Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS70\MTS70_t8z1_4_PDF\mts70_t8z3.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  8  (1970) UWAGI  O  IN FIN ITEZYM ALN EJ  TEORII M ATERIAŁÓW  S PRĘ Ż YS TO/ LEPKOPLAS TYCZNYCH WŁ OD Z I M I E R Z  W O J N O  (WARSZ AWA) 1.  Wstę p M ateriał   sprę ż ysto/ lepkoplastyczny  jest  m odelem  m ateriał u,  który  zachowuje  się sprę ż yś cie  do  osią gnię cia  statycznej  granicy  plastycznoś ci,  po  której  przekroczeniu  po- jawiają   się   w  n im efekty  reologiczne  w  postaci  sprzę ż onych  ze  sobą   efektów  lepkich  i plas- tycznych.  P raktyczn a  przydatn ość  bad ań  n ad  zachowaniem  się   tego  modelu  wynika  za- sadn iczo  stą d,  że  w  ram ach  teorii  opisują cej  jego  wł asnoś ci  m oż na  ują ć  wł asnoś ci  wraż li- wych  n a  prę dkość  odkształ cen ia m ateriał ów  plastyczn ych ". Ogóln e  podstawy  opisu  wł asnoś ci  m ateriał ów  sprę ż ysto/ lepkoplastycznych  przyniosł a w  ro ku  1932  praca  H OH EN EM SERA  i  PRAG ERA  [3]  (patrz  również  PRAG ER  [15, 16]).  Idea H OH EN EM SERA  i  P RAG ERA  został a rozszerzon a  dzię ki  pracom  P ERZ YN Y  [6- 8], poś wię conym sform uł owaniu  i  analizie  równ ań  kon stytutywn ych  dla  wraż liwych  n a  prę dkość odkształ - cen ia  m ateriał ów  plastyczn ych.  R ówn an ia  kon stytutywn e,  opisują ce  wł asnoś ci  sprę ż ysto/ lepkoplastyczn ych  grun tów,  został y zapropon owan e  i  szczegół owo  przedyskutowane  przez OLSZ AKA  i  P ER Z YN Ę   W pracy  [5]. Wyż ej  cytowane  prace  dotyczą   procesów  izotermicznych i  odkształ ceń infinitezymalnych.  U ogóln ien ia propon owan ych w  pracy  [8] równ ań  konsty- tutywn ych,  przez  uwzglę dnienie  wpł ywu  tem peratury,  dokon ali  n a  drodze  czysto  feno- m enologicznej  najpierw  OLSZ AK  i  P E R Z YN A  [4], póź niej  P ERZ YN A  i  WI E R Z BI C KI [11]. Sformuł owanie  i  an alizę   równ ań  konstytutywnych  dla  izotropowych  materiał ów sprę ż ysto/ lepkoplastycznych  w  przypadku  odkształ ceń  skoń czonych  i  procesów  izoter- m icznych  przyn iosł a praca  [12].  Koncepcję   tę   rozszerzono  n a  przypadek  procesów  term o- dynam icznych  w  pracy  [18].  W  koń cu  ogólne  sformuł owanie  termodynamicznej  teorii m ateriał ów  sprę ż ysto/ lepkoplastycznych  został o  dokon an e  w  pracy  [19]  (patrz  również [20]),  oraz  w  oparciu  o  koncepcję   term odyn am iki  m ateriał ów  z  param etram i  wewnę trz- n ym i  w  pracy  [14]. G ł ówn ym  celem  niniejszej  pracy  jest  rozszerzenie,  n a  drodze  przejś cia  gran iczn ego 2' od  przedstawionej  w  [18,  19, 20]  torii  przy  odkształ ceniach skoń czon ych3',  propon owan ej 11  Obszerne  opracowania  zagadnień  teorii  materiał ów  sprę ż ysto/ lepkoplastycznych  zawiera  praca [9]  i  monografie  [10,13]. 2 )  Przy  zał oż eniu, że  odkształ cenia i  przyrosty  temperatury  są   mał e.  Poję cie  mał oś ci  tych  wielkoś ci został o  dokł adnie sprecyzowane  w p .  3. 3 1  Zarys tej teorii jest przedstawiony w skrócie w p . 2. 240  WŁ .  WOJN O w  pracach  [A—8,  11]  infinitezymalnej  teorii  materiał ów  sprę ż yste/ lepkoplastycznych na przypadek  procesów termodynamicznych, a także  uzyskanie  i przebadanie  ograniczeń, jakie wynikają  z drugiego  prawa termodynamiki. 2.  Termodynamiczny  opis  wł asnoś ci  materiał ów sprę ż ysto/ lepkoplastycznych  przy  odkształ ceniach  skoń czonych Zgodnie  z  pracami  [18, 19, 20],  wł asnoś ci  materiał ów  sprę ż ysto/ lepkoplastycznych, poddanych  procesom termodynamicznym przy  odkształ ceniach skoń czonych, są w  szcze- gólnym  przypadku  opisane  ukł adem równań  konstytutywnych (2.1)  y - • $ (•   W (2.2)  ) ? = - « V y, (2.3)  f=Q R d eE e y> (2.4)  q R  = q R {°E, (2.5)  ' £  = / < ^ < gdzie:  y>  jest  energią  swobodną  wł aś ciwą  (na jednostkę  masy),  r\  — entropią  wł aś ciwą, T  —•  drugim tensorem naprę ż enia Pioli- Kirchhoffa4), q R   —.wektorem strumienia przepł ywu ciepł a na jednostkę  powierzchni w  konfiguracji  począ tkowej,  Q R  jest  gę stoś cią  masy  w  tej konfiguracji,  § > 0 jest temperaturą bezwzglę dną,  G rad jest  operatorem gradientu wzglę- dem  współ rzę dnych X  w  konfiguracji  począ tkowej,  zaś  kropka  oznacza  róż niczkowanie materialne.  "E i  lE  są tensorami odkształ cenia odpowiednio sprę ż ystego  i  niesprę ż ystego, które  speł niają  postulat  addytywnoś ci (2.6)  £='£+% gdzie  E jest  tensorem  odkształ cenia  Lagrange'a. Równanie  (2.5) postuluje,  że prę dkość  odkształ cenia niesprę ż ystego  w  materiale  sprę- ż ysto/ lepkoplastycznym  jest propocjonalna  do funkji  (P(^ ),  gdzie  3F jest funkcją  statycz- nego  uplastycznienia,  okreś loną  za poś rednictwem  statycznego  warunku  plastycznoś ci f=k(n)  przez  zależ ność (2 7)  3F  =  K  '  — 1 Wystę pują cy  w (2.7)  tensor  PE  jest  odkształ ceniem plastycznym,  zdefiniowanym  jak w  pracy  [2]. Współ czynnik  proporcjonalnoś ci w równaniu  (2.5) jest  iloczynem  skalarnej funkcji  / *(#) >  0,  charakteryzują cej  wł asnoś ci  lepkie  materiał u i  symetrycznej  funkcji tensorowej N . Wprowadzona w (2.7) funkcja  k(x) jest skalarną funkcją  parametru  K wzmo- cnienia izotropowego  materiał u. Parametr ten speł nia równanie  róż niczkowe ( 2- 8)  K =  tr{WI(f, PE, d)pE(f,   PE, d, f,  • &)}, *)  Tensor  f  wyraża  się w zależ noś ci  od tensora  naprę ż enia  Cauchy'ego  T  wzorem T sJF- i T (F- 1 ) T , gdzie  F  oznacza  gradient  deformacji,  zaś  J>  0—jego  Jakobian. U WAG I  O' INFINITEZYMALNEJ  TEORII MATERIAŁ ÓW  241 gdzie  M  jest  symetryczną  funkcją  tensorową.  Zakł ada się,  że  funkcje  N   i  M  speł niają zasadę  obiektywnoś ci  materialnej. Symbol  <  $( # ") >  w  równaniu  (2.5) jest  zdefiniowany  nastę pują co 0  dla  f <  0, (2.9) >  0  dla  &  >  0. Z  równania  (2.5) wynika  dynamiczny  warunek  plastycznoś ci (2.10)  Ą f,  %  0)  =   k(x(T , >E, * dla  materiał ów  sprę ż ysto/ lepkoplastycznych,  wykazują cych  wzmocnienie  izotropowe i anizotropowe. Zależ ność (2.10) opisuje  zmianę aktualnej powierzchni pł ynię cia w procesie termodynamicznym. Funkcja  wewnę trznej  dysypacji  w materiale  sprę ż yste/ lepkoplastycznym  jest  okreś lona przez  zwią zek (2.11)  a =   &(• *,  %  0) =   - ^ zgodnie z którym nierówność dysypacji  wewnę trznej  przybiera  formę (2.12)  t r [ ( T - eB d i £ 'v0N ( # ,  ' £ , *)] >  0. Tak  więc wł asnoś ci materiał u sprę ż ysto/ lepkoplastycznego  w procesie  termodynamicz- nym  okreś lone  są  przez  funkcje  ef,'ip,q K ,N ,0(^ )  oraz  ^ (ff),  przy  czym  nierówność (2.12)  stanowi  podstawowe  ograniczenie, jakie  przy  okreś lonych  ey>,   lę  musi  speł niać funkcja  N . G dy materiał  wykazuje  wzmocnienie tylko  izotropowe, pojawiają ca  się w  (2.7)  funkcja / n ie  zależy  od PE.  W tym przypadku  postuluje  się, że również i funkcja  N   w  (2.5) nie za- leży  od  lE. Jak  wykazano,  w  przypadku  gdy  fx{&)  -»  oo  dla  każ dej  wartoś ci  # , 'E ->   PE  i  ukł ad równań konstytutywnych  (2.1)- (2.5) dla materiał u sprę ż ysto/ lepkoplastycznego przechodzi w  sformuł owany  przez  GREENA i  N AG HDIEG O  [2]  ukł ad równań  konstytutywnych  teorii plastycznego  pł ynię cia w postaci (2.13)  V  =  • ?>(• (2.14)  ,?=-< (2.15)  fE (2 16)  ł lt  =   $«(• £ , '£ , *,  G rad *) , (2.17)  >E =   1 <  tr(df/ T) +d>f0  >  N (f,  'E, &), gdzie (2.18)  I  -   {tr[(óx/ cM  -   dPEf)N (ł ,  "E,  *)]}-  S zaś  symbol  <  t r ( d f/ J ) + d 9 / ^  > jest  okreś lony  jak  poniż ej (2.19)  < [ t r ( a ^ + ^ ]  > =  {  o  g d y  / =   ^  ,   =   o i  [  ] < 0, lub gdy / <  «. 242  WŁ .  WOJN O Jak  wykazano  w pracy  [2], moż na bez  zmniejszenia  ogólnoś ci  przyją ć,  że A > 0. W  procesie plastycznego  pł ynię cia funkcja  (2.11) przechodzi w funkcję   dysypacji  wew- nę trznej  w  materiale  sprę ż ysto- plastycznym a =  a(%  "E, ff) =  ~,1<  tv(dffT )+d 9 f4  >  tr[(T - Q R d PE 'foN (f,  "E,*)], z której, ze wzglę du  na  A > 0 i warunek  (2.19) x, dla  przypadku  obcią ż ania  mamy nierów- ność  dysypacji  wewnę trznej (2.20)  t r [ ( * - e * dw # ) N ( f , "E, 0)] > 0. P onadto  przy  1 > 0 ze zwią zku  (2.18)  wynika  nierówność (2.21)  ti[(d H kM- d PE f)N (f,  >E,  # )] > 0, odgrywają ca  ograniczają cą   rolę   przy  formuł owaniu  równań  konstytutywnych  teorii plastycznego  pł ynię cia  (patrz  [2]). 3.  Ogólna  infinitezymalna  teoria  materiał ów  sprę ż ysto/ lepkoplastycznych N a  wstę pie  należy  nadmienić, że przejś cie  od teorii  lepkoplastycznoś ci  przy  odkształ - ceniach  skoń czonych  do infinitezymalnej  może  prowadzić  w rezultacie  do kilku  róż nych teorii w zależ noś ci  od tego, jaką   wielkość  przyjmie  się  za miarę  mał oś ci deformacji.  M oż li- woś ci  te  został y  szczegół owo  przedyskutowane  w  monografii  [17].  W  niniejszej  pracy przejś cie  do teorii  lepkoplastycznoś ci  przy  nieskoń czenie  mał ych  deformacjach  zostanie dokon an e  przy  zał oż eniu, że  mał e  są   gradienty  przemieszczenia  i  że mał e  są   przyrosty temperatury,  liczone  od temperatury  w  chwili  począ tkowej. Aby  sprecyzować  dokł adnie poję cie  mał oś ci przyję tych  wielkoś ci  zauważ my,  że w chwili t  gradient H{t)  wektora  przemieszczenia z konfiguracji  odniesienia wyraża  się  w zależ noś ci od gradientu  deformacji  F(t)  przez  zwią zek (3.1)  H(t)eaF(t)- l, gdzie  1  oznacza  tensor  fundamentalny.  Wprowadź my  wielkość (3.2)  dm  sup  |flC0|,  \H(t)\^]/u:(HHĄ), 0<( gdzie  | H(t)  | jest  naturalną   normą   gradientu  wektora  przemieszczenia  w przestrzeni  dzie- wię ciowymiarowej.  Wielkość  d bę dziemy  w dalszym  cią gu  przyjmować  za m iarę  mał oś ci deformacji. Tensor  nieskoń czenie  mał ego  odkształ cenia  E(t),  uż ywany  jako  miara  odkształ cenia "W klasycznej, infinitezymalnej  teorii sprę ż ystoś ci, jest zdefiniowany  jako (3- 3)  E(t)  =  ( D eformację   odpowiadają cą   danemu  gradientowi  F(t) bę dziemy  uważ ali  za nieskoń czenie mał ą  w każ dej  chwili t, jeż eli U WAG I  O  INFINITEZYMALNEJ  TEORII  MATERIAŁ ÓW  243 Rozważ ymy  fun kcję5)   winna mieć postać (3.15)  V =   ey> c£ ,  # ) gdzie  A  jest  stał ym skalarem,  zaś  'A  jest  stał ym tensorem  czwartego  rzę du, jaki  speł nia warunki  symetrii  (3.13). W  tym  przypadku  równanie  (3.11)!  przyjmuje  formę (3.16)  *?=   - tc('A'E)~AAi>. Z  (3.15) i (3.16) wynika,  że dla  eE  =   0, 'E  =   0 i §  =  # 0 mamy y  =   0 i  y0  —  rj(O,  * 0 )  =   0. Zatem w tym przypadku r\   oznacza jednocześ nie przyrost en tropii. P on adto  ciepł o wł aś ciwe przy  stał ym  odkształ ceniu sprę ż ystym,  równe (3.17)  c«^«iy- - A# - - A4*+ c0, gdzie  c 0  oznacza ciepł o wł aś ciwe przy  #   ==   # 0 ; jest  liniową  funkcją  przyrostu  Ad:  Otrzy- mane  w  ten  sposób  równania  (3.12) i  (3.16)  są  równ an iam i  konstytutywnymi  liniowej teorii termosprę ż ystoś ci. Przechodząc  do  opisu  niesprę ż ystego  ż enowania  się  m ateriał u sprę ż ysto/ lepkoplastycz- nego  przy  nieskoń czenie  mał ych  deformacjach  widzimy,  że  dzię ki  zależ noś ciom  (3.7) oraz  (3.10) równanie konstytutywne  (2.5) przyjmuje  postać (3.18)  lE(T ,   lE, 0)  =   jj,(§)  <  (F)  >  N (T ,   ł E,d),  N   =   N T. - i  - i s '  Stał y  tensor  czwartego  rzę du  CA  posiada  te  same  warunki  symetrii  co  tensor  eA.  e A  jest  tensorem odwrotnym  do  tensora  eA.  Rozpatrywany  jako  macierz  6 x6  speł nia  warunki eAKLMNeANMRs  _  cAKLMN- eANMRs  „ gdzie  GKR jest  tensorem  metrycznym  w  konfiguracji  odniesienia.  N atomiast jest  stał ym  tensorem  symetrycznym  drugiego  rzę du. UWAOI  O  INFINITEZYMALNEJ  TEORII  MATERIAŁ ÓW  2 45 Przyjmijmy,  że wystę pują ca  w  (3.18) funkcja  N  ma postać quasi- liniową  wzglę dem zmien- nych  T ,  lE  i  # . N iech  więc  funkcja  ta  posiada  formę (3.19)  N   =  H l  +  G ( t r D 7 2 ,  tr ( D T £E),  t + H ( t r D r 2 ,  tx( D T iE),  tr£ gdzie:  H  jest  skalarem,  funkcje  tensorowe  czwartego  rzę du  G   i  H   speł niają  warunki  sy- m etrii  (3.13), zaś  G  jest  symetrycznym  tensorem drugiego  rzę du.   D T   i  ^ E  oznaczają  de- wiatory  odpowiednio ten sora naprę ż enia i  tensora  odkształ cenia niesprę ż ystego.  Zał óż my pon adt o,  że drugi  i trzeci wyraz w  (3.19) jest jednorodny wzglę dem  T  i E. W  szczególnoś ci gdy  G   i  H   są  tensoram i  stał ymi, funkcja  N   staje  się  liniową.  U wzglę dniając  zależ noś ci (3.10),  (3.15)  oraz  (3.19)  otrzymujemy  z  (2.12) nierówność +tr{G($ 0 )(T - Q R i A[ i E])}Ati która musi być  speł niona  dla  każ dego  T ,  fEi  Aft.  M usi być więc speł niona także i w chwili, gdy  zaczyna  się  rozwijać  pierwszy  proces  deformacji  niesprę ż ystej,  to  jest  gdy  lE  =   0 przy  'E  ^   0.  Ale  przy  tych  warunkach  przyjmuje  ona postać nierównoś ci 0 , jaka, ze wzglę du n a dowolność A&, może  być  speł niona wtedy,  gdy  znika  tr tzn .  gdy  <7(#o) =   0.  Oznacza to,  że  okreś lona  przez  (3.19)  funkcja  N   musi  mieć  postać (3.20)  °N (T ,   lE)  -   H l + G ( t r f l T 2 ,  t r ( D J ^ ) , t r ^ 2 )  [T ] + H ( t r D J 2 ,  tr( D T £E),  tr i jednocześ nie  speł niać  podstawową  nierówność (3.21)  tr {(T - Q R   'A[ l E])°N (T ,  ' i) }  >  0. W  przypadku  nieskoń czenie mał ych  deformacji  statyczny  warunek  plastycznoś ci  zależy od  zmiennych T ,  PE  oraz  A&, z których  każ da jest wielkoś cią  rzę du 0(<5).  Jeż eli  zał oż ymy, iż  statyczna  powierzchnia  plastycznoś ci  jest  w przestrzeni  naprę ż enie—temperatura  gł ad- ka  i zamknię ta,  wówczas  zachowując  czł ony  rzę du  0(<52),  moż emy  funkcję  /   przedstawić w  postaci  formy  kwadratowej (3.22)  / =   tc(BT )+tr(C'E)- DA# +Y  tr(TJ[T])+ y tr("EK[>'E]) + gdzie:  tensory  symetryczne  drugiego  rzę du  B  i  C  są  wielkoś ciami  rzę du  0(5), D  jest wiel- koś cią  skalarną  rzę du  0(6),  3  oraz K są  tensorami  czwartego  rzę du  o warunkach symetrii (3.13),  / i  Ksą  symetrycznymi  tensoram i drugiego  rzę du, zaś  N  jest  skalarem. Przyjmijmy  w  dalszych  rozważ aniach, że (3.23)  k(x)  =  H(T ,'E,&). 246  W Ł .  WO JN O Ponieważ w tym  przypadku / =   «, param etr  n winien  być  wielkoś cią  rzę du  0(<52). Z atem i  pochodn a «,  która jak widać  z  (2.8) jest  teraz  równ a (3.24)  H -   tr {M(T , "E, 6yŚ (T,  "J?, 0, T,  ») }, powinna  być  wielkoś cią  rzę du 0(<52)7). Zał óż my, że  wystę pują cą  w (3.24)  funkcję  M  moż emy  przyjąć  jako  liniową  wzglę dem T , "E i  # ,  tj., że (3.25)  M- *V[T]+ Bp6\ + PA0, gdzie P i S są stał ymi tensorami czwartego  rzę du o symetrii  (3.13), zaś P jest  symetrycznym tensorem  drugiego  rzę du. Ż (3.24) widać,  że przyjmując  M w postaci  (3.25), tj. jako  wiel- kość  rzę du  0(<5),  postulujemy  jednocześ nie,  iż  rząd  wielkoś ci  prę dkoś ci  odkształ cenia plastycznego jest  równy 0((5). Przy przejś ciu  granicznym do teorii plastycznego  pł ynię cia dla przypadku nieskoń czenie mał ych  deformacji,  okreś lona  przez  (3.20)  funkcja  °N(T,  lE)  przechodzi  w  funkcję °N (T ,  P E),  zaś zależ ność  (2.21)  —  w  nierówność tT [(M- d pE f) Q N (T ,"E)]>0. Jak  wykazano w pracy  [2], nierówność powyż sza  implikuje  warunek (3.26)  P =  K oraz ograniczenie (3.27)  tr {[(P -   M r ) [T ]+(S  -   K) ["£] -   C] °N (T ,  PE)} > 0, które  muszą  speł niać  wystę pują ce  w (3.20) i  (3.25) wielkoś ci  P , M , S, H , K, G , C i H . Zał óż my  w  koń cu,  iż  wystę pują cą  w  równaniu  konstytutywnym  (3.18)  funkcję moż emy  przyjąć  w  postaci  liniowej (3.28) AA = p(0o) + r f o ) / l # > 0. Ze wzglę du  n a  (3.23) funkcja  statycznego  uplastycznienia  (2.7) przyjmuje  formę (3.29)  &(T ,   lE, 0) = gd zie/ ( J,   lE, • &) jest  okreś lona  przez  (3.22) i  dzię ki  zależ noś ciom  (3.20)  oraz  (3.28),  rów- nanie  (3.18)  uzyskuje  postać (3.30)  lE = \ j0 o )  +/ t 1 ^ 0 )A&\   <  &(&)  >  °N (T ,  l E). 7 )  Jeż eli  x  jest  wielkoś cią  rzę du  0(<52),  t o  zach odzi  \ k\   <  P°<52. Ozn aczając  przez  b  <  co  ko ń co wą  chwilę  pro cesu ,  m a m y b  b  b \ x\ =  I J «d t |  <  f  \K\dt<Ą°82  j  dt = P<52, o o  o gdzie  P  =  P°b.  I  odwrotnie,  aby  x  był o  wielkoś cią   rzę du  0(<52)  powin n o  być  «  wielkoś cią   rzę du  O((32)t U WAO I  O  IN FIN ITEZYMALN EJ  TEORII  MATERIAŁ ÓW  2 4 7 Z  (3.30)  otrzymujemy  dynamiczny  warunek  plastycznoś ci (3.31)  f(T ,  lE, 4) =  «(T, "Jf, (tr°N 2)~ 112 Tak  więc  uzyskany  n a drodze  powyż szego  przejś cia  ukł ad  równań  konstytutywnych, opisują cy  materiał   sprę ży sto/ lepkoplastyczny  przy  odkształ ceniach nieskoń czenie  mał ych, skł ada  się z równań  (3.12),  (3.15),  (3.16) i  (3.30), przy  czym  muszą  być  speł nione  nierów- noś ci  (3.21) i  (3.27). Zwią zki  te są sł uszne dla przypadku, gdy  materiał  wykazuje wzmocnie- nie zarówno  izotropowe jak  i anizotropowe. 4.  Przypadek  izotropowego  wzmocnienia  materiał u G dy  materiał   sprę ż ysto/ lepkoplastyczny  wykazuje  wzmocnienie  tylko  izotropowe, okreś lona  przez  (3.22)  funkcja  /   nie  zależy  od odkształ cenia  plastycznego.  Przyjmując zatem w (3.22) (4.1)  C = K=0  oraz  K =  M  =  0, otrzymujemy (4.2)  f=tr(BT )- DA&+- ^ - tr(T J[T ])- ~N (A$)2+tr(JT )A&. Jednocześ nie  na podstawie  (4.1)  i  (3.26)  widzimy,  że w tym  przypadku  równanie  (3.25) przyjmuje  postać  • (4.3)  M  =   P [ T ] + S [ p £ ] . P on adto, jak postulowano  w p. 2, i  funkcja  N  w równaniu  (2.5)  nie  zależy  teraz  od  lE. Przyjmujemy  zatem w zależ noś ci  (3.20) (4.4)  H  =  0. Przy dodatkowym  zał oż eniu, że G zależ y  tylko  od t r D T 2 , otrzymujemy  w rezultacie (4.5)  °N i  równanie  konstytutywne  (3.30)  przyjmuje  postać (4.6)  lE =   [u(# o) + Wprowadzając  do  (3.21)  w  miejsce  °N  okreś loną  przez  (4.5)  funkcję  °N   otrzymujemy nierówność (4.7)  H t r J+ tr{TG(trj> T2)  [T]}- fetr{ł A['£ ]  ( H l +  G ( t r D J 2 )  [T ])}  > 0, która  musi  być  speł niona,dla każ dego  T i  lE.  M usi  być  zatem  speł niona dla  — T   oraz lE Jeż eli  więc zmienimy  w  (4.7)  znak  przy  T  i  otrzymaną  nierówność  dodamy  do (4.7),  to uzyskamy  w  rezultacie  nierówność t r{T G ( t r D T 2) [ T ] }- He R t r ( i A[ i , E ] l)  > 0, 248  WŁ .  WOJN O jaka  może  być  speł niona tylko  wtedy,  gdy  drugi  wyraz  po  jej  lewej  stronie  znika,  tzn . gdy (4.8)  'A  =   0, co  oznacza, że  w  tym  przypadku  energia  swobodna  (3.15)  nie  może  zależ eć  od  odkształ - cenia  niesprę ż ystego.  Biorąc  pod  uwagę  (4.8),  otrzymujemy  z  (4.7)  nierówność  ograni- czają cą (4.9)  H t r r + t r {J G ( t r D r 2 )  [T ]} >  0, jaką  muszą  speł niać wystę pują ce  w zależ noś ci  (4.5) współ czynniki H  i G . Zastę pując jedno- cześ nie  funkcję  °N   w  (3.27)  funkcją  °N   i  uwzglę dniając  (4.1)  otrzymujemy  nierówność (4.10)  t r ( ( P [ r H - S [ "£ ]) ( H l +  G ( t r B r 2 ) [ r ] ) }  >  0, jaka  ogranicza  współ czynniki  P  i  S. 5.  Warunek  plastycznoś ci  z  niestacjonarną  powierzchnią  pł ynię cia Rozpatrzmy  szczególny  przypadek  powyż szej  teorii.  M ianowicie  przyjmijmy  w  (3.22 warunki (5.1)  J  =  K=0 oraz (5.2)  N   >  0,  D 2  <  4«N . Z  (3.22) i  (3.23) wynika,  że w tym  przypadku  moż na  statycznemu warunkowi  plastyczno- ś ci  nadać  formę (5.3)  f{T ,  *£ ) =   „«, gdzie (5.4)  f(T ,  >Ś )  =  t r( J BJ ) + t r( C "i) + i- t r( rJ [J ]) +  y  t re£ K ["i]) + t r( rM [pi]) nie  zależy  od  tem peratury  • &,  n atom iast (5.5)   n x  =   K(T ,   pE,  • &)+DA&+~N (A&)2  >  0. Zależ ność  (5.3) jest  szczególnym  przypadkiem  statycznego  warunku  plastycznoś ci  z  nie- stacjonarną  powierzchnią  pł ynię cia  (patrz  [4]), uwzglę dniają cym  wzmocnienie  tak  izotro- powe, jak  i anizotropowe. Jednocześ nie ze wzglę du  n a  (3.26) i  (5.1), okreś lona  przez  (3.25) funkcja  M  przyjmuje  postać  (4.3), zaś  funkcja  statycznego  uplastycznienia  (3.29) —  formę f(T ,   p E) (5.6)  &(T , "E,  &)  =   —  „   - 1. Równanie  konstytutywne  (3.30)  pozostaje  bez  zmiany,  natom iast  dynamiczny  warunek plastycznoś ci  (3.31)  uzyskuje  postać ( 5 . 7 , przy  czym  muszą  być  speł nione nierównoś ci  ograniczają ce  (3.21)  i  (3.27). U W A G I  O  IN F IN TTEZ YM ALN EJ  T E O R I I  M ATER I AŁ ÓW  249 D la uzyskania przypadku, gdy  statyczny warunek plastycznoś ci  (5.3) opisuje wzmocnie- nie  anizotropowe  typu  kinematycznego,  wprowadzamy  dalsze  zał oż enia, że dla a S* 0 (5.8)  C=- uB,  K =   a 2 J ,  M  =  - «J oraz (5.9)  H = - G ,  S =  0. Dzię ki  zał oż eniom (5.8), okreś lona  przez  (5.4) funkcja /  przyjmuje  postać (5.10)  f(T - oc"E)  =  tr[B(T - apE)]  + y  tr{(T - ctpE)J[T - upE]}, natomiast,  ze wzglę du  na  (5.9)l5  funkcja  °N   [patrz  (2.20)] — formę (5.11)  0 N ( T - a ' i) =  H l + G ( t r D r 2 ,  t r ( D T ^ ) ,  tr^ E 2 )  [T - a l E\ . Ponadto zależ noś ci (3.26), (5.1) i (5.9) ograniczają   daną  przez (3.25) funkcję   M  do postaci (5.12)  M  =   P [ r j. Jednocześ nie  zwią zki  (3.21)  oraz  (3.27)  stają   się  teraz nierównoś ciami (5.13)  trdT - Qz'AmyN iT - a'E)} > 0, (5.14)  tT {(P[T ]+a3[T - «pE\ +aB)oN (T - apE)}  > 0. 6. Materiał  izotropowy Przedstawiona  w  poprzednich  paragrafach  teoria  przy  deformacjach  nieskoń czenie mał ych  sł uszna  jest  dla materiał u  sprę ż ysto/ lepkoplastycznego  o  dowolnej  anizotropii począ tkowej.  Rozważ my  w dalszym  cią gu  materiał ,  charakteryzują cy  się  izotropią   po- czą tkową.  W tym  przypadku  marny8' (6.1) (tr D T 2 ,  tr( D T r>E),  tr^ E 2 )  (^ KM^ L N +^ KN ^ L M)- Wykorzystują c  zależ ność  (6.1) lj2  moż na, jak  wynika  z (5.5) i  (5.10), nadać statycznemu warunkowi  plastycznoś ci  postać (6.2) "I  Reprezentacje  tensorów  izotropowych  (6.1)  odpowiadają   prostoką tnemu  ukł adowi  współ rzę dnych kartezjań skich.  .  . 4-  M ech an ika  teoretyczn a 250  WŁ .  WOJN O zaś  dzię ki  (6.1) 4  funkcji  °N   [patrz  (5.11)] — formę (6.3) P on adto,  ze wzglę du  n a ( 6 . ł )3 ,  okreś lona  przez  (5.12)  funkcja  M  staje  się równ a (6.4)  M  <= >  [ £< +  —• a  (6.1)+   sprawia,  że czę ść  niesprę ż ysta  energii  swobodnej  (3.15)  jest (6.5)  'y> =  — rj x ( t r 'E)2 +rj 2   tv   l E z . Jednocześ nie  zależ noś ci  (6.1)+   oraz  (6.3)  nadają  nierównoś ci  ograniczają cej  (5.13)  postać (6.6) n atom iast  zwią zki  ( 6 . 1 ) l i 2 i 3 , 5  przekształ cają  (5.14)  w  n ierówn ość (6.7) + 2a3(,,r- o|B)lj [m +  L +  yCcJ ltr(r- a'£ )+ 2a3(D r- a|£ )J  > 0. R ozpatrzm y  dwa szczególne  przypadki. P r z y p a d e k  A.  G dy (6.8)  a x  =  la ]/ „ «,  ce2 =   - 12 a 2  +  - D la  wyspecyfikowanych  przez  (6.8) m n oż n ików  ccj,  oc2  i  E)  =  - |/n«(r,  "E, &) i  w  tym  przypadku  moż emy  n apisać  statyczną  funkcję  uplastyczn ien ia  (5.6) ja ko 1/  - ytrCr- ajjE)  + at r( J - a!£ ) > i^ ^) =   l__±   1. / (6.10) N iech  p o n ad t o  funkcja  °A/  [patrz  (5.11)]  jest  równ a (6.11)  0 N = / r ( r - a ' £ ), 9>  Warunek  ten  nazywany  jest  również  warunkiem  plastycznoś ci  Schleichera- M isesa. U WAG I  O INFINITEZYMALNEI  TEORII  MATERIAŁÓW  251 gdzie/ jest  lewą   stroną   warunku  (6.9) przy  podstawionym   lE w  miejsce  "E, natomiast  f T oznacza gradient / wzglę dem  T . Dokonują c róż niczkowania widzimy, że w tym przypadku (6.12)  °N  ( T -  a %  -   c l  + Z (6.3) wynika, że przyję cie  funkcji  °N  w postaci (6.12) jest równoważ ne  wyspecyfikowaniu mnoż ników  f  przez  zwią zki (6.13) Tak  wię c w tym  przypadku  równanie  konstytutywne  (3.38)  przyjmuje  postać l/ ~tr( D T - aiE) 2   +atr(T - a i E) (2.14)  lE =  [«(# „ ) +/ x 1 (- & 0 )^ ] < #  |  ——  j = =  1 \ / a x(T ,   F E,  • &) f zaś  dynamiczny  warunek  plastycznoś ci  (3.31) — formę (6.15) .  _ _ 1/   —tr ( D T —a DE) 2   +atr(T ~a ł E)  = -   ł/ ,»(r, 'i,* Równanie  konstytutywne  (6.14) wraz z dynamicznym warunkiem  plastycznoś ci  (6.15) stanowią  uogólnienie proponowanego w pracy [5] równania konstytutywnego dla sprę ż ysto/ lepkoplastycznego  gruntu na przypadek  wzmocnienia zarówno  izotropowego jak i kine- matycznego  przy  niestacjonarnej  powierzchni uplastycznienia, gdzie  niestacjonarność jest wywoł ana  dział aniem zmiennej w  czasie  temperatury. Z  (6.14) widać, że pierwszy niezmiennik tensora prę dkoś ci odkształ cenia  niesprę ż ystego jest  róż ny  od zera  i  równy - \ / ~ti( D T - a t E) 2 +atv(T - a i E) trlE  = 3fl[/*(0) +ł *@)M]  < $  } L ^ z czego wynika, iż odkształ ceniom niesprę ż ystym towarzyszy zmiana obję toś ci  (przy a ̂   0), nazywana  niesprę ż ystą   dylatacją   gruntu. Zatem a jest stał ą , która odpowiada za prę dkość niesprę ż ystej  dylatacji  gruntu. 4* 252  WŁ .  WOJN O U wzglę dniając  (6.13)  w  zależ noś ci  (6.6) otrzymujemy  nierówność (6.16)  atr[T —Q R (3rii+2ri 2 ) i Ś ]- która musi  być  sł uszna dla każ dej  pary  (T, ' £ ) , jaka  speł nia dynamiczny  warunek  plastycz- noś ci  (6.15).  N ie  poszukując  peł nego  zbioru  mnoż ników  rji  i  rj 2 ,  ograniczonych  nierów- noś cią  (6.16), moż na  wykazać,  że  dla  szczególnego  ich wyboru,  mianowicie (6.17)  9h =  0  i  r, 2  =  ^ ~, nierówność  (6.16) jest  speł niona  zawsze.  Podstawiając  bowiem  (6.17)  do lewej  strony  nie- równoś ci  (6.16)  otrzymujemy  lewą  stronę  dynamicznego  warun ku  plastycznoś ci  (6.15), a  ta, jak wynika  z jego  strony  prawej, jest w czasie  procesu  deformacji  niesprę ż ystej  zawsze dodatnia.  N ależy  jednocześ nie  zauważ yć,  że wyspecyfikowanie  r) x  i  v\ 2  jak  w  (6.17)  jest równoważ ne  przyję ciu  czę ś ci  niesprę ż ystej  energii  swobodnej  (6.5) w  postaci (6.18)  ty.  «  t r ' 5 a . D la  granicznego  przypadku,  gdy dana  przez  (3.28)  funkcja  fi(- d)  - > oo, równanie  kon- stytutywne  (3.30),  z  funkcją  statycznego  uplastycznienia  w  postaci  (6.10)  i  daną  przez (6.10)  funkcją  °N ,  przechodzi w równanie  konstytutywne  plastycznego  pł ynię cia w postaci (6.19)  "E =   X <  tr(f T T )~(DĄ - N Ad'y&  >f T (T ~a p E), gdzie  współ czynnik  A speł nia  zależ ność Przyjmując  jak  w p.l  A >  0, oraz  spostrzegając  z  (6.9), ż e/ ĝ  =   —a/ r.  otrzymujemy  z za- leż noś ci  (6.20)  nierówność (6.21) do której  podstawiamy  (6.4) oraz  (6.12) ze zmienionym wskaź nikiem  /  n&p.  P o dokon an iu przekształ ceń  uzyskujemy  warunek  ograniczają cy L 2  +   n > 0< P r z y p a d e k  B.  G dy w warunkach  (6.8) a = 0, co oznacza nieś ciś liwość  m ateriał u w  obszarze  odkształ cenia  niesprę ż ystego.  Kł adąc  a =  0  w  (6.9) otrzymujemy  statyczny warunek  plastycznoś ci  H ubera- M isesa m  y1 U WAG I  O INFINITEZYMALNEJ  TEORII  MATERIAŁ ÓW  253 Przyjmując  w  (6.14)  oraz  (6.15)  a =  0  otrzymujemy  równanie  konstytutywne  w postaci (6.24) y  ]/  n H{T , "H, 9) .  nT - a£E oraz  dynamiczny  warunek  plastycznoś ci  w  formie (6.25,  y- L«w- «iB)> Równanie  (6.24)  stanowi  uogólnienie  proponowanego w [11]  równania  konstytutywnego dla  metali  n a przypadek  wzmocnienia  zarówno  izotropowego,  jak i  kinematycznego. D la  a =  0 nierówność  (6.16)  staje  się nierównoś cią (6.26)  tv D T 2 - {2Q R r, 2 +a)tT { D T iE)- V2Q R ri 2 atxiE 2  > 0, która  musi  być  speł niona  dla  każ dej  pary  (T,   iE), jaka  speł nia  dynamiczny warunek  pla- stycznoś ci  (6.25).  N ierówność  (6.26)  jest  zawsze  speł niona  przy  n p. (6.27)  rj t   -   dowolne  i  rj 2  =   - £—, dla tych bowiem  wartoś ci  jej  lewa  strona jest  równa tr ( D T —(XDE) 2 .  W tym przypadku czę ść niesprę ż ysta  energii  swobodnej  jest  równa (6.28)  V =  \   ni (tr'i)2 +  ~  tr'£ 2. Przyjmując  a — 0 w  (6.22)  otrzymujemy  warunek  ograniczają cy (6.29)  ff  t r p r ^ « t r ( c T O  { *2V7  / 4  2 G dy  materiał   wykazuje  wzmocnienie  tylko  izotropowe,  a = 0  i  wówczas  statyczny warunek  plastycznoś ci  (6.9)  przyjmuje  postać (6.30)  "[ / - yt r«j 2  + attT.~  y' n n{T ,  "E, 0), równanie  konstytutywne  (6.14) —  formę (6.31) 254 WŁ .  WOJN O n atom iast  dynamiczny  warunek  plastycznoś ci  (6.15)  staje  się  warun kiem (6.32)  ^ j Tym  razem, jak  wynika z  (6.31), prę dkość niesprę ż ystej  dylatacji  grun tu w  procesie  term o- dynamicznym  jest  równa ti'E  = j/ yt r»T z   +atrT > ( 2\   '2?, 0) W  tym  przypadku  musi  zachodzić  warunek  (4.8),  co  jak  widać  z  (6.1) 4 pocią ga  za  sobą fakt,  że  musi  być  rj 1   =   ??2  =   0.  Z atem  warunek  (6.16)  staje  się  nierównoś cią (6.33) i która,  jak  wynika  z  (6.32),  jest  zawsze  speł niona,  przy  czym  zn ak  równoś ci  zachodzi wtedy,  gdy  T  =   0. Jednocześ nie  dla  a  =  0  warunek  (6.22)  przyjmuje  postać (6.34)  ^ która  ogranicza  mnoż niki  Ci  i  £2-  Przyjmując  n p . (6.35)  C1  =   0  i  C2 =   w > 0 , gdzie  m  dowolna  liczba,  otrzymujemy  po  wykorzystaniu  warun ku  (6.30)  n ierówn ość m  >  0, jaka  jest  zawsze  speł niona.  Kł adąc  a  =   0  w  (6.23)- (6.25)  otrzymujemy  statyczny warunek  plastycznoś ci (6.36) równanie  konstytutywne (6.37)  iE  = oraz  dynamiczny  warun ek  plastycznoś ci 21/4- R ównanie  konstytutywne  (6.37),  wraz  z  dynamicznym  warun kiem  plastycznoś ci  (6.38), został o  sformuł owane  i  przedyskutowane  w  pracy  [11]. U WAG I  O  INMNITEZYMALNEJ  TEORII  MATERIAŁÓW  255 D zię ki  tem u,  że  r\ 1   =   r\ z   =   0,  n ierówn ość  (6.26)  staje  się   warunkiem (6.39)  tt D T 2  >  0, który  jest  zawsze  speł niony,  przy  czym  zn ak  równoś ci  zachodzi  wtedy,  gdy   D T   =   0.  Przy a  =   0  warun ek  (6.29)  przyjmuje  postać  nierównoś ci (6.40)  C 2   >  0, zaś  m n oż n ik  Ci  może  być  dowoln y. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  A.  M.  FREU N D EN TH AL,  H .  G EIRIN G ER,  T he  Mathematical  T heories  of  Inelastic  Continuum, Encyclo- pedia  of  Physics, vol.  VI, Elasticity and Plasticity, Springer- Verlag,  Berlin- G óttingen- H eidelberg  1958, 229- 443. 2.  A. E.  G REEN ,  P. M .  N AG H D I ,  A  general theory of  an  elastic plastic continuum,  Arch.  Rat. Mech. Anal., 18  (1965), 251- 281. 3.  K.  HOHENEMSER, W.  PRAG ER,  Vber die  Ansatze  der  Mechanik  isotroper  Kontinua, ZAM M   12 (1932), 216- 226. 4.  W.  OLSZAK, P.  PERZYN A,  T he constitutive  equations  of  the flow  theory for  a non- stationary yield condi- tion, Eleventh International  Congress  of Applied  Mechanics, M unich, August  30 to September 5, 1964, P roc. Springer  1966, Berlin,  545- 553. 5.  W.  OLSZAK, P. PERZYN A,  On  elasticj'visco- plastic soil,  Proceedings  of  the Symposium  on Rheology  and Mechanics  of  Soils  at  G renoble,  April  1964. 6.  P .  PERZYN A,  T he constitutive equations for  rate sensitive plastic materials, Quart. Appl.  M ath., 20  (1963), 321- 332. 7.  P . PERZYN A,  T he study  of  the dynamical behaviour of  rate sensitive plastic materials, Arch. Mech.  Stos., 15  (1963),  113- 130;  Bull.  Acad.  P olon. Sci., Sś r.  Sci. Tech., 12  (1964),  207- 216. 8.  P.  PERZYN A,  T he  constitutive equations  for  work- hardening  and  rate sensitive  plastic materials,  Proc. Vibr.  P robl.,  4  (1963),  281- 290;  Bull.  Acad.  Polon.  Sci.,  Ser.  Sci.  Tech.,  12  (1964),  199- 206. 9.  P. PERZYN A, Podstawowe zagadnienia  lepkoplastycznoki, Mech. Teoret. Stos., 15 (1963),  3- 30. 10.  P .  PERZYN A,  Fundamental problems in viscoplasticity,  Adv.  Appl.  Mech., vol. IX,  1966,  243- 377. 11.  P .  PERZYN A,  T.  WIERZ BIC KI,  T emperature  dependent and strain sensitive plastic materials,  Arch.  Mech. Stos., 16  (1964),  135- 143;  Bull. Acad.  P olon. Sci., Ser.  Sci. Tech., 12  (1964),  225- 232. 12.  P .  PERZYN A. W.  WOJN O,  On  the  constitutive equations of  elasticjviscoplastic  materials  at finite strain, Arch.  Mech. Stos., 18  (1966),  85- 100. 13.  P .  PERZYN A,  T eoria lepkoplastycznoś ci,  P WN , Warszawa  1966. 14.  P.  PERZYN A,  W.  WOJN O,  T hermodynamics  of  a  rate  sensitive plastic  material,  Arch.  Mech.  Stos.,  20 (1968), 499- 511; Bull.  Acad.  P olon. Sci., Ser. Sci. Tech., 17  (1969), 1- 8;  Prace IP P T  PAN ,  10/ 1968. 15.  W.  PRAG ER, Mecanique des solids isotropes  au deld  du elastique,  Memorial Sci., M ath., 87, Paris  1937. 16.  W.  PRAG ER, Introduction  to  Mechanics  of  Continua,  G inn  and Company, Boston 1961. 17.  C.  TRUESDELL,  R. A.  T O U P I N ,  T he  Classical Field  T heories,  in :  H andbuch  der  Physik  III/ I  (1960), Springer- Verlag,  Berlin,  226- 793. 18.  B.  BO H H O , T epModuuaMU'iecKaM  meopun  ynpyio\ an3Ko- njiacmuHecKUX  Mamepua/ ioe,  M exanH wa  C n n o m - H BI X  C pefl,  C6opH ni<  iwaTepiiajioB  Me>KflyHapoflHoi1  KOHcbepeiopiH   n o  mexamiKe  cnnouiH Lix  cpefl, BapHa,  C en raept  1966. 19.  W.  WOJN O,  T ermodynamika materiał ów sprę ż ystojlepkoplastycznych,  praca  doktorska, Instytut Podsta- wowych  Problemów Techniki  P AN ,  1967. 20.  W.  WOJN O, T hermodynamics of  elasticjrheological  materials,  Arch. Mech. Stos., 21  (1969); T ermodyna- mika  materiał ów sprę ż ystolrsologicznyeh,  Prace I P P T P AN ,  9/ 1969. 256  W Ł . WOJN O P  e  3  IO  M  e 3AM E ^AH H fl  K  H H O H H H T E 3H M AJ I BH 0H  T E O P H H M ATEPH AJIOB JXo  HacTOHruero  BpeMeHH   TeopHH  ynpyro/ BH 3KonjiacnrqecKH x  M aTepnanoB KoneqH bix fledpopM aiiH H  pa3BHBajmcB  He3aBHCHM0.  U ejiBio  H acToam eń  pa6oTbi  HBJMeTCH c  oflHOBpeiweirHbiM   pacniH peH H eM   Ha  cjiynaft  TepMOAHHaMHiecKHx  npoi^eccoBj  HHcbHHHTe3HMajiBHoii TeopHH   Henocpe,n;cTBeHHO  nyTeM   npeflejiBH oro  n epexofla  OT  TepMOflHHaMHiecKOH   TeopHH   flira  6ojiBraH x H.  3 T O T  npeflenBH wii  n ep exo «  npoH 3BefleH   npH   npeflnoJio>KeHHH 3  VL VO  rpaflneH TŁi  n epeM e- H   npnpameH H H   T eM n epaiypti  H BJIH H JTCH   HeSojiBiuHMH.  FIpH   STH X  npeflnojioweH H H X  6wjn i  n o - ypaBHeHHH   oSm eił   TeopHH   coBiwecTHO  c  orpamraeH H JiMH   BbneKaiomH MH   H3  BToporo  3ai<0Ha H.  3aTeiw  paconoTpeH   cn yqatt  H 30TponH oro  ynpo^H eH H Ji  iwaTepnanoBj  ycnoBH n HOCTH   c HecTaqnoHapHOH  H3 3a  BJTHHHHSI  TeMnepaTypLi  noBepxHOCTBio  njiacTH ^ecKoro  le^en H Ji H H 30TponH oro S u m m a r y N OTES  ON   TH E  IN F IN ITESIM AL  TH EORY  O F   ELASTIC/ VISCOPLASTIC  M ATERIALS So far,  both  the infinitesimal  and  the finite  deformation  theories  of  elastic/ viscoplastic  materials  have been developed  independently. The aim  of  the paper  is  to  obtain the infinitesimal  theory  as  a limiting  case of  the thermodynamical theory  at finite  strains  with  the conditions that displacement  gradients  and tempe- rature increments are small. As  a result, both the generalized  constitutive equations and the restrictions that are  imposed  on  them  by  the  second  law  of  thermodynamics  have  been  obtained.  F inally,  the  particular cases, such as  the isotropic work- hardening,  the yield condition with  a non- stationary yield surface  and the isotropic  materials,  has  been  discussed. INSTYTUT  PODSTAWOWYCH  PROBLEMÓW  TECHNIKI  PAN Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia 5  stycznia  1970  r.