Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS69\MTS69_t7z1_4_PDF\mts69_t7z3.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  3,  7  (1969)  ZAGADNIENIE  O S I O W O ­ S Y M E T R Y C Z N E  DLA  OBSZARÓW  SPRĘ Ż YSTYCH  NIEŚ CIŚ LIWYCH  O G R A N I C Z O N Y C H  KULISTYMI  POWIERZCHNIAMI  ELENA  Z Ł A T A N O W A  (WARSZAWA)  Niniejsza  praca  przedstawia  ogólne  rozwią zanie  zagadnienia  osiowo­symetrycznego  dla  obszarów  kulistych  nieś ciś liwych.  Ogólne  równania  dla  ciała  sprę ż ystego  nieś ciś liwego  są  wyprowadzone  na  podstawie  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci  przy  założ eniu  w jej  równa­ niach  współczynnika  Poissona  v  =  0,5  [1].  Z  takimi  zagadnieniami  spotykamy  się  w  przy­ padkach,  gdy  zmianę  obję toś ci  materiału  moż na  pominą ć.  W  pracy  [2]  dokonano  obszernej  analizy  istnieją cych  rozwią zań  pokrewnych  zagad­ nień dla  obszarów  ś ciś liwych.  W analizie tej  główne miejsce zajmuje  rozwią zanie  Thomsona  dla  równowagi  sprę ż ystej  ś ciś liwej  kuli  i  zagadnienie  Goodiera  koncentracji  naprę ż eń   wokół  pustki  kulistej  lub  wtrą cenia  kulistego przy jednorodnym rozcią ganiu  lub  ś ciskaniu.  Sama  praca  [2]  przedstawia  uogólnienie  rozwią zania  Goodiera  dla  problemów  osiowo­ symetrycznych.  Przyję te  zostały  zmodyfikowane  równania  Thomsona.  W  niniejszej  pracy jest  rozwią zany  taki  problem  przy  założ eniu  nieś ciś liwoś ci.  1.  Podstawowe równania  Dla  ciała  sprę ż ystego  nieś ciś liwego,  dla  którego  jest  spełnione  prawo  Hooke'a  za­ kładamy,  że  v =  0,5,  skąd  E  =  3G.  Otrzymujemy  3Gex =  ax—~(ay+az),  (1.1)  3Gey  =  o ­ y ­ y  (oz+ax),  3Gez =  az—  у  (ox+ay).  Wprowadzając  oznaczenie  p  — у  (crx+oy+oz),  otrzymamy  nastę pnie  ax  =  2Gex+p,  (1.2  ay  =  2Gey+p,  az  =  2Gez+p,  przy  czym  p(x,  y,  z) jest  dowolną  funkcją.  rxy  =  Gyxy >  Ь *  =  GYy*>  rzx  =  Gyzx,  354  E .  ZŁATANOWA  Jeż eli  u  =  u(x,  y,  z),  v  =  v(x,  y,  z),  w  =  w(x,  y,  z)  są  funkcjami  przemieszczeń,  to  z  równań  (1.2),  równań  równowagi  i  z  warunku  nieś ciś liwoś ci  (1.3)  *L+*L+3w  =  Q  8x  oy  oz  otrzymamy  układ  równań  w  przemieszczeniach  dla  oś rodków  nieś ciś liwych  w  postaci  GF2u+~+X=0,  ex  (1.4)  GV2v+^  +  Y=0,  GV2w+^+Z  =  0.  32  82  d2  Tu  V2  =  ^ 2  +  ^~^z* '  a  ^ '  ^ '  ^  S ^  s ^ a m '  nosowy™  n a  jednostkę  obję toś ci.  2.  Ogólne  zależ noś ci  dla  obszarów kulistych  Wprowadzamy  nastę pują ce  funkcje  przemieszczeń  (por.  [3]):  ,«9!F  8Ф  ,  2Gu  =  g 2 —  +  ­̂ — +xco,  8x  ex  ,д Т  8Ф   (2.1)  2Gv  =  o2­+~+yco,  „  28¥  ,8Ф  ,  2Gw=e 2 J­  +  17+zco,  gdzie  g 2  =  J ^ + J ^ + Z 2 ,  л   (2.2)  7 ,  z),  л   Ф  =  ^ Ф Д х . ^ . г ),  л   przy  czym  Ах,  Вх  są  stałymi,  a  Ф л  są jednorodnymi harmonicznymi funkcjami  rzę du A.  Funkcje  takie  spełniają  nastę pują ce  toż samoś ci  X~8x­+y­8j^Z  8z  ­  А У д'  (2.3)  ZAGADNIENIE  OSIOWO­SYMETRYCZNE DLA OBSZARÓW  SPRĘ Ż YSTYCH  355  Działając  na  (2.1)  operatorem  Laplace'a,  otrzymujemy  (2.4)  2 G V V =  V>{^~}  +V2{^)  +V2(yco),  Uwzglę dniając  teraz  fakt,  że  dla  funkcji  harmonicznych  zachodzą  zależ noś ci  18Ф  е Ф З Ф \ 1 г _ э_  a W  =  0  V  \д х '  dy'  Bzj  \3x'  By'  Bz)V  '  „ 2 ,  ч   (~Ba>  Ba>  3co\  F V i P )  =  2 ( 2 Л + 3 ) ¥ ',  moż emy  przekształcić  pierwsze  wyrazy po  prawej  stronie  równoś ci  (2.4).  3x "  (2­5)  v\q2%)=Л Ьw­H=2(A+i)f'  Ostatecznie  (2.4)  moż na  przedstawić  w  nastę pują cej  postaci  (2.6)  < ^ _ д а + , ) | £  +  ~ .  Podstawiając  teraz  (2.6)  do  (2.4)  otrzymamy  ostatecznie  układ  trzech  równań  róż nicz­ kowych  na  funkcje  p,  W, co.  356  E .  ZŁATANOWA  Układ  ten jest  niesprzeczny, jeś li  są  spełnione  warunki  całkowałnoś ci,  które  w  przy­ padku  układu  (2.7)  sprowadzają  się do  SX__8Y  8Y_dZ  8Z_8X  8y  8x'  8z  By'  dx  8Z'  Jeś li  więc  pole  sił masowych jest  polem  potencjalnym,  to  moż emy  w  jednospójnym  obszarze jednoznacznie  wyznaczyć  funkcję  p(x, y, z)  P  =  (х .у .т )  (х .у .г )  =  I  ~ 8 x d x + J y d y + % d z  =  ~  /   (GP2"+X№ +(GP2v+r>dy+(.GP2w+Z)dz.  Uo.yo.'o)  .,  (.х о .У о ,')  W  szczególnym  przypadku  kiedy  nie ma  sił masowych  (X =  Y — Z  =  0),  otrzymujemy  stąd  (2.8)  p(x, y,z)=­2  № +l)Ax+B№ >.  x  Z  (2.1)  moż na  łatwo  wyprowadzić  nastę pują ce  wzory:  8u  28 2V  82Ф  ,  8  .  ,  °*  =  Ix­  =  « ' a ?  +  a ? + * ^ № ­ » > + ».  dv  28 2xF ,  82Ф ,  8  ,„„  .  E> ­  a>r =  ^ V + ^ r + > ' Ґ ( 2 ^ + w ) + < u '  а 2 Ф   a*2  4  a2!F  82Ф   8f  +  a 2 l F  Я~2  1  82Ф   э,2  1  (2.9)  8w  ,82хҐ  82Ф  8  ,  ,„  ч   Ј*  =  Jz  =  е  a ? " + z • ь < ?р + " ) + < » ­ а *>  aw  _ .  82У  _  а 2 Ф  а р,  а <и,  а «>  ^ = ^ + ^  =  2 0  4 ^ + 2 ^ + 2 Z Ґ + 2 > ' a z ­ + Z " Ґ + > ' ^ '  а *  а«  2  а 2 У  а 2 Ф  as*  as*  а а.  а©  у "  "  7 * +  az  ­  2 е  " а 7 а7  + 2  azT*  + 2 * a z " + 2 z  а ^ + *  л  + г  а 7 •   Dla  problemu  osiowo­symetrycznego  we  współrzę dnych  kulistych  л: =  esin6coS99,  у  =  psinflsinc:),  z =  pcos0,  а  Ф =  Ф (р, б ),  у , =  Ґ(0)  g),  przemieszczenia  i  odkształcenia  przedstawiają  się  nastę pują co  1  /  28W  8Ф  \  (2.10)  o ,  =  0,  ZAGADNIENIE  OSIOWO­SYMETRYCZNE  DLA  OBSZARÓW  SPRĘ Ż YSTYCH  357  .(2.11)  8u„  1  Г  28 2W  82Ф  ,  8  „ m  ,  ,  ,  1  ~  8в  +  Q  ~2G\_ eeQ   +   в  de   +  з б2  \ T +  e 2  /  J '  ­ ( e p + e » )  <3и 'в  we  1 д ыр   =  2GЬ б  YQ­8Q  +W)  + 1  ~86[j­8r7~7)Y 8q  Q  Q  86  a„ =  2Gep+p,  (2.12)  oip  =  2Getp+p,  ae  =  2Gee­\­p.  Z  warunku  nieś ciś liwoś ci  (1.3)  podstawiając  (2.9),  otrzymamy  Warunek ten jest  spełniony,  gdy  ...  Ai  Я +3  (2Л З>  Ж  =  ­ 2 Г ­ Zachodzi  to  jeś li  przyjmiemy  na  przykład  (2.14)  Ах  =  л +3,  BX=­2X.  Moż na  wykazać, że (2.14) wyczerpuje wszystkie  rozwią zania.  3.  Zagadnienie zewnę trzne  Istotne  znaczenie  dla  obliczeń  ma  fakt,  czy punkty  Q  =  0  i  Q  =  co  należą  do  rozpa­ trywanego  obszaru  czy  nie.  W  zwią zku  z  tym  traktujemy  oddzielnie  przypadek  a),  dla  którego  wszystkie promienie  Q  są  wię ksze  od pewnej  ustalonej  wielkoś ci  R,  Q  >  R  i przy­ padek  b),  dla  którego  wszystkie  promienie  Q  są  mniejsze  od  pewnej  ustalonej  wielkoś ci  R,  Q  <  R.  Zagadnienie  a)  nazywamy  dalej  zagadnieniem  zewnę trznym,  a  zagadnienie  b)  zagadnieniem  wewnę trznym.  Podamy  tutaj  podstawowe  równania  dla  obu  przypadków,  zaczynając  od  zagadnienia  zewnę trznego  Q >  R.  Sytuacja  taka  zachodzi  na  przykład  przy rozpatrywaniu pustki  kulistej.  Funkcje  przemieszczeń  mają  postać   n  (3.1)  a>  =  £  Bz,nanS" +1Pn(t),  0  =  R2^bnS n^Pn(t).  358  E .  Z L A T A N O w A  gdzie  S  =  —,  t  =  cos0,  zaś  Pn(t)  jest wielomianem  Legendre'a  [4,5]; rząd  jednorodnoś ci  X =  ­ ( n + 1 ) .  Zgodnie  z  (2.14)  4 , »  =  ­ и + 2,  Ј z > „  =  2 ( и + 1 ).  Wprowadzając  za pracą  [2] oznaczenia1  C*n(S)  =  « ( « + l ) S " + 1 a „ ­ ( « + l ) 5 n + 3 Z > n >  Ј > * n ( 5 ) =  ( 2 ­ « ) S " + 1 f l n + 5 " + 3 / > „ ,  =  ­ n 2 ( « + l ) S " + 1 a n + ( / j + l ) ( « + 2 ) 5 " + 3 / 3 „ ,  7 V , , n ( 5 ) = ­ w ( 2 « ­ l ) S " + 1 a „ ,  Д ? .1 , ( 5 ) = и ( и + 1 ) ( я ­ 1 ) 5 " + Ч ­ ( и + 1 )2 5 " + 3 А я ,  =  (n2­l)S"+1an­(n+2)S"+ 3bn,  zgodnie z  (3.1),  (2.9),  (2.10),  (2.11),  (2.12)  otrzymamy  П   (3.3)  * ­ ^ « 2 > . < В > ^.  л n  Fp  ~  2~G  S F * n ( S ) P " ( t ) >  (3.4)  n  =  ^  ЈHUS)Pe(t)­D*,n(S)  n  Л   с .  =  ^ [ ^ ( Я ) + Л ГЯ . В ( 5 ) ] Л ( 0,  Л   =  > " [ C * n ( S ) + 7 V z , n ( 5 ) ] P n ( 0 + ^ % ( S O ­ ^ ^ . Д 5) ] Р п ( / ) ­ 2 > г % ( 5 ) ^ ^ )  r p 9 =  YKIAS)  dPn(t)  n  1  Oznaczenia  przyję to jak  w  pracy  [2]  ZAGADNIENIE  OSIOWO­SYMETRYCZNE  DLA OBSZARÓW  SPRĘ Ż YSTYCH  359  4.  Zagadnienie wewnę trzne  Rozpatrujemy  teraz  zagadnienie  wewnę trzne,  Q  <  R.  Sytuacja  taka  zachodzi na  przy­ kład  w  przypadku  pełnej  kuli  o  skoń czonym  promieniu.  Funkcje  przemieszczeń  mają   postać   n  n  Ф  =  R2  Ј  dnq" P„(0,  gdzie  q — ~,  t  =  cos 6,  Pn(f)  jest  wielomianem  Legendre'a,  rząd  jednorodnoś ci  1 =  и.  л   Zgodnie  z  (2.14)  ,4 W > B  =  n+3,  BWw„  =  —2w.  Wprowadzając  oznaczenia  C*,M=  n(n+l)cnq"+ndnq"­ 2,  D*,„(q)  =  (n+3)c„qn+dnq»­ 2,  Nw.„(q)  =  2n­(2n+l)(n+3)c„q*,  F*Aq)  =  n(n+\)2cnq«+n(n­\)dnq«­ 2,  H*M  =  ­n(n+\)(n+2)cnq­­n 2dnq"­ 2,  K*n(q)  =  n(n+2)cnq"+(n­l)d„q n­2,  zgodnie  z  (4.1),  (2.9),  (2.10),  (2.11),  (2.12),  otrzymamy:  П   (4.3)  ^ ^ g j ^ . f o ) ^ ) ,  n  P =  2  Nw,nP„(t);  n  n  (4.4)  *e =  ^  Ј  C*,MP„(t)+Dt,„  Л   e  = —  У я*  (a)P(t)—D*  d 2 P n ^ \ ­ 360  E .  ZŁATANOWA  (4.5)  ap  =  2Gep+p  =  Ј[FlM+Nw,M]P„(t),  Л   ae  =  2Gee+p  =  ^[C*.H(q)+Nw,M]Pn(t)+D*,e^^­,  П   „  dbi  5.  Gruboś cienna  powłoka  kulista  nieś ciś liwa  Przez  sumowanie stanu  napię cia  dla  zagadnienia  zewnę trznego  i wewnę trznego  moż na  uzyskać  stan  napię cia  dla  gruboś ciennej  powłoki  o  promieniach  wewnę trznym  Rx  i  zewnę trznym  R2,  a  więc  dla Rt  < Q < R2.  Funkcje  przemieszczeń  w  tym przypadku  bę dą  mieć  postać   W=  ^[Az,nanS n+1+Aw,ncnq n]Pn(j),  П   (5.1)  <» =  ]?[Bz,nanS n+l+Bw,ncnq n]Pn(t),  П   Ф =  yARlbnS"^+R\dnq«]Pn(t).  Nastę pnie  (5.2)  (5.3)  "P =  2 ^ 0  Ј[C?.nW+C*„(  =  2G~  2!^F*^+F*.­(9W),  Л   e e  =  i  ^ [ c ^ ( s ) + c ' . " ( ? ) ] / , » ( ' ) + ^ , ( S ) + ^ , , ( ? ) ] ^ >  л Л   • I  J [ V ^ ( S ) + * * ^ S ) ] ^ ;  ZAGADNIENIE  OSIOWO­SYMETRYCZNE  DLA  OBSZARÓW  SPRĘ Ż YSTYCH  361  <*, =  2inn(S)+F*,M+N2,n(S)+NWin(q)]Pn(t),  n  (5.4)  v i  d2P  (t)  o*  =  Z  [Htn(S)+HZAS)+Nz,n(Sr)+Nw^q)]Pn^D*^S)+D%,M^  П   тРе  =  £  [ ^ ? . п ( 5 ) + ^ : . „ ( ? ) ]  ^p­,  л gdzie  oznaczenia  są  okreś lone  wzorami  (3.2)  i  (4.2).  6.  Pełna kula nieś ciś liwa poddana działaniu dwóch  sił skupionych  Zastosujemy  wzory  wyprowadzone  w  p.  4  dla  wyznaczenia  rozkładu  napię ż ei  i prze­ mieszczeń  w  pełnej  kuli  nieś ciś liwej,  obcią ż onej  dwiema  siłami  skupionymi.  Mamy  dla  przemieszczeń  nastę pują ce  wzory  =  2Ś?  вS["("т ­1)с „^+и ^?""2]Д(0,  (6.1)  We=ihQ 2  K"+3)c^+^  oo,  nową  postać  stanu  naprę ż enia,  od­ powiadają cą  działaniu  dwóch  sił  O O  (6.5)  o°p = jO,Ј(4k+l)P2k,  т °р в =  0  L=­*\  fc=0  '  '  i  udowadnia,  że  o°p = 0  dla  в Ф  0,  л ,  ( 6 ' 6 )  oj =  ­  oo  dla  0 =  0, л .  W  rozpatrywanym  przypadku  warunki  brzegowe  dla  q =  Q/R — 1  są   (6.7)  o­ p ­o­ P  =  0,  т р 9— r P „  =  0  dla  в ф 0,л ,  a  więc  na podstawie  (6.5)  i  (6.2)  otrzymamy  układ  równań  algebraicznych,  za pomocą   którego  wyznaczymy  współczynniki  (6.8)    H.  ­  J+P^+Sz^i"­^PM+  k=0  oo  k=2  w , Z f c  O.  1  4 0  p  (Л + 2 0  , V  4 f c + *  p  a 2 , o  f r t  , 19  dd2  2Af, w, 2k  у   4k+l  у   4k+l  a2k.2d 2PĄ t)  * = 2  W , ; Z *  *=2  W '  0\  2 0 ^ ( 0  у  4k+l  Р г { 1 )~  19  +  Z  2 Л ^У " ­ 2 * *  P 2 t ( 0 _  00  oo  ­ ­ „  .