Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS69\MTS69_t7z1_4_PDF\mts69_t7z3.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  3,  7  (1969)  OBSZAR  K O N T A K T U  S Z T Y W N E J  KULI  Z  PÓŁPRZESTRZENIĄ   LEPKOSPRĘ Ż YSTĄ   JADWIGA  H A L A U N B R E N N E R  I  BRONISŁAW  L E C H O W I C Z  (KRAKÓW)  1.  Wprowadzenie  Badaniem  narastania  z  czasem  powierzchni  rzeczywistego  kontaktu  dwu  ciał  stałych  w  obrę bie  kontaktu  nominalnego  zajmowało  się  kilku  autorów,  rozpatrując  wpływ  tego  procesu  na  wzrost  tarcia  statycznego.  W  pracy  przedstawionej  poniż ej  badano  zależ ność   powierzchni  nominalnego  kontaktu  od  czasu  dla  sztywnej  kuli  przyciskanej  stałą  siłą   normalną  do  półprzestrzeni  lepkosprę ż ystej.  Problem kontaktu  dwu  ciał  sprę ż ystych,  izotropowych,  ograniczonych  powierzchniami  drugiego  stopnia  i  przyciskanych  do  siebie  stałą  siłą  P,  normalną  do  ich  wspólnej  po­ wierzchni  stycznej,  rozwią zał  HERTZ  [1]  przy  nastę pują cych  założ eniach:  a)  oba  ciała  stosują  się  do  prawa  Hooke'a,  b)  przez  powierzchnię  kontaktu  nie  przenoszą  się  naprę­ ż enia  styczne,  c)  rozmiary  liniowe  obszaru  kontaktu  są  dużo  mniejsze  od  rozmiarów  ciał  ś ciskanych.  W  przypadku  sztywnej  kuli  i  półprzestrzeni  sprę ż ystej  i  izotropowej,  obszar  kontaktu jest  kołem  o  promieniu  a danym wzorem  gdzie  E  i  v  oznaczają  odpowiednio  moduł  Younga  i  współczynnik  Poissona  materiału  podstawy,  zaś  R  promień  kuli.  W  przypadku  tym,  po  przyłoż eniu  siły,  powierzchnia  kontaktu ustala  się bardzo szybko,  tym  szybciej,  im rozmiary ciał  stykają cych  się są  mniej­ sze.  Decyduje  o  tym  prę dkość  rozchodzenia  się  fal  sprę ż ystych  w  oś rodku  i  ich  tłumienie.  W  przypadku  ciał  lepkosprę ż ystych,  po  przyłoż eniu  siły  ś ciskają cej,  obszar  kontaktu  narasta  z czasem i  może  się ustalić,  lub  też  narastać  stale, jeż eli materiał  podstawy  okazuje  nieodwracalne lepkie  płynię cie.  Problem  wciskania  sztywnej,  gładkiej  kuli  w  półprzestrzeń  lepkosprę ż ystą  i  nieś ciś liwą   (v  =  0,5)  rozwią zali  teoretycznie  L E E i  RADOK  [2].  Zakładając  liniowy  model  reologiczny  i  przykładając  do  kuli  siłę PH(t),  uzyskali  na  promień  koła  styku  wzór  o.) <*.>-£*[i +*0+£]' 284  J .  HALAUNBRENNER,  В .  LECHOWICZ  gdzie E0  oznacza  moduł  sprę ż ystoś ci  natychmiastowej  materiału,  y>(t) — funkcję  pełzania,  zaś  rjo — współczynnik  lepkoś ci  przy  ustalonym  płynię ciu  materiału] proporcjonalnym  do  czasu.  Wzór  ten  może  posłuż yć  do  wyznaczania wielkoś ci  charakteryzują cych  materiał  lepko­ sprę ż ysty:  E0,  rj0,  f(t),  jeż eli  wyznaczymy doś wiadczalnie  a =  a(t), R,  P.  2.  Eksperyment  W przeprowadzonym doś wiadczeniu  sztywna kula  była reprezentowana  przez  soczewkę   szklaną,  płasko­wypukłą  o  promieniu  krzywizny  R  =  10,5  cm,  półprzestrzeń  lepkosprę­ ż ysta — przez  płytę  mię kkiej  ż ywicy  epoksydowej  P  53,  gruboś ci  2,5  cm,  położ oną  na  grubej  płycie  szklanej  (rys.  1).  Rys.  1. Aparat  do  obserwacji obszaru styku soczewki z podłoż em  lepkosprę ż ystym  Soczewkę  s  umocowano  w  ramieniu  d  dź wigni  obracalnej  koło  osi  O  i  obcią ż onej  odważ nikiem  Q.  Łą czny  nacisk normalny po  uwzglę dnieniu  cię ż aru  soczewki,  P  =  11,4 N .  Aby  zrealizować  założ enie  pracy  [2]  dotyczą ce  braku  tarcia  na  powierzchni  styku,  po­ wierzchnię  ż ywicy  natarto  dwusiarczkiem molibdenu;  zabieg  ten  zwię kszył  też  kontrast  optyczny  obszaru  styku  z  otoczeniem.  Obszar  styku  fotografowano  poprzez  szkło  soczewki.  Celem  zbadania  wartoś ci  współczynnika  Poissona podczas  pełzania, do  płytki z badanej  ż ywicy  o  wymiarach:  10 c m x 8 c m x  1,1 cm przylepiono dwie  poprzeczki metalowe  z  ha­ czykami  i  narysowano  na  niej  tuszem  dwa  odcinki  długoś ci  7  cm,  pionowy  i  poziomy.  Fotografowano  wiszą cą  pionowo  płytę  przed  obcią ż eniem  i po  obcią ż eniu  cię ż arem  20  N  po  upływie  czasów:  10 s,  100 s,  1 h,  3 h  liczonych  od  momentu  przyłoż enia  obcią ż enia.  Zmierzono  długoś ci  obu  odcinków  na  kliszy  za  pomocą  komparatora  i  na  podstawie  definicji  v uzyskano  wartoś ci  v — 0,52; 0,44; 0,44; 0,45. Wartość  v obliczona  na  podstawie  zdjęć  robionych  w  kilka  sekund  po  nagłym  przyłoż eniu  obcią ż enia  wypadała  w  kilka­ krotnie  powtarzanych  pomiarach  o  około  4%  wię ksza  od  0,5.  Tę  nie  spotykaną  na  ogół  wartość  v moż na  wyjaś nić  obniż eniem  się temperatury  próbki  o  około  0,1 °C przy  nagłym  rozcią gnię ciu,  stwierdzoną  przy  uż yciu  zamocowanej  w  niej  termopary  i  anizotropią   rozcią gnię tego  materiału  pod  wzglę dem  mechanicznym i  cieplnym.  W  celu  znalezienia  funkcji  a =  a(t)  fotografowano  obszar  styku  poprzez  soczewkę.  Przez pierwsze  1,5 minuty  od chwili  przyłoż enia  siły filmowano obszar  kontaktu  w  sposób  cią gły  (20 klatek  na  sekundę ),  nastę pnie  robiono  zdję cia  po  5, 10, 20, 40 minutach,  potem  OBSZAR  KONTAKTU  SZTYWNEJ  KULI  285  po  1,2,  4, 8 godzinach  itd.  przez  3  doby  w temperaturze  (20,5+0,5)°C.  Sfotografowano  też  skalę  milimetrową  poprzez  szkło  soczewki.  Rys. 2 przedstawia  kilka  uzyskanych  zdję ć.  Po  zmierzeniu ś rednic  koła  styku na  zdję ciach,  sporzą dzono  wykres 4a3(?)/3P/?  w pół­ 1 ogarytmicznym  układzie  współrzę dnych,  przedstawiony  na  rys.  3. Jest  to  zgodnie  z  wzo­ rem  (1.1)  równocześ nie  wykres  podatnoś ci  /  materiału  na  rozcią ganie.  Z  wykresu  widać,  że  krzywa  podatnoś ci  dla  czasów  t  >  1  min przebiega  niemal poziomo, z czego wniosku­ jemy,  że materiał  nie okazuje  lepkiego  płynię cia.  a )  b ) c) d) • • ••   e)  F)  g)  h)  0  lem  1 ' i i '  i ' . . .  i  Rys.  2.  Fotografie obszaru styku soczewki szklanej z podłoż em  lepkosprę ż ystym  (ż ywica  P  53)  po czasach:  a)  0,05  s,  b)  0,2  s,  c) 0,4  s,  d)  0,8  s,  e)  20  min, f)  1 h,  g)  1 d,  h)  3 d,  liczonych od momentu przyłoż enia  siły  Wykres  podatnoś ci  uzyskany  w  ten  sposób  porównano  z  wykresem  otrzymanym  przez  obserwację  pełzania  próbki  w  kształcie  prostopadłoś ciennej  beleczki  o wymiarach:  1,6 c m x  1,2 c m x  15,5 cm,  uchwyconej  nieruchomo  u  góry  i  poddanej  stałej  pionowej  sile  rozcią gają cej  24  N .  Uż yto  aparatu  opisanego  w  pracy:  HALAUNBRENNIR  i  KUBISZ  [3]  z  cią głym  zapisem  optycznym.  N a  podstawie  obserwacji  pełzania  sporzą dzono  wykres  podatnoś ci  na  rozcią ganie  /  =  —  w  funkcji  lnf.  Wykres  ten  przedstawia  krzywa  prze­ 0  rywana na rys. 3. Z rys. 3 widać, że oba  wykresy do czasu  około  1 s pokrywają  się;  potem  podatność  obliczona  na  podstawie  promienia koła  styku jest w przybliż eniu  o 2%  wię ksza.  Wzrost  ten  moż na  przypisać  niewielkiej  zmianie  temperatury  (gdyż  aparat  na  rys.  1 nie  był  termostatowany)  i  wartoś ci  współczynnika  Poissona  odbiegają cej  od  wymaganej  przez  teorię  wartoś ci  0,5.  N a  podstawie  wykresu podatnoś ci  na  rys.  3 moż na  znaleźć  wielkoś ci  charakteryzują ce  ż ywicę  pod  wzglę dem  lepkosprę ż ystym.  Przyjmują c,  że  materiał  podstawy  jest  reprezen­ towany  modelem  liniowym,  złoż onym  ze  sprę ż yny  (JE0),  tłumika  (r]0) i nieskoń czenie  wielu  286  J .  HALAUNBRENNER, В.  LECHOWICZ  I I I I I I I I L ­4  ­2  0  2  4  6  8  10  12  Lnt [sek] Rys.  3.  Wykresy podatnoś ci  /  =  е (/)/<т  ż ywicy  epoksydowej  P  53  na  rozcią ganie  w  stałej  temperaturze  20,5°C;  krzywą  cią głą  sporzą dzono  na  podstawie  obserwacji  narastania  ś rednicy  koła  styku,  kreś ląc  4 а 3 ( 0 / З РЛ  jako  funkcję  lnr; krzywą  przerywaną  — na podstawie  obserwacji  pełzania  beleczki  poddanej  stałej sile  rozcią gają cej  S­10-*t Rys.  4.  Pierwsze  przybliż enie  logarytmicznego  widma  czasów  opóź nień  dla  ż ywicy  epoksydowej  P  53  w temperaturze  20,5°C  elementów  Voigta  o  zmieniają cych  się w  sposób  cią gły  E  i  rj połą czonych  szeregowo  otrzymujemy na podatność na rozcią ganie tego modelu  wzór  oo  OBSZAR  KONTAKTU  SZTYWNEJ  KULI  287  gdzie  T =  rj/E jest  czasem  opóź nienia  poszczególnego  elementu  Voigta,  funkcja  / ( т )  —  funkcją  rozkładu  podatnoś ci  na poszczególne  czasy  opóź nień,  zwana  też  widmem  czasów  opóź nień .  Funkcję L rozkładu  podatnoś ci  na  ln т :  L ( l n  т)  =  т / ( т)  zwaną  logarytmicznym  widmem  czasów  opóź nień  uzyskano  z wykresu  na rys.  3 metodą  STAVERMANA  i  SCHWARTZLA [4]  róż niczkując  graficznie  tę krzywą.  Rysunek  4  przedstawia  pierwsze  przybliż enie  loga­ rytmicznego  widma  czasów  opóź nień  dla  ż ywicy  P  53.  Sprę ż ystość  natychmiastowa od­ czytana  z pierwszego  zdję cia  powierzchni  styku  E0 = 6600  N/cm 2 ,  odczytana  z krzywej  pełzania  beleczki  7500 N/cm 2 .  3.  Wnioski  Wyznaczanie  widma czasów  opóź nień  przez  obserwację  narastania  powierzchni  styku  kuli  z półprzestrzenią  lepkosprę ż ystą  jest  metodą  wymagają cą  spełnienia  podanych na  wstę pie  założ eń,  a zatem  nie  zawsze  dają cą  się  zastosować.  Moment  pierwszego  zdję cia  fotograficznego  jest  niepewny  z dokładnoś cią  do czasu  przesuwu  jednej  klatki.  Wynika  stąd  niepewna  wartość  modułu  sprę ż ystoś ci  natychmiastowej  E0.  Wyznaczanie  widm  korzystniej jest zatem oprzeć na  obserwacji pełzania  prę tów  przy rozcią ganiu  lub  skrę caniu  z  zapisem cią głym  wielkoś ci  odkształcenia.  Narastanie powierzchni styku  z czasem jest przyczyną  zależ noś ci  siły tarcia statycznego  przy ś lizganiu  i toczeniu ciał po  podłożu  lepkosprę ż ystym  od czasu nieruchomego kontaktu.  Po  przyłoż eniu  do  ciała  spoczywają cego  siły  stycznej  do  powierzchni  podstawy i stopnio­ wym  jej  zwię kszeniu,  nastę puje  nagły  skok  ciała  z duż ą> prę dkoś cią,  któremu  towarzyszy  wydobycie  się ciała z zagłę bienia,  w którym  spoczywało.  Z  problemem  narastania  powierzchni  styku  należy  liczyć  się  przy  składowaniu  przed­ miotów  sporzą dzonych  z materiałów  lepkosprę ż ystych,  gdyż  poddane  stałemu  naciskowi  mogą  się trwale  odkształcać, a w przypadku  duż ej  adhezji —  sczepiać.  Literatura  cytowana w  tekś cie  1.  H .  H E R T Z ,  J . fur Reine  und  Angewandte  Mathematik,  B. 29,  S.  259,  1882.  2.  E .  L E E ,  J . R.  M .  R A D O K ,  Stress  analysis  in linearly viscoelastic  materials.  IX  Congres  Internatio­ nal  de Mecanique  Applique,  v.  V ,  321­329,  Univ.  de Bruxelles,  1957.  3.  J .  H A L A U N B R E N N E R ,  A .  K U B I S Z ,  Mech.  Teor.  i  Stos.  1,  5,  (1967).  4.  A . J .  STAVERMAN,  E .  S C H W A R T Z L ,  Die Physik  der Hochpolymeren,  Berlin,  Springer,  1956,  vol.  4,  S.  44.  Р е з ю ме   О Б Л А С ТЬ  К О Н Т А К ТА  Ж Е С Т К О ГО  Ш А РА  С  В Я З К О ­ У П Р У Г ИМ  П О Л У П Р О С Т Р А Н С Т В ОМ   О б л а с ть  к о н т а к та  ж е с т к о го  ш а ра  п р и ж и м а е м о го  н о р м а л ь н ой  с и л ой  Р  к  и з о т р о п н о му  в я з к о­ у п р у г о му  п о л у п р о с т р а н с т ву  п р е д с т а в л я ет  с о б ой  к р у г,  р а д и ус  к о т о р о го  у в е л и ч и в а е т ся  со  в р е м е н е м.  Э ту  з а д а чу  т е о р е т и ч е с ки  р е ш и ли  Л и  и  Р а д ок  (К о н г р е сс  И н т.  п р и к л.  м е х.  Б р ю с с е ль  1957  г .).  288  J .  HALAUNBRENNER, В .  LECHOWICZ  П о л у ч е н н ое  р е ш е н ие  с в я з ы в а ет  р а д и ус  к р у га  к о н т а к та  a{t)  с  ф у н к ц и ей  п о л з у ч е с ти  м а т е р и а ла   и  д а ет  в о з м о ж н о с ть  э к с п е р и м е н т а л ь но  о п р е д е л и ть  ф у н к ц ию  п о л з у ч е с ти  на о с н о в а н ии  н а б л ю д е н ия   р о с та  а  п ри п о с т о я н н ой  т е м п е р а т у р е.  П ри  э к с п е р и м е н те  и с п о л ь з о в а но  т о л с т ую  п л и ту  из м я г к ой  э п о к с и д о в ой  с м о лы  Р 53  и с т е к л я н­ н ую  л и н зу  с  р а д и у с ом  к р и в и з ны  R =  10,5  с м.  О б л а с ть  с т ы ка  с м о л ы,  д ля у м е н ь ш е н ия  т р е н ия   и  у в е л и ч е н ия  о п т и ч е с к о го  к о н т а к та  н а т и р а е т ся  M 0 S 2 .  Л и н зу  р а с п о л о ж е но  на  п л и те  с н и м ая н е­ п р е р ы в но  на к и н о п л е н ке  о б л а с ть  к о н т а к т а:  в  т е ч е н ие  п е р в ой  1,5  м и н у ты  (20  к а д р ов  в  с е к у н д у ),  з а т ем  п о с ле  5,  10,  20  и 40  м и н у т ах  и д а л ее  п о с ле  1,  2,  4  и 8  ч а с ов  и т. д . в т е ч е н ие  т р ех  с у т ок  п ри   4  п о с т о я н н ой  т е м п е р а т у ре  20,5°С.  И з г о т о в л е но  д и а г р а м м у:  а1  в  ф у н к ц ии  в р е м е ни  в  п о л у л о­ 3RP  г а р и ф м и ч е с к ой  к о о р д и н а т н ой  с и с т е м е,  п о л у ч ая  к р и в ые  ф у н к ц ии  п о л з у ч е с ти  с м о л ы.  Д ля  с р а в­ н е н ия  о п р е д е л я ю т ся  ф у н к ц ии  п о л з у ч е с ти  п ри р а с т я ж е н ии  с т е р ж н я,  и з г о т о в л е н н о го  из  т ой ж е   с а м ой  с м о лы  п ри  т ой  ж е т е м п е р а т у р е.  О бе  к р и в ые  с о в п а д а ют  с с о б ой  с т о ч н о с т ью  до 2%.  На о с н о­ в а н ии  п о л у ч е н н ой  ф у н к ц ии  п о л з у ч е с ти  о п р е д е л я е т ся  м г н о в е н н ая  п о д а т л и в о с ть  и  с п е к тр  в р е м ен   з а п о з д а н ии  с м о лы  Р 53  п ри п о с т о я н н ой  т е м п е р а т у ре  20,5°С.  S u m m a r y  T H E  C O N T A C T  Z O N E  B E T W E E N  A  RIGID  SPHERE  A N D A  VISCO­ELASTIC  H A L F ­ S P A C E  The  contact  zone  between  a  rigid  sphere  and  a  visco­elastic  isotropic  half­space  under  the normal  compressible  force  takes the  form  of  a circle with the  radius increasing with  the  time.  This problem has  been theoretically solved by Lee and Radok (1957). The obtained relation between the radius of the contact  circle a(t) and  the creep­function enables us to find experimentally the creep­function on the basis of observed  growth of the radius a.  A  thick plate of the soft epoxy resin P 53 and a glass lens with the radius R  =  10,5  cm have been used.  The  contact  surface was covered by a thin layer of  M 0 S2 in order to minimize the friction and  to  improve  the  optical contrast. The contact  zone between the lense and the plate was filmed during the first  1,5 min.  (20  pictures per minute), and then photographed after  5,10,  20,40 minutes  and 1, 2,4,  8 hours and so on  during 3 days. The constant  temperature  20,5°C was maintained during the test.  As  the results the diagram of the magnitude a3  ^  as the function  of the time was  plotted.  This diag­ 3RP  ram  represents  the  creep­function.  For comparison the creep­function was also experimentally determined  from the tension  bar test. Both curves almost  coincide, the difference  being less than 2%.  Using the creep function  the  retardation spectrum was  determined for the  P 53  resin in the  constant  temperature 20,5°C.  P O L I T E C H N I K A  K R A K O W S K A  i  Praca  została  złoż ona  w Redakcji dnia  27 grudnia  1968  r.