Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS70\MTS70_t8z1_4_PDF\mts70_t8z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  g  (1970) OGRANICZENIA  NA FUNKCJĘ   ENERGII SPRĘ Ż YSTEJ WYNIKAJĄ CE  Z  WARUNKU  SILN EJ  ELIPTYCZN OŚ CI BE R N AR D   D U S Z C Z Y K  (WAR SZ AWA) 1. Wstę p W liniowej  teorii  sprę ż ystoś ci  przyjmuje  się ,  że funkcja  materiał owa (energia  sprę ż ysta) jest  dodatnio okreś loną   formą   kwadratową ;  dla  materiał ów izotropowych  odpowiada  to warunkom:  / i > 0  i  3X- \ - 2/ j,>0.  Ograniczenie  to  zapewnia,  że  klasyczne  infinitezy- malne  teorie  prowadzą   do fizycznie  dopuszczalnych  wyników  w  przypadku  mał ych  od- kształ ceń. W  roku  1956  (por.  [4] §  51)  TRUESDELL  sformuł ował  podobny  problem  w  teorii  nie- liniowej:  czy moż na ustalić  taki zbiór warunków  ograniczają cych,  który  zapewni  fizycznie dopuszczalne  rozwią zanie  w  każ dym  dopuszczalnym  stanie  odkształ cenia  i  dla  każ dego materiał u?  Ponieważ  teoria  liniowa  jest  szczególnym  przypadkiem  nieliniowej  teorii sprę ż ystoś ci  oczywiste  jest,  że  te  nieznane warunki  winny  implikować  wspomniane  wyż ej klasyczne  ograniczenia. W  mię dzyczasie  opublikowano  wiele  prac  zajmują cych  się   tym  problemem 1)  i  zapro- ponowano  szereg  warunków  stanowią cych  czę ś ciową   odpowiedź  n a  postawione  pytania. Jednym  z  nich jest  warunek  silnej  eliptycznoś ci  (S- E),  wykorzystywany  m.in.  w  teorii propagacji  fal,  przy  badaniu  jednoznacznoś ci  i  statecznoś ci  rozwią zań  nieliniowej  teorii sprę ż ystoś ci  i in. W  pracy  niniejszej  zajmujemy  się  warunkiem  S- E, jego  statycznymi  implikacjami  oraz wynikają cymi  zeń  oszacowaniami  na  funkcję   energii  sprę ż ystej,  a  także  jego  zwią zkiem z  jednoznacznoś cią   rozwią zań  przemieszczeniowego  zagadnienia  brzegowego  zbudo- wanego dla mał ych dodatkowych- deformacji  nał oż onych n a wstę pną   skoń czoną   deformację . 2.  Podstawowe  równania  teorii  mał ych  dodatkowych  deformacji  nał oż onych  na  duże Wprowadź my  trzy  róż ne konfiguracje  ciał a B w  trójwymiarowej  przestrzeni  Euklidesa : 1)  konfiguracja  C  odpowiadają ca  stanowi  naturalnemu ciał a  B, 2)  konfiguracja  C odpowiadają ca  wstę pnej  skoń czonej  deformacji  ciał a B oraz * 3)  konfiguracja  C  odpowiadają ca  dodatkowej  nieskoń czenie  malej  deformacji  ciał a  B. l 1  Szczegół owy  przeglą d  wyników  tych prac podano w  [4],  §  51 226  B.  D U SZCZYK Z akł adać pon adto bę dziemy, że rozważ ane ciał o B zbudowane jest z materiał u hipersprę - ż ystego  i  że  proces  deformacji  ciał a jest  procesem  izotermicznym. Oznacza  to, że  istnieje funkcja  energii  sprę ż ystej  W  (na jedn ostkę   obję toś ci  w  konfiguracji  C), zależ na od tensora odkształ cenia  y l}   i  pun ktu materialnego  P. P rzy  opisie  stanu  deformacji  posł ugiwać  się   bę dziemy  konwekcyjnym  ukł adem współ - rzę dnych  {&'}.  Oznaczają c  przez  g tj   i  g u   współ rzę dne tensora  metrycznego  odpowiednio w konfiguracji  Ć  i  C oraz  przez gf  wektory  bazy w C, mamy dla wstę pnej  deformacji 1 (2. 2) (2- 3) (2.4)  TJj«j  as pj  n a powierzchni S, gdzie  y u   oznacza  tensor  odkształ cenia, riJ  —  tensor  naprę ż enia, f  =  fgt  — sił y  masowe, p  =   ptgi  —  sił y  powierzchniowe  n a jednostkę   powierzchni  S  w  konfiguracji  C.  Równoś ci (2.3) i  (2.4) przedstawają   odpowiednio równania równowagi  i warunki  brzegowe. Jeś li przyją ć,  że ciał o jest izotropowe i jednorodne, tensor napę ż enia riJ  moż na przedsta- wić  w  innej  postaci. M am y  bowiem (2.5)  W  =  W ił   I  I  ) gdzie  I k   są   niezmiennikami stanu odkształ cenia (2.6)  I x   = g'°g rs ,  I 2   = g rs g"I 3 ,  h  =  detG r y)/ det(ty). Wówczas (2.7)  T U  - przy  czym oznaczono (2.8)  I (2.9) Korzystają c  z  ogólnej  teorii  mał ych  dodatkowych  deformacji  nał oż onych  n a  duż e, opracowanej  przez  G REEN A,  R I VLI N A i  SH IELD A  [1],  uzupehaionej nastę pnie interpretacją   n a gruncie  rach un ku wariacyjnego  przez  G u o ZH ON G - H EN GA i  URBAN OWSKICG O  [9], podamy zwią zki  opisują ce  stan  ciał a  B  w  konfiguracji  C. N iech  wektor  EW (W  =   w'g;,  e —  dostatecznie  mał y  param etr)  okreś la  dodatkowe nieskoń czenie  mał e  przemieszczenie  ciał a  B.  N a  skutek  dodatkowego  przemieszczenia podan e  uprzedn io  wielkoś ci  doznają   pewnych  przyrostów,  których  liniowe  czę ś ci  mają postać  (por. [10]): (2.10)  g,'  =   V ^ g r , (2.11)   gi j  =   V iW j +VjW ,  =   2 yiJ , (2.12)  g> =   det  (gy)  =  g&f,  X  -   —5 "  V/W (, OG RAN ICZEN IA  NA  FUNKCJĘ   EN ERG II  SPRĘ Ż YSTEJ  227 v'  |  Q>v  | ^ ^ Q f ' i  =  0 , K"»VwK  VrW s ~ (2.16)  H i T ' y + n ' i T I ' - / = / i  na  S, gdzie (2  17)  KiJrS  =  - ~ lub  dla  materiał ów izotropowych (2.18)  JWVy,  ^ (2.19)  r"J (2.20)  b'» (2.21.1)  ^  =   ^ 1^,../ ;_^L/ ^.)  ; = 1,2, 3, n   =  — —   a ij(2.21.2)  Ajj=  4 n   = ——   a ij'__  f f i J f «_ y  • "  / ldldl'  - W 8 Podstawiają c  (2.13) i  (2.15)  do  równań  równowagi  (2.14) i uwzglę dniając  (2.3)  otrzy- mujemy (2.22)  C ^ V; VP w s + Vi C y r s Vr w s + e / ' J  -   0, gdzie (2.23)  CiJrs  = Kiirs  +  rirgis, przy  czym  dla  materiał ów  izotropowych (2.24)  &rs  =  2A 11 g l Jg rs +2A 12 (g iJ o rs +g rs b' J )+2A 13 I 3 (g iJ g rs +g iJ g rs )+2A 22 a rs b iJ   + +2A 23   hić ltF+W f)+ 2^33  Iigijgrs- ^ 2&Jr  +giriJs)  - 3 h (gisgJr  + Ponieważ  tensor y i}  jest  symetryczny,  moż na,  nie  zawę ż ając  ogólnoś ci,  dobrać  ukł ad współ rzę dnych konwekcyjnych  {# '}  (zwią zany  z konfiguracją   C) w ten sposób,  by  wektory bazy  pokrywał y  się  z osiami  gł ównymi tensora yy. Tensor  odkształ cenia oraz pomocnicze tensory  aij, biJ  mają   wówczas  postać  diagonalną   i pewne  współ czynniki  w równaniach równowagi  (2.22)  znikają .  Jedynie  Cm, CiJiJ, ClJ]i, CiiJJ  (nie  sumować !)  nie są   równe toż samoś ciowo  zeru. 228 B.  D U SZCZYK Rozważ my  przypadek,  gdy jednorodne izotropowe ciał o B poddane został o jednorodnej wstę pnej  deformacji.  Zgodnie  z  poprzednią  uwagą  moż na  przyją ć,  że  {# '}  pokrywa  się w  konfiguracji  C  z  ortogonalnym kartezjań skim  ukł adem współ rzę dnych  {x, y, z). Współ - czynniki  (2.23)  są  wówczas  stał e, ponieważ  mamy: 1  — 2 8U  = . - T- a  ii / 3  =   A =   0  dla (2.25) (2.26) (2.27) (2.28) (2.29) K 1221  =   - < P2 A?Ai- d >3 / 3 ; pozostał e  współ czynniki  otrzymujemy  przez cykliczną  zamianę wskaź ników. Ostatecznie, jeś li pominąć sił y masowe, równania równowagi  (2.22) przyjmują  nastę pu- ją cą  postać: (2.30)  { przy  czym  CiiJJ+C]li}  =   0]ii+CiJji  (nie  sumować !). Zauważ my  n a  koniec,  że  jeś li  rozcią gnię cia  X t   są  równe  (tzn.  X t   =  X 2   ~  A3  =   X), wszystkie współ czynniki  ukł adu (2.30)  moż na wyrazić przez dwie wielkoś ci M  iN ,  jedno- znacznie  okreś lone  przez  funkcję  energii  W ,  zależ ne  jedynie  od  parametru  deformacji (rozcią gnię cia)  X,  mianowicie C iiH  =   M(X),  Cm  =  N (X),  (nie sumować !) 1 =   CiiJJ- \ - CJiiJ  =   M(X)- N (X). H - ( C1 1 3 3 + C 3 1 1 > 3 , 1 3  = (2.31) 3.  Warunek  S- E Rozważ my  nastę pują cy  liniowy  ukł ad równań  róż niczkowych  o  pochodnych  czą stko- wych : (3- 1)  AiJ"(x)d i d r w s +£3J(yr)  =   FJ(x),  x  =   {x u   x 2 ,  x 3 }, gdzie  QJ  jest  dowolnym  liniowym  operatorem róż niczkowym  rzę du <  2. OG RAN ICZEN IA  N A  FUNKCJĘ  EN ERG II  SPRĘ Ż YSTEJ  229 U twórzmy  macierz (3.2)  A =  \ \ aJs\ \   =  \ \ AiJrs$^ r \ \ ,  | C | # 0 , i  przedstawmy ją  w postaci sumy jej  czę ś ci  symetrycznej i  antysymetrycznej a  =  c + k c  — k = Bę dziemy  mówili  (por.[2]), że ukł ad  (3.1) jest  silnie  eliptyczny  w obszarze  B <=  E3, jeś li macierz  c jest  dodatn io 2'  okreś lona  w każ dym  punkcie  x  tego  obszaru,  dla dowolnego wektora  Ę, |C |  =£  0, to  znaczy jeś li  zachodzi  nierówność (3.3)  C y r a ( x ) f t f r ^ j j a > 0 dla  dowolnych wektorów  % i yj,  | i-  | ^   0,  | yj | ^   0 i każ dego X e B. U kł ad ten jest  eliptyczny w obszarze  B, jeś li macierz a jest nieosobliwa  w każ dym punkcie obszaru B, tzn . (3.4)  d e t ( , 4 y r sf, S r )  ^ 0  dla każ dego  x e B. M oż na  stąd  wnioskować,  że  ukł ady  speł niają ce  warunek  (3.3)  (warunek  ten nazywać bę dziemy  dalej  warunkiem  S- E)  należą  do  klasy  ukł adów  eliptycznych — lecz  nie  n a  od- wrót. Jak  został o pokazane  n p. w pracach  [2, 3,]  warunek  (3.3) jest  wystarczają cy,  by przy odpowiednio  regularnych  współ czynnikach  i  wystarczają co  mał ym  obszarze  B istniał o rozwią zanie  pierwszego  zagadnienia  brzegowego  dla ukł adu.  (3.1),  i  był o  o n o  jedyn e. W  dalszych  rozważ aniach zastosujemy  warunek  (3.3) do równ ań równowagi  (2.22) i wyzna- czymy  stąd  pewne  ograniczenia  dla  wstę pnej  deformacji  oraz  dla  funkcji  energii  sprę- ż ystej  W . Powróć my zatem do równań równowagi  (2.22). Z  (2.17)  i  (2.23)  widać,  że CiJrs  —  CrsiJ, a więc  macierz  (3.2) jest  symetryczna.  Warunek  S- E  dla  tej  macierzy jest  równoważ ny  (3.3). N a  to, by c był a dodatnio  okreś lona potrzeba i wystarcza,  aby  speł nione był y nastę pują ce  nierównoś ci (3.5)  cuc22~c12c21  > 0 , d e t ( c y) > 0. Bezpoś rednie wnioski  z  (3.5) wskazują, że także musi zachodzić (3.6)  c 2 2 > 0  i  c 3 3 > 0 , a  stąd  wynika  natychmiast,  że (3.7)  CiJiJ  > 0  (nie sum ować !). Oczywiś cie,  warunki  (3.7) są tylko  konieczne dla  speł nienia (3.5), ale  nie  wystarczają. 2 > lub  ujemnie  okreś lona;  w tym  przypadku  wystarczy  pomnoż yć  wszystkie  równ an ia  ukiadu  (3.1) przez  (—1),  by  otrzymać  dodatnią  okreś lonoś ć. 230  B.  D U SZCZYK Ze  wzglę du  n a  skomplikowaną  postać  ostatnich dwu  nierównoś ci  ukł adu  (3.5),  dalszą ich  analizę  prowadzić  bę dziemy  przy  zastosowaniu  do  szczególnych  przypadków  równań równowagi.  Przy  jednorodnej  i  jednakowej  wstę pnej  deformacji  współ czynniki  ukł adu równań  równowagi  (2.30)  speł niają  dodatkowe  zwią zki  (2.31):  w  tym  przypadku  mamy tylko  dwie  niezależ ne  wielkoś ci  {funkcje  materiał owe, zależ ne  tylko  od  współ czynnika deformacji  X) M  i N , przez które wyraż ają  się wszystkie współ czynniki ukł adu (2.30). Tutaj warunki  (3.5) wyraż ają  się  stosunkowo  prosto, mamy bowiem 0 , co  z kolei  równoważ ne jest nastę pują cym  nierównoś ciom (3.8)  M  >  0  i  N  >  0, stanowią cym  warunek  S- E  dla  ukł adu  (2.30), którego  współ czynniki speł niają  dodatkowo zwią zki  (2,31). Rozważ my teraz przypadek, gdy przy wstę pnej jednorodnej deformacji  (2.25) dodatkowa deformacja  jest pł aska W l  = U kł ad  (2.30) redukuje  się wówczas  do dwu równań i warunki  (3.5) przyjmują  postać (3.9) + C 2 2 2 2 C 2 1 2 1 f2 1 2 1 f f Lewa  strona  drugiej  nierównoś ci jest  trójmianem  kwadratowym;  warunkiem  koniecznym i  wystarczają cym  n a to,  by  trójmian ten był  dodatni dla każ dego  C jest (3.10)  (j/ 'C1111 C2222  + j / c 2 1 z l C 1 2 1 2 ) 2  >  ( C 1 1 2 2  +  C 2 1 1 2 ) 2 ,  C w  >  0, albo (3.11)  {]/ clillC212i  + / C 2 2 2 2 C 1 2 1 2 ) 2 + i f  >  0, jeś li  zauważ yć,  że  (3.9)2  przedstawić  moż na  w  nastę pują cych  równoważ nych  postaciach (3.12.1)  CllllC1212H  + (C1111C2121+C2222C12'- 2+H)iUl+C2222C2i21^   >  0, lub (3.12.2)  ( e m i £ i + c M 2 2 £ i ) ( e i a i a f !+ c 2 1 2 1 !!) + # !i ! 2 .  > o, gdzie H  =  4 Sprawdzić  moż na natychmiast, że nierównoś ci  (3.8)  są  szczególnym  przypadkiem  (3.12.2) jeś li  przyjąć  X x   =   X 2 . OG RAN ICZEN IA  NA  FUNKCJĘ  EN ERG II  SPRĘ Ż YSTEJ  231 Ponieważ nierównoś ci  (3.10) [lub równoważ ne  (3.11)] mają  skomplikowaną,  a przez t o trudną  do zinterpretowania postać, spróbujemy  podać nieco silniejsze warunki  (wystarcza- ją ce), lecz w prostszej  formie. Zbudujemy  formę  kwadratową (3.13) w  której, zgodnie  z  (2.21.2) oznaczono 2  d2W zaś  %  =  [f i,  £ 2 ,  £ 3] — dowolny  niezerowy  wektor.  Z  (2.29)  wnioskujemy,  że  wystę pu- ją ce  we  współ czynnikach  ukł adu  (2.30)  wielkoś ci  Kim  stanowią  wartość  formy  (3.13) dla  pewnego  wektora  Ę,  zatem  ich  znak  zależy  jedynie  od okreś lonoś ci  (dodatniej  czy ujemnej)  tej formy.  Okreś loność formy  (3.13) w  istotny  sposób  wpł ywa  również  n a  znak współ czynnika  H  w nierównoś ci  (3.12).  Przypomnijmy  postać  współ czynników  C'Jkl: tak  więc "• 2222  _  ^ 2 2 2 2 _ L T 2 (3.14) C 2 1 2 1  = Jeś li  zatem  T " >  0  (nie sumować !)  oraz forma  (3.13)  jest  dodatnio  okreś lona,  wówczas- C m   >  0  (wniosek  sł uszny  także  dla  i =  3); jeś li  forma  (3.13) jest  dodatnio  okreś lona oraz3) n  1 «fi  T   0, dodatniość formy  (3.13) nie jest konieczna. Przypuś ć- my  bowiem, że Atj^ CJ <  0. Wówczas, jeś li Jf l212 3 )  W  przypadku  dwuwymiarowym  moż na: przyjąć  A3  =   1. 232  B. D U SZ C Z YK (nawet jeś li K1212  >  0), wyraż enie Hjest  nieujemne. Wiadomo, że Km  <  0; jeś li  wielkoś ci te  są dostatecznie  mał e,  wówczas C nii  _ ^ " ' - f - W  >  o,  (nie sumować !), a  także CW   =   gm +r ii g JJ  >  o  dla  i=£j, i warunek  (3.12.2) jest speł niony. Oczywiś cie  w przypadku,  gdy przynajmniej  jedno  z naprę ż eń  gł ównych jest  ujemne potrzeba, by forma  (3.13)  był a  dodatnio okreś lona.  Wynika  to bezpoś rednio z warunku cm]  > o .  A  oto  warunki  wystarczają ce  n a to, by przy  takich  naprę ż eniach  warunek (3.12.2)  był   speł niony gdzie f  S=J m infr"). N ie wszystkie z uzyskanych w tym paragrafie  nierównoś ci  mają  w statyce  równie  jasną interpretację  fizyczną  jak np. w teorii propagacji  fal4).  Szczególnie  nierównoś ciom  (3.16) czy  (3.17)3,   a  tym  samym  nierównoś ci  (3.10)!,  trudno  nadać  wyraź ny  sens  fizyczny. Lepiej  wyglą da  sprawa  z warunkami  (3.10)2. Korzystając  z okreś lenia  (2.23) współ czynni- ków  CtJkt  moż na  bezpoś rednim  rachunkiem  sprawdzić,  że z  warunku  Cm  >  0  wynika, że (3.18)  "U p . Oznacza  to,  że jeś li  prostopadł oś cian z materiał u izotropowego  wydł uż ymy w kierunku jednego  z. kierunków  gł ównych  (podczas gdy  pozostał e ś ciany  nie ulegną  zmianie),  naprę- ż enie  rozcią gają ce  (lub  sił a  rozcią gają ca)  roś nie.  Wniosek  ten wydaje  się być zgodny z intuicją  (por. [4], § 51). N ierównoś ci  CiJlJ >  0,* i ̂  j  prowadzą  do  warunku5) (3.19)  0 1 +tf0 2 >O. Warto zauważ yć  interesują ce  toż samoś ci, jakie  speł niają  współ czynniki CiJtJ, i ̂  j : £ 1212  £ 2121  C 1 3 1 3  £ 3131  £ 2323  £3232 A3 / £1212  £2323 \   J  / £2323  £ 3!3l\   I r3 =  —0,A?  /   A|— 4>  W teorii  propagacji  fal warunek  S- S  jest  konieczny i wystarczają cy,  by w danym  materiale mogł y propagować  się fale  rzeczywiste.  Warunek  C'm  > 0  zapewnia  dodatniość  kwadratu  prę dkoś ci  gł ównych fal  podł uż n ych, zaś  C'J'J > 0, i ̂  j  dodatniość kwadratu  prę dkoś ci  gł ównych fal poprzecznych  ([4], § 90). 5>  Truesdell  zapropon ował  ten warunek  przy  dyskusji  nieś ciś liwego  materiał u izotropowego,  [8]. (P or. także [5, 6]). t  O G R AN I C Z E N I A  N A  F U N K C JĘ   E N E R G I I  SPRĘ Ż YSTEJ  233 Korzystają c  z okreś lenia  (2.27) i powyż szych  toż samoś ci  otrzymujemy (3.21)  T«—r" -   C ^ - CJ i J I =  4 r 1 2  1 2 Ponieważ  CIJiJ > 0, z  (3.21)  wnioskujemy,  że w izotropowym  materiale,  w którym  S- E jest  speł nione,  wię ksze naprę ż enia wystę pują   w kierunku  wię kszych  odkształ ceń. W rów- noś ci  (3.22) o znaku róż nicy po lewej stronie decyduje  znak K'j'J.  I tak np. przy  ś ciskaniu [tzn. gdy zachodzi  (3.17)] wielkoś ci  K'Jij  są  dodatnie i dla Xi  >  Aj powinno być  Xj2xn  > >  Xj 2 x",  (por. [4] §  51]). Zauważ my  jeszcze,  że  korzystają c  z  (3.20)  nierówność  (3.11)!  przedstawić  moż na w prostszej  postaci (3.23)  A l 2 C 1 2 1 2 ( j / A !C l l u + l / A 2 C 2 2 2 2 ) 2 + # : > 0 . N ierówność  ta wraz  z  (3.11)2  tworzy  warunek  równoważ ny  warunkowi  S- E  w postaci (3.10). 4.  U wagi  o  jedn ozn aczn oś ci  przem ieszczeniowego  zagadn ien ia  brzegowego N a  począ tku  tego  paragrafu  zaznaczono, że warunek  S- E  wystarcza  na to, by roz- waż ane  przemieszczeniowe  zagadnienie  brzegowe  miał o  rozwią zanie  i  był o  ono jedyne. N iż ej  przytoczymy  warunki  konieczne, aby przemieszczeniowe  zagadnienie  brzegowe dla ukł adu  (2.30) miał o rozwią zanie jednoznaczne. Zał óż my  zatem,  że  ukł ad  (2.30) (4.1)  CiJkldtd k W i  =   0 , speł niony jest w pewnym  ograniczonym obszarze  B, przy  warunku (4.2)  w =  0  na brzegu S. Ponieważ  zawsze  istnieje  przynajmniej  jedno  rozwią zanie  (zerowe)  tego  zagadnienia, zbudujemy  warunki, przy  których jest ono jedyne. Zał óż my, że rozwią zanie  ma postać (4.3)  w =   ( V ^ - m ) - a > gdzie a =   (a 1 ,a 2 ,  a 3 ) jest dowolnym  stał ym wektorem, h — macierz o stał ych elementach, m — dowolna. liczba  dodatnia. Jeś li macierz li jest dodatnio okreś lona, wówczas  w znika na powierzchni elipsoidy (4.4)  hi- tyft1 ^  m. Podstawiają c  (4.3) do (4.1) otrzymujemy (4.5)  Cmh ik ai  =  0. N a  to, by  powyż szy  ukł ad  równań  algebraicznych  był  speł niony  jedynie  przez a =  0, potrzeba i wystarcza, aby (4.6) 3  Mechanika  teoretyczna 234 B .  D U SZ C Z YK Wykazaliś my  wię c, że  dla zapewnienia jedn ozn aczn oś ci rozwią zań  (4.1) przy  warun kach (4.2)  potrzeba,  by  dla dowolnej  dodatn io  okreś lonej  macierzy  h  speł niony  był  warun ek (4.6).  Korzystają c  z  tego  wyniku  wykaż emy  dalej,  że jeś li  współ czynniki  równ ań (4.1) speł niają   zwią zki  (2.31),  warunek  S- E  (3.8)  jest  jedn ocześ n ie  (dla przypadku  pł askiego) konieczny  dla  zapewnienia  jedn ozn aczn oś ci  rozwią zań.  U wzglę dniając  bowiem  (2.31) w  (4.6) mamy (4.7)  MN {}Hi- \ - h 22 Y- \ - (M~- N )\ h iA h 22 - hh)  #   0. P onieważ  (4.7)  zachodzi  dla dowolnej  dodatn io  okreś lonej  macierzy  h, zatem  M N  > 0, a  st ą d6'  M ^  0 i N  >  0, przy  czym  M i N  nie  mogą   zn ikać jedn ocześ n ie. Przypuś ć my,  że M — 0 i N  >  0. Okazuje  się ,  że istnieje  wówczas  n ietrywialn e  rozwią - zanie ukł adu  (4.1) przy  warun kach  (4.2) [nie należ ą ce  do klasy  rozwią zań  (4.3)]. Wystarczy  skon struować  taką   funkcję   (p^   const, że W t  —  r 0 , gdzie  7-0 jest  promieniem  kuli  K  <=   B,r — odległ oś cią   pun ktu  Pe B  od  ś rodka  kuli  K. Ponieważ  pole  wektorowe  w jest  potencjalne,  a  równania  (4.1) przyjmują   przy  M = 0 postać (4.9)  N (w ilk - w kll ) tk   =  0, z  ł atwoś cią   stwierdzamy,  że rozważ ane  zagadnienie  brzegowe  m a rozwią zanie  niezerowe. N iech teraz N  =  0 i M >   0. N atych m iast sprawdzam y,  że n p . pole  wektorowe < 4 1 0 >  W = L  0  dla, - >,0, jest  wówczas  nietrywialnym  rozwią zaniem  tego  zagadn ien ia.  W  ten sposób  [por.  (3.8)] dowód został  zakoń czony. Analogicznie  postę pując  wykazać  m oż n a,  że kon ieczn ym  warun kiem  jedn ozn aczn oś ci jest  C'JIJ 5* 0.  Jeś li  bowiem  przyją ć  h 12   =   k 13   =  h 23   ==  0, z  (4.6) m am y przy  czym  hu >  0  (nie  sum ować !),  a  stą d  CiJiJ  > 0. 6 ) 5. Przykł ad Rozważ my  nieskoń czenie  dł ugi  jedn orodn y  walec  koł owy,  o  prom ien iu  a  w  konfigu- racji  C i f l w  konfiguracji  C.  Oznaczają c  przez  X współ czynnik  jedn orodn ej,  osiowo- sy- metrycznej  deformacji  i  wprowadzają c  biegunowy  ukł ad  współ rzę dnych  m am y  kolejn o (por.  [7]): (5- 1) 8U~ 1 0 0 0 r 2 0 0" 0 1 ii  = I- 2 0 0 0 r 2 \ X 2 0 0 0 1 22  =   —r, 12  — 6>  Por. n otkę 2); forma  (3.3) jest ujemnie okreś lona, jeś li M <  0 i N  < 0. OG RAN ICZEN IA  NA  FUNKCJĘ  EN ERG II  SPRĘ Ż YSTEJ  235 R ó wn an ia  równowagi  dla  m ał ych  dodatkowych  deformacji  przyjmują  p o st a ć 7 ) M\ u n   + —  u,—— MJ +N —itM+(M- N )- p r v r9 ,—M- T v s   =  0, (5,2) {M- N )u*+N v„+M~v M  + (M+N )yUi- N yv r   =  0. R ozwią zań  tego  u kł adu  poszukiwać  bę dziemy  w postaci (5.3)  u=f(r)cosn&,  v =  rg(r)sinrt&,  « =   0 , 1 , 2 . . . , gd zie / i g są odpowiedn io regularn ym i funkcjami  zmiennej r. Otrzymujemy  stąd (5.3.1) R ozwią zan iem  ogólnym  tego  u kł adu jest 4  4 (5- 4)  Mr) =  £ cmir't,  g(r) = gdzie y t  =   •••   2 —  2  ' — - ,  Cni — stał e  cał kowania, n atom iast x( są pierwiastkami wielom ian u  charakterystyczn ego równ ym i  odpowiedn io (5.6)  x 1  = n- \ - l >   x 2  = n—\ ,  x 3 =   — « + l »  x 4 = — n — 1 , gdy  n >  1. D la « =  0 i n =  1 pierwiastki  są wielokrotn e i rozwią zanie  ma postać (5.7)  fo(ń = Coi'*+ Co2'"~ 1  ^ a 8 ) K =  0, (5.8) /   M- N \ gi(r) = c 11 y 1 r 2 +c 12 y 2 +c 13 y 3 \ lnr+^ —- l- hc14y4/ -   2 ,  d la ń —1. P on ieważ  dla ?•  =  0 przem ieszczenia  są ograniczone i ponieważ  wykluczamy  z rozważ ań ruch  sztywny,  należy  przyjąć C02  =  c 1 2 =  c n 3 =  c n 4 =   0 7>  P rzyję to  o zn a c zen ia :  # J =   r, • O-2  — &,  Wi  =  u, w2 =  t ) , —iL =  »r  . . . or 8>  P o n ieważ  W =  0 dla n =  0, m o ż na  przyjąć  go(r)  = 0 3 * 236  B.  D U SZCZYK i  ostatecznie  mamy (5.9)  / o(r) -   coir,  g 0 (r)  B O  dla  « =  0, (5.10)  7V- 3M   2  „   , g i W ^ C n   M 3 A r  r*  d l a n = l , ( 5 J 1 )   g r (f)  = c^ yr^ - W - 1  dla  n >  1, N n- M(n+2) Poszukiwać  bę dziemy  teraz  warunków,  przy  których  dane  zagadnienie  brzegowe  m a rozwią zanie niejednoznaczne. Zał óż my, że na brzegu S funkcje  u i v  znikają: (5.13)  M =   w  =   0,  dla  r = a, lub,  co  jest  równoważ ne Mr)  =  g,(r) =   0,  gdy  r — a. D la  n =  0  i  n — 1 jest  tylko  trywialne  rozwią zanie.  D la n >  1 mamy,  n a  mocy  (5.11) Warunkiem istnienia nietrywialnych  rozwią zań jest tu (5.15)  M=- N . U zyskaliś my  spodziewany  wynik.  Już  bowiem  przy  ustalan iu  warunków  koniecznych dla  S- E (s. 233) zauważ yliś my,  że dla MN <0  zawsze  m oż na  znaleźć  taki  obszar  B, dla  którego  przemieszczeniowy  problem  brzegowy  jest  niejednoznaczny. M Weź my  dla przykł adu  w =   a  (hijX'xJ  —ni),  a =   (1,  0, 0),  hi±  =  1, / i22 =   h33  =  —T - ?, h t j  — 0 dla i *£ j-  Tak skonstruowana funkcja  speł nia  równania  równowagi  (2.30)—(2.31) w  cał ej przestrzeni. Z  drugiej  strony, macierz h jest  dodatnio okreś lona  wtedy  i tylko  wtedy,  gdy MN  <  0. Obszarem  B  jest  wówczas  elipsoida  (elipsa).  W  naszym  przykł adzie,  kiedy  M =  —N , jest  to koł o. Literatura  cytowana  w tekś cie 1.  A. E.  G REEN ,  R. S.  R I VU N ,  R. T.  SH IELD ,  General theory  of  small  elastic  deformation superposed on finite  elastic deformations, P roc. Roy. So c , A. 211 (1952). 2.  C. B.  MORREY,  Second order  elliptic  systems  of  differential equations. Contrib.  Theory  P artial  Diff. Equs.,  Annals M ath.  Studies, N o 33 (1954). 3.  M . T .  BH I I I H K ,  O  cuAmo- SA/ mnmuHecKux  cucmeMax duifiifiepeumia/ ibubix  ypaenewiu,  M a T .  C6opH H Kj 29  (71),  Xs 3 (1951). OG RAN ICZEN IA  NA  FUNKCJĘ   EN ERG II  SPRĘ Ż YSTEJ  237 4.  Encyklopedia  of Phisics, vol.  I I I / 3,  Springer- Verlag,  1965. 5.  M .  BAKER,  J. L.  ERICKSEN ,  Inequalities restricting the form  of  the  stress- deformation  relations for  iso- tropic elastic solids,  J. Washington  Academy  of  Sciences, 44  (1954), 6.  H .  Z ORSKI,  On  the  equations describing small  deformations supperposed  on finite  deformation,  P roc. I n t.  Sympos.  Secondorder Effects,  H aifa  1962. 7.  B.  D U SZ C Z YK,  Statecznoś ć peł nego walca obcią ż eniowego  ciś nieniem zewnę trznym,  Mech. Teoret. i Sto- sów.,  4, 5  (1967). 8.  C.  TRUESDELL,  T he mechanical foundations of  elasticity and field dynamics,  J. Rational Mech.  and Ana- lysis, 1,  125- 300 (1952). 9.  G u o  Z H ON G - H EN G,  W.  U RBAN OWSKI,  Stability  of  non- conservative  systems  in  the  theory of elasticity of  finite  deformations,  Arch.  M ech. Stos., 2, 15  (1963). 10.  A. E.  G REEN , W.  ZERN A,  T heoretical Elasticity, Oxford  1954. P  e 3  IO  M  e OrPAH H WEH IM   HAKJIAflLIBAEMLIE  YCJIOBHEM   CHJIbHOfł  SJIJIH nTIM H OCTH H A  OYH KU H IO  ynpyroft  SH EP F H H n epeiwem ein ra,  ypaBH emiH   paBHOBecHH   # J M  M am ix  flo6aBoi- HBDC fled)0piviaB(H H  Hajio>iym