednio  mniejsze.  Odkształ cenia  e x ,e y ,y xy   przy  tym sposobie  analizy  zakł adan e są   jako  stał e  w  obrę bie  dan ego  elem entu.  P rzeto  i n aprę ż en ia a x ,a y ,  i  Taj,,  które  dział ają   wzdł uż  brzegów  elem en tu  są   równ ież  stał e.  Te  n aprę ż en ia zastę powane  są   wypadkowymi  dział ają cymi  w  rogach  elem en tu i nazywanymi  obcią ż eniami punktów  wę zł owych. Równowaga  ukł adu  elementów  może  być  wyraż ona  nastę pują cym  równ an iem  macie- rzowym (3.1) [R] =  [K\ [r], gdzie  [R] jest  macierzą   obcią ż eń  pun któw  wę zł owych,  [K] —•  macierzą   sztywnoś ci  ukł adu elementów,  [r] —  macierzą   przemieszczeń  pun któw  wę zł owych. M acierz  sztywnoś ci  ukł adu  elementów  zbudowan a  jest  z  podm acierzy  opisują cych sztywnoś ci  poszczególnych  elementów.  Przyję to  nastę pują cą   zależ ność  macierzową   pomię - dzy  naprę ż eniami i odkształ ceniami dla elementu (3. 2) Ox ay ^xy E l—v 2 l v v  1 o o W  przypadku  rozwią zania  sprę ż ystego  potrzebn e  jest  tylko  jedn okrot n e  rozwią zanie ukł adu  (3.1).  Wartoś ci  n aprę ż eń  przy  innych  obcią ż eniach  mogą   być  otrzym an e  drogą liniowej  ekstrapolacji.  P rzy  analizie  stanów  sprę ż ysto- plastycznych  stosuje  się   procedurę kolejnych  rozwią zań  przy  niewielkich  wzrostach  obcią ż enia.  Odpowiada  to  zastą pieniu analizy  nieliniowej  przez  sumę   rozwią zań  liniowych. W  niniejszej  pracy  obliczenia  rozpoczynał y  się   w  zakresie  sprę ż ystym  przy  wstawieniu wartoś ci  E x   i  v  do  macierzy  sztywnoś ci.  P rocedura zawierał a  obliczenie  n aprę ż eń zreduko- wanych  wedł ug  (2.1)  w  każ dym  elemencie.  Jeś li  w  jakim kolwiek  elemencie  naprę ż enie zredukowane  osią gnę ło  wartość  granicy  plastycznoś ci,  wtedy  w  podm acierzy  sztywnoś ci tego  elementu  wstawione  został o  E 2   =   1/ 500  E ±   i  v  —  0,5  zam iast  E t   i  v.  T a  czynność powtarzan a  był a  po  każ dym  wzroś cie  przemieszczenia  d.  Obliczenie  jedn ego  przykł adu zawarte  był o w  35- 40 krokach .  D an e wyjś ciowe  podawał y oprócz n aprę ż eń i przemieszczeń dla  każ dego  elementu i pun ktu wę zł owego  również  n aprę ż en ia zredukowan e,  co pozwolił o wyznaczyć  granice obszarów  uplastycznionych. Z akoń czen ie obliczeń n astę powało w  chwili, gdy  uplastyczniony  został  cał y  przekrój  próbki  i  zwię kszanie  wydł uż enia  nie powodował o wzrostu  naprę ż eń. 4.  Wyn iki  obliczeń N a  rysunkach  6- 9  przedstawione  są   granice  obszarów  plastycznych  przy  dan ych wartoś ciach  przemieszczenia  d dla wybranych  z każ dej  serii  pró bek  o przewę ż eniu  Z>i/&0   = =   0,5. Rys.  6 Rys.  8 Rys.  9 1324] G RAN ICE  OBSZARÓW PLASTYCZNYCH 325 N a  rysun ku  10  wykreś lono  zależ ność  obcią ż enia  n a  koń cu  próbki  powodują cego pierwsze  odkształ cen ia  plastyczne  (p 0 )  i  obcią ż enia  maksymalnego  ( p m o x)  od  stosunku bi/ bo.  Wielkoś ci  t e  wyzn aczon o  przez  plan im etrowan ie  wykresu  rozkł adu  naprę ż eń  n a koń cach  próbki  i  obliczenie  wartoś ci  ś redniej  odnoszonej  potem  do  granicy  plastycznoś ci. 0,75 0,50 0,25 Seria B Seria A  \ Sena C  \ \ Seria D  \ \ \ Pmax M • —\z  p° - pfV\   Sena A V \ \   SenaC \   \   Seria  fl \   Seria D 0,25 0,50 fa1 Rys.  10 5.  Wnioski N a  podstawie  przeprowadzon ych  obliczeń  wydaje  się ,  że  m etoda  elementów  skoń czo- nych  może  być  uż ywana  do  rozwią zywania  tego  rodzaju  problem ów.  Rozwią zanie  polega n a  przeprowadzeniu  odpowiedn iego  podział u n a  elementy  oraz  wprowadzeniu  współ rzę d- nych  opisują cych  ukł ad  elem entów  i  pun któw  wę zł owych  do  program u.  P on adt o do pro- gram u  wprowadza  się   odpowiedn ie  dan e dotyczą ce  warunków  brzegowych.  Jest  zrozumia- Rys.  11 ł e,  że  dą ży  się   zawsze  do  jak  najmniejszych  wymiarów  elementów, jedn akże  należy  pa- mię tać,  że  ich liczba  ogran iczon a jest  pojemnoś cią   pam ię ci maszyny  liczą cej. 326  J.  KAPKOWSKI U jemną   stroną   metody jest  wzglę dnie  duży  bł ą d  otrzymywany  przy  wartoś ciach  n ap rę - ż eń  w  pu n kt ach  brzegowych.  Tę   trudn ość  m oż na  przezwycię ż yć  przez  rozpatrywan ie naprę ż eń w  elementach, a nie w pun ktach wę zł owych. Jedn ak  to  zn ów  wym aga  zmniejsze- n ia  wymiarów  elementów. P rzechodzą c do  omówienia  wyników  obliczeń  należy  zauważ yć,  że  tylko  w  kilku  przy- padkach  proces uplastycznienia  przesuwa  się   wzdł uż osi  najmniejszego  przekroju.  W  pró b- kach  serii  B  kierunek  uplastycznienia  odchylony jest  znacznie  od  tej  linii.  W  są siedztwie geometrycznego  ś rodka próbki pozostaje  rdzeń sprę ż ysty, podczas  gdy  poł ą czenie  obszarów plastycznych  nastę puje  w  znacznej  odległ oś ci  od  tego  p u n kt u  (rys.  11 a).  W  próbkach serii  C i D  (z otworami) oprócz obszarów  plastycznych  powstają cych  przy  otworze, powsta- ją   inne n a podł uż nych brzegach  próbki  (rys.  l i b ) .  P o  poł ą czeniu się   tych  obszarów,  w p o - bliżu  osi  symetrii  n a podł uż nych brzegach  pozostają   obszary  sprę ż yste. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  D . N . ALLEN ,  R. SOUTHWELL,  Plastic straining in  two- dimensional  stress  systems,  Phil.  Trans. Roy. So c,  N o. 850,1950. 2.  P. V.  MARCALL,  I . D .  K I N G ,  Elastic- plastic  analysis  of  two- dimensional  stress  systems by  the finite element method,  Int. J. Mech. Sci. 3, 9 (1967). 3.  J. A. JACOBS,  Relaxation methods applied  to problem of plastic flow  notched bar under tension,  Phil. Mag.,  41,  1950. 4.  D . J. HAYES,  P . V.  MARCALL,  Determination  of  upper bounds for  problems in plane stress using finite elements techniques, I n t. J. Mech. Sci, 5, 9 (1967). 5.  P . S.  THEOCARIS, Experimental solution of elastic- plastic plane stress problems, J. Appl. M ech., D ec.  1962. 6.  P . S.  THEOCARIS, E.  MARKETOS, Elastic- plastic strain and stress distribution  in notched plates  under plane stress, J. Mech. Phys. Solids, July  1963. 7.  R.  T.  AU LT, J. W.  SPRETNAK, Initial yielding and fracture in notched sheet molybdenum,  I n t. J. Mech. Sci.,  1965. 8.  W. SZCZEPIŃ SKI, Przeglą d prac dotyczą cych noś noś ci granicznej rozcią ganych elementów z karbem, Mech. Teoret. Stos., 3,1965. 9.  E. L.  WILSON ,  Finite element analysis  of  two- dimensional  structures, Structural  Engineering  Labora- tory,  University of California,  Rep. N o . 63- 2, June 1963. 10.  O. C. ZIEN KIEWICZ, Y. K.  CH EU N G ,  T he finite  element method in structural and continuum  mechanics, London  1967. 11.  M. J. TU RN ER,  H . C.  M ARTIN ,  R. C.  WEIKEL,  Further development and applications of  the stiffness method,  agard,  structures and material panel,  Paris 1962. 12.  J. KAPKOWSKI,  Finite element  study  of  elastic- plastic stress  distribution^  in notched specimens  under tension,  Meddelelse Institutt for Skipsbygging  I I .  N orges  Tekniske H ogskole, Trondheim  1968. P  e 3  io  M  e rU I AC T I M E C K H X  OEJIACTEft  B  P AC TflrH BAE M LI X  3JI E M E H T AX C  H AflP E 30M   H JI H   O T BE P C T H E M OnacaH  aHann3 ynpyro- ruiacTuretecKoro Hanpa>KeHHoro COCTOHHHH  B pacTHrHBaeivsbix o6pa3n;ax c Hafl pe3oM   n n 6o  oTBepcTiieiw.  P a c ^ e T t i  n poflejiaH ti  ripn  npeflnojiojKCHHH   KpaeBwx  ycJioBH ił   B BHfle  paBHO MepH oro  nepeiwemeHHH   Ha Komjax  o 6pa3qa.  PaccMaTpH Baroicb  M eTtipe  cepH H   o6pa3HOB  ( p u c .  2 ) . G R AN I C E  OBSZ AR ÓW  P LASTYC Z N YC H 327 aH anH 3a  6 M J I  H cnojibaoBaH   MeTOfl B  oflHopoflHOM   HanpnmeHHOM   COCTOJIH H H . M raeca. Pe3yJiŁTaTW  padieTOB  noJiyqeH H bie  c 6pa>KaioiHHX  pacn pocTpan eH H e n n acTH iecKott flecbopM ai^H H  11 ajieiweirroB  npiiMeHHTein>HO K  TpeyrojiBHHiw pac^eTOB  6 H J I O  npHHHTo ycnoBH e  nnacnraH ocTH   F y6epa- noKa3aH ti  Ha rpad)H Kax 1130- pacbHKH   yKa3biBaiomH e pa3H Łix  BenHWHH  BŁipe30B. o6n araeH . narpy3i< y  o6pa3i(OB S u m m a r y ELASTIC- PLASTIC  BOU N D ARIES  I N   N OTCH ED   SPECIMEN S  U N D ER  TEN SION The  paper contains a description  of  an incremental elastic- plastic  analysis  of plane  stresses in specimens with  notches  or  holes  subjected  to  tension.  The  calculations  were  made  under  the  assumption  of  uniform displacements  at the ends  of  the specimens.  F our  series  of  specimens  were  studied  (F ig. 2). „The finite  ele- ment  method  of  stress  analysis  with  uniformly  stressed  triangular  elements  was  used,  the  H uber- Mises yield  condition  being  assumed. The  results  of  calculations,  obtained  by  means  of  a  U nivac  1107- computer,  are  presented  in  diagrams showing  the  extension  of  the  elastic- plastic  boundary.  D iagrams  of  the  first  plastic  straining  loads  and maximum  load  carrying  capacities  are  also  shown  for  various  types  of notches. P OLI TE C H N I K A  WARSZAWSKA Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  18  lutego  1970  f.