Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS69\MTS69_t7z1_4_PDF\mts69_t7z2.pdf M E C H A N I K A  TEORETYCZNA  I  STOSOWANA  2,  7 (1969)  S K O Ń C Z O NE  ODKSZTAŁCENIA  SPRĘ Ż YSTEGO  KLINA  I  STOŻ KA  Z B I G N I E W  W E S O Ł O W S K I  ( W A R S Z A W A )  W  nieliniowej  teorii  sprę ż ystoś ci  znanych jest  dotychczas  zaledwie  kilka  ś cisłych  roz­ wią zań  (por.  [1] i  [2]).  Spowodowane to jest faktem,  że równania  nieliniowej  teorii  sprę ż ys­ toś ci  są  znacznie  bardziej  złoż one  niż  teorii  liniowej.  Ta  złoż oność  ogranicza  w  istotny  sposób  moż liwość  uzyskania  rozwią zań  ogólnych.  Praktycznie biorąc  istnieje szansa rozwią zania  zagadnienia nieliniowego jeś li sprowadza  się  ono  do  jednego  równania  róż niczkowego  zwyczajnego.  Należy  podkreś lić,  że  nawet  w  przypadku,  gdy  poszukiwane  funkcje  są  funkcjami  jednej  tylko  zmiennej,  na  ogół  otrzymuje  się  nie jedno  równanie,  a układ  równań  róż niczkowych  zwyczajnych,  co  wobec  nieliniowoś ci  uniemoż liwia  rozwią zanie.  W  niniejszej  pracy  przeprowadzono  obliczenia  dla  dwóch  odkształceń,  dla  których  zagadnienie sprowadza  się  do  rozwią zania  jednego  równania  róż niczkowego  zwyczajnego.  1.  Podstawowe zależ noś ci  Przed  przystą pieniem  do  obliczeń  konkretnych  przypadków  podamy  tutaj  za  pracą   [1]  podstawowe  zależ noś ci  dotyczą ce  nieliniowej  teorii  sprę ż ystoś ci.  Wprowadź my  dwa  na  ogół  róż ne  układy  współrzę dnych:  układ  {x1}  z  tensorem  metrycznym  g,j  oraz  układ  {X"}  z  tensorem  metrycznym  gxp.  Współrzę dne  typowego  punktu  P  rozważ anego  ciała  w stanie naturalnym w układzie  {X3}  oznaczmy przez X".  Współrzę dne tego samego punktu  w  stanie  odkształconym  w  układzie  {x'}  oznaczymy  przez л :'  (1.1)  xl  = *'(*")•   Czą stkowe  pochodne funkcji  х Ч Х ")  wzglę dem  X"  (1.2)  Fi  =  8x4dX'  nazywamy  gradientami  odkształcenia.  Lewy  tensor  Cauchy­Greena  zdefiniowany  jest  przez  zwią zek  (1.3)  BłJ  =  F*Flg«,  t  a jego  niezmienniki  przez  zwią zki  196  Z .  WESOŁOWSKI  (1.4)  / 2  =  y[/, 2­(fiz)::],  73  =  det  B),  przy  czym  (1.5)  (B2yJ  =  B!rB^grs.  Jeś li  deformacja jest  izochoryczna  (1.6)  '  / 3 = 1 .  Dla  rozważ anych  dalej  izotropowych  nieś ciś liwych  materiałów  sprę ż ystych  tensor  naprę ż enia  r'J  okreś lony jest  zwią zkiem  (1.7)  JJ  =  Xi#J+Z2(#YJ+PĆJ,  gdzie p jest dowolną  funkcją  skalarową,  a %l i %2 funkcjami  niezmienników  7t  i I2.  Funkcje  te  są  funkcjami  materiałowymi,  charakterystycznymi  dla  danego  materiału.  Równania  równowagi  są   (1.8)  ^  V ; ^  =  0,  gdzie  Vj  oznacza  róż niczkowanie  kowariantne  w  układzie  {*'}.  Obcią ż enia  brzegowe  t'  odniesione  do  jednostki  powierzchni  w  stanie  odkształconym  okreś lone  są  zwią zkami  (1.9)  t'^r^nj,  gdzie  t t j jest jednostkową  normalną  do  powierzchni  ciała  w  stanie  odkształconym.  2.  Deformacja klina  Rozważ my  deformację,  która  w ustalonym  walcowym  układzie  współrzę dnych  opisana  jest  zwią zkami  r  =  ROL(€>),  (2.1)  0  =  /*(в ),  z  =  IZ,  gdzie  a  oraz  fi  są  pewnymi  funkcjami,  а  Я ustalonym  parametrem.  Jak  wynika  z  (2.1)  płaszczyzny  Z  =  const  przechodzą  w  płaszczyzny  z  =  const,  a  linie  proste  в  =  const  Rys.  1  SKOŃ CZONE  ODKSZTAŁCENIA  SPRĘ Ż YSTEGO  KLINA  I  STOŻ KA  197  w  linie  proste  •&  =  const.  Okrę gi  R  =  const  nie  przechodzą  przy  tym  w  okrę gi  r  =  const,  lecz  doznają  pewnego  zniekształcenia  opisanego  funkcją  ,  r V 2  =  ^ 1 Я ­ 2 а ­2 4 ­ % 2 ( Я ­ 2 а ­2 а '2 + Я ­4 а ­4 ) + , р ,  rr12  =  ^ ­ ^ ­ ^ ^ ^ ( Я ­ ^ а ' + Я ­ ^ ­ ' а ^ + Я ­ ^ ­ ^ ' ),  T 2 3  =  r 3 1  =  0.  W  walcowym  układzie  wspуłrzę dnych  rуwnania  rуwnowagi  (1.8)  przyjmują  postać   (2.14)  ± r L 2 + ^ T 2 2 + ­ ^ 2  =  0,  or  д а  г   8z  0.  Zgodnie z  (2.1)  i  (2.9)  należy  przy  tym  pamię tać,  że d/dr  =  a ­ 1  rf/Л ?,  rf/«f#  =  1//9'  =  =  Я а2  d/d&.  Podstawiając  do  powyż szych  rуwnań  (2.13)  i  uwzglę dniając  (2.12)  otrzymu­ jemy  (2.15)  dR  dp  г в   Bp  dZ  =  ­ L , ( J ? ,  в ),  =  ­L2(R,  в ),  =  0,  gdzie  (2.16)  RLi(R,  в )  =  ^ ( а 2 ­ Я ­2 а ­2 + а а " )+  + х 2 ( а 4 ­ Я ~4 а ­4 ­  а Д ­2 а '2 + З а2 а '2 + < х 3 а " + З а а '2 а " )+  + 2 а '2 ( а 2 + а а " ­ Я ­2 а ­2 ) ( | | ­ + Я 2 | | ­ |  +  + 2 а '2 ( а 2 + а а " ­ Я ­2 а ­2 ) ( а 2 + а '2 + Я ­2 а ­2 ) ( ^ + Я 2 | | ­ ) ,  SKOŃ CZONE  ODKSZTAŁCENIA  SPRĘ Ż YSTEGO  KLINA  I  STOŻ KA  199  (2.17)  Xo?L2{R, 9)  =  2 ^ 2 ( а а ' Я ­ 1 + а ' а " А ­1 ­ З а ' а ­3 А ­3 ) +  .  2а   Яа   2а'  '  ^ ­ ^ • + A! | | ­ ) ( « 4 a « " ­ r V ! ) ( » ' 4 A ­ ! « ­ 1 ) .  Яа   Z  równania  (2.15)3  wynika,  że p  nie  zależy  od  Z,p  — p(R,  0).  Koniecznym  warunkiem  istnienia  funkcji  p jest  więc  Г2  18)  8LL_dL1  (2­18)  80~  dR'  co  wobec  niezależ noś ci  L2(&)  od  i?  prowadzi  do  wniosku,  że  Li(R,  O)  nie  zależy  od  <9.  Zgodnie  z  (2.15)!  warunkiem  rуwnowagi  jest  więc  ^ 1 ( а 2 ­ Я ­ ^ Ч а а ' 0+ % 2 ( а 4 ­ Я ­4 а ­4 + З а2 а '2 ­ З Я ­2 а '2 + а 3 а ''  +  З а а '2 а ' ' + Я ­2 а ­1 а ' ')  +  (2.19)  + 2 а '2 | ­ ^ + Я 2 | ^ | ( а 2 + а а " ­ Я ­2 а ­2 ) ( а 2 + а '2 + Я ­2 а ­2 ) +  +  2 а ' 2 ( | | ­ + Я 2 | | ­ ) ( а 2 + а а " ­ Я ­2 а ­2 )  =  Я ,  gdzie  Н  jest  dowolną  stałą.  Zwią zek  ten  jest  nieliniowym  zwyczajnym  rуwnaniem  rуż nicz­ kowym  pozwalają cym  wyznaczyć  funkcję  a((9).  Rozwią zanie  rуwnania  (2.19)  moż liwe  jest  jednak  dopiero  po  podaniu  funkcji  /2)  oraz  Xi(Ji,  h)­ Dalsze  rozważ ania  ograniczamy  do  materiału,  gdzie  X\   jest  stałą  materiałową,  a  %2  jest rуwne zeru  (tzw. neohookeari)  (2.20)  x,  =  C,  X2  =  0.  Dla  tego  materiału  (2.19)  redukuje  się  do  rуwnania  (2.21)  « 2 + а а " ­̂  =  ~ .  Oznaczając  (2.22)  a'(ć >)  =  *(a(<9)),  mamy  (2.23)  =  Rуwnanie  (2.21)  moż na  więc  przedstawić  w  nastę pują cej  postaci  skąd  wynika,  że  (2.25)  T x 2 = # l n a ­ 2 ­ ( a 2 + i ) + i > '  gdzie  D jest  stałą  całkowania.  Ponowne  całkowanie  prowadzi  do  200  Z .  WESOŁOWSKI  (2.26)  gdzie  E jest  stałą  całkowania.  W  ten  sposób  okreś lona  została  dwuparametrowa  rodzina  deformacji  moż liwych  w  materiale  (2.20).  Jeś li  H  — 0,  to  ogólnym  rozwią zaniem  równania  (2.26) jest  (2.27)  <&)  =  j / " K 2 c o s 2 ( 0 ­ 0 o ) + ^ 2 s i n 2 ( @ ­ 6 > o )  .  gdzie  ©o  oraz  к   są  dowolnymi  stałymi.  Deformacja  (2.27) jest  deformacją  jednorodną.  W  przypadku  H  ф  0  funkcja  oc(0)  nie  daje  się  wyrazić  przez  funkcje  elementarne.  W  celu  pokazania  jakiemu  odkształceniu  odpowiada  (2.26),  wykonano  odpowiednie  Rys.  2  Rys.  4  SKOŃ CZONE  ODKSZTAŁCENIA SPRĘ Ż YSTEGO  KLINA  I STOŻ KA  201  obliczenia  numeryczne  dla H =  C, D =  4, E = 0, X — 1. N a  rys. 2 pokazano  obliczoną   /  a 2  1  \ ~ 1 / 2  dla  tych  wartoś ci  funkcję  v =  I j D + # l n — — а 2 — o r a z  jej  całkę, która  jest  poszu­ kiwaną  funkcją  0(a).  N a rys. 3  pokazano  funkcję  ),  (3.1)  0 =  /3(0),  <р = Ф ,  gdzie  a  oraz  /3 są pewnymi  funkcjami.  Celem  dalszych  rozważ ań  jest  takie  okreś lenie  funkcji  a i /3, ż eby  deformacja  była  moż liwa.  Oznaczając  х * =  (r, •&,  J ') Deformację  nieco  ogólniejszą  rozważ ał  w 1967 r. R.  M .  Christensen  [3], popełnił  jednak  omyłkę   w obliczeniach tensora В Ч ,  która rzutuje na dalsze obliczenia.  7  Mechanika  teoretyczna  2 0 2  Z .  WESOŁOWSKI  (3.6)  (a2+  Zgodnie  z  (1.4)  pierwsze  dwa  niezmienniki  tensora  B'j  są   /,  =  а 2 + а '2 + а 2 / 3 ' 2 + а 2 ^  sin20  sin2©  (3.7)  / 2  =  а 4 / 5 ' 2 + а 2 ( а 2 + а '2 + а 2 / 5 ' 2 ) ^  ,24sń rjS_  sin2©  Niezmienniki  te  są  więc  tylko  funkcjami  ką ta  0 .  D l a  rozpatrywanego  tutaj  materiału  nieś ciś liwego  zgodnie  z  (1.5)  trzeci  niezmiennik  jest  równy jednoś ci.  Obliczając  ten  niezmiennik  i  przyrównując  go  do  jednoś ci  otrzymuje­ my  warunek  nieś ciś liwoś ci  (3.8)  a6/3,2sin2/? =  sin 2 ©.  W  stosunku  do  (2.8)  zachodzi  tu  ta  róż nica,  że  (3.8)  jest  równaniem  róż niczkowym  ze  wzglę du  na  /8.  Ograniczymy  się  dalej  do  przypadku,  kiedy  każ da  z  wielkoś ci  w  (3.8)  jest  dodatnia.  W  tym  przypadku  po  wycią gnię ciu  pierwiastka  z  obu  stron  (3.8)  otrzymujemy  i  \i 11  \~f  (3.9)  _  /  sin2©  V  Deformacja  jest  więc  izochoryczna  jeś li  zmianie  ką ta  towarzyszy  okreś lona  przez  (3.3)  i  (3.1)  zmiana promienia  r.  Zgodnie z  (1.7)  naprę ż enia  rtJ  są   r V 2  ­  x^P2+xi* 2(i'4* '2Wn+p,  (3.10)  „2 sin2/S  ,  „  „ 4  sinV r V 3 s i n 2 .  =  , i a 2 ^ + , 2 a ^ + , ,  r r 1 2  =  Х 1™'Р '+Х г ™'Р '(<* 2+«'2+*2Р '2),  т "  =  т 3 1  =  0,  a  równania  równowagi  (1.8)  w  rozpatrywanym  kulistym  układzie  współrzę dnych  przy­ bierają  postać   (3.11)  4 ­ T u + ­ A T 2 I + ­ ( 2 T 1 1 ­ r 2 T 2 2 ­ r V 3 s i n 2 ^ ) ­ r ­ T 2 1 c t g ^  =  0,  ar  cv  r  ^ п + 4 к ^2 + ­ г п  +  ^2­^\ п Ч )с ХШ&  =  0,  dr  cv  r  SKOŃ CZONE  ODKSZTAŁCENIA SPRĘ Ż YSTEGO KLINA  I STOŻ KA.  203  „  14  d  l  d  d.  1  d  d  d przy  czym  zgodnie  z  ( 3 . 1 ) ^  = ­ _ , _  =  _ _ , _  =  _  Dla  oszczę dnoś ci  miejsca  ograniczymy  dalsze  rozważ ania  do  neohookeanu  [por.  (2.20)].  Dla tego  materiału  (3.11)  redukuje  się do  3P  .  1  /­> 2.  i  ­.  '2  i  »  о /г ,  a a ' / S "  2 sin2/?  ,  cos/5 \  Ш +  *  ( 2 а 2 + 3 а  2 + аа  ­<ф  2 + ^ ­ r f ^ + ^ — j L )  = 0,  (3.12)  у %+Х г  ( а а ' / З ' + г ^ а ' + г а ^ ' а ' + а ^ / З ­ а2 ^ ^ ^  = 0,  ­ ^  = 0.  BZ  Jak  wynika  z  (3.12)3  funkcja  /? nie zależy  od Z , p — p(R,  0).  Wobec  tego,  że (3.12)2  nie zależy  od R  mamy  d 2p/ 8R80 =  0.  Warunkiem istnienia  p jest  więc  (3.13)  2 а + 3 а ' + « а " ­ аЈ ' 2 + ­ ^  a 2 ^ ^ + a a ^ c t g / 5  =  c o n s t  Po  podstawieniu  (3.9) do powyż szego  warunku,  otrzymujemy  jedno  zwyczajne  rуwnanie  rуż niczkowe  na funkcję  /3(0).  Rуwnanie  to jest jednak  bardzo  skomplikowane i nie udało  się  znaleźć  analitycznego  rozwią zania  tego  rуwnania.  Rozwią zanie  numeryczne  moż na  znaleźć  w sposуb  podobny  jak  w czę ś ci  drugiej  dla  odkształcenia  płaskiego.  Literatura  cytowana w tekś cie  1.  C .  TRUESDELL, W . N O L L ,  Non­Linear  Field Theories  of Mechanics,  Flugge's  Encyclopedia  of Physics,  Berlin 1960.  2.  A . E .  G R E E N ,  W . Z E R N A ,  Theoretical Elasticity,  Oxford 1954.  3.  R. M .  CHRISTENSEN,  Large elastic deformation of a spherical wedge, Int. J. Non­Lin.  Mech.,  3, 2  (1967),  207­216.  Р е з ю ме   К О Н Е Ч Н ЫЕ  Д Е Ф О Р М А Ц ИИ  У П Р У Г О ГО  К Л И НА  И  К О Н У СА   Р а с с м а т р и в а е т ся  к о н е ч н ая  у п р у г ая  д е ф о р м а ц ия  н е с ж и м а е м о го  к л и н а.  Т о ч ки  к л и на  п о д в е р г а­ ю т ся  т а к им  р а д и а л ь н ым  и о к р у ж н ым  п е р е м е щ е н и я м,  ч то п л о с к о с ти  в п р е д е л ах  к о т о р ых  н а х о д и т ся   к р ай  к л и н а,  о с т а ю т ся  п л о с к о с т я м и.  П о к а з а н о,  ч то д ля т о го  ч т о бы  о п р е д е л и ть  н а п р я ж е н н ое  и  д е­ ф о р м и р о в а н н ое  с о с т о я н и е,  с л е д у ет  р е ш и ть  д и ф ф е р е н ц и а л ь н ое  у р а в н е н ие  в т о р о го  п о р я д к а. Э то   у р а в н е н ие  р е ш а е т ся  д ля  с л у ч а я,  к о г да  м а т е р и а л ом  я в л я е т ся  т ак  н а з.  н е о г у к и а н.  Д а е т ся  о д но   ч и с л е н н ое  р е ш е н и е.  А н а л о г и ч н ые  р е ш е н ия  п р о в о д и л и сь  д ля  к о н у с а,  к о т о р ый  п о д в е р г а е т ся  т а к ой  о с е с и м м е т р и­ ч е с к ой  д е ф о р м а ц и и,  ч то п р я м ы е,  п р о х о д я щ ие  ч е р ез  в е р ш и ну  к л и н а,  о с т а ю т ся  п р я м ы м и.  7«  204  Z .  WESOŁOWSKI  S u m m a r y  FINITE  DEFORMATIONS  O F A N  ELASTIC  W E D G E  A N D  C O N E  The  finite  deformations  of  the elastic incompressible  wedge are investigated.  The points  of  the wedge  suffer  radial  and transversal  displacements,  such  that  the  surfaces  #  =  const  remain plane.  It  is  shown,  that  in order to find  the stress and strain, it is necessary  to solve a second  order ordinary differential equ­ ation.  This equation is solved  for the neo­Hookean material. The numerical solution  is given.  Similar investigations  are performed for  an elastic  cone  under  axially­symmetric  deformation in such  a manner that  the surfaces  & =  const remain the conical surfaces.  INSTYTUT  PODSTAWOWYCH  PROBLEMÓW  TECHNIKI  POLSKIEJ  AKADEMII  NAUK  Praca  została  złoż ona  w Redakcji dnia  23 paź dziernika  1968  r.