Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS69\MTS69_t7z1_4_PDF\mts69_t7z3.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  3,  7  (1969)  KSZTAŁTOWANIE  DYNAMICZNE  ELEMENTÓW  KONSTRUKCJI  BOGDAN  O L S Z O W S K I  (KRAKÓW)  1.  Wprowadzenie  Stały wzrost wymagań  odnoś nie jakoś ci  projektowanych  urzą dzeń  i konstrukcji  otwiera  coraz  szersze  perspektywy  dla  zastosowań  metod  i  koncepcji  matematycznej  teorii  opty­ malizacji.  Jedną  z  waż nych  dziedzin,  w  których  metody  te  mogą  znaleźć  szerokie  zasto­ sowanie,  jest  kształtowanie  dynamicznych  własnoś ci  elementów  konstrukcji.  Kształto­ wanie takie jednak,  w  ś cisłym tego słowa  znaczeniu, praktycznie jeszcze dzisiaj  nie  istnieje.  Obliczenia  dynamiczne  wykonywane  w  stadium  projektowania  są  zazwyczaj  tylko  obli­ czeniami  sprawdzają cymi,  czy  zaprojektowana  konstrukcja  spełnia  ograniczenia  i warunki  wymagane  przez  obowią zują ce  normy  i  przepisy,  a  dotyczą ce  wartoś ci  amplitud  drgań,  naprę ż eń  itd.  W  wyniku  takiego  sposobu  projektowania  uzyskuje  się jedno  z  wielu  mo­ ż liwych  rozwią zań  dopuszczalnych  pod  wzglę dem  dynamicznym.  Nie  wiadomo  nawet  w  jakim  stopniu  rozwią zanie  to  jest  zbliż one  do  pewnego  optimum,  które  pozostaje  nadal  nieznane.  Nie  chodzi  nawet  o  to,  aby  każ dą  konstrukcję  projektować  jako  dy­ namicznie  optymalną,  choć  to  byłoby  na  pewno  najlepsze.  Znajomość  rozwią zania  opty­ malnego  poza  swym  znaczeniem  teoretycznym  ma  jednak  również  istotne  znaczenie  praktyczne,  gdyż  umoż liwia  ś wiadome  kształtowanie  dynamicznych  własnoś ci  konstrukcji  tak,  aby  była  ona  moż liwie  zbliż ona  do  optymalnej.  Praca  ma  na  celu  omówienie jednej  z  moż liwoś ci  optymalnego  kształtowania  układu  o  dwóch  stopniach  swobody przedstawionego na  rys.  1.  W  rozważ anym  przypadku  kształ­ towanie  polega  na  odpowiednim  doborze  wartoś ci  obu  mas  skupionych  m,  i  m2  układu,  przy  ustalonej  sztywnoś ci  prę ta  с  i  założ eniu,  że  działa  nań  przyłoż one  do  górnej  masy  poprzeczne  wymuszenie  harmoniczne  o  ustalonej  czę stoś ci  kołowej  6.  Optymalizacja  zo­ stała  przeprowadzona  czterokrotnie przy zastosowaniu czterech  róż nych  kryteriów  jakoś ci  charakteryzują cych  pod  wzglę dem  iloś ciowym  odpowiedź  badanego  układu  na  dane  wymuszenie.  Ponieważ  struktura  układu  jest  ustalona  przez  założ enie  konkretnego  sche­ matu  (rys.  1), mamy  tu  do  czynienia  z  typowym  przypadkiem  optymalizacji  parametrycz­ nej  [1].  Jako  parametry  wprowadzono  dwie  niezależ ne  wielkoś ci  bezwymiarowe  a  i  A,  przy czym parametr  a  okreś la  stosunek masy wii do  sumy m  obu  mas  układu,  zaś parametr  Я — bezwymiarową  wartość  tej  sumy  wyraż oną  przez  wielkoś ci  stałe  с  i  в .  Parametrom  tym  należy  nadać  takie  wartoś ci  ze  zbioru  wartoś ci  dopuszczalnych,  aby  minimalizowały  one  odpowiedni  wskaź nik  jakoś ci.  300  В .  OLSZOWSKI  Jakość  układu  rzeczywistego  oceniać  moż na  przez  porównywanie  go  z  układem  ideal­ nym,  jakim jest  układ  pozostają cy  w spoczynku  mimo  działają cego  nań  obcią ż enia  zmien­ nego  w  czasie.  Podejś cie  takie  pozwala  przedstawić  wskaź nik  jakoś ci  w  postaci  odpo­ wiedniego  funkcjonału  zależ nego  od  zmiennych  stanu  układu  [2].  W  rozważ anym  przy­ padku  zmiennymi  stanu  są  przemieszczenia  mas  układu  liczone  od  położ enia  równowagi  statycznej.  Ograniczając  się  do  analizy  stanu ustalonego przy wymuszeniu  harmonicznym,  za  zmienne  stanu  przyjmiemy  amplitudy  drgań  Ax  i  A2  obu  mas  układu  i  potraktujemy  je  jako  składowe  wektora  A  stanu  układu.  Wskaź nik  jakoś ci  moż emy  więc  przedstawić   w postaci pewnej funkcji  zmiennych Ax  i  A2.  Odpowiedni  dobór  tej  funkcji  z jednej  strony  warunkuje  własnoś ci  układu  optymalnego,  z  drugiej  zaś  decyduje  o  pracochłonnoś ci  obliczeń.  Właś ciwą  ocenę  róż nych  kryteriów jakoś ci  moż na  przeprowadzić  tylko  w oparciu  o  wyniki optymalizacji  uzyskane na podstawie tych  kryteriów. Z tego też powodu w  dalszym  cią gu  przedstawiono  cztery  róż ne  podejś cia  do  tego  samego  zagadnienia.  2.  Macierz  transmitancji  Ruch  układu  przedstawionego  na  rys.  1 opisany jest  układem  równań  róż niczkowych  a/w*i+'iiXi+'­i2*2  =  Л (0»  *­2'^  (1—a)mx2+r2ix1+r2 2x2  =  P2(i),  • am тг=(1­а )  w  EJ­ Rys.  1  Izie  rik  (i, к  = 'l,  2) jest  reakcją  sprę ż ystą  układu  w  punkcie  i,  wywołaną  jednostkowym  przemieszczeniem  w  punkcie  k.  Po  wprowadzeniu  oznaczeń   ( ' n  r, 2 \  =  cRo,  M  =  mMQ,  ­(:;)•  *<>=P­ KSZTAŁTOWANIE  DYNAMICZNE  ELEMENTÓW  KONSTRUKCJI  301  gdzie dla  układu  z  rys.  1  < 2 ­ 3 )  *» =  ( ­ 5  ~1б )'  M o =(o  !­«)'  K2A)  с =  m  =  W i + w 2 ,  a  =  — ,  moż emy  układ  równań  (2.1)  zapisać  w  postaci  macierzowej  (2.5)  Mx+Rx  =  P(t).  Dla  harmonicznego  sygnału  wejś ciowego  (wymuszenia)  P(f)  =  P0sm6t  odpowiedź   układu  (ruch  mas)  w  stanie  ustalonym  3c(r)  =  ^4sin6r  okreś limy  wykorzystując  jego  ma­ cierz  transmitancji  wyznaczoną  na  podstawie  równania  ruchu  (2.5).  Po  wprowadzeniu  wielkoś ci  bezwymiarowych  (2.6)  5 ­ 4 ,  Ь  =  % ,  Я  =  ^  =  ^  =  ^ ,  transmitancja  ta  wyraża  się wzorem  (2.7)  G =  CRo­AMo)­ 1  =  W­'Go,  gdzie  (2.8)  W=  a ( l ­ a ) A 2 ­ 2 ( l + 7 a ) A + 7  jest  wielomianem charakterystycznym  macierzy R—62M,  zaś   / 1 6 ­ A ( l ­ a )  5  \  Zwią zek  mię dzy  bezwymiarowymi  wektorami  a i b moż na  teraz zapisać  w postaci  (2.10)  a =  Gb.  W  dalszych  rozważ aniach  zajmiemy  się  przypadkiem  szczególnym,  gdy  b =  (1,0).  N a  podstawie  (2.7),  (2.9)  i  (2.10) otrzymujemy  w  tym  przypadku  / 1 6 ­ Л ( 1 ­ а )\  (2.11)  а = Ж ­Ч  5  ' I .  3.  Minimalizacja  energii  Zadanie  nasze  bę dzie  teraz  polegać  na  zminimalizowaniu  wektora  odpowiedzi  a.  Minimalizacja  ta  może  być przeprowadzona  na  róż ne  sposoby w  zależ noś ci  od  przyję tego  kryterium jakoś ci.  W  pierwszym  wariancie  obliczenia  przyjmijmy,  że funkcją,  którą  bę dziemy  minimalizo­ wać,  jest  maksymalna  energia  sprę ż ysta  układu  U  =  l­A'RA  =  \  cPa'Roa  =  с /2 ^ ­ 2 [ ( 1 ­ а )2 Л 2 ­ 7 ( 1 ­ а ) Я + 5 6 ].  302  В .  OLSZOWSKI  W  dalszych  rozważ aniach  wygodniej  bę dzie  posługiwać  się  energią  bezwymiarową   (3.1)  z  =  ­j  =  и ^ ­2 [ ( 1 ­ а )2 Я 2 ­ 7 ( 1 ­ а ) А + 5 6 ].  Dla  jakoś ciowego  zbadania  funkcji  z(a,  Я)  wykorzystamy  wyraż enia  dla  jej  pochod­ nych  czą stkowych.  (3.2)  ­±­  =  2 А Ж ­3 [ ­ 2 ( 1 ­ а )3 А 3  +  ( 1 ­ а ) ( 4 6 ­ 2 1 а ) Я2 ­ 3 3 6 ( 1 ­ а ) л + 1 6 1 7 ],  (3.3)  д а   Cl  =  2 ^ ­ 3 [ ­ 2 а ( 1 ­ а )3 л 3 + 2 1 а ( 1 ­ а )2 Я 2 ­ 3 3 6 а ( 1 ­ а ) А + 1 7 5 + 1 6 1 7 а ].  Wykreś lając  na  płaszczyź nie  parametrów  (а,  Я) krzywe  okreś lone  równaniami  W=  0,  dz  =  0,  ^ y  =  0, aa  '  «ЗЯ   otrzymujemy  podział  tej  płaszczyzny  na  obszary  charakteryzują ce  się  stałoś cią  znaków  obu  składowych  wektora  grad  z.  Kierunki  tych  składowych  dla  poszczególnych  obszarów  30 20 ł 3 !  10 1  /  / ł ' h  7  o  !  it  /  J  ł ł T —  i  1  0  0,25  0,5  0,75  a  1,00  Rys.  2  płaszczyzny  (а,  Я) przedstawiono  na  rys.  2.  Zauważ yć  należ y,  że  równanie  W  =  0  okreś la  dwie krzywe  Я ,(а)  i  Я2(а)  obrazują ce  zależ noś ci  bezwymiarowych  czę stoś ci  drgań  własnych  Я)  i  Я2  od  parametru  a.  Wzdłuż  obu  tych  krzywych  z  =  oo.  KSZTAŁTOWANIE  DYNAMICZNE  ELEMENTÓW  KONSTRUKCJI  303  4.  Minimalizacja  kwadratu  normy  |e|2  wektora  'a  Minimalizację  odpowiedzi  układu  moż emy  również  przeprowadzić  wychodząc  z  roz­ waż ań  czysto  geometrycznych.  Przyjmijmy  za kryterium jakoś ci  funkcję  z(a,  A) okreś loną   jako  kwadrat  normy wektora  (2.11):  (4.1)  z == |a| 2  =  И ^2 [ ( 1 ­ а ) 2 Я 2 ­ 3 2 ( 1 ­ а ) Я + 2 8 1 ],  (4.2)  ~  =  2 л ^ ­3 [ ­ ( 1 ­ а ), Я Ч 4 8 ( 1 ­ а )2 Я 2 ­ ( 7 6 8 ~ 7 9 3 а ) ;.  + 4046],  (4.3)  ~  =  2 ^ ­ 3 [ ­ а ( 1 ­ а )3 Я 3 + 4 8 а ( 1 ­ а )2 Я 2 ­ ( 1 ­ а ) ( 25  +  793а )Я +450+4046а ].  е л   Podział  płaszczyzny  (а, Я) na  obszary  monotonicznoś ci  funkcji  z(a,  Я) pokazano  na  rys.  3.  W  porównaniu  z  rys.  2  stwierdzamy  pewne  podobień stwo  obu  podziałów.  Podobień stwo  —  9  M 1  \   \ 1  &  1  i  u.  /  i i  у   /  0 1  / *6)  0  0J5  0,50  0,75  a  1,00  Rys.  3  to  wynika  stą d,  że  oba  kryteria jakoś ci  są  odpowiednimi formami  kwadratowymi  współ­ rzę dnych  wektora  odpowiedzi a.  W  wyraż eniu  (4.1)  dla  funkcji  kryterialnej  kwadraty  obu  współrzę dnych  wektora  a  wystę pują  z jednakowymi  współczynnikami  równymi  jednoś ci.  Z  tego  też  powodu  obie  amplitudy  drgań  aY  i  a2  minimalizowane  są  w  równym  stopniu.  W  przypadkach,  kiedy  304  В .  OLSZOWSKI  zależy  nam na  tym,  aby  jedna  z  amplitud  była  minimalizowana  skuteczniej  niż druga,  należy posłuż yć  się ogólniejszym  kryterium jakoś ci  o postaci z =  Cia\­\­c2a\ z odpowiednio  dobranymi  dodatnimi  współczynnikami  cx  i  c 2 . Z  przypadkiem  takim  spotykamy  się  na  przykład  wówczas,  kiedy  w  poziomie  jednej  z  mas  istnieje  ostrzejsze  ograniczenie dla  amplitudy.  5.  Minimalizacja  normy z  — |ai| +  |a2|  Przyjmijmy  teraz  za  kryterium  jakoś ci  normę  wektora  a  o  postaci  z =  |ai| +  |a2|.  Na  podstawie wzoru  (2.11)  otrzymujemy  fz,  =  1Ж Г Ч 21—(1—a)A],  gdy  в 1  =  1 6 ­ ( l ­ a ) A  > 0,  (5.1)  г(а>Х)  =  \ 2 2 = =  | ^ | ­ » [ ( i _ a ) A ­ l l ] ,  gdy  в 1  =  1 6 ­ ( l ­ a ) A  < 0 ,  (5.2)  4 j | ­  =  Д Ж ­1 | Ж Г1 [ ( 1 ­ а )2 ^ 2 ­ ( 3 7 ­ 4 2 а ) Я + 3 0 1 ],  (5.3)  4г *" =  ­ Д ^ ­1 | 1 Г | ­1 [ ( 1 ­ а )2 Л 2 ­ ( 2 7 ­ 2 2 а ) Я + 1 6 1 ],  (5.4)  4 п г  =  ^ ­ 1 | ^ Г 1 [ а ( 1 ­ а )2 А 2 ­ 4 2 а ( 1 ­ а ) А + 3 5 + 3 0 1 а ],  о /  (5.5)  ­ ^ ­ =  ­ Ж ­1 | Ж Г1 [ а ( 1 ­ а )2 А 2 ­ 2 2 а ( 1 ­ а ) А + 1 5 + 1 6 1 а ].  Obszary monotonicznoś ci  funkcji  z(a,  Я) pokazano na rys. 4. Zamiast przyję tego  kryterium  moż na  i  w  tym  przypadku  posłuż yć  się  kryterium  ogólniejszym  z =  c1\a1\+c2\a2\.  6.  Minimalizacja  normy z =  max(|ai|,  |e2|)  Jako  ostatni  rozważ ymy  przypadek  minimalizacji  na  podstawie  kryterium  jakoś ci  z  =  max(|\аг\,  gdy  * < T Z ^  lub  Я >   2 1  —а  1—а   Dzię ki  temu  rozważ ane  kryterium  przybiera  postać   (6.1)  z(a,A)  =  ai\  =  \Wni6­(l­a)X\,  gdy  lub  o*l =  5|»T\  gdy  Т = ^ <А < ^ Ь '  •  6.2)  =  Я а1 | а 1 Г 1 Ж ­2 [ ( 1 ­ а )2 А 2 ­ 3 2 ( 1 ­ а ) Я + 2 3 1 ],  KSZTAŁTOWANIE  DYNAMICZNE  ELEMENTÓW  KONSTRUKCJI  305  (6.3)  ­siw­^wni­iAX­u],  (6.4)  ­AjY  =  a1\a1\~ lW~2[a(l­a)42­32