Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS69\MTS69_t7z1_4_PDF\mts69_t7z2.pdf M E C H A N I K A  TEORETYCZNA  I  STOSOWANA  2,  7 (1969)  N U M E R Y C Z N E  OBLICZANIE  WIOTKICH  O B R O T O W O ­ S Y M E T R Y C Z N Y C H  POWŁOK  P O D D A N Y C H  P L A S T Y C Z N E M U  PŁYNIĘ CIU  W  ZAKRESIE  D U Ż Y CH  ODKSZTAŁCEŃ   J A N U S Z  O R K I S Z ,  JÓZEF  W I L K  ( K R A K Ó W )  1.  Sformułowanie  problemu  i  uwagi  wstę pne  W  pracy  [14]  rozważ any  był  problem  wiotkich  obrotowo­symetrycznych  powłok  w  ś wietle  teorii  płynię cia  plastycznego  uogólnionej  na  zakres  skoń czonych  odkształceń.  Przyję to  ż e:  materiał  powłoki jest plastyczny  nieś ciś liwy,  izotropowy,  obcią ż enie  dowolne  obrotowo­symetryczne, a  sama powłoka jest  wiotka,  tj.  może  znajdować  się jedynie w sta­ nie  błonowym  i  przenosić  tylko  naprę ż enia  rozcią gają ce.  Przy  powyż szych  założ eniach  wyprowadzony  został  układ  quasi­liniowych  równań  róż niczkowych  czą stkowych,  8x  _  gcosy  8pt  _  pi  8u  £cosy  /  _  xQ,  \   px  df  df  —  ы я ­cosy  '  д £  и  В С  u^cosyty2  P l  fucosyj  f  dV  opisują cych  formę  naprę ż enia  i  odkształcenia  w  procesie  obcią ż ania  takich  powłok.  W  równaniach  tych niewiadomymi  są  współrzę dne  Eulera punktu powłoki  jc(f,  т) i y(S,  т ),  rzeczywiste  naprę ż enia  główne Pi(t;,  r)  i  p2(£,  r),  kąt  c>(f,  т)  zawarty  mię dzy  styczną  do  południka  (po  odkształceniu)  a  osią  x  (rys.  1) oraz  sprowadzona  grubość  powłoki  u(C,  т ),  zmiennymi  niezależ nymi  są:  |  — osiowa  współrzę dna  punktu  powłoki  oraz  т — parametr  wzrostu  obcią ż enia.  Szóste  równanie,  które  należy  rozpatrywać  łą cznie  z  układem  (1.1)  ma  charakter  algebraiczny,  a  jego  postać  zależy  od  założ onej  fizycznej  charakterystyki  F(Pi>Pz> *2>  83)  =  0  materiału  powłoki.  W  dalszych  rozważ aniach  przyjmiemy  ją  dla  prostoty  obliczeń jako  zależ ność  potę gową  (fi  — stała  materiałowa)  mię dzy  intensywnoś ciami  rzeczywistych  naprę ż eń  p{  i  odkształceń  et  liczonych  w  mierze  logarytmicznej  Hencky'ego.  W  rozpatrywanym  tu  płaskim  stanie  naprę ż enia  u(jPi+p2)­g­+x(2p2­p1)­^  =  0,  (1.2)  Pi  =  ef  (1.3)  Pi  =  V~pl+Pl—Pi P i .  £i  2  1/3  180  J .  ORKJSZ,  J .  W I L K  przy  czym  indeks  1 oznacza  kierunek  południkowy,  2 — równoleż nikowy,  3 — normalny  do  powłoki.  Odkształcenia  główne  wyraż ają  się  poprzez  pozostałe  funkcje  nastę pują co:  1  cosy  (1.4)  ln­ e2  =  ln  s 3  =  lnu, d x  cos c p   ~ d Ę   gdzie  y>  =  y>(£) — oznacza  kąt  zawarty  mię dzy  styczną  do  południka  (przed  odkształ­ ceniem)  a  osią  x .  Pozostałe  wielkoś ci  (por.  rys.  1), które  traktujemy  jako  znane  oznaczają:  Qn =  Qn( x> У , r)  i  g s  =  Qs( x , у ,  T) —  obcią ż enia  liczone  na  jednostkę  powierzchni  od­ kształconej  powłoki  odpowiednio  w  kierunku  normalnym  i  południkowym,  /  =  / ( £ ) —  funkcję  opisują cą  zmianę  gruboś ci  ś cianki  powłoki  w stanie  nieodkształconym.  Wszystkie  wyraż enia  we  wzorach  (1.1)­(1.4)  zapisane  są  w  wielkoś ciach  bezwymiaro­ wych  (por.  [14]).  (1.5)  Rys.  1.  Powłoka  przed  odkształceniem  i po  odkształceniu  Dla  równań  (1.1) podane zostały  warunki  począ tkowe  x(A  0)  =  y($,  0) =  «(£, 0) =  и » ( 0,  9>(f,  0)  =  1+p2)Xt  o o X, o 0  ^Xf  0  x(2p2­Pl)Xx  0  X,  0  0  =  x{2p2­px)X\ Xx  = 0 .  182  J .  ORKISZ,  J .  W I L K  Znajdujemy  stąd  wektory  własne  A * ( ^ , 0)  i  A*i(0, Лг).  Równania  (1.1)  stanowią  zatem  pewien  szczególny  quasi­liniowy  układ  hiperboliczny,  którego  charakterystykami  są   linie  l  =  const  (jednokrotna)  oraz  т  =  const  (czterokrotna),  co  wynika  z przyję cia  współ­ rzę dnej  Lagrange'a  l  (a  nie  x)  jako  zmiennej  niezależ nej  i  znacznie  upraszcza  sposób  rozwią zywania.  Warunki  zgodnoś ci  na  charakterystyce  l  =  const  sprowadzają  się  do  równania:  (2.2)  "(Р 1+Р г )­^+х(2р 2­ Podobnie  dla  drugiego  kierunku  charakterystycznego  (т   (2.3)  dx  di  lcos  du  dl  l  cos??  /  и х ?  cosy  \  const)  otrzymujemy  równania  xQs  \  Pi  df  fucosqi)  f  dl' Р г ~Р х +  л   dl  (Qn  Pi  .  \  —  ­7  sin  9?  . PlUXCOSt  Tak  więc  układ  (1.1)  rozpadł  się  na  dwie  grupy  zwyczajnych  równań  róż niczkowych  (2.2)  i  (2.3),  które  mogą  być  spełnione  wzdłuż  odpowiednich  charakterystyk.  Równania  te  rozwią zywać  bę dziemy  numerycznie.  Z postaci  warunków  zgodnoś ci  wynika,  że  funkcję   u  moż emy  wyznaczyć  z  równania  (2.2),  funkcję  x,  y,  q>, px  z  równań  (2.3),  zaś p2  z  alge­ braicznego  zwią zku  (1.2),  który  po  rozwikłaniu  ma  postać   (2.4)  Obszar  całkowania  D(l,  r)  podzielimy  na  n  czę ś ci  za  pomocą  linii  т  =  xj =  const,  j  =  0,  1, 2,  n  przeprowadzonych  w  jednakowych  odstę pach  A T =  Xj—т ;_!.  Dla  uproszczenia  zapisu  oznaczymy  krótko  (2.5)  U  (l,  Tj)  =  Uj(l)  =  Uj  du(l,  Tj)  duj  ~dj:  du(l,  r)  dr  _  duj  ~~dr~ dl  и ;  м ь  /  t  =  r j  Podobnie  jak  w  metodzie  prostych  równanie  (2.2)  zamieniamy  na  róż nicowe.  Korzystnie  jest  przy  tym  dla  pochodnej  funkcji  posłuż yć  się  wzorem  róż nicowym  к   duj.  ~dc  (2.6)  który  jest  stabilny.  Wartoś ci  liczbowe  kilku  pierwszych  współczynników  (5kr  zawiera  tab­ lica  1.  Z  równania  (2.2)  tą  drogą  obliczymy:  Tablica  1.  Współczynniki fSkr  к  N 4  0  1  2  3  4  1  1  ­ 1  2  1/2  0  ­1/2  3  1/3  1/2  ­ 1  1/6  4  1/4  5/6  ­3/2  1/2  ­1/12  NUMERYCZNE  OBLICZANIE WIOTKICH  OBROTOWO­SYMETRYCZNYCH POWŁOK  183  Pk o  \x(2p 2  — /?,)_!_,• _,  Z ­ J  Pk 0  T^i  W  najprostszym  przypadku,  gdy  к  =  1 mamy  stąd  (2.8)  ( i  Przy  T =  0  wszystkie  funkcje  wystę pują ce  w  tych  wzorach  są  okreś lone  przez  warunki  począ tkowe  (1.5).  Podstawiając  do  (2.3)  p2  oraz  Uj wyraż one  odpowiednio  wzorami  (2.4)  i  (2.7)  dostaje­ my  przy  T  =  Tj =  const  układ  zwyczajnych  równań  róż niczkowych  zawierają cy  jedynie  cztery  niewiadome  funkcje  Xj,  yh  cpj,  (j > i )j .   Warunki  brzegowe  dla  tego  układu  otrzy­ mamy  kładąc  т  =  Zj  W  podanych  w  pracy  [14]  zależ noś ciach  (3.2)­(3.5).  Warunki  te  nie  pozwalają  na  bezpoś rednie  obliczenie  na  brzegu  f  =  f0  wartoś ci  wszystkich  poszukiwa­ nych  funkcji  i  prowadzą  do  problemów  brzegowych  dla  równań  (2.3).  Problemy  te  spro­ wadzamy  nastę pnie  do  zagadnień  począ tkowych  (ponieważ  z  uwagi  na  znaczną  nielinio­ wość  prawych  stron  równań  (2.3)  korzystamy  z  metod  numerycznych  takich  jak  Eulera,  Adamsa,  Rungego­Kutty  itp.,  w których  całkowanie  odbywa  się krok  po  kroku  począ wszy  od  punktu  wyjś ciowego),  zakładając  na  brzegu  wyjś ciowym  pewne  dodatkowe  warunki  i  rozwią zując  zadanie  metodą  półodwrotną.  Do  rozpoczę cia  obliczeń  potrzebna  jest  zatem  znajomość  wartoś ci  funkcji  x(f 0 ,  z),  y(Ł0,  т ),  9>(£o> *),  Pi(Ł o>  *)  (po  czę ś ci  wyzna­ czamy  je  z  warunków  brzegowych,  a  brakują ce  zakładamy  dodatkowo)  oraz  i/(f0,  т)  i  Pii.^0,  T) dla  każ dego  т  =  zj.  Dla warunków  (3.2)  sprecyzowanych w pracy  [14] wystarczy  założ yć  jedynie  м (0,  zj),  a  wówczas  z  równań  fizycznych  znajdujemy  (2.9)  p2(0,  zj)=  Л ( 0 ,  ту)  =  [ ­ l n « ( 0 ,  tj)]".  Z  warunków  brzegowych  (3.4)  i  (3.5)  bezpoś rednio  moż emy  okreś lić  tylko  x ( Ł 0 ,  z})  i  y ( Ł o ,  *j)  zakładając  dodatkowo  и (£0 ,  tj)  otrzymamy  (ze  zwią zków  fizycznych)  (2.10)  p 2 ( i 0 ,  tj)  =  1/2/7,(10,  Tj)  =  | ^ j "  +  1 [ _ l n W ( f 0 ,  Zj)f,  a  nastę pnie    u(Pl+p2)^+x(2P2­p1)­^0,  gdzie  r? jest  osiową  współrzę dną  powłoki  (typu  Lagrange'a  — por.  rys.  1),  a  Q(r)  do­ wolną  monotonicznie  rosną cą  funkcją,  którą  odtąd  przyjmować  bę dziemy  jako  Q(r)  =  =  Qo+r.  Przy  założ eniu  pierwotnej  długoś ci  powłoki  =  2,  równania  (4.1)  mają  speł­ nić  nastę pują ce  warunki  brzegowe  (por.  [14]):  (4.2)  *(0,  T) =  1,  y(0,  T)  =  0,  x(2,  r)  =  1,  (4.3)  Pi(P, т) =  2p2(0, T) =  2 | ­ ^ r j  [­1п и (1,  T)f.  W  obliczeniach  zamiast  trzeciego  z  warunków  (4.2)  z  uwagi  na  symetrię  korzystamy  z  zależ noś ci  99(1,  т) =  л /2.  Warunki  począ tkowe  dla  równań  (4.1)  stanowi  rozwią zanie  (przy  warunkach  brzego­ wych  (4.2)  układu  równań — por.  [16])  1  dx  dx  _  cosę)  du  x  drj  ~dtj  ~  и х  '  drj=  ~U  B(l  + BT)+2  '  (4.4)  ^ ­ s i n ?  sm P)>  NUMERYCZNE  OBLICZANIE WIOTKICH  OBROTOWO­SYMETRYCZNYCH POWŁOK  87  a  w  pozostałych  równania  (4.4)  (dla pifj],  r)  <  p)  tak  długo,  dopóki  w  całej  powłoce  nie  bę dzie  spełniony  warunek  pt  ^  p.  Taki  sposób  rozwią zywania  choć  poprawny  meryto­ rycznie okazuje  się jednak  niecelowy praktycznie, gdyż jak  wynika  z konkretnych  obliczeń,  róż nice  mię dzy  rezultatami  osią gnię tymi  w  oparciu  o  obie  rozważ ane  teorie  plastycznoś ci  są  znikomo  małe  w  zakresie  odkształceń  odpowiadają cych  p.  Z  tego wzglę du  w naszym  przykładzie  poprzestaliś my  na  rozwią zaniu  układu  (4.4)  dla  jednej  ustalonej  wartoś ci  obcią ż enia  Q =  0,4,  a  otrzymane  rezultaty  przyję to  jako  warunki począ tkowe  dla  równań   (4.1)  od  razu  w całej  powłoce.  Przy  Q  >  0,4  obliczenia  przeprowadzono już na  podstawie  równań  (4.1); równocześ nie  jednak,  celem porównania  obu  teorii,  scałkowano  też  układ  (4.4) dla szeregu  wybranych wartoś ci  Q.  Wyniki  przedstawione  są na  rys. 2­7*.  Rysunek 2  pokazuje  jakie  wartoś ci  ostatecznie  przybiera — w  zależ noś ci  od  zadanego  obcią ż enia  Q — parametr  щ  (grubość  powłoki  przy  denku)  przyjmowany  dodatkowo  (drogą  prób)  przy zamianie  problemu  brzegowego  dla  równań  (4.1)  i  (4.4)  na  problem  począ tkowy.  Rysunek  ten  rzuca  również  ś wiatło  na  zagadnienie  statecznoś ci  powłoki;  dla  teorii  odkształceniowej  widać  wyraź nie  maksimum  obcią ż enia  Q  =  0,64,  natomiast  przy  zastosowaniu  zwią zków  fizycznych  teorii  płynię cia  0,4  «. \ \ 0,85  0,9  0,95  u  V>  Rys.  2.  Wykresy funkcji  Q  =  f(u0)  plastycznego  obcią ż enie  nie może przekroczyć  (czego nie da się już  stwierdzić  bezpoś rednio  na  wykresie)  wartoś ci  Q  =  0,77.  Rysunek  3  ilustruje  zmianę  formy  powłoki  w  procesie  obcią ż enia.  W  miarę  wzrostu  obcią ż enia  róż nice  w  kształcie  powłoki  obliczanej w myśl  równań  (4.1)  i  (4.4)  wyraź nie  się pogłę biają.  Podobny  wniosek  nasuwa  analiza rys. 4 i  5,  gdzie przedstawione  są krzywe opisują ce  zmianę  intensywnoś ci  naprę ż eń  pt  =  pi(Q)  oraz  odkształceń  et =  e,(Q)  wybranego  punktu  w  ś rodku  długoś ci  powłoki  (tj — 1)  w  zależ­ noś ci  od  obcią ż enia  Q.  N a rys. 6 i 7 pokazano  rozkład  naprę ż eń  i  odkształceń  w  powłoce  dla  Q =  0,64,  tj.  wówczas,  gdy  róż nice  mię dzy  wynikami  obu  teorii  (w  zakresie  statecz­ nym  dla teorii  odkształceniowej)  są  najwię ksze.  • Linia  przerywana odpowiada teorii  płynię cia  na  rys.  2,  3,  6,  7 oraz teorii deformacyjnej  na  rys. 4 i 5.  188  J .  ORKISZ,  J .  WILK  ftS  Of  «7  Q  Ofi  Rys.  4.  Intensywność  rzeczywistych  naprę ż eń  pt  w  ś rodku  długoś ci  powłoki  jako  funkcja  obcią ż enia  Q  Z  przytoczonych  tu  porównań  wynikają  nastę pują ce  spostrzeż enia:  1)  zgodność  obu  teorii jest  dobra  przy  stosunkowo  niewielkich  odkształceniach;  2)  w  miarę  wzrostu  obcią ż eń  zgodność  ta  się psuje  i powstają  istotne  róż nice  iloś ciowe  i  jakoś ciowe;  NUMERYCZNE  OBLICZANIE WIOTKICH  OBROTOWO­SYMETRYCZNYCH  POWŁOK  189  3) w całym zakresie obcią ż eń  teoria płynię cia plastycznego daje  niż sze wartoś ci  naprę ż eń   i  odkształceń  w  powłoce  niż  teoria  odkształceniowa;  4)  powłoka  traci  stateczność  przy  niż szej  wartoś ci  obcią ż enia  dla  teorii  odkształce­ niowej.  Całkowanie  zwyczajnych równań  róż niczkowych  (4.4)  odbywało  się metodą  Rungego­ Kutty.  Obliczenia  przeprowadzono  sposobem  półodwrotnym,  przy  czym  program  prze­ widywał  automatyczną  korektę  danych wyjś ciowych  (м0) aż do  spełnienia  z ż ą daną  dokład­ noś cią  warunku  9>(1,  т) =  л /2  na  drugim  brzegu  (r) =  1).  Schemat  blokowy  obliczeń   pokazuje  tablica 2.  \   1  j  1  1  0,5  0,6  0,7  0  0,8  Rys.  5.  Intensywność  odkształceń  Łj  w  ś rodku  długoś ci  powłoki  jako  funkcja  obcią ż enia  Q  0,6,  1  ­ |  1  1  Rys.  6.  Rozkład rzeczywistych naprę ż eń  głów­  Rys.  7.  Rozkład  odkształceń  głównych  wzdłuż   nych  wzdłuż  długoś ci  powłoki  dla  obcią ż ę­  długoś ci  powłoki  dla  obcią ż enia  Q  =  0,64  nia  Q  =  0,64  Tablica 2. Schemat blokowy algorytmu obliczeń  układu  równań  (4.4)  WEJŚ CIE  Wybór  adresów  począ tkowych  Pierwsze przybliż enie  wartoś ci  U0  Ustawienie warunków  na pierwszym  brzegu  x(%)  =  *o  =  0  Podprogram  obliczeń  prawych stron  dzr  bT(r)az0s)  r, s =  1, 2, 3.  Ir  (Kir)i_2  =  Aijbr[Vi­2, (Zs),_J  i  =  0,  1, 2, 3,  2m  (2m  =  100)  (л ­2г );_,  =  А ф г [щ .1,  (Zs)i­2+—(Klr)i­2  (л Г З г );.,  =  Ar1br[r]i_u  (Zs)i.2  + —(K2r)i_i  (K4r)i  =  А ф г [г ц ,  (Z5)f_2 + (A­3r);_,  4­ Яг  =  1/б (А Г ,г +2А Г2 г +2Л Г1 г +А 4Р )  (Zr), =  (Zr),_2+Ar  1  <л г )( :  (—)  =  Ь г [т ],,  (Zs)i­2 + A.r]  4- D R U K  WYNIKУW  rj, siny, x, u,p,,p2,  e,,  f2, бз   4  i  =  2/n  T A K  NIE  Badanie zgodnoś ci  warunków na  л   drugim  brzegu: q >   =   —  T A K  NIE  K O N I E C  i  I  Dobór  nowej wartoś ci  u0  przy  zastosowaniu  metody siecznych  [190]  Tablica 3. Schemat blokowy algorytmu obliczeń układów równań (1.1) i (4.1)  >  o  3  л   O' С   I 'S  N  'S  WEJŚ CIE  Wczytanie  wartoś ci  począ tkowych  x*(f,0),  ?•(Ł,()),  pf(f,0),  />?(?, 0)  Ustawienie adresуw, pierwsze przybliż enie u 0j  Q j  =  Q j­i+AQ   У =  0,  1.2.  3,  *  4­ 4­ Ustawienie warunkуw  na pierwszym  brzegu  y *h  fo j,  (Pi)o j, О г У/  4  4  K y (x)i­aJ  =  Bi­ajAC,  K y (y)i­a,j  =  Ą­a.y^l  У и г у ­г .}  =  J'i­j.i+A^vMi­otj,  C>i+2y­2 у =  ?i­tJ+Af«(9>)|_«*/  l / l +27­2. J  $1»  2 J '  S L '  Li­'.J  K i(Pi)i­X.j  =  Z)j_a,j/lf,  (Pi)(+2y­2,; = 0>i)i­2.j+MvO>i)i­ot.j  (j>2)i+2y­2.j  =  Fl+2y­2.j  4  4?  NIE  T A K  *«.J  = Xi­2,j  + H(x)i­2J,  y ,j  =  y i ­ 2 J  +  +H(y )i­2J  P i j  =