Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS70\MTS70_t8z1_4_PDF\mts70_t8z4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  8 (1970) O  P ROF ILACH   P RĘ D KOŚ CI  PRZY  LAMINARNYCH  PRZEPŁYWACH  POLIM ERÓW STEF AN   Z  A  H  O R  S K I  (WARSZAWA) 1. Wstę p Z najomość  moż liwie  dokł adn ych  profili  prę dkoś ci  dla  roztworów  i  stopionych  poli- merów  przepł ywają cych  przez  fury  i  kanał y  o  przekroju  prostoką tnym  posiada  istotne znaczenie  nie  tylko  dla  analizy  procesów  technologicznych,  lecz  również  dla  badan ia i  wyjaś nienia  róż n ych  «anom alii»  towarzyszą cych  przepł ywom  (wpł yw  naprę ż eń normal- nych,  redukcja  oporów  przepł ywu,  poś lizgi  n a  ś ciankach  itp.).  M etody  doś wiadczalnego wyznaczania  krzywych  pł ynię cia  (konsystencji)  dla  cieczy  nienewtonowskich,  za  jakie uważa  się   wię kszość  roztworów  i  stopionych  polimerów,  znane  są   dobrze  z  literatury podstawowej  (por.  n p .  [1, 2,  3,  4,  5]).  Krzywe  pł ynię cia  pozwalają   na  analityczne  okreś- lanie  profili  prę dkoś ci  w  oparciu  o  przyję ty  idealny  model  cieczy  (równania  konstytutyw- n e),  co  z  kolei  nie  zawsze  prowadzi  do  zadowalają cej  zgodnoś ci  z  profilami  obserwowa- nymi  w  rzeczywistoś ci. Ostatn io  podję to  liczne  próby  bezpoś redniego  mierzenia  profili  prę dkoś ci,  stosują c róż ne  urzą dzen ia  elektryczne,  optyczne  itp.,  zarówno  dla  roztworów  polimerów  (por. [6,  7,  8,  9]), jak  i  dla  stopion ych  polimerów  (por.  [10,  11,  12]) przepł ywają cych  z  róż nymi szybkoś ciami.  N iezależ nie  od  róż n ego  stopnia  trudnoś ci  technicznych  i  niedokł adnoś ci pom iarów  (róż ne  wymiary  ziaren  znaczą cych,  zaburzenia  wywoł ane  obecnoś cią   elektrod i  innych elementów pom iarowych ), wymienieni  autorzy  róż nili  się  nieraz znacznie w  ocenie pewnych  zjawisk  towarzyszą cych  przepł ywom.  I  tak  n p.  w  pracy  [11]  stwierdzono  przy przepł ywach  stopion ych  polietylenów  poś lizg na ś ciankach i uznano go za istotną   przyczynę rozrywania  stopu  {melt fracture),  podczas  gdy  przy  dokł adniejszych  pomiarach  przedsta- wionych  w  [12] zjawiska  poś lizgu  w  ogóle  nie  obserwowano. Korzyść  ze  znajomoś ci  analitycznych  wyraż eń  opisują cych  dokł adnie rzeczywiste  profile prę dkoś ci  w  cieczach  nienewtonowskich  jest  ogromna,  zwł aszcza  przy  badaniach  teore- tycznych.  N a  przykł ad  w  zagadn ien iu  statecznoś ci  przepł ywu  i  przejś cia  do  przepł ywu zaburzon ego,  kształ t  profilu  prę dkoś ci  odgrywa  rolę   pierwszoplanową   i  niejednokrotnie decyduje  o  samym  zjawisku  (por.  n p.  [13, 14]). W  niniejszych  rozważ an iach  zwrócono  uwagę   na  moż liwość  opisu  przepł ywów  sto- pionych  polim erów  przy  m ał ych  szybkoś ciach  ś cinania,  za  pomocą   równań  konstytu- tywnych  nieś ciś liwej  cieczy  lepkosprę ż ystej  stopnia  trzeciego  (por.  [15]).  Odpowiednie 480  S.  Z AH O R SK I analityczne profile  prę dkoś ci  porówn an o  z  doś wiadczalnymi  wynikami  pracy  [12]. Wł aś ci- wą  czę ść  rozważ ań  poprzedzon o  krótkim  omówieniem  in n ych  równ ań  o  charakterze empirycznym,  ja k  prawo  potę gowe  Ostwalda—de  Waele'a  (por.  [1,  2,  4]),  zwracając szczególną  uwagę  n a wady  i zalety  róż nych  sposobów  podejś cia. 2. Krzywe  pł yn ię cia i  prawo  potę gowe D oś wiadczalne  wyznaczanie  krzywych  pł ynię cia  cieczy  n ien ewton owskich  przepł ywa- ją cych  przez  cylindryczne  kapilary  (przepł yw  P oiseuille'a)  bazuje  n a  nastę pują cych  zależ- noś ciach  R abin owitscha—M oon eya  (por.  [4,  16]): 4 g  AP  R c   ~  R*'   T w  ~  /   2 ' gdzie  q w   jest gradientem  szybkoś ci  ś cinania  n a  ś ciance  przewodu,  r w   —  odpowiadają cym mu  naprę ż eniem  ś cinają cym,  Q —  wydatkiem  cieczy,  AP—  spadkiem  ciś nienia  n a  dł u- goś ci  /   przepł ywu  ustalonego,  zaś  R —  prom ien iem  wewnę trznym  kapilary.  Wielkoś ci D c   i  r,„ , z  których pierwsza  nazywana  jest  czę sto  pozorn ą  szybkoś cią  ś cinania,  są  zgodne ze  zmiennymi konsystentnym i  REIN ERA  [1], Z upeł n ie  analogiczny  wzór  dla  pł askich prze- pł ywów  w  kanał ach  (pł aski przepł yw  P oiseuille'a)  o  gruboś ci  a  =   2/z i  szerokoś ci  b  przy- biera  postać  (por.  [12, 4]) D= J  r- AŁ h s   2h 2 b'   w ~  I Zależ noś ci  (2.1)  i  (2.2)  dają  jednoznaczny  zwią zek  mię dzy  T,„  i  D c   lub  D s   —  opisują cy wł asnoś ci  cieczy  w  okreś lonej  tem peraturze. W  przypadku  przeprowadzen ia  obliczeń  dla ustalonych  wartoś ci  D c   lub  D s   wystarczy  dokon ać  pom iaru  w  jedn ym  doś wiadczeniu. N ie  wchodząc  w  techniczne szczegół y  samych  doś wiadczeń,  wspom n im y  tylko,  że  korzys- tając  z  zależ noś ci  (2.1)  lub  (2.2)  należy  uwzglę dniać  odpowiednie  poprawki  n a  «efekty wejś ciowe»  warunkują ce  rozwinię cie  profilu  prę dkoś ci  w  przepł ywie  ustalon ym  (por. n p.  [4, 17]). D oś wiadczalnie  zaobserwowany  fakt,  że  przy  róż n ych  zakresach  szybkoś ci  ś cinania zależ noś ci  r w —D c   lub  x w —D s   przybierają,  w  podwójn ie  logarytmicznej  skali,  postać bardzo  zbliż oną  do  liniowej,  był  bezpoś rednim  powodem  szerokiej  kariery  prawa  potę go- wego  (Ostwalda—de  Waele'a)  w  postaci  n astę pują cej: (2.3)  T =   k\ q\ \   k  >0,  n>  1  lub  »*£   1, O  PROFILACH   PRĘ DKOŚ CI  PRZY  PRZEPŁYWACH   POLIMERÓW  481 P rawo  powyż sze  wią że  n aprę ż en ie  ś cinają ce  T Z odpowiednim  gradientem  ś cinania  q  za poś redn ictwem  dwóch  stał ych : m iary  konsystencji  cieczy  k  (n p. charakteryzują cej  lepkość przy  q  =   1 sek~ Ł),  wykł adn ika  zachowan ia  się   cieczy  n. Z ależ noś ci  typu  (2.3)  i  in n e  został y  obszernie  omówione  w  literaturze  (por.  [1, 2, 4]), toteż  obecnie  ograniczymy  się   d o  przypom nienia,  że  prowadzą   one  do  profili  prę dkoś ci w  postaci n + 1 R d la  przepł ywu  przez  kapilarę   i (2.5) dla  pł askiego  przepł ywu  w  szczelinie. W  stosun ku  do  prawa  potę gowego  (2.3) wysuwano  cał y  szereg zastrzeż eń róż nej natury (por.  R E I N E R  [1]).  N iektóre  z  n ich, ja k  zależ ność  wymiaru  stał ej  materiał owej  k  od  wy- kł adn ika  potę gi  n  oraz  nieobiektywnoś ć,  mogą   być  usunię te  poprzez  wprowadzenie  bez- wymiarowego  gradien tu  ś cin an ia  oraz  zapisanie  (2.3)  w  innej  postaci,  w  której  pozorna lepkość  7]  =   r/ q  jest  funkcją   drugiego  niezmiennika  szybkoś ci  deformacji.  I n n e,  jak n p .  wł asnoś ć, że  dla  q  =   0 po zo rn a lepkość  staje  się   nieskoń czoną   lub zerową   w  zależ noś ci od  tego  czy  n  <  1,  czy  też  n  >  1,  nie  mogą   być  ominię te  bez  zmiany  charakteru  prawa (2.3).  Ostatn i  fakt  posiada  istotn e  znaczenie, gdyż  wprowadza  zmiany  w  centralnej  czę ś ci profilu  prę dkoś ci  niezależ nie  od realnych wł asnoś ci lepkich cieczy przy  mał ych  gradientach ś cinania. Z  p u n kt u widzenia  teoretycznej  poprawn oś ci  i  ogólnoś ci  wzoru  (2.3) lista  zasadniczych zastrzeż eń  m oże  być  znacznie  dł uż sza.  I  t ak  n p.,  nie  pozwala  on  n a  ujmowanie  bardziej zł oż onych  przepł ywów  wiskozymetrycznych,  nie  opisuje  wł asnoś ci lepkosprę ż ystych  cieczy nienewtonowskich,  efektów  n aprę ż eń  n orm aln ych  itp.  W  czasie  gdy  dysponujemy  ogólną teorią   cieczy  prostych  i  teorią   przepł ywów  wiskozymetrycznych  (por.  [3, 15]),  należy traktować  prawo  (2.3)  jako  zależ ność  empiryczną ,  uł atwiają cą   obliczenia  w  okreś lonym zakresie  param etrów fizycznych,  lecz  nie mogą cą   stanowić podstawy  nowoczesnej wiskozy- m etrii  i  bardziej  zaawan sowan ych  studiów  n ad  przepł ywami  polimerów. G woli  sprawiedliwoś ci  należy  dodać,  że  o  popularn oś ci  praw  potę gowych  w  reologii zadecydował a  stosun kowa  prost ot a  obliczeń,  ł atwość  doś wiadczalnego  wyznaczania  sta- ł ych  k  i  n  oraz  moż liwość  opisu  krzywych  pł ynię cia  w  róż nych  zakresach  szybkoś ci  ś ci- n an ia  poprzez wł aś ciwy  dobór stał ych. 3. Profile  prę dkoś ci  przy  przepł ywach  cieczy  lepkosprę ż ystych  stopnia  trzeciego Jako  kon trpropozycję   w  stosun ku  do  prawa  potę gowego,  rozważ ymy  obecnie  moż li- wość  zastosowan ia  ró wn ań  konstytutywnych  nieś ciś liwej  cieczy  lepkosprę ż ystej  stopnia trzeciego  do  wyznaczania  profili  prę dkoś ci  w  powoln ych  przepł ywach  stopionych polime- rów  przez  kapilary  i  szczeliny.  R ówn an ia  stopn ia  trzeciego  pozwalają   n a  odpowiednią 482  S.  Z AH O R SK I aproksymację   funkcji  wiskozymetrycznych  dla  ustalon ych  przepł ywów  nieś ciś liwych cieczy  prostych  (por.  [3,  15]).  N ależy  nadmienić,  że  teoria  funkcji  wiskozymetrycznych daje  zgodny  z rzeczywistoś cią   opis licznych rozcień czonych i skon cen trowan ych  roztworów polim erów;  są   to  przede  wszystkim  prace  M AR KOVI TZ A  i  współ pracown ików  [3,  18]. D la  wystarczają co  powolnych  przepł ywów  nieś ciś liwych  cieczy  prostych  równ an ia konstytutywne  mogą   być  zapisane  w  postaci  nastę pują cej  |(por.  [15]): (3.1)  o =   - p l + » j o ( l + y t r A2 ) A 1  +  a 1 A 2 + a 2 A ? + i 8 ( A i A 2 + A 2 A 1 ) ,  t rAj  =   0, ponieważ  dla ustalonych przepł ywów  wiskozymetrycznych  A„  =   0  dla  n  >  3.  W  równ an iu powyż szym  rj 0   oznacza  lepkość  przy  zerowym  gradiencie  ś cinania,  a l s  a2  i  /? —  współ - czynniki  odpowiedzialne  za  lepkosprę ż yste  wł asnoś ci  cieczy,  y  —  współ czynnik  ch arakte- ryzują cy  zmianę  lepkoś ci, p  —  dowolną   funkcję   skalarną .  Kin em atyczn e tensory  R ivlin a— Ericksena  są   zdefiniowane  nastę pują co  (por. [15]): (3.2)  d Aj  =   - -̂ gdzie  V»  jest  gradientem  prę dkoś ci,  zaś  wskaź nik  T   oznacza  operację   tran spon owan ia. M oż na  ł atwo  pokazać  (por. [15,  18]), że  stał e m ateriał owe w  (3.1) wią żą   się   z  funkcjami wiskozymetrycznymi  w  sposób  nastę pują cy: =  Vo(l+2yq 2 )+2Pq 2 +o(q), (3.3)  ff 1 (q) przy  czym  r\  oznacza  funkcję   lepkoś ci,  zaś  a L   i  a 2   —  odpowiednie  funkcje  n aprę ż eń n or- malnych.  W  ogólnym  przypadku  cieczy  prostej  obowią zują   zwią zki rjo =  Hm  rj(q), «- >-0 (3- 4)  a 2   =   Iim[a 2 (q)/ q 2 ], 3.1. Piaskie przepływy Poiseuille'a. D la pł askiego przepł ywu w  kan ale lub  szczelinie  równ an ia (3.1;  upraszczają   się   do  postaci  (por.  [15]) (3.1.1.)  c =   - ^l  +  ?7o(l +  ł ?it r A2) Ał  +  a 1 A 2 ,  t r Aj  =   0, a  ponieważ  w  kartezjań skim  ukł adzie  współ rzę dnych  jedyn ą   niezerową   skł adową   prę d- koś ci jest  prę dkość  w  kierunku  przepł ywu  v(y),  m am y (3.1.2)  8 v oraz (3.1.3)  a u   =   —p,  a 22   =   - p+2a 2 q 2 ,    0 (por.  [13]).  N ieco inaczej  ma  się  sprawa,  gdy  porównujemy  profile  prę dkoś ci  dla  ustalo- n ego wydatku  Q.  M amy  wówczas h (3.1.8)  O =   2  j  v(y)bdy  =   —r — o  3Vo oraz (3.1.9)  v(y).-   2Q a  zatem  dla  mał ych  M   <  0  profil  bę dzie  bardziej  spł aszczony,  niż  w  przypadku  cieczy newtonowskiej  (M  =  0). Warto jeszcze  dodać, że  profil  prę dkoś ci  (3.1.7) lub  (3.1.9) nie zależy  od parametru  a x charakteryzują cego  lepkosprę ż yste  wł asnoś ci  cieczy,  oraz  że  M  <  0  (ł ?i <  0)  odpowiada zmniejszają cej  się,  wraz  z  gradientem  ś cinania, pozornej  lepkoś ci  cieczy.  Ostatni fakt  jest najczę ś ciej  obserwowany  przy  ustalonych  przepł ywach  roztworów  i  stopów  polimerów (por.  [2, 3,  4]). Wprowadzając  poję cie gradientu (szybkoś ci)  ś cinania na ś ciance kanał u q w   —  \ 8vjdy\ y=h , m oż na,  n a podstawie  (3.1.8)  i  (3.1.9), stwierdzić,  że n  1  im  ^  2  uu%  1- 0,6  M + 1, 29 M 2 (3- 1- 10)  fl- jfrW  - i l ^ (3- 1- 11)  « » „   =   «( 0)  2 - 484 S.  ZAHORSKI 3.2. Przepływy Poiseuille'a.  Rozumują c  analogicznie  i  uwzglę dniając  równ an ia  kon stytu- tywne  w  peł nej  postaci  (3.1)  dochodzimy,  dla  przepł ywu  przez  cylindryczne  kapilary,  dô zależ noś ci  nastę pują cych: "0 0 .1 0 0 0 q 0 0 ,  [A2]  = - 2q* 0 0 0 0 0 0" 0 0 dv a 22   =   —p, (3.2.1) (3. 2. 2) uzyskanych  w  zał oż eniu,  że  w  walcowym  ukł adzie  współ rzę dnych  kierun ek  przepł ywu pokrywa  się  z osią   z, a jedyną   niezerową   skł adową   prę dkoś ci jest  v{r).  P odstawiają c  (3.2.2) do  równań  równowagi  (3.1.4)  otrzymamy (3.2.3)  q- a  po  scał kowaniu i uwzglę dnieniu,  że v(R)  =  0 , - in- N 2 1 — gdzie (3.2.5) Ponieważ (3.2.6) mamy (3.2.7)  v(r)=- a  także (3.2.8) (3.2.9) 8   +   16 O  PROFILACH   PRĘ DKOŚ CI  PRZY  PRZEPŁYWACH   POLIMERÓW  4 8 5 N ależy  zwrócić  uwagę ,  że  nawet  dla  jednakowych  wartoś ci  rj 0 ,  y  i /?  parametry  M\   N nie  są   identyczne;  zależą   one  od  gradientu  ciś nienia /   oraz  gruboś ci  2h  i  promienia  R. D opiero  dla  tych  samych  cieczy  przepł ywają cych  przy  tym  samym  gradiencie  ciś nienia przez  kapilarę   i  szczelinę ,  której  grubość  równa jest  ś rednicy  wewnę trznej  kapilary,  mamy 3.3. Pł askie przepływy z warstwą  przyś cienną.  Rozważ my  obecnie pł aski przepł yw  przez  kanał , w  którym  obserwuje  się   zjawisko  efektywnego  poś lizgu  n a  ś ciankach.  Jeś li  warstwa  przy- ś cienna cieczy  posiada,  n p. n a  skutek  wpł ywu  duż ego  gradientu  ś cinania w pobliżu  ś cianki, lepkość  mniejszą   niż  reszta  cieczy,  znaczna  czę ść  ś cinania  realizuje  się   w  warstwie  przy- ś ciennej.  Zjawisko  takie  obserwowane  w  przepł ywach  zawiesin  (np.  [8]),  roztworów (n p.  [6])  i  stopionych  polimerów  (np.  [10,  11])  ma  istotny  wpł yw  na  kształ t profilu  prę d- koś ci. Z akł adają c,  że  ciecz  opisana  jest  równaniem  (3.1.1),  a  bardzo  cienka  warstwa  przy- ś cienna  podobn ym  równ an iem  ze  stał ą   lepkoś cią   r} 02 ,  otrzymamy  (por.  [19]) (3.3.1) gdzie (3.3.2)  m — 2 2 L »? zaś wskaź nikami  1 i 2 oznaczono wielkoś ci  odnoszą ce się  odpowiednio do rdzenia i warstwy przyś ciennej. Biorą c  pod  uwagę ,  że / li  h (3.3.3)  2  =   2 /   ^ O O r fy+ 2  [ bv 2 (y)dy  = mamy (3.3.4)  Q'*=jł (3.3.5)  v max   = gdzie  q w   t ak jak  poprzedn io  oznacza  gradient  ś cinania  n a  ś ciance 486  S.  ZAHORSKI Jeś li  zał oż yć,  że  warstwa  przyś cienna  jest  bardzo  cienka  (<5 «  1,  <52 «  1,  itp.)  i  mniej lepka  przy  mał ych  gradientach ś cinania  (m  <  1) ,to zależ noś ci  (3.3.4)  i  (3.3.5)  upraszczają się   do  postaci (3.3.6)  Q =  ~q w bh 2 rn(l- 0,6M+l,29M 2 ), <3.3.7)  v miS =*±q v hm(l- 0,5M+M 2 ). 3.4. Zmiana lepkoś ci a krzywe płynię cia. D otychczasowe rozważ ania  dotyczył y zależ noś ci poz- walają cych  opisać  profile  prę dkoś ci  w  powolnych  przepł ywach  przez  kanał y  i  kapilary. N iezależ nym  zagadnieniem  jest  okreś lenie  param etrów  M  i  N   n a  podstawie  znajomoś ci doś wiadczalnych  krzywych  pł ynię cia  (konsystencji)  r w —D s   lub  r w —D c . Wykorzystują c,  na przykł ad, zależ noś ci  (3.1.9)  i  (3.2.7)  oraz przyrównują c  odpowiednie .gradienty  ś cinania  na  ś ciankach  do  wartoś ci  wynikają cych  z  wzorów  Rabinowitscha- M ooneya  (2.1) 2,  (2.2) 2, otrzymamy (34  11  1 L   J0o$D,)]  1- M+1M' Jeż eli  w  zakresie  mał ych  gradientów  ś cinania  krzywe  pł ynię cia  uzyskane  w  podwójnie logarytmicznej  skali  są   zbliż one  do  linii  prostych  (por.  [1, 4]), to wyraż enia  z lewej  strony (3.4.1)  i  (3.4.2)  przybierają   wartoś ci  stał e —  zwią zane  ze  współ czynnikami  nachylenia prostych  lo gD s—lo gr w  lub  lo gD c —lo gr w.  Wystarczy  teraz  rozwią zać  odpowiednie  rów- nania  drugiego  stopnia n a  M  lub  N . Oczywiś cie  moż liwe  są   inne  sposoby  okreś lania  param etrów  M,  N ,  n p.  n a  podsta- wie  doś wiadczalnie  uzyskanego  przebiegu  funkcji  wiskozymetrycznych  rj(q),  cr^ q),  a 2 {q)   0,  co  jest  sprzeczne  z  doś wiadczalnie  stwierdzonym  zmniej- szaniem  się   lepkoś ci  wraz  ze  wzrostem  gradientu  ś cinania,  niewiele  pom aga.  W  celu uzyskania  profilu  prę dkoś ci  moż liwie  zgodnego  z  przebiegiem  pom iarów,  należy  przyją ć 0 , 2 - 0 , 2 mmOf dla  Siloprenu i, V mrn/ sek Rys.  1. Profile  prę dkoś ci R S  przy  20°C.  Kół kami  oznaczono  prę d- koś ci  zmierzone w pracy  [12] Ofl  mm Rys.  2.  Profile  prę dkoś ci  dla  Marlexu 6002  przy  190°C.  Kół kami  oznaczono prę dkoś ci  zmierzone w pracy  [12] Rys.  3.  Profile  prę dkoś ci  dla  Marlexu 6050  przy  170°C.  Kół kami  oznaczono prę dkoś ci  zmierzone w pracy  [12] O  PROFILACH   PRĘ DKOŚ CI  PRZY  PRZEPŁYWACH   POLIMERÓW  4 8 9 albo wystę powanie  efektywnego  poś lizgu  w cienkiej  warstwie  przyś ciennej, albo też zał oż yć, że  obliczony  w  myśl  (4.1) wydatek  cieczy jest zbyt  duży  w  porównaniu z wydatkiem  rzeczy- wistym. C hociaż  moż liwość  wystę powan ia  efektywnego  poś lizgu  na  ś ciankach  nie  został a jedn ozn aczn ie u dowodn ion a  (por. Wstę p), zjawisko  to wydaje  się  bardziej  prawdopodobne dla  M arlexu  6050  niż  dla  M arlexu  6002, jeś li  przyją ć,  że wię kszy  indeks  stopu  odpowiada mniejszym  boczn ym  rozgał ę zieniom polim eru, co  z  kolei  sprzyjał oby  wię kszemu  wpł ywowi ś cianki  n a  orientację   struktury.  Stwierdzono  także  w  pracy  [20],  że  dla  M arlexu  6050 odpowiedn i  współ czynnik  charakteryzują cy  poprawkę   na  «efekty  wejś ciowe»  (por.  [17]) w  kapilarach jest  dla  m ał ych n aprę ż eń ś cinają cych  wyraź nie  mniejszy  niż dla M arlexu  6002 i  bardziej  zbliż ony  d o  stał ej  C ouette'a dla  przepł ywów  cieczy  newtonowskich.  Oznacza to, że  dla  M arlexu  6050  ustalon y  profil  przepł ywu  jest  osią gany  na  krótszej  czę ś ci  przewodu, czemu  sprzyjał oby  niewą tpliwie  istnienie  efektywnego  poś lizgu  n a  ś ciankach. Wykorzystują c  (3.3.6)  i  (3.3.7)  oraz  obliczone  Q  —  5,9  m m 3/ sek  i  wzię te  z  pomiarów B m l x  =   0,9  mm/ sek  (por. rys.  3), otrzym am y m  ss  0,28  i M  «  — 1, Chociaż ostatnia wartość wychodzi  znacznie poza  dopuszczaln y  zakres  \ M\ , przy  którym  moż na korzystać  z  rozwi- nię cia  w  szereg  (3.1.7),  odpowiedn i  profil  prę dkoś ci  dla  porówn an ia  zaznaczono na  rys.  3 linią   przerywaną . Z ał oż enie  mniejszego,  niż  obliczony  n a  podstawie  (4.1),  wydatku  cieczy,  n p.  Q  = =   5,5  m m 3/ sek,  daje  w  myśl  (3.1.9)  i  (3.1.10)  wartoś ci  nastę pują ce:  M  »  —0,4, v max   = =   0,93  mm/ sek.  Odpowiadają cy  im  profil  prę dkoś ci,  oznaczony  n a  rys.  3  linią   kropka- kreska,  dość  dobrze  opisuje  ukł ad  pun któw  doś wiadczalnych.  Warto  również  dodać, że  dla  jeszcze  mniejszych  wartoś ci  Q  =   5,1  m m 3/ sek  z  jednoczesnym  uwzglę dnieniem zjawiska  poś lizgu  otrzym am y  dla  v mB , x   =   0,92  mm/ sek  wartoś ci  M  «  0,71  i  M  «  0(!), również  wł aś ciwie  opisują ce  rzeczywisty  profil  prę dkoś ci.  Rozważ ania  powyż sze  dobrze ilustrują   znaczenie  znajomoś ci  moż liwie  dokł adn ego  wydatku  cieczy;  mają c  dane  dla przepł ywu  Q  i  wm a x,  jesteś my  w  stanie  jedn ozn aczn ie  okreś lić  wszystkie  pozostał e para- m etry  cieczy. Z aznaczmy  jeszcze,  że  znajom ość  param etru  cieczy  M  okreś lonego  n a  podstawie przepł ywu  przez  szczelinę   pozwala  porówn ać  gradienty  ś cinania  n a  ś ciance  q w   i  maksy- m aln e  prę dkoś ci  wm a x  obliczone  n a  podstawie  prawa  potę gowego  (2.3)  i  równań  konsty- tutywnych  (3.1)  dla  przepł ywów  przez  cylindryczne  kapilary.  I  tak  dla  Siloprenu  RS, przy  ustalon ym wydatku  oraz t a k  dobran ych wymiarach  szczeliny  i kapilary,  ż eby  M  — N (por.  p .  3.2),  q w   wynikają ce  z  prawa  potę gowego  bę dzie  o  11%  wię ksze,  niż t a  sama wiel- kość  wynikają ca  z  równ ań  cieczy  stopn ia trzeciego,  zaś  wnmx  odpowiednio  mniejsze  o  10%.  < Odchylenia powyż szych  wielkoś ci  dla  M arlexu  6002  wyniosą   18- 19%. 5. Krótkie wnioski Reasumują c  dotychczasowe  rozważ an ia  m oż na  stwierdzić,  ż e: 1) równ an ia  kon stytutywn e  nieś ciś liwej  cieczy  lepkosprę ż ystej  stopnia  trzeciego  poz- walają   n a  opis  profili  prę dkoś ci  i  krzywych  pł ynię cia  dla  stopionych  polimerów  (Silo- pren e  R S,  M arlex  6002)  przepł ywają cych  z  mał ymi  szybkoś ciami  przez  kanał y  lub  ka- pilary; 8  M ech an ika  teoretyczna 490  S.  ZAHORSKI 2) równania  powyż sze  dają   n a  ogół   mniejsze  spł aszczenie  profili  prę dkoś ci  n a  osi przepł ywu  niż prawa  potę gowe;  fakt  ten wynika  przede  wszystkim  z  istnienia  skoń czonej lepkoś ci  przy  zerowym  gradiencie ś cin an ia; 3) propon owan e równ an ia  konstytutywne  mogą   być  stosowane  do  opisu  bardziej  zł o- ż onych  przepł ywów  wiskozymetrycznych  umoż liwiając  uwzglę dnianie  wł asnoś ci  lepko- sprę ż ystycti,  efektów  naprę ż eń norm alnych it p . ; 4) param etry  odpowiedzialne  za  zmiany  pozorn ej  lepkoś ci  cieczy  wraz  ze  wzrostem gradientu  ś cinania  zależ ą  istotnie  od  doś wiadczalnych  param etrów  krzywych  pł ynię cia, a  zwł aszcza  od wydatku  cieczy; 5) niewielka  modyfikacja  rozważ anych  zależ noś ci  umoż liwia  uwzglę dnienie  zjawiska efektywnego  poś lizgu  n a  ś ciankach  przewodu;  wystę powanie  tego  zjawiska  m a  istotny wpł yw  n a kształ t obliczonego profilu  prę dkoś ci. Literatura  cytowana  w tekś cie 1.  M, REIN ER, Deformation  and Flow,  London 1949. 2.  W. L.  WILKIN SON , N on- N ewtonian  Fluids,  London- Oxford- N ew  York- Paris 1960. 3.  B. D.  COLEMAN,  H .  MARKOVITZ,  W.  N OLL,  Viscometric Flows of  N on- N ewtonian  Fluids. T heory  and Experiment, Berlin- H eidelberg- N ew  York 1960. 4.  D . M. MCKELVEY,  Polymer Processing,  N ew York  1962. 5.  A.  H .  P .  SKELLAND,  N on- N ewtonian  Flow and Heat  T ransfer,  N ew  York- London- Sydney 1967. 6.  B. A.  TOMS, Detection  of  a  wall effect in laminar flow  of solutions  of  a linear polymer, J. Colloid Soi., 4  (1949), 511- 521. 7.  V. C. PATEL,  M. R.  H EAD ,  Some observations  on skin friction  and velocity profiles in fully  developed pipe and channel flows, J. F luid  Mech., 38 (1969),  181- 201. 8.  S. L. Soo, Pipe flows of suspensions,  Appl.  Sci. Res., 21 (1969), 68- 84. 9.  G . J.  REUSSWIO, F . F .  LI N G , A reassesment of  the wall effect of non- N ewtonian flow  of polymer solutions, App.  Sci. Res., 21 (1969), 260- 283. 10.  J. J.  BENBOW,  R. V.  CHARLEY,  P. LAMB,  Unstable flow  of molten polymers,  N ature,  192 (1961), 223- 225. 11.  B.  MAXWELL,  J. C.  G ALT,  Velocity profiles for  polyethylene melt in tubes, J. Polymer  Sci., 62  (1962), S50- S53. 12.  J. L. den  OTTER, J. L. S.  WALES,  J. SCH IJF ,  T he velocity profiles of molten polymers during laminar flow, Rheolog. Acta, 6 (1967), 205- 209. 13.  S. ZAHORSKI,  Instability depending  on elastic properties  of  fluids  in plane  steady shearing flows,  Arch. Mech. Stos., 21 (1969), 145- 166. 14.  S. ZAHORSKI,  Effect  of  diffusion of  viscoelastic  properties on instability of plane, free- surface  flows, Arch.  Mech. Stos., 22 (1970),  213- 231. 15.  C. TRUESDELL,  W.  N OLL,  T he non- linear field  theories of  mechanics, Encycl.  of  Physics,  vol. M / 3, Berlin- H eidelberg- N ew  York  1965. 16.  B. RABINOWITSCH,  Ober  die  Viskositat und Elastizitdt von  Solen, Z . Phys.  Chem.,  A 145 (1929), 1- 26. 17.  E. G . BAG LEY,  End corrections  in the  capillary flow  of polyethylene,  J. Appl.  Phys., 28 (1957), 624- 627. 18.  H .  MARKOWITZ,  N ormal stress measurements  on polymer solutions,  P roc.  IVth  Inter.  Congress  Rheol., part  I , New York- London- Sydney  1965. 19.  S. ZAHORSKI,  Role  of  elasticity stratification in two- layer flows  down an inclined plane,  Arch.  Mech. Stos., 21 (1969),  571- 583. 20.  J. L. S.  WALES,  J. L. den  OTTER,  H .  JAN ESCH ITZ- KRIEG L,  Comparison between slit  viscometry  and cylindrical capillary  viscometry,  Rheol. Acta, 4 (1965), 146- 152. O  PROFILACH   PRĘ DKOŚ CI  PRZY  PRZEPŁYWACH   POLIMERÓW  491 P  e  3  10  M  e O  nPOHJIJTX  C KOP OC TH   I I P H   JIflM H H AP H LIX  T E ^ E H H flX n OJI H M E P OB n o  BO3M OJKH OCTH  CBeflemin  o  npocpiuiH x  CKOPOCTH  JIJIH   paciBopoB  H  pacn jiaaoB  nojniMepoB irpoTeKaiom nx  n o Tpy6aM   H  KaHanaiw  BecbMa  cymecTBeH H bi  c  T O ^K H   3peHHH  TexH OjionwecKiix  npoijeccoB poBHO  KaK  H3  T O ^ K H   sp e n i w  an ajn raa  Son ee  CJIOHKH0  OflHaKO  BblflBHHyTb  MHOrO ROBOflOB  ( c p . [1]) . B  IIOCJieflHee  BpeMfl npeflnpHHHTBi  nonbiTKH   onpeAeneH H H   n pocpm icii  CKOPOCTH   c  n oM om tio  npHMbix  H3MepeHBii  ( c p .  [9, 11, 12]) . B  nacTOH meii  p a 6 o i e  npeAJioH KH AKOCIH   Tperaero n o - pnflKa  flJM   onncaH H H  MeflneHUBiXj  jiaMH H apH wx  Te^eHHH  p a c n n a so B  nojiHiviepoB  xiepes  menH   H   IJH JIH H - HPH^ecKHe  KannitJiH pbi.  3 T H   ypaBHeHHH   He  TOJibKo  Son ee  o6mH   n o  cBoeii  n papofle  H O  H   BbiTeitaiomne H3  HHX 3aBHCHM0CTH   MOryT.JierKO  MOflH(J)Hl(HpOBaTbCH   flJIH   CJiyqaH   „3Cj)lJ)eKTHBH0r0  CKOJIb>KeHHH" CTBH OK.  flnH   HJiJiiocTpaLtHH 3 n on y^eH H bie  n yieM   TeopenraecKH X  paccyH<,n;eHHH  npocjiHUH, cpaBHH- c  9KcnepHMeHTaiwH   flpyrux  aBTopoB  npoBeflemibiM H   flJiH   Te^eHHH   CKB03b  m ejin  ( c p .  [123  20]). S u m m a r y ON   VELOCITY  P ROF ILES I N   LAM IN AR  FLOWS  OF   POLYMERS A  knowledge  of  possibly  exact  velocity  profiles  for  polymer  solutions  and  melts  in  pipe  and channel flows  is  of  great  importance for  technological  processes  as  well  as  for  more  advanced  analysis  of  flows (anomalous  effects,  instability  etc.). There exist numerous  methods  of  experimental  determination of  flow curves,  on  the  basis  of  which  analytical  velocity  profiles  are  obtained  for  various  constitutive  equations. One  of  the  most  widely  used  models  is  that  of  so- called  power  law fluid  against  which,  however,  many objections  can .be  formulated  (cf.  [1]).  M ore  recently,  attempts  have  been  made  to  determine  velocity profiles  by  means of  direct measurements  (cf.  [9, 11, 12]). In  the present  paper  the  constitutive  equations  of  a  visco- elastic  fluid  of  third  grade  are proposed  for description  of  slow  laminar flows  of  molten polymers  in  slits  and  cylindrical  capilaries.  These  equations are  not  only  of  more  general  nature  (an  approximation  for  simple  fluids)  but  also  the resultant relations can  be  easily  modified  for  the case  of  effective slip at  the walls. F or further  illustration,  the velocity  pro- files  resulting  from  our  theoretical  considerations  have  been  compared  with  the  slit flow  experiments  of other  authors  (cf.  [12, 20]). IN STYTU T  P OD STAWOWYC H  P R O BLE M Ó W  TE C H N I KI  P AN i Praca został a zł oż ona w Redakcji dnia 16 marca  1970 r.