Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS69\MTS69_t7z1_4_PDF\mts69_t7z3.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  3,  7  (1969)  STATECZNOŚĆ  N I E P R Y Z M A T Y C Z N Y C H PRĘ TÓW  W  STRUMIENIU  P Ł Y N U  ANTONI  G A J E W S K I  (KRAKÓW)  1.  Wstęp  Rozwój  współczesnych  metod  budowy  maszyn,  rozwój  lotnictwa i techniki  rakietowe  istotnie  rozszerzył  klasę  badanych  dotychczas  obcią ż eń  elementów  konstrukcji,  głównie  na  tak  zwane  obcią ż enia  niezachowawcze,  a  więc  nie  posiadają ce  potencjału.  Wś ród  nich  wiele  uwagi  poś wię cono  obcią ż eniu  elementów  konstrukcji  ciś nieniem  wywieranym przez  poruszają cy  się z dużą  prę dkoś cią  strumień  płynu.  W niniejszej pracy zajmiemy się badaniem statecznoś ci prę ta  (płytki) niepryzmatycznego,  jednostronnie  utwierdzonego,  umieszczonego  w  strumieniu  płynu.  Prę dkość  płynu  jest  równa  U, a jej  kierunek  równoległy  do  nieodkształconej  osi  prę ta.  Ciś nienie  boczne wy­ wierane przez strumień płynu  obliczymy z moż liwie najprostszego  prawa opływu, z podanego  przez  ILIUSZYNA  [10]  oraz  ASHLEYA  i  ZARTARIANA  [1],  tzw.  prawa  tłokowego.  Prawo  to  i  zakres jego  stosowania  omawia  w  elementarny  sposób  WOLMIR  [18],  a  ś cisłe wyprowa­ dzenie  zamieszczone jest  w pracy  ILJUSZYNA  [10],  w  której  autor  formułuje  tzw.  hipotezę   płaskich  przekrojów.  Przyjmując  prawo  tłokowe  BOLOTIN  [3]  bada  stateczność  płyty  w stru­ mieniu gazu, a  MOWCZAN [16],  [17]  drgania wspornikowej płyty o nieskoń czonej  szerokoś ci,  poruszają cej  się  w  gazie  z  dużą  prę dkoś cią  naddź wię kową,  w  kierunku  od  utwierdzenia  do  swobodnego  brzegu,  oraz  stateczność  pokrycia  skrzydła  samolotu  poruszają cego  się   w gazie. Ponadto  prawo  tłokowe  jest  wykorzystane  w  pracach  HEDGEPETHA  [9],  BIOTA  [2]  i  innych, a  w Polsce  przez  KORDAS  [14],  która  zbadała  stateczność  prę ta  wspornikowego  opływanego  równoległym  strumieniem  płynu,  z równoczesnym  uwzglę dnieniem  działania  siły  ś ledzą cej.  Znacznie  ś ciś lejsze  prawa  opływu,  oparte na  założ eniu  istnienia  potencjału  prę dkoś ci,  są  wykorzystane  w  pracach  KACPRZYŃ SKIEGO i  KALISKIEGO  [11],  DŻ YGADŁY  [5],  [6],  KALISKIEGO i  SOLARZA  [12],  KALISKIEGO i  WOROSZYŁA  [13],  oraz w innych pracach  tych  samych  autorów.  N a  ogół  dotyczą  one  drgań  samowzbudnych. (typu flatteru)  powłok  cylindrycznych  i  stoż kowych  opływanych  strumieniem  płynu  oraz  statecznoś ci  drgań   rakiet  sprę ż ystych.  Przyję ty  tu rozkład  sił  aerodynamicznych jest  zgodny  z  podaną  przez  DORRANCE'A  [4]  i  MILESA  [15]  teorią  opływu  ciał  smukłych.  Ponadto  w  pracach  tych  po­ równano  rozwią zania  uzyskane  w  oparciu  o  prawo  tłokowe  z rozwią zaniami  ś ciś lejszymi.  Celem  niniejszej  pracy jest znalezienie  rozwią zań  jak  najprostszych,  które, chociaż nie­ ś cisłe,  pozwolą  ocenić  wpływ  niepryzmatycznoś ci  prę ta  na  prę dkość  krytyczną  strumienia  312  A .  GAJEWSKI  gazu.  Założ ymy,  że utrata  statecznoś ci  nastę puje  przez  wyboczenie i  bę dziemy  stosowali  tylko  statyczne  kryterium  statecznoś ci.  Pręt  (płytka)  niepryzmatyczny, jednostronnie  utwierdzony,  znajduje  się w strumieniu  płynu.  Prę dkość  płynu jest  równa  U i jest  równoległa  do nieodkształconej  osi  prę ta.  Za­ kładają c,  że mamy do czynienia z opływem  stacjonarnym  przyjmiemy, że ciś nienie  boczne  jest  okreś lone  prawem  tłokowym.  W  przypadkach  prę ta  niepryzmatycznego  ciś nienie  z jednej jego  strony jest wię ksze od  ciś nienia  płynu  w obszarze  niezaburzonym  (w nieskoń­ czonoś ci), a z drugiej  mniejsze,  przy czym po obu stronach jest  prostopadłe  do odpowied­ nich  ś cianek  prę ta.  Wielkość  tych  ciś nień jest,  zgodnie  z prawem  tłokowym,  proporcjonalna  do  prę dkoś ci  płynu  i do ką ta  nachylenia  ś cianki  wzglę dem  osi prę ta  nieodkształconego.  Ograniczając  się   do  badania  utraty  statecznoś ci  przez  wyboczenie,  rozważ ymy  działanie  sił  statycznych  na  niepryzmatyczny  prę t,  przedstawiony  na rys. 1. N a  jedną  stronę  prę ta  działa  cią głe  obcią ż enie  na  jednostkę  długoś ci  równe  2.  Założ enia  upraszczają ce  i  równania  podstawowe  Rys. 1  (2.1)  Px =  BUb(x)d.  gdzie В = Р о и /co jest stałą  charakteryzują cą  własnoś ci  płynu.  D l a gazu c0,po i  U oznaczają   odpowiednio:  prę dkość  dź wię ku,  ciś nienie  i  prę dkość  płynu  w obszarze  niezaburzonym,  x — wykładnik  politropy.  D l a cieczy stałą  В  należy  wyznaczyć  doś wiadczalnie.  Funkcja  STATECZNOŚĆ  NIEPRYZMATYCZNYCH  PRĘ TÓW  313  b(x)  okreś la  zmienną  szerokość  prę ta  (płytki)  w  płaszczyź nie  prostopadłej  do  płaszczyzny  wyboczenia,  a  kąt  6t  jest zawarty  mię dzy  osią  x  i  styczną  do  prę ta.  Podobnie  na  drugą  stronę  działa  cią głe  obcią ż enie  (2.2)  P l  =  BUb{x)d2.  Jak  widać  z rysunku,  ką ty  <5j i  d2  zależą  od  ugię cia  prę ta  oraz  od  stopnia  zbież noś ci  prę ta  (2.3)  d1  =  ,  62  =  — ką tem  zawartym  mię dzy  osią  prę ta  i  styczną  do  powierzchni.  Obcią ż enia  p{  i  p2  należy  rozłoż yć  na  składowe  poziome  i  pionowe,  co  w  rezultacie  daje  wypadkowe  obcią­ ż enie  poziome  równe  (2.4)  p  — j 9 1 c o s ó l + / 7 2 c o s ó 2  oraz  obcią ż enie  pionowe  równe  (2.5)  q  =  р  ̂ sin ó) + p2  sin <52.  Ograniczymy  się  w  dalszym  cią gu  do  małych  ką tów  ó\  i  ó2,  tzn.  do  teorii  małych  ugięć   (95  1)  oraz  do  prę tów  smukłych  (ip  4v2+  • • • ) * ? ] / '­ 2IU  / ! Л (1 +  у ^ ­ 1 у­ ••)  /  =  о .  Ponieważ  do  dalszych  rozważ ań  przyjmiemy  tylko  prę ty  smukłe,  wię c, jak  wynika  z  ry­ sunku  oraz  równania  (2.8),  nie  popełniając  wię kszego  błę du  moż emy  pominąć  wyrazy  zawierają ce  drugie  i  wyż sze  potę gi  ką tów  ę  i  f.  . . . .  Wprowadzając  bezwymiarowe  zmienne  у  =  w/1 i  x  =  *//,  bezwymiarowe  obcią ż enia  PP  Bb0UP  oraz  zakładają c,  że  sztywność  zmienia  się  według  wzoru  EJ  =  EJogipc),  a  szerokość   prę ta  b  =  b0f(x),  przekształcimy  równanie  (2.8)  do  postaci  (2.10)  [g(x)y'T+P/'­2<*f(.xW  =  °­ 314  A .  GAJEWSKI  Do  równania  tego  dołą czamy  warunki brzegowe,  wynikają ce  z  założ enia,  że  siła  czołowa  ma  charakter  siły  ś ledzą cej  oraz  z  warunków  utwierdzenia  Przejdziemy  obecnie do podania rozwią zań  dla dwóch  typów  prę tów:  płasko­zbież nego  o  stałej  wysokoś ci  przekroju  poprzecznego,  wybaczają cego  się  z  płaszczyzny  zbież noś ci,  oraz  płasko­zbież nego  o  stałej  szerokoś ci  b =  b0,  wybaczają cego  się w płaszczyź nie  zbież­ noś ci.  W pierwszym przypadku stosowalność  prawa  tłokowego jest nie mniej  uzasadniona  niż  w  zagadnieniach  statecznoś ci  prę tów  (płytek)  pryzmatycznych, natomiast  w  drugim  popełniamy  wię ksze  błę dy  z  powodu  odrzucenia  składowych  pionowych  ciś nienia.  Je­ dnakże  przy  założ eniu  małego  ką ta  yi (niewielkiej zbież noś ci  prę ta),  również  i  tu  stoso­ wanie  prawa  tłokowego  wydaje  się  uzasadnione.  Pręt  jednostronnie  utwierdzony,  przedstawiony  na  rys.  2,  poddany  jest  działaniu  ciś nienia  bocznego  na  ś ciankę  o zmiennej  szerokoś ci  b(x)  =  b0f(x).  Założ ymy, że  wysokość   przekroju  prę ta  jest  stała  i  znacznie  mniejsza  niż  szerokość  oraz  że  opór  czołowy  jest  pomijalnie  mały  w  porównaniu  z  ciś nieniem  bocznym, /? =  0.  To  ostatnie  założ enie jest,  jak  widać  z rysunku, uzasadnione  w przypadku małej powierzchni  przekroju poprzecznego  swobodnego  koń ca  prę ta.  Moment  bezwładnoś ci  jest  tu  zmienny  w  taki  sam  sposób  jak  szerokość  prę ta:  J  =  =  Jof(x)  i  równanie  (2.10)  ulega  uproszczeniu  (2.11)  У Ф )  =  / ( 0 )  =  g (!)/'(!)  =  [Gf/')'],=i  =  0.  3.  Stateczność  prę ta  płaskiego  o  wykładniczo  zmiennej  szerokoś ci  Rys.  2  (3.1)  Ш у "]"­2я /(х )у '  =  0  gdzie  a  =  STATECZNOŚĆ  NIEPRYZMATYCZNYCH  PRĘ TÓW  315  Założ ymy  w dalszym  cią gu,  że szerokość  prę ta  zmienia  się  wykładniczo, tzn.  (3.2)  f(x) = e",  gdzie  Ё jest  dowolną  stałą,  okreś lają cą  stopień  zbież noś ci  prę ta.  Podstawiając  (3.2)  do  równania  (3.1) otrzymujemy  równanie  róż niczkowe  liniowe  czwartego  rzę du  o  stałych  współczynnikach  (3.3)  у1У+2е у '"+е 2у "­2а у '  = 0.  Poszukując  rozwią zania  tego  równania  w  postaci  (3.4)  y(x) =  CeXx,  dostajemy  równanie  charakterystyczne  (3.5)  A 4 +2eA 3 +e 2 A 2 ­2aA  =  0 ,  którego  jeden  pierwiastek  jest  równy  zeru,  h = 0, a  pozostałe  okreś lone  są wzorami  Cardana.  Przez  podstawienie  A =  z—2/3e  sprowadzamy  równanie  (3.5)  do  postaci ka­ nonicznej  (3.6)  Z 3 _ I Ł 2 Z _ | ^ . Ł 3 + 2 A |  =  0  Ponieważ  A =  a(cc+2/27e3) > 0  przynajmniej  dla  dodatnich  e (jak okaże  się  póź niej  również  dla  dowolnych  ujemnych),  więc  (3.7)  k2=­2(i—2e,  X) = nĄ ­iy,  XĄ =  fi­iy,  gdzie wprowadzono oznaczenia  ^ ­ 2 ( i / a + 2 T + ^ + i / a + ^ ­ ł / j ­ ­r\  2  3 E ­ (3.8)  Całką  ogólną  równania  (3.3)  jest  więc  funkcja  (3.9)  y(x) =  C i + C 2 e ^ + C 3 e " * s i n y x + C 4 e ^ c o s y . x ,  w  której  dowolne  stałe  C, ... C 4 należy  wyznaczyć z warunków  brzegowych  (2.11).  Po  wstawieniu  (3.9) do (2.1) otrzymujemy  układ  równań  liniowych  i jednorodnych  ze  wzglę du  na stałe  C ; ,  który  ma  niezerowe rozwią zanie  tylko wtedy, gdy jego wyznacznik  główny  jest  równy  zeru.  Obliczając  ten wyznacznik,  dostajemy  po  przekształceniach  równanie  przestę pne  na poszukiwaną  bezwymiarową  prę dkość  strumienia a w  zależ noś ci  od  parametru e  (3.10)  2 ( ^ + £ ) е ­3 ^ 2 П ( 3 ^2 ­ у 2 + 2 £ / г ) 8 т у + 2 у ( 2 ^ + е ) с о 8 у ] + у 0 г2 + у 2 )  = 0.  W  przypadku,  gdy  e = 0 otrzymujemy  równanie  podane już  przez  MOWCZANA [17],  BIOTA  [2],  BOŁOTINA  [3] i  KORDASA [14]  (311)  2 e ­ 3 " ° c o s ( ­  l/3>0)+1 = 0,  gdzie  ^  =  ­ ~ У ~2*­ 316  A .  GAJEWSKI  Pierwiastki  równania  przestę pnego  (3.10)  obliczono  dla  czterech  wartoś ci  s,  miano­ wicie:  dla  e =  —2, a  =  8,325;  dla  e =  —1, •••­1 (—'^й з +<•  Ę  ib  ( 1 ­ * ) ' 2 Ч ( 1 ­ * Г   o  Wyraż enie  to  posiada  osobliwość  w punkcie  x  =  1,  i  aby  uniknąć  nieskoń czonych  prze­ krojów  na koń cu  prę ta,  należy ją  usunąć  przez odpowiedni dobór  stałych  Cy  i C2.  Musimy  zaż ą dać,  aby wartość x  =  1 była  podwójnym  zerem licznika  wzoru  (4.8). Jak  łatwo  spraw­ dzić, gdy  Z—i n+3  ^—/ и +4  n+4  л=0  л=0  л = 0  moż na  licznik  wzoru  (4.8)  podzielić  przez  (I—*)2.  Uwzglę dniając  ponadto  dodatkowe  założ enie  g(0)  =  1  otrzymujemy  nastę pują cy  rozkład  sztywnoś ci  prę ta  oraz  zwią zek  mię dzy  bezwymiarowymi  obcią ż eniami  a [  V _ ? "  2  У  ^  (l­x) n+i\­eY  Ь .  ( l ­ v ) ­ + 2  . . . . . .  а [ л 4 о " +3  2 Z ( „ + 3 ) ( W + 4 ) ( W + 5 ) U  X )  J  ^ , ( " + 3 ) ( n + 4 ) ( 1  X )  (Ч .У ) g\X)—  N  ,  Ian(l­xT  л=0  л=0  л =и  л=0  Korzystając  z powyż szych  wzorów  moż emy znaleźć dowolnie wiele rozwią zań  podanego  problemu  statecznoś ci.  Oczywiś cie  jesteś my  tu,  wobec  stosowania  metody  odwrotnej,  «skazani»  na  rozwią zanie  takie, jakie otrzymamy przy założ onej  linii  ugię cia  prę ta.  Mimo  to,  mając  do  dyspozycji  ogromną  ilość  moż liwoś ci  doboru  parametrów  an,  moż emy  (co  prawda  z duż ym  nakładem  prą cy)  starać  się przybliż yć  otrzymany  kształt  prę ta  do  danego  z  góry.  Przechodząc  do  przykładu  przyjmiemy N  =  0,  a0  Ф 0  (af  =  0 dla  i  >  0);  wobec czego  (4.11)  g(x)=a\j­±(l­x) 3]­±m­x) 2,  18а =  60+5/5.  STATECZNOŚĆ  NIEPRYZMATYCZNYCH  PRĘ TÓW  319  Przy  sile  czołowej  równej  zeru  otrzymujemy  pręt  bardzo  zbliż ony  do  pryzmatycznego  (4.12)  =  !  [ Ю ­ ( 1 ­ х )3 ] ,  a  = ­ ^ ­ =  3,3333  (wobec  a  =  3,1651  dla  prę ta  pryzmatycznego).  N a  zakoń czenie  należy  zauważ yć,  że  przyję cie  prę dkoś ci  strumienia  płynu  równej  zeru  nie  prowadzi  do  rozwią zań  (fi  <  0),  ponieważ  stosowane przez  nas  statyczne kryte­ rium  statecznoś ci  nie  może  okreś lić  ś ledzą cej  siły  krytycznej.  5.  Sformułowanie  problemu  optymalnego  kształtu  prę ta  niepryzmatycznego  o  stałej  szerokoś ci,  opływanego  strumieniem  płynu  Opierając  się na metodzie Czencowa szczegółowo przedstawionej w pracy [8] i równaniu  (4.1),  w  którym  fi  — 0,  moż emy  sformułować  problem  optymalizacji  kształtu  prę ta  po­ kazanego  na  rys.  4.  Do  równania  ugię tej  osi  prę ta  (5.1)  [ g ( * ) / ' ] " ­ 2 a /  =  0  wprowadzimy  nową  zmienną  zależ ną  okreś loną  wzorem  (5.2)  y'  =  t",  (5.3)  [g(x)t"']"­2at"  =  0.  Po  dwukrotnym  scałkowaniu  (5.3)  mamy  (5.4)  g(x)t"'­2  ti...,(J  Rozwią zanie  równań  (5.10)  wydaje  się  bardzo  trudne  bez  uż ycia  maszyn  cyfrowych.  320  A .  GAJEWSKI  Na  zakoń czenie  należy  stwierdzić,  że  uzyskane  rozwią zania  są  obarczone  błę dami,  wynikają cymi  z  przybliż onego  charakteru  stosowanego  prawa  opływu.  Dalsze  uś ciś lenie  wyników  powinno  polegać  na  zwię kszeniu  dokładnoś ci  i  uogólnieniu  tego  prawa.  Pragnę  tu  również  wyrazić  podzię kowanie  prof,  dr  inż.  MICHAŁOWI  Ż YCZKOWSKIEMU  za  cenne  wskazówki,  udzielone  mi  podczas  wykonywania  tej  pracy.  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  H .  ASHLEY,  С.  ZARTARIAN,  Piston theory —  a  new aerodynamics tool for  the aeroelastician, J. Aeronaut.  Sci.,  12,  23  (1956),  1109­1118.  2.  M .  А.  В ю т,  The  divergence  of  supersonic  wings  including  chord wize  bending,  Report  No  67,  Cornell  Aeronautical  Lab.,  1954.  3 .  В.  В.  Б о л о т и н,  К  в о п р о с у  о б у с т о й ч и в о с т и  п л а с т и н к и  в  п о т о к е  с ж и м а е м о г о  г а з а ,  В о п р о сы  п р о ч­ н о с ти  м а т е р и а л ов  и  к о н с т р у к ц и й,  И з д.  А .  Н .  С С С Р,  М о с к ва  1959,  194­204.  4.  W.  Н.  DORRANCE,  Nonsteady  supersonic flow about pointed  bodies  of  revolution,  JAS,  8,  18  (1951),  505­511.  5.  Z .  D Ż Y G A D Ł O,  Drgania samowzbudne powłoki  cylindrycznej  o  skoń czonej  długoś ci  w  opływie  naddź wię ­ kowym,  Biul.  W A T ,  8,  10  (1961).  6.  Z .  D Ż Y G A D Ł O,  Drgania  samowzbudne  zaostrzonej powłoki  stoż kowej  w  opływie  naddź wię kowym,  Biul.  WAT,  7,  10  (1961).  7.  A .  GAJEWSKI,  Pewne  problemy  optymalizacji  kształtu  prę tów  przy niekonserwatywnych  zagadnieniach  statecznoś ci  (w  druku).  8.  A .  GAJEWSKI,  M .  Ż YCZKOWSKI,  Optymalne  kształtowanie  prę ta  ś ciskanego  siłą  skierowaną  do bieguna,  Rozpr.  Inż .,  2,  17  (1969).  9.  J.  M . HEDGEPETH,  On  the flutter  of panels  at  high  Mach number,  JAS,  6,  23  (1956),  609­610.  10.  А .  А .  И л ь ю ш и н,  З а к о н  п л о с к и х  с е ч е н и й  в  а э р о д и н а м и к е  б о л ь ш и х с в е р х з в у к о в ы х  с к о р о с т е й ,  П р и к л.  м а т.  и  м е х .,  6,  20  (1956),  7 3 3 ­ 7 5 5 .  11.  J.  KACPRZYŃ SKI,  S.  KALISKI,  Flatter  odksztalcalnej rakiety  w  opływie  naddź wię kowym,  Biul.  WAT,  8,  (97),  9  (1960),  3­19.  12.  S.  KALISKI,  L .  SOLARZ,  Drgania  aerosprę ż yste  i  statecznoś ć  wirują cej  rakiety  odksztalcalnej  w  opływie  zlinearyzowanym,  Biul.  WAT,  7,  (107),  10  (1961).  13.  S.  KALISKI,  S.  WOROSZYŁ,  Flatter odksztalcalnej  rakiety w  opływie  naddź wię kowym  wg  drugiego  przybliż enia  asymptotycznego,  Biul.  W A T ,  8  (144),  13  (1964).  14.  Z .  KORDAS,  Statecznoś ć  prę ta  opływanego  równoległym  strumieniem  płynu  przy uwzglę dnieniu oporu  czołowego,  Rozpr.  Inż .,  1 , 1 3  (1965),  19­41.  15.  J. W.  MILES,  The potential theory  of  unsteady supersonic flow,  Cambridge  1959.  16.  А .  А .  М О В Ч А Н,  О  к о л е б а н и я х  п л а с т и н к и ,  д в и ж у щ е й с я  в  г а з е ,  П р и к л.  м а т.  и  м е х .,  2,  20  (1956),  2 3 1 ­ 2 2 2 .  17.  А .  А .  М О В Ч А Н,  О б у с т о й ч и в о с т и  п а н е л и ,  д в и ж у щ е й с я  в  г а з е ,  П р и к л.  м а т.  и  м е х .,  2 ,  21  (1957),  211­243  18.  А .  С.  В О Л Ь М И Р,  У с т о й ч и в о с т ь  д е ф о р м и р у е м ы х  с и с т е м ,  М о с к ва  1967.  Р е з ю ме   У С Т О Й Ч И В О С ТЬ  Н Е П Р И З М А Т И Ч Е С К ИХ  С Т Е Р Ж Н Е Й,  О Б Т Е К А Е М ЫХ  П О Т О К ОМ   Ж И Д К О С ТИ   О п и р а я сь  на  п р я м ой  п о р ш н е в ой  з а к он  и  с т а т и ч е с к ий  к р и т е р ий  у с т о й ч и в о с т и,  в  р а б о те  п о л у­ ч е ны  н е с к о л ь к ие  р е ш е н ия  п р о б л е мы  у с т о й ч и в о с ти  н е п р и з м а т и ч е с к о го  с т е р ж н я,  н а х о д я щ е г о ся   в  п о т о ке  ж и д к о с т и.  П о с ле  ф о р м у л и р о в ки  з а д а чи  и  о б с у ж д е н ии  п р и н я т ых  п р е д п о л о ж е н ий  о п р е­ STATECZNOŚĆ  NIEPRYZMATYCZNYCH PRĘ TÓW  321  д е л е на  к р и т и ч е с к ая  в е л и ч и на  с к о р о с ти  п о т о к а,  д ля п л о с к о го  с т е р ж н я,  с  э к с п о н е н ц и а л ь но  и з м е н я­ ю щ е й ся  ш и р и н о й.  П р и м е н яя  о б р а т н ый  м е т о д,  п о л у ч е ны  ф о р мы  п л о с к их  с т е р ж н е й,  д ля  в ы ше   п р е д п о л о ж е н н ых  л и н ий  п р о г и б а.  В з а к л ю ч е н ии  о п р е д е л е на  п р о б л е ма  о п т и м а л ь н ой  ф о р мы  н е п р и з­ м а т и ч е с к о го  с т е р ж ня  с  п о с т о я н н ой  ш и р и н о й,  о б т е к а е м о го  п о т о к ом  ж и д к о с ти  и  д а ю т ся  д и ф ф е р е н­ ц и а л ь н ые  у р а в н е н ия  о б с у ж д а е м ой  з а д а ч и.  Р е з у л ь т а ты  р а б о ты  н а до  п р и н и м а ть  к ак  п р и б л и ж е н н ы е,  т ак  к ак п р и н я т ый  з а к он  не  я в л я е т ся  т о ч н ы м.  S u m m a r y  STABILITY  OF  NONPRISMATIC  BARS  IN  F L U I D  FLOW  Applying  a simple  law  of flow  about  a bar (plate) i.e.  «piston  theory»  (plane  section law),  some  so­ lutions  of the  stability  problem of nonprismatical bars in parallel fluid  flow  were obtained  in  this  paper.  After formulation df the problem and discussion  of simplifying assumptions,  the critical velocity  value  was  determined for a flat  bar with exponentially  varying width.  By  a further application of the  inverse  method, the shapes of flat  bars were found under the  assumed  deflection  lines.  Finally, the problem of optimalization of a nonprismatic bar shape of constant  width in fluid flow  was  formulated.  Results of this work cannot be treated as exact ones inasmuch as the  «piston  theory» is an approximate  one.  OLITECHNIKA  K R A K O W S K A  Praca  została  złoż ona  w Redakcji dnia 18 stycznia  1969  r.