Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS69\MTS69_t7z1_4_PDF\mts69_t7z3.pdf M E C H A N I K A T E O R E T Y C Z N A I S T O S O W A N A 3, 7 (1969) ZASTOSOWANIE GRAFÓW PRZEPŁYWU D O P E W N Y C H ZAGADNIEŃ MECHANIKI BUDOWLI JACEK P I E T R Z A K , KAZIMIERZ W R Z E Ś N I O W S KI (POZNAŃ) Artykuł niniejszy zawiera omówienie grafów przepływu, ich koncepcji oraz sposobu rozwią zywania. Rozpatrywany typ grafów, zaproponowany przez MASONA [6], stanowią cy pewien system algebry graficznej, ze wzglę du na swój ogólny charakter wykorzystywany może być w dziedzinach róż nią cych się znacznie charakterem fizycznym od dziedzin zasadniczych zastosowań — elektroniki, elektrotechniki, teorii modelowania. Celem arty kułu jest zwrócenie uwagi na stosunkowo mało znany w kraju aspekt zastosowań grafów przepływu do zagadnień mechaniki budowli. W dziedzinie tej grafy przepływu wykorzy stywane mogą być dla graficznej reprezentacji metod obliczeniowych, co poza korzyś ciami natury poję ciowej [1, 2,4] pozwala osią gnąć w pewnych przypadkach również oszczę dnoś ci w zakresie nakładu pracy obliczeniowej [3]. 1. Wprowadzenie 1.1. Rozważ my zbiór A złoż ony z elementów ax, a2,..., a„, а я +1 o przyporzą dkowanych im znakach punktu, zwanych dalej wierzchołkami. Z elementów zbioru A utwórzmy a, a2 —• aj —• an g/W a, R R \ R R a2 R R ] R R ! <*i R R ! R R ! y 0/7 R R R R R R i R R Rys. 1 iloczyn kartezjań ski AxA i okreś lmy w zbiorze A relację połą czeń zorientowanych R (rys. 1) zdefiniowaną nastę pują co: a, R aj ety = 1, gdy istnieje połą czenie mię dzy elementami at oraz щ , w kierunku od i doj. Relacji R przyporzą dkujemy znak linii łą czą cej wierzchołek at z wierzchołkiem aj, 274 J . PIETRZAK, К . WRZEŚ NIOWSKI opatrzonej strzałką wskazują cą kierunek połą czenia, zwanej dalej krawę dzią zorien towaną b^. Zbiór wierzchołków oraz krawę dzi zorientowanych bę dziemy nazywali grafem skie rowanym. 1.2. Rozważ my układ n niezależ nych równań liniowych, zapisanych w formie równania macierzowego: (1.2.1) F X = Y . Wykorzystując poję cie macierzy jednostkowej E (o wymiarze nXri) zapiszmy równanie (1.2.1) w równoważ nej postaci: (12.2) . [ F + E Е ] [ *] = Х . O macierzy Y załóż my, że moż na ją przedstawić jako iloczyn (1.2.3) • Y = yn+iK — K y „ + I dowolnie obranego parametru y„+i, zwanego również ź ródłem Z układu oraz wynika ją cej z tego doboru macierzy K . W poniż szych rozważ aniach przyjmijmy jako wartość parametru yn+l jednoś ć. Wprowadzając zależ ność (1.2.3) do równania (1.2.2) moż emy napisać: [ F + E E ] [ K , . J " X Wykorzystajmy własnoś ci macierzy jednostkowej: —EKj>„+i = K E J V , = Kyn+l i zapiszmy powyż sze równanie w nastę pują cej postaci: (1.2.4) [ F + E 4*1" Z pierwszej macierzy wystę pują cej w równaniu (1.2.4), poprzez dodanie wiersza o ele mentach zerowych, utwórzmy macierz kwadratową: T F + E —KI (12.5) B = [ 0 G J i poddajmy ją transpozycji. Otrzymamy wówczas macierz C : 1.3. Weź my pod uwagę graf skierowany, zdefiniowany w punkcie 1.1. oraz układ równań okreś lony w punkcie 1.2. Wierzchołki grafu alt a 2 , a „ oraz a„+i potraktujemy odpowiednio jako reprezentację zmiennych zależ nych Xi,X2 Xn oraz ź ródła yn+i układu równań (1.2.1). Krawę dziom bi} grafu przyporzą dkujemy odpowiednio wielkoś ci Ci,, zwane dalej transmitancjami, bę dą ce elementami macierzy C. ZASTOSOWANIE GRAFÓW PRZEPŁYWU 275 Dla grafu skierowanego, o nadanej w ten sposób interpretacji, zdefiniujmy operacje dodawania i mnoż enia przez operator, okreś lając wielkość zmiennej A}, reprezentowanej przez yty wę zeł grafu, jako sumę iloczynów utworzonych z transmitancji Cy krawę dzi by dochodzą cych doy'tego wę zła oraz zmiennych wę złów począ tkowych tych gałę zi: (1.3.1) Xj — CijXj+Cj.n+iyn+i FX=Y=Kyn+1 F4 o F= X= a„ a,2 a2t aZ2 к , С С 1 г Cl3 Сг, Сгг С2з ^31 сз г сз з а „*1а .24 О аа аа*1 О к , кг О ^У п +г У з *) Х = К = а „ а12 an аг / й г г О гз а31 а32 а33 л , с = a,,+1a.2i аз ч О а ,г а .22*1а з 2 О с ,з аг з аз ь*Ю к . к2 к3 О F= av a12 Q/э a « a 2i 022a23a24 a3i a32 аз ъа31 а „1 а4г а „з a*, C = a„+1 a2, О ,2 0 22+1 0 /3 "23 К , К г a3, aw 0 a 32 U42 0 10 А> 0 У п +t =) grafu. Wyznacznik grafu (lub czę ś ci grafu) obliczany jest za pomocą wzoru* (2.1.2) D = l ^ P m l + ^ P m 2 ^ P m 3 + w którym Pm„ jest iloczynem transmitancji w mtej kombinacji n — nie stykają cych się z sobą pę tli. Jeż eli graf posiada kilka ź ródeł: Zx = yn+i', Z2 = yn+il Z3 = Л +з >» c o zachodzi, gdy graf reprezentuje kilka powią zanych ze sobą układów równań, wtedy przy obliczaniu * wyprowadzenie wzorów (2.1.1) i (2.1.2) moż na znaleźć również w pozycji [7] (s. 2729). ZASTOSOWANIE GRAFÓW PRZEPŁYWU 277 °У 4 2,000 ~ " ~ ~ • i ^ " " 3,500 G,=2,0000,1875=0,3750 D,= 1,0003,500^2,500 2,000 ^ с У ^ ^ ^ ^ ^ ^ О̂Ъ с хх G,=2,0000,5000,375 »0,375 rj^f^ t T ^ ^ T T i 3 4= 1>000 •0,5000,1875=0,5625 6,000 , „ G4=6,000'0,375=2,2500 r t ^ ~ ^ ^ X j / Ł = 1,0002,750=1,750 2750 +(2,250)(/,750)~ + 3,94 Rys. 4 zmiennych zależ nych za pomocą wyraż enia (2.1.1) stosujemy superpozycję wpływów poszczególnych ź ródeł. 2.2. Przykład. D l a zilustrowania metody bezpoś redniej rozważ my graf z rys. 3 repre zentują cy układ równań: 0,2344 * 1 +0,1875* 2 +0,3750* 3 0,0, 0,1875*, +1,7500*2+0,5000*3 = 2,0, 0,3750 *1+0,5000*2+2,500O*3 = 6,0. Analizę grafu prowadzą cą do okreś lenia wielkoś ci * t podano na rys. 4 i 5. Pozostałe zmienne * 2 i * 3 obliczono w sposób podobny; wynoszą one odpowiednio 0,87 i 3,07. 1 \ 1 \ 1 ч 1,2344 j \ К 1 \ ~ " | \ 1 \ I N I \ ~2,7500~~ ! \ 0,3750 , <^0,ie75^fb^S ' ~ "~" W " J,500 N i ^ ч J.500 Г < °ш = 1,2344+2,7500+3,500+ + 0,18750,1875+0,500 •0,500+0,3750,375+ +0,3750,18750,500+ +0,18750,5000,375= = 7,5805 К I ч^ 0,375 Я | ч i ч 1 ч | ч i ч , ч ' ч ! _ ч 1,2344 Х '/'д аг = 1,23442,750+1,2344 •3,500+2,750 3,500+ + 1,23440,5000,500+ +0.1875 •0,18753,500+ +0.3750,3752,750= = 18,1584 N 4 1 ч ~" "0,500 К 1 ч Чч i ч ч 1 ч 1 ч | ч 1&44 — ' 3,300 i * ч 1 \ 1 \ ! \ I ч . . , 4 ^ ч ~17~х ' з ' 5 о ° ЈР т з = 1,23442,7503,500= Ц 881 ' \ 1 \ \ 1 \ 0= 1ZPmi+ZPmsZPm3= = 1 7,9805+18,158411,8811* =0,703 *1==§М г ~5>60 0,J75 ~ — У — ' з У о о 2,750 0= 1ZPmi+ZPmsZPm3= = 1 7,9805+18,158411,8811* =0,703 *1==§М г ~5>60 (27Ь; ZASTOSOWANIE GRAFÓW PRZEPŁYWU 279 3. Zastosowania Charakter grafów przepływu, omówiony powyż ej, implikuje moż liwoś ci wykorzystania ich w mechanice budowli do obrazowego przedstawienia struktury obliczeń statycz nych — zarówno ich fragmentu, jak i całego kompleksu — przy czym narysowanie grafu przepływu reprezentują cego dany układ dokonane może być niejednokrotnie wyłą cznie Rys. 6 q 3,0T/ m 20 • 5 Г ч M= 2,0 Tm ł ' Rys. 7 4 Mechanika Teoretyczna 280 J . PIETRZAK, К . WRZEŚ NIOWSKI na podstawie bezpoś redniej analizy układu, tj. bez zapisywania równań charakteryzu ją cych układ. N a rys. 6 zamieszczono przykład grafu przepływu odnoszą cego się do obliczania sił poprzecznych i momentów zginają cych w ramie przedstawionej na rys. 7. Czę ść grafu wyróż niona grubszą linią reprezentuje układ równań kanonicznych metody odkształceń; czę ść pozostała odnosi się do obliczenia wielkoś ci momentów i sił poprzecznych w oparciu o rzeczywiste wielkoś ci Alt <рг i 3. Podstawą ustalenia transmitancji gałę zi grafu z rys. 6 jest analiza przedstawiona na rys. 8. С 2J D *,=1 a=1 Mm 3EJ _ 2— 0j87Są RM*'=+0,0469 EJ Rn'1+0,1875EJ MCB=1= +0,375 EJ ф д1=0,1875 EJ *f0 "fcL3F'°'750Јj R%Y =0,1875 EJ мв с 4 =EJ RВ С *''0,375 EJ Mcf1= 0,500EJ RCB*,~—0,375EJ M?Ś '=O *tr'=o M$m,=ą sЈj RBC=,~ 0,375 EJ M?f'EJ Rcf1m°o,375 EJ CD —4~ f ' 5 F J R&''o *<Г = 0 R$f1= 0,375 EJ HCD ~ 0,375 EJ Rys. 8 ZASTOSOWANIE GRAFÓW PRZEPŁYWU 281 Zamieszczone na rys. 8 rozwią zanie grafu, z uwagi na przykładowy charakter, dotyczy tylko jednej zmiennej zależ nej — wielkoś ci momentu zginają cego MBA: 7 V G"4,

71 = 1,00; Z t = l , G2l = 2 , 0 0 ; D 2l = 1,0; D 2 = 1,0; Z 2 = 1, stąd MBA = ~ 0 ' 7 0 3 2,0 = 0,300 T m . Wielkoś ci pozostałych sił przekrojowych wyznaczone być mogą w analogiczny sposуb przy wykorzystaniu grafu z rys. 6. Jak wspomniano na wstę pie niniejszego artykułu, zastosowanie grafуw przepływu przy rozwią zywaniu rуwnań może w niektуrych wypadkach dać znaczne zaoszczę dzenie na pracy obliczeniowej. Szczegуłowe dane, przykładowe, w odniesieniu do rуwnań typu: a nXi+a nX^a i,, = 0, а 2\ Х1+а 22Х2+а 2ЪХъ+а 2р = 0, а ц 1_1)Х ^1+а ц Х 1+ак 1+1)Х1+1+а 1р = 0, а щ п 1)Х „1+ап пХ „+ап р = 0, tj. rуwnań czę sto spotykanych rуwnież w mechanice, moż na znaleźć w pracy [3]. Porуw nanie, jakie przeprowadzili tam autorzy, dotyczą ce nakładu pracy dla podanego powyż ej układu rуwnań przy zastosowaniu rуż nych metod obliczeniowych, wykazało przewagę metody omawianej w artykule nad metodami dotychczas stosowanymi. 4* 282 J. PIETRZAK, К . WRZEŚ NIOWSKI Literatura cytowana w tekś cie 1. Chuan C. F E N G , Richard D . BENTON, Flow graph of moment dustribution, Journal of the Structural Division, April 1964, Proc. A S C E . 2. Chuan C. F E N G , Kenneth A . STEAD, Slope deflection and moment flow graphs, J. Str. Div., June 1967, Proc. A S C E . 3. Chuan C. F E N G , Larry J. FEESTER, Flow solutions of band matrix problems, Journal of the Engineering Mechanics Division, February 1966, Proc. A S C E . 4. Kurt H . GERSTLE, Flow graphs in structural analysis, J. Str. Div., October 1960, Proc. A S C E . 5. J. KOLENDOWSKI, Znaczenie grafów i teorii grafów, Przegląd Elektrotechniczny, Styczeń 1967. 6. S. J. M A S O N , Feedback Theory: Some Properties of Sygnał Flow Graphs, Proc. Inst. Radio Engers, USA, 1953, Vol. 41. 7. L . ROBICHAUD, M . BOISVERT, J. ROBERT, Grafy przepływu sygnałów, PWN, Warszawa 1968 (tłum. z j . franc). Р е з ю ме П Р И М Е Н Е Н ИЕ Г Р А Ф ОВ Т Е Ч Е Н ИЯ К Н Е К О Т О Р ЫМ В О П Р О С АМ С О О Р У Ж Е Н ИЙ В с т а т ье о б с у ж д а е т ся к о н ц е п ц ия г р а ф ов и у к а з ы в а е т ся в о з м о ж н о с ть их и с п о л ь з о в а н ия в с т а т и ч е с к ом а н а л и зе с т е р ж н е в ых с и с т е м. Р а с с у ж д е н ия и л л ю с т р и р у е т ся ч и с л о в ы ми п р и м е р а м и, о д ин из к о т о р ых к а с а е т ся р а с ч е та с ил п о п е р е ч н ых с е ч е н и й, в п р о с т ой с т а т и ч е с ки н е о п р е д е л и м ой р а м е. S u m m a r y APPLICATION O F F L O W GRAPHS T O SOME PROBLEMS O F S T R U C T U R A L MECHANICS A general idea of flow graphs is derived in the paper. The paper contains also considerations of possible application of the graphs in the structural analysis. Some numerical examples are enclosed. POLITECHNIKA POZNAŃ SKA Praca została złoż ona w Redakcji dnia 27 listopada 1968 r. 1