Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS70\MTS70_t8z1_4_PDF\mts70_t8z4.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

4,  8 (1970)

PROBLEMY  OPTYMIZACYJNE  W  SYN TEZ IE  UKŁADÓW M ECH AN ICZN YCH

R O B E R T  S T A N I S Z E W S K I  ( WAR S Z AWA)

1.  Zał oż enia ogólne

D o  rozważ ań  przyjmuje  się   ukł ad  mechaniczny  w  sensie  ogólnym.  Cechy  ogólnoś ci
dotyczą   przede  wszystkim  struktury  ukł adu,  obcią ż eń  statycznych  i  dynamicznych  oraz
wymiarów  i  przeznaczenia  ukł adu.  Z akł adam y,  że  rozpatrywany  ukł ad  mechaniczny
jest  opisany  zbiorem  wielkoś ci  W j  =  W ^ ,  W

2
,  • • - ,  W „.  Spoś ród  zbioru  W j  wyodrę bnia

się   grupę   wielkoś ci  stał ych —  t ak  zwanych  param etrów  (podzbiór A)  oraz  grupę   wielkoś ci
zmiennych  zależ nych  od  ch arakt eru  obcią ż enia,  warun ków  otoczenia  i  sposobu  eksploa-
tacji  ukł adu  (podzbiór  B).  P odzbiór  param etrów  mieś ci  się   w  zakresie  1 ̂   j  ^  k,  a  wię c
obejmuje  wielkoś ci  W j  =   W

ls
  W

2
,  • • - ,  W

k
.  N a  etapie  syntezy  i  projektowania  ukł adu

wielkoś ci  W j mogą   wystę pować  ja ko  zmienne, lub  też mogą   być funkcjami  W j (Xi)  innych
wielkoś ci  X

t
  =  X

lt
  X

2
,  ...,X

tl
.  W  czasie  eksploatacji  ukł adu  wielkoś ci  W j  i  funkcje

W j  (X{)  mają   wartoś ci  stał e  i  przyjmują   nazwę   param etrów.  M ogą   co  najwyż ej  ulegać
niewielkim  zm ian om  ze  wzglę du  n a  starzenie  się   ukł adu.

D o  drugiej  grupy  zaliczam y  podzbiór  wielkoś ci,  któiych  numery  mieszczą   się   w  za-
kresie  k- \ - l  ^ j<n.  W  czasie  eksploatacji  ukł adu  ulegają   one zmianie  w  sposób  regulo-
wany  wedł ug  okreś lonego  program u ,  lub  w  sposób  przypadkowy  uwarunkowany  warun-
kam i  uż ytkowan ia.  Wielkoś ci  należ ą ce  do  podzbioru  B  mogą   wystę pować  jako  zmienne
niezależ ne  lub  ja ko  funkcje  czasu  W j(r)  =  W

k+1
(r),  W

k+2
(r),...,  W „(r).  Wielkoś ci  te

i  ich  funkcje  odpowiedn io  ze  sobą   powią zane  wystę pują   jako  charakterystyki  ukł adu
H

±
,  H

2
,  • • •,  H,„.  W  zależ noś ci  od  postaci  matematycznej  W j,  mogą   wystę pować  jako

funkcje  lub  funkcjonał y.  M o ż na je  rozpisać  n astę pują co:

D la  podzbioru  A:

U
  W

2
,...,  JV

k
) =   H

t
(W

1<k
)

(1.1)  H
2
  =  H

2
(W

X
,  W

2
,  ...,  W

k
) =   H

2
(W

j<k
)

H,=H
l
(W

1
,W

2
,  ...,  W

k
) =

lub

( 1  2 )  H2  =   HJL W M,  W M  W k(Xt)]  =   H2[W J<k(Xd]

H
}
  =   HJL W i&d, W

2
(X

t
),  ...,W

k
(Xd]  =

3 "



408  S-   STANISZEWSKI

D la  podzbioru  B:

/ I  j \   " ( + 2  —  - "I + 2V."  ft+ l>  '?
k
+

2
  rr  n)  —  - "J+ 2V."  j>k)

H
m
  = 1

lub

(1.4)

) ,  W
k+2

(r),  . . . .  P F „ (T )]  -

-  ^ + 2 W ,  ....  W n(r)]  =

=   H
m
[W

k+1
(r),  W

k+2
(r),  ...,W

n
(?)]  =  H

m
[W

J>k
(rJ\

gdzie  wskaź nik  i wystę pują cy  przy  wielkoś ciach  X;  przyjmuje  wartoś ci  1, 2,  • • - ,,"* a  więc
mieś ci się w  zakresie  1  <  i  <  ^t.

Charakterystyki  dla  podzbioru  ,4, a  więc  dla  zakresu  1  <  i  <  /, bę dą ce  n a  etapie  syn-
tezy  funkcjami  Hi(W

J<k
)  lub  funkcjonał ami  fli[W^<t(^i)]  w  ukł adzie  eksploatowan ym

wystę pują  jako  wskaź niki  Qj =   Q
lt
  Q

2)
  • • - ,  Q

v
.Charakterystyki  dla  podzbioru  B  w  zakre-

sie  / + 1  <  i  <  m, wystę pują ce  jako  funkcje  jH r l+ 1(F fj> Ł ),  lub  funkcjonał y  i
są  uż ytkowymi  charakterystykami  ukł adu mechanicznego.

2.  Zagadnienie kryterium optymizacyjnego  i wielkoś ci optymizowanych

Proces  optymizacyjny  poprzedza  się  przyję ciem  odpowiedniego  kryterium  E,  zba-
daniem  wpł ywu  wielkoś ci  W j  i  wyborem  wielkoś ci  optymizowanych  U

t
  spoś ród  W j.

W  zależ noś ci  od  postaci  matematycznej  charakterystyk,  kryterium  optymizacyjne  m oże
być  funkcją  lub  funkcjonał em,  a  wię c:

D la  podzbioru  A

(2.1)  E
A
  =   £U(C/ t) =   ekstr  ^ ( ^ j ^ )

lub

(2.2)  E
A
  =   £ X[£/ ,(Z,)] =   ekstr

D la  podzbioru  B

(2.3)  Ą,  =   E
B
(Ui)  =   e k s t r Ą ( ^ > *)

lub

(2.4)  E
B
  =   £„(17,) =   ekstr

Wystę pują ce  w  zwią zkach  kryterialnych  i  przy  wielkoś ciach  optym izowanych  U  m a
inne  znaczenie  niż  i  wystę pują ce  przy  charakterystykach.  D la  wielkoś ci  optym izowanych
w  podzbiorze  A  mieś ci  się  ono w  granicach  1  <  i  <  k,  n atom iast w podzbiorze  B  w  zak-
resie  k- \ - \  ^  i  ŝ   n.  D la  charakterystyk  /  przybiera  wartoś ci  w  zakresie  1  <  i  ^  m.



PROBLEMY  OPTYMIZACYJNE  40?

3.  Warunki  ograniczają ce

Wartoś ci  wielkoś ci  optymizowanych  wyznaczone  matematycznie  nie  zawsze  mogą
być  przyję te  ze wzglę du  n a ograniczenia  geometryczne,  cię ż arowe,  ekonomiczne,  fizyczne
lub  in n e.  W  zwią zku  z  tym ,  w  zagadnieniach  optymizacyjnych  muszą   być  uwzglę dnione
warun ki  ograniczają ce.  Realizuje  się   przez  nał oż enie  ograniczeń,  zarówno  na  wielkoś ci
optymizowane ja k i n a kryteria  optymiztacyjne.  Z akł adam y przedział y zawarte  pomię dzy
wartoś ciami  górnymi  g  i dolnym i d.

Z godn ie z tym  m am y:

(3.1)  (Wj) d  < Wt*

(3.2)  [W jOCdlś  <  W )  <

(3.3)  [Wj(r)] d  <  W j(r) <

(3.4)  .  [E(U
t
)]

d
  <  E(U

t
) <

(3.5)  {E[U,(Xd)h  <  E[U
t
{Xd]  <

(3.6)  {ElUMIh  <  E[Ui(X
t
)]  <

W  zależ noś ci  od  kon kretn ych  zadań  optymizacyjnych,  warunki  ograniczają ce  mogą
być  nał oż one  również  na  poch odn e  funkcji  [W j(Xi)],  E(U^ )  lub  funkcjonał y
i  Et[U(r)].

4. Budowa charakterystyk uogólnionych

Z am iast  klasycznych  charakterystyk  ukł adu  mechanicznego  H
1
,H

2
,  • • • , H

m
,  wpro-

wadza  się   charakterystyki  uogóln ion e.  Są   n im i:  efekt  techniczny  F, funkcja  wysił ku  K
oraz  efekt  ogólny  A bę dą cy  ilorazem  F  oraz  K.  Efekt  techniczny  ukł adu  mechanicznego
jest  definiowany  jako  charakterystyka  uogóln ion a  okreś lają ca  wł aś ciwoś ci  techniczne
ukł adu  z pu n kt u  widzenia  realizacji  celu. W zwią zku  z tym jest  ona  funkcją   zależ ną   bez-
poś redn io  od charakterystyk  H

±
, H

2
,  • • -, H

m
,  a poś redn io  od  wielkoś ci  W

x
,  W

2
, • • • ,  W

n
.

Jeś li  zbiór  wielkoś ci  czę ś ciowo  lub cał kowicie wystę puje  w postaci  funkcji,  wówczas  efekt
techniczny jest  funkcjonał em.  M oż emy  wię c  zapisać:

(4.1)  F=  F(H
U
H

2I
  ...,H

m
)  =  F(W

U
  W

2
, ..., W „) -   F(W j)

lub

F^ FiH^ W j^ ),  H
2
(W

j<k
),  ...,  H

m
(W

j<k
),

(4.2)  E.iW j^ MziW j^ ),  ..., H
m
(W

J>k
)]  =   F[W1(Xd,W2(Xd>....  WJ

W
k+1

(r),  W
k+2

(r),  ».,  W Jix)\  -   F[Wj(Xtl  T)] .  .

N iech  wielkoś ci  W j wystę pują ce  jako  elementy  zbioru  A  mają   wł aś ciwoś ci  techniczne
opisane  przez  P(pj) i  wł aś ciwoś ci  ekonomiczne  okreś lone  przez  K

w
(W j,ai).  N atom iast



410  R.  STANISZEWSKI

wielkoś ci  W j  wystę pują ce  jako  elementy  zbioru  B  niech  mają   wł aś ciwoś ci  techn iczn e
Z(zj)  i ekonomiczne K

c
(W j,  a;). Wtedy  oba  zbiory  moż emy rozpisać  w  po st aci:

- u  m

Zwią zki  pomię dzy  zbiorami A i fi zapiszemy  n astę pują co:

(4.5)  A  U  5 =  V =   {W j(j=  1, 2,  ..., «) } =

l, 2 , . . . , fc }  U

(4.6)  [W j(j=l,2,...,n)e(A  u 5)]  =

=   [PF}(; =   1, 2,  ...,k)eA]  V [ ^ ( ;  =   fc+ 1,  fc+ 2,  ...,n)eB].

(4.7)  / t n 5 =  {W j(j=  1,2,  ...,k}  n  {W O C / - f c + l , * + 2 , . . . , ł ł }» 0.

N ależy  przy  tym  zauważ yć,  że pewne  typy  ukł adów  mechanicznych  posiadają   kilka
zakresowoś ci  pracy.  N iech funkcja  R(rj)  przyjmują ca  wartoś ci  dyskretn e:

.  . _  fl  dla jednozakresowego  ukł adu
J
'  ~~  \ C  dla wielózakresowego  ukł adu

opisuje  stan  zakresowoś ci  ukł adu.  Efekt  techniczny  ukł adu  F(W j)  może  być  okreś lony

jako  iloczyn  funkcji  opisują cych  wł aś ciwoś ci  techniczne w zbiorach A i B  oraz  funkcji

zakresowoś ci  R{r
}
).

U stalają c,  ż e:

1) P(pj)  —  okreś la  wł aś ciwość  elementów  zbioru  A, przy  czym pj są  wybierane  spoś ród
W j w  zakresie  1  ^ .j^ k,

2) R(rj)  i Z(zj)  —  okreś lają   wł aś ciwoś ci  elementów  zbioru  B,  przy  czym  T j są   wybierane
spoś ród  W j w  zakresie  k- \ - l ^ j  ^   g,  n atom iast  Zj  są   wybierane
spoś ród  W j w  zakresie  g+1  ^ j  ^ «,

Zwią zki  na  efekt  techniczny  (4.1), (4.2)  bę dą   miał y p o st ać :

(4.8)  F(W j) = P(Pi,p
2
,  '• '

i
p^ R(r

k+li
r^

2
,  ...,r

g
)Z(z

g+l!
  z

h+2
,  . . . , z„) =

=   P(pj)R(rj)Z(2j)

lub

(4.9)  FlW jih,  T)] =  P &i(2T0, / »a(X0.  • • . . Ad ' O l^ wi

X Z [ % i W ,  zff+ 2( T ) . . . . ,  Z „ ( T ) ]  -



P R O BLE M Y  OP TYM I Z AC YJN E  411

W  ogólnym  przypadku  wyraż enie  (4.9)  może  mieć jeszcze  inne  postacie,  m ianowicie:

(4.10)  F[W j(X
u
  T ) ] =   P(

P
j)R(rj)Z(zj),

(4.11)  FiW jiXt,  T ) ]  =   P(pdRirjOQ]Z[zj(x)],

(4.12)  F[ W j(Xt,  r)] =  P[pj(X
t
)]  R[r/ Z,)]Zfy),

(4.13)  F[W j(X
i}
  z)] =   P[

Pj
(X

t
)]R(rj)Z(zj),

(4.14)  W / * ,  T)]  =   P(j>j)R[rj(X
t
)]Z(Zj),

(4.15)  ^ ^ ł ,  T ) ] =   P[pj(Xd]R(rj)Z[zj(T )].

F u n k c ja  wsk a ź n i k ów  u k ł a d u  je st  za le ż na  o d Q
1}
  Q

2
, • • • ,  Q„.  M o ż na ją   p r zed st a wić  ja k o

ilo c zyn  t yc h  wsk a ź n i k ów  p o d n i e si o n yc h  d o o d p o wie d n ic h  wykł a d n ikó w  wa g  coi, ft> 2, • • •,

co, ;  z  t ym ,  że wp r o wa d z e n i e  c«j m a  r e gu lo wa ć  r ó ż ny  st o p ie ń  wpł ywu  Q
(
 n a efekt  t ech n icz-

n y.  W zwią zku  z  t ym ,  m a m y :
J  =   V

(4.16)

lub

F un kcja  zakresowoś ci  R(rj) przyjmuje  okreś lone  wartoś ci  dyskretne  zależ ne  od rodza-
ju  i przeznaczenia u kł adu .

F un kcja  stan u  procesu  Z(zj)  opisuje  dynam ikę   ukł adu i jest  równoważ na  cał ce  z cha-
rakterystyki  gł ównej  H(r) w  okresie  czasu  pracy  ukł adu  Tj—H(- V  D la  jednego  wł ą czenia
ukł adu,  funkcja  Z(zj) m a p o st a ć :

H

(4- 18)  Z(z
g+i

,  z
g+2

,...,  z„) -   /   H(r)  dr

lub

(4.19)  Z[zj(r)]  -   J  H[Zj(r)]dr.

•   H- i

D la  d wł ą czeń:

(4.20)  Z
d
(

Zj
)  =

f - l

lub

(4.21)  Z , [ Z J . ( T ) ]

P o  uwzglę dnieniu  zwią zków  n a  P{pj),  P[pj{Xi)],  Z(zj)  i  Z[ZJ- (T)]  we  wzorach  (4.8)
i  (4.9),  otrzym am y  wyraż en ia  n a  efekt  techniczny,  kolejno  dla jednego  wł ą czenia  oraz
dla  Ć / wł ą czeń:

(4.22)  F
x
(W j)  =   P(pj)R(rj)Z(zj)  =   J |  (eda'R(rj)  f



412  R-   STAN I SZ E WSKI

t= d

(4.23)  FAW j) =   R(rj)  J J  (
Qi
)°" £  J  S

t
{x)dx

lub

(4.24)  FAW jiXd]^  U^ XdT 'RUXd]  f H{x)dx,

(4.25)  Ą [»OW1 =  I I  iQttfdF'RMX,)] £  J H[Zj(r)]dr.

Wł aś ciwoś ci  techniczno- ekonomiczne wielkoś ci  W j  jako  elementów  zbiorów  A  i  B,
są  opisane  przez  funkcje  wysił ku  budowy  K

w
(W j,  a

t
)  i  eksploatacji  ukł adu  K

e
(W j,  a^ .

Cał y  wysił ek  zwią zany  z  wykonaniem  i  uż ytkowaniem  ukł adu  mechanicznego  m oż na
wyrazić  przy  pomocy  ogólnej  funkcji,  a  wię c:

(4.26)  K(W j,  a,)  =
t- d  H

-   K
w
(W j, ad+K.(W j,  a,) =  K

s
(W

Jt
 ad+K

d
(W

s
, ad+K

p
(W j, a

t
)+ £  J  KJ&tt,

'- i  Ti- i

przy  czym:

*w( J ^ ,  «0  =   K
s
{W j,  ad+K

d
(W j,

  ai
)+K

p
(W j,  a

t
),

K
s
(W j,dt)  —  funkcja  wysił ku  zwią zana  z  syntezą  i  projektowan iem  ukł adu  m echa-

nicznego ;

K
d
(W j,  a

t
) —  funkcja  wysił ku  zwią zana  z  wdraż an iem  projektu  ukł adu  do  produkcji;

K
p
(W j,  ad —  funkcja  wysił ku  zwią zana  z  produkcją  ukł adu  m echan iczn ego;

K
e
(W j,ad—jednostkowa  funkcja  wysił ku  eksploatacyjnego  ukł adu  m echanicznego.

Iloraz  efektu  technicznego  i  funkcji  wysił ku  bę dziemy  nazywać  efektem  ogólnym
ukł adu  mechanicznego  X.  W  zależ noś ci  od  postaci  matematycznej  efektu  technicznego,
efekt  ogólny  przyjmuje  formę  funkcji  X{W j,ad  lub  funkcjonał u  A[W j(Xi),  aj\ .  Wyko-
rzystując  zwią zki  na. F  i  K,  otrzymamy  podstawowe  wzory  ogólne  n a  efekt  ogóln y.  K o -
lejno  m am y:

=   X(W
U
  W

2
,...,  W

n
,  a

u
a

l t
  ...,a

m
)  =

i,  W
2
,  • - ,  W „)  _

j ,  ad+K
p
(W j,  a,)+K

e
(W j,  O

fVj,  ad

h
y<R(rj)  J  H(v)dr

j  K
e
(x)dv



P R O BLE M Y  OP TYM IZ AC YJN E  413

j ,  ad

( 4. 28)  '= »

a
l
)+K

d
{W

j
,  ad+K

p
(W j,  ad+  !  /   K

el
(x)dx

( 4 . 2 9 )  «- "  •   r«  _

UW drRMm  J  H[
Zj
{r)dx

, ad+K
p
(W j,  ad+K

e
(W j,

(4.30)  fiW iT 'RW Xdllt  f
t- d

  x
i  _

j ,  ad+K,,(W j,  a
t
)+  2  J  K

ei
{x)dx

We  wzorach  (4.28)- (4.30)  p o d an o  jedyn ie  dwa  podstawowe  przypadki.  Pierwszy  za-

wiera  efekt  techniczny w  formie  funkcji,  a  drugi  w  formie  funkcjonał u. Odwrotność  efektu

ogólnego  stan owi  t ak  zwany  efekt  wysił u  51.

5.  M o d ele  optym izacyjn e

Z godn ie  z  zał oż en iam i, przyjmuje  się   charakterystyki  uogólnione  jako  kryteria  opty-
mizacyjne.  W  myśl  postulatów  wynikają cych  z  problem u  celu,  efekt  ogólny  winien  przyj-
m ować  najwię kszą   wartoś ć,  n atom iast  efekt  wysił ku  najmniejszą   wartoś ć.  W  zwią zku
z  tym ,  podstawowy  m odel  optymizacyjny  moż emy  rozpisać  kolejno  dla  funkcji  i  funkcjo-
n ał u,  uwzglę dniając  zwią zki  dla  Xi  S:

, ad  =   m ax

(5.1)  t- v  H  _
l i  (eiT 'Hrj)  J H{r)dx



414 R .  STAN I SZ E WSKI

(5.2)

<5.3)

(5.5)

<5.6)

=   E'ff  X(W j,  a
t
)  =   max  X

d
(W j,  ad  =  m ax

=   m ax

K
ei
(r)dr

=   m in  S
l
(W

J
,  ad,

=   m a x

=   m in

=   max  h

_

flj  =   m a x ^ ^ ( J T O , a j  -

S
a

t
) =

  m a X

»- l  V i

<5.7)  Ą i E ^ Wl  -   ftilOTi)]  =   j B f f ^ I ^ a O .  flJ  =   minSAW jiX,),  a,],
U,eW j

(5.8)  ^ [ Ł / i C Ą ]  -   E
s
M(X

t
)]  =   ^ ^ [ ^ ( Z O ,  a j  =   mmS

d
lW j(Xd,  a, ],

przy  czym:

<5.9)

(5.10)

(5.11)

,««)  =   m a x

,  «,)  =   m i n  •

, fld -   m ax

=   min

Spoś ród  wielu  przypadków  zadań  optymizacyjnych  m oż na  wyróż nić  trzy  charakterys-
tyczne.  Pierwszy  z  nich  obejmuje  maksymalizacje  efektu  ogólnego  lub  minimalizacje
efektu  wysił ku  ze  wzglę du  n a  maksymalizacje  efektu  technicznego.  D rugi  przypadek
• optymizacyjny  zawiera  maksymalizacje  X  lub  minimalizacje  >S ze  wzglę du  n a  minimalT-



P R O BLE M Y  OP TYM IZ AC YJN E 415

zacje  funkcji  wysił ku.  Wreszcie  trzeci  przypadek  obejmuje  maksymalizowanie  efektu
ogólnego  lub  m in im alizowan ie  efektu  wysił ku  drogą  maksymalizowania  F  i minimalizo-
wan ia  K.  Kolejn o  p o d an o  opis  m atem atyczn y  trzech  charakterystycznych  przypadków,
d la  których  podstawowe  zwią zki  mają  p o st ać:

P r z y p a d e k  1.

(5.12)

(5.13)

przy

EZfX(W j, flO =   m ax X
d
(W j, a,),

UWU,eW j

, ad =   min S(W j,  a,),
UW

(5.14)  F(W j) =   P(PJ)RQ- J)Z(ZJ)  =   Yl  (Qi)a'R(rj) £  f  H
t
(r)dr  -   maxF ,

(5.15)

lub

(5.16)

(5.17)

przy

K(W j,  a,) =  c o n st K

F[W j(X
t
)]  =

J  H
t
(x)dt  =  maxP ,

( . 1  r , _ 1

f- rf
(5.19)

P r z y p a d e k  2.

(5.20)

j,  fl()+

(5.21)  Ą

przy

(5.22)  F(W j) =   P(pj)R(rj)Z(zj)  =   J  J  fe,

, a,)  -   min S( W j, a, ),

tmd

(5.23)

lub

(5.24)

(5.25)

2? A[ J W d ,  a j  =  max

E$2S[W j(X
t
),  a,]  - ,  oj,



416 R .  STAN I SZ E WSKI

przy

(5.26)  F[W j(Xd)  -

-  n
(5.27)

P r z y p a d e k  3.

(5.28)

(5.29)

przy

( = 1  T.

K
el
(r)dr  =  minJ5T.

£ A7 W ,  flO  -   m ax X
d
(W j,  ad,

UW

E§SS{W j,  ad =   m i n S ( ^ ; o,),
U,eW j

(5.30)  F(W j)  =  P(pj)R(rj)Z(.Zj)  = \ \   (Qda>R(rj) £  /   H
t
{r)dt  =  maxf,

(5.31)

(5.35)

t- d

=   K
w
(W j,  a

t
K

ei
{x)dx  =  mmK

lub

(5.32)

(5.33)

przy

(5.34)

BE

F[W j(Xd]  =  P[pj(X

S[W ,(X
t
),ai]  = x

r
,)]R[rj(.Xd\ Z[zjC

maxl
d
[W

ainS
d
[W jC

Sf,)]  —

i=d

( = 1

f  K
ei
(r)dr  =

i=l  r i- i

6.  P rzedział  celowoś ci  zm ian  wielkoś ci

W  pracy  [2] rozważ ono  zagadnienie  przedział u zm ian  wielkoś ci  W j ukł adu  m echanicz-
nego z pun ktu  widzenia  ich  celowoś ci  i  opł acalnoś ci. U stalon o zakres,  w  którym  zm ian y
W j  prowadzą  do  zwię kszenia  efektu  ogóln ego;  ograniczeniem  przedział u  jest  zwią zek
wynikają cy  z równ an ia  ekstremalizacyjnego  funkcji  l(W j,ai)  wzglę dem  W j.  R ozpatrzo-



P R O BLE M Y  OP TYM I Z AC YJN E  417

n o  cztery  charakterystyczn e  przypadki  zm ian  param etrów  silnika  spalinowego.  P odsta-
wowe  zał oż enia dla  n ich, przy  n  wytwarzanych  silnikach,  są   nastę pują ce:

1) Z ał oż one  są   stał e  wydatki  n a  budowę   i  eksploatację   n  silników.  Z adan ie  polega
n a  wprowadzen iu  pewnych  zm ian  param etrów  prowadzą cych  do  wzrostu  efektu  technicz-
nego  od  F

t
(W j)  do  F

2
(W j),  drogą   zwię kszenia  zł oż onoś ci  konstrukcji

Ki(W j,  ad  =   K
2
(W j,  ad  =  con st,

F
1
(W j)<F

2
(W

J
).

2) Z ał oż one są   stał e wydatki  n a  budowę   i  eksploatacje  n  silników.  Z adanie polega  n a
wprowadzen iu  pewn ych  zm ian  param etrów  prowadzą cych  do  wzrostu  efektu  technicz-
nego  od F

a
(W j)  d o  F

b
(W j),  drogą   uproszczenia  konstrukcji

K
a
(W j,  ad  =  K

b
(W j,  a

s
)  =   con st,

F
a
(W j)<F„(W j).

3) Z ał oż ony jest  stał y  efekt  techniczny  wytwarzanych  silników.  Z adanie  sprowadza  się
do  obn iż en ia  ogólnych  kosztów  wytwarzania  i  eksploatacji  od  K^ W j,  a

t
)  do  K

2
{W

}
,  a

t
),

drogą   zm ian  kon strukcji

=  F
2
(W j),

4) Z ał oż ony jest  stał y  efekt  techniczny wytwarzanych  silników.  Z adan ie  sprowadza  się
do  obniż enia  ogólnych  kosztów  wytwarzania  i  eksploatacji  od  K

a
(W j,  ad  do  K

b
(W j,  ad,

drogą   uproszczenia  kon strukcji

K
a
(W j,ad>K

b
(W j,ad.

Wyniki  rozważ ań  wszystkich  przypadków  dla  przedział u  (W j\   ^ .W j^ .  (W j)
u
  prowa-

dzą   do  n ierówn oś ci

(6.i)  Kp\ wydF(W j)  >  dK{W j>ad-

Badan ia  n a  in n ych  ukł adach prowadzą   również  do  nierównoś ci  (6.1).  D alsza  zmiana
wielkoś ci  charakterystyczn ych,  a  wię c  dla  przedział u  W j  >  (W j)

u
,  dla  wszystkich  omó-

wionych  przypadków  daje  ju ż  n ierówn ość  przeciwną .  W  zwią zku  z  tym,  mamy  dla  prze-
dział u  (W ), <W j^   (W j)

u

(6.2)

oraz  dla  przedział u (W j)
n
  <  W j

(6.3)  SdF[(W j)
n
  <W j^  (W j)

m
]  <  dK[(W j)

u
  <  W

}
  <  (W j)

m
,  aft,

przy  czym



418 R .  STAN I SZ E WSKI

W  przedziale  {W ^   <  W
3
  <  (W j)

n
,  każ dej  zm ian ie wielkoś ci  W j  odpowiada  wię kszy

przyrost  efektu  technicznego  w  porówn an iu  do  przyrostu  funkcji  wysił ku,  reprezentują -
cej dodatkowe nakł ady finansowe  wynikł e z modyfikacji  kon strukcji ukł adu m echan iczn ego.
W  tym  przypadku,  zmiany  są   celowe  i  opł acaln e.  W  przedziale  (W j)

a
  <  W

t
  <  (W j)

lu
,

każ dej  zmianie  w  sensie  zwię kszenia  wielkoś ci  W j  (rys.  1)  odpowiada  mniejszy  przyrost

efektu  technicznego w  porówn an iu  do  przyrostu  funkcji  wysił ku.  A  wię c  zmiany  są   n ie-
opł acalne,  chociaż  mogą   być  celowe.  Z  tych  rozważ ali  wynika  wniosek,  że  każ de  zamie-
rzenie  optymizacyjne  zwią zane  ze  zm ianam i  konstrukcyjnymi  powin n o  być  poprzedzón!e
zbadaniem  wpł ywu  zmian  W j n a  efekt  ogólny  ukł adu  mechanicznego.

G ranica  W j =   (W j)
u
  stanowi  ograniczenie  od  góry  dla  zwią zku  (6.2),  waż nego  dla

pierwszego  przedział u  oraz  jest  ograniczeniem  od  doł u  dla  zwią zku  (6.3),  waż nego  dla
drugiego  przedział u  (W,- )n  <  W }  <  (W j)nv  G ran ica  dla  W j =   (W j)u  jest  kresem  gór-
nym  przewagi  wzrostu  efektu  technicznego  n ad  przyrostem  kosztów  ogólnych.  M oż na
ją   wyznaczyć  z  rozwią zania  równ an ia  ekstremalizacyjnego  efektu  ogólnego  ja ko  ilorazu
efektu  technicznego i funkcji  wysił ku.

D la  F  =   F(W j),  K  =   K(W
J}
  a

t
)  i  A  =   X{W j,  cfi  m am y

(6.4)
Wx  = 8F(W j =W ,  =  Ut)

8(W j  =   Ud K(W j,  a,)  8{W j  =

1

d{W j =  Ud

P(pj=U

d[P(
Pj
  = ~  U,)

i> ad  S(W j  =   U
±
)

=   UjZjzj  =   UJ  8K(W j,  a
t
)

[K(W j,  a
t
)]

2 8(W j=  UJ  K{W j,



P R OBLEM Y  OP TYM IZ AC YJN E  419

m

G dy  efekt  ogólny  lub  efekt  wysił ku  wystę pują   w  formie  funkcjonał u,  wówczas  dla
wyznaczenia  wielkoś ci  optym izowan ych  stosuje  się   m etody  wariacyjne.  Z adanie  opty-
mizacyjne  polega  n a  okreś len iu  takich  funkcji  U^ fJC^ ,  U

2
(Xd,  • • • ,  U

m
(X

{
)—  wybranych

spoś ród  W
i
(X

i
),W

2
(X

i
),- - - ,W

n
(X

i
),  dla  których  X[W j(Xd]  lub  S[W j(X,)]  przyjmują

wartoś ci  ekstrem aln e.  D la  jedn ej  funkcji  optymizowanej  mamy

(6.5)  E[U
t
O®\ -   m ax  k[W j(Xi).  «tl  =

=   G 0+  J  M{W ,W ',W : ...,

(6.6)  E[Ui(Xi)]  =   min5'[J;F ,(X(),  a;]  =

/=   m m -

W  wyraż eniach  (6.5)  i  (6.6)  przez  G
o
  i  G

o
  oznaczono  wielkoś ci  funkcjonał ów  dla  wa-

run ków  począ tkowych.  F un kcje  M{W ,  W ", W ",  . . . .  W ™, X()  i  M ( W,  PF',  W ",  ...,W W ,
X

t
)  speł niają   równ an ie  E ulera  i  w  tej  postaci  są   podstawą   do  okreś lenia  funkcji  optymi-

zowanych.

7.  M a t em a t yc zn e wł asn oś ci  funkcji  [funkcjonał ów]  P,  S,  Z,  F,  K,  X i  S

Funkcja  wskaź ników  P(j?j).  Z m ien n ym i niezależ nymi  pj  n a  etapie  syntezy  i  konstruowa-
n ia  są   wskaź niki  kon strukcji  Q

±
,  Q

2
,  • • - ,  Q

v
  zwią zane  ograniczeniami  fizycznymi,  geome-

trycznym i  i  techn ologiczn ym i.  W  okreś lonych  granicach,  każ demu  zbiorowi  Qi  jest  pod-
porzą dkowana  i  ustalan a  wartość  P(j>j). Wskaź n iki  przyjmują   tylko  dodatn ie  wartoś ci,
n atom iast  wykł adn iki  mieszczą   się   w  zakresie  0 <  co; <  e,  gdzie  e —  liczba  dodatn ia



420  R.  STANISZEWSKI

i  rzeczywista.  F un kcja  wskaź ników  jest  funkcją  okreś loną  cią głą  i  róż niczkowalną  w  ob-
szarze  C- wymiarowym.  P rzy  braku  wpł ywu  wskaź ników  Qi n a  efekt  techniczny,  m am y

j & i - O,  co2 =   0,  ..., © „   =   0;  P(pj)=l.

Przy  liniowym wpł ywie, mamy

COi =   1,  0) 2  =   1,  . . . , £ U v  =   0 ;  P(pj)  =  Ql,Q2,  —,Qv

Funkcja  zdkresowoś ci  R(rj).  Przyjmuje  wartoś ci  dyskretne  R(rj)  =  1  dla  ukł adu jed-
. nozakresowego,  R(rj)  —fi,f%,...  dla  ukł adów  wielozakresowych,  przy  c z ym / ; —  są
liczbami dodatnim i.

Funkcja  stanu  procesu  Z (zj).  Wł asnoś ci  m atem atyczne  tej  funkcji  zależą  od  funkcji
podcał kowej  H(Zj).  W  badan iach  syntezy  i  kon struowan ia  ukł adu,  H(zj)  jest  funkcją
okreś loną,  cią głą  i  róż niczkowalną.  Każ demu  uporzą dkowan emu  zbiorowi  Zj  jest  pod-
porzą dkowana  okreś lona  wartość  charakterystyki  H{zj).  W  czasie  eksploatacji  ukł adu,
przy  zał oż eniu stabilnej  pracy, rozpatrywan a  funkcja  podcał kowa jest  również  okreś lon a,
cią gła  i  róż niczkowalną.  W  obu  przypadkach  funkcja  Z(zj)  jest  równ oważ na  cał ce  typu
Cauchy'ego.  W  pewnych  klasach  ukł adów  operacje  optymizacyjne  wymagają  rozważ an ia
cał ki  z funkcji  Hfa)  jako  cał ki  Lebesgue'a.  Z  rozważ ań  n a  kilku  ukł adach [2] wynika,  że
funkcje  podcał kowe są  zł oż one i  dlatego  cał ka  jest  w  wię kszoś ci  przypadków  nierozwią-
zywalna  zwykł ymi  m etodam i. D zieląc jedn ak przedział  jednego  wł ą czenia n a etapy, m oż na
zastę pować funkcje  podcał kową przez  wielomiany.

Funkcja  efektu  technicznego F(W j).  M atem atyczne wł asnoś ci  funkcji  opisują cej  efekt
techniczny  F(W j)  zależą  od wł asnoś ci P(pj),  R(rj)  i  Z(zj).

Funkcja  wysił ku  K{W j,a^ ).  Przy  zał oż eniu  ustabilizowanych  warun ków  ekonom icz-
nych  (a; — const), funkcja  K(W j,  a;)  zależy  od  wybranych  technicznych  wielkoś ci  W j.
Każ dem u'  uporzą dkowanemu  zbiorowi  W j  jest  podporzą dkowana  okreś lona  wartość
funkcji  wysił ku.  W  pewnych  przypadkach,  przy  skokach  a

t
  funkcja  K(W j,  a

t
)  m oże  być

niecią gł a.
Funkcja  efektu  ogólnego  X(W j,  # ;).  D la  przypadku  a

t
  =   const,  funkcja  h(W j,  a

t
)  jest

dodatnią,  okreś loną,  cią głą  i  róż niczkowalną.  Tylko  w  nielicznych  przypadkach  może
wystą pić  osobliwoś ć,  dla  pewnych  pun któw przy  a

v
  ^  0.

Funkcja  efektu  wysił ku  S(W j,  a,).  Wystę puje  jako  funkcja  dodatn ia, okreś lona,  cią gła
i  róż niczkowalną.  U wagi  o  wł asnoś ciach matematycznych są  również  sł uszne wtedy,  gdy
omówione  funkcje  wystę pują  jako  funkcjonał y.

Przykł ad. P odstawowym  problem em  w  dynamice  ukł adów mechanicznych jest  optym i-
zacja  param etrów.  R ozpatrzm y  zagadnienie  wyznaczenia  wielkoś ci  optym alnych  para-
metrów ukł adu w  oparciu o charakterystyki  uogólnione [3]. P rzy zał oż eniu

(7.1)  K(
w
W j,  a, ) +   /   Ke(W j, a

t
)dr  -   const =   C

x
,

o

(7.2)  K
w
{W j,  aO+  £  J  K

ei
{W j,  ad'dz -   const =  C

2



P R OBLE M Y  OP TYM IZ AC YJN E  421

zadan ie  sprowadza  się  do  okreś lenia  wartoś ci  param etrów  masy  i  tł umienia,  przy  których
zachodzi  zwią zek

(7.3)  E( U,)  =   m ax F
d
(W j)  =   m ax [P(

Pj
)  R(

rj
)  Z(zj)]  =

t- d
  T

i  rj.

=   maxP(pj)R(rj)£  f  H
t
(W j,  r)dr  =  P(

Pj
)R(rj)  [max J  H^ W j,  r)dr+

'= 1  *j_i  0

+ max J  H
2
(W j, r)dx- \ -  ... + max  J  H

d
(W

}
, Ą dr].

T l  ri- i

P rzy
P(Pj)R(rj)  =   const  =   C 3 ,

zagadn ien ie  sprowadza  się  do  badan ia
T

(7.4)  /   =   m ax /   H{ W
}
,  r) dr

o
lub,  p o  wydzieleniu  funkcji  rozwią zują cej  okreś lają cej  rzeczywisty  przebieg  stanu  nieusta-

lonego  y
r
(W j,  r)  i  p o  wprowadzen iu  funkcji  program owej  y

p
(r),  mamy

T

(7.5)  /   =   m a xD  f  ly
p
(T )- Ay(W j,  r)]dr,

o

przy  czym

(7.6)  y
r
(W j,  r)  =   - ly

p
(r)~y

r
(W j,  r))+y

p
(r)  =   - Ay(x)+y

p
(r),

D  —  ch arakterystyka  stał a.

Z am iast  szukać  m aksim um  wyraż enia  (7.5), wystarczy,  przy  ustalonym  ^ ( T ) ,  okreś lić

param etry  przy  których
T

(7.7)  7 =   min J  Ay{W
}
, r)dr.

o
N iech  równ an ie  dla  y

r
(r)  m a  po st ać

(7.8)

przy  czym

(7.9)  -
T- >-0

(7.10)
r—*- oo

Rozwią zanie  równ an ia  (7.8)  p o  wykorzystaniu  przyję tych  warunków  począ tkowych,

kolejno  dla  a  <  1,  a  =   1 i  «  >  1,  [przy  czym  a  =   a(W j)],  m a postać

(7.11)  y
r
(r) =   e- Ą i^ -

L ]/ l- a2
(7.12)  y

r
(r)  =  L

2
- (L

2
- L

1
)(l+r)e~\

7.13)  y
r
(T )  =  G

1
e*

4  Mechanika teoretyczna



422 R.  STANISZEWSKI

gdzie

(7.14)  k
t
  =   -

(7.15)  k
2
  =   - a - f / a ^ T.

Wstawiają c  do  wyraż enia  (7.7)  kolejno  rozwią zania  (7.11),  (7.12) i  (7.13) jako  funkcje

y
r
(a)  otrzymamy  Ą a),  której  przebieg  pokazany  jest  na  rys.  2.  W  zależ noś ci  od  iloś ci

Rys. 2

pulsacji  (fj, =   1, 2,  3),  a o p t  przemieszcza  się   w  kierun ku  wię kszych  wartoś ci.  D la  fj, =  3,
minimum  funkcji  Ą a,  =  a o p t )  wynosi  1,52,  przy  czym  wartość  wielkoś ci  optymizowanej
wynosi  0,62.  Wstawiają c  wartość  a o p t  do  cał ki  (7.7)  oraz  wracają c  do  wyraż enia  (7.3),
poprzez zwią zki  (7.4) i  (7.5), otrzymamy wyraż enie  n a m ax  F{W

}
).

8. Zwią zki  pomię dzy  charakterystykami  uogólnionymi  i  klasycznymi  charakterystykami  ukł adów  mecha-
nicznych

Z arówno  efekt  techniczny, jak  i efekt  ogólny  ukł adu mechanicznego m oż na  sprowadzić
do  charakterystyk  uż ywanych  przy  opisie  ukł adów  mechanicznych. D la  przykł adu,  dla
ukł adów  jednozakresowych,  przy  a>

1
 =   0,  a>

2
 — 0,  . . . , m

v
  =  0  oraz  przy  zał oż eniu,  że

charakterystyka  gł ówna ukł adu jest  znaną   funkcją   czasu



P R OBLE M Y  OP TYM I Z AC YJN E  423

m am y

P(pj) =   1,  Rfrj) -   1,  F(W j) =   H(r)  [ Tj- Tj

przy  czym  T 2 —T X  — czas  pracy  iikł adu dla jedn ego  wł ą czenia.

Jeś li  charakterystyką   gł ówną  jest  m oc ukł adu,  wtedy  efekt  techniczny  redukuje  się   do
funkcji  okreś lają cej  pracę   u kł ad u  mechanicznego. W rozpatrywanym  przykł adzie  funkcja
efektu  ogólnego  bę dzie  okreś lona  jako  iloraz  pracy  ukł adu  dla jednego  wł ą czenia  oraz
kosztów  zwią zanych  z jego  eksploatacją .

9.  Wzglę dne  postacie  ch arakt eryst yk  uogólnionych

W  n iektórych  zagadn ien iach  optymizacyjnych  ukł adów  mechanicznych  wygodniej
jest  uż ywać  wielkoś ci  wzglę dnych  F, K,  A i  Ś . P rzypadki  takie  wystę pują   w badan iach
n ad  modyfikacją   i poprawą   charakterystyk  ukł adów  oraz w badan iach  eksploatacyjnych.
Wprowadzają c  poję cia  uogóln ion ych  charakterystyk  rzeczywistych  (rz) i  teoretycznych
(J), w  odniesieniu  do efektu  technicznego, funkcji  wysił ku,  efektu  ogólnego  i  efektu wy-
sił ku,  otrzym am y:

(9.1)  F(W   W   W  )  -
u
  W

2
, ...,

( 92)  K(W   W   W   a  a  a)  -   ^V.z)  A ^ 1 S  w2,...,  yvm,  aua2>  ...,an)  K(t

(9 3)  UW   W   W   a(9.3)  MWu W
2
,...,  W

m
,  a

u

( 9 4 )  Ś (W   W   W   a  a  g ) -

P rzy  peł nym  eksploatacyjnym  wykorzystaniu  ukł adu  mechanicznego,  a  wię c  przy
zgodnoś ci  wartoś ci  teoretyczn ych i  rzeczywistych  efektów  i funkcji  wysił ku,  m am y:

(9.5)  lim  X{W j,ad=  lim

l= v  i= d  *j

Ti  (ed^ z'KzO'j)  S  I  H
rz
{W j,addt  •  •

=   Hm  _ _  ~ 7 ^  =   l i m  p

P rzy  niepeł nym wykorzystan iu  ukł adu  mechanicznego, m am y:

(9.6)  lim  HW j, a
t
) < 1

lub

(9,7)  lim  X(W j,  a,) < 1
F(rz) < p(.t)



424  R-   STANISZEWSKI

10.  Wnioski

Wprowadzenie  charakterystyk  uogóln ion ych  i  wykorzystanie  ich ja ko  kryteriów  opty-

mizacyjnych  pozwala  n a  rozszerzenie  wpł ywu  wielkoś ci  u kł adu  n a  £ ( t / ; )  w  procesie

optymizacyjnym.  Z astosowanie  X(W j,ai)  i  S{W j,a^   lub  X[W j(Xd,  a,]  i  S[W j(Xi),  a
t
]

do  okreś lania  wartoś ci  i  funkcji  optymizowanych,  uogóln ia  zadan ia  ekstremalizacyjne

wystę pują ce  w  syntezie  i  kon struowan iu.  N ależy  przy  tym  nadm ienić,  że  wprowadzen ie

takich  charakterystyk  do  problem atyki  okreś lania  wartoś ci  optym alnych  wielkoś ci  ukł adu

w  pewnych  przypadkach  może  rozszerzyć  aparat  m atem atyczn y.  Jedn ak  wykorzystan ie

maszyn  matematycznych  do  rozwią zywania  kon kretn ych  technicznych  zadań  optymiza-

cyjnych  pozwoli  n a  zł agodzenie tej  wady.

Literatura cytowana  W tekś cie

J.  R. KU LIKOWSKI, Procesy optymalne i  adaptacyjne  w  ukł adach regulacji  automatycznej,  P WN ,  Warsza-

wa,  1965 r.

2. R. STANISZEWSKI,  W yznaczania optymalnej serii oraz  badania wpł ywu zmian  wielkoś ci na efektywnoś ć

produkowanych  silników spalinowych przy pomocy  charakterystyk uogólnionych,  Siln.  Spal.,  1/ 70.

3. R. STANISZEWSKI, Problemy ekstremalizacyjne w syntezie  i projektowaniu ukł adów dynamicznych.  M ateria-

ł y  konferencji  «D ynamika  konstrukcji»,  Ł ań cut  1968  r.

P  e 3  io  M  e

BOITPOCfcl  0I I TH M H 3AI T, H H  I I P H   C H H T E 3E  M E XAH H ^E C K H X  C H C T E M

B  paSoTe  npH Bo^H Tca  TeopHH  nocTpoemiH   o6o6m eH H tix  xapaKTepHCTHK  HcnoJiB3yeMbix B

ineM  B K aqed Be  onTHMH3ai(H0HHbix KpH TepaeB  n p n onpefleneH H H   onTHMantHMX 3HaMeHiiił   n apaiweipoB.

B  Ka^ecTBe  npefliweia  paccMOTpeHHH  npHHHTa MexamroecKasi  CHCieiwa  B oSiqeiw  CM ticne —  B  OTHomeHHH

H,  Beca  M pyKTypbi  H  n poH cxofln m ax  4>H3HiecKHX  H Bttem™,  BhiBe/ (eH H   33BH CH M OCTH   Ha  Tex-

3(Ji(|ieKT  H  4>yHKi?HH   3aTpaT.  06m H ft  actxJieKT  onpe/ i;eneH   Kan oTHOiueHHe  T exH m ecK oro 3<p-

Ku;HH  3aTpaT.  BejiH iH H a  oSpaTHaH  o6mei«y  3<J)(J)eKTy HBjmeTCfl  T H .  o6o6meHHOH   scpiJ'eK'1'1113-
HOCTIO  3aTpaT.  BblBefleilŁ I  OCHOBHbie  ypaBHCHHH   0niHMH3aą HH   H   npHBOflHTCH   06mH e  BBIBOflbl

oiHOCHTenbHO  npH Befleioioro  BHfla  o6o6meH H Ł ix  xapaKTepHCTHK.  IlpHBOflHTCH   npniwep  H Jijn ocipH py-

IOU IH H  npHiweHeHHe o6o6meH H bix  xapaKTepHCTHK  flna  onTHMH3aL(HH  napajweTpoB  B Bon pocax  OTH OCH IIIH X-

CH   K flH H aM H Ke MexaHiraecKHX  CHCTem.  IIpHBOHHTCfi  TaKHce  npH Mep  HcnojiB30BaHH$i  o6o6meH H bix xa-

paKTepnciH K  AJIH   HccJieflOBaHira  r[ejiecoo6pa3HOCTH   H3MeHeHHH  3iia^eH H fi  OTfleJiLHBix  napaiweTpoB.

S u m m a r y

OPTIM IZATION   PROBLEMS  I N  SYN TH ESIS  O F  M ECH AN ICAL  SYSTEMS

The  theories  of  construction  of  generalized  characteristics  are described  in the paper,  and their  utili-

zation as optimizing  criterions is demonstrated. The object  of investigations  is assumed  to be a mechanical

system  in a  general  sense — with  respect  to  geometric,  structural  and loading  properties  and  physical



PROBLEMY  OPTYMIZACYJNE  425

phenomena  occurring  in  the  systems.  The  relations  concerning  the technological effect  and  effort  functions
are  derived.  The  general  effect  is  defined  as  the ratio  of  the technological  effect  to  the effort  function.  The
reciprocal  of  the  general  effect  is  the  so- called  effort  effect.  The fundamental  optimization  equations  are
derived  and general  conclusions  concerning the forms  of  generalized  characteristics  are drawn.  An  example
illustrating  the  application  of  generalized  characteristics  to  the  optimization  of  parameters  in  dynamical
problems  of  mechanical  systems  is  given. Another  example  of  the application  of  generalized  characteristics
to the investigation  of  the purposefullness  of  the parameter changes  concludes the paper.

WOJSKOWA  AKAD EM IA  T E C H N I C Z N A
WARSZAWA

Praca  został a  zł oż ona  ic Redakcji  dnia  21  kwietnia  1970  r.  —  po  raz  drugi  6  maja  1970  r.