Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS69\MTS69_t7z1_4_PDF\mts69_t7z1.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  I,  7 (1969)  S T A N  S P R Ę Ż Y S TO ­ P L A S TY C Z N Y  I  P E Ł Z A N I E  G E O M E T R Y C Z N I E N I E L I N I O W E J  P O W Ł O K I  S TO Ż KO W E J  Reologiczn e  za ga dnienia  geometrycznie  n ielin iow ych  powłok  (przy założ eniach  u p r a s z­ czają cych:  ob rotowej  s ymetrii  i  b r a k u  s ta nu  gię tnego)  było  p r zed miotem  rozważ ań   a u tor a  w  p r a cy  [ 1 1 ] .  W  p r a cy  tej  została  uogólniona  n a za kres  powłok  ob r otow o­ s ymetr yczn ych  w  stanie  błonowym  p od a n a  przez  B Y C H A W S K I E G O  [ 1 ]  metod a  rozwią zania  p r ob l emu  złoż onej  deforma cji  sprę ż ysto­plastycznej  i  pełzania  płaskiej  memb r a n y  kołowej.  J e d n ym  z  rozwią zań   szczegółowych  p od a n ych  przez  a u tor a  w  p r a cy  [ 1 1 ]  było  a na lityczne  rozwią ­ za nie  p r ob l emu  deforma cji  sprę ż ysto­plastycznych  ora z  pełzania  powłoki  stoż kowej  o m a ­ łej  wyniosłoś ci,  p r zy  czym  proces  pełzania  opisywało  równanie  kon s tytu tyw n e  od p ow ia ­ dają ce  p r a w u  pełzania  meta li  O D Q V I S T A  [ 1 2 ] .  O b ecn a  p r a ca  s ta n ow i  rozszerzenie  wyż ej  w s p omn ia n ego  za ga d n ien ia  geometrycznie  nieliniowej  powłoki  stoż kowej  d l a  p r zyp a d k u ,  gdy  materiał  powłoki  p od lega  pełzaniu  zgodnie  z  równaniem  k on s tytu tyw n ym  nieliniowej  teroii  dziedziczenia  poda nej  w  p r a ca ch  Zależ noś ci  geometryczne.  Rozważ amy  cienką   powłokę   w  kształcie  stoż ka  ob r otow o­ s ymet­ rycznego,  obcią ż oną   wewnę trznym  ciś nieniem  zmien n ym  w  czasie.  Przyjmu jemy  p r os to­ ką tny  układ  współrzę dnych  k r zyw ol in iow ych  zwią zanych  z  l in ia mi  k r zyw izn  (rys.  1 )  or a z  zależ noś ci  geometryczne  odpowiadają ce  teorii  geometrycznie  nieliniowej  p r zy  nastę pują ­ cych  założ eniach:  odkształcenia  są   nieskoń czenie  małe;  składowa  p omies zczen ia  p r os to­ padła  d o  p ow ier zch n i  ś rodkowej  powłoki  m a wartoś ć   skoń czoną   rzę du  gruboś ci  powłoki;  obowią zują ce  jest  założ enie  Ki r c h h o f f a ­ L o ve ' a ;  gruboś ć   powłoki  nie u lega  zmia n ie  w  p r o ­ cesie  deforma cji.  Zwią zki  geometryczne  mię dzy  składowymi  tens ora  odkształcenia  a  składowymi  prze­ mieszczeń   p r zy  spełnieniu  powyż szych  założ eń   wyraż ają   się   zależ noś ciami  H E N R Y K  К   О   P  E  С   К   I  ( R Z E S Z Ó W )  1.  Wstę p  [4,  5].  2.  Podstawowe  zależ noś ci  geometryczne,  zwią zki  fizyka lne  oraz  wa ru nki  równowagi  ( 2 . 1 )  r  40  H .  K O P E C K I  gdzie  u jest  przemies zczeniem  południkowym,  w ozn a cza  ugię cie,  zaś   k2  krzywiznę ,  którą   w  d a ls zych  rozważ aniach  bę dziemy  p r zyjmow a li  j a k o  funkcję   cza s u .  Jest  to  u za s a dnione  tym,  ż e  w  s ta na ch  błonowych  płyt  i  powłok  w yk on a n ych  z  materiału  o  własnoś ciach  Teo­ logiczn ych  naprę ż enia  wykazują   zmiennoś ć   w  czasie.  Z a tem,  a b y  spełnione  było  równanie  równowagi  (s u ma  rzutów  sił  n a  kier u n ek  norma lnej  d o  elementu  powłoki)  w  dowolnej  c h w i l i  cza s u  t,  krzywiznę   k2  tra ktu jemy  j a k o  funkcję   cza s u  przyjmują c,  ż e  zmien ia  się  on a  zgodnie  z  formułą   ( 2 . 2 )  k2  =  k°2f(t),  gdzie  k\  ozn a cza  krzywiznę   k2  w  ch w il i  t  =  0,  zaś   y>(t)  jest  funkcją   zależ ną   tyl k o  cza s u  spełniają cą   w a r u n ek  począ tkowy  ( 2 . 3 )  V ( 0 |  = 1 .  Zwią zki  fizyka lne.  Ogólna  for ma  p r a w a  fizyka ln ego  ja kie  przyjmu jemy  d l a  materiału  powłoki  op ier a  się   n a  teorii  nieliniowej  lepkosprę ż ystoś ci  poda nej  w  p r a ca ch  [4,  5].  Teor ia  ta  ob ejmu je  szeroką   klasę   materiałów,  zarówno  metale,  j a k i  niemetale.  Poda je  on a  p r a w o  kon s tytu tyw n e  w  p os ta ci  nieliniowego  opera tora  całkowego,  który  u zys ka n y  został  n a  b a zie  za s a dy  s u perpozycji  odkształceń   w  czasie  uogólnionej  n a  za kres  n ielin iow y.  Pod s ta ­ w ow e  założ enia  teorii  są   nastę pują ce:  materiał  jest  izotr op ow y,  j ed n or od n y  i  nieś ciś liwy;  pełzanie  materiału  cha ra kteryzu je  uogólniona  fu n kcja  pełzania;  proces  nieliniowego  peł­ za n ia  za ch od zi  wtedy,  gdy intensywnoś ć   naprę ż enia  osią ga  w  małym  ob szarze  ciała  wartoś ć   krytyczną ;  deforma cja  n a tych mia s tow a  w  ogólnym  p r zyp a d k u  jest  n ielin iow a .  W  op a r ciu  o  powyż sze  założ enia  uogólniona  za s a da  s u perpozycji  uję ta  została  w  formę   całki  Stieltjesa.  Całka  ta  istnieje  p r zy  założ eniu  ogra niczonej  wa ria cji  składowych  s ta n u  naprę ż enia,  a  p r zy  spełnieniu  w a r u n k u  całkowalnoś ci  p och od n ych  tych  składowych  prze­ ch od zi  w  całkę   Riema n n a .  W  w yn i k u tego  zwią zek  mię dzy  składowymi  tens ora  odkształ­ cen ia  Bij i  składowymi  d ew ia tor a  naprę ż enia  J y przeds ta wia  się   w  p os ta ci  ( 2 . 4 )  su  =  L[Sij],  S T A N  S P R E Ż Y S T O ­ P L A S T Y C Z N Y  I  P E Ł Z A N I E  41  gdzie  ( 2 . 5 )  L[SiJ]  =  Р М Ф и ­  f  ' « W ^ 5 l ' .  r,  s(r)]dr.  r*  W  równaniu  ( 2 . 5 )  oznaczają :  Fe  — nieliniową   funkcję   deforma cji  n a tych mia s tow ej;  H—  uogólnioną   funkcję   pełzania;  s — intensywnoś ć   naprę ż enia;  t —  czas  ( ch w ila  ob s erwa cji);  T  — czas  bież ą cy;  t* — chwilę   począ tkową .  W  myś l  oma wia nej  teorii  jedną   z  moż liwych  f o r m  przeds ta wienia  uogólnionej  fu nkcji  pełzania  jest  postać   wynikają ca  ze zwią zku  ( 2 . 6 )  ~  H[t,  x, s(r)]  =  Fc[s(r)]^C(t­r),  gdzie  C ( r — T)  jest  współczynnikiem  pełzania,  zaś  Fc[s]  współczynnikiem  zwię kszają cym.  W  szczególnym  p r zyp a d k u , gdy współczynnik  C(t  — т ) jest  liniową   funkcją   cza s u ,  wów­ czas  ( 2 . 7 )  ­^H[t,r,s(r)]=  ­Fc[s(r)],  zaś   n a pods ta wie  ( 2 . 5 )  otrzymu jemy  t  ( 2 . 8 )  L[Slj]  =  Fe[s(t)]su(t)+  j  Sij(r)Fe  [s(r)]  dr,  o  (przyjmu jemy,  ż e  ch w il a  począ tkowa  t*  =  0 ) . Powyż sze  równanie  ( 2 . 8 )  jest  a na logiczne  d o  p r a w a  p od a n ego  przez  O D Q V I S T A  [ 1 2 ]  d l a s ta n u  nieu s ta lonego  pełzania  meta li.  W  niniejszej  p r a cy  bę dziemy  op ier a li  się  n a zależ noś ci  ( 2 . 5 )  p r zy  założ eniu,  ż e uogól­ n ion a  fu nkcja  pełzania  spełnia  zwią zek  ( 2 . 6 ) ,  czyli  i ( 2 . 9 )  L[stJ]  =  Fe[s(t)]stJ(t)­  J  SiJ(T)FMT)]­^C(t­r)dr.  o  F u n k cj e  Fe  i Fe  uzależ nione  o d a ktu a lnego  s ta nu naprę ż enia  przyjmu jemy  w  pos ta ci d w u ­ p a r a metr ow ych  zwią zków  potę gowych  ( 2 . 1 0 )  Fe [s] =  j  AsT­\  Fc [s] =  jBs"~\  gdzie А , В  oznaczają   stałe fizyczne  materiału, zaś  m, и  są  l iczb a mi n a tu r a l n ymi cha ra ktery­ zują cymi  stopień   nieliniowoś ci  zwią zków.  Zwią zki  d l a odkształceń   ( 2 . 1 )  p o w yel imin ow a n iu  przemies zczenia  u moż emy  s p r ow a ­ dzić   d o jednego  równania,  otrzymują c  w ten sposób  w a r u n ek  nierozdzielnoś ci  odkształceń ,  który  p o uwzglę dnieniu  równania  kons tytu tywnego  ( 2 . 9 )  ora z  p o w p r ow a d zen iu  wielkoś ci  b ezw ymia r ow ych  przyjmu je  postać   ( 2 . 1 1 )  ^ ^ { L [ , 2 ] } + { L [ 5 2 ] ­ £ M } ­ A { t g ^ t v ( ^ ] + ^ | ^ j 2 j  =  0  42  H .  K O P E C K i  Tu ta j  przez  h  ozn a czon o  gruboś ć   powłoki, zaś   (2.12)  x  =  x/ l,  w =  w/ h,  Si =  Su,  s2  =  s22.  W a r u n k i  równowagi. W  celu  okreś lenia  warunków  równowagi  p od a n ych  w  formie  zwią z­ ków  róż niczkowych  r ozp a tr zymy  s ta n  równowagi  elementu  powłoki  odkształconej.  R z u ­ tują c  siły  działają ce  n a element  powłoki  n a kier u n ek  stycznej  do południka  x  ora z  n or ma l ­ nej  do  odkształconego  elementu  powłoki  otrzymu jemy  układ  dwóch  równań ,  który  p o  w p r ow a d zen iu  fu nkcji  naprę ż eń   z w  pos ta ci  (2.13)  * ~ 7 Г ­  8 d z i e  c = f ( x ) 2 '  s p r ow a d za  się  do równania  róż niczkowego  Równanie  równowagi  (2.14)  ora z  równanie  nierozdzielnoś ci  odkształceń   (2.11)  stanowią   w r a z  z  od p ow ied n imi  w a r u n k a mi  b r zegow ymi  i  począ tkowymi  układ  równań   opisują cy  p r ob l em  złoż onej  deforma cji  sprę ż ysto­plastycznej  i  pełzania  geometrycznie  nieliniowej  powłoki  stoż kowej.  3.  M etod a  rozwią zania  M e t o d a  rozwią zania  p r ob l emu  deforma cji  złoż onej  (stan  sprę ż ysto­plastyczny  i  pełza­ nie)  d l a zagadnień   ob r otow o­ s ymetr yczn ych ,  nie wprowadzają cych  osobliwoś ci  z  tytułu  kształtu  powłoki,  została  omówiona  w  p r a cy  [11] ora z  szczegółowo  zilu s tr ow a n a w  za s to­ s ow a n iu  d o płaskiej  memb r a n y  kołowej  ora z  powłoki  ku listej  w  stanie  b łonowym  w  p r a ­ ca ch  [7, 11]. M e to d a  ta polega  n a przyję ciu  fu n kcji  rozwią zują cych  z i w w  pos ta ci  podwój­ n ych  szeregów  potę gowych  zmiennej  x  ora z  małego  p a r a metr u  a(')  ujmują cego  wpływ  pełzania  w  procesie  odkształcenia.  Rozwią zanie  to  moż emy  traktować   j a k o  małe  za b u ­ rzenie  s ta n u na tychmia s towego  (sprę ż ysto­plastycznego)  s p ow od ow a n e  proces em  pełzania.  Rozwią zaniem  p od s ta w ow ym  w  tej  metodzie  jest  za tem  rozwią zanie  d l a s ta nu  n a tych ­ mia s towego.  W  p r zyp a d k u  powłoki  stoż kowej,  ze wzglę du  n a osobliwoś ć   w  p u n kcie  л : =  0,  r ozw i­ nię cie  wzglę dem  3c nie p ozw a l a  n a okreś lenie  współczynników  szeregów  potę gowych,  dają c  w  w yn i k u zerowe  wartoś ci  w s zys tkich współczynników.  W  tym p r zyp a d k u  moż emy  p r zed ­ stawić   rozwią zanie  w  for mie  szeregów  potę gowych  o  pos ta ci( 2 )  OO  OO  OO OO  (3.1)  z =  £  £zikyak,  w =  £  2  v v ^ ' + V ,  1=0  fc=0  /=0  k=0  gdzie  у   =  1 —x.  (')  Pa ra metr  a wyraż a  się  przez  stałe  materiałowe  (por.  [6, 7,  11]).  (J)  Rozwinię cie  wzglę dem  у   =  1— x  od p ow ia d a  przedstawieniu  rozwią zania  holomorficznego  w  oto­ czeniu  p u n k tu  położ onego  n a b rzegu  rozważ anego  ob s za ru . Tego  rodza ju  rozwinię cie  zostało  zastosowane  przez  B ycha ws kiego  i  Siennickiego  [8]  do  zagadnienia  deformacji  natychmiastowej  i  pełzania  tarczy k o ­ łowej.  S T A N  S P R Ę Ż Y S T O ­ P L A S T Y C Z N Y  I  P E Ł Z A N I E  43  Zakładają c  a  =  0  otrzymu jemy  z  powyż szych  zwią zków  pojedyncze  szeregi  potę gowe,  bę ­ dą ce  rozwią zaniem  d l a s ta nu  na tychmia s towego  00  00  (3.2)  z0=.J?zv0y\  щ   =y^wv0yv+1,  v =0  v =0  które  jest  rozwią zaniem  p od s ta w ow ym  d la za ga dnienia  deforma cji  złoż onej.  Rozwią zanie  to  przeds ta wimy  poniż ej  szczegółowo,  p r zy  czym  ogr a n iczymy  się   d o  powłoki  o  kształcie  mało  wyniosłego  stoż ka  ś cię tego.  Przyjmu jemy,  ż e  powłoka  jest  s ztywno  za mocow a n a  ob u s tr on n ie  i p od d a n a  działaniu  stałego ciś nienia  wewnę trznego  (rys. 2).  Zakładamy  da lej,  Rys .  2  ż e  materiał  powłoki  za chowu je  się  w  procesie  deforma cji  zgodnie  z  równaniem  k on s tytu ­ tyw n ym  (2.9).  U kład  równań   p od s ta w ow ych  d la  rozważ anej  powłoki  otr zyma my  ze  zwią zków  ( 2 . 1 1 )  i  ( 2 . 1 4 ) kładą c  w  n ich  ( 3.3)  x  x  r,  x0  x  r0,  tg£  x  I  x  cons t  or a z  uwzglę dniają c,  ż e  0  <  у   <  1 — r 0 ,  gdzie  r0  =  ­j­.  O tr zymu jemy  w  ten sposób  ( 3.4)  (y­i)  I  № » + № ] ­  о д )+11  [*o  f  ] + i  (4) 2 (f f  ­ o,  ( 3.5)   7  O P ­ I )  ,  _ r  +  _  1 ) . ]  | * K O +  7  =  j  O  ­ 3 0 .  W  powyż szych  w zor a ch  oznaczają :  S ­ *  z + ( y ­ l ) z '  =  ^ ,  У   *  P  P  dy  ( 3.6 )  4  =  I p [ z + ( P ­ l ) z ' ] ,  s2  =  jp[z+2(y­l)z'},  =  p 2 £ ,  £  =  z 2 + ( 3 ^ ­ l ) z z ' + ( > i 2 ­ 2 ^ + l ) I ' 2 .  44  H .  K O P E C K I  Przyjmu jemy  jed n or od n e  w a r u n k i  b rzegowe  u(y)\  =0,  w(y)L  =0,  у —0  y =0  (3.7)  .  .  u(y)L  _  =  0 ,  w(y)L  _  =  0,  \y=l­r0  |J'=1—r0  a  za  s ta n  począ tkowy  d l a proces u  pełzania  przyjmu jemy  stan  n a tych mia s tow y,  co  za p i­ su jemy  formułami  vi  (3.8)  L M | / = o  =  L 0 [ 5 o ] ,  * ( 0| , _ 0  =  *>.  Uwzglę dniają c  zależ noś ci  (3.8)  układ  równań   p od s ta w ow ych  opisują cych  s ta n  n a tych ­ mia s tow y  moż emy  ostatecznie  przedstawić   w  p os ta ci  (3.9)  j ^ ­ ( j ­ l ) ! [ 6 z ; + 2 ( j ' ­ l ) ? . ' ] 5 i " < " ­ " + ^ ( m ­ l ) [ 5 „ +  0 , 0 ,  ^ ^ ( ^ Ц ^ * ^ ) ^ ^ ­ ­ ^ ­ » .  4.  Rozwią zanie  d la stanu  natychmiastowego  J a k  wykazaliś my  w  przyję tej  metodzie  rozwią zania  p r ob l emu  złoż onej  deforma cji,  r oz­ wią zanie  d l a s ta nu  na tychmia s towego  jest  rozwią zaniem  p od s ta w ow ym.  W  d a ls zych  r oz­ waż aniach  wykaż emy,  ż e  rozwią zanie  to jest  również   rozwią zaniem  p od s ta w ow ym  w  p r o­ cesie  odkształcenia,  w  którym  efekty  sprę ż yste  uwzglę dniane  są   w  ch w il i  / =  0,  zaś  d l a  czasów  t  >  0  pominię te,  j a k o  małe  w  porównaniu  z  odkształceniami  pełzania.  Rozwią zanie  d la  s ta nu  na tychmia s towego  polega  n a  p od s ta w ien iu  szeregów  (3.2)  d o  równań   (3.9)  i  (3.10).  O tr zymu jemy  w  ten  sposób  d w a  układy  równań   a lgeb ra icznych  w  pos ta ci  reku rencyjnej,  z  których  w yzn a cza my  kolejne  współczynniki  szeregów.  I ta k,  z  równania  nierozdzielnoś ci  odkształceń   (3.9)  otrzymu jemy  w a r u n ek,  który  mu s i  być  speł­ n ion y  d l a d ow oln ego  у   oo  oo  Ł  w v J v +  у   ( m ­ 1 )  []?Р *У +1­ v=0  v=0  v=0  v=0  S TA N  S P R E Ż Y S T O ­ P L A S T Y C Z N Y  I  P E Ł Z A N I E  45  D rogą   toż samoś ciowego  przyrównania  wyraż eń   p r zy  j ed n a k ow ych  potę gach  у   d och od zi­ my  d o  układu  równań   a lgeb ra icznych  w  pos ta ci  у   Apm  j ­ т щ ­ у   (m­ l)/> 0 } +  Ј y  vvoo+ ~  ( y j  ? 0  =  0 ,  (4.2)  j  Apm  | т о ­ / И ! + у   ( w ­ 1 )  Q > o ­ P i ) j + 2 f  у   wi0+  у   | y j  9 l  =  0 ,  у   ^ m | w 1 ­ w 2 + y  (т ­\)(р !—/>2)j+3fy  n > 2 0 + y  | y j  ? 2  =  0 ,  Równanie  równowagi  (3.10)  w  w yn i k u  p od s ta w ien ia  szeregów  (3.2)  daje  w a r u n ek  00  (4.3)  ^ { y  [ v l v ­ ( v + l ) l v + 1 ] + | z v 0 + y  Av+Cvzv0­C(v+l)zv+1^?  =  v=0   z  którego  otr zymu jemy  układ  równań   — ­̂^1  +  ^ 0 0 + у   A0—lo^io  —  у  >  (4.4)  2j(A1­A2)+2Hzio­Z2o)  =  ­  у ,  у   ( Л 2 — Л 3 ) + Ј ( z 2 0 ­ z 3 o)  =  0 ,  Wystę pują ce  w  powyż szych  równaniach  współczynniki  ob licza my  z  zależ noś ci:  к   i  v=0  v=0   ­  +l)zk+1,0+2k(k+l)zk+h0­2(k+l)(k+2)zk+2t0,  й о  =  Ј о " 2 ( т Л   hk  =  ­/ ~~o^  [ y  gk  =  ak+bk­ck+dk­2ek+fk,  v= 1  A:  &  flfc = J^ZvoZt^o,  6* =  ^V^voZjk.v.o,  С * =  (v+1)Z V+1, 0 Z*­ V, 0 ,  V = 0  v­0  .  v—0   (4­5)  Ј ,  dk  = 2J  V ( * ­ V ) Z » + I Z * ­ V , O »  =  Z ,  (v+O^­^Z.+iZjk.v.o,  v­0  v­=0   it  к   Л   =  Ј  »+l)*ł+i,o**­»+i,o»  А   =  ^n,Kk_v,  v =0  v =0   *  1/2(  ­ 3 )  1  к   T l  1  v=0  v­1  fc  к   Ak  =  E  (v+l)>v»oz*­v,o,  St  =  Ј  Kv,  Kk  =  zk0+2kzk0­2(k+l)zk+h0.  v ­0  v ­0   46  H . K.OPECK.I  Pierws ze  z równań   (4.2)  p ozw a l a  n a wyzna czenie  współczynnika  z 2 0 j a k o  fu nkcji  z 0 0 i z 1 0 .  Współczynnik  z 1 0 w yzn a czymy  z  pierwszego  z warunków  b rzegowych  (3.7),  który  n a mocy  zwią zków  geometrycznych  (2.1) moż emy  przedstawić   w  pos ta ci  równania  (4.6)  Ј2 0 =  | 7 = 0 =  L0[s20]\­=0  =  [ z 0 + 2 ( ^ ­ l ) z 0 ] i 3 o ! / 2 ( m _ I ) | ­ = 0  =  0 ,  ską d p o p od s ta w ien iu pierwszego  z  szeregów  potę gowych  (3.2)  otrzymu jemy  (4.7)  z w = Z f .  Z  równań   (4.2)  otr zymu jemy  kolejno  _ 3  7 w ° ° ( l + 2  Z20  — ~т  zoo  1  h  \  4  ^^l/2(m­ l)  "(KI  ( 4 )  2Apm\^­\  z ? " 1  (4.8)  z 3 0 =  ^  ( 3 m ­ 7 ) z 0 0 ­ ^ ­  ( 5 w ­ 4 1 ) z 2 0 ­ jW1o\$+  у   Wool  /  j  U/2(m­l)  3 ^ m  1 ­r )  ^oo"1  zaś  z równań   (4.4)  m a m y  Wio  4 L ( 4 + " ­ « ) ­ ł ( i ) i '  ^ ­  ^ 2 0 — z3o) | f у   +  Wooj +  2 w 1 0 | y  z 0 0 — z 2 0 j +  у   w 2 0 z 0 0  j ,  Mają c  okreś lone  współczynniki  szeregów  (3.2) j a k o  fu nkcje  z 0 0 i w0o przejdziemy  ob ecnie  d o  okreś lenia  tych os ta tnich, wykorzystują c  d r u gi z warunków  b r zegow ych  (3.7), który  m o ­ ż emy  przedstawić   w formie  równania  (4.10)  *2о | ; = 1 _ 7 о  =  Ь о Ы \­=1_­0  =  [zo+2{y­\)zMl4m­Ą ­y=l.7o  =  0 .  ską d p o p od s ta w ien iu szeregów  (3.2)  m a m y  00  ( 4 . П )  E u * Ą ­ i ­ *  =  °­ v=0  Z  dru giej  s trony,  fu n kcja  ugię cia  iv0 spełniać   mu s i  w a r u n ek  (4.12)  ™<\y=i­­r0 =  w o o ( l ­ ' : o ) + w 1 o ( l ­ r 0 ) 2 + H ' 2 o ( l ­ ' : o ) 3 +  ... =  0.  Jeż eli  z  k ol ei d o równań   (4.11)  i  (4.12)  p od s ta w imy  zwią zki  (4.7),  (4.8),  (4.9),  otrzymu je­ my  układ  dwóch  równań   a lgeb ra icznych  zawierają cy  p os zu kiw a n e  n iew ia d ome  Zoo i  и >о о .  S TA N  S P R Ę Ż Y S T O ­ P L A S T Y C Z N Y  I  P E Ł Z A N I E  47  Stopień   tych równań   uzależ niony jest  o d iloś ci  wyrazów  rozwinię cia  uwzglę dnionych  w  p o­ wyż szych  w a r u n k a ch . N a  przykład, jeż eli  ogr a n iczymy  się   do  uwzglę dniania  dwóch  w yr a ­ zów  rozwinię cia  w  w a r u n k a ch (4.11)  i  (4.12)  otr zyma my  od p ow ied n io  (4.13)  azZ+2+bz200+cz0Q+d  =  0 ,  „  /  1­ г о   / 1 / 1  1  Л   gdzie  I  +  ~ ( i  ­h)  im­1)­  j  14 +  ;  (i  ­ , ­ „) (3m ­ 1 3 ) | [ 4 + y ( l ­ r 0 ) ( 3 m ­ 1 3 ) j ,  [ 4 + I ( l ­ r , ) ( 3 m ­ 1 3 ) ] ( l ­ r e )  ,  1  v  \ 1 +  2  5 ­ r 0 / ' l/2(m­l)  2 ^ m l ­ l  ( 5 ­ r 0 )  с   =  /3_\  U/  Л   5—г 0\  5—/о /  (4.15)  ;  f  ,  i  _  ^  4 + i ( l ­ 7 0 ) ( 3 m ­ 1 3 )  2Л />'  l / 2 ( m ­l )  >2  4 + i ( l ~ r 0 ) ( 3 / « ~ 1 3 )  d = 2 | *  Z  I  Л  1  2Ap"  \ 4 /  Z a te m  szeregi  (4.16)  z  =  Z o o + z 1 0 ^ + z 2 o j 2 + Z 3 o F +  (4.17)  vv0 =  H'oo7+w 1 0 y2 +iV2o>' 3 +  stanowią   rozwią zanie  pods ta wowe  d l a p r ob l emu  złoż onej  deforma cji  rozważ anej  powłoki  s ztywno  za mocowa nej  n a  b rzega ch,  obcią ż onej  stałym  wewnę trznym  ciś nieniem.  Mają c  okreś lone  fu nkcje  z 0  i w0  ob licza my  naprę ż enia  ora z  ugię cie  powłoki  z  zależ noś ci  (4.18)  cr1 0 =  p 2J  W V >  v=0  00   (4.19)  cr 2 0 =/>  ^ , ( v + l ) ( z v 0 ­ z v + J i 0 ) ^ v ,  v=0  (4.20)  7,v+l  48  H .  K O P E C K I  5.  Rozwią zanie  w  zakresie  czystego  pełzania  P od a my  ob ecnie  rozwią zanie  d l a powłoki  stoż kowej  wykona nej  z  materiału  wykazują ­ cego  wyłą cznie  odkształcenia  pełzania.  Przyjmu jemy,  ż e  pełzanie  materiału  powłoki  op i­ suje  równanie  kons tytu tywne  (2.9), w  którym  funkcję   nieliniowej  sprę ż ystoś ci  Fe  położ ymy  równą   zeru .  U kład  równań   p od s ta w ow ych  opisują cych  tego  rodza ju  stan  w  powłoce  otr zyma my  z  równań   (3.4)  i  (3.5)  zakładają c,  ż e  (5.1)  L[siĄ Fe­o=  Lp[s,j].  M a m y  wtedy  układ  równań   (5.2,  '  Cy­^lLAs,]}MW­LAs»  + ^ [ ^ \ + ^ ^ ^ J ~ 0 ,  gdzie  (5.4)  z„(t)  =  z(0| F e = i 0 ,  wp(t)  =  w ( r ) [ F e = 0 .  Niż ej  p r zed s ta w ion a  metod a  rozwią zania  op ier a  się   n a  a n a logii  fizyka lno­ geometrycz­ nej  d o  p r ob l emu  na tychmia s towego  (nieliniowo  sprę ż ystego)  poda nej  w  p r a ca ch  [3, 7, 11].  Is tota  rozwią zania  p olega  n a  r ozd zielen iu  zmien n ych  w  równaniach  p od s ta w ow ych  (5.2)  i  (5.3). A b y tego  dokonać   należ y  róż niczkowo­ całkowe  równanie  nierozdzielnoś ci  odkształ­ ceń   (5.2)  sprowadzić   d o  równania  róż niczkowego.  Moż emy  to  uczynić , jeż eli  współczynni­ k o w i  pełzania  C(t—r)  n a d a my  k on k r etn y  kształt.  Przyjmu jemy  tu taj,  ż e  współczynnik  pełzania  m a postać   wykładniczą   (5.5)  C(t­r)  =  Coll­e­*­*];  stą d  p o  zróż niczkowaniu  wzglę dem  cza s u bież ą cego  otr zyma my  (5.6)  Ј  =­yC0e­«'­'K  Jeż eli  zależ noś ć   (5.6)  p od s ta w imy  d o  równania  kons tytu tywnego  (2.9)  zakładają c  równo­ cześ nie,  ż e  Fe  =  0  otr zyma my  p o  r ozp is a n iu n a  składowe  t  1  —  Г   1/2(я ­1)  „   ,  Lp[si]  =  jBC0yp»  J  [zp+(y­l)z'p]Qp  е ­*'­*>Л ,  o  (5.7)  t  1  Г   1/2(л ­1)  S TA N  S P R E Ż Y S T O ­ P L A S T Y C Z N Y I  P E Ł Z A N I E  49  O tr zyma n e  opera tory  p od s ta w ia my  d o  równania  nierozdzielnoś ci  odkształceń   (5.2),  a  na s ­ tę pnie  na  drodze  róż niczkowania  wzglę dem  / i  elimina cji  całek  d och od zimy  do  równania  róż niczkowego  w  pos ta ci  (5.8)  1  BCOYP4G­  i ) J [ 6 z ; + 2 G ' ­ \ ) z P ' ] Q x ^ m ­ X ) + \  ( w ­  1 ) 1 * +  + 2 0 ­  w ­ ą } ­ , f * [ , ­ f ] + 1  )"­ )  ф   f + ł  f ] .  Przyjmu jemy  rozwią zanie  d l a  fu nkcji  naprę ż eń   i  ugię cia  w  pos ta ci  iloczyn u  dwóch  fu n kcji,  z  których  jed n a  uzależ niona  jest  tylko  o d  zmiennej  y,  d r u ga  zaś   wyłą cznie  o d  cza s u  ł  (5.9)  z„(y, t) =  З Д с >(0,  ( 5 . Ю )  ivP G >,  o  =  а д М О ­ Podstawiają c  zależ noś ci  (5.9) i  ( 5. 10)  d o  równań   p od s ta w ow ych  (5.8) i  (5.3)  otrzymu jemy  od p ow ied n io  ~BC0p'(y­\)  ,  ( 5 Л 1 )  т ^ г т т ш   { « + 2 ^ ­ 1 » ' ^ , я м +  /  f  rff  + 2  V7/\  dy]  +  l  (m­l)K+2(bl)zJ1fl°;'2<"­V;  =  ( ­ v V + 2 w )  =  A,  gdzie  X,  Xi  oznaczają   stałe,  które  należ y  okreś lić .  Zależ noś ć   ( 5. 12)  przeds ta wia  układ  dwóch  równań   o  p os ta ci  ( 5. 14)  —  = Xi . W  Równanie  (5.13)  jest  for ma ln ie  a na logiczne  d o  równania  równowagi  (3.10)  d l a s ta nu n a ­ tychmia s towego,  p r zy  czym  ( 5. 15)  Xi  =  1.  Podstawiają c  (5.15)  kolejno  d o  równań   (5.13)  i  (5.14)  otrzymu jemy  od p ow ied n io  ( 5. 17)  y  =  i 2 » ' }  =  1,  (5.19)  2 ­ ^ ­ +  V + 2  =  l ,  ycp  z  których  pierwsze  jest  forma lnie  a na logiczne  do  równania  nierozdzielnoś ci  odkształceń   d l a  s ta nu  na tychmia s towego  (3.9).  Jeż eli  wię c  zn a my  rozwią zanie  równania  (3.9)  (5.20)  z0=f(A,m,y),  to  rozwią zanie  równania  (5.18)  moż emy  przedstawić   w  pos ta ci  (5.21)  ą =f\  Całkują c  równanie  (5.19)  otrzymu jemy  (5.22)  ę   =  П 7 ' л ­ ( А ? 3 + 2 ­ 1 ) е ­ ^ > " ]  \  gdzie  stałą   cp0 =  (p(t)\  w yzn a czymy  z  w a r u n k u począ tkowego.  Z  równania  (5.22)  otrzy­ mu jemy  9?0 =  1 •  Z a te m  fu n kcja  q>{t)  przyjmu je  ostatecznie  postać   (5.23)  9>(0=  [ А ­ ( л ­ 1 ) е ~ ^ У ( ' ~ ' о ) Г ^ .  W  celu  okreś lenia  stałej  X  u czyn imy  założ enie,  ż e  stan  począ tkowy  proces u  pełzania  okreś lony  jest  przez  stan  n a tych mia s tow y;  w  rozważ anym  p r zyp a d k u  jest  n i m  rea kcja  sprę ż ysto­plastyczna.  Z a tem  d l a t  =  0  (5.24)  zp  =  z°p =  z 0  ora z  wp  =  w°p =  w0.  Rozwią zanie  d l a  ta kiego  s ta nu  zostało  przeds ta wione  w  p u n kcie  4.  D l a  czasów  wię kszych  od  zera  p omija my  wpływ  sprę ż ystych  własnoś ci  materiału  powłoki.  Rozwią zanie  w  tym  p r zyp a d k u  mu s i  spełniać   równocześ nie  równania  (3.9)  i  (5.18).  Porównują c  równania  (3.9)  i  (5.18)  w  założ eniu,  ż e  spełniona  jest  zależ noś ć   (5.24)  otr zymu jemy  nastę pują cy  w a r u n ek  d la  X,  który  mu s i  być   spełniony  d l a  dowolnego  у   w  przedzia le  r0  <  у   <  1.  h  dwa  1  (5.25)  Л ­ * а „ ~ ­  '  *  1  Г   dy  ^  2\l)\dy  x  [ 6 i 0 + 2 ( j ­  l ) z 0 ' ] ^ 0 f " ­ 1 > +  ­  (m­l)\zo+2(y­  l)zó]Ql̂ ­^  S TA N  S P R E Ż Y S T O ­ P L A S T Y C Z N Y  I  P E Ł Z A N I E  51  W  szczególnym  p r zyp a d k u ,  gdy m — n, to  zna czy,  gdy  nieliniowoś ć   sprę ż ystą   i  nie­ liniowoś ć   pełzania  okreś la  identyczny  wykładnik  potę gowy,  w a r u n ek  (5.25)  przyjmu je  postać   (5.26)  A =  Ę̂ ^­  =  —г ,  gdzie  В  =  BC0.  A  A  O s ta tecznie  funkcję   naprę ż eń  zp  moż emy  przedstawić   w  pos ta ci  (5.27)  zp=z0{y)[+\/ x­{X­\)e­n"fĄ   \  W  gra nicy,  gdy czas  zmier za  d o nieskoń czonoś ci,  z  zależ noś ci  (5.27)  otrzymu jemy  (5.28)  Iimż , =  ­ ^ .  Funkcję   ugię cia  okreś lamy  z  zależ noś ci  (5.10).  Przyjmu je  on a ostatecznie  postać   (5.29)  w„(y, 0  =  ^0(у )У ^­(л ­\)е ­^'.  P od ob n ie  j a k w  p r zyp a d k u  naprę ż eń   również   ugię cie  u lega  s ta b iliza cji  p o  czasie  nie­ skoń czenie  długim  i (5.30)  l i m wp(y,  t)  =  A»+2 w0(y).  / ->oo Stabilizację   naprę ż eń   i  ugię ć   p o  czasie  nieskoń czenie  długim  u za s a d n ia  przyję ta  postać   współczynnika  pełzania  w  równaniu  kon s tytu tyw n ym.  Przykład  liczb owy.  Rozważ ymy  przykład  liczb ow y  ilustrują cy  rozkład  naprę ż eń   w p o­ włoce  w  ch w il i  przyłoż enia  obcią ż enia  ora z  zmianę   naprę ż eń   i  ugię ć   w  czasie.  ­in3  k G  xlU  —у   cm2  ­in3  k G  xlU  —у   cm2  <0  3,0  2,0  1.0  \^lim  о г ­1115  kG/ cm2  i i . i i , 0  200  400  600  Rys .  3  t[godź ]  Przyjmu jemy  nastę pują ce  wartoś ci  liczb ow e:  stałe  ciś nienie  p  =  20 k G / c m 2 ,  gruboś ć   powłoki  h =  1 cm, / =  100 cm,  Ј =  10°, wykładniki  nieliniowoś ci  m =  n =  3, r0  =  0,5,  stałe  fizyczne  nieliniowego  p r a w a  fizycznego  (2.10)  identyfiku jemy  w  op a r ciu  o  da ne  52  H .  K O P E C K  i  z  [9]  i  [10]:  A  =  0,4  1 0 ­ 1 2 [ cm 2 / k G ] 3 ,  В   =  1,6  1 0 ­ " U ^ j  \y =  0,0012godz."1.Ograniczają c  się   d o  dwóch  wyrazów  rozwinię cia  warunków  (4.11)  i  (4.12)  ora z  uwzglę dniają c  trzy  w y­ ra zy  szeregów  (4.16)  i  (4.17)  otrzymu jemy  od p ow ied n io  d la  fu nkcji  naprę ż eń   i  ugię cia  nastę pują ce  wyraż enia:  z0  =  232,5+ 116,25 y­178  j ' 2 ,  w0  =  7 , 6 9 y ­ 8 , 2 2 y 2 ­ 1 4 , 3 2 y\  Rys .  4  W  op a r ciu o  (5.22)  w yzn a cza my  funkcję   cza s u  (/)  =  [ 4 0 ­ 3 9 e­ ° ' 0 0 3 ' ] ­ 1 / 5 ­ W y n i k i  obliczeń   p r zed s ta w ia my  wykreś lnie.  Zmianę   naprę ż eń   w  czasie  w  p u n k ta ch у   =  0  powłoki  ilu stru je  rys. 3 ;  rys. 4  przeds ta wia  rozkład  ugię ć   powłoki  d la  róż nych  wartoś ci  cza s u  t.  6 .  W n ios ki  W  p r a cy  p od a n o  układ  równań   p od s ta w ow ych  opisują cych  p r ob l em  geometrycznie  nieliniowej  powłoki  stoż kowej  w  stanie  błonowym,  obcią ż onej  wewnę trznym  ciś nieniem.  Przyję te  równanie  kon s tytu tyw n e  ob ejmu je  szeroką   klasę   materiałów  zarówno  meta li,  j a k  i  niemeta li  okreś lonych  formą   współczynnika  zwię kszają cego  ora z  współczynnika  pełzania.  Z  pos ta ci  równania  wynikają   p r zyp a d k i  szczególne:  n ielin iow a  i  l in iow a  defor­ ma cja  n a tych mia s tow a ;  p r a w o  pełzania  meta li  O d q vis ta ;  zwią zki  B ol tzma n n a  d l a  l in io­ wej  lepkosprę ż ystoś ci.  Pr zed s ta w ion o  pods ta wowe  rozwią zanie  d l a  s ta nu  na tychmia s towego  d l a  proces u  deforma cji  złoż onej  mało  wyniosłej  powłoki  o  kształcie  stoż ka  ś cię tego  s ztywno  za mocow a n ej  ob u s tr on n ie,  ograniczają c  się   d o  przeds ta wienia  rozwią zania  jakoś ciowego.  A l g eb r a iczn a  postać   u zys ka n ych  współczynników  szeregów  potę gowych  daje  moż liwoś ć   łatwego  za p r og r a mow a n ia  i  w yk on yw a n ia  obliczeń   n u mer yczn ych  n a  ma s zynie  cyfrowej  d l a  szeregu  wartoś ci  liczb ow ych  stałych  materiałowych  i  parametrów  geometr yczn ych  powłoki.  P od a n o  rozwią zanie  d la pełzania,  przedstawiają c  je  za  pomocą   f  izyka lno­ geometrycznej  a n a logii  d o  p r ob l emu  na tychmia s towego,  p od ob n ie  j a k  to  uczynił  a u tor  d l a  powłoki  S T A N  S P R E Ż Y S T O ­ P L A S T Y C Z N Y  I  P E Ł Z A N I E  53  stoż kowej  w  pra cy  [11].  S tos owa ne  jed n a k  w  pra cy  [11]  p r a w o  fizyka ln e  O D Q VISTA  [12]  opisu je  w  istocie  stan  pełzania  u stalonego.  Z e  wzglę du  n a zmianę   naprę ż eń   w  czasie,  stan  ta k i  w  rozpa trywa nej  powłoce  nie  m a  miejsca.  P r z y j m o w a n i e — j a k  w  obecnej  p r a cy  —  n ielin iow ych  teorii  dziedziczenia  w  geometrycznie  n ielin iow ych  p r ob lema ch  pełzania  mem­ b r a n ,  w  ś wietle  powyż szego  wydaje  się   szczególnie  u za s a dnione.  Z  przeds ta wionego  rozwią zania  d la pełzania  w yn ik a ,  ż e  naprę ż enia  maleją ,  zaś   ugię cia  rosną   w  czasie.  P o  czasie  nieskoń czenie  długim  nastę puje  s ta b iliza cja  naprę ż eń   i  ugię ć ,  co  w yn i k a  z  kształtu  współczynnika  pełzania,  przy  czym  wartoś ć   naprę ż eń   i  ugię ć   p o  czasie  nieskoń czenie  długim  uzależ niona  jest  o d  stałych  fizyczn ych  materiału  powłoki.  D l a  identycznego  p r ob l emu  przy  za s tos ow a n iu  p r a w a  O D Q VISTA  [12],  u zys kiw a n o  p o  nieskoń czenie  długim  czasie  [11]  wzros t  ugię ć   do  nieskoń czonoś ci  p r zy  równoczesnym  s p a d ku  naprę ż eń   do  zera.  Porównanie  wyników  otr zyma n ych  w  pra cy  [11]  z  ob ecn ymi  r ezu lta ta mi  p ozw a la  wnioskować ,  ż e  istnieje  zwią zek  mię dzy  p r a w em  k on s tytu tyw n ym  opisują cym  fizyczne  właś ciwoś ci  materiału  powłoki  a  za kr es em  geometrycznej  n ielin io­ woś ci,  j a k i  p ow in n o  się   uwzglę dniać   w  p od ob n ych  p r ob lema ch .  Liter a tu r a  cytowana  w  tekś cie  1.  Z . B Y C H A W S K I , Large  deflections  of  the  elasto­creeping  circular  membrane,  A r c h .  M e c h .  Stos.  3,17  (1965).  2.  Z . B Y C H A W S K I ,  O  stosowalnoś ci  analogii  sprę ż ystej  w zakresie  nieliniowej  geometrycznie  teorii  pełzania  membran  kołowych,  Rozp r .  Inż . 3, 13 (1965).  3.  Z . B Y C H A W S K I  Elastic  analogue  in the general  case  of  a geometrically  nonlinear  membrane  subject  to  creep,  A r c h .  M e c h .  Stos. 4, 17 (1965).  4.  Z . B Y C H A W S K I ,  A .  F o x ,  Some  fundamental  concepts  of  the theory  of  nonlinear  viscoelasticity,  A r c h .  M ech .  Stos.  6, 18 (1966;.  5.  Z .  B Y C H A W S K I ,  A . F o x , Theory  of nonlinear  viscoelastic  behavior,  A r c h .  M e c h .  Stos. 4, 19 (1967).  6.  Z . B Y C H A W S K I ,  H .  K O P E C K I , Nieliniowe  zagadnienia  odkształceń   sprę ż ysto­plastycznych  i pełzania  mem­ bran  kołowych,  Rozp r .  Inż . 3, 15 (1967).  7.  Z . B Y C H A W S K I ,  H . K O P E C K I ,  Sprę ż ysto­plastyczna  deformacja  i pełzanie  geometrycznie  nieliniowej  pow­ łoki  kulistej,  Rozp r .  Inż . 2, 15 (1967).  8.  Z . B Y C H A W S K I ,  H .  S I E N N I C K I ,  Zginanie  tarczy  kołowej  w zakresie  nieliniowej  deformacji  natychmiastowej  i pełzania,  III  S ympozjon  poś wię cony  reologii,  Wrocław 1966.  9.  I.  F I N I E ,  W . R .  H E L L E R ,  Pełzanie  materiałów  konstrukcyjnych,  W N T ,  W a r s za w a 1966.  10.  E . H O U D E R M O N T ,  Handbuch  der Sonderstahlkunde,  Springer,  B er lin 1956.  11.  Н .  K O P E C K I ,  Reologiczne  zagadnienia  nieliniowych  deformacji  powłok  obrotowo­symetrycznych  w  stanie  błonowym,  Rozp r a w a  d oktor s ka ,  Politech.  Kr a k o w s k a ,  1967 (maszynopis).  12.  F . K . G . O D Q V I S T ,  Kriechfestigkeit  metallischer  Werkstoffe,  B erlin­ G ottingen­ Heindelb erg 1962.  13.  A .  S A W C Z U K ,  W . O L S Z A K ,  Zagadnienia  powłok  niesprę ż ystych,  M ech .  Teoret. i  Stos.  1, 1 (1963).  1 4 .  А . С .  В О Л Ь М И Р ,  Г и б к и е   п л а с т и н к и   и  о б о л о ч к и ,  М о с к в а  1956.  Р е з ю м е   У П Р У Г О ­ П Л А С Т И Ч Е С К О Е   С О С Т О Я Н И Е   И   П О Л З У Ч Е С Т Ь   Г Е О М Е Т Р И Ч Е С К И   Н Е Л И Н Е Й Н О Й   К О Н И Ч Е С К О Й   О Б О Л О Ч К И   В   р а б о т е   р а с с м а т р и в а ю т с я   н а п р я ж е н и я   и   п р о г и б ы   г е о м е т р и ч е с к и   н е л и н е й н о й   к о н и ч е с к о й   о б о л о ч к и ,  в ы п о л н е н н о й   и з   м а т е р и а л а   о б л а д а ю щ е г о   с в о й с т в о м   п о л з у ч е с т и ,  в   с о о т в е т с т в и и   с  н е ­ л и н е й н о й   т е о р и е й   н а с л е д с т в е н н о с т и ,  д а н н о й   Б Ы Х А В С К И М   и   Ф о к с о м .  54  H .  K O P E C K I  Д а н а   с и с т е м а   у р а в н е н и й   о п и с ы в а ю щ и х   р а с с м а т р и в а е м у ю   з а д а ч у .  О б с у ж д е н   м е т о д   р е ш е н и я   з а д а ч и   в   с л у ч а е ,  к о г д а   п р о и с х о д и т   с л о ж н о е   д е ф о р м и р о в а н и е   (м г н о в е н н а я   д е ф о р м а ц и я   и   д е ф о р м а ­ ц и я   з а в и с и м а я   о т   в р е м е н и ),  а   ф о р м а   о б о л о ч к и   в в о д и т   о с о б е н н о с т ь .  Д а н о   о с н о в н о е   р е ш е н и е   (м г н о в е н н о е   с о с т о я н и е )  д л я   п о л о г о й   к о н и ч е с к о й   о б о л о ч к и ,  а   т а к ж е   р е ш е н и е   с п р а в е д л и в о е   в   р е ж и м е   п о л з у ч е с т и .  В   з а к л ю ч е н и е   п р е д с т а в л е н   р я д   в ы в о д о в .  S u m m a r y  E L A S T O ­ P L A S T I C  S T A T E  A N D  C R E E P  O F  A  G E O M E T R I C A L L Y  N O N ­ L I N E A R  C O N O I D A L  S H E L L  Th e  determina tion  of  stresses  and displacements  is considered  for  a  geometrically  non­ linea r conoida l  shell  subject  to  creep  deformations.  It  is  assu med  that  the  ma teria l  behaves  a ccording  to  the  non­ linea r  theory  of  inheritance —  proposed  b y  B ych a w s ki  a nd  F o x  [4,  5].  Th e  corres ponding  set  of  equ ations  is  derived  a n d the method  of  s olu tion of  the complex  deforma tion  prob lem  (instanteneous  deforma tion a nd  time­ dependent  deformation)  is discussed in the case  of  singu larity in the shape  of  shell.  The  fu nda menta l  s olu tion  (instanteneous  state) a nd the s olu tion in the range  of pu re creep  are presented  for  shallow  con oid a l  shells.  The  fina l  part  of  the paper  inclu des  some  conclu s ions .  Z E S P Ó Ł M E C H A N I K I T E C H N I C Z N E J WSI W R Z E S Z O W I E Praca  została  złoż ona  w Redakcji  dnia  3  maja  1968  r.