Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS69\MTS69_t7z1_4_PDF\mts69_t7z1.pdf


M E C H A N I K A 

T E O R E T Y C Z N A 

I  S T O S O W A N A 

1,  7  (1969) 

S T A N  N A P R Ę Ż E Ń   I  O D KS Z TA Ł C E Ń   W  K O L E  W I R N I K O W Y M  Z  M A Ł Ą  

L IC Z B Ą   B O C Z N Y C H Ł O P A TE K  P R O M I E N I O W Y C H ^ ) 

JAN U S Z  Z I Ó Ł K O W S K I  ( ŁÓ D Ź) 

W yk a z  waż niejszych  oznaczeń  

a  promień   piasty  koła  wirnikowego, 

A  ma cierz  współczynników  , 

b  promień   zewnę trzny  koła  w ir n ikow ego;  ma cierz  w oln ych  wyrazów  6j, 

В   ma cierz  współczynników  u fj?, 

с   stała, 

e  liczb a na tu ra lna , 

E  moduł  You n g a , 

F  pole  przekroju  poprzecznego  łopatki, 

g  gruboś ć   łopatki;  przyspieszenie  siły  cię ż koś ci, 

h  gruboś ć   tarczy  kołowej, 

H  stała, 

i,  k,  1  liczb y natu ralne, 

m  liczb a łopatek,  m  =  2, 3 

n  liczb a na tu ra lna ,  n =  l t 2 , 

p  siła  wzajemnego  oddziaływania  łopatki  i  tarczy, 

P  fu nkcja , 

r  współrzę dna  b iegu nowa  p r omien ia ;  kieru nek  promieniowy, 

R  fu nkcja , 

и   przemieszczenia  promieniowe, 

v  przemieszczenia  ob wodowe, 

x  dotyczy  rozwią zania  szczególnego, 

a ,  /?, y, 6  współczynniki, 

у   cię ż ar  właś ciwy, 

6  fu nkcja  imp u ls u  jednos tkowego, 

e, T]  współczynniki, 

©  współrzę dna  b iegu nowa  ką ta,  kieru nek  ob w od ow y, 

x  współczynnik, 

v  współczynnik  Pois s ona , 

Q  b ezwymia rowa  współrzę dna  b iegu nowa  p r omien ia Q =  r/ b, 

a  naprę ż enia  n or ma ln e, 

T  naprę ż enia  styczne, 

(o  prę dkoś ć   ką towa. 

4  N in iejs za p u b lika cja jest  fragmentem  wyb ranej  pra cy  doktors kiej  p od kier u n kiem prof, d r a inż .  Jerzego 

L e yk o 



4  J .  Z I Ó Ł K O W S K I 

1. Równania  podstawowe 

W  p r a cy  rozwią zano  za ga dnienie  rozkładu  przemieszczeń   i  naprę ż eń   w  kole  w i r n i ­

k o w y m  z  małą   liczbą   b oczn ych  łopatek  p r omien iow ych ,  u s ytu ow a n ych  s ymetrycznie 

wzglę dem  ta rczy.  Opracowaną   metodę   zilu s tr ow a n o  przykładem  l iczb ow ym. 

Rozp a tr u je  się   tarczę   kołową ,  wirują cą ,  o  stałej  gruboś ci  z  łopatkami  p r omien iow ymi 

u mies zczon ymi  s ymetrycznie  p o  o b u  s tr on a ch  płaszczyzny  ś rodkowej  ta rczy  (rys.  1). 

W p r o w a d zo n o  ozn a czen ia :  m  —  liczb a  łopatek,  Q —  b ezw ymia r ow a  współrzę dna  b ie­

g u n ow a  p r omien ia ,  Q =  r/ b. 

Rys .  1 

W  celu  rozwią zania  za ga d n ien ia  d l a  małej  liczb y  łopatek  w yk l u cza  się   moż liwoś ć  

s tos ow a n ia  metod  op a r tych  n a  teorii  cien kich  płyt  kołowych  o  or totr op ii  kon s tr u kcyjn ej. 

W  niniejszej  p r a cy  przyję to  przeto  oddziaływanie  łopatki  n a  tarczę   noś ną   w  p os ta ci  n ie­

w ia d omej  siły  p r omien iow ej,  p ow ier zch n iow ej,  os iowo­ nies ymetrycznej  p(q,  0). 

T a k  sformułowane  za ga dnienie  s p r ow a d zon o  d o  mod el u  ta rczy  kołowej  wirują cej, 

podlegają cej  płaskiemu  s ta n ow i  naprę ż eń   os iow o­ n ies ymetr yczn ych ,  obcią ż onej  siłami 

odś rodkowymi  wirują cych  ma s  or a z  siłami  oddziaływania  łopatek  P(Q,  O). 

Równania  równowagi  wewnę trznej  d l a ta rczy  (rys.  2)  mają   nastę pują cą   postać  

f  \ 

Wprowadzają c  d o  równań   równowagi  zależ noś ci  wynikają ce  z  uogólnionych  p r a w 

H o o k e ' a ,  wyraż ają ce  naprę ż enia  za  pomocą   odkształceń   wzglę dnych  or a z  zależ noś ci 

geometryczne  wią ż ą ce  odkształcenia  z  przemies zczenia mi,  otr zyma n o  d l a  p os ta w ion ego 

za ga d n ien ia  układ  dwóch  równań   róż niczkowych  dru giego  rzę du  o  p och od n ych  czą stko­

w ych ,  wyraż onych  w  przemies zczenia ch 



S T A N  N A P R Ę Ż E Ń   I  O D K S Z T A Ł C E Ń   W  K O L E  W I R N I K O W Y M  5 

82u  1  8u  u  l ­ v  1  82u  l+v  1  82v  3 ­ y  1  dv 

8Q2  e  8Q  Q2  2  Q2  802  +  2  Q  8Q 80  2  s 2  80~ 

1— yp 2 p  1 gp  t i l  1  3 ­ r 1  <9M  i + » i  <э 2м   _ 

! 

Rys .  2 

2. Równania  róż niczkowe d la danego  zagadnienia  (rozkład w postaci  impu lsu  jednostkowego) 

i  ich rozwią zanie 

Przyjmu je  się ,  ż e  łopatka  oddziaływuje  n a  tarczę   liniową   siłą   promieniową   P(Q). 

Ponieważ   siła  p(g,  0)  wystę pują ca  w  układzie  równań   (1.3)  jest  siłą   powierzchniową  

przeto  siłę  liniową  p(g)  rozłoż ono  n a ob w od zie  w  pos ta ci  imp u l s u  jed n os tkow ego  o  okres ie 

2n/ m  (rys. 3). 

D l a  b iegu nowego  układu  współrzę dnych  fu nkcja  imp u l s u  jed n os tkow ego  o  okres ie 

2n/ m  wyraż a  się   w  pos ta ci  nastę pują cego  szeregu  trygonometrycznego 

(2.1)  6(6,  <9)  =  ^ ­ L 
710  Q 

1  °° 
y +  2?  cos  (nm&) 

л =1 

Siłę   liniową   p(g)  moż na  rozłoż yć   n a p ow ier zch n i  ta rczy  stosują c  przekształcenie 

(2­2)  p(Q,  9)  =  ó(ę ,  9)p(Q). 

P o  p od s ta w ien iu  (2.1) d o  (2.2)  p r omien iow a  siła  p ow ier zch n iow a  jest  równa 

(2.3)  p(e,0)  =  ^ \ ± ­  +  2coS(nm0) 

л  = 1 
nb  Q 



6  J .  Z I Ó Ł K O W S K I 

Wprowadzają c  siłę   (2.3) do układu  równań   (1.3) otr zyma n o 

82u  1  8u  u  \­v\_^u_  l+v  1  82v  3—v  1  dv 

3^  +  ^8^~~(? +~1 Г 'о 2~862  +  ~2~1[д д 86  2  Q2  86 

(2.4) 

gdzie 

(2.5) 

(2.6) 

~2~№   Q3Q  Q2\  e2 

=  aiPM  +  a/M  у   cos (nm6) + oc3Q, 

32v  ,  3 ­ r  1  8u  1 + У   1  g2» _ n 

« 2 

<9<92  1  2  e 2  86  '  2  e  <9e 36 

{\­v2)b  m 

a ,  = 

Eh  2n' 

( l ­ v 2 ) y a ) 2 6 3 

?.T f/ m 

• 

Rys .  3 

P r zy  założ eniu,  ż e  siłę   liniową   oddziaływania  łopatki  moż na  wyrazić   w iel omia n em 

potę gowym 

(2.7) 

p od s ta w ow y  układ  równań   róż niczkowych  d l a rozpa trywa nego  za ga d n ien ia  m a  postać  

82u  }_д и   u  l—v  1  S2u  l+v  1  d2v  3—v  1  dv 

^ 2 +  Q  fy~^  +  ^l?B62~  +  ^r~Q  BQ86  2  Q2  86~ 





8  J .  Z I Ó Ł K O W S K I 

rozwią zanie  przewidu je  się  w  p os ta ci 

(2.14)  un(e)  =  A,e\  v„(e)  =  A,e' 

Podstawiają c  p r zew id yw a n e  rozwią zania  (2.14)  d o  układu  (2.13)  otr zyma my 

3 ­ i 

(2.15) 

А ,^2­1­^­п 2т 2^+А ,  {—­nmt­^­^nn^  =  0, 

А ^­Ц п̂ т ­^nmt  j + A , [ ~  ( r 2 ­ l ) ­ « 2 m 2 J  =  0. 

Ponieważ   z  założ enia  A,+A2  ф   0,  w ob ec  tego  przyrównujemy  d o  zera  w yzn a czn ik  ch a ­

ra kterys tyczny  układu  (2.15),  a  mia n ow icie 

(2.16) 

,  ,  1— v  ,  ,  1 +  r  3—v 
t—l  —  nm  ;  —^nmt  —  nm 

3— v  1­f­r 
­nm  —nmt; 

2  2 

l­v 
{t2­\)­n2m2 

=  0. 

2  2  '  2 

Obliczają c  w yzn a czn ik  (2.16)  otr zyma n o  równanie  czwa rtego  s topnia ,  którego  p ier w ia s tki 

są   równe 

(2.17)  r,„  =  —t2„—  =  1— nm;  t3n  =  —t4n  =  l+nm, 

a lb o  w  skróconej  pos ta ci 

(2.18)  tln  =  ( _ i y ­ i ­ ( / * ­ 5 / + 5 ) / i » i ,  / =  1, 2,  3, 4. 

Okreś lono  współczynnik 

A,  nm[(l+v)tLN+3­v] 
a l n  =  —Г   = 

( 2 Л 9 Л )  " ' ­ ­ ^ ­ ( l ­ v ) ( ^ ­ l ) ­ 2 « W 

przyjmują c  wartoś ci  pierwiastków  okreś lone  zależ noś cią   (2.18) 

3 ­ v + ( l + r ) [ ( ­ l ) ' ­ ' ­ ( / 2 ­ 5 / + 5 ) « w ] 
(2.19.2)  <*!«  =  — . 

2:(1 ­ r ) ( ­ 1 ) ' ­ 1  ( Z 2 ­ 5/+ 5) + ( 1  +  v)  nm' 

O tr zyma n e  rozwią zania  szczególne  g',n,  j a k  łatwo  sprawdzić ,  są   l in iow o  niezależ ne. 

Rozwią zanie  ogólne  układu  równań   j ed n or od n ych  (2.13)  moż na  wię c  przedstawić   za 

pomocą   liniowej  k omb in a cj i  rozwią zań   szczególnych 

4 

й „( е )  =  ^BlnQ\ 

(2.20) 

gdzie  Bi„  —  stałe  zna jdowa ne  z  warunków  b rzegowych  za ga dnienia .  Rozwią zania  szcze­

gólne  układu  równań   róż niczkowych  (2.12)  zn a lezion o  w  nastę pują cej  pos ta ci. 

D l a  k+1  Ф   ±l+nm 

( 2 . 2 1 ) 



S T A N  N A P R Ę Ż E Ń  I  O D K S Z T A Ł C E Ń   W  K O L E  W I R N I K O W Y M  9 

•\­\­nm 

gdzie 

(2.22) 

D l a  fc+l  . 

(2.23) 

gdzie 

(2.24) 

D l a  fc+l  =  1+nm 

(2.25) 

gdzie 

Д  kn 
2[{\­v)k2+2(\­v)k­2n2m2\ 

(l­v)(n2m2­k2)[n2m2­(k+2)2]Ek' 

2[(l+v)k+4]nm 

:  ( 1 ­ г ) ( и 2 т и 2 ­ А : 2 ) [ л 2 / и 2 ­ ( А : + 2 ) 2 ] 

iĄ e=  ( Я 1 п е + / ) е ­ » + » » , 

=  ( а 2 п Я 1 п е + / ) е ­ ' + ' > ' " , 

Я : 
2 ( l ­ r ) + ( l + r ) y ? m 

4 ( l ­ r ) ( n w ­ l ) 

2( 1— v ) — ( 3— r ) w m 

8  (1— v)(ww— 1)и т  

tĄ n  =  ( я ,  i n  е + / 1 ) е 1 + я т , 

я , = 

2 + ( 1 ­ у ) а 3 п + ­ ^ ( 1  +  а 3 „) и т  

(2.26) 

Л   = 

2 { ( 1 ­ * 0  а 3 п +  [ ­ ^  +  ( l ­ v ) a 3 n ] « m j 

( 1 + у ) я т   ( / ш + 1)  2 + ( 1 — г ) а 3 я  
3 ­ г  

0  + а 3 п ) т и   j 

O tr zyma n o  ostatecznie  rozwią zanie  ogólne  układu  równań   (2.8),  które  jest  rozwią za­

n iem  w  przemies zczenia ch  rozpa trywa nego  za ga d n ien ia 

(2.27) 

oo  Г   4  N,  "I 

"(Q,  ®)  =  « 0 ( e ) +  2  2  BinQ,,n+2  «* »( e)  cos ( ш и в ) , 

oo  Г   4  N,  1 

» ( e .  ®)  =  JE  Z  <*'nBine''"+  s in (л /и <9). 

n =  l  L/­1  k=0  .  \ 

3.  Naprę ż enia  w  ta rczy  i  łopatkach,  wa ru nki  brzegowe  zagadnienia 

3.1. Naprę ż enia w ta rczy.  D l a  płaskiego  s ta nu  naprę ż eń   w  ta rczy  kołowej  naprę ż enia 

p r omien iow e,  ob w od ow e  i  styczne  okreś lone  są   zależ noś ciami 

(3.1.2) 
E  \д и   lu_  1_  8v\\ 

~~  (i­v2)b  U  e  se)y 

file://�/-/-nm


10  J .  Z I Ó Ł K O W S K I 

(3.1.3) 

(3.1.4) 

(l­v2)b 

E 

2 ( 1 + 

[ и   I  cv  ё и Л  

[ dv  v  1  д и Л  
8Q  Q  Q  80]' 

Podstawiają c  d o  (3.1)  rozwią zanie  w  przemies zczenia ch  (2.27)  or a z  uwzglę dniają c 

rozwią zanie  za ga d n ien ia  os iowo­ s ymetrycznego  (2.11)  otr zyma n o  nastę pują ce  wyraż enia 

d l a  naprę ż eń   p r omien iow ych ,  ob w od ow ych  i  s tycznych  w  ta r czy: 

or(e,  в )  = 
(l­v2)b 

( ­ l + v ) ^  +  ( l + v ) C 2 + ^ a 3 e 2  +  | [ l  +  ( l + r ) l n e ] + 

V i  k+1  +  v 

+2k + 2 ^ 
V 

*=1 

V 

1 = 1 

fr[Vde  \Q  Q i 

[ ' i n + " ( l + n m a , n p , ^ ' ' » ­ 4 

cos  (nm&) 

С   l  +  3v  2  e0 
0 )  =  ( i _ y 2 ) 6  К 1 " " )  ^ + ( 1 + " ) C 2 +  a 3 £ 2 +  [ r + ( l + „ ) l n e ]  + 

(3.2) 

+ 
Nl  с о   г   4 

к  = 1  л = 1  L  /=1 

t i   \ s  e  dQ 

2J  Q.+nmcc,„+vtLN)Bl nQ,i»­1+ 

cos  i 

rre  (Q,  &)  = 
E  у  

i=i 

[Uf„\(tb­l)­nm]Binet'n­1+ 

rfi 

k=0  '  E 
\dg  Q  Q 

s in  (nm&). 

Stałe  C u  C2  wystę pują ce  w  rozwią zaniu  za ga d n ien ia  os iowo­ s ymetrycznego  or a z 

stałe  B I N , B 2 „ , B 3 N , B 4 N (и   =  1, 2, 3,  . . . ) d l a  za ga dnienia  os iowo­ nies ymetrycznego  moż na 

wyznaczyć   z  warunków  b r zegow ych .  Biorą c  p od  uwagę   konstrukcję   rozpa trywa nego  koła 

w ir n ik ow eg o  sprę ż arkowego  (rys.  1)  przyję to  w  przybliż eniu  sztywne  za mocow a n ie  ta rczy 

noś nej  n a  b rzegu  wewnę trznym  (Q —  Q{),  ora z  zn ika n ie  naprę ż eń   p r omien iow ych  i  stycz­

n yc h  w  ta rczy  n a b rzegu  zewnę trznym  (Q ==  1). O tr zyma n o  stą d nastę pują ce  cztery  w a r u n k i 

b rzegowe 

[U(Q,  в ] е =в 1  =  0, 

[v(jS, в )1­ь   =  0. 

(3.3)  [о ,(в ,  0 ) ] e = i  =  0, 

[treie,  © ) ] « , ­ 1  =  o. 



S T A N  N A P R Ę Ż E Ń   I  O D K S Z T A Ł C E Ń   W  K O L E  W I R N I K O W Y M  1 1 

Podstawiają c  d o  równań   (3.3) od p ow ied n ie  rozwią zania  d l a przemieszczeń   i  naprę ż eń  

otr zyma n o: 

a)  D l a za ga dnienia  os iowo­ s ymetrycznego  stałe  C ] , C2 

(3.4.1)  C ,  = 

( 3. 4. 2)  C 2  = 

( 3 + y ) e ? ­ ( i + y ) g i  «з   g i * ( i ) ­ ( i + r ) e i P ( e , ) 

l+v+(l­v)g\  8 +  l+v+(l—v)ef  : 

3 + v + ( l _ v ) e 4 e 3  2 ? ( i ) + ( i _ v ) e i p ( e i ) 

l + f+ ( l­ r ) e i 2  8  i +  v + ( i _ y ) e f  ' 

gdzie  .P(g) i R(Q)  okreś lają   nastę pują ce  fu nkcje 

( 3. 5. 1)  p(e)  =  | e i n e +  V ^ ' ­ ' , 
A:=l 

( 3. 5. 2)  i?(g) =  | [ l +  ( l + r ) l n e ] +  к + У £  6ksk  . 

k=l 

b )  D l a za ga d n ien ia  os iowo­ nies ymetrycznego  nastę pują cy  układ  równań  

(=1  A =0 

4  А Г , 

( 3. 6) 

2  *1**ь е \ ы +  ^ « Ь Ы   =  0 . 

/=1  k=0 

4  N 

4  А Г . 

Ponieważ   współczynniki  ek,  okreś lają ce  siłę   oddziaływania  łopatki,  są   niezna ne n a ­

leż ało  układ  (3.6) zastą pić   układem  równań ,  który  odpowiadałby  poszczególnym  f o r m o m 

obcią ż enia  к   =  0 , 1, ... Nu  a mia n ow icie 

4 

2 , Ą „f c > p 1 ' ­ + L [ 1 „) ( o 1 )  =  0 , 
/ ­ i 

4 

(3.7) 

2 l « « ­ ^ ' ) e i ' , ­ + i £ ) ( e i )  =  o, 

4 

2 ' A ­ B f f ) + ^ ­ ) ( i )  =  o, 
/=1 

4 

i^y,rteff+n4n>(i) = o. 



12  J .  Z I Ó Ł K O W S K I 

W  powyż szym  układzie  równań   w p r ow a d zon o  ozna czenia 

(3.8.1)  fiu,  =  tln+v(l+nma,„), 

(3.8.2)  у   in  =  &in(tin  1)  ntn, 

(3.9) 

Vk«  (g) 

Bk 

Stałe  w yzn a czon e  z  układu  równań   (3.6)  or a z  stałe  B(,^  w yzn a czon e  z  układu 

(3.7)  powią zane  są   zależ noś cią  

л г , 

(3.10)  BlK  =  2,ekB$. 

Przyjmują c  w  ob liczen ia ch  skoń czoną   liczbę   wyrazów  szeregu  и  =  1,  ...  N2,  z  układu 

równań   (3.7)  w yzn a czon o  ma cierz  współczynników  [B$]  składają cą   się   z  4  ( 1 + ^ ) ^ 2 

elementów. 

O tr zyma n e  rozwią zanie  d l a  naprę ż eń   w  kole  w i r n i k o w ym  okreś lone  zależ noś ciami 

(3.2)  za wiera  rozwią zania  d l a  samej  ta rczy  wirują cej  ora z  d l a  ta rczy  w  s p oczyn k u  ob ­

cią ż onej  oddziaływaniem  łopatek.  Naprę ż enia  p r omien iow e  i  ob w od ow e  w  wirują cej 

ta rczy  b ez łopatek  mają   postać  

a,  = 

(3.11) 

gdzie 

~  ( 3 + r ) e 2 ­ ( i + v ) ę ?  а 3 

( З Л 2 ­ 2 )  Q ­  i + v + ( i _ r ) e j  s • 

Naprę ż enia  p r omien iow e,  ob w od ow e  i  styczne  w  ta rczy  obcią ż onej  oddziaływaniem 

łopatek  wyraż ają   się   w zor a mi 



S T A N  N A P R Ę Ż E Ń   I  O D K S Z T A Ł C E Ń   W  K O L E  W I R N I K O W Y M  13 

or  (e,  в ) 
(l­v2)b 

(­i+v)^­+(i+v)c2+R(e)+  A  I  А й » Д Й У ' "­ ' + 

(3.13) 

+L%  (s) I  cos  (п т в ) 

N ,  2  r  4 

А Г ,  W,  p  4 

fc=0  n = l  L / = i 

] 

1 

? r e ( ( ? '  6 0  =  2 ( l + r ) 6 J C * *  [ ^ S ' y ' ­ Ą ?e ' ­ ­ I + I f t > ( e ) J s in  (п т в ), 

k=0  n = l  L /=1 

+  MK„  (Q)  cos  (п т в ) 

gdzie 

е ! Д { 1 ) ­ ( 1 + » ) ? , Р Ы  
(3.14.1)  С , 

(3.14.2)  C 2  = 

i + r + ( i ­ r ) e f  ' 

R(l)+(l­v)eiP(ei) 

l+v+(l­v)o2  ' 

p r zy  czym  w p r ow a d zon o  d od a tk ow o  ozna czenia 

(3.15)  d,n =  l+nmai„+vt,„, 

(3.16)  M ł B ( e )  =  _ | _ + „ M _ + , _ J , 

(3.17)  G ( 9 ) =  I  t " + d + r )  l n f ] +  ^ l ^ + j  В к в * . 

Naprę ż enia  p r omien iow e  s u ma ryczne  w  ta rczy  wynoszą  

(3.18)  ar{s,  в )  =  а г (о )+%(&,  в ); 

p od ob n e  zwią zki  zachodzą   d l a naprę ż eń   ob w od ow ych  i  s tycznych  (х г в   =  0). 

3.2. Naprę ż enia i przemieszczenia w łopatkach.  Łopatkę   tr a k tow a n o  j a k o  element  l in iow y 

podlegają cy  j ed n ok ier u n k ow emu  s ta n ow i  naprę ż eń .  N a  wycię ty  element  łopatki,  s y­

metr yczn y  wzglę dem  płaszczyzny  ś rodkowej  ta rczy  (rys. 4), działa  siła  odś rodkowa w i ­

rują cej  ma s y  łopatki  or a z  siła  l in iow a  oddziaływania  ta rczy  p(g). 

Równanie  równowagi  wewnę trznej  łopatki  m a postać  

( З Л 9 )  d[F(e)crt]  ( ) _ J V r j r ( ) ; 

dr  g 

P o  p od s ta w ien iu  d o powyż szego  równania: 



14  J .  Z I Ó Ł K O W S K I 

a)  naprę ż eń   w łopatce  wyraż onych  za pomocą   przemieszczeń  

. du 
(3.20)  0 7,  =  E 

dr  ' 

b)  siły  liniowej  wzajemnego  oddziaływania  ta rczy  n a łopatkę   okreś loną   zależ noś cią  

(2.7) 

2nEh 
•V, 

(l­v1)  bm. 

c)  p ol a  p r zekr oju  poprzecznego  łopatki  wyraż onego  liniową   funkcją   p r omien ia 

(3.21)  F(Q)  =  F1+F1Q 

otr zyma n o  nastę pują ce  równanie  róż niczkowe  d l a przemieszczeń   łopatki 

fu/ rF(9)dr 

Rys . 4 

W a r u n k i  b rzegowe  łopatki  wyraż ają   sztywne  za mocow a n ie  łopatki  n a  ob w od zie 

wewnę trznym  (Q =  QT)  ora z  zn ik a n ie  naprę ż eń   n a ob w od zie  zewnę trznym  (g =  1) 

(3.23)  u(eO  =  0,  fe)  =o. 

Rozwią zują c  równanie  (3.22)  z  uwzglę dnieniem  warunków  (3.23)  otr zyma n o  zależ ­

noś ci : 

a)  d l a przemieszczeń   łopatki 

(3.24)  w, =  Ł d k  (Q)  ek+N(c), 

A=0 

gdzie 

(3.25)  dk(Q)  = 
2 
e =0 

g  ,  , ; g l  ( ­ * ) '  ­  [1 +  ( ­  !) * « * + ' ] In 

Ar—t— 1 —£ 



S T A N  N A P R Ę Ż E Ń   I  O D K S Z T A Ł C E Ń  W  K O L E  W I R N I K O W Y M  15 

(3.26)  N(Q)=  _ ^ р ^ 3 _ л 3 ч   ,  *  ,„2  „2,  „2 л .  „ w „ > i ( e 3 ­ e ? ) + . ^ ­ ( e 2 ­ e 2 ) ­ « 2 ( e ­ e . ) + ( « 3 ­ 3 ^ ­ 2 ) i n | ± ^ ­

ora z 

(3.27) 
«  Fi  ' 

b)  d l a naprę ż eń   w  łopatce 

Vi  =  ­
2nbh 

(\­v2)mF,  ' 
*­<o*b> 

1 

E  ' 

(3.28)  arl: 
2я Л £  1 

(1—v2 )  m F ( g ) 

4.  W yzna cza nie  siły oddziaływania metodą   najmniejszych  kwadratów —  metoda  rozwią zania 

Siła  l in iow a р (с )  oddziaływania  tarcza­ łopatka  została  przyję ta  w  pos ta ci  w iel omia n u 

potę gowego  (2.7).  N iew ia d ome  współczynniki  tego  w iel omia n u  w yzn a czon o  z  porównania 

przemieszczeń   p r omien iow ych  ta rczy  i łopatki.  Rozwią zania  d l a przemieszczeń   p r omien io­

w ych  należ ało  wię c  wyrazić   w  pos ta ci  liniowej  wzglę dem  n iew ia d omych  współczynników 

ek.  U wzglę dniają c  w  rozwią zaniach  d l a przemieszczeń   p r omien iow ych  ta rczy  okreś lonych 

zależ noś ciami  (2.11)  i  (2.27)  w a r u n k i  b rzegowe  za ga d n ien ia  wyraż one  równaniami  (3.3) 

otr zyma n o 

N,  д г ,  N,  r  4 

(4.1)  u(s,  &)  =  aQQ>)e0+  £  ak(6)ek+K(e)  + e k ] ?  \ £B$Q^+LUHQ)  cos («m<9), 
k = l  k = 0  n =  l  11=1 

gdzie 

(4.2) 
,  i  [ e i ­ ( i + v ) e ? i n e i  i  i+(i­v)eUnQl 

+  ( 1 ­ » ) е Г 7 ~  1 + , + ( 1 ­ , ) й "  в + в   1 П   '  1 ' 

(4.3)  в | к ( е )  = 
( A: + l +  y ) g 2 ­ ( l + r ) g ? + 2  1  ( 1 ­ y )  g * + 2 + A : + l + y 

[ l + y+ ( l ­ y) e ?] ( A ; 2 + 2 A : )  g  [l+v+(l­v)6]](k2+2k)  K  1  * Ч 2 Л ' 

(4.4) 
=  Г ( 3 + у ) е 2 ­ ( 1 + у ) е ?  i  3 + y + ( i ­ y ) e J  л ,  n l 

8  [  1 ­ y ­ f " + ( i ­ » ) e !  Q  1 + Н ­ ( 1 ­ � Ж  
Q+Q 

Porównują c  przemies zczenia  p r omien iow e  ta rczy  okreś lone  zależ noś cią   (4.1)  d l a 

0  =  0  z  przemies zczenia mi  łopatki  (3.24)  otr zyma n o  zwią zek,  który  p ow in ien  być   speł­

n ion y  d l a każ dego  p u n k tu  s tyku  łopatki  z  tarczą ,  w  p os ta ci 

I   N t  Г   4  1)  w* 
(4.5) 

/==1  fc=i 
a * ( e W * ( e ) + 

Л Г ,  Г   4  1 

+ ^  L £ Ą J V » " + 4 i ? ( e )  ek+K(e)­N(e)  =  o,  d l a  e i < e < i . 



16  J .  ZlÓŁKOWSK 

Pr a ktyczn ie  otr zyma n o  liczbę   równań   l+N,  równą   liczb ie  punktów  zgodnoś ci  prze­

mieszczeń  łopatki i ta rczy z 1 +Ni  n iew ia d omymi  (e0, £j,  ..., ENI).  Ponieważ   1 +N  >  1  +Nt, 

układ  ten  rozwią zano  metodą   na jmniejs zych  kwadratów  błę dów. 

W  za pis ie  ma cier zow ym  otr zyma n y  układ  przyjmie  postać  

(4.6)  [A][e]  =  [b], 

gdzie  [A] —  ma cier z  współczynników  aik,  i =  0, 1, 2, 3, ... N,  к  =  0, 1, 2, ... Nx,  [e] — 

ma cier z  k o l u m n o w a  n iew ia d omych  ek,  [b] —  ma cierz  w ol n ych  wyrazów  bt. 

Moż na  udowodnić ,  ż e postę powanie  prowadzą ce  d o zna lezienia  ma cierzy  kolu mn ow ej 

n iew ia d omych  [e]  metodą   na jmniejs zych  kwadratów  od p ow ia d a  rozwią zaniu  układu 

l + i V i  równań   z  l + J V j  n iew ia d omymi,  otrzyma nego  w  w yn i k u  lewos tronnego  pomnoż e­

n ia  równania  ma cierzowego  przez  ma cierz  transponowaną   [А т ]. 

(4.7)  [AT][A][e]  =  [AT][b]. 

P r zy  założ eniu, ż e det (ATA)  ф  0,  z  równania  (4.7) otr zyma n o  ma cierz  kolumnową  

n iew ia d omych [в ]. 

5.  Przykład 

Opracowaną   metodę   okreś lenia  s ta nu  przemieszczeń   i  naprę ż eń   w  kole  w i r n i k o w ym 

z  małą   liczbą   b oczn ych  łopatek  p r omien iow ych  zilu s tr ow a n o  nastę pują cym  przykładem 

l iczb ow ym. 

Promień   zewnę trzny  ta rczy  kołowej  b =  13,5 c m , promień   pia s ty  a — 5,4 c m , gruboś ć  

ta rczy  h =  0,8  c m ,  gruboś ć   łopatki  g =  0,4  c m ,  p ole  p r zekr oju  poprzecznego  łopatki 

Rys .  5 

F(Q)  =  ( 3, 2— 2g) 10­ 4  m 2 ,  0,4 <  Q <  1,0,  liczb a  łopatek  m =  4,  prę dkoś ć   ką towa  co  = 

=  2095  rd/ s,  ma s a  właś ciwa  ta rczy  i  łopatki  y/ g =  8 • 103 k g / m 3  (x  8 • 10~ 6 k G / s 2  cm 4 ) 

moduł  Y o u n g a  E =  0,21  T N / m 2  (z  2,1 • 10 6  k G / cm 2 ) ,  współczynnik  Pois s on a  v =  0,3. 

Rozkład  naprę ż eń   p r omien iow ych  i  ob w od ow ych  w  wirują cej  ta rczy  b ez  łopatek 

ob liczon y  ze wzorów  (3.11),  p ok a za n o  n a rys. 5. Współczynniki  ma cier zy  [B$]  ob licza n o 

z  układu  równań   (3.7). 

W  celu  zna lezienia  współczynników  ek,  wystę pują cych  w  w ielomia n ie  potę gowym 

(2.7),  porównywano  przemies zczenia  p r omien iow e  łopatki  i  ta rczy  w  29 p u n k ta ch  r oz­



S T A N  N A P R Ę Ż E Ń   I  O D K S Z T A Ł C E Ń   W  K O L E  W I R N I K O W Y M  17 

mies zczon ych  wzdłuż   łopatki.  O tr zyma n y  układ  równań   rozwią zano  metodą   na jmniejs zych 

kwadratów. 

Rozkład  siły  liniowej  p((j)  wzajemnego  oddziaływania  łopatki  i  ta rczy  przybliż ano 

w iel omia n a mi  potę gowymi  czwa rtego  i  pią tego  s top n ia . W  o b u p r zyp a d k a ch  błą d  wzglę d­

/ > № , 

BB' 

200 

100 

­100 

­200 

- -
P(9) 

I  l'  1  1  i  i 
0.4  0,5  0,6  0,7  0,9 

« 

Rys .  6 

w1m­4B%{~4B0$) 

n y  nie przekraczał  8%. D o  obliczeń   koń cowych  przyję to  rozkład  siły  liniowej  p(g)  w  p os ta ci 

w iel omia n u  potę gowego  pią tego  s top n ia  (k  =  0,  1, 2,  ...  5)  i  p ok a za n o  n a rys . 6. 

S u my  szeregów  nieskoń czonych  wystę pują ce  we  w zor a ch  (3.2)  n a naprę ż enia  p r omie­

n iow e,  ob w od ow e  i  styczne  przybliż ano  uwzglę dniają c  skoń czoną   liczbę   wyrazów  N2  =  15 

i  N2  =  25.  O tr zyma n e  w yn i k i  róż niły  się   o  niespełna  2 % .  W  ob liczen ia ch  koń cowych 

naprę ż enia  p r omien iow e  (rys.  7),  ob w od ow e  (rys.  8)  i  styczne  (rys. 9)  liczon o  ze  wzorów 

(3.13),  przyjmują c  skoń czoną   liczbę   wyrazów  szeregu  n =  1, 2, 3, ...  15. Rozkład  naprę ­

ż eń   w  łopatce  liczon y  ze  w zo r u  (3.28),  p ok a za n o  n a  rys . 10. 

O b l iczen ia  w yk on a n o  n a  elektronowej  ma s zynie  cyfrowej  Z A M  B eta  2. 





S T A N  N A P R Ę Ż E Ń   I  O D K S Z T A Ł C E Ń   W  K O L E  W I R N I K O W Y M  19 

Rys .  1 0 

6.  W n ios k i koń cowe 

O p r a cow a n a  metod a  w yzn a cza n ia  s ta nu przemieszczeń   i naprę ż eń   moż e  być   s tos owa na 

d o  ś ciś le  okreś lonego  typ u  kół  w ir n ik ow ych .  Poczyn ion e  założ enie  dotyczą ce  s ymetrycz­

nego  u s ytu ow a n ia  łopatek  p r omien iow ych  z  o b u  s tron  ta rczy  ogr a n icza  rozwią zanie  d o 

kół  w ir n ik ow ych ,  sprę ż arkowych,  z  d w u s tr u mien iow ym  przepływem  czyn n ik a . 

W  przeciwień stwie  d o  ob ecnie  s tos owa nych  metod  [ 1 ,  2 , 3 , 4 , 5, 6], op r a cow a n a  metod a 

p ozw a l a  n a : 

—  uwzglę dnienie  naprę ż eń   w  ta rczy  pochodzą cych  o d  miejscowego  oddziaływania 

łopatek; 

—  uwzglę dnienie  kształtu  łopatki  wyraż onego  dowolną   funkcją   p r omien ia ; 

—  wyzna czenie  siły  liniowej  p(g)  wzajemnego  oddziaływania  łopatki  n a  tarczę ; 

—  okreś lenie  s ta nu naprę ż eń   w  łopatce. 

Pod a n e  rozwią zanie  d l a przemieszczeń   ( 2 . 2 7 )  i  naprę ż eń   ( 3 . 2 )  moż e  być   za s tos owa ne 

również   d l a ta rczy  pełnej  z  p r omien iow ymi  łopatkami  zaczynają cymi  się  w  ś rodku  ta rczy. 

W  tym  p r zyp a d k u  w zor y  n a  przemies zczenia  i  naprę ż enia  upraszczają   się ,  ponieważ  

należ y  przyją ć   Bft  =  0  ora z  BfJ  =  0.  W a r u n k i  b rzegowe  wyraż one  równaniami  ( 3 . 3 ) 

ograniczają   się   wówczas  do  dwóch  warunków  d l a  naprę ż eń   p r omien iow ych  i  s tyczn ych 

n a  b rzegu  zewnę trznym  ta rczy  (Q =  1 ) , na tomia s t  d w a  pozostałe  w a r u n k i  d l a  przemies z­

czeń   p r omien iow ych  i  ob w od ow ych  w  ś rodku  ta rczy  (Q =  0)  spełnione  są   toż samoś ciowe 

Litera tu ra  cytowana  w  tekś cie 

1 .  И .  А .  Б И Р Г Е Р ,  К р у г л ы е   п л а с т и н к и   и   о б о л о ц к и   в р а щ е н и я ,  О б о р о н г и з ,  М о с к в а   1 9 6 2 . 

2 .  А .  С .  Б О Н Д А Р Ч У К ,  И з г и б   в о   в р а щ а ю щ е м с я   д и с к е   с   б о к о в ы м и   л о п а т к а м и .  Т р у д ы   К и е в с к о г о ­

А в т о м о б .­ Д о р о ж и о г о   И н с т и т у т а ,  в ы п .  7 ,  К и е в   1 9 6 0 . 

3 .  J .  L E Y K O ,  Stan  naprę ż eń   w  wirniku  o  promieniowych  łopatkach  położ onych  po  jednej  stronie.  A r c h . B u d . 

M a s z. ,  P A N , W a r s za w a ,  3 , 7  ( 1 9 6 0 ) . 

4 .  Ц .  Г .  Л Е Х Н И Ц К И Й ,  А н и з о т р о п н ы е   п л а с т и н к и ,  М о с к в а   1 9 4 7 . 

5 .  К .  L Ó F F L E R ,  Die  Berechnung  von  rotierenden  Scheiben  und  Schalen,  S pringer­ Verla g,  B er l in  1 9 6 1 . 

6 .  Э .  С .  У М А Н С К И Й ,  Р а с т я ж е н и е   к р у г л ы х   д и с к о в   с и л а м и   д е й с т в у ю щ и м и   в   с е р е д и н о й   п л о с к о с т и  

в д о л ь   р а ы ю с о в .  И з в е с т и я   К и е в с к о г о   П о л и т е х н и ч е с к о г о   И н с т и т у т а ,  т .  X ,  М а ш г и з ,  М о с к в а   1 9 5 0 . 



20  J . Z I Ó Ł K O W S K I 

Р е з ю м е  

Н А П Р Я Ж Е Н Н О Е   И   Д Е Ф О Р М И Р О В А Н Н О Е   С О С Т О Я Н И Я   В   Р О Т О Р Е   С   М А Л Ы М   Ч И С Л О М  

Б О К О В Ы Х   Р А Д И А Л Ь Н Ы Х   Л О П А Т О К  

В   р а б о т е   д а ю т с я   о б щ и е   д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е   у р а в н е н и я ,  о п и с ы в а ю щ и е   п е р е м е щ е н и я   в о   в р а ­

щ а ю щ е м с я   д и с к е   п о с т о я н н о й   т о л щ и н ы ,  з а к р е п л е н н о м   н а   н е д е ф о р м и р у е м о й   с т у п и ц е   и   н а г р у ж е н ­

н о м   с о б с т в е н н ы м и   ц е н т р о б е ж н ы м и   с и л а м и ,  а   т а к ж е   п о в е р х н о с т н ы м и ,  н а п р а в л е н н ы м и   р а д и а л ь н о  

и   н е с и м м е т р и ч н о   р а с п о л о ж е н н ы м и   с и л а м и   р (о ,  0 ) ,  и з о б р а ж а ю щ и м и   в о з д е й с т в и е   л о п а т о к . 

П р и   р е ш е н и и   д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х   у р а в н е н и й   р а д и а л ь н ы е   с и л ы   в о з д е й с т в и я   л о п а т о к   п р и н я т ы  

в   в и д е   п о л и н о м а   и   р а с п р е д е л е н ы   п о   о к р у ж н о с т и   в   в и д е   т р и г о н о м е т р и ч е с к о й   п о с л е д о в а т е л ь н о с т и  

с   п е р и о д о м   2т г /»и  —  ч и с л о   л о п а т о к ).  Н е и з в е с т н ы е   к о э ф ф и ц и е н т ы   п о л и н о м а   о п р е д е л я ю щ е г о   л и ­

н е й н у ю   с и л у   р (д )  б ы л и   н а й д е н ы   п у т е м   с р а в н е н и я   р а д и а л ь н ы х   п е р е м е щ е н и й   д и с к а   и   л о п а т к и   в   н е ­

с к о л ь к и х   д е с я т к а х   т о ч е к   р а с п о л о ж е н н ы х   в д о л ь   л о п а т к и .  П р е д л о ж е н н ы й   м е т о д   р а с ч е т а   и л л ю с т р и ­

р у е т с я   ч и с л е н н ы м   п р и м е р о м . 

S u m m a r y 

S T A T E  O F  S T R E S S A N D  S T R A I N  I N  A  R O T O R  W I T H  A  S M A L L 

N U M B E R  O F  R A D I A L  S I D E  B L A D E S 

Th e  general  system  of  differential  displacement  equ ations  is given,  describ ing  the p r ob lem  of  a  rota ting 

cir cu la r  disc  of  constant  thickness a n d a  rigid  hu b loa ded  b y  centrifu gal  forces  a n d b y  r a d ia l,  a xia lly n on ­

s ymmetric  surface  forces  p(g,  O)  representing  the  a ction  of  side  blades  ( Fig.  1). 

Th e  r a d ia l force  is assu med  in the for m  of  a  p olyn omia l  a nd expanded  in the circu mferential  direction 

into  a  trigonometric  series  of  period  2л / т   (m  —  n u mb er  of  blades).  Th e  u n k n ow n  coefficients  a ppea ring 

in  the p olyn omia l  describ ing  the line  force p(g)  are fou n d  b y  equ ating  the r a d ia l  displacements  of  the disc 

a n d  the b lade  i n a b ou t  30 points  located  a long  the b lade.  Th is  method  is illu strated b y a nu merica l  exa mple. 

P O L I T E C H N I K A Ł Ó D Z K A 

Praca  została  złoż ona  w Redakcji  dnia 15 stycznia 1968 r.