Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS69\MTS69_t7z1_4_PDF\mts69_t7z3.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  3,  7  (1969)  ZALEŻ NOŚĆ  R Y Z Y K A  AWARII  O D  PARAMETRÓW  PROCESU  OBCIĄ Ż ENIA  MACIEJ  M A K O W S K I  (KRAKÓW)  1.  Wstęp  Celem  niniejszej pracy jest zanalizowanie zależ noś ci ryzyka  awarii  r(t)  od charakterystyk  losowego  obcią ż enia.  Zagadnienie to  rozwią zano  w przypadku, gdy konstrukcja podlega zmę czeniu  i starzeniu  oraz  obcią ż enie  jest  dowolnym  niestacjonarnym  procesem  losowym.  Jest  to  uogólnienie  zadania,  jakie  postawili  i  rozwią zali  (w  zastosowaniu  do  utraty  wytrzymałoś ci  oś rodka  stałego  mikroniejednorodnego)  MURZEWSKI  i autor  [6].  W  przypadku  szczególnym  stacjonarnego  procesu  obcią ż enia  i  stałej  noś noś ci,  otrzy­ mano  wniosek  pokrywają cy  się  z  wynikiem  pracy  [6],  mianowicie  r  — const.  Rozpatrujemy  obcią ż enia  konstrukcji  tego  samego rodzaju,  np.  obcią ż enia  budynków  mieszkalnych tego samego typu,  mostów  tej  samej  klasy  i konstrukcji,  itp.  Obcią ż enie  P(t)  jest procesem  losowym,  tzn.  że  dla  każ dej  ustalonej  chwili  t  obcią ż enie  jest  zmienną  losową  okreś loną  dla  zbioru  wszystkich  obiektów  danej  klasy,  natomiast  dla  konkretnego  obiektu  obcią ż enie  jest  funkcją  nielosową  czasu,  która  jednakże  nie  jest  znana  a priori.  Ograniczymy  się  do  rozpatrywania  jednej  budowli  o  dokładnie  skontrolowanych  wymiarach,  wykonanej  z  materiałów,  których  własnoś ci  są  w  pełni  okreś loną  funkcją   czasu.  Przy  tych  założ eniach  noś ność  konstrukcji  N(t)  jest  nielosową  i  a priori  okreś loną   funkcją  czasu  (rys.  1).  Tak  postawione  zagadnienie  może  być  podstawą  do  dalszych  uo­ gólnień  — dla  losowych  procesów  N(t).  Zagadnienie  bę dzie  rozwią zane  przy  zastosowaniu  teorii  przewyż szania  okreś lonego  poziomu  przez proces losowy  [9].  Wymieniona  teoria  była  już  stosowana  do  zagadnień  praktycznych.  RICE  [7]  wypro­ wadził  wzór  na  ś rednią  czę stość  nN  przekroczeń  poziomu  N  przy  dodatnim  nachyleniu  realizacji  P(t)  stacjonarnych,  scentralizowanych,  róż niczkowych  procesów  gaussowskich:  gdzie  K0  — wariancja,  K'0'  —  druga  pochodna  funkcji  korelacyjnej.  Jeś li przewyż szenie  poziomu  N  przez proces stacjonarny powoduje  zniszczenie  obiektu,  to  nN  równa  się  ryzyku  r.  290  M .  MAKOWSKI  2.  Oznaczenia  i  definicje  N(t)  noś ność  konstrukcji  w  chwili  t,  T  trwałość  konstrukcji  (czas bezawaryjnej  eksploatacji),  Ł?(t)  niezawodność  konstrukcji  (prawdopodobień stwo  przetrwania),  r(r)  ryzyko  awarii  (intensywność  prawdopodobień stwa),  P(t)  proces  obcią ż enia,  P(f)  szybkość  obcią ż enia,  p(t)  wartość  ś rednia  obcią ż enia,  K(ti,  t2)  funkcja  korelacyjna  procesu  obcią ż enia,  /i2(t)  wariancja  obcią ż enia,  Rppih > t2)  funkcja  korelacji wzajemnej  dla  obcią ż enia  i  szybkoś ci  obcią ż enia,  f(p,p/t)  dwuwymiarowa  gę stość  obcią ż enia  i  szybkoś ci  obcią ż enia  w  tej  samej  chwili  r,  F(p,p/t)  dwuwymiarowa  dystrybuanta  obcią ż enia  i  szybkoś ci  obcią ż enia  w  ch.  i{  .  Zgodnie  z  tym  co  powiedzieliś my  we  wstę pie,  rozpatrywana  konstrukcja  jest  repre­ zentantem  pewnej  populacji  jednorodnych  konstrukcji  spełniają cych  te  same  warunki  Zakładamy,  że  czas  ż ycia  konstrukcji  jest  zmienną  losową,  w  zwią zku  z  tym  moż na  okreś lić  funkcję,  która jest prawdopodobień stwem  bezawaryjnej  pracy konstrukcji  w okre­ sie  czasu  t.  Def.  1  Prawdopodobień stwo  przetrwania konstrukcji  0>(t)  =  0>  [P{f)  <  N(t)];  0  <  t  <  T.  Obok  tej  funkcji  uż ywa  się  w  teorii  niezawodnoś ci  również  funkcji  Q(t)  bę dą cej  praw­ dopodobień stwem  powstania  awarii.  Def.  2  Prawdopodobień stwo  zniszczenia  (awarii)  2(0=  l­*0).  Jeś li  założ ymy,  że  funkcja  Q(f)  jest  cią gła  wraz  z  pierwszą  pochodną,  moż na  mówić   o  gę stoś ci  prawdopodobień stwa  powstania  awarii,  czyli  o  gę stoś ci  rozkładu  trwałoś ci.  Def.  3  Gę stoś ć  rozkładu  trwałoś ci  q(t)  =  ­^Q(t)=­Ą t).  .  Nastę pnym  równie  waż nym  poję ciem  teorii  niezawodnoś ci  jest  prawdopodobień stwo  bezawaryjnej  pracy konstrukcji  w  odcinku  czasu  (t,  ti),  gdy  wiadomo,  że  do  chwili  t  kon­ strukcja pracowała  bezawaryjnie.  Def.  4  Niezawodnoś ć  warunkowa  (prawdopodobień stwo  przetrwania  w  okresie  od  /  do  f j ) .  /a/f  •   ZALEŻ NOŚĆ  RYZYKA  AWARII  OD  PARAMETRÓW  291  Z  definicji  tej  wynika,  że  prawdopodobień stwo  powstania  awarii  w  odcinku  czasu  {t,  tt)  przyjmuje  postać   •   0  0>{t)  Przyjmując  rt  =  t+dt  i  obliczając  granicę  przy  dt  ­*  0  otrzymujemy  nową  funkcję,  zwaną  ryzykiem  awarii.  Def.  5  Ryzyko  awarii  r(t)  =  lim  ———  .  dt­*a  dt  Ryzyko  awarii  r(f)  moż na  traktować jako warunkową  gę stość powstania awarii  w chwili  t  pod  warunkiem,  że  do  tej  chwili  konstrukcja  pracowała  bezawaryjnie  lub, mówiąc  mniej  ś ciś le,  jako  prawdopodobień stwo  tego,  że  konstrukcja,  która  pracowała  bezawaryjnie  do  chwili  t  uszkodzi  się  w  czasie  t+dt,  gdzie  dt jest  dostatecznie  małe.  W  przypadku  gdy  konstrukcja  nie  podlega  zmę czeniu  i starzeniu  dość  intuicyjne  staje  się przyję cie  założ enia,  że  ryzyko  awarii jest  stałe  (niezależ ne  od  czasu). Jeden z  wniosków  niniejszej  pracy  uzasadnia  moż liwość  przyjmowania  tego  typu  założ enia.  3.  Wyznaczanie  ryzyka  awarii  przy  zastosowaniu zagadnienia  o  przewyż szaniu  Do  wyznaczenia  ryzyka  awarii  zastosowano  zagadnienie  o  przewyż szaniu,  przy  czym  zagadnienie  to  uogólniono  w  niniejszej  pracy  na  przypadek,  w  którym  poziom  przekra­ czany  przez  funkcję  losową  jest  niekoniecznie  stały.  Twierdzenie 1  Założ enia:  P(t)  — proces losowy  cią gły  wraz z  pochodną,  N(t)  — funkcja  nielosową  czasu.  oo  Teza:  r(t)  =  f  [p­Ń (t)]f[N(t)plt]dp.  Dowód:  Oznaczając  przez  ^(a/r)  prawdopodobień stwo  przewyż szenia  stałego  poziomu  „d"  przez funkcję  losową  P(t)  w czasie dt  mamy znany  wzór  [9]  00  0>(a/t)  =  dt  J  pf(a,p/t)dp  o  i  w przypadku,  gdy  a  =  0  wzór  00  (3­1  &(0/t) =  dt  J  pf(0,  p/t)dp.  o  Wyprowadzimy  transformację   7(0  =  P(t)­N(t),  W{f)  =  P{t)­Ń {i).  292  M .  MAKOWSKI  Wyznaczenie  prawdopodobień stwa  przewyż szenia  przez  funkcję  losową  P(t)  poziomu  N{i)  sprowadza  się  teraz  do  wyznaczenia  prawdopodobień stwa  przewyż szenia  przez  funkcję  losową  Y(t)  poziomu  zerowego.  Rys.  1  Należy  znaleźć  dwuwymiarową  gę stość  fi(y,  w).  (3.2)  Fi CV, W)  =  0>(Y (P­N  <  y,  P­Ń  <  w)  =  =  &(P  <  y+N,  P  <  W+Ń )  =  F(y+N,  w+Ń ),  c z y l i  (3.3)  gdzie  Fi(y, w) =  F(p,  p),  p  ­  y+N;  p =   w+N,  dF\__  dF_dp_+8F_ep_  _  8F(y+N,  w+Ń )  8y  dp  By  dp  8y  dp  i  podobnie  mamy  więc  (3.4)  82Ft  8 2F(y+N,  w+N)  д у д w  д р д р   =  f  (У +N,  w+N),  fi(y,w)=f(y+N,w+N)­ Oznaczając  przez  A  zdarzenie,  polegają ce  na  przewyż szeniu  w czasie  dt  przez  funkcję   losową  Y(t)  poziomu  zerowego,  otrzymujemy  na  podstawie  wzoru  (3.1)  podstawiając  otrzymujemy  P(A)  =  dt  f  vv/i(0, w/t)dw  =  dt }  wf[N(t),  w+Ń (t)/t]dw;  ó  o  w+Ń (t)  =  p  co  &(A)  =  dt j  (p­Ń )f[N(t),p/t]dp.  N  ZALEŻ NOŚĆ  RYZYKA  AWARII  OD  PARAMETRÓW  293  Z  def.  5 ryzyka  zniszczenia  КО  =  lim  —j—  A—o  at  otrzymujemy  (3.5)  r(0=  /  [p­Ń (t)]f[N(t),p/t]dp.  лг(0  cbdo.  Twierdzenie 2  Założ enie:  P(t)  — stacjonarny  w sensie wę ż szym,  N(t)  — funkcja  nielosowa  (noś noś ć ).  oo  Teza:  r(0  =  f  [p­Ń(t)]f[W),p]dp.  W)  Dowód:  Z  założ enia  stacjonarnoś ci  wynika,  że  dwuwymiarowa  gę stość  obcią ż enia  nie  zależy  od  translacji  na  osi czasu  f(Pi,Pilh,  h)  =  f(Pi,Pildt),  gdzie  dt  =  r 2 ­ r , ,  poprzez  przekształcenie  Pi  =  p  (3.6)  .  J  p2  =  P+pdt  przechodzimy  do  dwuwymiarowej  gę stoś ci  zmiennych p  i  p  (3.7)  /(/>,  pjh  , t2)  = f(p,  p+pdt/dt)  \dt\,  gdzie  \dt\  jest  wartoś cią  bezwzglę dną  jakobianu  przekształcenia  (3.6),  stąd  wynika,  że  Я Р ,  plh.  t2)  =  Я Р ,  pldt),  gdzie  dt  =  t2­tu  czyli  Я р ,Ь 1и  0=Я Р ,Р Ю )=Я Р ,Р ),  a  stąd  <3­8)  f№ ),plt)=f№ ),p].  Wstawiając  (3.8)  do  wzoru  (3.5)  otrzymujemy  tezę:  (3­9)  r(t)=  J  [p­Ń (t)]f[N(t),p]dp.  Ń (0  cbdo.  Temat  Założ enie:  P(t)  — proces stacjonarny  w sensie wę ż szym.  Teza:  Rpp{t,  i)  =  0.  Twierdzenie  to  znane jest  w  literaturze  procesów  losowych,  np.  [9].  Przytoczono  nowy  dowód  tego twierdzenia.  294  M .  MAKOWSKI  Dowód:  Z  definicji  Rp'p(tut2)  =  EilPM­pWHtz)}  =  Е [Р ^)Р{12)]­р ^)Е [Р ^2)].  Ze  stacjonarnoś ci  P(f)  wynika  E[P(t2)]  =  0,  czyli  Rpp{t,  i)  =  E[P(t)P(t)]  =  ^ д | ± / > * ( , )]  =  LA­E[P*(t)).  Ze  stacjonarnoś ci  wynika,  że  E[P2(t)]  =  const,  czyli  Rpp(t, t)  =  0.  cbdo.  Wniosek  1  Rozważ my  przypadek  szczególny,  gdy  P(t)  jest  procesem  losowym  stacjonarnym  normalnym.  Wtedy na  podstawie poprzedniego tematu:  obcią ż enie  i pochodna  obcią ż enia  w  tej  sa­ mej  chwili  t  są  zmiennymi  losowymi  nieskorelowanymi,  a  więc  dla  procesu  normalnego  są  również  zmiennymi  losowymi  niezależ nymi,  czyli:  f(P,'p)=f(p)f(p)­ W  naszym przypadku  mamy:  ( з л о)  f№ t),p]=f№ mp)­ Wstawiając  (3.10) do  (3.9)  otrzymujemy  00  (3.11)  r ( r ) =  /  [P­Ń (t)]f№ )]f(p)dp;  Л ад   P(t)  z  założ enia  jest  normalny,  czyli  gę stość  ma  postać   №   i  Г  (Р ­Щ .  Г  v ,  J ' ]/2л /гр  C X P I  P(t)—jako  pochodna procesu stacjonarnego normalnego jest  również  procesem stacjo­ narnym normalnym o  wartoś ci  ś redniej równej zero i wariancji równej drugiej  pochodnej  funkcji korelacyjnej procesu P(t)  wzię tej  ze  znakiem minus w punkcie  т =  0;  p  =  o  fa  =  dla  T  =  0,  czyli  (3.12)  ZALEŻ NOŚĆ  RYZYKA  AWARII  OD  PARAMETRÓW  295  Wstawiając  zwią zki  (3.12)  do  wzoru  (3.11)  otrzymujemy  O O  _  ^ ^ ч ­ ^ / ч ­к̂   А Г (0  N(0  Wyliczając  pierwszą  całkę  przez  podstawienie  otrzymujemy  co  [ ­ а д и ­ » ^ / ч ­ & ]* ( 3 J 3 )  ' « " ^ " Ч   •  ­  ­  •  ­  ж 0  gdzie  wystę pują cą  w  tym  wzorze  całkę  moż na  doprowadzić  do  stablicowanej  funkcji  Laplace'a.  Wniosek  2  Założ enie:  1) konstrukcja  nie  podlega  zmę czeniu  ani  starzeniu  N(t)  =  N  =  const,  2)  obcią ż enie jest procesem  stacjonarnym.  OO  Teza:  r(t)  as  r  =  fpf(N,p)dp.  6  W  przypadku,  gdy  N(0  =  N  =  const,  mamy  do  czynienia  z  klasycznym  znanym  z l i ­ teratury  zagadnieniem  o  przewyż szaniu  przez  funkcję  losową  ustalonego  poziomu  N.  Wzór  na  ryzyko  awarii  w  tym  przypadku  moż na  wyprowadzić  ustalając  warunek  na  prze­ wyż szenie,  licząc  0>(A)  i  l i m — l u b  jako  natychmiastowy  wniosek  z  twierdzenia  л —o  dt  2  przyjmując  w  założ eniu  N(t)  =  N  —  const, czyli  7Y(0  =  0;  mamy  więc  OO  (3­ 1 4 )  r(t)  =  r= j  pf(N,p)dp  o  cbdo.  Widzimy  stą d,  że  jeś li  konstrukcja  nie  podlega  zmę czeniu  ani  starzeniu  i  obcią ż enie  jest  procesem  stacjonarnym,  to  ryzyko  awarii  jest  niezależ ne  od  czasu  r(t)  =  r  =  const.  Wniosek  3  Założ enie  takie samo, jak  we  wniosku  2,  i  oprócz  tego  P(t)  normalny.  Wtedy  296  M .  MAKOWSKI  Wzór  (3.15)  wynika  natychmiast  ze  wzoru  (3.13),  gdzie podstawiono  N(t)  =  N=  const  i  zgadza się ze wzorem Rice'a  (1.1) dla p  =  0 uwzglę dniwszy, że dla procesów  gaussowskich  d2K{x)  dT2  t = 0 '  Przypadki  szczególne  uwzglę dnione  we  wniosku  2  i  3  zostały  uzyskane  wcześ niej,  drogą  bezpoś redniego  zastosowania  zagadnienia  o  przewyż szaniu  przez  funkcję  losową   stałego  poziomu [6].  И Р  =  4.  Wnioski  Fundamentalne  prawo  probabilistycznej  teorii  niezawodnoś ci  wyraża  prawdopodo­ bień stwo  przetrwania  konstrukcji  jako  funkcję  okresu  eksploatacji  г   (3.16)  &(T)  =  exp [ ­  J  r{t)dt\.  o  Oznaczając  przewidywany okres eksploatacji  przez  T*  i przyjmując  z góry,  że prawdo­ podobień stwo  przetrwania  konstrukcji  w  okresie  T*  jest  bliskie  jedynki  i  równe  1—co  otrzymujemy zgodnie z (3.16)  r*  0>{T*)  =  e x p [ ­ J  Ą i)dt],  czyli  T*  1—co  =  exp[ — f  r(t)dtj.  Oznaczając  przez  R(t)  funkcję  pierwotną  do  r(f)  otrzymujemy  1­co  ­  exp[R(0)­R(T*)],  czyli mamy  w postaci  uwikłanej  (3.17)  R(T*)  =  Д ( 0 ) ­ 1 п ( 1 ­ с о ).  Znając  ryzyko,  moż emy  więc  wycią gnąć  prognozę  na  temat  przewidywanego  okresu  eksploatacji  z  prawdopodobień stwem  1—co;  T*  może  służ yć  za  miarę  bezpieczeń stwa  konstrukcji  obok innych  miar zdefiniowanych w probabilistycznej teorii bezpieczeń stwa [5].  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  W. W.  BOŁOTIN,  Metody statystyczne  w mechanice budowli,  Warszawa  1968.  2.  E . FIDELIS  i  in., Matematyczne podstawy oceny  niezawodnoś ci,  Warszawa  1966.  3.  B . W.  GNIEDENKO,  Metody matematyczne  w teorii niezawodnoś ci,  Warszawa  1968.  4.  E .  J . G U M B E L , Statistics  of Extremes,  Columbia  University Press., New  York  1962.  5.  J . MURZEWSKI,  Wprowadzenie do teorii bezpieczeń stwa  konstrukcji,  PWN, Warszawa  1963.  6.  J .  MURZEWSKI,  M .  MAKOWSKI,  Wytę ż enie  oś rodka  mikroniejednorodnego  przy stacjonarnym  procesie  naprę ż eń ,  Archiwum  Inż ynierii  Lą dowej,  t.  X V , z.  1­2  (1969).  ZALEŻ NOŚĆ  RYZYKA  AWARII  OD  PARAMETRÓW  297  7.  S. O. RICE, Mathematical Analysis of Random Noise,  B S T J .  8.  SMIRNOW,  D U N I N  BARKOWSKI, Krótki  kurs statystyki matematycznej,  PWN,  Warszawa  1966.  9.  A . A . SWIESZNIKOW,  Podstawowe metody funkcji losowych,  Warszawa  1966.  Р е з ю ме   З А В И С И М О С ТЬ  В О З М О Ж Н О С ТИ  А В А Р ИИ  О Т  П А Р А М Е Т Р ОВ  П Р О Ц Е С СА  Н А Г Р У З КИ   В  н а с т о я щ ей  р а б о те  в ы в о д и т ся  [6]  ф о р м у л а,  о п р е д е л я ю щ ая  в о з м о ж н о с ть  а в а р и и,  п ри п р е д п о­ л о ж е н ии  и з м е н я ю щ е й ся  во  в р е м е ни  н е с у щ ей  с п о с о б н о с ти  и  в о з д е й с т в ия  с л у ч а й н ых  н а г р у з ок на   к о н с т р у к ц и ю.  И с п о л ь з уя  з а д а чу  о  п р е в ы ш е н ии  с л у ч а й н ой  ф у н к ц и ей  н е к о т о р о го  у р о в н я,  о б у с л о в и в а е т ся   в о з м о ж н о с ть  а в а р ии  от  н а г р у з к и,  ее  с к о р о с ти  и  от  н е с у щ ей  с п о с о б н о с т и.  Д о к а з ы в а е т с я,  ч то в  ч а с т н ом  с л у ч а е,  с т а ц и о н а р н о го  п р о ц е с са  н а г р у з ки  и  п о с т о я н н ой  н е с у щ ей   с п о с о б н о с ти  в о з м о ж н о с ть  а в а р ии  не  з а в и с ит  от  в р е м е н и.  S u m m a r y  D E P E N D E N C E  O F T H E  RISK  O F F A I L U R E  O N  L O A D I N G  PROCESS  P A R A M E T E R S  The  formula  [6]  for  the  risk  of  failure  is  derived  under  assumptions  that  the  load  carrying capacity  is variable in time and the loads acting on the structure are random. The problem of surpassing of a certain  level by the random function is applied and the risk of failure is formulated in terms of the loads, the load  rates and the carrying capacity. It  has  been demonstrated  that  in the  particular case of  a stationary load  process and a constant  carrying capacity the risk of failure is independent  of time.  P O L I T E C H N I K A  K R A K O W S K A  Praca  została  złoż ona  w Redakcji dnia 27 grudnia 1968 r.