Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS69\MTS69_t7z1_4_PDF\mts69_t7z1.pdf


M E C H A N I K A 

T E O R E T Y C Z N A 

I  S T O S O W A N A 

1,  7  (1969) 

D R G A N I A  G RU B O Ś C IE N N E J  R U R Y  P R Z Y  W E W N Ę T R Z N Y M  I  Z E W N Ę T R Z N Y M 

P R Z E P Ł Y W I E  C I E C Z Y 

JACEK  S A M B O R S K I ( W AR S ZAW A) 

Waż niejsze  oznaczenia 

promień   wewnę trzny  i  zewnę trzny  ru ry, 

gę stoś ć   materiału  ru ry, 

gę stoś ć   cieczy  wewnę trznej  i  zewnę trznej, 

prę dkoś ć   niezab u rzonego  przepływu  cieczy  wewnę trznej  i  cieczy  otaczają cej  rurę , 

prę dkoś ć   propagacji  dź wię ku  w  cieczy  wewnę trznej  i  zewnę trznej  przy  nieza b u rzonym 

przepływie, 

prę dkoś ć   fa zowa  sprę ż ystej  fali  propagowanej  wzdłuż   ru ry, 

prę dkoś ć   fal podłuż nych  w  materiale  ru ry, 

prę dkoś ć   fal  poprzecznych  w  materiale  ru ry, 

stałe  La me'go  materiału  ru ry, 

funkcje  B essela  н ­tego  rzę du  pierwszego  rodza ju , 

funkcje  Bessela  л ­tego  rzę du  dru giego  rodzaju , 

w  =­w  n  ­  Q z  £  ­  C w  Ё   ­  — 
Q Q C2 C2 . 

1.  Wstę p 

Piś miennictwo  dotyczą ce  zagadnień   drgań   powłok  cylin d r yczn ych w  kon ta kcie  z  cie­

czą   jest  ob szerne.  Identyczny  j a k  w  niniejszej  pra cy  p r zyp a d ek  d l a cien kich powłok  r oz­

patrzył  B O ŁO TI N  w  swojej  pra cy  [3]  i  nastę pnie powtórzył w  [4].  D r g a n i a  gr u b ych  powłok 

cylin d r yczn ych  b ez  cieczy  rozwią zali  G A ZI S  [5}  i  M I R S K Y,  H E R R M A N N  [6].  G REEN SP O N  [7] 

zają ł  się   cien k imi i  g r u b ymi  powłokami  za n u r zon ymi w  nieru chomej  cieczy  z  przyłoż onym 

stałym  ciś nieniem w  ś rodku.  W res zcie  prace  BO BESZKI  ([2]  j a k o  kon tyn u a cja  [1])  dotyczą  

a na logicznego  za ga dnienia , j a k niniejs za  pra ca ,  ale b ez cieczy  zewnę trznej. W  odróż nieniu 

o d  litera tu ry  cytowa nej  powyż ej, w  niniejszej  pra cy  uwzglę dniono  p r zyp a d ek  gru b ej  p ow ­

włoki  i  r u ch  o b u cieczy:  wewnę trznej i zewnę trznej. 

W  p r a cy  rozważ amy  d r ga n ia własne nieskoń czenie długiej  r u r y  o  p r omien iu wewnę trz­

n y m  a  i  zewnę trznym b  (wielkoś ci: promień   b  i  gruboś ć   ru ry  b­a  są   tego  samego  rzę du). 

a,b 

e 
Qw, Qz 

uw,  uz 

Cw, Cz 

Ci  ­V 

Ш  

T 

X, / i 

Ш ,  Yn(r) 



74 J .  S A M B O R S K I 

Materiał  r u r y jest  lin iow o  sprę ż ysty.  Rurę   wewną trz  i  zewną trz  opływają   dwie  ciecze,  ś ciś ­

liwe  i  nielepkie,  o  gę stoś ciach  od p ow ied n io  gw  i  QZ.  W  d a ls zym  cią gu  przyjmu jemy  nieskoń ­

czenie  małe  przemies zczenia  punktów  r u r y  i  lin iow e  równania  r u ch u  d l a  cieczy  or a z  l i ­

n iow e  w a r u n k i  b rzegowe.  Przepływ  cieczy  w  stanie  s p oczyn ku  r u r y  od b yw a  się   ze  stałą  

prę dkoś cią   równolegle  d o  os i r u r y. 

2 .  Podstawowe  równania  zagadnienia 

D l a  in fin itezyma ln ych  odkształceń   r u r y,  pertu rb a cja  w  przepływie  wywołana  przez 

odkształcenia  r u r y  róż ni  się   infinitezyma lnie  o d przepływu  ze  stałą   prę dkoś cią   U,  a  p oten ­

cjał  pertu rb a cji 93 spełnia  zlinea ryzowa ne  równanie 

1 / 5  „  д   v" 

(2.1)  ^ ~ 1 Ą k + u i x ^ ­  " 

gdzie  d l a cieczy  wewnę trznej  należ y  podstawić :  q>w,  cw,  Uw,  a  d la  cieczy  zewnę trznej:  <pz, 

c„  Uz. 

Równania  r u ch u  punktów  należ ą cych  d o  r u r y  mają   postać  

(2.2)  i u d ivg r a d u +  ( A+ J a ) gr a d d ivu  =  Q y^ r >  u = U(HJ , м 2, "3) . 

Pr zed s ta w my  w ektor  przemies zczenia  u w  pos ta ci  s u my  gr a d ien tu  potencjału  s ka la rnego  % 

i  rota cji  bezź ródłowego  potencjału  w ektor ow ego  ф  

(2.3)  u  =  gr a d x+rot  ф ,  d ivф   =  0 . 

W p r o w a d za m y  współrzę dne  cylin d r yczn e  х ,  в ,  r  (oś   x  p o k r yw a  się  z  osią   cylin d r a ) .  Znają c 

potencjały  % i  ф ,  moż emy  z  (2.3)  znaleź ć   p ole  przemieszczeń   punktów  r u r y 

„  _  „  ­  dX  ,  dVt>  V»  •   1 

U x  ~  "  ~  8x  +  dr  r  +  г   dd  ' 

Przyjmują c  czę ś ć   liniową   tens ora  odkształcenia  E u l er a ,  składowe  p ol a  odkształceń   i n a ­

prę ż eń   za pis zemy  w  pos ta ci 

­
du  w  1  dv  dw 

e x x  =  ~dx~'  е т   =  7  +  7~д в '  e "  =  Tr' 

1  ldv  1  du\  1 Idu  dw\  1  /dv  v  l  dw 

e*e  =  2Щ   +  7~д в ]'  е " = 2 " \ а 7  +  "^/'  е г в   ~ Т \ д 7 ~ 7 +  7 1 ё  

а х х   =  Х А +2ц е х х ,  а в в   == Х А +2/ л е м ,  а „  =  Х А +2ц е „,  • 

^ 2 ' 6 ^  с г х 9  =  2,м е х в ,  <г х г   =  2/ л е х г ,  а в г   =  2/г е 9г , 



• D R G A N I A  G R U B O Ś C I E N N E J  R U R Y  P R Z Y  P R Z E P Ł Y W I E  C I E C Z Y  75 

gdzie 

(2.7)  A 

Równanie  (2.2)  jest  spełnione, jeś li  potencjały  % i ф   spełniają   równania  falowe 

(2.8) 

1 о 2 ф  

(  i  _  i  \  V 2 V  s2x  ,  i  82Z  l  dx  ,  д 2Х  
(е х х +е в в +е г г )  =  V  X  =  +  f.2  W  +  ~ ^  +  y , f 

V  1  c\ dt2  ' 

(2.9)  У 2 ф ­
c\ dt2 

0. 

W a r u n k i  b rzegowe  łą czą ce  pole  prę dkoś ci  płyną cej  cieczy  wewnę trznej  i  zewnę trznej 

i  drgają cej  sprę ż yś cie  r u r y  są   nastę pują ce:  warunek  kinematyczny,  wymagają cy  b y  były 

równe  składowe  p r omien iow e  prę dkoś ci  czą stki  płynu  i  czą stki  r u r y  n a p ow ier zch n ia ch 

r  =  a i r =  b 

(2.10) 
Sepy, 

dr  r=a 

dur 

r=a 
w  dx 

3 
r=a 

(2.11) 
d<p: 

r = b 

dur 
r  U  dt±­

z  д х  
9 

or a z  warunek  dynamiczny  zapewniają cy  cią głoś ć   naprę ż eń   n a gra nicy  oś rodków 

(2.12)  =  °"J  =  0 , 
r=a  \r—a 

(2.13) 
\r=a  " 4  d f + u »  д х ) 

(2.14) 
r .f r =4=*= 0 . 

(2.15) 
]r=o 

„  lE<P*  i г /   8<Р Л  

r = b 

3.  Rozwią zanie  falowe 

D a ls ze  rozważ ania  ogr a n icza my  d o  ru ry  nieskoń czenie  długiej.  Rozwią zania  równań  

(2.1), (2.8) i (2.9) przewidu jemy  w pos ta ci 

q>w(r, 6, x,  t) =  /(r)cos7i0sin(et>f—kx), 

(p2{r, 6, x,  t)  =  p(r)cosnOsu\(wt—kx), 

X(r,  в , X, t)  =  g(r)cosnOcos(oot  — kx), 

y>x(r, 0, x,  i)  =  hx(r)sinnOcos(cot—kx), 

г р в (г ,  в , x,  i)  =  he(r)cosnes\n(cot—kx), 

yr(r,  0, x,  t) =  hr(r)$innQsm(wt—kx). 

Przez  pods ta wienie  (3.1)  d o równań   (2.1),  (2.8) i  (2.9) otrzymu jemy  zwyczajne  równania 

róż niczkowe  n a fu nkcje p,f,  g, hi =  hx,  he—hr  =  2h2 ora z  he­\­hr  =  2h} 

B„.„[f]  =  0,  Bn,Sr[p]  =  0,  B„,,r[g]  =  0, 

(3.1) 

(3.2) 

В п .у г Щ   =  0 ,  Bn+l,yr[h2]  =  0 ,  B„.x,ir[h3]  =  o, 



76  J .  S A M B O R S K I 

gdzie 

(3.4)  a 2 = ^r Ję ^L  _к г , p  = «L _ Л « .  у г  =  « J  .  32 =  ( *>­ ^ , )
2 . 

C l  C 2 

Ogólne  rozwią zanie  (3.1) w tym p r zyp a d k u  m a postać  

f(r)  =  A1Zn(ar)+A2Wn(<xr), 

p(r)  =  В М д г )+В 2Ц г а {д г ), 

g(r)=C1Z„(Br)+C2W„(Br), 

( ­ )  A,(r) =  DlZn{yr)+D1Wn{yr), 

h2{r)  =  Ą Z ^ C y O + Ą ł K + i G w ) , 

A3 (r)  =  F i Z . _ 1 ( y r ) + Ą ^ . _ 1 ( y r ) , 

gdzie  Z „ ozn a cza  /„ lu b J„. a W„ ozn a cza  AT„ lu b Yn  zgodnie  z układem  (w zależ noś ci czy: 

a,  /3, у   l u b ó są  u rojone  czy rzeczywiste) 

(3.6) 

\<o—kU„\  <  kcw  и м  
kcw  <  \co—kUw\  Jn(ccr) 

co <  kc2  и м   K(M  Uyr)  Kn{yr) 
kc2  <  co <  kcx  UM  Kn(M  Uyr)  Yn(yr) 

kci  < co  и м   Y„(M  Yn(yr) 
\(o­kUz\  <  kc.  K„(dr) 

kcz  <  \co—kUz\  Y„(dr) 

Ponieważ  f(r)  mu s i  być  ogra niczone  d l a r — 0. a p(r)  =  0  d l a r =  00, wię c  bę dzie: 

A2  =  BT =  0. N a pods ta wie  (2.3)2, każ da z fu nkcji h, (i  =  1, 2, 3) moż e  być   p r zed s ta w ion a 

w  pos ta ci  komb in a cji  dwóch  pozostałych,  wię c  przyjmują c  h3 =  0 m a m y:  hx  =  hx, he =  h2l 

K=  ­h2. 

P o l a  przemieszczeń ,  odkształceń   i  naprę ż eń   mogą   wię c  być  przeds ta wione  w  nastę pu­

ją cej  p os ta ci: 

ux  =  u — [kg—h,—­  A?— — h­Acosnd  sin(eor—kx), 
\  r  r  I 

ue  =  v — (— — g +  h[—kh2\smndcos(cot—kx), 

(3.7)  и , = w =  ^g' — hl~—kh2^cosnOcos(cot  — kx), 

Ł г в   =  \ [~  T  (g'~  f ) + * i #  ~  7^ +  T ' h i  +  * * 2 j s i n n 0 c o s M ­ t a ) , 



D R G A N I A  G R U B O Ś C I E N N E J  R U R Y  P R Z Y  P R Z E P Ł Y W I E  C I E C Z Y  77 

e„  ­  \g"­  j  | л ; ­  yj ­ A: / j 2 jcos «9cos ( cof­ A: x) , 

axr  =  2/ nexr  — fî 2kg'—h2— у   | л 2 — j  Л 2|—  ~­  h{—  A:2A2jcosn0sin( <yr —kx), 

\  2n  I  ,  g\  ht  n2hi 
cr,9  =  2/ г е г е  =  fi  I  —  Ig  ­  yj + A i  ­ * * 2 —  у   +  ­ у ­  + 

H  &A2 |sinw0cos(co/—kx), 

a„  =  2jue„+XV2x  = 

=­­  7  ( A ; ­ ^ ­ J ­ ^ 2 j 2 ^ ­ A ( / S 2 + A : 2 ) ^ J c o s n e c o s ( c o r ­ A : x ) , 

gdzie  p r imy  oznaczają   róż niczkowanie  wzglę dem  г . 

Wykorzystują c  w a r u n k i  b rzegowe  (2.10—2.15)  otrzymu jemy  jed n or od n y  układ  oś miu 

równań   n a stałe  Al}  B2,  C j ,  C 2 , Dx,  D2,  El}  E2.  U kład  ten m a  zawsze  trywia lne  rozwią ­

za nie  Ai  =  B2  =  ...  =  E2  =  0,  odpowiadają ce  n ieza b u r zon emu  przepływowi  cieczy 

i  s p oczyn kow i  r u r y.  P r zy  p ew n ych  w a r u n k a ch  moż liwy  jest  jed n a k  s ta n  za b u r zon y  od ­

powiadają cy  p r zyp a d k ow i,  gdy  nie  ws zys tkie  stałe  są   równe  zer u .  W a r u n k i e m  is tn ien ia 

rozwią zania  niezerowego  jest,  a b y  w yzn a czn ik  cha ra kterys tyczny  tego  układu  był  równy 

zero.  Z  równań   powstałych  z  w ykor zys ta n ia  warunków  (2.10)  i  (2.11)  w yzn a czon o  Ax 

i  B2  w  zależ noś ci  od pozostałych  stałych, a nastę pnie  p od s ta w ion o  w  ten sposób  otr zyma n e 

wyraż enia  n a Ax  i  B2  d o  pozostałych  sześ ciu  równań ,  dzię ki  czemu  obniż ono  stopień   w y­

zn a czn ik a  d o  sześ ciu.  W  op a r ciu  o  w zor y  reku rencyjne  d l a fu n kcji  B essela,  w a r u n ek  ist­

n ien ia  rozwią zań   niezerowych  moż na  ostatecznie  zapisać   j a k o 

(3.8)  |Cy|  =  0 .  ( U =  1,2  6), 

gdzie 

Cu  =  { 2 « ( и ­ 1 ) ­ а 2 [ ( у 2 ­ ^ )  +  2 / 9 2 ( Я 2 ­ 1 ) ] } г п ( / З а ) + 2 Я 2 ^ п + 1 0 8 а ) + 

+r,wewa\«2+k2)  nZ^a)~Y^m 
'  w  v  «Z n ( a a ) — X x ccaZn + x ( cca) 

C 1 2  =  2yka2Zn(ya)­2(n+l)kaZn+x(ya)+ 

i w w  v  nZn(jm)—Ai «aZn+i («a) 

(3.9)  С ,з   =  2n(n­\)Zn(ya)­2nl3yaZn+x(ya)+ 

+  r)wi;W(a.2+k2)  "Zfya\  Z„(«a), 
l w  nZn(aa)—XxcuiZn+x(<xa) 

Cu  =  { 2 n ( / J ­ l ) ­ a 2 [ ( y 2 ­ ^ ) + 2 / 9 2 ( A 2 ­ l ) ] } » ' n ( / 9 a ) + 2 / S a ^ I , + 1 0 S f l ) + 



78  J .  S A M B O R S K I 

С ,  = 

С и  

2hyka2Wn  {у  a)­2ka(n+l)Wn+i  (у   а )+ 

+  r]wC2wa2(oc2+k2) 

2n{n­\)W„(ya)­2nyaWn+l(ya)+ 

+  rjwC2wa2(a2+k2) 

kaWn+1(ya) 

}iZ„(aa)—  A]  <xaZn+x(aa) 

nWn(ya) 

Z „(aa), 

Z„(aa), 

(3.9) 

nZn{a.d)—Xi  aaZn+l((xa) 

­2n(n­l)Zn(Ba)+2nX2paZn+l(fia), 

yka2Z„  (ya)—2(n+l)  kaZ„+!  (ya), 

­[2n(n+l)­(2X3­l)y2a2]Zn(ya)­2X3yaZn+l(ya), 

­2n(n­\)Wn(Pa)+2npaWn+l(Pd), 

hyka2W„(ya)­2(n+l)kaWn+1(ya), 

­[2n(n­l)­(2h­l)y2a2Wn(ya)­2yaWn+l(ya), 

2nkaZn(fia)­2X2pka2Zn+1(Pa), 

­  (y2­k2)a2Zn+l(ya)+nyaZn(ya), 

nkaZ„(ya), 

C 3 4  =  2nkaWn(pd)­2pka2Wn^d), 

C 3 5  =  hnyaWn{ya)­(Y2­k2)a2Wn+l(ya), 

C 3 6  =  nkaWniya). 

Pozostałe  współczynniki  (od  C 4 ,  d o  C 6 6 )  bę dą   miały  analogiczną   postać   (C4i  j a k  C n ,  C 4 2 

j a k  C 1 2  itd), z  tym, ż e  należ y  zastą pić  

C 2 1 

C 2 2 

С г з  

( Г 24 

C 3 2 

c 3 3 

' Л ­ fz ,  a ­ > Ł ,  Z„(ar)­+  W„{dr),  %­*8, 

a  mia n ow n ik  [ «Z „( a a ) — Ai a a Z n ł ,(aa)] zastą pić   mia n ow n ik iem  [nWn(db)—dbWn+1(db)]. 

Wielkoś ci  A ;  (i  =  1, 2, 3)  przyjmują   wartoś ci  + 1  lu b  — 1  (w  zależ noś ci  czy  a,  fi,  у   są  

rzeczywis te  czy  u rojone),  zgodnie  z  tabelą  

(3.10) 

a  u rojone  -> /„(ar)  A,  =  ­
a  rzeczywiste  Л ( а г )  A,  = 

/? u rojone  /„(/Sr),  В Д г )  A 2 =  ­

/3 rzeczywiste —»  Л О З г ),  r.(j8r)  A2  = 

у   u rojone  —• h(yr),  Kn(yr)  A3  =  ­

у   rzeczywiste  Uyr),  Yn(yr)  A 3  = 

U w a g a :  W  p r a cy  BO BESZKI  [2]  popełniono  pomyłkę   rachunkową   p r zy  ob l icza n iu 

współczynników  C , ; , pomyłkę   tę   powtórzono  p r a w d op od ob n ie  za pracą   G AZI S A  [5]. W  Cn, 

C 4 i ,  , C 1 4  i  C 4 4  za mia s t  ( y 2 ­ l )  w in n o  b yć :  [ ( у 2 ­ 1 ) + 2 Ł 2 ( А 2 ­ 1 ) ] ,  a  w  C 2 3 ,  C 2 6 ,  C 5 3  i  C 5 6 

wyraż enie  y2k2a2  w in n o  być   pomnoż one  przez  (2A 3 — 1). 



D R G A N I A  G R U B O Ś C I E N N E J  R U R Y  P R Z Y  P R Z E P Ł Y W I E  C I E C Z Y  79 

4.  Rozwią zania  szczególne 

Równanie  (3.8)  opisu je  zwią zki  dyspersyjne  d l a  gruboś ciennej  r u r y  opływanej  we­

wną trz  i  n a  zewną trz  przez  płyny.  W  szczególnych  p r zyp a d k a ch  ten  b a r d zo  s k omp l ik o­

w a n y  w a r u n ek zna cznie się   u pra s zcza . 

W  p r zyp a d k u  fa li  stoją cej  (k  —  0)  w yzn a czn ik  redu ku je  się   do  iloczyn u  dwóch  p o d ­

wyznaczników 

(4.1)  AŁ >2  =  0 , 

gdzie 

(4.2)  A  = 

Cu c 1 3  Cu Ci  6 

c2l  C24  c26 

С 41  C4 4 C4 6 

С  51  c 5 3  C54  c56 

£>,= 
C 3 2 

С б 2 

C35 

C o 5 

Rozwią zania  niezerowe  istnieją ,  jeś li  przyna jmniej jeden  z  podwyznaczników  jest  równy 

zer u .  P r zy  Di  =  0  stan  odkształcenia  jest  płaski,  p r zy  D2  =  0  zachodzą   podłuż ne  d r ga ­

n i a  ś cinają ce  (ob a rodzaje  drgań   niezależ ne  o d  x). 

W  p r zyp a d k u  fa l  os iow o­ s ymetr yczn ych  (и   =  0)  w a r u n ek  is tnienia  rozwią zań   nie­

zer ow ych  (3.8)  redu ku je się   d o 

(4.3) 

gdzie 

(4.4) 

D3D4  =  0 , 

D3  = 

Cu C12 C] 4  С , 5 

C 3 ,  C32  C34  C 3 5 

C 4 1  C 4 2  C 4 4  C 4 5 

c «  c 6 2  С б 4  c 6 5 

2>4  = 

С 2 з  

C 5 3 

C 2 6 

C 5 6 

P r zy  D 3  =  0  powstają   fale  podłuż ne  os iowo­ s ymetryczne  (tylko  przemies zczenia ur  i  ux). 

Jeś li  DĄ   =  0, to  p r zyp a d ek fal skrę tnych  (tylko  przemies zczenia  u9). 

Liter a tu r a  cytowana  w  tekś cie 

1.  A .  B O B E S Z K O ,  Sprę ż yste  fale  gię tne  w  nieskoń czonej  rurze  przy  przepływie  płynu  nieś ciś liwego,  Rozp r . 

Inż yn.  1,  1 1 (1963). 

2.  A .  B O B E S Z K O ,  Flexural  elastic  waves  in  infinite  tube  containing  flowing  a  compressible  fluid,  according  to 

the exact  theory  of  elasticity,  A r c h .  M ech .  Stos.,  1, 1 6 (1964). 

3.  В .  В .  Б о л о т и н ,  К о л е б а н и я   и   у с т о й ч и в о с т ь   у п р у г о й   ц и л и н д р и ч е с к о й   о б о л о ч к и   в   п о т о к е   с ж и м а е м о й  

ж и д к о с т и ,  И н ж .  С б .  2 4 , 1956. 

4 .  В .  В .  Б о л о т и н ,  Н е к о н с е р в а т и в н ы е   з а д а ч и   т е о р и и   у п р у г о й   у с т о й ч и в о с т и ,  М о с к в а  1961. 

5.  D . С .  G A Z I S ,  Three­dimensional  investigation  of  the  propagation  of  waves  in  hollow  circular  cylinders, 

J A S A ,  5,  3 1  (1959). 

6.  I.  M I R S K Y ,  G .  H E R R M A N N ,  Axially  symmetric  motions  of  thick  cylindrical  shells,  J . A p p l .  M ech . ,  1, 25 

(1958). 

7.  J . E .  G R E E N S P O N ,  Vibrations  of  thick  and thin  cylindrical  shells  surrounded  by water,  J A S A ,  10, 3 3 (1961). 



80  J .  S A M B O R S K I 

Р е з ю м е  

К О Л Е Б А Н И Я   Т О Л С Т О С Т Е Н Н О Й   Т Р У Б Ы   О Б Т Е К А Е М О Й   В Н У Т Р И   И   С Н А Р У Ж И  

Ж И Д К О С Т Ь Ю  

В   р а б о т е   р а с с м о т р е н ы   с о б с т в е н н ы е   к о л е б а н и я   б е с к о н е ч н о й ,  у п р у г о й   т о л с т о с т е н н о й   т р у б ы . 

Т р у б а   о б т е к а е т с я   в н у т р и   и   с н а р у ж и   д в у м я   р а з л и ч н ы м и   с ж и м а е м ы м и   и   н е в я з к и м и   ж и д к о с т я м и . 

П р е д п о л а г а е т с я ,  ч т о   о б е   ж и д к о с т и   т е к у т   в   н е в о з м у щ е н н о м   с о с т о я н и и   т р у б ы   п а р а л л е л ь н о   е ё   о с и . 

С в е р х   т о г о ,  с ч и т а е т с я ,  ч т о   п е р е м е щ е н и я   в   т р у б е   б е с к о н е ч н о   м а л ы   и   м о ж н о   п р и н я т ь   л и н е а р и з о в а н ­

н ы е   у р а в н е н и я   д в и ж е н и я   ж и д к о с т и   и   л и н е й н ы е   к р а е в ы е   у с л о в и я .  О к о н ч а т е л ь н о е   р е ш е н и е   з а д а ч и  

д а н о   в   в и д е   д и с п е р с и о н н ы х   с о о т н о ш е н и й .  Р а с с м о т р е н ы   д в а   ч а с т н ы х   с л у ч а я :  о с е с и м м е т р и ч е с к и е  

к о л е б а н и я   и   в о л н ы   н е з а в и с и м ы е   о т   к о о р д и н а т ы   в д о л ь   о с и   т р у б ы . 

S u m m a r y 

V I B R A T I O N S  O F  A  T H I C K ­ W A L L E D  T U B E  I N  I N T E R N A L  A N D  E X T E R N A L  F L O W S 

O F  F L U I D S 

V ib r a tion s  of  infinitely  long,  elastic  a n d  thick­ wa lled  tube  are  considered.  Th e  tube  is  assu med  to 

be  in  two  flows  ­  internal  a n d external ­  of  two  different  b u t  b oth  compressib le  a n d  non­ viscou s  flu ids . 

In  a ddition,  in the  case  of  the  tube  in  rest,  b oth  flows  are  assu med  to  be  u n ifor m  with  velocity  parallel 

to  the tu b e.  Moreover,  infinites ima l  displacements  of  the tube  as well  as  linear  equ ations  of  flu ids  motion 

a n d  linear  b ou nda ry  conditions  are  a pplied.  Th e  fina l  s olu tion  of  the  p r ob lem  in  qu es tion  is  presented 

in  the for m  of  dispersion  relations.  The  paper  is  illu strated b y  two  cases:  of  a xia lly  s ymmetric  vib ra tions 

a nd  infinite  wavelengths. 

Z A K Ł A D  M E C H A N DS I  O Ś R O DK Ó W  C I Ą GŁ Y C H 

I N S T Y T UT U  P O D S T A W O W Y C H  P R O B L E M Ó W  T E C H N I K I  P A N 

Praca  została  złoż ona  w Redakcji  dnia  5  czerwca  1968 r.