Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS70\MTS70_t8z1_4_PDF\mts70_t8z4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  8  (1970) STOCH ASTYCZN A  STABILN OŚĆ RU CH U KAZ I M I E R Z  S  O B C Z  Y  K  (WARSZ AWA) 1.  Wstę p Jedn ym  z  podstawowych  zagadn ień  analizy  ukł adów  dynamicznych jest  badanie  sta- bilnoś ci  ruch u.  W  teorii  determ inistycznej,  opisują cej  ruch  ukł adu  za  pomocą   aparatu analizy  m atem atyczn ej, bad an ia  stabilnoś ci  są   daleko  zaawansowane  i  m oż na  powiedzieć, że  w  chwili  obecnej  dla  ukł adów  dynam icznych  dyskretnych  istnieje  teoria  stabilnoś ci ru ch u  (por.  n p.  [1, 2]).  W  tej  teorii,  podstawy  której  zwią zane  są   gł ównie  z  nazwiskiem Lapun owa,  poję cia  stabilnoś ci  i  cał a  an aliza  oparte  są   n a  deterministycznym  charakterze ru ch u  i jego  zaburzeń . W  analizie  stochastycznego  ru ch u  ukł adów  dynamicznych  zagadnienie  stabilnoś ci jest  również  bardzo  istotn e.  W  t ym  przypadku  jedn ak,  ze  wzglę du  n a  stochastyczny  cha- rakter  ruchu,  poję cia  stabiln oś ci  muszą   być  oparte  n a  probabilistycznych  charakterysty- kach  odpowiednich  zdarzeń  i  sprecyzowane  w  ję zyku  teorii  prawdopodobień stwa. Ponie- waż  w  okreś leniach  stabilnoś ci  zasadniczą   rolę   odgrywa  poję cie  granicy  oraz  takie  po- ję cia,  ja k  male  zaburzenie  ruchu  itp.,  które  mogą   mieć  róż ny  probabilistyczny  sens,  to należy  się   spodziewać,  że  ilość  róż n ych  definicji  stabilnoś ci  stochastycznej  bę dzie  znacznie wię ksza  niż  w  przypadku  stabilnoś ci  klasycznej.  T ak  jest  istotnie,  n a  przykł ad  zwykł e poję cie  stabilnoś ci  (wedł ug  Lapun owa)  czy  stabilnoś ci  asymptotycznej  może  być  w  przy- p ad ku ruchu stochastycznego  zdefiniowane  co najmniej  w trzech róż nych sensach —  wedł ug prawdopodobień stwa,  w  sensie  ś redn iokwadratowym  i w  sensie  prawie  n a pewno. W  ostatn ich  latach  zagadn ien ia  stochastycznej  stabilnoś ci  ruchu  (podobnie jak  inne zagadn ien ia  dotyczą ce  stochastycznych  równ ań  róż niczkowych)  są   intensywnie  badan e i  w  chwili  obecnej  istnieje  w  tej  dziedzinie  bogata  literatura.  Sprecyzowano  podstawowe poję cia  stabilnoś ci  stochastycznej  oraz  p o d an o  wiele  waż nych  twierdzeń  i  m etod  dla  róż- nych  klas  ukł adów  dynam icznych  i  przy  róż nych  zał oż eniach odnoś nie  wł asnoś ci  wymu- szeń  losowych  i  stochastyczn ych  param etrów ukł adów. Pierwsze  uwagi  n a  tem at  probabilistyczn ego  traktowan ia  stabilnoś ci  ruchu  pochodzą ju ż  z  lat  trzydziestych  [5, 6,  7], n at om iast w  roku  1955  ukazał a  się   praca  [8], w  której  za- warte  jest  pewne  kryterium  stabilnoś ci  stochastycznej  (wyraż one  przez  wartość  gę stoś ci widmowej  rozwią zania)  dla  równ an ia  róż niczkowego  rzę du  pierwszego,  którego  współ - czyn n ik  jest  procesem  stochastyczn ym  gaussowskim  i  stacjonarnym.  Pewne  uwagi  zwią - 376  K.  SOBCZYK zane  ze  stabilnoś cią   ukł adów  z  losowym  wymuszeniem  zawiera  też  praca  [9];  wbrew tytuł owi  dotyczy  ona jedn ak  innych jakoś ciowych  kwestii  dla  równ ań  nieliniowych  z  lo- sowym wymuszeniem  (n p. istnienie  rozwią zań  stacjonarnych). Pierwsze  waż niejsze  i  ogólniejsze  rezultaty  dotyczą ce  stochastycznej  stabilnoś ci  ruch u zawierają   prace  [10,  11]  oraz  [12,  13]  rozpoczynają ce  jedn ocześ n ie  okres  intensywnych badań  przypadają cy  w  tej  dziedzinie  n a  ostatnie  dziesię ciolecie.  W  pracach  tych  autorzy podali  podstawowe  poję cia  stabilnoś ci  stochastycznej  oraz  wprowadzili  waż ne  kryteria dotyczą ce  stabilnoś ci  wedł ug  prawdopodobień stwa  i  w  sensie  ś redn iokwadratowym. N ależy  podkreś lić,  że  w  pracach  [10,  12], które  powstał y  niezależ nie  i  zawierają   rezultaty podobn e,  po  raz  pierwszy  zastosowano  aparat  funkcji  Lapun owa  do  bad an ia  stabilnoś ci stochastycznej.  W  latach  sześ ć dziesią tych  otrzym an o  szereg  bardzo  interesują cych  i  ogól- nych  rezultatów  dotyczą cych  róż nych  typów  stabilnoś ci  stochastycznej  i  in n ych  pokrew- nych  zagadnień  (n p.  ograniczoność  i  stacjon arn ość  rozwią zań  równ ań  stochastycznych, stochastyczna  stabilizacja  niestabilnych  ukł adów  deterministycznych  itp.),  rezultaty  te zwią zane  są   przede  wszystkim  z  takim i  nazwiskam i,  ja k  C AU G H E Y,  G I C H M AN ,  H ASM I N - SKIJ,  K O Z I N   i  in. W  chwili  obecnej,  najważ niejsze  rezultaty  otrzym an e  w  badan iach  stabilnoś ci  stochas- tycznej  dotyczą   ukł adów  dynamicznych,  których  wymuszenia  są   procesam i  stochastycz- nymi  o charakterze biał ego szumu,  gdyż  wtedy  m oż na zastosować  teorię  procesów  M arko - wa,  a  dokł adniej aparat  stochastyczny  równ ań  I t o  (por.  n p .  [14,  15,  16,  17,  18]).  Badan ie stabilnoś ci  przy  wymuszeniach  in n ych  typów  jest  trudniejsze,  dlatego  szereg  autorów ograniczał o  się   do  badan ia  stabilnoś ci  tylko  ukł adów  liniowych  (por.  n p .  [19,  20,  21]) lub  ukł adów nieliniowych  specjalnej  postaci  (n p. [21]); jedn akże  dla  Szerszej  klasy ukł adów nieliniowych  otrzym an o również  interesują ce  rezultaty  (por. n p .  [22, 23, 24]). M imo  że istnieją ce  obecnie badan ia  nie  są   wystarczają ce  i  wiele zagadn ień  nie  m a jesz- cze  rozwią zania,  to jedn ak  są   one  n a  tyle  zaawan sowan e,  że  bez  wą tpienia  stanowią   pod- stawę   dla  przyszł ej  teorii  stochastycznej  stabilnoś ci  ruch u. Celem  tego  artykuł u  jest  uporzą dkowan ie  i  syntetyczne  omówienie  podstawowych poję ć  oraz  najważ niejszych  istnieją cych  obecnie  rezultatów  dotyczą cych  stochastycznej stabilnoś ci  ruchu  ukł adów  dynamicznych  dyskretnych.  N a  zakoń czenie  podam y  pewne uwagi  na  tem at  innych  stochastycznych  zagadnień  jakoś ciowej  analizy  ukł adów  dyskret- nych. 2. Stabilność ruchu. Zagadnienia  deterministyczne Z anim  przystą pimy  do  omawiania  zagadn ień  stabilnoś ci  stochastycznej,  przytoczym y kilka  podstawowych  faktów  dotyczą cych  klasycznej  (tj.  deterministycznej)  stabilnoś ci ruch u.  Z  przytoczonych  tutaj  poję ć  i  oznaczeń  bę dziemy  korzystali  w  dalszych  rozważ a- n iach. N iech  ruch  ukł adu  dynamicznego  bę dzie  opisany  przez  ukł ad  równ ań  (w  postaci  wek- torowej) STOCH ASTYCZ N A  STABILN OŚĆ  R U C H U   377 gdzie  t  oznacza  czas  (t 0  K  t <   + 0 0 ) , zaś y(t) = [y^ t),  ...,y n (t)],  F(t,y)  = [F x(f,  j / ) , . . . , F„(t, y)]; y(t) jest  funkcją   niewiadom ą .  F un kcja  wektorowa  F(t,y)  jest  okreś lona  n a  ilo- czynie  kartezjań skim  przedział u czasu  T  i pewnego  obszaru  D y  e R".  Przestrzeń ii" nazywa się  przestrzenią  fazową   ukł adu (2.1). Warun ki  począ tkowe  dla u kł ad u  (2.1)  mają   postać (2.2)  y{to) = y°,  y°  =  (yoi,- ,y°n). Z akł adam y,  że  funkcja  F  speł nia  zał oż enia  twierdzenia  o  istnieniu  i  jednoznacznoś ci rozwią zania  zagadn ien ia  począ tkowego  (2.1)- (2.2) — por.  n p.  [4]. Rozwią zanie  zagadn ien ia  począ tkowego  (2.1),  (2.2) m a postać (2.3)  y -    0  istnieje takie  <5 =   d(t 0 , e) >  0, że jeż eli  dla dowoln ego  rozwią zania  y(t) ukł adu  (2.1) (2.4)  \ \ y(to)-   t 0 (2.5)  lb ( * ) - 9 »( 0 ll< 8. gdzie  | | [ [ oznacza  n orm ę  w przestrzen i R". I n n ym i  sł owy,  rozwią zan ie    t 0 . Jeż eli  warun ki  powyż szego  okreś len ia  n ie są   speł nione, t o ruch  nazywa  się   niestabil- nym.  Jeż eli  liczbę   d m oż na  wybrać  niezależ nie  od t 0 ,  t j. <5 =   d(s), to mówimy,  że stabil- n ość jest  jednostajna. W  szczególnym  przypadku,  gdy F(t, 0) =  0 rozwią zanie  trywialne  (poł oż enie równo- wagi)  (p(t) =  0 jest  stabiln e, jeż eli  dla dowolnego  e > 0 1 dowolnego  t 0   e T  istnieje  takie ó =   d(s, t 0 ) >  0, że z n ierówn oś ci (2- 6)  •   \ \ y(t o )\ \   <  d wynika  n ierówn ość (2.7)  \ \ y(t)\ \ <8  dla  t>t 0 . P rzez  odpowiednią   zam ian ę   zm iennych  zagadnienie  o stabilnoś ci  dowolnego  rozwią zania zawsze  m oż na  sprowadzić  d o  badan ia  stabilnoś ci  rozwią zania  trywialnego  (por.  n p.  [2]). Okreś lenie  2.2.  R ozwią zan ie  (ruch  n iezaburzon y)  cp(t) ukł adu (2.1) nazywa  się  asymp- totycznie  stabilnym,  jeż eli  jest  on o stabilne  (wedł ug  Lapun owa)  oraz (2.8)  lim I |^ ( 0- fl»( 0l  1 = 0 . t- 378  K .  SOBC Z YK Jeż eli  rozwią zania  y(t)  dą żą   do   co  jedn ostajn ie  wzglę dem  t,  to  m ówim y, że  asymptotyczna  stabilność  jest  jednostajna  wzglę dem  t.  W  szczególnoś ci,  rozwią zanie trywialne  (?o)ll  <  <5 (2.9) Powyż sze  okreś lenia  nic  nie  mówią   o  wielkoś ci  zaburzeń  począ tkowych  (czyli  o  wielko- ś ci liczby  <5). Obszar  G zaburzeń począ tkowych,  tj. przy  ustalon ym  t  obszar  |\ y(t o )\ \   <  M, (gdzie  M  dan a  liczba),  dla  którego  zachodzi  relacja  stabilnoś ci  asymptotycznej  (2.9), n a- zywa  się   obszarem stabilnoś ci  asymptotycznej  (lub  obszarem  przycią gania  poł oż en ia  rów- nowagi   0  oraz  mają ca  poch odn ą V(t,  y)  ze  wzglę du  na  ukł ad  (2.1)  okreś lonego  zn aku.  Jeż eli  dla  pewnego  t' > av/  dowol- nym  otoczeniu  |] j; || < A (A < li)  znajdzie  się  p u n kt  (t',y'),  dla  którego  zn ak  funkcji jest  taki  sam jak  znak  pochodnej  V, tj. taki, że V{t',y')V(t',y')>Q, to  rozwią zanie  trywialne  cp  ==  0 ukł adu  (2.1) jest  niestabilne  wedł ug  Lapun owa. Okreś lenie 2.5.  F unkcje  V(t,y)  czynią ce  zadość  waru n kom  twierdzeń  2.1,  2.2,  2.3  n a- zywają   się   funkcjami  Lapun owa  (odpowiednio I, I I i I I I rodzaju). 3.  P odstawowe  poję cia  stabiln oś ci  stoch astyczn ej Poję cia  stabilnoś ci  przytoczone  w poprzedn im  paragrafie  przestają   być  uż yteczne,  je- ż eli  rozważ amy  stochastyczny  ruch  ukł adów  fizycznych.  Koncepcje  stabilnoś ci  takiego ruchu  (koncepcje  stabilnoś ci  stochastycznej)  muszą   uwzglę dniać  jego  probabilistyczn y opis  i  wyraż ać  poję cia  stabilnoś ci  w term in ach  ch arakterystyk  odpowiednich  zdarzeń losowych.  W literaturze  istnieje  szereg  róż nych  poję ć  stochastycznej  stabilnoś ci  ru c h u ; tutaj  przytoczymy  najważ niejsze  z  nich. N iech  ruch ukł adu dynamicznego  bę dzie  opisany  przez  ukł ad  równ ań  stochastycznych (w postaci  wektorowej) (3- 1)  ^   = F[Y(t),t,X(t)], gdzie  i 7 jest  funkcją   wektorową ,  zaś  X(t)  i  Y(t)  oznaczają   procesy  stochastyczne  wektoro- we.  N ie  ograniczają c  ogólnoś ci  m oż na  przyją ć,  że  F(Q,  t, X(t))  = 0 i  badać  stabiln ość rozwią zania  trywialnego  Y(t)  =  q>(t) s 0. Okreś lenie3.1.  Rozwią zanie  trywialne  (ruch  niezaburzony)  ukł adu  (3.1)  nazywa  się : a) stabilne  wedł ug prawdopodobień stwa,  jeż eli  dla  dowolnych  (dowolnie  m ał ych)  liczb e >  0 i 6 > 0 istnieje  taka  liczba r > 0,  że  dla  dowolnego  rozwią zania  7 ( 0  ukł adu (3.1), które w chwili  t = t 0   speł nia  warunek jest  dla wszystkich  /  > t 0  speł niona jedn a z nierównoś ci (3.2)  P t {\ \ Y(y°,t 0 ,t)\ \ l- d, (3.2')  P ( {||r ( > > V 0 ) 0 l l > e }< < 5 , lub nierówność silniejsza  (por. [15, 17]) (3.2")  lim  i > {su p i m / ,  t 0 , 011 >   e} =  0; w  relacjach  (3.2) i  (3.2')  P t {| | Y i | ^  e}  oznacza  prawdopodobień stwo  tego,  że w  chwili t >  t 0  jest  speł niona nierówność  | | F ( j °,  t Q , t)\ \  sg e; STOC H ASTYC Z N A  STABILN OŚĆ  R U C H U   381 b)  asymptotycznie  stabilne  wedł ug  prawdopodobień stwa, jeż eli  jest  ono  stabilne  wedł ug prawdopodobień stwa  i  oprócz  tego  dla dowolnego  e > 0 i  dla wszystkich  rozwią zań, dla  których  ||j> °||  <   M,  speł n iona jest  nierówność (3.3)  lim P t{||F G > °, .W)1l< fi}  =  l> t—>0 0 gdzie  M je st  stał ą  okreś lają cą  obszar  stabilnoś ci  asym ptotyczn ej; c)  asymptotycznie  stabilne  globalnie  wedł ug  prawdopodobień stwa,  jeż eli  relacja (3.3) jest  prawdziwa  dla  dowoln ego y° e R",  t j, M =  oo, W  pracy  [12]  został o  po d an e  n ieco  in n e  okreś lenie  asymptotycznej  stabilnoś ci  global- nej  wedł ug  prawdopodobień stwa. Okreś lenie 3.2.  Rozwią zanie  trywialne  ukł adu  (3.1) nazywa  się: a) stabilne ś rednio z potę gą p  ( krótko p -  stabilne),  jeż eli  dla  dowolnego  e > 0  istnieje takie r >  0,  że  dla  wszystkich  rozwią zań  Y{t)  ukł adu  (3.1), dla  których speł n iona jest  dla  t > t 0   n ierówn ość (3.4)  £ {||r G > V0 , 0 l l p }< e ,  P>° (JE  oznacza  wartość przecię tn ą ); b)  asymptotycznie  stabilne  ś rednio  z  potę gą  p  (krótko  asymptotycznie  p -  stabilne), jeż eli  jest  on o p -  stabiln e i poza  tym ,  dla  t - > oo (3.5)  E{\ \ Y(yo,t o ,t)\ \ "}^ 0; jeż eli  powyż sza  relacja  zachodzi  dla  dowolnego  y° e R",  to mówimy,  że asymptotyczna p  -  stabilność jest globalna; c)  eksponencjalnie  stabilne  ś rednio  z  potę gą  p  ( kró t ko :  eksponencjalnie p -  stabilne), jeż eli  istnieją  takie stał e liczby  dodatn ie N   i  a, że dla  wszystkich  t > t 0  zachodzi nierówność (3.6)  E{\ \ r} wszystkie  realizacje  procesu  Y(t)  oprócz  co  najwy- ż ej  ich zbioru  o prawdopodobień stwie  zero są stabiln e. Analogicznie  okreś lamy  stabiln ość  asym ptotyczn a  i  stabilność  eksponencjalna  prawie n a  pewn o. W  pracach  [19,  21]  przyję te  jest  nastę pują ce  okreś len ie:  rozwią zanie  trywialne  ukł adu (3.1)  jest  asymptotycznie  stabilne  prawie  na pewno  (lub)  z prawdopodobień stwem jeden ze 382 K .  SOBCZYK wzglę du  n a obszar  D  c  R", jeż eli dla każ dego rozwią zania  Y(y°  ,t o ,t)  ukł adu (3.1) takiego że y°  e D mamy (3.7)  l i n / .  'OJ  Oil  ^  0  prawie  n a pewno, tj.  dla dowolnego  e  >  0 istnieje  takie  T, że (3.8)  l i m P {s u p | | F ( / ,  t 0 ,  011  >  e}  =   0. r- >co  r > r D la  autonomicznych  ukł adów  liniowych  i  stacjonarnego  procesu  X(t)  powyż sze  okreś- lenie jest  równoważ ne  okreś leniu  3.3. N iech  &{t)  =  0[Y(- ),t]  bę dzie  pewnym  nielosowym  funkcjonał em  (skalarnym,  wek- torowym itp.) okreś lonym na rozwią zaniach  Y(y°,  t 0 ,  t) ukł adu  (3.1) zależ nym  od  / e[0, o o ) jak  od parametru i  speł niają cym  warunek  ^[fl, / ]  =   0. Okreś lenie 3.4.  M ówimy  (por.  [28]),  że funkcjonał   & jest  stabilny,  jeż eli  dla  dowolnego £ >  0 istnieje takie r  >  0, że dla każ dego  rozwią zania  Y(t) ukł adu  (3.1) takiego, że  11y° 11 = =   l|y(*o)ll  <   r  J e s t  ^ ' a  t  >  ô speł niona nierówność <3.9) funkcjonał   0  nazywa  się  asymptotycznle  stabilny,  jeż eli  istnieje  takie  M  >  0,  że  jeż eli \ \ Y(t o )\ \   0 rozwią zania,  stabilność  funkcjonał u  0  oznacza  stabilność  m om en tów  (okreś- lenie  3.2). P odane  wyż ej  okreś lenia  dotyczą  stabilnoś ci  stochastycznej  ze  wzglę du  n a  zaburzenia warunków  począ tkowych.  M oż na  również  wprowadzić  odpowiednie  poję cia  stabilnoś ci stochastycznej  ze  wzglę du  na  cią gle  dział ają ce  zaburzenia. N iech bę dzie  dany ukł ad (3.12)  dJ t • oraz ukł ad zaburzony gdzie  R(t) jest  procesem  stochastycznym. Okreś lenie 3.5.  Rozwią zanie  trywialne  (ruch  niezaburzony)  ukł adu  (3.12)  nazywa  się stabilne wedł ug prawdopodobień stwa  ze  wzglę du na  cią gle dział ają ce zaburzenia  male  w sen- STOC H ASTYC Z N A  STABILN OŚĆ  R U C H U   383 sie  ś rednim,  jeż eli  dla  dowolnego  procesu  R(t)  i  y°  e  R"  dowolne  rozwią zanie  Y(t)  = =   Y(y°,  t 0 ,  i)  ukł adu  (3.13)  dą ży  do  zera  wedł ug  prawdopodobień stwa,  gdy (3.14)  •   | b / °| | + s u p £ | | . R ( 0 l | - > 0, t j.  dla  dowolnego  £  >  0  i    0  istnieje  takie  y  >  0,  że  z  nierównoś ci \ \ y°\ \ +BapE\ \ R(f)\ \ t0 wynika, że  dla  t^ t 0 P{\ \ Y(y°,t Q ,t)\ \ >e} l H - su p £ {P ( 0 l lr ) - + 0,  r > 0 , m am y  dla  t~^   t 0 (3.16)  su p £ {||r 0/ Vo , 0ll'}- > 0,  p>0. Z a m i a st  u k ł a du  ( 3.13)  m o ż na  r o z p a t r ywa ć  u k ł ad  ogóln iejszy (3.17)  ^ Wtedy  w  okreś leniach  3.5  i  3.6  warun ki  (3.14),  (3.15)  należy  zamienić  warunkiem (3.18)  \ \ yO\ \ +supE{mp\ \ R[Y,t,X(t)]\ \ r}  ^ 0 - P rzytoczon e  okreś lenia  n ie  wyczerpują  wszystkich  moż liwych  koncepcji  stabilnoś ci stochastyczn ej;  w  literaturze  m oż na  spotkać  jeszcze  inne  uż yteczne  poję cia  (por. n p. [30, 31,  32,  33,  34,  57]).  N a  przykł ad  w  pracach  [33,  34]  został y  wprowadzone  poję cia  stabil- noś ci  entropijnej  oraz  zupeł nej  stabilnoś ci  statystycznej  interesują ce  przede  wszystkim w  analizie  ukł adów z  losowymi  warun kam i  począ tkowym i. Okreś lenie 3.7.  U kł ad  charakteryzuje  się  ogólną  stabilnoś cią  entropijną ,  jeż eli  jego en tropia  (jedn owym iarowa)  H(t)  przy  t  - > + o o  dą ży  do  — oo.  Jeż eli  entropia H(t)  m ono- ton iczn ie  maleje  przy  wzroś cie  Z, t o  m ówim y,  że  ukł ad  charakteryzuje  się  ogólną  mono- toniczną stabilnoś cią  entropijną. N iech  ruch  n iezaburzon y  ukł adu odpowiada  rozwią zaniu  trywialnemu.  N iech w  chwili począ tkowej  ruch  zaburzon y  ukł adu  bę dzie  scharakteryzowany  przez  zmienną  losową o  funkcji  gę stoś ci " / O i . ^ a ,  • • • >y„;  to)  = / Q O > I , y%> • • • «?».)• Okreś lenie 3.8.  R uch  n iezaburzon y  jest  statystycznie  stabilny  przy  rozkł adzie  począ tko- wym-  J"o, jeż eli  p r z y  t y m  r o z k ł a d z ie  gę st o ść  p r a wd o p o d o b i e ń st wa  f(y 1 ,y 2 ,  • • • ,y«f\ t)  ro z- wią za n ia,  p r zy  t  - »•   oo d ą ży  d o  d elt y  D ir a c a , t j. (3.19) 384  K .  SOD CZYK Jeż eli  warunek  (3.19)  zachodzi  dla  dowolnego  rozkł adu począ tkowego  f 0 ,  to  ruch  nieza- burzony  charakteryzuje  się   zupeł ną  stabilnoś cią  statystyczną . Łatwo  zauważ yć,  że  jeż eli  m a  miejsce  stabilność  statystyczna  zdefiniowana  w  okreś- leniu  3.8,  to wszystkie  momenty  rozwią zania  dą żą   do  zera  przy  t  -> oo i  odwrotn ie. W  nastę pnych  paragrafach  omówimy  najważ niejsze  rezultaty  otrzymane  w  analizie stabilnoś ci  stochastycznej  wedł ug  przytoczonych  tutaj  definicji. 4. Stabilność według prawdopodobień stwa 4.1.  Układy  opisane  przez  równania  stochastyczne  Ito.  W  tym  paragrafie  omówimy  n aj- waż niejsze  kryteria  stabilnoś ci  stochastycznej  scharakteryzowan e  przez  okreś lenie  3.1, tj.  stabilnoś ci  wedł ug  prawdopodobień stwa.  N ajpierw  scharakteryzujemy  rezultaty  doty- czą ce  ukł adów,  n a  które  dział ają   wymuszenia  o  ch arakterze  biał ego  szumu,  tj.  ukł ady opisane  przez  stochastyczne  równ an ia  róż niczkowe  I t o .  Analiza  stabilnoś ci  takich  ukł a- dów  został a  rozpoczę ta  przez  H ASM IN SKIEG O  [15]  i  do  niego  należą   najważ niejsze  rezul- taty  (por.  [15, 17]). N iech  ruch  ukł adu  dynamicznego  bę dzie  opisany  przez  równ an ie  (w  postaci  wekto- rowej) (4.1)  ^   =  F[Y(t),t]+a[Y(t),t]X(.t), gdzie  X(t)  jest  wektorowym  procesem  biał ego szumu,  F(y,t)  =  [F^ y,^ ,  ...,  F n (y,  t)], zaś  a(y,  t)  =   {a- ^ iy,  t)}  oznacza macierz  o wymiarach  nXn. P och odn a  w  powyż szym  równaniu  n ie  może  być  rozum ian a  w  zwykł ym  sensie,  gdyż X(t)  jest  dystrybucją   losową .  Ś cisła interpretacja  równ an ia  (4.1) bez  korzystania  z  aparat u dystrybucji  losowych  oparta jest  n a  teorii  stochastycznych  równ ań  I t o . W  tej  interpretacji równanie  (4.1) jest  symbolicznym  zapisem  nastę pują cego  równ an ia  dla  róż niczek (4.2)  dY(t)  =   F[Y(t), t]dt+o[Y(t), t]dZ(t), gdzie Z{t)  jest procesem Wienera  (procesem ruchu  brown owskiego);  biał y szum jest  uogól- nioną   pochodną   procesu  Z(t),  tj.  X(t)  =—- —- . R ówn an ie  (4.2) nazywa  się   stochastycz- nym  równaniem  I to i  posiada  rozwinię tą   teorię   (por.  [18]). Przy  dość  ogólnych  zał oż eniach  odnoś nie  funkcji  wektorowej  F(y,  t)  i  funkcji  macie- rzowej  a{y,  t)  istnieje  jednoznaczne rozwią zanie  Y(t)  =  Y(y°,  t 0 ,  t)  równ an ia  (4.2)  speł - niają ce  warunek  począ tkowy  Y(t 0 )  — J °  i  jest  on o  dyfuzyjnym  procesem  M arkowa. Bę dziemy  zakł adali,  że  ^ ( 0 ,  t)  &  0,  o\ 7(0, t)  s  0;  wtedy  równ an ie  (4.2)  posiada  try- wialne  rozwią zanie  Y(t)  =   0  odpowiadają ce  warun kowi  y°  —  0. Z  równaniem  (4.2),  dokł adniej  z  procesem,  dyfuzyjnym  Y{t),  jest  zwią zany  operator (por.  [18]) j ( - 1 gdzie  Ai(y,  t)  =   F t (y,  t),  {B tJ }  — B  =   a- a*;  er* —  macierz  tran spon owan a  wzglę dem  o-. Obszar  okreś lonoś ci  operatora  L   jest  zbiorem  funkcji  dwukrotn ie  w  sposób  cią gły  róż- ST O C H AST YC Z N A  STABILN OŚĆ  R U C H U   385 niczkowalnych  wzglę dem  X  i  w  sposób  cią gły  róż niczkowalnych  wzglę dem  t,  oprócz  co najwyż ej  pun ktu y  =   0.  Oczywiś cie,  dla  a tj (y,  t)  s  0  (ukł ad  deterministyczny)  operator  L jest  operatorem Lapun owa. Zał óż my,  że  współ czynniki  ukł adu  (4.2)  są   niezależ ne  od  czasu  [proces  jednorodny w  czasie;  wtedy  L (y,  t)  — L (y)]  oraz  że  drugi  skł adnik  operatora  L x  jest  niezwyrodnia- ł ym  operatorem  eliptycznym,  tj.  istnieje  funkcja  cią gła  m(y)  dodatnia  dla  y  ^  0  taka, że  dla  wszystkich  rzeczywistych  X speł niona jest  nierówność (4.4)  ^ U - l  ''= 1 Stosują c  teorię   procesów  M arkowa  oraz  pewne  wł asnoś ci  eliptycznych  operatorów róż niczkowych,  H ASM IN SKIJ  [15] wykazał   nastę pują ce  twierdzenie. T w i e r d z e n i e  4.1.  Rozwią zanie  trywialne  ukł adu  (4.2)  o współ czynnikach  niezależ- nych  od  czasu  i  macierzy  a(y)  takiej,  że  speł niony jest warunek  (4.4), jest  stabilne wedł ug prawdopodobień stwa  [w  sensie  (3.2")] wtedy  i  tylko  wtedy, jeż eli istnieje  cią gła  nieujemna funkcja  V[y) znikają ca  tylko  dla  y  =  0, dla  której (4.5) D la  procesu  niejednorodnego  w  czasie  odpowiadają cemu  operatorowi  L (t,  y)  prawdziwy jest  nastę pują cy  warunek  wystarczają cy  [15, 28]. T w i e r d z e n i e  4.2.  N a t o , aby  rozwią zanie  trywialne  ukł adu  (4.2) był o stabilne wedł ug prawdopodobień stwa  [w  sensie  (3.2")] wystarcza,  aby  istniał a dodatnio  okreś lona  funkcja skalarna  V(t,  y),  dla  której (4.6)  L V(t,y)<0. Powyż sze  twierdzenie  jest  uogólnieniem  twierdzenia  Lapunowa  2.1  i  redukuje  się   do niego  jeż eli  a  =   0.  Widzimy,  że  operator  L   charakteryzują cy  proces  M arkowa  odgrywa tę   samą   rolę ,  co  operator  Lapun owa  w  analizie  stabilnoś ci  ukł adów  deterministycznych. N astę pują ce  twierdzenie  daje  kryterium  niestabilnoś ci. T w i e r d z e n i e  4.3.  N a  t o ,  aby  rozwią zanie  trywialne  ukł adu  (4.2) o współ czynnikach niezależ nych  od  czasu  i  macierzy  a(y)  czynią cej  zadość  warunkowi  (4.4)  był o  niestabilne wedł ug  prawdopodobień stwa  (w  sensie  (3.2"))  wystarcza,  aby  istniał a w  pewnym  otocze- niu  pun ktu y  ==  0 funkcja  W (y)  taka,  że (4.7)  JF G O - > oo,  gdy  y- *0,  L .W ^ O, w  dowolnym punkcie  tego  otoczenia  oprócz samego  pun ktu y  =   0. Z  powyż szymi  zagadnieniami  zwią zane  są   też  rozważ ania  BU CY  [36], który  rozpatruje równ an ia  I to  dla  dyskretnych  procesów  M arkowa  oraz  prace  KU SH N ERA  [23,  37,  38]. Kushner  otrzymuje  szereg  istotnych  rezultatów!  Mię dzy  innymi  jego  analiza  pozwala rozszerzyć  zakres  wyników  H asminskiego  na  przypadki,  kiedy  L   nie  jest  operatorem eliptycznym,  poza  tym  praca  [23]  zawiera  konstrukcję   stochastycznej  funkcji  Lapunowa. N a  zakoń czenie  tego  pun ktu  rozważ ymy  dwa  przykł ady  ilustrują ce  zastosowanie  po- wyż szych  twierdzeń.  Otrzymamy  również  pewne  wnioski  dotyczą ce  stabilnoś ci  rozwią - zan ia  trywialnego  równania  I to  wedł ug  pierwszego  (liniowego)  przybliż enia.  Interesują ce i  waż ne  są   jedn ak  bardziej  ogólne  relacje  mię dzy  stabilnoś cią   stochastyczną   ukł adów 386  K .  SOBC Z YK nieliniowych  i  stabilnoś cią   ich przybliż eń  liniowych.  Kwestie  te rozważ ali  N EWELSON i  H ASMIN SKIJ [17]  oraz  G ICH MAN   [28]. Podstawowy  rezultat  dotyczą cy  stabilnoś ci  stochas- tycznej  wedł ug pierwszego  przybliż enia  zawiera  nastę pują ce  twierdzenie  [17], które m oż na uważ ać  za  rozszerzenie  twierdzenia  Lapunowa  o stabilnoś ci  wedł ug  pierwszego  przybli- ż enia  na  przypadek  procesów  M arkowa. T wi e r d z e n i e  4.4.  N a to, aby  trywialne  rozwią zanie  ukł adu Jh (t,  Y lt ...,  Y„)]dZj (4.8)  dY, = 2 J IF/CO Yj+Ą?(.t,  7U  ..., y„)]^­|­ i; był o  asymptotycznie  stabilne  wedł ug  prawdopodobień stwa  przy  ? > t 0 ,  wystarczy,  aby był y  speł nione warun ki: 1) rozwią zanie  trywialne  ukł adu  liniowego (4.9)  dY? -   2* FIV> Y°dt+  S  °W   Y°  dZl był o  eksponencjalnie  stabilne  ś rednio z pewną   potę gąp  > 0, t^   t 0 ', 2)  funkcje  F{(t)  i  af(t) był y  ograniczone  przy  t^ t 0 ,  a  funkcje  W ? i  W ik speł niał y w pewnym  otoczeniu pun ktu y =  0 warunek w postaci (4- 10)  \ W (t, yi ,...,y n )\ \ ^ V \ \ y\ \ z dostatecznie mał ą   stał ą  y > 0. Warunki  na  t o , aby rozwią zanie  trywialne  ukł adu  liniowego  (4.9)  był o  eksponencjal- nie  stabilne  ś rednio z potę gą  p podam y w paragrafie  nastę pnym.  Obecnie rozważ my  dwa przykł ady. 1. Rozważ my  ukł ad  pierwszego  rzę du  w postaci  (jednowymiarowy  proces  dyfuzyjny) (a)  dY=F(X)dt+a(  Y) dZ; wtedy  operator L 1  wyraża  się   nastę pują co: Zał óż my,  że =  F o \ y\ +o(\ y\ ), B o y 2 +o(y 2 ),  (B 0 >0), dla y  -> 0. Korzystają c  z twierdzenia  4.1  oraz  z twierdzenia  4.3 ł atwo  otrzymujemy  nastę pują cy w n i o s e k  —  t w i e r d z e n i e :  rozwią zanie  trywialne  równania  (a) jest  stabilne wedł ug prawdopodobień stwa  dla F o  < - ~- B o i  niestabilne  dla F o  > - ^ B o . Istotnie,  1) niech F o   <—B Q ;  weź my  funkcję   V(y)  —  \ y\ y, gdzie  y  jest  pewną   liczbą IF dodatnią   mniejszą   niż  1  —. • On STOC H ASTYC Z N A  STABILN OŚĆ  R U C H U   387 Wtedy =  F 0 W - y+~ =   y\ y\ y[Fo+'\ B o (y- l)]+o(\ yn  < 0 w  dostatecznie  m ał ym  otoczen iu  pu n kt u  7 =   0.  Warun ki  twierdzenia  4.1  są   speł n ion e' i  rozwią zanie  jest  stabiln e. 2)  N iech F o   >  l/ 2B 0 ;  m oż na  wtedy  ł atwo  sprawdzić,  że funkcja  V(y)  =   —l n |^ |  czyni zadość  twierdzeniu  4.3. Z  powyż szego  twierdzen ia — wn iosku  m oż na  otrzym ać  pewne  dodatkowe  informacje. N iech  n p.  B(y) =  o(y2),  tj. B o   =  0.  Wtedy  stabilność  asymptotyczna  wedł ug  pierwszego przybliż enia  rozwią zania  trywialnego  ukł adu deterministycznego (b) lft gwarantuje  stabiln ość  wedł ug  prawdopodobień stwa  procesu  M arkowa  Y(t)  opisanego równ an iem (c)  dY =   F(Y)dt+  ]/ 'Blj)dZ(t). W  przypadku  niestabilnoś ci  przybliż enia  liniowego  dla  procesu  (b), rozwią zanie  trywialne ukł adu  (c) jest  równ ież  n iestabiln e. Z auważ m y,  że n iestabiln e  poł oż en ie równowagi  ukł adu liniowego  (b) przechodzi w po- ł oż enie  stabilne  wedł ug  prawdopodobień stwa,  jeż eli  wprowadzimy  losowoś ć  postaci ~)/ ~B{y)X,  t ak  aby  tylko  B o   >2F 0 .  T ak  wię c  przytoczon e  twierdzenie — wniosek  daje m etodę   stabilizacji  poł oż en ia  równ owagi  pewnej  klasy  ukł adów  pierwszego  rzę du  przez wprowadzen ie  biał ego  szumu.  D la ukł adów  rzę du  wyż szego  tak nie jest,  wskazuje  n a  to nastę pują cy  przykł ad. 2.  Rozważ my  ukł ad dY x dt dY, dt  ~   J gdzie X x (t)  i X 2 (t)  są  niezależ nymi  biał ymi  szumami. Ł atwo  sprawdzić,  że  poł oż en ie  równowagi  j t =  y2  =  0  tego  ukł adu  w  nieobecnoś ci skł adn ików  losowych  [a{y x ,  y 2 )  =  0] jest  stabilne  ale nie asymptotycznie. Operator  L x   dla  naszego  ukł adu  m a  postać  (F x  =   Y 2 , F 2   —  — Y t ;  B X1   = B 22   = L 1 =y 2 ~s- - y i - i-  + ll2o 2 (y x ,y 1 ) \ JL  JL\ Oczywiś cie,  jeż eli  W =ln(yl+yl),  t o  L i W =0  i  speł nia  warunki  twierdzenia  4.2, jeś li  tylko  a{y) i= 0 przy  y  ^  0, y  =   {y x ,  y 2 ).  Rozwią zanie  trywialne  naszego  ukł adu jest 388  K .  SOBC Z YK więc  niestabilne  wedł ug prawdopodobień stwa.  P rzykł ad ten pokazuje,  że n ieasym ptotyczn a stabilność  «bez  losowoś ci»  może  przejść  w  niestabilność  wedł ug  prawdopodobień stwa. 4.2. Inne ukł ady nieliniowe. W analizie  stabilnoś ci  stochastycznej  otrzym an o  równ ież waż- ne  rezultaty  dla szerokiej  klasy  ukł adów, które  opisane są równ an iam i  in n ym i  n iż  równa- nia  I to.  Odnoś nie  stabilnoś ci  wedł ug  prawdopodobień stwa  są to przede wszystkim kry- teria  otrzymane  przez  KAC A  i  KRASOWSKIEG O  [12] oraz  H ASM IN SKIEG O [22]. W  pracy  [12]  autorzy  rozważ ają  ukł ad  (w postaci  wektorowej) (4.11)  ^ •  =  F[Y{t),X(t),t], gdzie  X{t) jest  jedn orodn ym  procesem  stochastycznym  M arkowa  o  skoń czonej  liczbie stanów  {x i ,x 2 ,  •  • • ,*,• },  przy  czym  prawdopodobień stwo  p tj (At)  przejś cia  ze stan u  x t d o  Xj w czasie  At speł nia  warunek (4.12)  p iJ ( i At)  = oi tJ At+o(At),  (i • £ j)  a tJ  =  con st . N iech  funkcja  wektorowa  F = [F 1 ,F 2 ,  ..., F n ] bę dzie  cią gła  wzglę dem  wszystkich  zmien- nych i  speł nia  warunek  Lipschitza  wzglę dem  zmiennych y t , t j. (4.13)  \ F i {y 2> x{t),t)- F i {y l ,x{t),t)\ ^ M\ \ y 2 ~y l \ \ ,  i =  1, 2, . . . , n, w  o bsza r ze  {||^||   v(y)  [odpowiednio  w(y,x,  t)^ ^ś  —w(y)]  dla  wszystkich  y ^  0 i t ̂  / 0 . Oznaczając  przez  E[v\ rj,C,T ]  warunkową  wartość  przecię tną  funkcji  v[Y(t),X(t),  t] przy  warun ku:  7 ( 0 =   rj,X{t)=  f  dla t =  % i  okreś lając  poch odn ą  tej wartoś ci  prze- cię tnej ze wzglę du  n a ukł ad  (4.11) w pun kcie t =   T, 1 =  £, Y —  r\  ja ko  granicę (4.15)  ^ 1  =  lim ~L- (E{[v(Y(t),  X(t), t)- v( V ,  f,  r)]| Y(r)  =  V, W  =  I}), po  skorzystaniu  z wł asnoś ci  procesów  M arkowa i  relacji  (4.12)  otrzymujemy  nastę pują ce wyraż enie  [12]: (4.16)  W frxj.t]  - *+2*L F&,x it   0+  £  «,[,(,, x k , t)- v(y, x 3 , t)]2 i- l dla  pochodnej  ^ J w punkcie (y, x, =  x Jt  t). STOC H ASTYC Z N A  STABILN OŚĆ  R U C H U   389 A  zatem ,  podobn ie  ja k w  przypadku  równ ań  deterministycznych,  dla  wyznaczenia poch odn ej  (wartoś ci  przecię tnej)  ze wzglę du  n a ukł ad  nie  potrzeba  rozwią zywać  równań ruch u,  wystarczy  zn ać  ich  prawe  stron y  i  charakterystyki  probabilistyczne  procesu X{t). M oż emy  teraz  sform uł ować  kryterium  stabilnoś ci  wedł ug  prawdopodobień stwa  roz- wią zania  trywialnego  iikł adu  (4.11)  przy  wprowadzonych  wyż ej  zał oż eniach  stanowią ce an alogon  pierwszego  twierdzen ia  Lapun owa. T w i e r d z e n i e  4.5. Jeż eli dla ukł adu  (4.11) istnieje  dodatn io okreś lona funkcja  v(y,x,t), której  pochodna—= = - =•  ze wzglę du  n a ten  ukł ad  równ ań  jest  funkcją   znaku  ujemnego, t o  rozwią zanie  trywialne  u kł ad u (4.11) jest  stabilne  wedł ug prawdopodobień stwa  [w sensie (3.2) lub  (3.2')]- N a  zakoń czen ie  tego  p u n kt u  podam y  przykł ad  ilustrują cy  powyż sze  kryterium. W  pracy  [12]  został o  też wykazan e  twierdzenie  podają ce  kryterium  asymptotycznej stabilnoś ci  wedł ug  prawdopodobień stwa  ukł adu  (4.11)  i  stanowią ce  analogon  drugiego twierdzenia  Lapun owa.  N at o m iast w pracy  [25]  badan a jest  globalna  stabilność  asympto- tyczn a  wedł ug  prawdopodbień stwa  rozwią zania  trywialnego  ukł adu  (4.11)  przy  wyko- rzystan iu  idei  dwóch  funkcji  Lapun owa.  Interesują ce  rozważ ania  dotyczą ce  asymptotycz- nej  stabilnoś ci  wedł ug  prawdopodobień stwa  ukł adów  liniowych,  których  współ czynniki są   funkcjami  procesu  M arko wa  zawiera  praca  [39].  Rezultatów  tych  nie  bę dziemy  tutaj przytaczali  (do  pracy  [12]  wrócim y  jeszcze  w  paragrafie  nastę pnym ).  N ieco  inne  podej- ś cie  dotyczą ce  rozszerzenia  drugiej  m etody  Lapun owa  n a  ukł ady  stochastyczne  dość ogólnej  postaci  spotykam y  w  pracy  H ASM IN SKIEG O  [22].  Warun ki  stabilnoś ci  formuł uje au t o r  w  term in ach  funkcji  Lapu n o wa  dla u kł ad u , deterministycznego  i  zakł ada, że  dla wystę pują cego  w  równ an iach  procesu  stochastycznego  prawdziwe  jest  twierdzenie  ergo- dyczne. N iech  bę dzie  dan y  ukł ad  opisan y  równ an iam i  (w  postaci  wektorowej) (4.17)  ^   =  F(Y,t)+a{Y,t)X{t), gdzie  a jest  macierzą   o wym iarach  kxl,  F<=[F if   ..., Fj],  Y(t) = [Y t ,  (t),...,  7, ( 0] . X(t) oznacza  proces  stochastyczn y  / c- wymiarowy.  Z akł adam y,  że  F(0, t) =  0,  d y ( 0 , ( ) s  0, R azem z ukł adem (4.17)  rozpatrujem y  ukł ad (4.18)  C   =   F (7, 0 i  zwią zane  z n im  funkcje  Lapun owa  V(y,  t).  Z akł adam y, że  rozpatrywane  funkcje  V(y, t) speł niają   warun ek  Lipschitza  wzglę dem y (4.19)  \ V(y 2 , t)~V(y u t)\   <  M\ \ y 2 - yi \ \ w  każ dym  obszarze  ogran iczon ym .  Jeż eli  stał a  M n ie  zależy  od  obszaru, t j. 2  M ech an ika  teoretyczn a 390  K .  SOBC Z YK to  bę dziemy  oznaczali  V e C(M).  Przyjmiemy  również  oznaczenie .1/ 3 T w i e r d z e n i e  4.6.  Jeż eli  speł nione są nastę pują ce  waru n ki: 1) dla  ukł adu  (4.18)  istnieje  funkcja  Lapun owa  VeC(M)  speł niają ca  warun ki i  c 2  —  są  stał ymi dodatn im i) (4.20)  inf  V(y,  t)=V r >0,  przy  r > 0, />o \ W>r dV (4.21)  - JL ^ - Cl v,  \ \ a(y,t)\ \ ^ c 2 V, d°V gdzie  —j—  oznacza pochodn ą  K ze  wzglę du n a  ukł ad  (4.18); 2) proces  stochastyczny  X(t)  speł nia  nierówność (4.22)  ^ r>0  wic 2 oraz  | \ X(t) 11  =  tj(t) czyni  zadość  twierdzeniu  ergodycznemu  (prawu  wielkich  liczb) w n as- tę pują cej  sł abej  po st aci:  dla  dowolnego  s > 0 i  <5  >  0 istnieje  T  > 0 takie, że dla  t > T (4.23)  P ó  o to rozwią zanie  trywialne  ukł adu  (4.17) jest globalnie  stabiln e  asym ptotycznie wedł ug praw- dopodobień stwa. W  oparciu  o powyż sze  twierdzenie  m oż na  ł atwo  wyprowadzić  (por.  [22])  stosun kowo proste kryterium  dla  ukł adów liniowych w postaci (4.24)  Ę - =  [A(ł )+B (01F, at gdzie  elementy  macierzy  kwadratowej  B(t) są  procesam i  stochastycznymi,  a  ukł ad de- terministyczny (4.25)   0 przy r > 0; t> 'o,\ \ y\ \ > r 2 ) | | g r a d ^ ( y , Ó | | < c ,  (y *  0); 3) w  obszarze t > t o ,\ \ y\ \   > r dla  dowolnego  r speł niona jest przy  pewnej  stał ej c, > 0 nierówność d°V Wtedy  rozwią zanie  trywialne  ukł adu  (3.12)  jest  stabilne  wedł ug  prawdopodobień stwa ze wzglę du na cią gle dział ają ce zaburzenia R(t) mał e w sensie ś rednim (por. okreś lenie 3.5). Rozważ my  nastę pują cy  przykł ad. N iech bę dzie dany ukł ad opisany równaniem które jest równoważ ne ukł adowi (  )  i.  = =   Y 2 ,  j  =   A 2 (X)Y±   Ai\ Xi)Y 2 , Funkcje  A X (X)  i A 2 (X)  są znanymi  ograniczonymi  funkcjami  zmiennej X, a proces  sto- chastyczny  X(t)  jest jednorodnym  procesem  Markowa  o skoń czonej  liczbie  stanów  {x x , x 2 ,  ..., x r },  przy  czym  elementy macierzy  przejś cia  py  są okreś lone  wzorami  (4.12). Wiadomo, że w  przypadku  deterministycznym warunkiem  koniecznym i dostatecznym stabilnoś ci  ukł adu  (*) przy  A i =  const i A 2  =  const jest  speł nienie nierównoś ci A x  > 0, A 2 >0. Zał óż my  tutaj,  że A 2 (x)  > 0 i wprowadź my  oznaczenie A^ x,)  =  a k ,  A 2 (x k )  =  b k >0, przy k =  1, 2, . . . ,  r, Weź my  funkcję  dodatnio okreś loną 2  1  2 1   bk   2 N a podstawie  (4.16) mamy rf£ [© ]  dv  dv Po przekształ ceniach mamy dE[v]  _ A zatem, aby  speł nione był y warunki  twierdzenia 4.5 potrzeba, ż eby 2 * 392  K-   SOBC Z YK Tak  wię c, jeż eli  dla ukł adu  (*)  speł niony jest warunek  (**)  oraz  A 2 (x k )  >  0  (k  —  1, 2,  ..., r),  to  rozwią zanie  trywialne  jest  stabilne  wedł ug  prawdopodobień stwa.  Z auważ my,  że (w  odróż nieniu  od  przypadku  deterministycznego)  stabilność  wedł ug  prawdopodobień - stwa  może mieć miejsce  również  wtedy,  gdy  niektóre  z  a k   są   ujemne  lub  równe  zeru. 5.  Stabiln ość  ś redn ia  z p- tsi  potę gą 5.1.  Układy  opisane  przez  równania  stochastyczne  Ito.  Z agadn ien ia  dotyczą ce  róż nych  ty- pów  stabilnoś ci  ś redniej  z  p- tą  potę gą   rozwią zań  równ ań  I to  był y  przedm iotem  badań wielu autorów  (por. n p. [42, 40,  16,  17, 41, 18], przy  czym  oprócz poszukiwania  warun ków (kryteriów)  stabilnoś ci  stochastycznej  wiele  uwagi  poś wię cono  również  zagadnieniu  sta- bilizacji  niestabilnych  ukł adów  deterministycznych  przez  wprowadzenie  do  ukł adu  czł o- nów  losowych. D o  najwcześ niejszych  badań  w  tej  dziedzinie  należą   prace  SAMUELSA  [11, 42]. Badał   on asymptotyczne  wł asnoś ci  momentów  rzę du  drugiego  rozwią zań  ukł adów  postaci dY 1   =  Y 2 dt,  dY2  =   Y3dł ,...,  dY„.i  =   Y„dt, (5.1) 2l 1= 1 gdzie  di i  a v   są   stał ymi. N ależy  podkreś lić,  że  Samuels  nie  korzystał   z  faktu,  że  proces  \ Y x {t),  • • • ,  Y„(t)] jest procesem  M arkowa,  a  wię c  również  z  teorii  stochastycznych  równ ań  I t o .  U kł ad  (5.1) analizował   metodą   kolejnych  przybliż eń  startują c  z  rozwią zania  ukł adu  deterministycz- nego  odpowiadają cego  równaniom  (5.1). Otrzymał  on warunki  wystarczają ce  dla  asymp- totycznej  ograniczonoś ci  momentów  rzę du  drugiego;  asymptotyczną   ograniczoność  m o- mentów  rzę du  drugiego  nazywa  on stabilnoś cią   ś redniokwadratową. W  pracy  [42]  SAMUELS rozważa  zagadnienie  stabilizacji  liniowego  niestabilnego  ukł adu deterministycznego  przez  wprowadzenie  biał ego szumu  do  współ czynników  ukł adu,  przy czym  przez  stabilizację   rozumie  on,  że  momenty  drugiego  rzę du  ukł adu  stochastycznego powinny  być  asymptotycznie  ograniczone.  Otrzymał   on  jako  wniosek,  że  ukł ad  postaci dY 1   =   Y 2 dt, 2 )   dY 2   =   lfiY 2 - XlY 1 ]dt- aY 2 dZ,  /S >  0 posiada  stabilne  (tj.  ograniczone)  momenty  rzę du  drugiego,  mimo  że  ukł ad  detefminis- tyczny  (otrzymany  przez  odrzucenie drugiego  czł onu  w  drugim  równ an iu) jest  niestabilny. Rezultat  ten,  na  skutek  istnienia  pewnych  bł ę dów  rachun kowych  okazał   się   jedn ak  fał - szywy  [40].  CAU G H EY  pokazał , że jeś li  dany  ukł ad jest  opisany  przez  równanie  róż niczkowe rzę du  drugiego  o  stał ych  współ czynnikach  posiadają ce  nieograniczone  (przy  t  - *•   oo) rozwią zanie,  to  dodają c  do jednego  ze  współ czynników  gaussowski  biał y szum  otrzymuje się   również  nieograniczone  w  sensie  ś redniokwadratowym  rozwią zanie  (przy  tych  samych warunkach  począ tkowych).  Czyli  stabilizacja  w powyż szym  sensie  (przy  pom ocy  gaussow- skiego  biał ego szumu) jest  niemoż liwa. ST O C H AST YC Z N A  STABILN OŚĆ  R U C H U   393 Z agadn ien ia  dotyczą ce  stabilizacji  m om en tów  był y  także  rozważ ane  w  pracach  [43, 16,  44], zaś  ogólny  problem  ograniczonoś ci  m om en tów  rozwią zań  równ ań  I to jest  rozwa- ż any  w  pracach  [18,  55].  D efinitywne  rozstrzygnię cie  kwestii  stabilizacji  m om entów za pom ocą   biał ych  szumów  zawiera  praca  N EWELSON A  i  H ASMIN SKIEG O  [17].  Jako  wniosek jedn ego  z twierdzeń  autorzy  otrzymują   nastę pują cy  bardzo  waż ny  rezultat. T w i e r d z e n i e  5.1.  Jeż eli  determ inistyczny  ukł ad  liniowy (5.3) n ie  jest  asym ptotycznie  stabiln y,  to  ukł ad (5.4)  dYi 2  Ż J- l  kj- l n ie  bę dzie  asym ptotyczn ie  stabiln y  ś redn io  z  wykł adnikiem p  [w sensie  okreś lenia  3.2 — relacja  (3.5)] przy p ^  1  niezależ nie  od  wł asnoś ci  o{k(t). W  pracy  [17] został y równ ież  po d an e kryteria  stabilnoś ci  ś redniej z potę gą  p  rozwią zań równ ań  I t o w term in ach  funkcji  Lapun owa.  A  oto  kryterium  bę dą ce  uogólnieniem  zna- nego  twierdzenia  o  stabilnoś ci  eksponencjalnej  dla  równ ań  deterministycznych  (por.  [2]) n a  przypadek  dowolnego  ukł adu  stochastycznych  równ ań  róż niczkowych  I t o . T w i e r d z e n i e  5.2.  Jeż eli  istnieje  funkcja  V(y,  t),  dla której  przy  t > t 0  i y  Ą= 0 speł - n ion e  są warun ki  ( c l s  02,0^ ,0^ . — stał e  d o d at n ie) :  v (5.5)  < (5.6) (5- 7)  f J  t  1 ,  • • • , / /, to  rozwią zanie  trywialne  ukł adu  (4.2)  jest  dla t ^ t 0   eksponencjalnie  stabilne  ś rednio z  potę gą p. Jeż eli  ukł ad jest  liniowy  postaci  (5.4), to warunki  (5.5)—(5.7) są konieczne i  wystarcza- ją ce  dla  eksponencjalnej  stabiln oś ci  ś redniej  z potę gą p  (por.  twierdzenie  4.4  o stabilnoś ci równ ań  I t o wedł ug pierwszego  przybliż enia). N a  podstawie  powyż szych  rezultatów  oraz  faktu,  że dla  ukł adów  liniowych  o stał ych współ czynnikach  z asym ptotyczn ej  stabilnoś ci  ś redniej  z potę gą p  wynika  eksponencjalna stabilność  ś rednia  z potę gą  p,  ł atwo  otrzymuje  się  nastę pują ce  kryterium. T w i e r d z e n i e  5.3. N a  t o , aby  rozwią zanie  trywialne  ukł adu  liniowego  o stał ych współ - czyn n ikach (5- 8)  dY t  = £F\ Yjdt+  J £   ai«(t)Y k dZj Jmt  k,jml był o  asym ptotycznie  stabiln e  ś redn io  z potę gą  p  potrzeba  i  wystarcza,  aby dla  dowolnej dodatn io  okreś lonej  i jedn orodn ej  rzę du p  funkcji  W (y)  istn iał a  dodatn io okreś lona i jed- n o ro d n a  rzę du p  funkcja  V(y)  taka,  że (5.9)  L 1 V(y)=~W (y). 394 K .  SOBC Z YK W  zastosowaniach  najczę ś ciej  uż ywana  jest  stabilność  ś redn ia  z  kwadratem  (p  =   2). Istotne jest wię c  otrzymanie kryteriów  algebraicznych  zapewniają cych  stabilność  w  sensie ś redniokwadratowym. W  pracy  [43]  został a  wskazana  m etoda  otrzym an ia  takich  algebraicznych  kryteriów stabilnoś ci  ś redniej  z  kwadratem  dla  dowolnego  ukł adu  liniowego  z  biał ymi  szumami, jedn ak  otrzymane wedł ug  tej  metody  warun ki  są   bardzo  niewygodne  w  zastosowaniach, gdyż  dla  ich  weryfikacji  należy  obliczyć  n2  wyznaczników,  przy  czym  najwyż szy  stopień wyznacznika jest n2.  D latego też należy podkreś lić znaczenie warun ków, jakie  dla  ukł adów liniowych  postaci  (5.1)  został y  otrzym ane  w  pracy  [41].  Korzystają c  z  rezultatów  pracy [17]  autorzy  wykazują ,  że  dla  asymptotycznej  stabilnoś ci  ś redniej  z  kwadratem  ukł adu (5.1) potrzeba  i  wystarcza,  aby  był y  speł nione  warun ki  R au t h a- H u rwit za dla  determinis- tycznej  czę ś ci  ukł adu  (5.1), tj. A 2   = " i 1 a- i  a* d i  a 3   a 5   ...  O 1  a 2   a 4 ...O O  a x   a 3 ...O O  1  a 2 ...O O  O  O...a„ oraz  warunek A„>   A, gdzie  A  jest  wyznacznikiem,  który  otrzymujemy  z  Zl„  przez  zam ian ę   pierwszego  wiersza wierszem,  którego  elementy  są   funkcjami  liniowymi  stał ych  a^   =   a t aj.  Jeż eli  w  ukł adzie (5.1) procesy  Z t (t)  są   niezależ nymi  biał ymi szumami,  to wyznacznik  A  powstaje  z  wyznacz- n ika  A„ przez  zamianę  pierwszego  wiersza  wierszem 1 1 1 )  2 2 ' 3 3 J * * * ? \   "^ /   ^ / wJ  • Analizę   stabilnoś ci  momentów rozwią zań  równ ań  stochastycznych  I to  spotykam y  również w  pracach  G ICH M AN A  (por.  [18,  28])  oraz  w  pracy  [45].  D la  ukł adów  liniowych  autorzy wprowadzają   równ an ia  róż niczkowe  dla  m om en tów  rozwią zań  i  sprowadzają   w  ten  spo- sób  badanie  stabilnoś ci  m om entów  do  analizy  stabilnoś ci  rozwią zań  deterministycznych liniowych  równań  róż niczkowych.  N ależy  również  podkreś lić,  że  w  badan iach  stabilnoś ci momentów  rozwią zań  równ ań nieliniowych,  których  współ czynniki  zawierają   biał e  szumy, wiele  autorów  stosuje  metody  przybliż one.  N a  przykł ad  praca  [46]  zawiera  zastosowanie metody  linearyzacji  statystycznej  do  badan ia  stabilnoś ci  m om en tów. N a  zakoń czenie rozpatrzymy  przykł ad. Rozważ my  ukł ad  opisany  przez  równ an ia  (5.2).  N a  podstawie  procedury  zawartej w  pracy  [16] pokaż emy,  że  m om enty  rzę du  drugiego  rozwią zania  nie  są   asymptotycznie stabilne. STOC H ASTYC Z N A  STABILN OŚĆ  R U C H U   395 R ówn an ie  F o kkera- P lan cka- K o ł m o go ro wa  dla  funkcji  gę stoś ci  prawdopodobień - stwa  przejś cia  procesu  [Y 1}  Y 2 ]  m a  postać N a  podstawie  tego  równ an ia  m oż na  formalnie  otrzym ać  równania  dla  m om en tów  rzę du drugiego  przez  pom n oż en ie  jego  obu  stron  odpowiednio  przez  y\ , y x y 2 ,  y\   i scał ko- wanie  po  pł aszczyź nie R2. Otrzymujemy  nastę pują ce  równ an ia: (a)  m x ,t = w 0 | 2  =   - gdzie (b)  m u   = E{y[y{},  i, j =   0 , 1 , 2 , Stabiln ość  m om en tów  jest  okreś lona  przez  czę ś ci  rzeczywiste  pierwiastków  równania charakterystycznego £ 3 - (?p+o 2 )£ 2 +P(20+o 2 )t+2%(2p+o 2 )  =  0. Aby  rozwią zania  (tj.  m l f l ,  m0t2,  m20)  równ ań  (a)  dą ż yły  asymptotycznie  do  zera, współ - czynniki  równ an ia  muszą  być  dodatn ie.  T ak  jed n ak  nie jest,  gdyż  3/ 3+ a2 >  0. A zatem m om en ty  rzę du  drugiego  nie  mogą  być  asymptotycznie  stabilne. 5.2. Inne  ukł ady nieliniowe.  W  analizie  stabilnoś ci  ś redniej  z j?- tą  potę gą  ukł adów  opi- san ych  równ an iam i  in n ym i  n iż  równ an ia  I t o  otrzym an o  również  szereg  waż nych  rezul- tatów.  P rzede  wszystkim  należy  wymienić  prace  BERTRAMA  i  SARACHIKA  [10]  oraz  KACA i  KRASOWSKTEG O  [12], w których  p o  raz  pierwszy  zastosowany  został   aparat  funkcji  La- pun owa  d o  badan ia  stabiln oś ci  stochastyczn ej. Rozważ my  ukł ad  opisany  równ an iem w  postaci  wektorowej (5.10)  ~=F[Y(t),X(t),t]. BERTRAM i  SARACH IK:  zakł adają,  że  F je st  funkcją  cią głą i speł nia warunek  Lipschitza  ze wzglę du  n a  y, F[0,X(t),  t]  =   0, zaś  proces  X(t)  jest  taki,  że  jego  realizacje  zachowują się  n a  tyle  regularn ie,  aby  równ an ie  (5.10)  m ogł o być  rozum ian e jako  równanie  dla  reali- zacji. T w i e r d z e n i e  5.4.  Jeż eli istnieje  funkcja  Lapun owa  V(y,t)  okreś lona  n a  przestrzeni fazowej,  kt ó ra  speł nia  waru n ki: a)  F ( 0 , 0 =  0, b)  V(y,  t) jest  cią gła  wzglę dem y i t oraz  istnieją  jej  pierwsze  pochodne wzglę dem  y i t, c )  V(y,  t) >  a||j> ||  dla  pewnej  stał ej a >  0, d)E{dtV(y(t),t)}<0, t o  rozwią zanie  trywialne  ukł adu  (5.10) jest  stabilne  ś rednio z potę gą ;? =   1. BERTRAM  i  SARAC H IK  zastosowali  swoje  rezultaty  do ukł adów  takiej  postaci,  jakie w  przypadku  jedn owym iarowym  rozpatrywał   ROSEN BLOOM [8], tj.  dla ukł adów (5- 11)  ^ 396  K..  SOBC Z YK gdzie  A{i)  jest  macierzą  diagonalną:  A(t)  =  {a,j(t)},  a tJ (t)  =   a^ f)  d l a j =   i,  a tJ (ł )  =  0 dla  i  #  y. D obierając  odpowiednią  funkcję  Lapunowa  V pokazali  oni, że  warun ki t (5.12)  £(a,(/ )exp  J  ^ ( T ) ^ }  <  0,  f >  r 0,  i =   1, 2,  ., ., «, ' o zapewniają  asymptotyczną  stabilność  ś rednią  z pot ę gą̂   =   1. Rozważ ali  oni także  warunki stabilnoś ci  dla  ukł adu  (5.11), w  którym  współ czynniki  są  odcinkami  stał e. Wiele waż nych  kryteriów  dla  ukł adów postaci  (5.10)  otrzymali  K AC  i  KRASOWSKI  [12], przy  czym  o procesie  X(t)  zakł adają  oni, że jest  to jedn orodn y  proces  M arkowa  o  skoń- czonej  liczbie  stanów  {x 1 ,x 2 ,  •  • • ,  x r }  (por. zał oż enia wyszczególnione  w  p .  4.2). A  oto ich twierdzenie  dotyczą ce  eksponencjalnej  stabilnoś ci  ś redniej  z  kwadratem . T wi e r d z e n i e  5.5.  Rozwią zanie  trywialne  ukł adu  (5.10) jest  eksponencjalnie  stabilne ś rednio  z  kwadratem  wtedy  i  tylko  wtedy,  jeż eli  istnieje  funkcja  v(y,  x,  t)  (por.  p .  4.2) speł niają ca  warunki  (c^ , c 2 ,  c 3   —  stał e dodatnie) (5.13) (5.14)  ^ gd zie  lb> ||  =   O > ? + . . . H k ) > »2 ) 1 / 2 . D la  ukł adu  liniowego  postaci (5.15)  C  -   A[X(t)]Y otrzymali  oni  kryterium  dla  asymptotycznej  stabilnoś ci  ś redniej  z  kwadratem  w  postaci N - r  nierównoś ci  algebraicznych,  gdzie N   =   - ^ «( n + l ). Interesują ce  rozważ ania  dotyczą ce  asymptotycznej  stabilnoś ci  ś redniej  z  p- tą  potę gą zawiera  też  praca  [56].  Autor  rozważa  ukł ady  liniowe  postaci  (5.11)  o  współ czynnikach odcinkami  stał ych przy  nastę pują cych  zał oż eniach: a) A(t) =  A k   dla  t k _ 1 ^ t)} są  procesam i  stochastycznym i  speł niają cymi  waru n ki: 1) posiadają  cią głe  prawie  wszystkie  realizacje, 2)  są  stacjon arn e  w  wę ż szym  sensie, 3)  są  ergodyczne  z  prawdopodobień stwem  1, tj. z  prawdopodobień stwem  1  zachodzi równ ość i (6.3)  lim  i -   f b tJ (r)dr  =   JE[iy(O] =   E[bu(0)]. Korzystając  z powyż szych  zał oż eń  oraz  z lem atu  G ronwalla- Bellmana  (por.  [1])  ł atwo otrzymuje  się  nastę pują ce  twierdzenie  [19]: T w i e r d z e n i e  6.1.  N iech  bę dą  speł nione  przytoczon e  wyż ej  warunki  i  niech  istnieje n wartość  przecię tna  £ {| | 5 ( 0 l l },  gdzie  ||J B ( O I I  =  ]C  \ bij(t)\ . Wtedy  istnieje  stał a  C zależ- ',yvi n a  od  macierzy  A  t aka,  że  n ierówn ość 11} < c implikuje  stabiln ość prawie  n a pewn o  trywialnego  rozwią zania  ukł adu  (6.1)  [w  sensie  wa- ru n ku  (3.7)]. Z ał oż en ie  1)  dotyczą ce  procesów  fty(0  zapewnia  istnienie,  jednoznaczność i  cią gł ość rozwią zan ia  ukł adu  (6.1) z prawdopodobień stwem  1  dla  dowolnego  7(0)  =   y°.  Warunki 2) i  3)  są  wprowadzon e  w  celu  otrzym an ia  kryterium  stabilnoś ci.  N ależy  podkreś lić,  że 398  K .  SOBC Z YK istnieją   dwie  waż ne  klasy  procesów  stacjonarnych  w  wę ż szym  sensie  czynią ce  zadość warunkowi  3). Pierwszą   klasą   są  tzw.' procesy  liniowe, tj. procesy  o postaci t (6.4)  J  p(t- r)dY(j), — 00 gdzie  Y(t) są  procesami  o przyrostach  niezależ nych  i jedn orodn ych. Proces  Y(t) może być na przykł ad procesem  Wienera, a wię c  procesy  postaci  (6.4)  obejmują   waż ną   klasę   proce- sów  otrzymanych  przez  przepuszczenie  gaussowskiego  biał ego szumu  przez  filtr  liniowy. D rugą   waż ną   klasą   stacjonarnych  procesów  ergodycznych  (posiadają cych  wł asność  m e- trycznej  tranzytywnoś ci)  są   procesy  gaussowskie  o  cią gł ej  funkcji  korelacyjnej  i  gę stoś ci widmowej. Ostrzejsze  warunki  zapewniają ce  stabilność  prawie  na pewno  rozwią zań  ukł adu (6.1) podali  CAU G H EY  i  G RAY  W pracy  [21]  uż ywając  aparatu  funkcji  Lapun owa.  Otrzymane twierdzenia  dla ukł adu  (6.1)  rozszerzyli  oni  nastę pnie n a równ an ia  nieliniowe  rzę du  dru- giego postaci (6- 5) gdzie  b(t) jest procesem  stochastycznym  o wł asnoś ciach takich, jak procesy  by(t) w  twier- dzeniu  6.1,  zaś g  jest  funkcją   nieliniową   o  wł asnoś ciach:  1) g(y)—  cią gł a,  2)  \ g(y)\  — monotonicznie zanikają ca,  3) yg{y)  ^  0,  4) g(y) =   —  g(—y). N ależy  tutaj  wymienić  również  prace  M OROZ AN A  [47,  48,  49].  Autor  bada  stabilność prawie  n a  pewno  ukł adów  liniowych  postaci  (6.1) z  losową   macierzą   A,  nieliniowych ukł adów  równań  stochastycznych  I to oraz  inne  ogólne  zagadnienia  zwią zane  ze  stabil- noś cią   stochastyczną . Waż ne  twierdzenie  dotyczą ce  asymptotycznej  stabilnoś ci  globalnej  prawie  n a  pewno dla  ukł adów  nieliniowych  postaci  (4.17)  otrzymał   H ASM IN SKIJ  [22]. Wykazał   on,  że  jeż eli w  twierdzeniu  4.6 sformuł owanym  w p . 4.2 warunek  (4.23)  zamienić  warunkiem  silniej- szym  (ergodyczność z prawdopodobień stwem 1) (6.6)  p\ ±f   Hs)ds~- i  f E[i(s)]ds  -> o} =   1, to  rozwią zanie  trywialne  ukł adu  (4.17) jest  globalnie  asymptotycznie  stabilne  prawie n a pewno  (w sensie  okreś lenia  3.3). Omówione  wyż ej  kryteria  stabilnoś ci  prawie  n a pewno  są  z  praktycznego  pun ktu wi- dzenia dość  skomplikowane.  Z drugiej  zaś  strony wiadom o, że wygodną   w zastosowaniach charakterystyką   badanych  procesów  są  ich  momenty.  Interesują ce  są  wię c  relacje  mię dzy wł asnoś ciami  momentów procesu  stochastycznego  opisują cego  ruch  i  stabilnoś cią   prawie na pewno. Badanie takich relacji  dla liniowych  ukł adów stochastycznych jest przedm iotem pracy  KOZ I N A  [27].  Otrzymał   on  wystarczają cy  warunek  stabilnoś ci  prawie  n a  pewno wyraż ony  przez  stosunkowo  proste  wł asnoś ci  momentów.  Poś wię cimy  chwilę   uwagi tym interesują cym  i  waż nym  rezultatom. STOC H ASTYC Z N A  STABILN OŚĆ  R U C H U   399 Rozważ my  liniowy  ukł ad  stochastyczny  postaci  (6.1), gdzie  A jest  macierzą  stał ą o wy- m iarach nxn,  zaś  B{t)  jest  macierzą,  której  niezerowe  elementy są procesami  stochastycz- n ym i  {bij(t),te[0,co)},  których  prawie  wszystkie  realizacje  są  cią głe  i  ograniczone n a  [0,  oo); z  cią gł oś ci  prawie  wszystkich  realizacji  wynika  micrzalność  procesów  b tJ (t). T e  warun ki  zapewniają  istnienie,  jedn ozn aczn ość  i  cią gł ość  prawie  wszystkich  realizacji rozwią zan ia (6.7)  Y(y°,t o ;t),  te[t 0! za),  y°  e  R" n u kł adu  (6.1)  dla dowolnego  t 0   > 0 i  dowolnego  y°  eR".  N iech  | | j | | =   j£  \ y t \ . Korzystając  z wł asnoś ci m ierzaln ych procesów  stochastycznych i opierając  się n a  twier- dzen iu  o  cał kowalnoś ci  realizacji  takich  procesów  oraz  uwzglę dniając  liniowość  ukł adu (6.1) i  ograniczoność  realizacji  macierzy  B(i),  K O Z I N   wykazał   prawdziwość  nastę pują cego twierdzen ia: T w i e r d z e n i e  6.2.  Jeż eli  dla y°  e R",  t >   0,  rozwią zanie  (6.7) ukł adu  (6.1)  przy wyszczególnionych  wyż ej  zał oż en iach o współ czynnikach  b tJ (t)  speł nia warunek (6.8) t o  rozwią zanie  trywialne  u kł adu  (6.1) jest  prawie  n a  pewno  asymptotycznie  stabilne  glo- baln ie  (w  sensie  okreś lenia  3.3). Z auważ m y,  że dla otrzym an ia  powyż szej  tezy  nie  zakł adaliś my  stabilnoś ci  ś redniej, niemniej  warun ek  (6.8)  sugeruje,  że te dwa  rodzaje  stabilnoś ci  stochastycznej  nie  są nie- zależ ne  od  siebie. I stotn ie,  zał óż my  n a przykł ad,  że rozwią zanie  trywialne  ukł adu  (6.1) jest  eksponen- cjalnie  stabilne  ś redn io  z potę gą  p  =  1, tj. zachodzi  relacja  (3.6)  dla p  — 1. Z  relacji tej wynika  bezpoś redn io,  że E{\ \ Y(y°,  t o ;t)\ \ ]  m a  skoń czoną  cał kę, czyli  speł niony jest  wa- run ek  (6.8)  powyż szego  twierdzen ia.  M oż emy  więc  sformuł ować  t w i e r d z e n i e - w n i o s e k : Jeż eli  rozwią zanie  trywialne  ukł adu  (6.1), którego  macierz  współ czynników  B(t)  speł nia zał oż enie podane  wyż ej, jest  eksponencjalnie stabilne ś rednio z potę gą p  =   1, wtedy jest  ono również  stabilne prawie  na pewno. P raca  K O Z I N A,  poza  przytoczon ym  tutaj  podstawowym  twierdzeniem,  zawiera  jeszcze in n e  ciekawe  rozważ an ia,  spoś ród  których  należy  podkreś lić  przykł ady  wskazują ce,  że rozwią zanie,  które  jest  asym ptotyczn ie  stabilne  prawie  n a pewno,  nie  musi  być  stabilne ś redn io. P oruszon e  tutaj  zagadn ien ia  dotyczą ce  zwią zku  stabilnoś ci  prawie  na pewno z  wł asnoś- ciami  (w szczególnoś ci  ze stabilnoś cią)  m om en tów  są dla  zastosowań  bardzo  istotne, jedn akże  w chwili  obecnej  są one jeszcze  bardzo  m ał o  rozpracowan e. P odobn ie,  ja k w  przypadku  in n ych  typów  stabilnoś ci  stochastycznej,  interesują cym zagadn ien iem  są  kwestie  stabilizacji  w  sensie  prawie  n a pewno  niestabilnych  ukł adów deterministycznych przez  wprowadzen ie  do  ukł adu czł onów  losowych. 400  K..  SOBC Z YK W  pracach  [50,  51]  BOG D AN OFF   bada  teoretycznie  i  eksperymentalnie  problem  stabili- zacji  w sensie  prawie  n a  pewno  przez  wprowadzenie  losowego  wymuszenia  parametrycz- nego  w postaci + N (6.9) gdzie  f k   są   niezależ nymi  zmiennymi  losowymi  o  rozkł adzie  równomiernym  n a  [0, 2T T ]. Proces stochastyczny  (6.9) jest  sumą   drgań  harmonicznych o losowych  fazach  i  m a  widmo dyskretne.  BOG D AN OFF  pokazał , że jeż eli  77 jest  dostatecznie  mał e,  a  |Af c + ^ U , t ;  są   wystar- czają co  duże  i  E{[B(t)]2}  >  gl,  to  poł oż enie równowagi  ukł adu —  =Y 2 jest  stabilne  prawie  n a  pewno, mimo  że  poł oż enie równowagi  ukł adu  deterministycznego, otrzymanego  po  odrzuceniu  czł onu  zawierają cego  szum  losowy,  nie jest  stabilne. Zachodzi pytanie, czy  moż na stabilizować  ukł ad w  sensie  prawie  n a pewno  przez wpro- wadzenie  losowego  wymuszenia  parametrycznego  o  widmie  cią gł ym  i  ewentualnie  jak szeroka jest  klasa  takich procesów  i  ukł adów.  Odpowiedź  n a  t o  pytanie  pozostaje  jeszcze problemem  otwartym. 7.  Stabilność entropijna Entropia  ukł adu  dynamicznego  bę dą ca  pewną   cał kową   cceną   rozkł adu  prawdopodo- bień stwa  jego  stanu jest  charakterystyką   bardzo  ogólną ,  toteż  również  poję cie  stabilnoś ci entropijnej  jest  bardzo  sł abym  poję ciem  stabilnoś ci  stochastycznej.  N iemniej  okazuje  się (por.  n p.  [33]),  że  w  pewnych  zagadnieniach  jest  on o  również  istotn e.  Poś wię cimy  m u wię c  chwilę   uwagi. Rozważ my  ukł ad opisany  równaniami (7.1)  - C - fllF i C O , . . .,  7.(01.  i = l , 2 ,  ..., n . Pochodna  entropii  tego  ukł adu  spowodowanej  losowymi  warunkam i  począ tkowymi  wy- raża  się  wzorem  [33] A  zatem, jeż eli to  ukł ad  (7.1)  charakteryzuje  się   ogólną   monotoniczną   stabilnoś cią   entropijna. STOC H ASTYC Z N A  STABILN OŚĆ  R U C H U   401 W  przypadku  ukł adów  liniowych (7.4)  Tr fc- i równanie  opisują ce  zmianę en tropii ma postać ( = 1 i  warunki  stabilnoś ci  entropijnej  przyjmują  postać  prostą.  W  sposób  bezpoś redni  otrzy- mujemy  nastę pują ce  twierdzenia: a) warunkiem  koniecznym  i  dostatecznym  ogólnej  monotonicznej  stabilnoś ci  entro- pijnej  ukł adu (7.4) jest n (7.6)  £a tt (t)>0; b) warunkiem  koniecznym  i  dostatecznym  ogólnej  entropijnej  stabilnoś ci  ukł adu (7.4) jest n  t (7.7)  £  lim  J  a n (t)dt =  oo. , - =i  t— 0 . r= i W  tym  przypadku  wielkość  s  =   —  £  a n   jest  równa sumie pierwiastków  równania  charak- ( - 1 t e r y s t y c z n e g o  u k ł a d u.  A  z a t e m  o t r z y m u j e m y  t w i e r d z e n i e : N a  to,  aby  dla ukł adu liniowego (7.4) miał a miejsce ogół na stabilnoś ć entropijna potrzeba i  wystarcza, aby  suma pierwiastków  równania  charakterystycznego  tego ukł adu był a  ujemna {s  <  0). Zauważ my  że  ukł ad  liniowy,  dla  którego  ma  miejsce  ogólna  stabilność  entropijna, może  być  niestabilny  w  zwykł ym  sensie.  Jednakże  ukł ad  liniowy  niestabilny  entropijnie jest  również  niestabilny  w  zwykł ym  sensie  (tj. w  sensie  Lapunowa); wynika  to  (dla stał ych współ czynników)  z  powyż szego  twierdzenia  oraz  (dla  zmiennych  współ czynników)  ze znanego  wzoru  dla  wyznacznika  fundamentalnego  ukł adu  rozwią zań  ukł adu  (7.4).  Jak wiemy,  bardziej  szczegół ową  charakterystyką  stanu  ukł adu jest  entropia  dowolnej  jego czę ś ci,  n p.  en tropia jednej  współ rzę dnej  uogólnionej  Hiif).  Ż ą dają c,  aby  entropia  każ dej współ rzę dnej  uogólnionej  m alał a ze  wzrostem  t  otrzymujemy  silniejsze  poję cie czą stkowej stabilnoś ci entropijnej ukł adu  (7.1) —  dokł adniej  charakteryzują ce  jego ruch. M oż na  oczywiś cie  poszukiwać, również  warunków  stabilnoś ci  entropijnej  dla ukł adów, których  entropia  spowodowana  jest  nie  tylko  losowymi  warunkami  począ tkowymi,  lecz także  losowymi  wymuszeniami  zewnę trznymi.  Jest  to  jednak  zagadnienie  trudniejsze, gdyż  równanie  opisują ce  zmianę  w  czasie  entropii jest  w  tym  przypadku  skomplikowane. 402 Rozważ my  przykł ad. D la mamy  zgodnie z równaniem czyli ukł adu dY 2 dt   l (7.5) K. SOBCZYK w  postaci dY x dt ( ' . \ t dH dt - lW  ar =   1  , gdzie  / / 0 jest  entropią   warun ków  począ tkowych.  P rzy  bjt >   1  en tropia  począ tkowo  m a- leje  ze  wzrostem  t,  a  n astę pn ie  roś n ie.  P rzy  b/ t <  1  en tropia  m on oton iczn ie  wzrasta. W  obu przypadkach  ukł ad jest  entropijnie  niestabilny. 8. Inne zagadnienia N a  zakoń czenie  chcemy  zwrócić  uwagę   n a inne jakoś ciowe  problem y  stochastycznych równań  róż niczkowych,  przede  wszystkim  n a takie  kwestie,  ja k  stacjon arn oś ć,  okreso- wość  oraz  dysypatywność  rozwią zań  równ ań  stochastycznych.  Z najom ość  warun ków gwarantują cych  wymienione  wł asnoś ci  rozwią zań  jest  w  szeregu  zastosowań  bardzo istotn a.  Z agadnienia  stacjonarnoś ci,  periodycznoś ci  oraz  ograniczonoś ci  rozwią zań  rów- n ań  stochastycznych są  przedm iotem wielu prac  (por.  [52, 9,  53, 54, 29,  18]). N ie  bę dziemy tutaj  omawiać  szerzej  tych  kwestii;  dla ilustracji  tej  problem atyki  przytoczymy  jedyn ie rezultaty  otrzymane przez  H ASMIN SKIEG O [29], H ASM IN SKU   wprowadził   nastę pują ce  poję cie  dysypatywnoś ci  procesu  stochastycznego i  dysypatywnoś ci  ukł adu. Okreś lenie 8.1.  Proces  Y(t)  =   Y(t,  co)  nazywa  się  procesem  dysypatywnym,  jeż eli  zmienne losowe  11 Y(t,  co) 11 są  jednostajnie  wzglę dem  t  ograniczone  wedł ug  prawdopodobień stwa, tj.  jednostajnie  wzglę dem  t >  t 0   prawdopodobień stwo  P{\ \ Y(t,co)\ \   >  c}- > 0  przy c  ->  oo. Okreś lenie 8.2.  U kł ad (8.1)  ~  = G[Y(t),t,X(t)] nazywa  się   ukł adem  dysypatywnym,  jeż eli  zmienne  losowe  |\ Y(t,  m)||  są   ograniczone wedł ug prawdopodobień stwa  jednostajnie  wzglę dem  t > 't Q   i jedn ostajn ie  wzglę dem  zmien- nych  losowych  Y 0 (, t) ze  wzglę du  n a  ukł ad (8.3)  **- F(Y t t). N astę pują ce  twierdzenie  podaje  warun ki  dysypatywnoś ci  ukł adu  (8.2) w  terminach wł asnoś ci  ukł adu determ in istyczn ego  (8.3). T w i e r d z e n i e  8.1. N iech dla y e R"  i t >  t 0   istnieje  nieujemna  funkcja  V(y,  t) o wł as- n oś ciach: 1) supK ( 0, t) <  oo; i n fP t j,  t) - > oo przy  \ \ y\ \   - »•   oo; 2) funkcja  ||gr a d j, F ||  jest  ogran iczon a; y przy  stał ej c 1 >Q  n ierówn ość dV 3)  —= -  <   c,  przy  czym  n a  zewn ą trz  pewnego  obszaru  ograniczonego  speł niona  jest at dV   < - c  V Wtedy  ukł ad  (8.2)  jest  dysypatywny  dla dowolnego  procesu  stochastycznego  X(t,  co), dla  którego R ozpatrują c  róż ne  wę ż sze  klasy  procesów  X(t, co) m oż na  otrzymać  warunki  dysypatyw- noś ci  przy  sł abszych  warun kach  odn oś n ie  ukł adu (8.3). Z ał óż m y,  że funkcja  F w  ukł adzie  (8.2)  i  (8.3)  zależy  tylko  od y, tj. F{y,  t) =   F(y). P rawdziwe  jest  nastę pują ce  twierdzen ie:  * T w i e r d z e n i e  8.2.  Jeż eli  dla  ukł adu  (8.3),  w  którym  F =  F(y),  istnieje  róż niczko- waln a  w sposób  cią gły  funkcja  V(y)  taka,  ż e: 1) in fF ( y) =   V(y^ )  dla  pewn ego  y x tR n ; dV 2) fu n k c ja —  - *  —oo  przy  \ \ y\ \   - * oo; 3) funkcja  ||g r a d F || jest  ogran iczon a w R", to  ukł ad  (8.2)  posiada  rozwią zanie  stacjonarne  dla  dowolnego  procesu  stacjonarnego X(t,  co) o skoń czonej  wartoś ci przecię tn ej. Interesują ce  rezultaty  dotyczą ce  stacjonarnoś ci  rozwią zań  stochastycznych  równ ań róż niczkowych  znajdują   się  równ ież  w  pracach  [53,  9]; jedn akże  w pracy  [9] poję cie sta- cjon arn oś ci jest  rozum ian e  nieco  inaczej  niż  zwykle. 404  K .  SOBC Z YK L it er a t u r a  cytowan a w tekś cie 1.  R .  BE LLM AN ,  Stability  theory  of  differential  equations,  M c G r a w- H ill  C o m p a n y,  1953. 2.  B. I I .  .H E M I WOBH I I ,  JleKifuu  no MameMamunecKOu  meopnu  ycmoimueocmu,  M ocKBa  1967. 3.  H . T .  M AJ I K H H ,  T eopun  ycmoummocmu  deuoiceuun,  M ocKBa  1966. 4 .  B. B.  HEMbiqKHH, . B . B.  C T E I I AH O B,  KamcmeennaH  meopun  owfifepemiuajibubix  ypaenenuii,  M O C K - Ba  1949. 5.  A. A.  AH H P O H O B,  J I . C .  n oiiTP Jirn H j  A. A.  B H T T ,  O  cmamucmunecKOM  paccMompemm  dimaMUue- CKUX cucmeM, H yp H .  S K C I I .  T e o p .  < J> H 3O  3, 3 ( 1933) . 6.  H .  JX.  M O H C E E B,  O eeponmriocmu ycmoimueocmu  no Jlnnynoey,  floKJi.  A H  C C C P , 1  ( 1936) ,  2 1 1 . 7.  B. B.  C T E I I AH O B,  K  onpede/ ienuw  eepOHmuocmu  ycmoU'iueocmu,  JJpKn.  AH   C C C P ,  1 8 ( 1 9 3 8 ) ,  1 5 1 . 8.  A.  ROSEN BLOOM ,  Analysis  of  linear  systems  with  randomity  time- varying  parameters,  P r o c . Sym p .  I n fo r m . N et wo rks,  1954, Bro o klyn 1955, 145- 153. 9.  H .  H .  B O P O B I M ,  06 ycmoimueocmu  deuoiceuun npu cjiyuauHux  eo3MyufermHX,  H 3B. A H  C C C P , c e p . iwaTeM.,  1, 2 0 ( 1 9 5 6 ) . 10.  J . E .  BE R TR AM ,  P . E . SAR AC H I K ,  Stability  of  circuits  with  randomly  time- varying  parameters,  P r o c .  I n t . Sym p.  o n C ircuit  a n d  I n fo rm .  T h eo ry, L o s An geles 1959. 11.  J. C . SAM U ELS,  On the mean  square  stability  of  random  linear  systems,  I R E T r a n s.  C ircu it  T h eo ry, 6 (1959);  Spec.  Supl., 248- 259. 1 2 .  H .  5L .  KAH ;,  H .  H .  KpacoBCKHH3  O6 ycmoUnueocmu  cucmeM co  cjiynatmuMU  napajnempaMU, I I p H K n . iviaT.  iu e xo  5, 24  ( 1960) . 13.  H .  H .  KP AC OBC KH H ,  O6  onmuMajibHOM  peeyjiuposauuu  npu  cnynauHux  eo3Myią eHunx, IIpH KJi.  MaT. niex.,  1, 2 4 ( 19 6 0 ) . 14.  T . K .  C AU G H E Y,  J. K .  D I E N E S ,  T he behaviour  of  linear  systems  with  randomly  parametric  excitation, J.  M a t h .  P h ys., 41  (1962), 300- 310. 1 5 .  P . 3 .  XACBMH H CKH H J  O6 ycmoimueocmu  mpaemnopuu  MapKoecuux izpoyeccoe,  IIpH KJi.  MaT. M ex., 6, 2 6 ( 19 6 2 ) . 16.  J. L.  BO G D AN O F F ,  F .  K O Z I N ,  Moments  of  the  output  of  linear  random  systems,  J . Ac o u st .  So c . Am er., 8, 34 (1962), 1063. 17.  M . B.  H E BE JI BC OH ,  P . 3 .  XAC LM H H C KH H ,  O6 ycmoimueocmu  cmoxactnuuecKux  cucmeM,  n p o 6 n .  n e p . HHcjiopM.,  3; 2 ( 1966) . 18.  H . H .  raxjiAiij  A. B .  C KOP OXOH ,  CrnoxacmimecKue  awfnfte.peną uamMue  ypameuun,  KweB  1968. 19.  F .  K O Z I N ,  On almost  sure  stability  of  linear  systems  with  random  coefficients,  J.  M a t h .  P h ys. ,  1,  42 (1963). 20.  M .  F . U lyp,  O nuueuHux bu(f>$cpmuuaAbiMXypameimnx  co cAyuauHbuiu eo3Myu}mHbiMU napaMempaMU, H 3B.  A H  C C C P ,  c e p .  iwaieM., 4 , 29  ( 1965) . 21.  T . K.  C AU G H E Y,  A. H .  G R AY,  On the almost  sure  stability  of  linear  dynamic  .systems  with  stochastic coefficients,  J. Ap p l.  M ech ., 2, E 32 (1965). 2 2 .  P . 3 .  XACBM H H OKH H ,  06  ycmounueocmu  neJiuneuHbix  ctnoxacmuuecKUX cucmeM, n pH K Ji.  MaTeM. M ex.3 5,30(1966). 23.  H . J.  K U SH N E R ,  On the construction  of  stochastic  L apunov  functions  , T r a n s.  J E E E ,  10 (1965), 477. 24.  A.  K .  M AH ALAN ABI S,  S. P U R KAYASTH A,  On the  stability  of  stochastic  L urie  type  systems,  I n t . J. C o n t r o l, 4,  8  (1968). 2 5 .  H .  9L .  KAU ;,  O5  ycmoimueocmu  e tf$MM cmoxacmwiecKux  cucmeM, n p iiK J i.  MaTeM.  M ex., 2 , 2 8  ( 1964) . 26.  A. H .  M AJI AXO B,  CmamucmuuecKaH  ycmounueocmb  deuoicerain,  H 3B.  B Ł I C U I .  YKypH.,  5,  4( 1963) . 40.  T. K.  C AU G H EY, Comments  on «On  the stability  random systems»,  J. Acoust  Soc.  Amer., 32 (1960),  1356. 4 1 .  M .  B.  HEBEXtbcoHj P .  3 .  XACBMH H CKH H ,  OSycmomwocmu  JIUHBUHOU  cucmsMbi  npu cjiyuauHux  eoauy- laeHUHx  ee  napaMempoe, ITpHKJi.  MaT. Mex.,  2,  30 (1966). 42.  J. C .  SAMU ELS,  On  the  stability  of  random  systems  and  the  stabilization  of  deterministic  systems  with random  noise, J. Aco u st . Soc. Am er., 5, 32 (1960). 43.  M . A.  LE I BOWI TZ ,  Statistical  behavior  of  linear  systems  with  randomly  varying  parameters,  J.  M ath . P h ys.,  6, 4 (1963). 4 4 .  10 .  J I .  PABOTHHKOBi  O  He&03MODiCHocmu  cmad:uiu3aiiuu cucmeMU  s  cpedneM  KeadpamuwoM cjiynaii- HbiMii BO3Myuj.eHunMU  ee  napajnempoB,  I lp m - c n.  MaT.  iwex.,  5 ,  2 8 ( 1 9 6 4 ) . 4 5 .  r .  H .  M H JI BU I TE H H , JO.  M .  P E I I H H J  O  cpedneKeadpamuHHOU ycmouuueocmu  cmoxacmuuecKUX  du$if>e- peHifuaAbHbix  ypaenenuu:,  n p i n o i .  MaT. we xo  3,  31( 1967) . 46.  Y.  SAWARAG I,  Statistical  studies  on  the  response of  non- linear time  varying  control  systems  subjected  to a  suddenly  applied  stationary  gaussian  random  input,  M em . F a c . E ug.  Kyoto  U n iv.,  24  (1962), 465. 47.  T .  M O R O Z AN ,  Stability  of  some  linear stochastic  systems,  J. D iff.  E qs.,  3 (1967), 153. 48.  T .  M O R O Z AN ,  Stability  of  linear  systems  with  random parameters,  J. D iff.  E qs., 3  (1967), 170. 49.  T .  M O R O Z AN ,  Stability  of  differential  systems  with  random  parameters,  J.  M ath .  An al.  Appl.,  3,  24 (1968). 50.  J. L.  BOG D AN OF F , Influence  on the behavior of  a linear dynamical system  of  some  imposed motion of small amplitude,  J. Acoust. Soc. Am er., 34  (1962), 1055. 51.  J. L.  BOG D AN OF F ,  S. J.  C I T R O N ,  On  the  stabilization  of  the  inverted pendulum,  P roc.  9tg M idwestern M ech .  Conf. (1965). 52.  S.  BOC I I N E R , Stationarity  boundedness, almost  periodicity  of  random valued functions,  P roc.  3rd Berkeley Sym p.  P ro b.  Statist., 2 (1955). 53.  K .  I T O ,  M .  N I SI O ,  On  stationary  solutions  of  a  stochastic  differential  equations, J.  M ath .  Kyoto  U n iv., 1,4(1964). 54.  A.  %..  floPoroBijEBj  O  KoppejinauonHux {fcyHKifunx  eeKmopnux npoifsccoe  ydoejiemsopHioufUX  neKomo- puM  durfitfiepeHifuajibubiM  ypaeueuuHM,  Ynp.  MaT. >KypH o  3,  14 (1962). 55.  M .  Z AK AI ,  On  the  ultimate  boundedness  of  moments  associated  with  solutions  of  stochastic  differential equations,  Techn ion  H aifa,  F aculty  of  E lectr.  E n g. P ub., 58 (1966). 56.  B. H . BH AR U C H A,  On  the  stability  of  randomly  varying  systems,  P h . D . Thesis, D ept  of  E lectr. E n g., U n iv.  C alifornia, Berkeley 1961. 57.  W.  BO G U SZ ,  Statecznoś ć  techniczna  maszyn  wirnikowych  przy  wymuszeniach  stochastycznych,  D yn a- mika  Stroju,  P roc. Vth  Conf. on D ynamics  of  Machines, Liblice  1968. 58.  W.  BO G U SZ , Statecznoś ć  techniczna  ukł adów stochastycznych,  N on lin ear  Vibr.  P robl., 10 (1969). 59.  W.  G AWR O Ń SK I,  Analiza  pewnego  ukł adu  nieliniowego przy  wymuszeniu  stochastycznym,  M ech.  Teor. Stos.,  1, 8 (1970). 60.  K .  SOBCZ YK,  Stochastyczne  równania  róż niczkowe,  rozdz. XXXV  w:  «P oradn ik Inż yniera)) - M a t c m a- m atyka,  Warszawa  (w  d ru ku ) . 3  M echanika  teoretyczna 406  K .  SOBC Z YK P  e  3  io  M  e C TOXAC TI M EC KAJI B  pa6oTe  paccMaipHBaioTCH  npoG jieiww  cToxacTiraecKoii  YC T O M H BO C T H   flBioKeiuM   flH CKpeTH bix  flH - CHCreiw.  B  Heft  npeflCTaBJieH   o63op  OCH OBH BIX  IIOH JITH H   H  Ba>KH eił iunx pe3yjiBTaxoB  n oJiy- B  TeqeHHe  nocneflHHX  jieT. Pa6oTa  coflep>KHT  on peflen em ra  ycT0JranB0CTH   n o  BepoH TH ociH j  ycTOjhiHBocTH   B  cpeflH eM 3  ycToii- MHBOCTH   n oiTH  H aBepH oe a  TaiOKe  onpeflejieH H H   3HTponnHHOii  ycToitoHBOCTH  H   nojiH oii  CTaTHCTHieci