Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS70\MTS70_t8z1_4_PDF\mts70_t8z4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  8  (1970) Z ASTOSOWAN IE  M OD E LOWYC H   M ATERIAŁÓW  CZU ŁYCH  OP TYC Z N IE D O  AN ALIZY  STAN U   N AP RĘ Ż EN IA  W  OŚ ROD KACH   SYP KICH AN D RZEJ  D R E S C H E R  (WARSZAWA) 1. Wstę p Wzrastają ce  w  ostatn ich  latach  zainteresowanie  mechaniką   oś rodków  sypkich  spowo- dowan e  jest  n iedostateczn ym  pozn an iem  ich  cech  mechanicznych  przy  równoczesnej potrzebie  dokł adniejszego  projektowan ia  konstrukcji  magazynują cych,  transportują cych i  urabiają cych  te  m ateriał y,  ja k  i  projektowan ia  konstrukcji  z  nich wykonanych.  P od po- ję ciem  oś rodków  sypkich 1)  bę dziemy  rozum ieć wszystkie  materiał y, które  w  odróż nieniu od  oś rodków  cią gł ych  charakteryzują   się ,  rozum ian ym  m akroskopowo,  niecią gł ym  roz- ł oż eniem  masy.  N ieistotn e jest  przy  tym ,  czy  pomię dzy  poszczególnymi  ziarnam i  oś rodka wystę pują   lub  n ie,  w  stan ie  nieobcią ż onym,  wzajemne  oddział ywania  zarówno  bezpoś red- nie, ja k  i  przy  udziale  oś rodka  wypeł niają cego  wolne  przestrzenie —  pory.  W  tym  uję ciu oś rodkami  sypkimi  bę dą   zarówn o  grunty  piaszczyste, ja k  i gliniaste,  ziarn o,  sproszkowane rudy,  cukier  czy  stosowan e  w  róż n ych  technologiach  proszki. P om im o  zn aczn ego  rozwoju  prac  teoretycznych  i  doś wiadczalnych  poprawny  opis czy  też  ś cisłe  przewidywanie  zachowan ia  się   tych  m ateriał ów nie  został y  dotychczas  sfor- m uł owan e.  Spoś ród  zapropon owan ych  koncepcji  opisu  dają   się   wyróż nić  dwie  grupy. W  pierwszej  przyjmuje  się   zał oż enie, że  do  ciał   tych  m oż na  zastosować  podejś cie  kon- tyn ualn e.  U zyskan e  rezultaty  mają   wię c  ch arakter  fenomenologiczny.  W  drugiej  rozpo- czyna  się   od  analizy  wzajemnych  oddział ywań  poszczególnych  elementów  (ziaren)  oś rod- ka.  Jest  t o  podejś cie  dyskretn e.  N iezadowalają ce  rezultaty  obu  koncepcji  wynikają   czę ś- ciowo  z  niedostatecznej  iloś ci  dan ych  doś wiadczalnych  informują cych  o  wzajemnej  za- leż noś ci  pom ię dzy  wielkoś ciami  dynamicznymi  ( n p.  naprę ż eniam i,  sił ami)  i  kinematycz- nymi  (n p.  odkształ cen iam i,  przemieszczeniami).  Wię kszość  doś wiadczeń,  podobn ie  jak dla  oś rodków  cią gł ych,  daje  informacje  jedynie  o  stanie  deformacji  ciał a.  W  przypadku podejś cia  kon tyn ualn ego  n aprę ż en ia  okreś lane  są   zazwyczaj  z  przesł anek logicznych,  jak to  m a  miejsce  w  badan iach  n a  pró bkach  walcowych  czy  rurkowych,  lub  też  obliczane  n a podstawie  zał oż eń  o  wł asnoś ciach  ciał a,  n p .  rozwią zania  teorii  sprę ż ystoś ci  dla  skupio- nych  lub  cią gł ych  obcią ż eń  zewnę trznych, czy  też  rozwią zania  teorii plastycznoś ci  dla pł a- skiego  stan u odkształ cen ia. 2) Termin ten  uż ywany  jest  powszechnie  w  polskiej  literaturze, choć bardziej  uzasadniony  wydawał by się   «oś rodki  rozdrobnione». 462  A.  D R E SC H E R Trudnoś ci  eksperymentalnego  okreś lania  stan u  n aprę ż en ia  w  przypadku  oś rodków cią gł ych  został y  czę ś ciowo  pokon an e  przez  zastosowanie  modelowych  m ateriał ów  op- tycznie  czuł ych  (fotosprę ż ystoś ć,  fotoplastycznoś ć ).  W  odniesieniu  do  oś rodków  sypkich podstawową   metodą   doś wiadczalnego  wyznaczania  stan u  n aprę ż en ia  jest  zastosowanie specjalnie  skonstruowanych  elementów  pom iarowych  —  dyn am om etrów —um ieszczo- nych  w  pewnych  pun ktach  oś rodka.  M etoda ta,  dają c  zdan iem  wielu  autorów  zadowala- ją ce  wyniki,  budzi jedn akże  szereg  zastrzeż eń  z  uwagi  n a  wprowadzon e  zaburzenie  w  ba- dan ym  oś rodku  przez  element pom iarowy, jak  i jedyn ie  lokaln e  lub  czę ś ciowe  informacje. P om im o  postę pują cej  miniaturyzacji  czujników  i  p ró b  pom iaru  wszystkich  skł adowych stan u  naprę ż enia,  jej  stosowalność  do  oś rodków  o  mał ych  ziarn ach  lub  silnych  wew- nę trznych  wią zaniach  wydaje  się   ograniczona.  Klasyfikację ,  zasady  dział ania i  opis  czuj- n ików  dynamometrycznych m oż na znaleźć n p. w  pracy  [14].  W  pewnych  badan iach  zastę - puje  się   czasem  rzeczywisty  oś rodek  sypki  m odelem  oś rodka  cią gł ego  wykon an ym  z  m a- teriał u  optycznie  czuł ego.  Stosowane jest  to  n p . przy  analizie  współ pracy  zapór  wodnych 2  podł oż em [9]. M etoda t a  nie może jedn akże  mieć zastosowan ia  w  analizie  rzeczywistych wł asnoś ci  materiał ów  sypkich. N a  podstawie  powyż szych  rozważ ań  wydaje  się   być  celowe  zwrócenie  uwagi  n a  inną moż liwość  wyznaczania  wielkoś ci  dynamicznych  w  oś rodkach  sypkich,  opartą   n a  zasto- sowaniu  optycznie  czuł ych  modelowych  m ateriał ów  sypkich.  Opracowan ie  niniejsze  m a n a  celu  przedstawienie  dotychczas  zapropon owan ych  optycznie  czuł ych  m ateriał ów m o- delowych  i  uzyskanych  wyników  oraz  pewne  uwagi  o  dalszych  moż liwoś ciach  rozwoju tej  metody. Idea  zastosowania  modelowych  m ateriał ów optycznie  czuł ych do  analizy  wielkoś ci  dy- namicznych  w  oś rodkach  sypkich  należy  do  D AN T U   [2]  i  niezależ nie  do  WAKABAYASH I {17].  W  swej  pierwszej  pracy  [2]  D AN T U   zapropon ował   uż ycie  dwóch  róż n ych  modeli oś rodka:  a)  oś rodka  utworzonego  ze  szklanych  wał eczków  lub  krą ż ków,  b) potł uczon ego szkł a  (piasku  szklanego).  WAKABAYASHI  zajmował   się   gł ównie  m odelem  z  piasku  szkla- nego.  P omimo  wykorzystania  tego  samego  zjawiska  fizycznego  —  dwójł om ność  wymu- szon a  n a  skutek  dział ania  obcią ż eń  zewnę trznych —  i  identycznej  w  przypadku  szkł a wielkoś ci  tego  efektu,  zarówno  wł asnoś ci  mechaniczne, ja k  i  uzyskiwane  informacje  róż- nią   zasadniczo  oba  te  modele.  Wynikają   one  przede  wszystkim  z  róż n ic  w  kształ tach i  wielkoś ciach  ziaren.  Róż nice te pogł ę biły się  jeszcze  w  trakcie  rozwoju  bad ań  n a  m odelu utworzonym  z  wał eczków.  Z  tego  też  wzglę du  oba  m odele  zostan ą   om ówion e  osobn o, choć wielu  autorów  analizował o je  wspólnie. 2.  M odel utworzon y  z  wał eczków  lub  krą ż ków M odel  oś rodka  sypkiego  w  postaci  stosu  wał eczków  lub  krą ż ków  wykon an ych  z  me- t alu  lub  szkł a  znalazł   szerokie  zastosowanie  w  badan iach  doś wiadczalnych  n ad  statecz- noś cią   i  noś noś cią   podł oża  gruntowego.  M odel  ten  w  literaturze  m echan iki  gruntów nosi  nazwę   modelu  Taylora- Schneebeli.  Z asadniczą   jego  cechą   jest  dwuwymiarowość moż liwego  ruchu  elementów.  Wał eczki  lub  krą ż ki  uł oż one  jeden  n a  drugim ,  w  jednej pł aszczyź nie  zawierają cej  przekroje  poprzeczne,  mogą   ulegać  deformacji  jedyn ie  w  tej pł aszczyź nie.  M odel  ten  stanowi  zatem  idealne  odwzorowanie  pł askiego  stan u  odkształ - Z ASTOSOWAN I E  M OD E LOWYC H   M ATERIAŁÓW 463 cenią .  Cecha  t a  jest  tym. istotn a,  że  wię kszość  efektywnie  rozwią zanych  zagadnień  noś- noś ci  granicznej  oś rodka  sypkiego,  opartych  o  równ an ia  teorii  piastycznoś ci,  dotyczy wł aś nie przypadku  pł askiego  stan u  odkształ cenia. U ż ycie  rzeczywistego  oś rodka  sypkiego, n p.  piasku,, umieszczonego  w  pł askim  szklanym  pojemniku,  wprowadza  pewne  bł ę dy w  obserwowanej  kin em atyce  ruchu spowodowane  tarciem pomię dzy  piaskiem  a czoł owymi szklanymi  pł ytam i.  Wadą   m odelu  w  postaci  stosu  wał eczków  jest  idealizacja  kształ tu ziaren  i  wynikają ca  z  niej  struktura  oś rodka.  Stosowane  kształ ty,  najczę ś ciej  koł owe  lub sześ cioką tne,  odbiegają   dość  znacznie  od  rzeczywistych  kształ tów  n p.  ziaren  piasku. Wymiary  wał eczków  są   także  znacznie  wię ksze  od  wymiarów  drobnoziarnistych materia- ł ów  sypkich.  Z astrzeż en ia  te  nie  dyskwalifikują   jedn akże  stosowalnoś ci  tego  typu  modeli, czego  dowodem jest  szereg  otrzym an ych  interesują cych  wyników. M odel  Taylora- Schn eebeli  stosuje  się   do  obserwacji  kinematyki  oś rodka  sypkiego w  strefach  plastycznego  pł ynię cia.  Bezpoś rednie  okreś lenie  stan u  naprę ż enia  jest  nie- moż liwe.  Obserwowan a  kin em atyka  może  być  porówn an a  z  rozwią zaniami  teoretyczny- mi  pola  n aprę ż eń lub  stanowić  podstawę   do jego  teoretycznego  wyznaczenia. D AN T U ,  W  cytowanej  pracy  [2],  zapropon ował   obserwację   modelu  utworzonego  ze szklanych  wał eczków  w  ś wietle  koł owo  spolaryzowanym.  Ź ródło  ś wiatła  znajduje  się poza  modelem,  ską d  prom ien ie  ś wiatła  spolaryzowane  koł owo  przez  analizator  i  ć wierć- falówkę   przechodzą   przez  wał eczki  prostopadle  do  ich  koł owych  pł aszczyzn  czoł owych p Rys. 1 (rys.  1).  W  przypadku  obcią ż enia  stosu  sił ami  zewnę trznymi  w  kontaktują cych  się   ze sobą   wał eczkach powstają   n aprę ż en ia  (odkształ cenia) wywoł ują ce  zjawisko  dwójł omnoś ci wymuszonej.  P o  przejś ciu  ś wiatła  przez  drugą   ć wierć falówkę   i  polaryzator  obserwuje  się , n a  skutek  interferencji  prom ien ia  zwyczajnego  i  nadzwyczajnego,  róż ną   intensywność ś wiatła  w  pewnych  obszarach  poszczególnych  wał eczków.  W  przypadku  m onochrom a- tycznego  ź ródła  ś wiatła  róż na  intensywność  zaznacza  się   jako  rozjaś nienie  (ciemnego) lub  zaciemnienie  (jasnego)  obrazu.  Biał e  ź ródło  ś wiatła  powoduje  powstanie  obrazu barwnego  zł oż onego  z  barw  dopeł niają cych  do  wygaszonych  przez  polaryzator.  Wielkość tego  efektu  zależ na  jest  od  czuł oś ci  optycznej  m ateriał u,  wartoś ci  przył oż onego  obcią ż e- n ia  i  dł ugoś ci wał eczków. Schemat  doś wiadczenia  wykonanego  przez  D AN T U   przedstawiono  n a  rys.  2a.  Schemat ten  odpowiada  w  przybliż eniu  zagadnieniu  wciskania  sztywnego  stempla  w pół przestrzeń sprę ż ystą. Przylegają ce  do  stem pla dwie pł ytki uniemoż liwiają ce  plastyczny  wpł yw materia- 464 A.  D R E SC H E R hi  został y  uż yte  celem  wywoł ania  znacznych  nacisków  pom ię dzy  wał eczkam i.  U ż yty przez  D AN T U   m ateriał   wał eczków,  których  ś rednice  wahał y  się   od  2  do  6  m m ,  a  dł ugość wynosił a  20  mm,  stanowił o  szkł o  P YR E X1)-   N a  rys.  2  zazn aczon o  schematycznie  uzys- Rys. 2 kany  obraz  w  ś wietle  m onochrom atycznym ,  przy  ustawieniu  elementów  ukł adu  optycz- nego  dają cych  ciemne pole  w  stanie  nieobcią ż onym  i  rozproszon ym  ź ródle  ś wiatł a.  O braz ten  skł ada  się   z  ł ań cuchów rozś wietlonych  wał eczków  ukł adają cych  się   podobn ie  do  sys- temu  «korzeni»  (na  rys.  2  rozś wietlone  wał eczki  zaciem n ion o).  Z arówn o  niewielka  ś red- nica  wał eczków,  jak  i  niewielka  czuł ość  optyczna  uż ytego  m ateriał u  (K=  156  Kg/ cm rz.  iz.)  nie  pozwalają   n a  wyróż nienie  w  poszczególnych  wał eczkach  obszarów  o  róż nej intensywnoś ci  ś wiatł a.  W  efekcie  zarejestrowany  obraz  daje  jedyn ie  jakoś ciową   informację o  rozmieszczeniu  przenoszą cych  obcią ż enia  elementów  m odelu.  Obrazy  jasn e  n a  rysun ku odpowiadają   wał eczkom  sł abo  lub  w  ogóle  nieobcią ż onym. Rys. 3 D rugi  ze  schematów  obcią ż enia  stosu  wał eczków  był   podobn y  do  warun ków  panują - cych  w  aparacie  bezpoś redniego  ś cinania  (rys.  2b). *) PYREX  jest  angielską   marką   szkł a  laboratoryjnego,  charakteryzują cego  się  dużą   jednorodnoś cią wł asnoś ci  fizycznych,  a zwł aszcza  współ czynnika  rozszerzalnoś ci  termicznej. Z ASTOSOWAN I E  M OD ELOWYCH   M ATERIAŁÓW  465 W  nastę pnej  pracy  [3]  D AN T U   zastosował   pł aski  model  oś rodka  do  zobrazowania rozkł adu  oddział ywań  wał eczków  umieszczonych  pomię dzy  dwiema  wysokimi  pionowymi ś cianam i, zam kn ię tymi  od  doł u,  podczas  cyklicznych  zm ian  obcią ż enia  pionowego  (rys. 3). Z aobserwował   on ,  że  ze  wzrostem  obcią ż enia  pionowego  wzrasta  rozjaś nienie  ł ań cuchów, przy  czym  ich  geom etryczn a  st ru kt u ra  n ie  ulega  zm ianom .  G ę stość  ł ań cuchów  maleje wraz  z  oddalan iem  się   od  górnej,  obcią ż onej  pł aszczyzny  stosu.  Przy  odcią ż eniu  struktura ł ań cuchów  nieznacznie  zm ienia  się   dą ż ąc  do  bardziej  jedn orodn ej. P raca  [2]  wskazał a  n a  m oż liwość  zaobserwowania  sposobu  przekazywania  zewnę trz- nych  obcią ż eń  w  m odelowym  oś rodku  sypkim  przy  mał ych  deformacjach,  ograniczonych zastosowanym i  sch em atam i  obcią ż eń.  U zyskan e  rezultaty,  aczkolwiek  mają ce  charakter jakoś ciowy,  stał y  się   bodź cem  do  dalszych  prac. Tem atykę   tę   podją ł   de  JOSSELIN   de  JO N G   [6]. Z astosował   on  inny  optycznie  czuł y  ma- t e r i a ł — perspex  (polim etakrylan  metylu),  z  którego  wycię to  pł askie  krą ż ki.  Wię ksza czuł ość  optyczn a  perspexu  (K  =   120  Kg/ cm  rz.  iz.)  i wię ksze  ś rednice  w  stosunku  do  wa- ł eczków  uż ytych  przez  D AN T U   pozwolił y  zaobserwować  w  poszczególnych  krą ż kach, poddan ych  ś ciskaniu  w  prostoką tn ym  pudeł ku, kształ ty  obszarów  o  róż nej  intensywnoś ci przechodzą cego  ś wiatł a.  Schematycznie  przedstawia  je  rys.  4.  Obrazy  ciemne  przylegają Rys.  4 d o  miejsc  wzajemnego  ko n t akt u  krą ż ków  (ukł ad  optyczny  dawał   jasn e  pole  w  stanie nieobcią ż onym ).  D e  JOSSELIN   de  J O N G   podją ł   także  próbę   iloś ciowego  okreś lenia  stanu n aprę ż en ia  w  krą ż kach  wykorzystują c  do  tego  celu  kom pen sator  w  postaci  prostoką tnej belki  poddan ej  czystemu  zgin an iu,  umieszczony  przed  badan ym  modelem.  Zaobserwował przesunię cie  poziom ych  izoch rom  w  kom pen satorze, jedn akże  nie  przytoczył   konkretnych wyników  liczbowych.  Rozważ ył   też  moż liwość  okreś lenia  sił y  kon taktu  dwóch  krą ż ków przez  pom iar  intensywnoś ci  ś wiatła  wewną trz  koł owego  wycinka  o  ś rodku  w  punkcie kon t akt u .  N ie  uzyskał   jedn akże  zadowalają cych  rezultatów. I stotn y  krok  n aprzód  w  iloś ciowej  ocenie  zaobserwowanych  efektów  należy  przypisać zastosowan iu  przez  de  JOSSELIN A  de  JON G A  i  VER R U I JTA  [7]  znacznie  czulszego  optycznie od  szkł a i  perspexu  m ateriał u —  ż ywicy  CR- 39  (K  =  14  Kg/ cm  rz.  iz.). Autorzy  ci wyko- n ali  doś wiadczenia  n a  zbiorze  pł askich krą ż ków  o  ś rednicach  od  10  mm  do  40  m m  i  gru- boś ci  10  m m .  Okoł o  200  krą ż ków  został o  umieszczonych  w  prostoką tn ym  pojemniku, którego  boczne  i  górn a  ś ciany  był y  ruch om e i  poł ą czone z  ukł adem obcią ż ają cym.  U kł ad obcią ż ają cy  pozwalał   przykł adać  niezależ nie  róż ne  obcią ż enia  pionowe  i  poziom e.  N a skutek  wysokiej  czuł oś ci  optycznej  ż ywicy  CR- 39  istnieją cy  w  obcią ż onych  krą ż kach  stan 466 A.  DRESCHER Rys. 5 Rys. 6 naprę ż enia  (odkształ cenia) był   wystarczają cy  do  wywoł ania  opóź n ien ia  wzglę dnego  pro- mieni  zwyczajnego  i  nadzwyczajnego  o  wartoś ci  kilkakrotn ej  dł ugoś ci fali  uż ytego  ś wiatła monochromatycznego.  W  efekcie  zaobserwowano  w  poszczególnych  krą ż kach  wyraź ne izochromy.  N a rys.  5 przedstawiono  fotografię   izochrom jakoś ciowo  podobn ych do  uzys- Z ASTOSOWAN I E  M OD ELOWYC H   M ATERIAŁ ÓW  4 6 7 kan ych  w  pracy  [7]. U kł ad  ł ań cuchów obcią ż onych  krą ż ków  z  izochromami, dla  pewnego obszaru  m odelu,  był   podobn y  do  rys.  6.  Obie  fotografie  wykonano  przy  jasnym  polu widzenia. M oż liwość  wyraź nego  zaobserwowan ia  izoch rom  pozwolił a  autorom  n a  wyznaczenie sił   kon taktowych  pom ię dzy  krą ż kam i.  W  tym  celu  skorzystali  oni  z  rozwią zań  teorii sprę ż ystoś ci  stosowanych  w  elastooptyce.  Z agadn ien ie  stan u  naprę ż enia  w  pł askim  krą ż- ku  poddan ym  dział an iu dwóch  przeciwnie  skierowanych  sił   jest  klasycznym  zagadnieniem teorii  sprę ż ystoś ci,  którego  rozwią zanie  bardzo  dobrze  potwierdzają  badan ia  elastoop- tyczne.  Stąd  też  pł aski  krą ż ek  stosowany  jest  wielokrotnie  jako  dynam om etr  elastoop- tyczny.  W  przypadku  dwóch,  przeciwnie  skierowanych,  skupionych  sił   dział ają cych wzdł uż  ś rednicy  krą ż ka  izochrom y,  odpowiadają ce  liniom  maksymalnych  naprę ż eń  stycz- nych,  mają  kształ t  symetrycznych  owali  [12]. D la  sił  dział ają cych  wzdł uż  cię ciwy  izochro- my  mają  bardziej  zł oż ony kształ t. Rozwią zania  te  są  statycznie  wyznaczalne  i nie uwzglę d- niają  sztywnoś ci  m ateriał u.  D e  JOSSELIN   de  JO N G   i  VER R U I JT  zał oż yli, że  sztywność  bada- nego  m ateriał u jest  t a k  duż a,  że  m oż na  pom in ąć  nie  pun ktowe  w  rzeczywistoś ci  przeno- szenie  się  oddział ywań  z  krą ż ka  n a  krą ż ek.  Przyję li  po n ad t o , że  kształ t  izochrom  w  są- siedztwie  ko n t akt u jest  wystarczają co  zbliż ony  do  kół , by  zadanie  traktować jako  dział a- nie  sił y  skupionej  n a  pół pł aszczyź nie  (zadanie  F lam an ta) .  W  tym  przypadku  zależ ność pomię dzy  przył oż oną  sił ą  a  m aksym aln ym  naprę ż eniem stycznym  wyraża  się  nastę pują co: 2P (2.1)  2 T m a x  =   (T 1- ff2 gdzie  t jest  gruboś cią  pół pł aszczyzny, a  d  ś rednicą  koł a,  stycznego  do  pun ktu przył oż enia sił y,  n a  którego  obwodzie  wzór  (2.1)  okreś la  poszukiwan e  naprę ż enie styczne.  Wykorzys- tując  podstawowy  zwią zek  elastooptyki (2.2)  ( T l _ ( r £ gdzie  n  jest  rzę dem  izochrom y,  A  dł ugoś cią  ś wiatł a,  C  stał ą  elastooptyczną  materiał u, zależ ność pom ię dzy  sił ą  a izochrom ą wyraża  się  przez (2.3)  J P - n * .̂ Z  zależ noś ci  (2.3)  m oż na  wyznaczyć  poszukiwaną  sił ę  kon taktu,  gdy  znany  jest  rząd i  ś rednica  danej  izochrom y.  Autorzy  [7] przyję li,  że  zwią zek  (2.3) waż ny  jest  dla  dowolnej liczby  i  dowolnego  n achylen ia  sił  p o d  warunkiem ,  że  korzysta  się  z  izochrom  poł oż onych w  są siedztwie  ko n t akt u  krą ż ków.  Kierun ek  dział ania  sił y  m oż na  przyjąć  z  wystarczają cą dokł adnoś cią  za  pokrywają cy  się  z  symetryczną  izochrom  w  tym  obszarze.  P oprawn ość okreś lonych  w  ten  sposób  sił   kon taktowych  zapropon owali  sprawdzić  korzystając  z  rów- n ań  równowagi  cał ego  krą ż ka.  R ówn an ia  równowagi  sił  ż ą dają,  by  wielobok  sił   dział ają- cych  n a  dan y  krą ż ek  był   zam kn ię ty.  R ówn an ie  równowagi  momentów  wymaga,  by  dla przypadku  dwóch  sił   ich  zwroty  był y  przeciwne,  a  dla  trzech  sił , by  kierunki przecinał y się  w  jedn ym  pun kcie.  D la  m  >  3  sił   kierun ek  wypadkowej  m—2  sił  musi  również  prze- cinać  się  z  kierun kiem  pozostał ych dwóch  sił  w jedn ym  punkcie  (rys.  7).  Warun ki  te  wy- godnie jest  sprawdzać  graficznie.  W  rezultacie  otrzymuje  się  dla  pewnego  obszaru  modelu 468 A.  D R KSC H E R ukł ad  zamknię tych, ł ą czą cych się   wieloboków  tworzą cych  plan  C rem on y.  N a rys.  8 przed- stawiono  przykł adowo  uzyskany  w  [7] plan  C rem on y  dla  wszystkich  krą ż ków  umieszczo- nych  w  pojemniku,  przy  obcią ż eniu  pion owym  wię kszym  od  poziom ego.  Poszczególne odcinki  pomię dzy  pun ktam i  A  i  B  oraz  C  i  D  przedstawiają   sił y  dział ają ce  pomię dzy krą ż kami  a  dolną   i  górną   ś cianą   pojemnika.  B  i  C oraz  A  i  D  odpowiadają   ś cian om  bocz- nym. P orównują c  wypadkowe  AB,  BC,  CD  i  DA  z  przył oż onymi  do  ś cian  obcią ż eniami autorzy  uzyskali  dobrą   zgodnoś ć. Rys. 7 P raca  [7]  pokazał a  moż liwość  dokł adn ego,  iloś ciowego  okreś lenia  dyskretn ego  roz- kł adu  sił   kon taktowych  w  modelowym  oś rodku  sypkim 2).  W  pracy  tej  nie  an alizowan o pola  deformacji. B  C Rys. 8 2 )  Liczbowe  wartoś ci  sił  kontaktowych  w  modelu  utworzonym  z  wał eczków  z  perspexu  podał   także Weber  [22]. W pracy  tej nie wyjaś niono  jednakż e, w jaki  sposób  okreś lono  te sił y. Z ASTOSOWAN I E  M OD ELOWYC H  M ATERIAŁÓW 469 3.  M o d el  %  piasku  szklan ego Jako  drugi  modelowy  oś rodek  sypki  D AN T U   [2]  i  WAKABAYASHI  [17]  zaproponowali potł uczon e  szkł o  (piasek  szklany).  W  pracy  [2]  D AN T U   zastosował   szkł o P YR E X, podob- nego  m ateriał u  uż ył   WAKABAYASH I.  P otł uczon e  szkł o  jest  materiał em  o  wł asnoś ciach mechanicznych  prawie  identycznych  z  rzeczywistym  piaskiem.  Kształ t  ziaren  i  struktura odpowiadają   kwarcowym  piaskom  kopalnym ,  a  jego  uziarnienie  może  być  dowolnie dobran e. M ateriał   ten,  choć  utworzon y  z  ziaren  przezroczystych,  stanowi  w  masie  oś rodek  zu- peł nie  nieprzezroczysty,  n a  skutek  odbić  i  rozproszenia  ś wiatła  na  ś cianach  ziaren.  Jeż eli jedn ak  pory  pom ię dzy  ziarn am i  zostaną   cał kowicie  wypeł nione  cieczą   o  identycznym Rys.  9 ze  szkł em współ czynniku  zał am an ia ś wiatła  (cieczą   imersyjną )  oś rodek  ten staje  się  przez- roczysty.  Zjawisko  t o ,  zachodzą ce  ś ciś le  dla  ś wiatła  m onochrom atycznego i  w  okreś lonej tem peraturze, wykorzystywane jest  w  badan iach przepł ywu  cieczy  przez  oś rodki porowate, badan iach  prę dkoś ci  dyfuzji  cieczy  it p.  (n p.  [5]).  U ż ycie  cieczy  irnersyjnych  znane  jest także  w  badan iach  elastooptyczn ych  n a  modelach trójwymiarowych  dla  uniknię cia  efektu zał am an ia  ś wiatła  (n p.  [8]).  Jako  ciecze  imersyjne  dla  szkł a  mogą   być  uż yte,  n p .  roztwór 7  M echan ika  teoretyczna 470  A.  D R E SC H E K jodku  am on u w  iloś ci  150  G   n a  100  c m 3  wody,  m ieszanina  benzenu  i h eptan u  w  stosun ku okoł o  100:28  czę ś ci  obję toś ciowych. D AN T U   i  WAKABAYASHI  zaobserwowali,  że  jeż eli  piasek  szklany  z  wypeł niają cą   pory cieczą  imersyjną ,  umieszczony  w  pł askim  szklanym  pojem niku  poddan y  jest  obcią ż eniom zewnę trznym,  t o  w  ś wietle  spolaryzowanym  widoczne  są ,  dla  ciemnego  pola  widzenia, krótkie  jasn e  linie  ukł adają ce  się   w  delikatne  pasm a.  Zjawisko  to  wystę puje  zarówn o w  liniowo, jak  i  koł owo  spolaryzowanym  ś wietle,  przy  czym  ukł ad  linii  jest  w  obu  przy- padkach  róż ny.  Otrzymany  obraz jest  analogiczny  do  przedstawionego  n a  rys.  9,  uzyska- nego  w  ś wietle  koł owym  dla  podobn ego  schematu  obcią ż enia,  jak  n a  rys.  2a.  W  ś wietle liniowo  spolaryzowanym  oprócz  jasn ych  krótkich  linii  widoczne  są   szerokie,  ciemne pasm a  przechodzą ce  przez  cał y  obszar.  P oł oż enie  tych  ciemnych  pasm ,  jak  i  jasnych linii,  zależ ne  jest  od  nachylenia  pł aszczyzny  polaryzacji.  Autorzy  [2]  i  [17]  wykazali,  że ciemne pasm a  są   izoklinami. Porównują c  przebieg jasnych krótkich  linii w  ś wietle  koł owym z  trajektoriami  naprę ż eń  gł ównych,  skonstruowanym i  z  izoklin,  otrzymuje  się   pokrywanie tych  pierwszych  z jedną   rodziną   trajektorii.  Z atem  krótkie  jasn e  linie  w  ś wietle  koł owym odpowiadają   kierunkom jednego  z  naprę ż eń gł ównych  w  dan ym  pun kcie  oś rodka.  W  pra- cy  [19]  WAKABAYASHI  podał   fizykalną   interpretację   i  zależ noś ci  iloś ciowe  obserwowanego efektu.  Zał oż ył   on,  że  w  rozpatrywanym  oś rodku  tworzą   się   pod  dział aniem  obcią ż eń, przypadkowo  ukierunkowane  ł ań cuchy  ziaren.  Ł ań cuchy  te  przenoszą   osiowo  róż ne obcią ż enia  w  zależ noś ci  od  poł oż enia w  modelu  oraz  geom etrii  i  warun ków  brzegowych doś wiadczenia.  Sumaryczny  efekt  dwójł omnoś ci  dla  każ dego  ł ań cucha,  traktowan ego jako  jednoosiowo  ś ciskany  prę t,  widoczny  ja ko  rozjaś nienie,  jest  tym  wię kszy—jaś n iej- szy  ł ań cuch —  im  wię ksze jest  obcią ż enie.  W  ś wietle  koł owo  spolaryzowanym  widoczne są   gł ównie  ł ań cuchy  najsilniej  obcią ż one.  W  ś wietle  liniowym  widoczne  są ,  w  zależ noś ci od  nachylenia  pł aszczyzny  polaryzacji,  pozostał e  ł ań cuchy.  Koncepcję   istn ien ia  obcią ż o- nych  ł ań cuchów  ziaren  potwierdzają   wyniki  uzyskane  n a  modelu  z  wał eczków  czy  krą ż- ków  omówione  w  p .  2  (rys.  6). Wykonują c  pom iar  intensywnoś ci  ś wiatła  w  pewnych  obszarach  m odelu  z  pom ocą kom pen satora  Babinetta,  WAKABAYASHI  stwierdził   proporcjon aln ość  ś redniego  efektu optycznego  do  wielkoś ci  obcią ż eń.  Iloś ciowo jest  on  dwa  razy  mniejszy  niż  w  monolitycz- nym  szkle.  D la  zastosowanych  przez  D AN T U   i  WAKABAYASH I  obcią ż eń  ś rednie  rozjaś nie- nie  linii  odpowiada  okoł o  0,2  rzę du  izochrom y. Oprócz wspomnianej  jednej  rodziny jasnych  linii  de  JOSSELIN   de  JO N G   [6]  zaobserwował drugą   rodzinę ,  mniej  wyraź nych,  linii  prostopadł ych .  Wykonują c  zdję cia  stereoskopowe wykazał   przestrzenne  uł oż enie  linii  w  m odelu.  Obraz  uzyskiwany  n a  n orm aln ych  zdję - ciach  odpowiada  zatem  zsumowaniu  się   linii  wystę pują cych  n a  róż n ych  odległ oś ciach od  powierzchni  czoł owych  pł askiego  m odelu. Pokrywanie  się   jasn ych  linii  uzyskiwanych  w  ś wietle  koł owo  spolaryzowanym  z  kie- runkam i  naprę ż eń  gł ównych  pozwolił o  D AN T U ,  WAKABAYASH I  i  N G U YE N   C H AN H   n a  okreś- lenie  trajektorii  gł ównych  w  szeregu  inż ynierskich  zagadnień  brzegowych.  D AN T U   [2,  3] wykonał   badan ia  n a  identycznych  m odelach, jak  n a  rys.  2  i  3,  uzyskują c  podobn y  ukł ad linii, ja k  dla  wał eczków.  N G U YE N   C H AN H   [15]  wykorzystał   opisywany  efekt  do  wyznacze- n ia  trajektorii  n aprę ż eń gł ównych  w  zagadnieniu  parcia  i  odporu  n a  pion owy  m u r  oporo- Z ASTOSOWAN I E  M OD ELOWYCH   M ATERIAŁÓW 471 wy  (rys. 10). Wyniki  porówn ał  z  rozwią zaniem  teoretycznym  noś noś ci  granicznej  zadania, uzyskują c  jakoś ciową   zgodn ość  kierun ków  n aprę ż eń  okreś lonych  teoretycznie  i  doś wiad- czalnie.  Obszerne  bad an ia  przy  najróż niejszych  schematach  obcią ż eń  wykonał   WAKA- BAYASHI  [17,  18, 19,  20,  21] (rys. 11) porównują c  otrzymane wyniki z rozwią zaniami  przy- Rys. 10 bliż onym i.  Z badał   o n wciskanie  stempla,  klin a  i  dwóch  zagł ę bionych  klinów  oraz  okreś lił kierun ki  n aprę ż eń  w  lejach  o  róż n ym  kształ cie  i  w  prostoką tn ym  polu  zawierają cym sztywny  cylinder  (m odel  obudowy  ch odn ika).  D la szeregu  schematów  okreś lił   iloś ciowo z  pom ocą   kom pen satora  Babi n etta  ś redni  efekt  optyczny  w  pewnych  obszarach,  uzys- Rys.  11 kują c  w ten sposób  pewne  informacje  o wartoś ci  naprę ż eń.  Wspólną   cechą   tych  doś wiad- czeń jest  ograniczenie  się  d o analizy  stan u  n aprę ż en ia  przy  bardzo  mał ych lub  zlokalizo- wanych  deformacjach  oś rodka.  W  doś wiadczeniach  oś rodek  doznawał   jedynie  zagę sz- czenia.  Stą d  też nie an alizowan o  przeważ nie  pola  deformacji.  P odobn ie  N G U YE N   C H AN H badał   pierwszy  m om en t  powstan ia  odporu  lub parcia  nie okreś lając  kształ tu  i  cech  pola deformacji. 4.  Analiza  uzyskiwanych  informacji Omówione  w p . 2 i  3 m odelowe  oś rodki  sypkie  róż nią   się  nie tylko  wł asnoś ciami  me- chanicznym i,  ale i  uzyskiwanym i  informacjami  o  wielkoś ciach  dynamicznych. Oś rodek  utworzon y  z  wał eczków  lub  krą ż ków  stanowi  dość  dalekie  odwzorowanie rzeczywistego  oś rodka  sypkiego,  przede  wszystkim  z  uwagi  n a kształ t  i  wielkość  ziaren. Z  drugiej  jedn akże  stron y  rozm iary  wał eczków  pozwalają   n a okreś lenie  rozkł adu i  wielko- 472 A.  DRESCHER ś ci  kon taktowych  sił  ich  wzajemnego  oddział ywania.  Ś ledząc  wzrost  sił  i  ich  konfigurację w  funkcji  obcią ż enia  zewnę trznego  czy  deformacji  uzyskuje  się   informacje,  które  mogą znaleźć  bezpoś rednie  zastosowanie  przy  dyskretnym  podejś ciu  do  opisu  cech  mechanicz- nych  materiał ów  sypkich.  M oż liwe  jest  przy  tym  wprowadzen ie  okreś lonej  struktury oś rodka  poprzez  dobór  wielkoś ci  i  kształ tów  elementów. Powyż sze  zalety  tego  modelu  powodują   jedn akże  trudn oś ci  przy  próbie  wykorzystania rezultatów  do  porówn an ia  czy  też  stworzenia  opisu  kon tyn ualn ego.  N ależy  przy  tym wspomnieć,  że  model  Taylora- Schneebeli  jest  stosowany  gł ównie  do  weryfikacji  doś wiad- czalnej  wł aś nie  tego  rodzaju  opisu.  Stą d  też  powstaje  pytan ie,  ja k  przejść  z  wielkoś ci 1 ( ( Rqp/ / / \ - r J % I • > /   AP t /   / 0 - 0 "PR~   "IP j. ( a p . Rys.  12 dla  oś rodka  dyskretnego  —  sił   do  wielkoś ci  dla  oś rodka  cią gł ego  —  n aprę ż eń.  W  podej- ś ciu  kon tyn ualn ym  przyjmuje  się ,  że  w  każ dym  pun kcie  ciał a  istnieje  jedn ozn aczn ie okreś lony  tensor  naprę ż enia.  W  przypadku  zbioru  wał eczków  m oż na  m ówić  jedynie o tensorze  naprę ż enia  dla  pewnego  obszaru,  przy  czym  stan  n aprę ż en ia w  poszczególnych wał eczkach jest  nieinteresują cy. Pierwszą   propozycję   okreś lenia  ten sora n aprę ż en ia dla  skoń czonego  obszaru  z wielkoś ci sił   kon taktowych  podał   WEBER  [22].  R ozpatrzył   on  udział   każ dej  sił y  kon taktowej  R pq , gdzie p  i  q  oznaczają   ziarna,  dział ają cej  n a  dł ugoś ciach  a pą ,  rozum ian ych  ja ko  odległ ość pomię dzy  dwoma  dowolnymi  pun ktam i w  dwóch  ziarn ach  (rys.  12), w  sum owan iu  wszyst- kich  sił   dział ają cych  w  obszarze  zawierają cym  wiele  ziaren .  W  efekcie  otrzym ał   nastę pu- ją ce  wyraż enie  n a  ś redni  tensor  naprę ż enia M  Mp (4- 1)  fy- ĴSJ gdzie  i,j  okreś lają   ukł ad  współ rzę dnych,  (R M )i  i  (ct m )j  są   skł adowymi  wektorów  R Pi i  odcinków  a m ,  V  obję toś cią   obszaru,  a  sum owanie  należy  wykon ać  p o  M  ziarn ach  prze- noszą cych  sił y  n a  M p   ziaren.  Wyznaczenie  skł adowych  ffy  wym aga  bardzo  pracochł on n e- go  sumowania  sił  i  odległ oś ci  wewną trz  cał ego  obszaru. Z ASTOSOWAN I E  M OD ELOWYCH   M ATERIAŁÓW 473 W  pracy  [11] autorzy  zdefiniowali  ś redni  ten sor naprę ż enia  a u   analogicznie  do  definicji uż ytej  przez  H I L I A  [13],  omijają c  skom plikowaną   procedurę   Webera.  Ś redni  tensor  na- prę ż enia  a tJ)   bę dą cy  cał ką   po  obję toś ci  V  z  n aprę ż eń  a t]   w  każ dym  punkcie, podzieloną przez  obję tość  ciał a,  m oż na przedstawić  w  nastę pują cej  postaci, wykorzystują c  twierdzenie G reena  i przeprowadzają c  symetryzację (4 . 2 ) 1  f  \   r iJ  = T  J  aijdY  =   2V  J gdzie  T t ,  T j  są   skł adowym i  sił   dział ają cych  n a  powierzchnię   S  obję toś ci  V,  a  *j,  Xj  od- legł oś ciami  p u n kt u  dział an ia  sił y  od  ukł adu  współ rzę dnych  (/ ,/ )  (rys.  13a).  Wyraż enie Rys.  13 (4.2)  oznacza,  że  do  okreś lenia  skł adowych  ~a u  wystarczają ce  jest  zsumowanie  sił  dział a- ją cych  n a  powierzchn i  obszaru,  a  w  przypadku  oś rodka  pł askiego  na  obwodzie,  co jest znacznie  prostsze  n iż  w  przypadku  (4.1).  P rzeprowadzają c  pewne  sumowanie  sił  i  odleg- ł oś ci  w  zwią zku  (4.1)  m oż na wykazać jego  równ oważ n ość  ze zwią zkiem  (4.2), który  otrzy- m an o  n a  znacznie prostszej  dfodze. Powyż ej  zdefiniowany  ś redni  ten sor  n aprę ż en ia  m oż na  wyznaczyć  dla  dowolnego kształ tu  i  wielkoś ci  obszaru  i  dowolnego  rozkł adu  sił   wewną trz,  czy  też  na  obwodzie. D o  jego  wyznaczenia  wystarczają cy  jest  plan  Cremony  (rys.  8)  i  znajomość  pun któw przył oż enia  sił , co  daje  bezpoś redn io  fotografia  zbioru  (rys.  6). W przypadku  konkretnego rozkł adu  sił   kon taktowych  w  zbiorze  wybór  wielkoś ci  i  poł oż enia  obszaru  jest  rzeczą subiektywną .  D la  uchwycenia  tego  wpł ywu,  zwł aszcza  przy  niejednorodnym  rozkł adzie sił , należy  przeprowadzić  obliczenia  dla  róż nych wymiarów  i  poł oż enia obszaru.  Tą   drogą m oż na  okreś lić  najwł aś ciwszą   reprezentację   oś rodka  dyskretnego  przez  model  cią gł y. W  pracy  [11]  rozpatrzon o także  inny,  graficzny  sposób  wyznaczania  stanu  naprę ż enia. Wycinają c  w  m odelu  obszar  koł owy  m oż na  wykazać,  że  dla  jedn orodn ego  wewną trz stan u  n aprę ż en ia  wieł obok  sił   dział ają cych  n a jego  obwodzie  powinien mieć kształ t elipsy, której  dł ugoś ci  pół osi  gł ównych,  podzielone  przez  ś rednicę   koł a,  okreś lają   wartoś ci  na- prę ż eń  gł ównych, a poł oż en ie  osi  kierunki  gł ówne  (rys.  14). Wykreś lając  kolejne  wieloboki dla kół  o róż nej  ś rednicy i róż n ym poł oż eniu ś rodka  m oż na graficznie  uchwycić  odstę pstwo 474 A.  D R E SC H E R od  jedn orodn oś ci stan u naprę ż enia, a tym samym przybliż enie jakie  dokonuje  się   przyjmują c ś redni  tensor n aprę ż en ia. W  pracy  [22] WEBER wykonał  obliczenie skł adowych ten sora  oy  wedł ug  (4.1) dla  zbioru wał eczków  poddan ych hydrostatycznem u  ciś nieniu. Otrzym ał  dobrą   zgodn ość  z  wartoś cią przył oż onego  ciś nienia  (por.  uwagę   w  p .  2).  Autorzy  [10]  przeprowadzili  obliczenia  ana- lityczne  wedł ug  (4.2)  i  graficzne  dla  schematu  obcią ż enia  zbioru  wał eczków  przedstawio- Ptaszczyzna  Fizyczna R ys.  14 nego  na  rys.  15  uzyskują c  informacje  o  stanie  n aprę ż en ia  podczas  deformacji  oś rodka. W  schemacie  tym jedn o  z  ram ion  klina  był o  n ieruchom e, podczas  gdy  drugie  dozn awał o obrotu  zgodnie  i przeciwnie  do  ruchu wskazówek  zegara.  Spoczywają ca  n a  stosie  pł yta  Q, uż yta  dla  zwię kszenia  wzajemnych  oddział ywań  krą ż ków  z  ż ywicy  CR- 39,  m ogł a dozna- wać  dowolnych  przemieszczeń  i  obrotów  wynikają cych  z  deformacji  zbioru.  Z porówn an ia Rys.  15 kierunków  gł ównych  obliczonych  tensorów  n aprę ż en ia  z  przebiegiem  ł ań cuch ów  obcią - ż onych  krą ż ków  (rys.  6) wynika  ich przybliż one  pokrywan ie  się . Wniosek  ten potwierdza, że  w  modelu  z  piasku  szklanego  obserwowane  jasn e  linie  wyznaczają   kierun ki  naprę ż eń gł ównych. P rzedstawione  powyż ej  rozważ ania  wskazują ,  że  modelowy  oś rodek  sypki  utworzony z  wał eczków  czy  krą ż ków  może  być  również  wykorzystany  w  fenomenologicznym  opisie zjawisk. M odel  z  piasku  szklanego,  z  uwagi  n a  obserwowanie  efektów  sumarycznych  dla  wielu ziaren, n ie nadaje  się   do podejś cia  dyskretn ego.  Z  uzyskiwanych  dotychczas  z  tego modelu Z ASTOSOWAN I E  M OD ELOWYCH   M ATERIAŁÓW  475 informacji  za  najistotniejszą   należy  uzn ać  moż liwość  wyznaczenia  trajektorii  naprę ż eń gł ównych.  Same  wartoś ci  n aprę ż eń  są   nieznane,  a  zastosowanie  kompensatorów  daje tylko  pewne  informacje  jakoś ciowe.  Z najomość  trajektorii  naprę ż eń  gł ównych  może jedn akże  dostarczyć  istotn ych  dan ych  przy  porówn an iu  rozwią zań  teoretycznych  z  doś- wiadczeniem.  N ależy  także  zaznaczyć,  że  w  pewnych  przypadkach  istnieje  moż liwość analitycznego  wyznaczenia  stan u  n aprę ż en ia  na  podstawie  znajomoś ci  jedynie  przebiegu trajektorii  n aprę ż eń  gł ównych.  R ówn an ia  równowagi  pł askiego  stanu  naprę ż enia  odnie- sione  do  ortogon aln ej  siatki  trajektorii  naprę ż eń  gł ównych,  zwane  równaniami  Lame'go M axwella  mają   nastę pują cą   postać (4.3)  - ^1  +   ^ 1  =   0;  ^ 1  +   ^ Z ^  =   O, gdzie  s t   i  s z   są   dł ugoś ciami  elementów  wzdł uż trajektorii  a  Ę 1}   Q 2  promieniam i  krzywizn. R ówn an ia  (4.3),  z  których  każ de  przedstawia  róż niczkowanie  wzglę dem  jednej  zmiennej, mają   analogiczną   postać  d o  równ an ia  wzdł uż  charakterystyk  teorii  plastycznoś ci.  W  tym przypadku  charakterystykam i  są   trajektorie  naprę ż eń  gł ównych.  M oż na  zatem  znaleźć rozwią zanie  ukł adu  (4.3)  podobn ie,  ja  to  się   czyni  w  zadanich  teorii  plastycznoś ci,  tzn. rozwią zać  zagadnienie  C auchy'ego,  charakterystyczne  i  mieszane.  Powyż sza  moż liwość został a  wykorzystan a  w  zagadn ien iach  optymalizacji  konstrukcji  [1].  W  elastooptyce  nie jest  dotychczas  stosowan a,  choć koncepcja  cał kowania  wzdł uż  odpowiednich  charakterys- tyk  został a po dan a  w  pracy  [16]  dla  wielkoś ci  uzyskiwanych  z  izochrom. Jak  zazn aczon o  w  p .  2  i  3,  wspólną   cechą   dotychczas  opublikowanych  rezultatów  na obu  m odelach  jest  ograniczenie  się   do  rejestracji  sił   czy  naprę ż eń  przy  bardzo  mał ych deformacjach,  n a  ogół  pom ijanych  w  analizie.  Z a  zasadniczą   tego  przyczynę   należy  uznać trudn oś ci  eksperym en taln e:  D la  wywoł ania  efektu  dwójł omnoś ci  wymuszonej  w  modelu z  wał eczków,  a  zwł aszcza  w  piasku  szklanym,  konieczne  są   duże  naciski  ziaren.  Stą d  też w  wykonanych  doś wiadczeniach  przykł adan o  obcią ż enie  ze  wszystkich  stron  modelu, lub  też  ogran iczan o  jego  ruch  przez  sztywne  ś ciany.  D oś wiadczenia  przy  istnieniu  wolnej powierzchni,  wobec  m ał ego  cię ż aru  wł asnego  m odelu,  nie  pozwalają   n a  zaobserwowanie efektów  optycznych.  Również  obecność  cieczy  w  modelu  z  piasku  szklanego  utrudn ia realizację   znacznych  odkształ ceń . Pewną   próbę   pom iaru  n aprę ż eń  w  trakcie  deformacji  m odelu  podję li  autorzy  pracy [11]  (rys.  15).  O bró t  ram ien ia  pozwolił   uzyskać  wzglę dnie  jedn orodn e  pole  deformacji przy  wielkoś ci  odkształ ceń  postaciowych  okoł o  1,5%.  Z  pom iaru  wzglę dnego  poł oż enia krą ż ków  okreś lono  ś redni  ten sor  odkształ cenia  e y  dla  analogicznych  obszarów  koł owych ja k  dla  n aprę ż eń.  Ś redni  ten sor  odkształ cenia  zdefiniowano  za  H I LLEM  [13]  jako  cał kę p o  obszarze  z  odkształ ceń  w  pun ktach ,  co  prowadzi  przy  wykorzystaniu  twierdzenia G reen a  do  nastę pują cej  postaci (4.4)  i y  =  I -  J  sydV -   jy- /  (UtVj+Ujv0ds, V  S gdzie  U i i  Uj  są   skł adowym i  wektora  przemieszczenia  Una  brzegu  ciał a  S;  v u   Vj są   skł a- dowymi jedn ostkowego  wektora  n orm aln ego do powierzchni  S  (cosinusami  kierunkowymi) w  pun ktach  o  dan ych  przemieszczeniach  (rys.  13b).  D la  wyznaczenia  e y  wystarczają ca 476  A.  D R E S C H E R jest  zatem  znajomość  przemieszczeń  brzegu.  W  definicji  e;j- ,  podobn ie  jak  w  aiJt  przyj- muje  się   zał oż enie  o  cią gł oś ci  oś rodka.  D okł adn a  an aliza  uzyskan ych  wyników  zostanie opublikowana. Zależ ność  (4.4) m oż na również zastosować  do  okreś lenia  stan u  odkształ cenia w  m odelu z  piasku  szklanego.  Z  uwagi  jedn akże  n a  niewielkie  wymiary  ziaren  w  stosun ku  do  cał ej obję toś ci  modelu  m oż na  do  wyznaczenia  stan u  odkształ cen ia  skorzystać  z  ogólnie  stoso- wanych  metod  obliczania  deformacji  w  oś rodkach  cią gł ych  n p .  m etody  siatek,  gdzie odkształ cenia  okreś la  się   z  pom iaru  przemieszczeń  wę zł ów  prostoką tn ej  siatki  (por. n p.  [10]). 5.  U wagi  koń cowe Z  przedstawionej  powyż ej  charakterystyki  m odelowych  m ateriał ów  sypkich  czuł ych optycznie  oraz  analizy  uzyskiwanych  z  badań  informacji  wynika  niewą tpliwa  wartość omówionych  metod  doś wiadczalnego  okreś lenia  stan u  n aprę ż en ia  w  oś rodkach  sypkich. M etody  te  stanowić  mogą   istotn e  uzupeł nienie  innych,  tradycyjnych  m etod.  P om im o uzyskanych  interesują cych  rezultatów,  szereg  zagadn ień  pozostaje  jedn akże  n adal  otwar- tych  i wymagają cych  dalszych  opracowań . Jako  pierwsze  zagadnienie  m oż na  tu  wymienić  ograniczenie  om awianych  m etod  do materiał ów  idealnie sypkich  tzn . pozbawionych  spójnoś ci.  Otwartym  problem em  pozostaje także  okreś lenie  stan u  naprę ż enia  w  przypadkach  trójwymiarowej  deformacji.  Pewne rezultaty  uzyskał   D AN T U   [4]  w  badan iach  n a  trójwym iarowym  zbiorze  kuł   wykon an ych z ż ywicy  C atalin. P o przył oż eniu obcią ż eń  do zbioru  kul  p o d d an o cał y m odel  wygrzewaniu uzyskują c  w  ten  sposób  zamroż enie  stan u  deformacji.  Ze  stan u  deformacji  kul  okreś lono wartoś ci  sił   kon taktowych  z  pomocą   wzorów  H ertza,  wią ż ą cych  wielkość  powierzchni kon taktu  dwóch  kul  z  sił ą   nacisku.  D la  wizualnego  przedstawien ia  zam roż on ego  stan u naprę ż enia  w  kulach  wypeł niono  wolne  przestrzenie  aralditem  i  wycię te  z  cał ego  m odelu pł askie  pł ytki  obserwowano  w  ś wietle  spolaryzowanym.  Otrzym an o  p o d o bn e  do  rys.  6 ukł ady  izochrom  bę dą ce  jedn akże  efektem  obcią ż eń  w  róż n ych pł aszczyznach. Pewne  zastrzeż enia  może  także  budzić  przyję ta  przez  de  JOSSELIN A  de  JO N G A  i  VER* RU IJTA  [7]  aproksymacja  rzeczywistego  kształ tu  izoch rom  przez  koł a  i  wynikają cy  stą d zwią zek  (2.3).  D la  uniknię cia  tego  bł ę du  w  pracy  [11]  zrezygnowano  z  korzystan ia  z  wy- raż enia  analitycznego  wykonują c  skalowanie  uż ytych  krą ż ków  dla  róż n ych  sił   i  róż n ego stosunku  ś rednic. U zyskano  w  ten sposób  krzywe podają ce  wprost  zależ ność  sił y ko n t akt u od  oddalenia izochromy  od pu n kt u kon taktu. Jako  poż ą dane  dalsze  kierunki  badań  m oż na  n a  pierwszym  miejscu  wym ienić  obser- wację   wielkoś ci  dynamicznych  (sił ,  n aprę ż eń)  przy  znacznych  deformacjach  oś rodka. Z agadnienie  to  jest  waż ne  przy  poszukiwan iu  praw  rzą dzą cych  przepł ywem  m ateriał ów sypkich  przez  kanał y, leje  zsypowe  itp.  D oś wiadczen ia  takie  pozwolił yby  także  n a  weryfi- kację   praw  fizycznych  opisują cych  stan  plastycznego  pł ynię cia  m ateriał u. Celowe  był yby także  próby  zastą pienia  piasku  szklanego  m ateriał em czulszym  optycznie  co  pozwolił oby n a  zmniejszenie  przykł adan ych obcią ż eń. ZASTOSOWANIE  MODELOWYCH   MATERIAŁÓW  477 Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  A. S. L.  CH AN ,  T he design of Michell optimum structures,  Coll. Aero.  Cranf. Rep., 142,  1960. 2.  P.  D AN TU ,  Contribution d  I'etude  meccmią ue  et  geometrique des milieux pulveruleitts,  Proc.  4- th ICOSOM F E,  144- 148, London 1957. 3.  P. D AN TU , Etude experimentale  d'un milieu pulverulent  compris entre  deux plans verticaux  et paralleles, Ann.  P onts  Chans., N o 4, 1967. 4.  P. D AN TU ,  Etude  statistique des forces  intergranulaires  dans un milieu  pulverulent,  G eotechnique,  18, 1968,  50- 55. 5.  G . de JOSSEU N   de JON G ,  Discussion of  «L ongitudinal  and transverse  diffusion in granular  deposits», Trans.  Amer.  G eoph.  U n., Vol. 39, N o 6,  1958, 1160- 1162. 6.  G . de  JOSSELIN  de  JON G ,  Foto- elastisch  onderzoek van korrelstapelingen,  LG M  Med., Vol.  4,  N o  4, 1960,  119- 134. 7.  G . de JOSSELIN  de JON G , A. VERRU IJT, Ź tude photo- elastique  d'un  empilement de disques,  Cah.  G r. F ranc. Rheol., T. 2, N o 1, 1969,  73- 86. 8.  R. D OROSZKIEWICZ,  J.  LI E TZ ,  B.  M ICH ALSKI, Metoda warstwy elastooptycznej  w zastosowaniu  do  mo- delowego  badania przestrzennych zagadnień  kontaktowych,  Rozpr.  Inż ., T. 15, z. 3, 1967,  455- 469. 9.  R.  D OROSZKIEWICZ,  Badania  naprę ż eń  w konstrukcjach  niejednorodnych  obcią ż onych  cię ż arem  wł asnym, Rozpr.  Inż ., T. 16, z. 2, 1968, 177- 207. 10.  A.  D RESCH ER, K.  KWASZCZYŃ SKA,  Z . M R Ó Z , Statics and  kinematics  of  the granular  medium  in the  case of wedge  indentation,  Arch.  M ech.  Stos.,  T.  19, z. I, 1967,  99- 113. 11.  A.  D RESCH ER,  G . de  JOSSELIN  de  JON G ,  Application of  photoelasticity to granular media, (w  oprac). 12.  M . F ROCH T, Photoelasticity,  Vol. I , Wiley, N ew York,  1941. 13.  R.  H I LL,  Elastic properties of reinforced solids: some theoretical principles,  J.  Mech.  Phys.  Solids, Vol. 11,  1964, 357- 372 14.  A.  N IEMIERKO, B.  OBIEG AŁKA,  O sposobach pomiaru  skł adowych  naprę ż eń  w gruntach,  Arch.  Inż.  Lą d., T.  XIII, z 4,  1967,645- 661. 15.  N G U YEN   CH AN H , Etude experimentale de lapoussee et de la butee des terres,  Ann. Ponts  Chaus.,  N o 4, 1968. 16.  W.  SZCZEPIŃ SKI,  Method of  characteristics  in computation  of  the  experimental  stress analysis,  Bull. Acad. P ol. Sci. Ser. Sci. Techn., Vol. XII, N o 12, 1964, 619- 626. 17.  T, WAKAEAYASHI,  Photoelastic method for  determination  of stress in powdered mass, Proc.  7- th Japan N at.  Congr. Appl.  M ech., 1957, 153- 158. 18.  T. WAKABAYASHI,  Photoelastic method for  determination  of stress in powdered mass, Proc.  8- th Japan N at.  Congr.  Appl.  Mech.,  1958, 235- 242. 19.  T. WAKABAYASHI,  Photoelastic method for  determination  of stress in powder mass, Proc.  9- th  Japan N at.  Congr.  Appl.  M ech., 1959, 133- 140. 20.  T. WAKABAYASHI,  A further  study  on  the  determination  of stress  in powder mass. Proc.  10- th Japan N at.  Congr.  Appl.  M ech., 1960, 187- 192. 21.  T. WAKABAYASHI,  Photoelastic method for  determination  of stress in powder mass, Proc.  11- th Japan N at.  Congr.  Appl.  Mech.,  1961, 135- 138. 22.  J. WEBER, Recherches  concernant  les contraintes  intergranulaires  dans les milieux pulverulents.  Applica- tion a la rheologie de ces milieux, Cah. G r. F ranc. Rheol., T. 1, N o 3, 1966,  161- 170. P  e 3  K>  M e riP H M EH EI - I HE  M OflEJIBH BIX  O n T H ^ E C K H   WBC T BH T E JI LH BI X  M ATEPH AJIOB RJIX  H C C JI E flO BAH H ^  H AH WD KE H H OrO  C OC TOflH JD I  C LfflytfflX B  paSoTe  pacciviaTpHBaeTcfl  BO3MO>KHOCTB  npH M eH emra  MOflejibHwx  o r m r a ec ia i  tjyBCTBHTenbHtix Ma- TepaaJioB  fljra  on peflejierora  H anp® iiKaeT HenocpeflCTBeHHO  H udpopMamieii  flKCKpeTH oro  xapaKTepa  (o  KOHTaKTHtix  CH Jiax),  KOTopaa  MOHiKHO  B  HeKOTOpwx on peflejiara  aHajiHTimecKHM   nyTeM   3HatieHHH   H anpaweH H H .  PaccMOTpeHH   TaioiKHOCTH   pa3BHTHH KOTOpblH  flOJD KeH  HaHTH   IIIHpOKOe npHMelieHHC B  Hay^HblX S u m m a r y APPLICATION   OF   OPTICALLY  SEN SIBLE  M OD EL  M ATERIALS  I N   STRESS  AN ALYSIS OF   G RAN U LAR  M ED IA Discussed  is  the  problem  of  application  of  photoelastic  materials  as  model  media  for  experimental stress  analysis  in  granular  masses.  D istinguished  are  two  kinds  of  model  media:  a)  medium  composed of  rollers  or  discs  of  a photoelastic  material,  b) crushed  glass sand  with  pores  filled  by  an  immersion  fluid. The  mechanical  and  optical  properties  of  both  types  of  models  are  discussed  on  the  basis  of  published data  and  author's results.  The rollers  model  furnishes  direct  information  of  the discrete  character (contact forces). These information may  be, however,  used  also  if  the continual approach  is employed  by  introducing the  concept  of  a  mean  stress  tensor.  Proposed  is  the  procedure  allowing  to  estimate  the  components  of this  mean  tensor.  The glass  sand  model furnishes  data  on  the principal  stresses  trajectories.  In some  cases, the  values  of  stresses may  be calculated  if  use  is  made of  the stress  trajectories.  The problem  of  description of  the deformation  of  media  is  discussed. The  paper  contains  a  review  of  recent  results  and  discussion  on  farther  possible  development  of  the method, which  seems  to be very promising  for  research  works  in mechanics  of  granular  media. IN STYTU T  POD STAWOWYCH   P R OBLEM ÓW  TE C H N I KI  P AN Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  13  marca  1970  r.