Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS69\MTS69_t7z1_4_PDF\mts69_t7z2.pdf M E C H A N I K A  TEORETYCZNA  I  STOSOWANA  2,  7 (1969)  ANALIZA  UKŁADU  W1BRO­UDERZENIOWEGO  Z  NIELINIOWA  CHARAKTERYSTYKĄ  SPRĘ Ż YSTĄ   Z B I G N I E W  W I Ś N I E W S KI  ( G D A Ń S K)  Wykaz  waż niejszych  oznaczeń   5  pole powierzchni  dna  tłoka  elementu sprę ż ystego,  /  maksymalna  odległość  pomię dzy  dnem  tłoka  a  dnem cylindra,  Po  ciś nienie  w  przestrzeni sprę ż ania  przy X  =  /,  и  wykładnik  adiabaty,  X  przemieszczenie masy drgają cej,  X  prę dkość  masy drgają cej,  X  przyspieszenie masy drgają cej,  x  bezwymiarowe przemieszczenie,  x  bezwymiarowa  prę dkoś ć,  x  bezwymiarowe przyspieszenie,  /  czas,  OJ  czę stość  siły  wymuszają cej,  cp  kąt  przesunię cia  fazowego  pomię dzy  siłą  wymuszają cą  i  przemieszczeniem,  R  współczynnik  restytucji,  V  prę dkość  uderzenia masy drgają cej  o  ogranicznik,  v  bezwymiarowa prę dkość  uderzenia,  Xa  luz  pomię dzy  czę ś cią  uderzają cą  a ogranicznikiem,  x„  luz  bezwymiarowy,  F0  amplituda siły  wymuszają cej,  Q  cię ż ar masy drgają cej,  n  stosunek okresu ruchu  do  okresu  siły  wymuszają cej.  1.  Wprowadzenie  Jednym  z  kierunków  prac  nad  rozwojem  konstrukcji  wibro­uderzeniowych  urzą dzeń   do  pogrą ż ania  pali  (tzw.  wibromłotów)  były  badania  układów  z  nieliniowymi  elementami  sprę ż ystymi.  Celem  zastosowania  takich  elementów  było  uzyskanie  moż liwoś ci  regulacji  czę stoś ci  uderzeń,  co  mieć  może  istotne  znaczenie  dla  poprawy  efektywnoś ci  pracy  wi­ bromłotów.  Bardzo  obszerna  bibliografia  dotyczą ca  układów  wibro­uderzeniowych  dotyczy  w  za­ sadzie  jedynie  takich  układów,  które  opisane  są  liniowymi  (w  przedziale  czasu  mię dzy  uderzeniami)  równaniami.  Metody  stosowane  do  badania  takich  układów  nie  dadzą  się   zastosować  w  przypadkach,  gdy  w  równaniach  ruchu  wystę pują  elementy  nieliniowe.  166  Z .  WIŚ NIEWSKI  W  niniejszej  pracy  rozważa  się moż liwość  badania  ruchu  układu  wibro­uderzeniowego  z  nieliniową  charakterystyką  sprę ż ystą  za  pomocą  znanych  przybliż onych  metod  anali­ tycznych  oraz  pewną  metodą  numeryczną  zaproponowaną  przez  autora.  2.  Sformułowanie zagadnienia  Badać  bę dziemy  układ  wibro­uderzeniowy  zawierają cy  element  sprę ż ysty  posiadają cy  tę  własnoś ć,  że  umoż liwia  on  zmianę  sztywnoś ci,  a  więc  poś rednio  i  czę stoś ci  uderzeń   układu  w sposób  cią gły.  Schemat  elementu  sprę ż ystego  przedstawiono  na  rys.  1.  Do  wibratora  /  zamocowano  Rys.  1  tłok  2  poruszają cy  się w cylindrze 3 połą czonym  sztywno  z nieruchomym ogranicznikiem.  Do  przestrzeni  mię dzy  tłokiem  a  cylindrem  dostarcza  się  poprzez  zawór  4  powietrze.  Gdy  zawór jest  zamknię ty,  tłok  poruszając  się w kierunku  dna  cylindra,  sprę ża  powietrze,  którego  warstwa  znajdują ca  się  mię dzy  tłokiem  a  dnem  cylindra  tworzy  sprę ż yste  zawie­ szenie  masy  zamocowanej  do  tłoka.  Ruch  tłoka  wymuszany  jest  siłą  wywołaną  przez  obrót  niewyważ onych  mas  wibratora  bezwładnoś ciowego.  W ,  Rys. 2  Gdy  siła  wymuszają ca  i  ciś nienie  powietrza  są  odpowiednio  dobrane,  ruch  tłoka  ma  charakter  oscylacyjny,  a  przy  dostatecznie  duż ej  amplitudzie  drgań  nastę pują  zderzenia  masy  drgają cej  z  ogranicznikiem  na  powierzchni  5.  Przy  założ eniu,  że  zmiana  ciś nienia  i  obję toś ci  powietrza  ma  charakter  adiabatyczny,  zależ ność  siły  sprę ż ystej  od  położ enia  tłoka  (rys.  2)  okreś la  zwią zek  ANALIZA  UKŁADU  WIBRO­UDERZENIOWEGO  167  (2.1)  Л Г = ^ о [ ( 1 ­ у)  " ­ 1  •   Rozpatrzymy  ruch  masy  drgają cej,  zawieszonej  na  opisanym  wyż ej  elemencie  sprę­ ż ystym,  przy nastę pują cych  założ eniach:  1) moż liwe  są  drgania  okresowe  o  okresie  równym  okresowi  siły  wymuszają cej  lub  jego  krotnoś ci;  2)  drgania  wymuszone  są  siłą  harmoniczną  skierowaną  wzdłuż  osi  tłoka  elementu  sprę ż ystego,  przy  czym  czę stość  siły  wymuszają cej  jest  stała  w  cią gu  cyklu  ruchu;  3) uderzenia  masy  drgają cej  o  ogranicznik  zachodzą  w przedziale  czasu  małym  w po­ równaniu  z okresem  ruchu;  4) zderzenie  charakteryzuje  się  współczynnikiem  restytucji  0  <  R  <  1,  który  zależy  wyłą cznie  od  rodzaju  materiałów  zderzają cych  się czę ś ci;  5) masa  ogranicznika jest  nieskoń czenie  wielka  i  nie  bierze  udziału  w  drganiach;  6) w  przedziale  czasu  mię dzy  uderzeniami  na  układ  nie  działają  ż adne  siły  oporu;  7) nie  wystę pują  wzajemne  oddziaływania  układu  i  ź ródła  energii;  8)  masa  drgają ca  skupiona  jest  w  ś rodku  masy,  przy  czym  ruch  mas  wibratora  nie  wpływa  na  położ enie  ś rodka  masy;  9) wszystkie parametry układu  mają  charakter  zdeterminowany.  Zgodnie z powyż szymi  założ eniami  ruch  układu  opisywać  bę dzie  równanie  Rys.  3  Charakterystykę  sprę ż ystą  (2.1)  aproksymować  moż na  wielomianem  szóstego  stopnia  dla  ~  e  [0­^0,8].  16S  Z .  WIŚ NIEWSKI  W  pierwszej  fazie  analizy  ruchu  układu  ograniczymy  się  do  badania  charakterystyki  w  postaci  wielomianu  trzeciego  stopnia.  Otrzymamy  więc  (2.4)  N(X)  =  A2X+BX\  Wprowadzając  podstawienia  (2.5)  X = ^ x ;  t   =  (ot,  otrzymamy  równanie  ruchu  we współrzę dnych bezwymiarowych  (2.6)  'х ­\­а2х +Ь хг  =  COS(T+C9),  gdzie  n  7^  . 2  Sp0A 2g  .  L  SpoBFlg'  ( 2 Л )  °  Q,u2  Ь = ~ ^ 2 ~ ­ Warunki  okresowoś ci  przybiorą  teraz  postać   x(0)  =  x0.  x(2nn)  ­  x0,  (2.8)  przy  czym  oznaczono  x(0)  ­ ­ Rv,  x(2nn)  =  —V,  Fog  r , v  =  ~ń  V.  3.  Wybór metody rozwią zania  Znane  metody  rozwią zywania  równań  róż niczkowych  nieliniowych  nie  są  w  pełni  ogólne,  odnoszą  się  bowiem  do  pewnych  okreś lonych  klas  zagadnień.  Badanie  układów  silnie  nieliniowych  prowadzi  się  w  zasadzie  wyłą cznie  metodami  numerycznymi,  gdyż   przybliż one  metody  analityczne  odnoszą  się  przeważ nie  do  układów  słabo  nieliniowych.  Stosowanie  metody  numerycznej  do  badanego  układu  wibro­uderzeniowego  wymaga  znajomoś ci  warunków  począ tkowych,  których  w  rozpatrywanym  przypadku  nie  znamy,  ponieważ  warunki  począ tkowe  odpowiadają ce  rozwią zaniu  spełniają cemu  warunki  okre­ sowoś ci  są  funkcją  parametrów  układu  [2, 3].  N a  przykładzie  dwóch  typowych metod  badania  układów  nieliniowych  wykaż emy,  że  z  uwagi  na  specyficzne  cechy  układów  wibro­uderzeniowych należy  poszukiwać nowych  metod.  3.1.  Metoda kolejnych przybliż eń.  Metoda  kolejnych  przybliż eń  stosowana  jest  zwykle  do  równań  zawierają cych  nieliniowość  w  postaci  wielomianu  [1].  Jako  pierwszy krok  przybliż enia  przyjmiemy  całkę  równania  (3.1)  i i + a 2 * !  =  COS(T+C3)  z  warunkami  okresowoś ci  (2.8).  Rozwią zanie  takiego  zagadnienia  dla  а Ф  1 podano  w  pracy  [2].  Mamy  więc  ANALIZA  UKŁADU  WIBRO­UDERZENIOWEGO  (3.2)  X\{t) =  Acos(ar­\­y))­\­­^~jCOs(T+q))  przy  czym  oznaczono  A  v(l+R)  1  A =  :  ;  y> =  — na  2a  smna  s i n c > = ( a 2 ­ l )  2  '  c o s ^ =  ( e 2 ­ ! ) Uo  2a  '  (3.3)  2   X°f+Sj  (a^­\f  *°  ш  , } ± R ctgnna  V  l­R  1+/ 2  '  3  l­R  a  *  W  drugim  kroku  iteracji  podstawiamy  do  równania  (2.6)  zwią zek  (3.2)  (3.4)  x2+a 2x2  =  COS(T+9>)—bx\(j),  a  stąd  po przekształceniach  otrzymujemy  x­\­a2x2  =  ^ICOS(T+C>)—A2cos(ar+f)—ył3co s 3(T+c?)—y44co s 3( aT+^) ­ (3.5)  —Ascosx—A6cos^—A1cosy—Ascosd,  gdzie  A  _ .  _Ъ Ь _  З Ь А 2  ,  _ , J ^ _  _ Л  1  (^.2)3  2 ( a 2 ­ l ) '  Л 2 _^ [ 4  2 ( a 2 ­ l ) J '  ,  _ j  .  , A  ­  л  Ъ Л ' Ь   Л з­4(а2­1У  4 ~  4  '  л ' ~ л « ­  4 ( a 2 ­ l ) '  (3.6)  3Ab_  4(a 2 ­l) 2  a =  +(2a+l)r;  /? =  (2a—  1)т +2у >—.  Całka  ogуlna  rуwnania  (3.5)  ma  postać   x2  =  ^cos(aT+y))+C1cos(T+99)—C2Ts i n (aT+y) 4­C3co s 3(T4­95)­R­ (3.7)  + C4cos 3(а т+y>)+C5cosa+C6cos/ 9 +C7cosy+ C8cos д ,  gdzie  y47  — Л 8  —  ,  с»  ~  а2­!'  ° 2 ~  2а '  ° 3 ~  9 ­ а 2  '  ° 4  С8  1 + 4 а + З а2  '  6  З а2 ­ 4 а +1  '  7  4 ( в + 1)  '  А ,  4(1 ­ а )  5  Mechanika  teoretyczna  170  Z .  WIŚ NIEWSKI  Podstawiając  do  (3.7)  warunki  okresowoś ci  (2.8) otrzymujemy  układ  czterech  równań   dla  wyznaczenia stałych: A, v, y>,  q>:  A cos y)+ Q cos 4­ C3cos 3+ C5cos(q>+2y>)+  +  C6cos(2y>—q>)­\­C1cos((p­\­2y))­\­Cicos(2q>—y))  =  x0;  —Aasinyi—Ci sin q>—C2 cos ip—3C3sin3c>—3C4sin 3y—  ­ ( l + 2 a ) C 5 s i n ( 9 9 + 2 v > ) ­ ( 2 a ­ l ) C 6 s i n ( 2 v ­ 9 ' ) ­ ( a + 2 ) C 7 s i n ( y + 2 9 p ) ­ — (2—a)C8sin(29?—ip)  = Rv;  A cos(2nna+y>)+Ct cos ę — C 2 sin ( 2 я ш + у) +  C 3 cos З 99+ C4cos 3(2л п а +  ip) +  4­ C 5 cos [)] + C 6 cos [2 (2nna+yi) — 97]+C7cos (2т г ш +y>+q>) 4­ +  C8cos(2c>—2л п а —y>)  =  x0;  —Л a sm(2nna4­y) — d  sin 9? — С2(2л п а4­y>)—3 C 3 sin 3q>—  —3 С4 sin 3 (2 т ш я +ip) ­  (1+2d) Cs sin [93+2 (2я л я +у )]—  — (2а — 1) C 6 si n [2(2 л и а +y>)—+2(p)—  — (2—a)C8sin(2(p—2nna—ip)  =  —v.  Równania  (3.9) są równaniami  przestę pnymi.  Rozwią zanie  tego  układu  wymaga, jak  wykazała  wstę pna  analiza,  około  20 godzin  cią głej  pracy  maszyny  cyfrowej  o  nominalnej  szybkoś ci  200 elementarnych  operacji  na  sekundę.  Ponieważ jednak  nie ma pewnoś ci,  czy drugi  krok  iteracji  bę dzie  wystarczają co  dokładnym  przybliż eniem  rozwią zania,  zaś  nastę pny  krok  wymagałby  nieporównanie  bardziej  pracochłonnych  obliczeń,  moż na  stwierdzić,  że  metoda  kolejnych  przybliż eń   nie  prowadzi  do pozytywnych  wyników.  3.2. Metoda  linearyzacji.  Spoś ród  wielu wariantów metody linearyzacji  do badania  układów  silnie  nieliniowych  moż na  stosować  jedynie  metodę  P A N O W K O  [4], opartą  na kryterium  energetycznym.  Charakterystykę  elementu  sprę ż ystego  okreś loną  funkcją   gdzie A =  °~Г  ,  zaś L ­— maksymalne  wychylenie masy  drgają cej  od położ enia  równo­ wartość  współczynnika  a 2  wyznaczymy  przyjmując  kryterium  najmniejszej  róż nicy  mię­ dzy  charakterystyką  (3.10),  a  charakterystyką  układu  zlinearyzowanego.  Warunek  ten sformułujemy  nastę pują co  (3.10)  zastę pujemy  przez  wyraż enie  Д х )  =  агх +Ь хг   f*{x)  = ) [ c t g 7 r a ( c o s a T — c o s T ) + s i n a T ] + x 0 c o s T  © ( 1 ­ Я )  S i n T ,  2  — s i n T — s m a r  +  c o s a r  — x 0 s i n . T  v(l­R)  COST.  2  Zrealizowanie  wyż ej  opisanego  postę powania  wią że  się z dwiema  zasadniczymi  trud­ noś ciami :  1)  koniecznoś cią  wielokrotnego  rozwią zywania  układu  równań  przestę pnych  o  zło­ ż onej  formie, co  wymaga  stosowania  odpowiednio  szybkiej  maszyny  cyfrowej;  2) sprawdzeniem poprawnoś ci  rozwią zania,  które  wymaga  moż liwoś ci  oceny  błę du, zaś   dla  oszacowania  błę du  trzeba  znać  wartość  ką ta  przesunię cia  fazowego  c>, która  zależy  od  warunków  począ tkowych  oraz  parametrów  układu,  a  więc  wymaga  znajomoś ci  rozwią­ zania. Oszacowanie dokładnoś ci  rozwią zania jedynie na  podstawie  liczbowego porównania  charakterystyki  nieliniowej  i  zlinearyzowanej  nie daje  dostatecznej  pewnoś ci,  czy  roz­ wią zanie  równania  zlinearyzowanego  dostatecznie  dobrze  przybliża  rozwią zanie  rzeczy­ wiste.  Tak  więc  metoda  linearyzacji  również  nie nadaje  się do  zastosowania  do  badania  nieliniowych  układów wibro­uderzeniowych.  Podstawową  trudnoś cią  zwią zaną  z  omówionymi  wyż ej  metodami  były  pracochłonne  obliczenia,  wymagają ce  stosowania  elektronicznej  techniki  obliczeniowej.  Dalsze  poszukiwania prowadzono  zatem  w kierunku  opracowania  procesu  numerycz­ nego  wymagają cego  moż liwie  najmniejszej  iloś ci  obliczeń.  Ogólnie  znane  metody  numeryczne  wymagają  znajomoś ci  warunków  począ tkowych  równania,  zaś w rozpatrywanym  przypadku  warunki  począ tkowe  dla  rozwią zań  okreso­ wych  są m.in.  funkcją  prę dkoś ci  uderzenia,  której  nie  znamy.  Tak  więc  omawiana  metoda  przyjmuje  za punkt  wyjś cia  poszukiwanie  pary  wartoś ci  prę dkoś ci  uderzenia  i  ką ta  przesunię cia  fazowego,  którym  odpowiada  rozwią zanie  okresowe.  Metoda  próbnego  doboru  parametrów  przewiduje  nastę pują cy  tok  postę powania.  1. Okreś la  się  wstę pnie  obszar  I , w którym  należy  poszukiwać  wartoś ci  v i  q>.  2. Badane  równanie  modeluje  się na maszynie  analogowej  i  wybierając  kolejno  pary  wartoś ci  v  i   x0  dla  т e (0,  2я и ).  W  przypadku,  gdy którykolwiek  z  warunków  (4.1) nie zostanie  spełniony,  wybiera się   nastę pną  parę  wartoś ci v i  q>.  Skata 1­^5 V  ­ @ J  3/10  do l '  oscyloskopu  A <  К   rjsint p   w c  <  co s 

), 174  Z .  WIŚ NIEWSKI  z  warunkami  okresowoś ci  x(0) = 0,  x(0) =  0,5»,  х (2л )  =  0,  х {2л ) =  —v,  a  więc xa  =  0,  R =  0,5,  и =  1.  Badania prowadzono przy pomocy maszyny analogowej  E L W A T ­ 1  oraz maszyny cyfrowej  Z A M ­ 2  beta.  Wstę pnie  ustalono,  że wartoś ci  x 0  TAK  NIE  L _  !  v i  * M  lub  (pi  »•  Ф 1+/| t  v i  * M  lub  (pi  »•  Ф 1+/|  Rys.  6.  Schemat  operacyjny  działań  maszyny  cyfrowej  Kontynuując  próby  moż naby  oczywiś cie  uzyskać mniejszy  błąd  (dla  szeregu zbadanych  przykładów  uzyskano  rozwią zanie  z  błę dem  mniejszym  niż  0,1%).  Omawiana  metoda  pozwala  również  na  uzyskanie  pewnych  informacji  o  stabilnoś ci  strukturalnej  badanego  układu,  a  ś ciś lej —  o  wpływie  małych  zmian  parametrów  układu  na  przebieg  rozwią zania.  Wprowadzając  mianowicie  pewne  zaburzenia  warunków  po­ A N A L I Z A  UKŁADU  WIBRO­UDERZENIOWEGO  177  czą tkowych  lub  parametrów  układu  moż na  zaobserwować,  jak  zmienia  się  przebieg  rozwią zania  w  stosunku  do  rozwią zania  niezaburzonego  oraz  jak zmienia  się róż nica  w  miarę  wzrostu  iloś ci  cykli  ruchu  (tablica 1).  \   \   \   \  \  \  V  \  \  Rys. 8  Tablica 1  T  xz xz xz—X +0,00000  +0,00000  + 1,12500  +0,00000  +0,50000  +0,43439  +0,61196  ­0,00022  + 1,00000  +0,62232  +0,16103  ­0,00167  + 1,50000  +0,62662  ­0,10461  ­0,00497  +2,00000  +0,56065  ­0,11577  ­0,00981  +2,50000  +0,55028  +0,10093  ­0,01541  + 3,00000  +0,68999  +0,46197  ­0,02115  + 3,50000  + 1,00678  +0,78195  ­0,02657  +4,00000  + 1,42776  +0,83598  ­0,03130  +4,50000  + 1,75986  +0,40252  ­0,03522  + 5,00000  + 1,75673  ­0,45630  ­0,03818  +5,50000  + 1,30306  ­1,32550  ­0,03871  + 6,00000  +0,47152  ­1,96718  ­0,03582  + 6,20000  +0,05662  ­2,17872  ­0,03397  „  =  i , a  =  0,51, b =  0,21, x0  =  0,0,  R  =  0,5,