Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS69\MTS69_t7z1_4_PDF\mts69_t7z1.pdf


M E C H A N I K A 

T E O R E T Y C Z N A 

I  S T O S O W A N A 

1,  7 (1969) 

D Z I A Ł A N I E  R U C H O M E G O  P U N K T O W E G O  Ź R Ó D Ł A  C IE P Ł A  W  P R Z E S T R Z E N I 

N I E O G R A N I C Z O N E J 

Z O FI A  S O B C Z Y Ń S KA  ( PO ZN AŃ ) 

C e l e m  niniejszej  p r a cy  jest  wyzna czenie  p ol a  tempera tu ry  i  p ol a  przemieszczeń   w  nie­

ogra niczonej  przes trzeni  sprę ż ystej,  wywołanych  działaniem  chwilowego,  p u n ktow ego 

ź ródła  ciepła  Q  =  Qo&(xt)d(t).  Ź ródło  to  p or u s za  się   ze  stałą   prę dkoś cią   v  wzdłuż   os i  x3 

przyję tego  kartezjań skiego  układu  współrzę dnych. 

Rozwią zaniem  p od ob n ego  za ga d n ien ia  za jmow a li  się   ju ż   N O W A CK I  [3]  i  RO SEN TH AL 

[4].  W yzn a czyl i  on i  fu nkcje  okreś lają ce  p ole  tempera tu ry  or a z  przemies zczenia  d l a ź ródła 

r u ch omego  p u n ktow ego  o  stałej  wydajnoś ci  pomijają c  w  równaniu  p r zew od n ictw a  ciep l­

nego  pochodną   lokalną   fu n kcji  p ol a  tempera tu ry. 

W  niniejszej  p r a cy  p och od n ej  tej  pomijać   nie  bę dziemy. 

Rozważ ane  za ga dnienie  opisu je  nastę pują cy  układ  równań : 

równania  przemies zczeniowe 

(1)  ^ У 2 « , + ( ^ + / ) е , (  =  а ,(2/*+З А )<9, 

i  równanie  p r zew od n ictw a  cieplnego 

(2)  V 2 < 9 ­ — &  =  ­  d(x,)d(t);  к  =  A . 
X X  CQ 

W  równaniach  tych  щ   oznaczają   składowe  w ektor a  przemies zczenia ,  &  —  p ole  tem­

pera tu ry,  QQ jest  wydajnoś cią   ź ródła;  A i ozn a cza  współczynnik  wewnę trznej  przewodnoś ci 

cieplnej,  g jest  gę stoś cią   oś rodka,  a  с   ciepłem  właś ciwym;  8(xt)  i  <5(r)  są   fu n kcja mi  D i r a c a 

wzglę dem  miejs ca  i  cza s u . 

Zakładamy,  ż e  w  ch w il i  t  =  0  składowe  w ektor a  przemies zczenia  or a z  pole  temp er a ­

tu r y  równe  są   zer u . 

Przypuś ć my,  ż e  ze  ź ródłem  zwią zany  jest  r u ch omy  układ  współrzę dnych  f (  równo­

legły  d o  stałego  układu  współrzę dnych  xt  i  ta k i,  ż e 

£i  =  * i i  £2 =  x2  i  £3  =  x3—vt. 

P o  p r zep r ow a d zen iu  za mia n y  zmien n ych  równanie  p r zew od n ictw a  cieplnego  (2)  bę dzie 

miało  postać  

(3) 



22  Z .  SOBCZY Ń SK A 

Stosują c  transformację   L a p l a ce' a d o równań   przemies zczeniowych  (1)  i d o równania  (3) 

otr zyma my 

(4)  ^ V 2 M L i + ( A + / * ) e Ł , ,  =  о с ,(2/1+З Х )в ^, 

P o  uwzglę dnieniu  przeds ta wienia  całkowego  fu nkcji  D i r a c a  we  współrzę dnych  w a l co­

w ych ,  rozwią zanie  równania  (5)  otr zymu jemy  w  p os ta ci 

(6)  0 L =  f = e x p 

p r zy  czym 

P o  odwróceniu  tra ns forma cji  L a p l a ce' a  p ole  tempera tu ry  okreś la  wzór 

8]/*3j/V>/*3  e x p L  2 *  4 *  4 « ' J ' 

Ponieważ   m a m y  d o  czyn ien ia  z  przestrzenią   nieograniczoną ,  p ole  przemieszczeń   mu s i 

posiadać   potencjał  zd efin iow a n y  zwią zkami 

(8)  щ   =  Ф ,1. 
Równania  przemies zczeniowe  (1),  p o  uwzglę dnieniu  zwią zków  (8),  zredukują   się   wów­

czas  d o jednego  równania  Pois s on a 

(9)  V20  =  mG;  m  = 
l—p 

Rozwią zanie  tego  równania  otr zyma my  wykorzystują c  rozwią zanie  (7)  ora z  uwzglę d­

niają c  fa kt,  ż e  w  p u n kcie, w  którym  a ktu a ln ie znajdu je  się   ź ródło,  to  jest  d l a r  =  | 3 =  0, 

fu n kcja  potencjału  równa  się   zer u . 

Rozwią zanie  to  m a postać  

mO  I  v2t  vS3\  J l 

Moż emy  tera z  w  op a r ciu  o  zwią zki  (8)  wyznaczyć   przemies zczenia  drogą   pros tego  róż ­

n iczk ow a n ia .  M a m y 

(")  ",=  ­ ^ W ­ " ° '  * \ L _ ł 



D Z I A Ł A N I E  R U C H O M E G O  P U N K T O W E G O  Ź R Ó D Ł A  C I E P Ł A  23 

Jeż eli  teraz  scałkowalibyś my  otrzyma ne  w zor y  ( 7 ) , ( 1 1 ) , ( 1 2 ) wzglę dem  cza s u  w  gr a ­

n ica ch  0  <  T <  oo,  otr zyma n e  rozwią zania  bę dą   odpowiadały  rozwią zaniom  N O W ACKI EG O 

[ 3 ]  d l a r u ch omego  ź ródła  ciepła  o  stałej  wydajnoś ci. 

Pokaż emy  to  n a przykładzie  p ol a  tempera tu ry 

CO  00 

( 1 3 )  в   =  Г   0{t­r)dr=  Г   — = — 2 ± — =  е х р Г ­ ^ ­

4x  4x(t­r)\  4 ^ | / r 2  +  l i  L  2 « V  ' J 

Jeż eli  n a tomia s t  we  w zor a ch  ( 7 ) , ( 1 1 ) i  ( 1 2 ) p r zyjmiemy  v  =  O to  otr zyma my  d ob r ze 

zna ne  w zor y  d l a n ier u ch omego  p u n ktow ego  ź ródła  ciepła [ 3 ] . 

N a  zakoń czenie  należ y  podkreś lić ,  ż e  w zor y  ( 7 ) , ( 1 1 ) i  ( 1 2 ) otr zyma n e  w  niniejszej 

p r a cy  są   d l a Q0  =  1  fu n kcja mi  G r een a  i  j a k o  ta kie  mogą   być   wykorzys ta ne  d o  b u d ow y 

rozwią zań   d la d ow oln ego  rozkładu  ź ródeł. 

Liter a tu r a  cytowana  w  tekś cie 

[ 1 ]  В . А .  Д и т к и н ,  П . И .  К У З Н Е Ц О В ,  С п р а в о ч н и к   п о  о п е р а ц и о н н о м у   и з ч и с л е н и ю ,  Г о с .  Т е х . ­ Т е о р . Л и т . , 

М о с к в а   1 9 5 1 . 

[ 2]  A .  E R D E L Y I ,  W .  M A G N U S ,  F .  O B E R H E T T I N G E R ,  F . G .  T R I C O M I ,  Tables  of  integral  transforms,  M c G r a w ­

H i l l ,  1 9 5 4 . 

[ 3]  W . N O W A C K I ,  Thermoelasticity,  Per ga mon  Press,  1 9 6 2 . 

[ 4]  D . R O S E N T H A L ,  The theory  of  moving  sources  of  heat  and its application  to  metal  treatments,  Tra ns a c­

tions of the A S M E  1 1 ,  1 9 4 6 . 

Р е з ю м е  

В О З Д Е Й С Т В И Е   П О Д В И Ж Н О Г О   Т О Ч Е Ч Н О Г О   Т Е П Л О В О Г О   И С Т О Ч Н И К А   Н А  

Н Е О Г Р А Н И Ч Е Н Н О Е   П Р О С Т Р А Н С Т В О  

В   р а б о т е   р е ш а е т с я   з а д а ч а   о п р е д е л е н и я   т е м п е р а т у р н о г о   п о л я   и   п о л я   п е р е м е щ е н и й   в   у п р у г о м  

б е с к о н е ч н о м   п р о с т р а н с т в е ,  п о д в е р ж е н н о м   в о з д е й с т в и ю   т е п л о в о г о   и с т о ч н и к а   Q  =  С о О̂ Ж̂ ')­
Э т о т   и с т о ч н и к   п е р е м е щ а е т с я   с   п о с т о я н н о й   с к о р о с т ь ю   v  в д о л ь   о с и  х ъ .  В   р е ш е н и и   и с п о л ь з у е т с я  

т р а н с ф о р м а ц и я   Л а п л а с а .  К о м п о н е н т ы   п е р е м е щ е н и й   о п р е д е л я ю т с я   п р и   п о м о щ и   ф у н к ц и и   п о т е н ­

ц и а л а   т е р м и ч е с к о г о   п е р е м е щ е н и я .  П о л у ч е н н о е   р е ш е н и е   я в л я е т с я   ф у н к ц и е й   Г р и н а   д л я   Q0  =  1 

и   м о ж е т   б ы т ь   и с п о л ь з о в а н о   д л я  п о с т р о е н и я   р е ш е н и я   з а д а ч и   п р и   п р о и з в о л ь н о м   р а с п р е д е л е н и и  

и с т о ч н и к о в . 



24  Z .  S O B C Z Y Ń S K A 

S u m m a r y 

A C T I O N  O F A  M O V I N G  C O N C E N T R A T E D  H E A T  S O U R C E  I N  E L A S T I C  S P A C E 

Th e  a im of the paper  is to determine  the temperatu re  a n d displacement  field  in a n infinite  elastic  space 

acted  on b y the heat  source  Q =  Q<>i(xi)d(t).  Th e  heat  sou rce  moves  at  constant  velocity  v  a long  the 

jCj­axis. Th e displacement  components  are  expressed  i n terms  of the thermo­ elastic  displacement  potentia l, 

La p la ce  transforms  b eing  a pplied  to  the b asic  equ ations.  Th e s olu tion  for Q0  =  1  represents  the  G r een 

fu nction  of the p r ob lem  a n d ca n be a pplied  to cases  w ith  a rb itra ry  dis trib u tions o f heat  sou rces. 

K A T E D R A  M E C H A N I K I 

P O L I T E C H N I K I  P O Z N A Ń S K I E J 

Praca  została  złoż ona  w Redakcji  dnia  17 kwietnia  1968 r.