Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS70\MTS70_t8z1_4_PDF\mts70_t8z4.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

4, 8  (1970)

O  STATECZN OŚ CI  N ASYPÓW  I SKARP  W STAN IE  RÓWN OWAG I  G RAN ICZN EJ1)

.  R YSZ AR D   JE R Z Y  I  Z B  I C K  I  (WR OC Ł AW)

1. Wprowadzenie

W  pracy  rozważa  się   symetryczne,  cię ż kie  masywy  gruntowe  o  skoń czonej  wysokoś ci,
obcią ż one  n a  górnej  poziomej  powierzchni  stał ym  naprę ż eniem  normalnym  (rys.  1  i  2).
Przyję to,  że  oś rodek  znajduje  się   w  stanie równowagi  granicznej,  której  naruszenie  spowo-
duje  zsuwanie  się   oś rodka  w  dół . Z adan ie polega  n a  wyznaczeniu  stanu  naprę ż enia  wew-
n ą trz  masywu  i  okreś len iu  profilu  zbocza  wolnego  od  obcią ż eń  zewnę trznych.  W  szcze-
gólnym  przypadku,  gdy  profil  zbocza  m a  w  pun kcie O  pionową   styczną , ciś nienie wzdł uż
górnej  krawę dzi  m oż na  rozpatrywać  jako  oddział ywanie  pewnej  warstwy  oś rodka,  w  któ-
rej  wystę puje  stan  sprę ż ysty  (por. [1]).

SOKOŁOWSKI  [2] rozpatrywał   symetryczne,  cię ż kie  masywy  gruntowe,  w  których  górne
czę ś ci  ogran iczon e prostym i  lub  ł ukam i  parabol  znajdują   się   w  stanie  sprę ż ystym,  a dolne
o  nieznanym  profilu  zbocza  znajdują   się   w  stanie  granicznym.  Pole  naprę ż eń  w  czę ś ci
sprę ż ystej  dan e jest  w  postaci  prostych  wzorów  analitycznych.  W  czę ś ci  plastycznej  pole
n aprę ż eń  i  profil  brzegu  swobodn ego  znajdujemy  rozwią zując  numerycznie  odpowiednie
róż niczkowe  równ an ia  ch arakterystyk.

G ru n t  traktuje  się   ja ko  ciał o  sztywno- idealnie  plastyczne,  jedn orodn e  i  izotropowe.
Z godn ie  z  przyję tym  m odelem  grun tu  param etry  hipotezy  C oulom ba- M oh ra, ką t  tarcia
wewnę trznego  <p  i  kohezja  k  są   stał e  w  cał ym  rozpatrywanym  obszarze.  Przyję to  pł aski
stan  odkształ cenia. U kł ad  równ ań równowagi  granicznej  otrzymany  z  równ ań  równowagi
wewnę trznej  i  warun ku  plastycznoś ci  C oulom ba- M oh ra jest  typu  hiperbolicznego  (por.
n p .  [1])  i  rozwią zuje  się   go  m etodą   charakterystyk.  W  wię kszoś ci  przypadków  podan ie
ś cisł ego  rozwią zania  analitycznego  jest  jedn akże  niemoż liwe.  D latego  najczę ś ciej  trzeba
się   uciekać  do  m etod  przybliż on ych:  numerycznej  m etody  róż nic  skoń czonych  [1]  lub
m etody  graficznej  [3].  M etody  te  dają   przybliż oną   wartość  szukanej  funkcji  dla  przyję -
tych  jedn ych  wartoś ci  param etrów  wystę pują cych  w  równaniach  stanu  granicznego.

W  pracy  [4]  SP EN CER  zapropon ował   m etodę   perturbacji  po  aproksymowanych  (wyj-
ś ciowych)  charakterystykach ,  pozwalają cą   otrzym ać  przybliż one  wyraż enie  analityczne

ł )  Pracę   wykonano  podczas  stażu  naukowego  odbywanego  przez  autora  w Instytucie  Podstawowych
Problemów  Techniki  P AN   w Warszawie w roku  1968/ 69, pod  kierunkiem  doc.  dra  Z .  M roza.



428  R.  IZBICKI

dla  szukanej-  funkcji,  przy  zał oż eniu, że  ja ko  dostatecznie  m ał y  m oż na  po t rakt o wać  pa-
ram etr  ayjk,  gdzie  y  jest  cię ż arem  obję toś ciowym  oś rodka,  a  jest  liniowym  wym iarem
deformowanego  obszaru.  M etodę   perturbacji  dla  oś rodka  Treski  i  pł askiego  stan u  od-
kształ cenia stosowano  w  pracach [5, 6 i 7], a w pracy  [8] dla  stan u  osiowej  sym etrii. W  pra-
cy  [9]  metodę   perturbacji  dostosowano  do  oś rodka  typu  C oulom ba  w  stan ie  osiowej
symetrii.

W  niniejszej  pracy  zastosowano  m etodę   Spencera  do  wyznaczenia  stan u  n aprę ż en ia
w  górnych  obszarach  deformacji  skarpy  i  okreś lenia  przybliż onego  kształ tu zbocza.  .

2. Równania pł askiego stanu odkształ cenia

R ównania  równowagi  wewnę trznej  mają   postać

to  \ \
  Sa

*  i  dTsj,  .  dr
xy
  do

y

(2.1)  —5  — 5  \ - X =   U,  —5  —  \ - l  =  U,
J
  8x  3y  dx  8y

gdzie <T
x
,o

y
, x

yx
  są   skł adowymi  n a p r ę ż e n ia mi  7 są   skł adowymi  sił y cię ż koś ci  n a  jedn ostkę

obję toś ci  odpowiednio  wzdł uż  osi  ukł adu współ rzę dnych  x,  y.  P oszukiwany  stan  n aprę -
ż enia  musi  speł niać, oprócz równ ań  (2.1), warunek  plastycznoś ci  C ou lom ba- M oh ra

1  T 1  V / a

fe+^iH
1  T  1  V

(2.2)  '  y f e + ^ s i n f H - ^ f o - a ^ + T iJ  = kcos<p,

gdzie  k  jest  kohezją ,  tzn .  wytrzymał oś cią   m ateriał u n a  ś cinanie  przy  n aprę ż en iu n orm al-
nym  o  =   0,  <p jest  ką tem  tarcia  wewnę trznego.

Skł adowe granicznego  stanu naprę ż enia m oż na wyrazić  zwią zkami

(2.3)  a
x
  =  —p+qcosli],  a

y
  =  —p—qcos2rj,  r

xy
  =

gdzie

1  1  F   1  V'2

( + O  (  + ) 1
1  1  F   1

.  P  =   -   - j  ( * * + O  =   -   - j  (ff 1+ o2) ,  9  =   1- 4-   ( f f*~

tg2»? =   2T
X
,I(O

X
- O,),  0 <  7] <  n.

G raniczny  stan  naprę ż enia  reprezentowany  jest  przez  dwa  niezależ ne  param etry  p  i  y\ <

Podstawiają c  (2.3)  do  (2.1),  otrzymamy  ukł ad  równ ań  typu  hiperbolicznego,  którego

charakterystyki  a  i  /9 są   okreś lone  odpowiednio  przez  równ an ia

gdzie 0  =   - n  - -.
•   4  2



O  STATECZNOŚ CI  NASYPÓW  I  SKARP 429'

Jeż eli  d/ dsa  i  d/ dsp oznacza  róż niczkowanie  wzdł uż  oc  i  /? — linii,  wtedy  zwią zki  wzdł uż,
charakterystyk  mają   postać

dp  80
coscp- ~~+2q- ^ .  Xcos(0+(p)- Y  sin(®+(p)  =   0,

(2.6)
^ - - 2q~~+Xsin&- Ycos®  =   0.

Z  warunków  plastycznoś ci  (2.2) po  podstawieniu  (2.4) otrzymamy

(2.7)  q=  psmyA- kcosq).

3.  Schemat  zadania

N a  rys.  1  p r z e d st a wio n o  sc h em at yc zn ie  u k ł a d  o bszaró w  plastyczn ych  w  p r zyp a d ku
n a syp u  o  m a ł yc h  wym ia r a c h  k o r o n y  w  p o r ó wn a n iu  z  wysokoś cią.  Wych odzą c  z  brzegu
OA  wyzn ac zam y  st a n  n a p r ę ż e n ia  ko lejn o  w  o bsza r a c h  OAB  i  OBC,  a  n ast ę p n ie  zn ają c

const

Rys.  1

przebieg  linii  OC  okreś lamy  kształ t  brzegu  swobodnego  OD  i  stan  naprę ż enia  w  OCD-
Łatwo jest  przedł uż yć siatkę   charakterystyk  do  obszaru  ograniczonego  linią   E F G .  D alej
postę pujemy  w  sposób  podobn y  do podanego przez  BISH OPA  [10].  Przedł uż enie  siatki  cha-
rakterystyk,  ograniczonej  skrajną   linią   EFG  rozpoczynamy  od  rozwią zania  zagadnienia
mieszanego,  okreś lonego  znanym i  wielkoś ciami  wzdł uż  linii  EFG  i  warunkiem  symetrii
na  osi  HA.  Sformuł owane  zagadnienie  mieszane  okreś la  jednoznacznie  stan  naprę ż enia
w  obszarze  EFGKIH.  N astę pnie  należy  rozwią zać  zagadnienie  odwrotne  do  zagadnienia
brzegowego  C auchy'ego. Znają c  mianowicie przebieg  linii  GK  wyznaczamy  kształ t brzegu
swobodnego  GM.  Obszar  n a  zewną trz  linii  HIKM  jest  sztywny.  Przedstawiona  siatka



430 R .  IZBICKI

charakterystyk  m a  charakter  podobn y  do  ukł adu  podan ego  przez  E WI N G A  i  H I L L A  [11]
dla  rozcią ganego  prę ta z  karbam i.

W  dalszych  czę ś ciach  pracy  ograniczono  się   do  p o d an ia  przybliż onego  rozwią zania
zagadnienia  w  obszarze  OABCD.  P roblem przedł uż enia rozwią zan ia  do  linii  HIKM  może
stanowić  treść  oddzielnej  pracy.  Wydaje  się ,  że  problem  ten  m oże  być  rozwią zany  w  spo-
sób  podobn y  do  podan ego  przez  E WI N G A  W  pracy  [12].

g- const

Rys. 2

W  przypadku  nasypów  o  szerokiej  koron ie  (rys.  2)  lub  skarp,  kiedy  oś rodek  w  jedn ym
kierun ku  poziomym  rozcią ga  się   nieograniczenie,  rozwią zanie  budujemy  w  obszarze
OABCD.  Przedł uż enie  siatki  charakterystyk  jest  moż liwe  do  wykon an ia  w  sposób  po-
dobn y  do  opisanego  powyż ej,  w  przypadku,  kiedy  m ateriał   podł oża  nie  jest  sł abszy  od
materiał u  z  którego  zbudowany jest  n asyp.

4. Warunki brzegowe

D alsze  rozważ ania  ograniczamy  do  rozpatrzen ia  problem u  przedstawionego  schema-
tycznie  na  rys.  3.  Poszukujemy  kształ tu  zbocza  ograniczonego  poziom ą   pół osią   x  ^  0
i  obcią ż onego  naprę ż eniem n orm aln ym  a

y
  =  —g  =   con st wzdł uż tej  pół osi. P rofil  zbocza

x  <  0 jest  wolny  od  obcią ż eń  zewnę trznych.

Jeż eli  normalną   i  styczną   skł adową   naprę ż enia  n a  zboczu  oznaczymy  przez  a„ i  r, „ ,
a  przez  A oznaczymy  ką t  mię dzy  styczną   do  zbocza  w  dan ym  pun kcie  i  osią   x,  wtedy
m oż na  podać  nastę pują ce  wzory

(4.1)  <r
H
 =   - p+

qS
m[2(0- X)  + <p],  r

nt
  =  qcos[2(0- X)+<p].

Z  warunku  a„ =  r„
t
  =   0,  n a  zboczu  otrzymamy

(4.2) ! )  M OD'.

(4.3)

1—sinc5'

Warunek  a
y
  =   —g  i  r

xy
  —  O wzdł uż pół osi x  ^  0  prowadzi  do

_  g—/ ccosę ?  _  gsin c j+ fc c o s^

1+ sin95  '  l+ sin ę ? 0  =   — x  — T
  n a



O  STATECZNOŚ CI  NASYPÓW  I  SKARP 431

Jeż eli  pominiemy  wpł yw  sił   cię ż koś ci,  wtedy  wzory  (4.3)  bę dą   także  rozwią zaniem  rów-
n ań  stanu  granicznego  w  cał ym  obszarze  OAB.

Rys.  3

Stan  naprę ż enia  w  obszarze  OAB  jest  niezależ ny  od  współ rzę dnej  x  i  daje  się   opisać
nastę pują cymi  równ an iam i:

(4.4)
dy  dy

gdzie  y jest  cię ż arem  obję toś ciowym  oś rodka.  Po  scał kowaniu (4.4) i wyznaczeniu  stał ych
z  warunków  brzegowych  (4.3), w  obszarze  OAB  otrzymamy

P
l+sin<p

( g- yjsi n y+ fc c o sy

q=q°+sq'+e
2
q"+...,

1  5.  Równania  metody  perturbacji

Rozwią zania  równań  (2.6)  i  (2.7) poszukujemy  w  postaci  szeregów  potę gowych  wzglę -
dem param etru  e:  -   .

(5.1)

gdzie  e jest  wielkoś cią   rzę du  ay/ k  (a jest  liniowym  wymiarem  deformowanego  obszaru),
a  ukł ad  p°,  q°  i  0°  jest  rozwią zaniem  analitycznym  odpowiedniego  problemu,  kiedy
wpł yw  sił  cię ż koś ci  pomija  się   (rozwią zanie  wyjś ciowe).  Wyrazy  p',  q',  0'  i  rzę dów  wyż-
szych  są   rozwią zaniem  liniowych  równań perturbacyjnych  odpowiedniej  klasy.

Zmiennymi  niezależ nymi  są   dł ugoś ci ł uku  dwóch  krzywych

(5.2)
-

dx
dx



432  R.  IZBICKI

przyję tych  jako  ukł ad  współ rzę dnych,  które  są także  a° i  /S° —  charakterystyką  rozwią-
zania  wyjś ciowego.  Jeż eli  d/ ds° i  d/ dsj  oznacza róż niczkowanie  wzdł uż  wyjś ciowych  a*
i  yS° —  linii, to

C O S p _ £ —O O B f o - '̂

(5. 3)

A+ cos^+ ^^- A.

P o  podstawieniu  (5.1)  do  (2.6) i  (2.7) i mając  na  uwadze  (5.3), otrzymamy  te  zwią zki
w  postaci  szeregów  potę gowych  wzglę dem  e. Przyrównując  do  zera  wyrazy  niezależ ne
od  e,  otrzymamy  równania  zerowej  perturbacji

(54)
q° =

Rozwią zanie  (5.4) z (5.2) prowadzi  do  wartoś ci  wyjś ciowych.
Przyrównując  do  zera  wyrazy  rzę du  e, otrzymamy  równ an ia  pierwszej  perturbacji

_

W  rozwią zaniu  ograniczonym  do  pierwszej  perturbacji,  równ an ie  profilu  zbocza  we
współ rzę dnych  fj,  £  (rys.  3)  ma  postać

(5- 6)  | = ^ ' ,

a  z (4.2),  (4.3),  (4.5) i  (5.1), jako  warunki  brzegowe  dla  zerowej  i  pierwszej  perturbacji
otrzymamy

6.  Rozwią zanie równań  perturbacyjnych

6.1.  Rozwią zanie  wyjś ciowe.  U kł ad  charakterystyk  rozwią zania  wyjś ciowego  przedsta-
wiają  linie przerywane  n a rys.  3. Zerowe pole naprę ż eń  okreś lają  form uł y:
w  OAB

gsm<p+kcos(p
  =

  _n___<p_.
*  l + i  '  4  2'



O  STATECZNOŚ CI NASYPÓW  I  SKARP  4 3 3

w  obszarze  OBC

( 6 2 )

0°  =   0- y,

o b sz a r z e  OCD

( 6. 3)  Po  =  «°=  1 *
C °. B y  ,  <P° =   /?-

K  1—sin cp

gdzie  g,  0 jest  ukł adem  współ rzę dn ych  biegunowych  ze  ś rodkiem  w  punkcie  O,  a  ką t  /?
okreś lony  jest  wzorem

P rofil  zbocza  stan owi  p ro st a  OD  n achylon a  do  osi  x  p o d  ką tem  (- -  + / ?) .

Cią głe  pole  n aprę ż eń  powin n o  speł niać  warun ek  /S ^  0,  wtedy  z  (6.4)  otrzymamy,
że  obcią ż enie  zewn ę trzne  g  m usi  speł niać  nierówność

(6.5)
•

nakł adają cą   zn an e  ograniczenie  n a  rozwią zanie  zagadnienia  równowagi  granicznej  [1],
Z an otujm y  jeszcze,  że  w  obszarze  OBC  charakterystyki  /3°  są   spiralami  logarytmicznymi;
równ an ie  linii  >ST m a  po st ać

(6- 6)

gdzie  OS  =  Q
0
  oraz  Q

0
  =   ^ e xp G S t gy) ,  Qj.  =   OT .

6.2.  Rozwią zanie  równań  pierwszej  perturbacji.  W  obszarze  O CD'  zmiennymi  niezależ ny-
m i  jest  ukł ad  współ rzę dn ych  s°,  5$  oparty  n a  charakterystykach  wyjś ciowych  z  osiami
skierowanym i  zgodn ie  z  kierun kam i  a°  i  /?° —  linii.  M am y  nastę pują ce  zwią zki  mię dzy
ukł adam i  współ rzę dnych

(6 7)  j°  -   -  J 1  L *

W  obszarze  OBC  zm iennym i  niezależ nymi  jest  ukł ad  współ rzę dnych biegunowych  g,  6.

Wtedy  m am y

(6.8)  4o=- ir>  i n r  =   C 0S(?> - 4r  w  0BC-
ds°  3Q  dsjj  Qd6



434 R.  IZBICKI

R ówn an ia  pierwszej  perturbacji  (5.5),  dla  poszczególnych  obszarów  są   n astę pują ce:
wOBC

(6.9)

cos(
P
- lf- +2q

0
—+- q°&'- e-

1
ycos(d+

?
)  = 0,

80'
-   0;

w  obszarze  OCD'

(6.10)

Ą  , ,-o  80'

sin0
—

l-Z + ?r - 0 .

gdzie  ^°  dane  są   odpowiednio  przez  wzory  (6.2) 2 i  ( 6.3) t .
P o  scalkowaniu  kolejno  równ ań  (6.9) 2  i  (6.9)i  i  p o  wyznaczeniu  nieznanych  funkcji

cał kowania  z  warunków  (5.7), w  obszarze  OBC  otrzym am y

3t g95sin 0+ co s0  co ś ( 0+ c?)l
1 + 8 sin 2 cp  3 cos 9?

s | - 4 + l

n l4r- j
71 n  9?

J~~2

(6.11)
1 + 8 sin 2 93

3tg(/ 3sin(5+ cos6)

1 + 8 sin 2 99  cos cp

In
C O S I T +

COS  (p

W  obszarze  OCD'  po  scalkowaniu  (6.10), mamy

(6.12)

stą d,  wobec/ )'  =   0,  dla  s°  =   — sfi  otrzymujemy

(6.13)



O  STATECZNOŚ CI  NASYPÓW  I  SKARP 435

oraz

(6- 14)

sin ̂ - 1  + |

F unkcję   G  wyznaczamy  z waru n ku  cią gł oś ci p°+sp'  i  0 ° + e $ '  na  linii  OC,  której  równa-
nie  rzę du  e m a  postać

(6.15) =  60',

gdzie  O'  jest  okreś lone  przez  (6.11) 2.  Biorą c  pod  uwagę ,  że  6  =   P+- r~^ -  dla  @i  =   0,

z  (6.15)  otrzym am y

(6.10
4 2 l+ 8sin 2 c ?

"»(? + *
c o s 95

n

l + 8 si n 2 c )

N a  linii  OC,  w  klasie  s,  m am y  także  s°  —  Q
V
  Wykorzystują c  teraz  (6.2),  (6.3),  (6.11),

(6.14)  i  (6.16), z  warun ku  cią gł oś ci p  i  0  n a  OC  znajdujemy

(6.17) G ( s °) = -

s i n ( ( 9 - J«  c o s9 5
a[/ 3+f - f  +cos  lfi+»-

c os 95 c o s 95

3t g?> sm ( T —|



436 R .  IZBICKI

Wobec  (6.17), w  obszarze  OC'D'  ostatecznie  otrzymujemy

/»+£ ~ f +008 U+J  -

+ •
c o s 93

( TT 0 54+f
c o s 93

3 tg psin I T — |   +cos U - ^

(6.18)

C0SC3

Xexp(3/ ?tgc>)

n n  tp\   In
^r- ^)+c os(T- -|

coscj
X

gdzie g° = fccos 95/ (1—si
Wzór  n a 0'  dla  pun któw  poł oż onych  na  zboczu  OD'  m oż na  otrzym ać  cał kując  bez-

poś rednio  równania  (6.9)2  i  (6.10)2  wzdł uż  wyjś ciowej  lin ii  ST U.  M ianowicie,  p o  scał -
kowaniu  otrzymamy

(6.19)

ofaz

c o s 93



O  STATECZNOŚ CI  NASYPÓW  I SKARP 437

E lim in ują c  z.(6.19) i  (6.20) wyraż en ie  [p'
T
  ^ 0'

T
  I i wykorzystują c brzegowe wartoś ci

(5.7) n a p'  i  0',  dla zbocza otrzym am y

(o  n  ą
3tg99sin  | 8 + - j —-i

(6.21)

l+ 8sin 2c>

COS  C>

cos

COSC>

3 tg ę  sin

1+ 8 sin 2 C

7. Przybliż ony wzór na kształ t zbocza

W  rozwią zan iu  ogran iczon ym  d o pierwszej perturbacji,  n a zboczu  OD' mamy  s°  =   — sj?
oraz  ?7 =   0.  P o  podst awien iu  (6.18) 2  lub  (6.21)  do  (5.6)  i  p o  scał kowaniu  otrzymamy
n astę pują cy  wzór  n a  kszt ał t  zbocza

(7.1)

gdzie

1—sin <p

~

3 tg cp sin

(7.2)

cos 95

3 t g 9 P s m | T -   Z - l + c o s U-

cos

C O S  C5

O  charakterze  funkcji  N (<p,  /9)  informuje  rys.  4,  n a  którym  przedstawiono  wykresy
zależ noś ci N   od  /? dla  <p  =   0°,  5°,  10°,  20°.  M oż na stwierdzić, że przy  wzroś cie  obcią ż enia
zewnę trznego  g  (ką t  p  maleje)  wpł yw  cię ż aru  wł asnego  oś rodka  n a  kształ t zbocza  maleje.

D la  —f}^ - —  — 93(95 «$ 20°),  N  =  0  i  profil  zbocza  stanowi prosta  nachylona do osi x pod

ką tem  równym  w  przybliż eniu  ką towi  tarcia  wewnę trznego  <p.  Kształ t  zbocza  jest  wię c
w  tym  przypadku  taki  sam,  jak  w  rozwią zaniu  wyjś ciowym,  kiedy  pomija  się   wpł yw  sił
cię ż koś ci.  .

5  M ech an ika teoretyczn a



438 R .  IZBICKI

- 10  - 20   - 3 0

Rys.  4

x*/ k  - 6,0 - 1 ,0

- - 2 ,0

- 4,0

Rys.  5

W  przypadku,  gdy  ką t  /? =   0, tzn . gdy  profil  zbocza  m a  w  pun kcie  O  pion ową   styczną ,
obcią ż enie  zewnę trzne  g  jest  wtedy  równ e  wartoś ci  2ł c o s 99/ (1—siny)  i  m oż na  rozpatry-
wać je jako  oddział ywanie warstwy  oś rodka  o wysokoś ci  H  —  2fccos  <p/ y(l—sin cp),  w  któ-



O  STATECZNOŚ CI  NASYPÓW  I  SKARP  4 3 9

rej  wystę puje  stan  sprę ż ysty  (por.  [1]). Z  (7.1) otrzymamy  nastę pują cy  wzór  n a kształ t
zbocza

(7.3)  n = ~Y^ n  v

N a  rys.  5, w ukł adzie osi zmiennych bezwymiarowych  x'  =   - —- i y'  =  - ~,  wykreś lono

kształ t zbocza  dla  cp =   20° i 30°  oraz 0 =   0, a także dla przypadku  cp  =   30° i /? =   - 40°41';
linie  przerywane  odpowiadają   rozwią zaniu  perturbacyjnemu,  linie  cią głe  rozwią zaniom
numerycznym  podan ym  w  pracach  [1] i  [13].  D okł adn ość otrzymanego  rozwią zania  per-
turbacyjnego  (7.1) maleje  ze  wzrostem  wysokoś ci  zbocza  oraz  wartoś ci  ką ta  tarcia  <p,
roś nie ze wzrostem  obcią ż enia  g.

8. Wnioski

P orównanie wyników  rozwią zania  perturbacyjnego  i numerycznego pozwala  stwierdzić,
że  wyprowadzony  wzór  na kształ t zbocza  może być zastosowany  w inż ynierskich  oblicze-
niach  statecznoś ci  skarp.

P odan a  przez  SPEN CERA  m etoda  perturbacji  powinna  znaleźć  szersze  zastosowanie
przy  obliczaniu  zadań  noś noś ci  granicznej.  Pozwala  ona  w sposób  stosunkowo  nieskom-
plikowany  matematycznie znaleźć przybliż one  rozwią zanie  w postaci  wzoru  analitycznego,
a  uzyskiwana  dokł adn ość rozwią zania  jest  wystarczają ca  z inż ynierskiego  punktu widze-
nia  (por.  [4, 5, 6,  7]).

P racę   należy  traktować  jako  etap  wstę pny  na drodze  uzyskania  kompletnych  rozwią -
zań  masywów  gruntowych  w  stanie  równowagi  granicznej.

Literatura  cytowana  W tekś cie

1.  W. W.  SOKOŁOWSKI,  Statyka  oś rodków sypkich (przekł .  z  ros.),  PWN ,  Warszawa 1958.
2.  B. B.  COKOJIOBCKHH,  HeKomopbie  (jiopMU paenonopOHHUX  MaccuBoe,  MexaHHira  TBepfloro  TeJia, N°  2

(1968),  44- 51.
3.  G . de JOSSELIN   de  JON G , Statics  and kinematics in the failable zone of  a granular material,  Delft 1959.
4.  A. J. M .  SPEN CER,  Perturbation methods in plasticity- Ill'. Plane strain of  ideal soil  and plastic solids

with body forces, J.  Mech.  Phys.  Sol., 10 (1962), 165- 178.
5.  A. J. M . SPEN CER,  Perturbation methods in plasticity- L Plane strain of  non- homogeneous plastic  solids,

J.  Mech.  Phys.  Sol.,  9  (1961), 279- 288.
6.  A. J. M.  SPENCER, Perturbation methods  in plasticity'- 27. Plane strain of slightly irregular bodies, J. Mech.

Phys. Sol., 10 (1962),  17- 27.
7.  E. A.  MARSH ALL,  Rolling  contact  with plastic  deformation.  J.  Mech.  Phys.  Sol., 16  (1968),  243- 254.
8.  A. J. M .  SPENCER,  T he approximate solution of  certain  problems of  axially- symmetric plastic flow,  J.

Mech.  Phys. Sol., 12 (1964), 231- 244.
9.  R. J. IZBICKI, Zastosowanie metody perturbacji do  analizy plastycznego pł ynię cia oś rodka typu  Coulomba

w stanie osiowej symetrii,  Rozpr.  Inż yn.,  18 (1970),
10.  J. W. F . BISH OP, On the complete solution  to problems of deformation of  a plastic- rigid material, J. Mech.

Phys.  Sol.,  2 (1953), 43- 53.



440  R.  I Z BI C KI

U .  D . J. F .  E WI N G ,  R .  H I L L ,  T he plastic  constraint  of  V- notched  tension  bars,  J.  M ech.  P hys.  Sol.,  15

(1967), 115- 124.

12,  D . J. F . E WI N G ,  A  series- method for  constructing plastic  slipline fields,  J.  M ech.  P hys. Sol., 15  (1967),

105- 114.

13.  A.  H .  F O B H ^ H H O B ,  C . B.  OAJI BKOBH W)  ycmouHueocnib  omuocoe npu  npede/ imoM cocmomiuu  paenoee-

CUH,  H H weH epH biśł   cSopHHKj  14  ( 1953),  3- 30.

P  e  3  K>  M e

OB  yC T O E raH BO C T H   H AC Ł in E fł   H   OTKOCOB  B C O C T O SH H H

PABHOBECELSI
«

B  paSoTe  paccmaTpHBaioTCH   CHMiweTpirqHbie  MaccHBHbie  rpyt rro Bbie  coopyweH H H   Harpy>i<eHHbie Ha

BepXHeH   ropH3OHTaJILHOH   nOBepXHOCTH   nOCTOHHHblM   HOpMaJIbHbIM   HanpHWeHHeM.  IIpHHHMaeTCHj  "tT O

cpe^a  iiaxoflH Tca  B  COCTOHHHH   n peflejitH oro  paBHOBecHH.

3afla^a  06 onpeflejieHHH   nanpa>KeH H oro COCTOHHHH  BHyTpH  coopyweH H a  H  $opM bi  ci<aTa  CBoSoflH oro

OT  BiieuiHHx  HanpH>i<eHHH  peineH a  flua  BepxHHX  o6nacTeft  Ae4>°PMauHH   coopyH <eiraH   c noiwomH O  n pefl-

JioweH H oro  A.  M .  CnEHCEPOiw  MeTOfla  BO3iwymeHHH.

H a  ocHOBe  cpaBiieHHH   peineH Era  n on yqeH H oro  c  noM ombio  MeTOfla  BO3MymeHHH   c  ^HCJieHHbiM  p e -

yraaHOBJieHO,  ^ T O  BbiBefleHHan  npHÓ^HHteHHaa (J)opiwyira  Ha  (bopiwy  CKaTa  MoweT  npHMeHHTCH

HHJKeHepirwx  pacciexoB  ycToft̂ HBOCTH   OTKOCOB.

S u m m a r y

ON   TH E  STABILITY  OF   TH E EM BAN KM EN TS AN D   SLOPES  I N   TH E  STATE  O F  LIM IT

EQU ILIBRIU M

A  symmetric heavy  soil  mass  loaded  on its  upper horizontal surface  by  a  uniform  normal load  (F igs.  1

and  2) is  considered  in the paper. The medium is assumed  to be in the state  of  limit  equilibrium.

The  problem  of  determination  of  the  stress  state  within  the  mass  and  of  the  shape  of  the  stress- free

slope  was  solved  for  the  upper  region  of  the  mass  with  the  aid  of  the  perturbation  method proposed  by

SPENCER  [4].

Comparison of  the presented  solution  and the numerical solution yields the conclusion that the  derived

approximate  formula  for  the  form  of  the  slope  can  be  used  in  engineering  calculations  concerning  the

stability  of  slopes.

IN STYTU T  G EOTEC H N I KI
P OLI TE C H N I KI  WROCŁAWSKIEJ

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  16 stycznia  1970 r.