Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS69\MTS69_t7z1_4_PDF\mts69_t7z4.pdf M E C H A N I K A  TEORETYCZNA  1  STOSOWANA  4,7(19691  C I E C Z E  N I E N E W T O N O W S K I E  W  Ś W I E T LE  M E C H A N I K I  K O N T I N U U M  STEFAN  Z A H O R S K I  (WARSZAWA)  1.  W s t ę p  Zainteresowanie  cieczami  nienewtonowskimi,  których  własnoś ci  mechaniczne  odbiegają   istotnie  od  cieczy  klasycznych,  wzrasta  ostatnio  znacznie  z  uwagi  na  rozwój  przemysłu  tworzyw  sztucznych,  przemysłu  papierniczego  i  spoż ywczego,  przemysłu  paliw  płynnych  i  smarów  itp. Prowadzenie  i  właś ciwe  ukierunkowanie  badań  doś wiadczalnych  wymaga  znajomoś ci  odpowiedniej  teorii  pozwalają cej  opisać  i  objaś nić  liczne  zjawiska  obserwo­ wane w cieczach  nieklasycznych.  Do  chwili  obecnej powstała już  obszerna literatura teore­ tyczna i doś wiadczalna  ujmują ca  zagadnienie w sposób mniej lub  bardziej racjonalny  i efek­ tywny  (por.  [1, 2, 3, 4, 5, 6]).  Niniejszy  przegląd  stawia  sobie  za cel zaznajomienie  z  najważ niejszymi  zagadnieniami  teorii  i  wynikami  doś wiadczeń  w  uję ciu  mechaniki  kontinuum.  Sposób  przedstawienia  obliczony  jest  na  czytelnika  zaznajomionego  z  podstawami  mechaniki  kontinuum,  lecz  nie  bę dą cego  specjalistą  w dziedzinie  cieczy  nienewtonowskich.  Innymi  słowy, jest to  wy­ specjalizowany  przegląd  dla zainteresowanych  niespecjalistów.  Należy  również  podkreś lić,  że przegląd  ten nie pretenduje  do  zbyt  wielkiej  ogólnoś ci  i  reprezentatywnoś ci;  czę ś ciowy  wybór  literatury  dokonany  został  w celu  jak najlepszego  i  najpełniejszego,  w opinii  autora, zilustrowania pewnych zjawisk  i sposobów  ich  wyjaś nie­ nia.  Z uwagi na obszerność  przedmiotu, celowo pominię to  takie zagadnienia, jak struktura  cieczy,  termodynamika,  dyfuzja,  przepływy  zaburzone  itp. Nie  omówiono  także  licznych  modeli  cieczy  badanych  metodami  mechaniki  kontinuum, jak ciecze  anizotropowe,  ciekłe  kryształy,  podciecze itp.,  odsyłając  zainteresowanego czytelnika  do monografii  [1].  Szeroko  rozwinię ta  klasyczna  teoria  liniowych  oś rodków  łepkosprę ż ystych  również  znalazła  się   poza  przeglą dem  (por. [7,  8]).  W  niniejszej  pracy,  po  rozważ eniu  ograniczeń  teorii  klasycznych,  rozwinię to  teorię   nieś ciś liwych  cieczy  prostych  obejmują cą,  w pewnym  sensie,  wię kszość  starszych  teorii  cieczy  nienewtonowskich.  Omówiono  klasę  tzw.  przepływów  wiskometrycznych  o  duż ym  znaczeniu  laboratoryjnym  i praktycznym,  zwracając  szczególną  uwagę  na efekty  naprę ż eń   normalnych.  Niektóre  typy  przepływów  przedstawiono  krótko  dla uproszczonych  modeli  cieczy.  Dokonano  ogólnej  klasyfikacji  równań  konstytutywnych  cieczy  zwią zanych  bez­ poś rednio  lub poś rednio  z  nieś ciś liwymi  cieczami  prostymi.  Trochę  wię cej  miejsca po­ 386  S.  ZAHORSKI  ś wię cono  cieczom  drugiego stopnia i tzw.  cieczom  z konwekcyjną  sprę ż ystoś cią.  Na  zakoń­ czenie przedyskutowano krótko  zagadnienia statecznoś ci, zwłaszcza  dla  płaskich  ustalonych  przepływów  ś cinają cych.  2.  Ograniczenia  teorii  cieczy  newtonowskich  Klasyczne  równania  konstytutywne  cieczy  lepkich,  wyraż ają ce  prawo  Newtona­Cauchy­ Poissona  (2.1)  T =  ­ O H ­  A t r D ) l + 2 4 o D ,  gdzie T jest symetrycznym tensorem  naprę ż enia  w sensie Cauchy,  D — tensorem  prę dkoś ci  deformacji,  tj. symetryczną  czę ś cią  gradientu pola  prę dkoś ci,  1 — tensorem jednostkowym,  zaś  A, 7]0 —  stałymi  cieczy  charakteryzują cymi  odpowiednio  ś ciś liwość  i  lepkość  new­ tonowską1),  przybierają  w przypadku  cieczy  nieś ciś liwych  szczególnie  prostą  postać   (2.2)  T =  ­pl  + 2i]0D,  trD =  0.  Zależ noś ci  powyż sze  po  wstawieniu  do  dynamicznych  równań  równowagi  prowadzą  do  równań  Naviera­Stokesa  powszechnie  stosowanych  w  klasycznej  hydrodynamice.  Stąd  też  czę sto,  w literaturze  przedmiotu,  zależ noś ci  (2.2)  nazywają  się zależ noś ciami  opisu­ ją cymi  ciecz  Naviera­Stokesa  (por.  [2]).  Z  rozwią zania  równań  Naviera­Stokesa  dla  ustalonego przepływu  Poiseuille'a  otrzymuje  się  znane prawo  Hagena­Poiseuille'a  wyraż ają ce  liniowy  zwią zek  mię dzy  wydatkiem  cieczy  na  jednostkę  czasu Q i gę stoś cią  siły  inicjują cej  /  (gradientem  ciś nienia  w  kierunku  przepływu).  Wydatek  cieczy  jest  wprost  proporcjonalny  do czwartej  potę gi  promienia  rury,  natomiast  odwrotnie  proporcjonalny  do  lepkoś ci  щ .  Podobnie ma się  sprawa  dla ustalonego  przepływu  Couette'a,  dla którego  proporcjonalność  momentu  M  okreś lonego  na  jednostkę  wysokoś ci  do  prę dkoś ci  ką to­ wej  Q z jaką  obraca  się jeden  z cylindrów,  wyraża  się  wzorem  nastę pują cym:  (2.4)  M=4­^0Rfo,  przy  czym  R2  i  Ri  oznaczają  odpowiednio  promień  zewnę trzny  i  wewnę trzny  wiskozy­ metru. Z doś wiadczeń  wynika,  że dla  wielu realnych cieczy  (zwłaszcza tych  o niskim  cię ż arze  czą steczkowym)  spełnione  są zarówno  zależ noś ci  (2.2), jak i  (2.3),  (2.4).  Istnieje  wiele  praktycznie nieś ciś liwych  cieczy  o znaczeniu technicznym i laboratoryjnym,  których zachowanie nie daje się opisać równaniami  (2.2). Należą  do  nich roztwory i stopione  ')  N o t a c j a  u ż y w a na  w  p r a c y  z o s t a ł a  w  znacznej  mierze  z a c z e r p n i ę ta  z  m o n o g r a f i i  [1, 2],  gdzie  m o ż na  z n a l e ź ć  s z c z e g ó ł o w e  definicje  w p r o w a d z o n y c h  w i e l k o ś ci  i  s y m b o l i .  W e k t o r y  i  tensory  o z n a c z o n o  o d p o ­ w i e d n i o  p ó ł g r u b y m i  m a ł y m i  i  d u ż y mi  l i t e r a m i .  T e n s o r y  n a l e ż y  r o z u m i e ć  j a k o  l i n i o w e  transformacje  p r z y ­ p o r z ą d k o w u j ą ce  k a ż d e mu  w e k t o r o w i  d r u g i  w e k t o r ;  t r T  o z n a c z a  o p e r a c j ę  ś l a du  p r z y p o r z ą d k o w u j ą cą   t e n s o r o w i  l i c z b ę ,  p o d o b n i e  det T jest  w y z n a c z n i k i e m  tensora,  a  T r  — tensorem  t r a n s p o n o w a n y m .  F u n k c j o ­ n a ł y  k o n s t y t u t y w n e  o z n a c z o n o  l i t e r a m i  g o t y c k i m i ,  z a ś funkcje  i  s t a ł e  m a t e r i a ł o w e  —  l i t e r a m i  g r e c k i m i .  CIECZE  NIENEWTONOWSKIE  387  polimery,  roztwory  mydła  i  celulozy,  roztwory  biologiczne,  róż ne  koloidy,  itp.,  a  także  farby,  smoły,  asfalty,  kleje  i inne,  których  «ciekły»  charakter  nie  ulega najmniejszej  wą tpli­ woś ci.  Badania  doś wiadczalne  wykazały,  że  odpowiednie  funkcje  Q(f)  lub  M(L)  są  dla  tych  cieczy  wyraź nie  nieliniowe  (por.  rys.  1).  Okazało  się,  że  dla  szerokiej  klasy  cieczy  nienewtonowskich  funkcje  typu  Q(f)  i  M(L)  mogą  być  obliczone  na  podstawie  znajomoś ci  funkcji  lepkoś ci  r\(x)  zależ nej  wyłą cznie  od  gradientu  ś cinania  x  (prę dkoś ci  ś cinania).  0  0,5  1,0  ­1,5  2p  2J5  R y s .  1.  P i ę d k o ść  k ą t o wa  w  z a l e ż n o ś ci  o d  m o m e n t u  s k r ę c a j ą c e go  w  w i s k o z y m e t r z e  C o u e t t e ' a .  L a t e k s  k a u c z u ­ k o w y  ( G R ­ S )  z a w i e r a j ą cy  62,2%  c z ę ś ci  s t a ł y c h  (I.  M .  K r i e g e r  i  S.  H .  M a r o n ,  J .  A p p l .  P h y s .  25,  1954,  72)  Róż ny  charakter  zmiennoś ci  t](x)  warunkują cy  nieliniową  zależ ność  naprę ż enia  ś cina­ ją cego  Г  od  gradientu  x,  posłuż ył  w  reologii  do  podziału  oś rodków  nienewtonowskich  na  «pseudoplastyki»,  «ciecze  dylatancyjne»  i  «oś rodki  Binghama»  (por.  [4,  5]).  Zgodnie  ze  schematem  przedstawionym  na  rys.  2,  lepkość  pseudoplastyków  i  roztworów  polimerów  maleje w porównaniu  z wartoś cią  rj(0),  czę sto  osią gając  asymptotycznie stałą  wartość t)(oo),  R y s .  2.  Schemat  p o d z i a ł u  cieczy  n i e n e w t o n o w s k i c h .  P  —  p s e u d o p l a s t y k i  i  r o z t w o r y  p o l i m e r ó w ,  D  —  ciecze  dylatancyjne ,  В  —  o ś r o d ki  B i n g h a m a ,  N  —  ciecze  n i e n e w t o n o w s k i e  podczas gdy  dla  cieczy  dylatancyjnych  odpowiednia lepkość  wzrasta  wraz ze wzrostem  gra­ dientu  ś cinania.  Dla  plastycznych  oś rodków  Binghama  proces  płynię cia  rozpoczyna  się   w momencie  kiedy  naprę ż enie  T  osią ga  pewną  wartość  krytyczną.  Zjawiska  polegają ce  na  zmniejszaniu  się  lub  wzroś cie  naprę ż enia  stycznego  w  zależ noś ci  od  okresu  czasu,  w  którym  realizowany jest  proces  ś cinania,  stanowią  podstawę  podziału  388  S.  ZAHORSK  cieczy  nienewtonowskich  na  tiksotropowe  i reopeksyjne  (por.  [3,  4]).  Wiedziano  od  dawna,  że  niektóre  farby  dają  się  łatwiej  mieszać  w miarę  upływu  czasu  mieszania oraz  że drobno­ ziarnisty piasek nasycony wodą  odkształca  się nieznacznie pod  wpływem  szybkich  i krótko­ trwałych  obcią ż eń,  w przeciwień stwie  do  obcią ż eń  długotrwałych.  Należy jednak  podkreś lić,  że  poję cia  tiksotropii  i  reopeksji  wydają  się  dość  sztuczne  i  w  gruncie  rzeczy  zbę dne  dla  wystarczają co  ogólnych  — zależ nych  od  historii  procesu —  równań  konstytutywnych  cieczy  prostych  (por.  [1]).  Wprowadzenie  tych  pojęć  do  opisu  zjawisk  makroskopowych  wynikało  raczej  z  niedoskonałoś ci  stosowanych  modeli,  co  nie  oznacza,  że  na  gruncie  opisu  mikroskopowego  oś rodków  wielofazowych  nie  posiadają  one  okreś lonego  znaczenia.  Innym  zjawiskiem,  istotnie odróż niają cym  ciecze nienewtonowskie od  klasycznych  cieczy  lepkich,  jest  wystę powanie  okreś lonych  naprę ż eń  normalnych,  podobnie  do  efektu  Poyn­ tinga  w  ciałach  stałych.  Z  rozważ enia  róż nicy  naprę ż eń  normalnych  w  kierunku  promie­ niowym  dla  ustalonego  przepływu  Couette'a  cieczy  newtonowskiej  wynika,  że  Ri  (2.5)  AT<">  =  Г <Г Г>(Л2)­Г <">(Л ,)  =  ­  l'  or[(o(r)fc/r  <  0,  Ri  gdzie Q jest gę stoś cią  cieczy,  zaś o>(r) — prę dkoś cią  ką tową  w odległoś ci  r od  osi  cylindrów.  Ponieważ  naciski  na  ś cianki  są  równe  odpowiednim  naprę ż eniom  wzię tym  ze  znakiem  przeciwnym,  nacisk  na  ś ciankę  zewnę trzną  — T(R2)  jest  wię kszy  od  nacisku  na  ś ciankę   wewnę trzną  —T(/?,).  Powierzchnia  swobodna  cieczy  przybiera  wówczas  charaktery­ rri  R y s .  3.  P o d n o s z e n i e  się  cieczy  n a  p o w i e r z c h n i  w e w n ę t r z n e go  w a l c a  w  p r z e p ł y w i e  C o u e t t e ' a  R y s .  4.  Z w i ę k s z a n ie  się ś r e d n i cy  s w o b o d n e j  s t r u g i  cieczy  w y p ł y w a j ą c ej  z  k a p i l a r y  styczny  kształt  paraboloidy  obrotowej.  Doś wiadczenia  wykazują  jednak,  że  dla  takich  cieczy  nienewtonowskich, jak  np.  roztwory  polimerów,  obserwuje  się  zjawisko  odwrotne,  tj.  wystę powanie  wię kszych  nacisków  na  ś ciance  wewnę trznej, oraz  że faktu  tego nie  moż na  wytłumaczyć  tylko  przez  właś ciwy  dobór  funkcji  lepkoś ci  »?(я ); potrzebne  są  inne  funkcje  zależ ne  od  bardziej  złoż onego  modelu  cieczy.  Czę sto  obserwowano  «wpełzanie»  farb  na  wewnę trzne  mieszadło  oraz znaczne  zwię ksze­ nie  ś rednicy  swobodnej  strugi  cieczy  wypływają cej  z  kapilary  (nazywane  w ję zyku  angiel­ skim  die  swell), lecz  nie  wią zano  tego  z  efektami  naprę ż eń  normalnych  (por.  rys.  3,  4).  Systematyczne  studia  tych  zjawisk  oraz  próby  ich  teoretycznego  wyjaś nienia  datują  się   od  czasu ostatniej wojny.  Zostały  one  zapoczą tkowane  w  W .  Brytanii  badaniami  GARNERA,  CIECZE  NIENEWTONOWSKIE  389  NISSANA,  WOODA,  WEISSENBERGA i innych  (por.  [9,  10,  11]).  Zwłaszcza  doś wiadczalne  i  teoretyczne  prace  WEISSENBERGA  i jego  szkoły  przedstawione  na  Mię dzynarodowym  Kongresie  Reologii  w roku  1948 (por.  [12]), zwróciły  powszechną  uwagę na efekt  naprę ż eń   normalnych  zwany  czę sto  w literaturze  efektem Weissenberga.  Wspomniane już  zjawisko  zwię kszenia  ś rednicy  strugi  cieczy  nazywane jest  czę sto  efektem  Barusa  [13]  lub  efektem  Merringtona  [14];  odgrywa  ono istotną  rolę  w procesie  formowania  włókien  sztucznych  (por.  [15]). Istnieją  liczne  próby  wyjaś nienia  wspomnianych zjawisk  poprzez wpływ  historii  przepływu,  wpływ  sprę ż ystych  własnoś ci  cieczy  itp.  (por. np.  [2, 3]);  próbę  teoretycznego  jakoś ciowego  opisu  w oparciu  o  ogólną  teorię  cieczy  prostych  COLEMANA i NOLLA  omó­ wimy  w jednym z nastę pnych  punktów.  Przy  rozważ aniu  momentów  ograniczają cych  stosowalność  klasycznej  teorii  Naviera­ Stokesa,  należy  zwrócić  uwagę  na zjawiska  relaksacji  naprę ż eń  i  nawrotu  sprę ż ystego  obserwowane  czę sto  w cieczach  nienewtonowskich.  Posłuż yły  one za podstawę  podziału  cieczy  nieklasycznych  na  ciecze  lepkie lub ciecze  niesprę ż yste  (inelastic)  z jednej  strony,  a  ciecze  lepkosprę ż yste  lub ciecze  sprę ż yste  z drugiej  strony  (por. [3]).  Należy jednak  pod­ kreś lić, że terminy te nie  są zawsze jednoznaczne i powodują  dużo nieporozumień.  Niektórzy  autorzy,  na  przykład,  wią żą  poję cie  sprę ż ystoś ci  cieczy  z efektami  naprę ż eń  normalnych,  inni  natomiast za decydują cy  moment  uważ ają  istnienie historii  deformacji  lub  przepływu.  Trzeba  również  pamię tać,  że niektóre  teorie  cieczy  sprę ż ystych,  bę dą ce  formalnym  prze­ niesieniem  sprę ż ystych  własnoś ci  ciał  stałych  na  ciecze,  w których  nie istnieje  okreś lona  konfiguracja  odniesienia — stan  naturalny  (por. p. 3), są  błę dne z teoretycznego  punktu  widzenia  (por. uwagi w monografii [1]).  Wię kszość  efektów  róż nią cych  istotnie  ciecze  nienewtonowskie  od  klasycznych  odkry­ wano  przede  wszystkim  w trakcie  badań  doś wiadczalnych.  Zasadniczą  przeszkodą na  drodze zbudowania wystarczają co  ogólnych  równań  konstytutywnych  był fakt,  że w  okreś­ lonych  typach  przepływów,  zwłaszcza  realizowanych  w róż nego  rodzaju  wiskozymetrach,  ujawniały  się tylko  niektóre  własnoś ci  cieczy.  N a przykład,  w  przepływach  ustalonych  rola  historii  deformacji  jest  istotnie  ograniczona,  zaś w ustalonym  przepływie  mię dzy  nieruchomymi  koncentrycznymi  walcami  nie moż na  rozróż nić  ogólnej  cieczy  prostej od  czysto lepkiej  cieczy  typu  Reinera­Rivlina  (por.  p. 5.4) itp.  W  cią gu  ostatnich kilkunastu lat włoż ono  dużo pracy w rozwój  róż nych  koncepcji  cieczy  nieklasycznych;  doprowadziła  ona  do teorii  nieś ciś liwych  cieczy  prostych  Colemana­ Nolla  (por.  [1,  2])  zapoczą tkowanej  fundamentalną  pracą  N O L L A  Z roku  1958  [16]J).  Zasadnicze  założ enia  tej  teorii,  niektóre  wyniki  teoretyczne  oraz  próby  ich  weryfikacji  doś wiadczalnej  bę dą  stanowić  treść  kilku  kolejnych  punktów  w pierwszej czę ś ci niniejszego  przeglą du.  3.  N i e ś c i ś l i we  ciecze  proste  Przechodząc  do krótkiego  omówienia  teorii  nieś ciś liwych  cieczy  prostych21  należy  zasta­ nowić  się  nad ogólną  definicją  cieczy.  Zgodnie  z  okreś leniem  OLDROYDA  [18]  i  LODGE'A  [3]  cieczą  nazywamy  oś rodek,  dla  którego  naprę ż enia  zawsze  osią gają  stan  równowagi odpo­ ')  Z n a c z n i e  mniej  r o z w i n i ę tą  t e o r i ę  ś c i ś l i w y ch  cieczy  p r o s t y c h  m o ż na  z n a l e ź ć  w p r a c y [17].  2 )  T e o r i a  C o l e m a n a ­ N o l l a  d o t y c z y  w gruncie  rzeczy  n i e ś c i ś l i w y ch  p ł y n ó w  p r o s t y c h .  Z u w a g i  n a  o g r a n i ­ czenie  n a ł o ż o ne  w tytule  niniejszego  p r z e g l ą du  p o z o s t a n i e m y  p r z y  p o l s k i m  t e r m i n i e :  c i e c z  p r o s t a .  390  S.  ZAHORSKI  wiadają cy  obcią ż eniu  izotropowemu lub zerowemu, o ile oś rodek pozostaje  w stałym  kształcie.  Pocią ga  to za sobą  stwierdzenie,  że ciecz w stanie  spoczynku  nie  moż e  przenosić  naprę ż eń   ś cinają cych.  W  założ eniu,  że x oznacza  położ enie  w przestrzeni  euklidesowej  punktu  materialnego X  w  aktualnym  czasie /, zaś С jest położ eniem  tego samego punktu  materialnego w  dowolnej  chwili  T(T <  t), ruch  moż na  zapisać  w postaci  (3.1)  C =  xr(x,  T),  ­ O O < T < ? ,  w  której  yr,  oznacza funkcję  wzglę dnej  deformacji.  Gradient  wzglę dnej  deformacji  (3.2)  F,(T) =  V x X ( ( x ,  T),  В Д=1,  opisuje  zmianę  lokalnej konfiguracji X mię dzy  czasem  т i Л Funkcję  tensorową   (3.3)  F(s) = F,(t­s)  dla  oo >  s > 0,  nazywamy  historią  wzglę dnego  gradientu  deformacji.  Jeś li  mamy  dane  pole  prę dkoś ci  v(x,  /), to biorąc  pod  uwagę,  że  .  I  (3.4)  v(x, t) =  —z  x . ( x ,  T)|  ,  at  | I = ,  moż na  okreś lić  funkcję  wzglę dnej  deformacji  z rozwią zania  równań:  (3.5)  Ę(T) =  V(Ę(T), r ) ,  C(0 = x ,  gdzie  kropką  oznaczono  róż niczkowanie  po czasie т.  Po  tych  wstę pnych  definicjach  wielkoś ci  kinematycznych  zapisujemy  równania  konsty­ tutywne  cieczy prostej  w postaci  nastę pują cej  (por.  [1,  2]):  oo  (3.6)  Ш +Pl  =  6  (F(5)),  det F(s) =  1,  oo  przy  czym p jest  ciś nieniem  hydrostatycznym,  zaś  £  oznacza  funkcjonał  konstytutywny,  s=0  którego  argumentem jest  cała  przeszła  historia  deformacji.  Równania  (3.6)  wyraż ają  fakt,  że  nieś ciś liwe  ciecze proste to  klasa  oś rodków,  dla których  tensor  naprę ż enia jest  okreś lony,  z dokładnoś cią  do ciś nienia hydrostatycznego, przez  historię  wzglę dnego gradientu deformacji,  oo  oraz że dopuszczalne  są jedynie przepływy  izochoryczne.  Oczywiś cie  funkcjonał  jest inny  dla  każ dego  przypadku  cieczy  prostej  specyfikując  w ten sposób  jej mechaniczne  zacho­ wanie  się1*.  W  szczególnym  przypadku  cieczy  newtonowskiej  mamy  oo  J  (3.7)  ь(F(*))  =  ­ r , 0 " ­ ( m + m T )  •  s=o  as  \s=o  Wystę pują cą  w równaniach  (3.6)  niejednoznaczność  funkcjonału  konstytutywnego  (wobec  nieokreś lonego  ciś nienia  p) usuwamy  przez  założ enie  (3.8)  t r B ( F ( j ) )  =  0,  p=­\tvT.  s = 0  J  ')  U o g ó l n i e n i e  r ó w n a ń  k o n s t y t u t y w n y c h  cieczy  p r o s t y c h  na  inne  niemechaniczne  efekty  jest  c a ł k o w i c i e  m o ż l i w e.  T e r m o d y n a m i k a o ś r o d k ów  p r o s t y c h  z o s t a ł a  z a p r o p o n o w a n a  prze z  C o l e m a n a  [19]  (por.  t a k ż e  f 1]).  CIECZE  NIENEWTONOWSKIE  391  Dalsze informacje  dotyczą ce  własnoś ci  funkcjonału  konstytutywnego wynikają  z  ż ą dania  spełnienia  znanej  ogólnej  zasady  mechaniki  kontinuum  nazywanej  zasadą materialnej  obiektywnoś ci  (por.  п р.  [1]).  W  myśl  tej  zasady  wszystkie  równania  konstytutywne  muszą   być  niezmiennicze  wzglę dem  zmian  układu  odniesienia w przestrzeni  euklidesowej ­  wyra­ ż onych  zależ noś cią  (por.  [16])  (3.9)  x*  =  c ( 0 + Q 0 ) [ x ­ q ] ,  w  której  q jest  niezależ ne  od  czasu,  zaś  Q(t)  oznacza  dowolny  zależ ny  od  czasu  tensor  ortogonalny, tj.  Q Q 7  =  1. Zasada materialnej obiektywnoś ci wyraża niezależ ność  własnoś ci  oś rodka  od  ruchu  «obserwatora»  w przestrzeni; co jest zresztą  w zgodzie z czysto  intuicyj­ nym  odczuciem.  Stosując  powyż szą  zasadę  do  równań  (3.6)  otrzymamy,  że  (por.  [2])  OO  CG  (3.10)  R(0)  b  (F(.))R(0) r  =  £  ( R ( , ) F ( 5 ) R ( 0 ) r ) ,  dla  każ dej  cią głej  funkcji  R(.s),  której  wartoś ci  są  tensorami  ortogonalnymi  i  dla  każ dej  historii  Ą(s).  Innymi słowy, warunkiem koniecznym i wystarczają cym  na  to,  ż eby  funkcjonał  definiował  ciecz  prostą  jest  spełnienie  zależ noś ci  (3.10).  Łatwo  zauważ yć,  że  wprowadzona  definicja  cieczy  prostej jest  zgodna  z  definicją  cieczy  przytoczoną  na  począ tku  niniejszego  punktu.  N a  podstawie  (3.10)  moż na  udowodnić   (por.  [2]),  że  zarówno  dla  cieczy  prostej  pozostają cej  cały  czas  w  spoczynku,  tj.  F(s)  =  =  l(s)  —  1,  jak  i  dla  poruszają cej  się  ruchem  sztywnym,  tj.  F(s)F(s) r  =  1,  naprę ż enie  jest  ciś nieniem  hydrostatycznym,  mianowicie  (З .П)  | ( 1 ( J ) )  =  0,  T=­pl.  Zasady  materialnej  obiektywnoś ci  nie  należy  mylić  z  zagadnieniem  niezmienniczoś ci  równań  konstytutywnych  wzglę dem  zmiany odpowiedniej konfiguracji  odniesienia zgodnie  z  wewnę trzną  symetrią  oś rodka.  Równanie  konstytutywne  dowolnego  oś rodka  prostego,  mianowicie  oo  (3.12)  T  =  (3  (F X (A)),  Ąx(s)  ^  F x ( / ­ s ) ,  oo >  s>  0,  s=0  gdzie  F x ( T ) jest  gradientem  deformacji  wzglę dem  dowolnej  konfiguracji  odniesienia  x  (nie  bę dą cej  konfiguracją  w  chwili  aktualnej),  muszą  być  niezmiennicze  wzglę dem  odpo­ wiedniej  grupy  izotropii  (j  (por.  [1]).  Przez  grupę  izotropii  (f  wzglę dem  konfiguracji  x  rozumie  się  zbiór  wszystkich  takich  unimodularnych  transformacji  H  e  °ll,  że  oo  oo  (3.13)  ©  (F K (A>)=  &  ( F x ( s ) H ) .  Jeś li  grupa  izotropii  oś rodka  dla  dowolnej  konfiguracji  odniesienia jest podgrupą  grupy  unimodularnej,  wówczas  mamy  proste  ciało  stałe;  jeś li  jest  równa  grupie  unimodularnej  otrzymujemy  nową  definicję  cieczy  prostej.  W  szczególnym  przypadku,  gdy  grupa  jest  grupą  ortogonalną  otrzymamy  izotropowe  proste  ciało  stałe.  Rozumowanie  powyż sze  pozwala  nie  tylko  uś ciś lić  w  sensie  matematycznym  definicję  cieczy  prostej  i  wykazać  jej  392  S.  ZAHORSKI  zgodność  z  (3.6),  ale  prowadzi  również  do  wniosku,  że  każ da  ciecz prosta jest  izotropowa,  tzn.,  że jej  własnoś ci  są jednakowe  we  wszystkich  kierunkach i dla  każ dego  kształtu1'.  Przy  rozważ aniach  ogólnych,  zwłaszcza  przepływów  wiskometrycznych  (por.  p.  4),  nie  są potrzebne ż adne dodatkowe ograniczenia ani  na  postać  funkcjonału  konstytutywnego  (3.6),  ani  też  na  historię  gradientu  ś cinania.  Aby  umoż liwić  jednak  róż ne  aproksymacje  oraz  zrozumieć  właś ciwie  rolę  cieczy  klasycznych  i  ich  najprostszych  uogólnień  na  tle  teorii  cieczy  prostych,  konieczne jest  wprowadzenie zasady  zanikają cej  pamię ci  (por.  [21]).  Zasada  ta  w ję zyku  matematycznym  wyraża  fakt,  że  daleka  przeszłość  historii  deformacji  ma  znacznie  mniejszy  wpływ  na aktualne  naprę ż enia,  niż  historia  ostatnia;  wymaga to  oo  nałoż enia  pewnych  ograniczeń  na  dziedzinę  funkcjonału  ,Só  i sam  funkcjonał  (por.  [1]).  W  przestrzeni wektorowej  historii  deformacji  (3.14)  G(s)  =  C(s)­1  = Ą(s)TF(s)­l,  \G(s)\  =  ( t r G r G ) " 2 ,  rozważ my  nastę pują cą  normę:  oo  (3.15)  ||G(*)i|*=  ( /  [AC0|G(s)|] 2 *) , / 2 ,  o  przy  czym  h(s)  jest  dodatnio  okreś loną  funkcją  wpływu  zdefiniowaną  w  przedziale  0 ^  s <  ,  znormalizowaną,  tj.  h(0) =  1, oraz dą ż ą cą  do  zera  tak,  że  lim.sr/f(.y)  =  0  mono­ s~>co  tonicznie  dla  duż ych  s. Przestrzeń  historii  deformacji  G(s)  z tak  okreś loną  normą  jest  przestrzenią  Hilberta,  tzn.  G(s)  e  4(.  Spełniona  jest  zasada  zanikają cej  pamię ci  w sensie  słabym,  jeś li  istnieje  funkcja  wpływu  oo  rzę du  r > 1/2  oraz  funkcjonał  konstytutywny  ,C> jest zdefiniowany  i cią gły  w otoczeniu o  przestrzeni 4i.  Spełniona jest  zasada  zanikają cej  pamię ci  w sensie mocnym, jeś li  istnieje  funkcja  wpływu  oo  rzę du  r > 1/2 +  w  oraz  funkcjonał  ф  jest  zdefiniowany  i  posiada  и ­krotną  pochodną   1=0  Frć cheta  w  otoczeniu  o  przestrzeni K.  Tak  okreś loną  zasadę  zanikają cej  pamię ci  wykorzystuje  się  przy  wyprowadzaniu  nie­ których  aproksymacji  przedyskutowanych  w p. 8.  4.  P r z e p ł y w y  wiskometryczne  Istnieje  szeroka  klasa  przepływów  zwanych  przepływami  wiskometrycznymi  (z uwagi  na  ich  znaczenie  doś wiadczalne  i  realizację  w  róż nego  typu  wiskozymetrach),  dla  której  teoria  cieczy  prostych  prowadzi  do  szczególnie  cennych  wyników.  Zagadnieniom  prze­ pływów  wiskometrycznych  poś wię cona  jest  obszerna  literatura  zebrana  w  znacznej  czę ś ci  w  specjalnej  monografii  COLEMANA,  MARKOVITZA  i NOLLA  [2]  zawierają cej  370  pozycji  ')  I s t n i e j ą  o ś r o d k i,  d l a  k t ó r y c h  g r u p y  i z o t r o p i i  nie  są  r ó w n e  g r u p i e  u n i m o d u l a r n e j  i nie  z a w i e r a j ą  w  sobie  g r u p y  o r t o g o n a l n e j .  P r z y k ł a d e m  s ł u ż ą  t z w .  proste  podciecze  {simple  subfluids),  k t ó r y c h  t e o r i a  z o s t a ł a  r o z ­ w i n i ę ta  p r z e z  W a n g a  [20].  CIECZE NIENEWTONOWSKIE  393  bibliograficznych.  Do niej  odsyłamy  czytelników  zainteresowanych  w głę bszym  poznaniu  tych  zagadnień  (por.  także [1]).  Rozważ my  najprostszy  przepływ  ś cinają cy,  dla którego  w kartezjań skim  układzie od­ niesienia  (rys.  5) współrzę dne  fizyczne prę dkoś ci  są  nastę pują ce:  (4.1)  » < * > = 0 ,  v  = xx,  z; = 0.  Całkując  równania  (3.5) otrzymamy  (4.2)  £(т) =  х ,  ф )=у +х х (г ­0,  И г ) z,  x i  — s­V  R y s .  5.  P r o s t y  p r z e p ł y w  ś c i n a j ą cy  a  zatem  historię  wzglę dnego  gradientu  deformacji  moż na  zapisać  w postaci  "0  0  0"  I  (4.3)  F(J)  =  1­sM,  [M]  x  0  0  0  0  0  gdzie M jest stałym tensorem.  Podstawiając  (4.3) do  (3.6)! i (3.10), w założ eniu, że R(s) = Q  i  Q jest  niezależ ne  od s, otrzymamy  (4.4)  T+pl  =  b(M),  Q b ( M ) Q r  =  b ( Q M Q T )  dla  wszystkich ortogonalnych Q.  Jeś li w dowolnej  chwili  czasu i dla dowolnego  punktu  materialnego  historia  wzglę dnego  gradientu  deformacji  przybiera  postać  (4.3)  w pewnej  ortogonalnej  bazie  g<'>,  moż na  bez  trudu  dowieś ć,  że macierz tensora  naprę ż enia  musi być nastę pują ca  (por.  np.  [2]):  ­J<11>  J<12>  o  (4.5)  [T]=  Г <12>  T<22>  0  [ o  0  Г <33>_  przy  czym  współrzę dne  macierzy zależą  wyłą cznie  od y..  Wprowadzając  nastę pują ce  funkcje  wiskometryczne  (4.6)  Г <12> =  т (х ),  Г <»>­Г <»>  =  о ^я ),  Г <2 2 >­Г <3 3 >  =  «y2(x),  łatwo  jest  stwierdzić,  że okreś lają  one całkowicie  własnoś ci  cieczy dla rozważ anego  typu  przepływu.  Funkcję  r(x) nazwano funkcją  naprę ż enia  ś cinają cego,  zaś funkcje  ах{к )  i a2(x)  funkcjami naprę ż eń  normalnych (por.  [1,  2]).  Moż na  w dalszym cią gu  dowieś ć,  że funkcje  wiskometryczne nie zależą  od wyboru bazy  g < f >  oraz,  że spełniają  zależ noś ci  (por.  [1,  2]).  (4.7)  (4.8)  т (—Я)  =  — т (я ),  в1(—я )  =  о1(я ),  а2(—я )  =  а2(я ),  т (0)  =  0 (̂0)  =  0  dla  * # 0 .  Zamiast  funkcji  r(x)  stosuje  się  czę sto  wspomnianą  już  funkcję  lepkoś ci  zdefiniowaną   nastę pują co:  (4.10)  ф )  =  ­  ф ),  rjo  =  7/(0)  =  П т ф )  =  т '(0).  Z  (4.9)  wynika,  że  nie  tylko  rj{x)  >  0,  ale  również  т '(0)  >  0;  moż na  zatem  wprowadzić   funkcję  odwrotną  л   (4.11)  * = A ( S ) ,  S=r(x),  nazywaną  funkcją  prę dkoś ci  ś cinania.  Dotychczasową  analizę  moż na  rozszerzyć  (por.  [2])  na  przypadki  zmiennej  macierzy  [M],  tj.  na  przypadki, w których  к i baza g<'>  zależą  od  czasu  t  i  położ enia  x  zajmowanego  przez  punkt  materialny  w  czasie  t.  Dopuszczalne  są  także  historie  wzglę dnego  gradientu  deformacji  róż nią ce  się  od  (4.3),  o  zależ ną  od  czasu  zmianę  układu  odniesienia.  Podamy  zatem  nastę pują cą  definicję  przepływu  wiskometrycznego  [2]:  Przepływ  nazywamy  przepływem  wiskometrycznym,  jeś li  historia  wzglę dnego gradientu  deformacji,  dla  każ dego  xi  t przybiera  postać   (4.12)  F(5)  =  R ( 5 ) ( 1 ­ J M ) ,  przy czym  macierz  tensora  M  w bazie  g<'>  ma  postać  (4.3)2,  zaś  R(J) jest  tensorem  ortogo­ nalnym  dla  każ dego  s  i  R(0)  =  1.  Waż ną  klasę  przepływów  wiskometrycznych  stanowią  tzw.  przepływy  krzywolinearne  (curvilineal); dla  których  w  dowolnym  ortogonalnym  układzie  współrzę dnych  (jc1,  х2,  x3)  pole  prę dkoś ci  wyraża  się  w  postaci  (4.13)  ©'  =  0,  v2  =  u(xl),  V>*=W(JĆ ).  Fizyczne  składowe  tensora  naprę ż enia  są  nastę pują ce:  T<12>  =vr(x),  Г <»>  =  /tr{tc),  (4.14)  Г <23>  =  /iva2(x),  j_ r <33>  =  а 1(и )­1л 2о2(х ),  7 ­ < 2 2 > _ г < з з>  =  (f­jf)a2(x),  gdzie  (4.15)  x  =  —(u'2e22+w' 2Ą y2,  v  =  ^—,  /л =  —  —  г   et  ey  x  x  e1  zaś  et  oznaczają  długoś ci  wektorów  naturalnej  bazy  e,­  układu  (x l,  x2,  x3).  Tak  zdefinio­ wana  klasa  przepływów  reprezentuje  ustalone  przepływy  wiskometryczne,  do  których  ')  C o l e m a n  [22]  w y k a z a ł ,  ż e  n i e r ó w n o ś ć  (4.9),  d o p u s z c z a j ą ca  t a k ż e  z n a k  r ó w n o ś c i,  w y n i k a  z  r o z w a ż ań   t e r m o d y n a m i c z n y c h .  CIECZE  NIENEWTONOWSKIE  395  zalicza  się  wię kszość  przepływów  spotykanych  w wiskozymetrach  oraz  niektóre  przepływy  0  znaczeniu  technicznym  i  przemysłowym.  Warto jeszcze podkreś lić,  że nie  każ dy  przepływ  ustalony jest przepływem  wiskometrycz­ nym,  w którym  własnoś ci  cieczy  łą cznie  z efektami  naprę ż eń  normalnych  opisane  są  przez  trzy  funkcje  materiałowe:  r(x)  (lub  »у (к )),  Oi(a), o2(x).  N a  przykład,  proste  rozcią ganie  strugi  cieczy,  opisują ce  w  przybliż eniu  czę ść  procesu  formowania  włókien  sztucznych,  nie jest  przepływem  wiskometrycznym  (por.  p.  7.2).  5.  S z c z e g ó l n e  przypadki  przepływów  wiskometrycznych  Z  najważ niejszych  ustalonych  przepływów  wiskometrycznych  należy  wymienić:  a)  plaski  przepływ  Poiseuille'a,  dla  którego  w  układzie  współrzę dnych  kartezjań skich  (5.1)  vx  =  0,  v"  =  v(x),  zr  =  0;  b) przepływy  helikoidalne,  dla  których  w  walcowym  układzie  współrzę dnych  (5.2)  •  wr  =  0,  v"  =  w(r),  vz  =  u(r),  1  do  których  zaliczamy  w  szczególnoś ci  przepływ  mię dzy  współosiowymi  cylindrami,  przepływ  Couette'a, przepływ  Poiseuille'a  i przepływ  mię dzy  nieruchomymi  współosiowymi  cylindrami;  c) przepływ  mię dzy  obracają cymi  się  płytą  i  stoż kiem,  dla  którego  w  kulistym  układzie  współrzę dnych  (5.3)  vr  =  0,  ve  =  0,  v*  = et>(6>);  d) przepływ  skrę cają cy  mię dzy  wirują cymi  płytami,  dla  którego  w  walcowym  układzie  współrzę dnych  (5.4)  vr  =  0,  v"  =  co(z),  vz  =  0.  W  dalszym  cią gu scharakteryzujemy  niektóre z nich zwracając  również uwagę na  doś wiad­ czalne  moż liwoś ci  wyznaczenia  odpowiednich  funkcji  wiskometrycznych  (por.  [2,  3]).  5.1.  P ł a s k i  przepływ  Poiseuille'a.  Na  podstawie  (5.1)  i  dynamicznych  równań  równowagi  (por.  [1])  (5.1.1)  divT+pb  =  oa,  b  =  —grady,  gdzie a jest przyspieszeniem, tp — potencjałem  sił masowych, otrzymamy  (5.1.2)  к  =  v'(x)  =  Ц ­xf+b),  ф ')  =  ­xf+b,  przy  czym  / ,  b  są  stałymi  całkowania,  a  funkcja  A(  )  została  zdefiniowana  przez  (4.11).  Uwzglę dnienie warunku przylegania na  ś ciankach,  tj.  v  =  0 dla x  =  ±d/2,   daje  nastę pują cy  profil  prę dkoś ci  oraz  wydatek  cieczy  na  jednostkę  czasu:  d/2  d/12  (5­1.3)  V(x)=  J  X(fOdC,  Q  =  T2­J  SHS)dS,  396  S.  ZAHORSKI  gdzie /  odgrywa  rolę  gradientu  ciś nienia  inicjują cego  przepływ.  Zależ ność  ostatnia  może  być  rozwią zana  wzglę dem  funkcji  A, mianowicie  (5.1.4)  ską d,  na podstawie  doś wiadczalnej  znajomoś ci  Q(j),  wylicza  się  funkcję  naprę ż enia  ś cina­ ją cego  г (я ) lub  funkcję  lepkoś ci rj(x).  Naprę ż enia  dane są zależ noś ciami  (4.6)  z tym, że  (5.1.5)  T<*>  =  ­xf,  Г <­«> =  KO,  gdzie h(l) jest  nieokreś loną,  zależ ną  wyłą cznie  od czasu, funkcją  ciś nienia.  5.2.  P r z e p ł y w  Couette'a.  Przepływ  tego  typu  posiada  duże  znaczenie  doś wiadczalne,  toteż   wielu  badaczy  konstruowało  specjalne  wiskozymetry  Couette'a  w celu  okreś lenia  nie tylko  funkcji  lepkoś ci,  ale również  naprę ż eń  normalnych  (por.  [2]).  log[Si(dtjn/cm})]  R y s .  6.  R ó ż n i ca  funkcji  n a p r ę ż eń  n o r m a l n y c h  w  s p s c j a l n y m  w i s k o z y m e t r z e  C o u e t t e ' a  d l a 5,4%  r o z t w o r u  p o l i i z o b u t y l e n u  w cetanic.  O z n a c z e n i a :  O —  0.500  c m ,  R2  =  1,270 c m ;  П —  =  0,500  c m ,  R2  =  0,743  c m ( w g  [23])  Rozważ enie  równowagi  dynamicznej  przepływu  prowadzi  do  nastę pują cej  zależ noś ci  mię dzy  róż nicą  prę dkoś ci  ką towych  i  momentem  skrę cają cym  na jednostkę  wysokoś ci:  л 2  .  s,  5 ,  =  ­.  M  S2 =  M  która  może  być  odwrócona  w celu  doś wiadczalnego  pomiaru  funkcji  /Ю (М ),  mianowicie  (5.2.2)  CIECZE  NIENEWTONOWSKIE  397  Gdy  róż nica  ś rednic  mię dzy  cylindrami  zewnę trznym  i  wewnę trznym  jest  mała,  korzysta  się  czę sto  z  zależ noś ci  (5.2.3)  AQ  =  R R R R '  ; . № ) +o  ( Л 2 ­ 7 ? , ) 2 ) .  W  celu  pomiaru  efektów  naprę ż eń  normalnych  wykorzystuje  się  róż nicę  naprę ż eń  nor­ malnych  w  kierunku  promieniowym  (5.2.4)  z , r < " .  ­  /  ] _ , ^ * .  gdzie  oznaczono  c>i(S)  — с Г |[Л (5)].  Dla  małej  róż nicy  ś rednic  otrzymamy  (5.2.5)  AT<">  =  [ ^ № ) ­ & i ( S . ) ­ e Q . f i a « f l +0  ( / ? 2 ­ Л , ) 2 ) .  Z  zależ noś ci  (5.2.4)  i  (5.2.5)  widać,  że  pomiar  AT  pozwala  wyznaczyć  odpowiednią   róż nicę  funkcji  wiskometrycznych  a2— ax.  Ponieważ  człon  inercjalny jest  ujemny,  warun­ kiem  koniecznym  do  tego,  ż eby  Л 7 х "  >  było  dodatnie  dla  wszystkich  M  w  otoczeniu  zera,  jest  o ­ 2 > o ­ ,  dla  wszystkich  x  w  otoczeniu  zera.  N a  rys.  6  pokazano  przykładowo  wyniki  uzyskane  przez  MARKOVITZA  [23]  dla  5,4%  roztworu  poliizobutylenu  w cetanie.  5.3.  P r z e p ł y w  miedzy  s t o ż k i em  i  płytą.  Róż ne  aparaty  skonstruowane  na  zasadzie  stoż ka  i  płyty  obok  swych  niewą tpliwych  zalet  (np.  łatwość  posługiwania  się,  mała  ilość  badanej  cieczy,  moż liwość  nałoż enia  ruchów  okresowych itp.)  posiadają  także liczne wady.  Wynikają   one  z  faktu,  że  pole  prę dkoś ci  (5.3)  spełnia  dynamiczne  równania  równowagi  w  sposób  przybliż ony,  jeś li  pominie  się  człony  inercjalne  oraz  przyjmie  małe  ką ty  a(a  <  4°)  mię dzy  płytą  i  stoż kiem  (por.  [2]).  Należy  również  pamię tać  o  zaburzeniach  w  pobliżu  krawę dzi  stoż ka,  prowadzą cych  w  efekcie  do  wystą pienia  tzw.  wtórnego  przepływu  (por.  p.  7.1)1'.  W  założ eniu  zwykle  czynionych  uproszczeń  uzyskuje  się  nastę pują cy  zwią zek  mię dzy  przyłoż onym  momentem  a  róż nicą  prę dkoś ci  ką towych:  2  AQ  (5.3.1)  M  =  ­ n R 3 r ( x ) ,  x  =  m\&)  X  ,  gdzie  R jest  promieniem  zewnę trznym  urzą dzenia.  Zależ ność  w  postaci  (5.3.2)  =  0 Г 1( и ) + ( Г 2 ( и )>  służy  zwykle  do  wyznaczenia  sumy  funkcji  wiskometrycznych  о̂  +  о ­г­  Rysunek  7  przed­ stawia  odpowiednie  jej  wartoś ci  otrzymane  przez  MARKOVITZA  i  BROWNA  [25]  dla  6,9%  roztworu  poliizobutylenu  w  cetanie.  Niektórzy  autorzy  (np.  [26])  zakładają c,  że  powierzchnia  r  =  R jest  powierzchnią  swo­ bodną  pozostają cą  w kontakcie  z  atmosferycznym  ciś nieniem  p0  oraz,  że  nie  istnieją  ż adne  ')  S z e r o k o  stosowany  w  p r a k t y c z n y c h  p o m i a r a c h  r e o g o n i o m c t r  Weissenberg a  [24]  jest  z b u d o w a n y  na  zasadzie  s t o ż ka  i  p ł y t y .  398  S.  ZAHORSKI  efekty  powierzchniowe,  korzystają  z  nastę pują cego  wyraż enia  na całkowitą  normalną   siłę  utrzymują cą  stoż ek i płytę na miejscu:  (5.3.3)  i V =  ­ « J Ą n , + j J ? * [ f f , ( * ) ­ e2 ( * ) ] ,  w  celu  obliczenia  odpowiedniej  róż nicy  funkcji  wiskometrycznych  ax — a2.  Postę powanie  takie, z uwagi na wspomniane już  efekty  brzegowe,  może  być  stosowane  w  sensie  bardzo  przybliż onym  (por.  [2]).  ­0,5  0  1,0  2,0  2,5  log[x(sek:1)]  R y s .  7. S u m a  f u n k c j i  n a p r ę ż eń  n o r m a l n y c h  w p r z e p ł y w i e  m i ę d zy  s t o ż k i em  i p ł y t ą  d l a  6,9%  r o z t w o r u  p o l i ­ i z o b u t y l e n u  w cetanie  (wg  [25])  5.4.  Inne  przepływ y  i  wyznaczanie  funkcji  naprę ż eń  normalnych.  Do  pomiarów  naprę ż eń  nor­ malnych uż ywa  się także  przepływu  skrę cają cego  mię dzy dwoma  obracają cymi  się tarczami,  który  zresztą  jako pierwszy posłuż ył  do  zademonstrowania tych  naprę ż eń  (por.  [9,  11,  12]).  Był  on także  wykorzystany  przy  konstrukcji  specjalnego  urzą dzenia  stosowanego  przez  GREENSMITHA i RIVLINA  [27]  we  wczesnych  badaniach  cieczy  nienewtonowskich.  Przepływ  skrę cają cy  bada  się,  podobnie jak przepływ  mię dzy  stoż kiem  i  płytą,  przy  pominię ciu  efektów  inercjalnych i zaburzeń  wywołanych  obecnoś cią  krawę dzi.  Umoż liwia  to  wyznaczenie  kombinacji  funkcji  naprę ż eń  normalnych  w postaci  \jx a2(x)+a[(x) lub  jej  całki,  którą  należy  uzupełnić  pomiarami  w  innych  typach  przepływów.  MARKOVITZ i BROWN  [23, 25, 28, 29]  przeprowadzili  badania  naprę ż eń  normalnych  dla  roztworów  poliizobutylenu  w cetanie  opierając  się  na trzech  typach  przepływów  wisko­ metrycznych.  Według  ich  programu  przepływ  Couette'a  posłuż ył  do  wyznaczenia  róż nicy  a2— <*\  [por.  (5.2.5),  rys.  6],  zaś  przepływ  mię dzy  stoż kiem i tarczą  do  wyznaczania  sumy  #2  [por.  (5.3.2),  rys.  7].  Mając  wyznaczone  funkcje  ax i  cr2  moż na  było  przewidzieć   rozkład  naprę ż eń  normalnych  w przepływie  skrę cają cym  i porównać  go z wynikami  ekspe­ rymentów;  porównanie  takie  wykazało  bardzo  dobrą  zgodność  wyników  doś wiadczalnych  z teorią.  Na  rys.  8 przytaczamy odpowiednie wykresy funkcji  naprę ż eń  normalnych i  funkcji  naprę ż enia  ś cinają cego  według  badań  MARKOVITZA i  BROWNA  (por.  [1]).  CIECZE  NIENEWTONOWSKIE  399  W  niektórych  starszych  teoriach  cieczy  nienewtonowskich  stwierdza  się  istnienie  pro­ porcjonalnoś ci  a{  =  ka2  mię dzy  odpowiednimi  funkcjami  naprę ż eń  normalnych  (por.  [1]).  W  teoriach  WEISSENBERGA,  LODGE'A  i  innych  (por.  [3])  zakłada  się nawet, że  к  =  0,  co  pocią ga  za  sobą  ax  =  0  lub  Г < 11>  =  Г < 3 3 > .  Nie  tylko  wyniki  dotychczas  przytoczonych  doś wiadczeń  przeczą  takim  założ eniom,  ale  również  przeczą  specjalne  doś wiadczenia  podję te  w celu  stwierdzenia istnienia i nieproporcjonalnoś ci  dwóch  róż nic naprę ż eń  normal­ nych  (np.  [30]).  Istnieje  zresztą  przepływ  wiskometryczny  pozwalają cy  stwierdzić  bez­ poś rednio  wartość  funkcji  o­j  ф  0.  Dla  przepływu  cieczy  mię dzy  nieruchomymi  koncen­ trycznymi  cylindrami  odpowiednia  róż nica  naprę ż eń  normalnych  w  kierunku  promienio­ wym  wyraża  się  nastę pują co  (por.  [2]):  (5.4.1)  AT<">  =  ­  J  у  4S(r))dr,  S(r)  =  j  ­  ­f,  я ,  gdzie  b jest  znaną  stałą,  zaś /  oznacza  gradient  ciś nienia  na  jednostkę  długoś ci  przewodu.  W  myśl najnowszych  poglą dów, proporcjonalność  funkcji  naprę ż eń  normalnych  może  mieć   miejsce  dla  bardzo  szczególnych  rodzajów  cieczy  i  w  pewnych  tylko  przedziałach  zmien­ noś ci  prę dkoś ci  ś cinania.  Regułą  jest  niezależ ność  ax  i  a2  z  tym,  że  funkcje  te  wyznaczone  dla  okreś lonych  przepływów  wiskometrycznych  są  słuszne  dla  innych  przepływów  wisko­ metrycznych.  6.  J a k o ś c i o we  w y j a ś n i e n ie  e f e k t ó w  n a p r ę ż eń  normalnych  W  p.  2 opisaliś my efekty  naprę ż eń  normalnych przy przepływie Couette'a i przy wypływie  swobodnej  strugi  cieczy  z  kapilary.  Zjawiska  te  mogą  być  wyjaś nione  na  gruncie  teorii  cieczy  prostych, w założ eniu,  że rozwią zania  teoretyczne słuszne  dla  nieskoń czonych  cylind­ 2  Mechanika teoretyczna  400  S.  ZAHORSKI  rów  lub rur opisują  w sposób  przybliż ony  to, co zachodzi  w rzeczywistych  przyrzą dach  laboratoryjnych  (por.  [2]).  Dla  przepływu  Couette'a  (rys. 3)  oznaczmy  przez  Л = p0+ T  nadwyż kę  ciś nienia  atmosferycznego  p0  nad  odpowiednim  naciskiem — r< zz>  cieczy  w  kierunku  osiowym.  Ponieważ z reguły  . 1  #  0, powierzchnia  swobodna  cieczy  nie  może  być  płaską.  Jeś li  odpo­ wiednia  pochodna w kierunku  promieniowym  8Л  ...  1  л  /  M  \  ,  /  M  \  M.AM  (6­1»  Sr  =  '  ^ ' { r Y •  r  \Ъ Р  I  *  I Ъ а *)  r   0­1  U­rr­ jest  ujemna, jak to ma miejsce  w przypadku  gdy  a{  =  a2  — 0, moż na  spodziewać  się, że  swobodna  powierzchnia  cieczy  bę dzie  się  podnosić  od  cylindra  wewnę trznego  do  zewnę trz­ nego.  Natomiast  warunek  (6.2)  4 r ­ > ° >  dr  który jest  spełniony  tylko  wtedy,  gdy  funkcje  naprę ż eń  normalnych  nie  są  toż samoś ciowo  równe  zeru,  daje  odwrotne  pochylenie  powierzchni  swobodnej,  powodując  jak  gdyby  «wpełzanie»  cieczy  na powierzchnię  cylindra  wewnę trznego.  Dla  przepływu  Poiseuille'a,  oznaczając  przez  Г = p04­­T  0,  otrzymamy  zwię kszenie  lub  zmniejszenie  ś rednicy  strugi  cieczy.  Moż na  zatem  oczekiwać,  że  zwię kszenie  ś rednicy  nastą pi  wtedy,  gdy  (6.4,  * ( £ ) ­ * ( £ ) > •  d l a  "  'l  ­ 7.  N i e k t ó r e  niewiskometryczne  przepływy  cieczy  prostych  7.1.  W t ó r n e  przepływy  w  rurach.  Dla  ustalonego  przepływu  cieczy  prostych  przez  rury,  których  przekroje  nie są  kołowo  symetryczne,  nie  jest,  w ogólnym  przypadku,  moż liwe  otrzymanie  prostoliniowych  linii  prą du  okreś lonych  nastę pują cym  polem  prę dkoś ci  (por.  [1]):  (7.1.1)  v =  w(p)k,  z)(p)  =  0 na konturze,  gdzie к jest jednostkowym  wektorem  w  kierunku  przepływu,  a p wektorem  charakteryzu­ ją cym  położ enie  punktu  materialnego na przekroju.  Aby przepływ  taki  był  moż liwy,  muszą   być  spełnione  zależ noś ci  (7.1.2)  div(j?(x)Vo)  =  ­ a ,  \vA\v\­~­  \v)+Vg  = 0,  file:///vA/v/-~- CIECZE  NIENEWTONOWSKIE  401  przy  czym  a jest  stałą  odpowiadają cą  gradientowi ciś nienia,  zaś g  pewną  funkcją  wektora  p.  Ponieważ  nie  wszystkie  rozwią zania  (7.1.2)!  spełniają  (7.1.2)2,  przepływy  prostoliniowe  przez  rury  o  przekroju  niekołowym  są  dynamicznie  moż liwe  tylko  dla  szczególnych  przy­ padków  cieczy  (por.  [31,  32]).  Dotyczy  to  w szczególnoś ci  liniowo  lepkich  cieczy  newtonow­ skich,  dla  których:  r)(x) — rj0  =  const,  ax  =  0;  cieczy  drugiego  stopnia  (por.  p.  9),  dla  których:  rj{x)  =  rj0  =  const,  с т,  =  х 2  •  const;  cieczy  Reinera­Rivlina  (por.  p.  8),  itp.  Nastę pnym  krokiem  w rozwinię ciu  teorii  przepływów  cieczy  prostych przez rury  o  dowol­ nym  przekroju  jest  rozważ enie  pola  prę dkoś ci  w postaci  (7.1.3)  v  =  w(p)k+u(p),  v =  0  na  konturze,  gdzie  u(p)  jest  dodatkowym  polem  prę dkoś ci  charakteryzują cym  tzw.  wtórne  przepływy  cieczy w  płaszczyź nie  przekroju  rury  (por.  [1]).  Z  punktu  widzenia  teorii,  zagadnienie  jest  znacznie  bardziej  złoż one  i  tylko  przypadki  niektórych  szczególnych  przekrojów  dały  się  rozwią zać  efektywnie.  R y s .  9.  Schemat  w t ó r n y c h  p r z e p ł y w ó w  w  e l i p t y c z n y m  p r z e k r o j u  r u r y  RIVLIN  i  GREEN  [32]  oraz  LANGLOIS i  RIVLIN  [33,  34]  rozwią zali,  na  przykład,  przepływ  w rurze  o  przekroju  eliptycznym,  rozwijając  pole  г >(р) w szereg  potę gowy  według  małych  wartoś ci  gradientu  ciś nienia  a.  Dla tego przekroju  przepływ  wtórny  charakteryzuje  się  na­ stę pują cymi  składowymi  prę dkoś ci:  u*  = ­  Я a U  (£ + F ­ ! ) (? +  £  ­')*+0(FL5)'  (7.1.4)  ­=+  ( I + Ł  ­  » ) ( Ł + Ł  ­  • )* * <«..  przy  czym  ó oznacza  stałą  zależ ną  od  własnoś ci  cieczy,  a  A  — stałą  zależ ną  od  wymiarów  elipsy,  której  półosie  wynoszą  odpowiednio  с  i  b.  A  zatem  przepływy  wtórne  wywołane  są  w  tym  przypadku  dopiero  efektami  czwartego  rzę du,  tj.  proporcjonalnymi  do  a4,  zaś   kierunek  przepływów  zależy  od  znaku  д . Na  rys.  9 przedstawiono schematycznie charakter  przepływu  wtórnego  w  przekroju  eliptycznym  dla  д  >  0;  dla  д  <  0  kierunek  zawirowań   bę dzie  przeciwny.  Inny  charakter  wtórnych  przepływów  obserwowano  dla  przypadku  stoż ka  i  płyty  oraz  przepływu  skrę cają cego  (por.  [2]).  RIVLIN  [35]  podkreś lił  analogię, jaka  może  mieć  miejsce  2*  402  S.  ZAHORSKI  mię dzy  laminarnymi  przepływami  cieczy  nienewtonowskich  i  przepływami  zaburzonymi  klasycznych  cieczy  Naviei a­Stokesa.  7.2.  U s t a l o n e  r o z c i ą g a n i e.  Przypadek  cieczy  prostej  w kształcie  długiego  walca  (swobodna  struga  cieczy),  poddanej  prostemu  ustalonemu  rozcią ganiu  w kierunku  osi,  został  rozwa­ ż ony  przez  COLEMANA i  NOLLA  [36], jako  szczególny  przypadek  tzw.  przepływów  ze  stałą   historią  deformacji.  Dla  prostego  ustalonego  rozcią gania  równania  na funkcję  wzglę dnej  deformacji  w  kar­ tezjań skim  układzie  odniesienia  są  nastę pują ce:  (7.2.1)  Ę  =  x e x p [ D ( T ­ / ) ] ,  [D]  0  0  ­  — d  2  0  0  0  0  1  Prowadzą  one  do  normalnych  napięć  na  powierzchniach  czołowych i powierzchni  tworzą cej  walca  w postaci  (7.2.2)  1  2  1  ed2\j  ( '  R.j­ 1  T  2  3  *  d42,  d42,  gdzie  R  i  L  oznaczają  promień  zewnę trzny  i  długość  walca,  zaś funkcje  materiałowe  \  zostały  zdefiniowane  nastę pują co:  (7.2.3)  l ^ h ^ d Ą ) ,  / = 1 , 2 .  Jak  widać z (7.2.2),  nawet przy  pominię ciu  efektów  inercyjnych,  własnoś ci  cieczy  w  roz­ waż anym  typie  przepływu  zależą  tylko  od dwóch  funkcji  materiałowych  niezależ nych od  poprzednio zdefiniowanych  funkcji  wiskometrycznych r, ay i a2  (por.  p.  4).  Moż na  również   stwierdzić  (por. [1]), że w doś wiadczeniach  z prostym  ustalonym  rozcią ganiem  nie daje  się  odróż nić  klasy  cieczy  prostych  od czysto  lepkich  cieczy  Reinera­Rivlina  (por. p.  8).  8.  K l a s y f i k a c j a  c i e c z y  nienewtonowskich  Pozostawiając  na uboczu  naszych  rozważ ań  ciecze nienewtonowskie nieproste  lub  ciecze  posiadają ce  wewnę trzną  strukturę  (ciecze anizotropowe,  ciekłe  kryształy,  podciecze, ciecze  wielobiegunowe  itp.),  moż na  pokazać,  że  wię kszość  stosowanych  w  literaturze  typów  równań  konstytutywnych  stanowi  szczególne  przypadki  nieś ciś liwych  cieczy  prostych.  Równania  takie  otrzymuje  się bą dź  przez  właś ciwie  potraktowany  proces  aproksymacji,  bą dź  też  przez  postulowanie  zwią zków  mię dzy  naprę ż eniem  i odpowiednimi  parametrami  CIECZE  NIENEWTONOWSKIE  103  kinematycznymi.  W  niniejszym  punkcie  omówimy  tylko  najważ niejsze  typy  równań  kon­ stytutywnych  cieczy  nieś ciś liwych,  dla  których  dalsze  szczegóły  moż na  znaleźć  w obszernej  monografii  TRUESDELLA  i  NOLLA  [1].  W  założ eniu,  że  tylko  bardzo  krótka  historia  gradientu  deformacji  jest  istotna,  moż na  zaż ą dać,  aby  tensor  naprę ż enia  zależ ał  od  n  kolejnych  pochodnych  czasowych  gradientu  deformacji.  Takie  rozumowanie  doprowadziło  RIVLINA  i  ERICKSENA  [37]  do  sformuło­ wania  ogólnych  równań  cieczy  nieś ciś liwej  typu  róż niczkowego  w postaci  (8.1)  T  =  ­ / 7 l + q ( A b A 2 , . . . , A B ) ,  gdzie  (8­2)  А„  =  ­ ^ ­ С , ( т)  C , ( T )  =  F , ( T ) R F , ( r ) ,  oznaczają  tensory  kinematyczne  Rivlina­Ericksena.  Zasługą  RIVLINA  i  SPENCERA  [38,  39]  było  wyprowadzenie  twierdzeń  o  reprezentacji  funkcji  tensorowej  q w zależ noś ci  od  tenso­ rów  A„ i ich  wspólnych  niezmienników  (por.  [1]).  Dla ustalonych przepływów wiskometrycz­ nych,  dla  których  A k  =  0  dla  к  >­  3  (por.  [1]),  otrzymamy  (8.3)  T  =  ­ p l + a , A 1  +  a 2 A 2 + a 3 A 2 + a 4 A 2 + a 5 ( A 1 A 2 + A 2 A , ) +  +  a r , ( A 2 A 2 + A 2 A 2 ) + a 7 ( A 1 A 2 + A 2 A , ) + a 8 ( A 2 A 2 + . A ^ A 2 ) ,  gdzie  a;  (/  =  1,  ...  8)  są  funkcjami  niezmienników  utworzonych  z  tensorów  A i i  A 2 .  Zwią­ zek  mię dzy  zdefiniowanymi  w  p.  4  funkcjami  wiskometrycznymi  i  współczynnikami  af  jest  nastę pują cy:  r)(x)  =  a1 +  2x 2 a 5 +4^ 4 a 7 ,  (8.4)  Ot(x)  =  и 2 ( 2 а 2 4 ­ а 3 + 4 * 2 а 4 + 4 * 2 а 6 + 8 к 4 а 8 ) ,  a2(x)  =  x 2a3.  W  szczególnym  przypadku,  gdy  równanie  konstytutywne  przedstawia  zwią zek  tensora  naprę ż enia  i  jego  p  kolejnych  pochodnych  czasowych  z  gradientem  deformacji  i  jego  r  kolejnymi  pochodnymi  po  czasie,  mamy  do  czynienia  z  cieczami typu  prę dkoś ciowego.  Równanie  cieczy  typu  prę dkoś ciowego  może  być  wyraż one  w postaci  (por.  [1])  (P)  (i)  (p­i)  (8­5)  T  =  j(T,  T,  ...,  T  ; A b . . . , A r ) ,  gdzie litera  p  u góry  symbolu  oznacza  odpowiednio zdefiniowany  (por.  [1,  40])  p­ty  stru­ mień  (uogólnioną  obiektywną  pochodną  po  czasie). W  klasie cieczy  typu  prę dkoś ciowego1)  mieszczą  się  ciecze  sprę ż ysto­lepkie  rozważ ane  przez  OLDROYDA  [18].  Ich  równania  kon­ stytutywne  w postaci  T  =  ­/>1+P,  (8.6)  л  I D  \  P + A ,  ^ P ­ M P D + D P )  =  2 ^ D + A 2 — D ­ ^ D ^ ,  ')  R ó w n a n i e  w  p o s t a c i  (8.5)  m o ż e  r ó w n i e  d o b r z e  d e f i n i o w a ć  c i e c z  j a k  i  c i a ł o  s t a ł e ,  w  z a l e ż n o ś ci  o d  w a r u n ­ k ó w  s y m e t r i i  i  w a r u n k ó w  p o c z ą t k o w y ch  ( p o r .  [I]).  404  S.  ZAHORSKI  zawierają  pięć  stałych  materiałowych  A l f  щ ,  ?.2, JU2  oraz  róż nią  się odpowiednio ko­ wariantną  (typ A) i kontrawariantną  (typ B) reprezentacją  tensora P Ł ) .  W  założ eniu,  że funkcjonał  konstytutywny  cieczy  prostej  może  być wyraż ony  w postaci  sumy  szeregu  całek  wielokrotnych,  GREEN  i  RIVLIN  [42] zbudowali  teorię  cieczy  typu  całkowego;  była  to  zresztą  najwcześ niejsza  teoria  ogólna  uwzglę dniają ca  złoż one  efekty  pamię ci  oś rodka.  Dla cieczy  typu  całkowego  rzę du  drugiego  otrzymuje się   oo  oo ОС   (8.7)  T =  ­pl+  f  C(s)G(s)ds+  f  j  {фи  s2)[txG(Sl)]G2(s2)  +  o  ó  ó  +j8(j!,  s2) G(si) G (s2)} dsi ds2,  przy  czym  G(s) zdefiniowano wzorem (3.14), zaś f, a i /3 noszą  charakter  funkcji  materiało­ wych.  Szczególnymi  przypadkami  cieczy  typu  całkowego  (rzę du  pierwszego)  są  ciecze  spełniają ce  równania  skoń czonej  liniowej lepkosprę ż ystoś ci  [por. (8.9)] oraz  infinitezymałnej  liniowej  lepkosprę ż ystoś ci  (równania  Boltzmanna).  Zasługą  COLEMANA i  NOLLA  [43] jest  pokazanie  racjonalnego  przejś cia  od koncepcji  cieczy  prostych  do  koncepcji klasycznych  cieczy  lepkosprę ż ystych.  Moż liwa  jest  oczywiś cie  teoria  cieczy  typu  mieszanego, tj.  całkowo­róż niczkowego  (por.  [1]), chociaż  nie znalazła  ona szerszego  praktycznego  zastosowania.  Opracowane  przez  COLEMANA  i  NOLLA  [21]  metody  asymptotycznej  aproksymacji  funkcjonałów  konstytutywnych, spełniają cych  zasadę  zanikają cej  pamię ci w sensie mocnym  (por.  p. 3), dały  począ tek  całemu  szeregowi  równań  konstytutywnych  opisują cych  róż ne  podklasy  cieczy  prostych.  Równania  cieczy prostej rzę du n (por. [1]) moż na  zapisać w postaci  nastę pują cej:  n  (8.8)  T =  —pl+  У  Q3,(G(s)),  tZTi  *=o  w  której  93,  oznacza  ograniczony  funkcjonał  wielomianowy  stopnia  t.  Dla n =  1, po  wykorzystaniu  twierdzenia  o  całkowej  reprezentacji  funkcjonału  liniowego,  otrzymamy  równania  oo  oo  (8.9)  T =  ­pl+  f  K(s)[G(s)]ds,  f  \K(s)\2h(s)2ds <  oo,  o  o  odpowiadają ce  skoń czonej  liniowej  lepkosprę ż ystoś ci.  Stosując  do  funkcji  historii  deformacji  G(s) proces  retardacji  (por.  [21]),  polegają cy  na  nastę pują cej  zmianie  skali  czasu:  (8.10)  G"(s) =  G(ou),  0 <  a <  1,  gdzie  czynnik  retardacji  a  charakteryzuje  «spowalnianie»  przepływu2',  uzyskuje  się rów­ nania  cieczy typu  róż niczkowego  stopnia  n  ( 8 . П )  T =  ­pl+  Ł  1Л ...А [АЙ ...  А д ]+о (а ")  O i . . . Л )  1  1 + S , + S 2 + S 3 + S 4 )  S,  =  »?oAi,  S 2  =    °)»  ( 8 ' 1 6 )  '  1  / 1  406  S.  ZAHORSKI  nie  mogą  właś ciwie  opisywać  zachowania  się  licznych  cieczy  nienewtonowskich,  dla  których  ax  Ф  a2.  Zależ noś ci  mię dzy  poszczególnymi  klasami  cieczy,  omówionymi  w  niniejszym  punkcie,  zostały  schematycznie  przedstawione  na  rys.  10.  Należy  pamię tać,  że  linie  łą czą ce  róż ne  typy  cieczy  ilustrują  formalnie  istnieją ce  zwią zki,  nie  precyzując  wcale  założ eń,  których  spełnienia  wymagają  odpowiednie  przejś cia.  Ciecze proste  Ciecze nieproste  (c.anizotropowe  ciekte  kryształy  podciecze  itp)  Ciecz  typu całko­ wego rzę du n  Ciecz  typu całkowo­ róż niczkowego  Ciecz  prosta  rzę du n  Skoń czona  liniowa  lepkosprę ż ystość   (rząd  1)  Infinitezymalna  linio­ wa  lepkosprę ż ystość   (Boltzinann)  Ciecz  stopnia 2  Ciecz newtonowska  (Naviei­Stokes)  Ciecz  typu róż nicz­ kowego rzę du  n  Ciecz  typu prę dko­ ś ciowego  z n­tym  strum.  Sprę ż ysto­lepkie  ciecze  Oldroyda typ  A  i  В   Liniowa ciecz  lepkosprę ż ysta  (Rivlin)  Ciecz  Reinera­Rivlma  R y s .  10.  K l a s y f i k a c j a  cieczy  n i e n e w t o n o w s k i c h  n a  tle  c i e c z y  p r o s t y c h  Trzeba  również  dodać,  że  przedstawiona  klasyfikacja  nie  wyczerpuje  wszystkich  moż li­ woś ci  opisu  cieczy  nienewtonowskich  i  zawiera  tylko  najbardziej  racjonalną  ich  czę ś ć.  Pominię to,  na  przykład,  tzw.  teorie  sprę ż ystych  cieczy,  o  których  była  mowa  w  p.  2.  Po­ minię to  również  ciecze  opisywane  prawem  potę gowym  (por.  np.  [4]),  którego  nie  moż na  uznać  za  słuszne  z  teoretycznego  punktu  widzenia  z  uwagi  na  nieobiektywność  sformuło­ CIECZE  NIENEWTONOWSKIE  407  wania,  niemoż ność  opisania  efektów  naprę ż eń  normalnych,  ograniczenie  do  zagadnień   jednowymiarowych  itp.  Jak już wspominaliś my  w punkcie  poprzednim,  równania  cieczy  drugiego  stopnia  (8.14)  były  szeroko  stosowane  do  rozwią zań  zagadnień  konkretnych.  Ich stosunkowa  prostota  (stałe  współczynniki  materiałowe)  pozwoliła  przeanalizować  pewne  przypadki  przepływów  nieustalonych  — niemoż liwe  do rozwią zania  dla bardziej  ogólnych  teorii  (por. [1]).  Dla  nieustalonego  prostego  przepływu  ś cinają cego  (por.  p. 4),  w założ eniu  zerowych sił  masowych,  otrzymamy  równanie  nastę pują ce:  (9.1)  Voexxv+aidxtxv  =  Qd,v,  róż nią ce  się od równania  parabolicznego  teorii klasycznej  mieszaną  pochodną  czą stkową   trzeciego  rzę du.  Jego  szczególne  rozwią zanie  dla fal harmonicznych w postaci  (9.2)  v =  Ve­axcos(mt—bx),  gdzie a i b są okreś lonymi  funkcjami  £ =  o^co/̂ o,  zostało  przeanalizowane  przez  TRUES­ DELLA  [45].  Wykazał  on  m.in.,  że dla ott >  0,  tłumienie  а jest  monotoniczną  funkcją  f  i  osią ga  granicę  ( g/ a i ) 1 / 2  przy |  ­> oo; natomiast  dla a{ <  0 l\  а najpierw  wzrasta z czę stoś­ cią,  osią gając  maksimum  równe — j?/8oti przy co =  Qrjo/S у З  я 2 , a nastę pnie  asymptotycznie  opada  do zera.  A zatem  dla oci <  0  przy  duż ych  czę stoś ciach  zaburzenia  propagują się   nieznacznie  zmniejszone.  W każ dym  przypadku  niezerowa  wartość  0 .  Podobnie  dla  drgań  skrę tnych  otrzymano  (9.4)  AT =  ­ 2 a , — [ l + 0 ( ^ ) ] c o s 2 ^ .  (9.5)  г'  408  S.  ZAHORSKI  spełniają ce  warunki  brzegowe:  v(0,  t)  =  v(d,  t)  — 0,  jest  nieograniczone,  gdy  n  >  adjn.  Każ de  ograniczone rozwią zanie  v{x,  t)  liniowego równania  (9.1) jest niestateczne  w tym sensie,  ż e  istnieje  nieograniczone  rozwią zanie  v*(x,  t)  z  tymi samymi warunkami  brzegowymi,  co  v{x,  t),  lecz posiadają ce  wartoś ci  począ tkowe  v*(x,  0)  róż nią ce  się  dowolnie  mało  od  wartoś ci  począ tkowych  v{x,  0).  Ponieważ  nieograniczone  rozwią zania  dla  cieczy  drugiego  stopnia  nie  mają  fizycznego  znaczenia,  należy  albo  założ yć,  że  w pewnym  momencie prze­ pływy  przestają  być  linearne  (por.  p.  7.1),  albo  też  wyłą czyć  je  z  klasy  «powolnych»  prze­ pływów  w  sensie retardacji  (por.  p.  8).  10.  Ciecze  z  k o n w e k c y j n ą  s p r ę ż y s t o ś c ią   Stwierdzają c,  że  takie  terminy,  jak  ciecz  niesprę ż ysta,  ciecz  lepkosprę ż ysta  itp.  nie  posiadają  zdefiniowanego  jednoznacznie  znaczenia  oraz  że  róż ne  teorie  bę dą ce  formal­ nym  przeniesieniem  własnoś ci  ciał  sprę ż ystych  na  ciecze są  niesłuszne  (por.  p.  2),  dochodzi­ my  do pytania czy koncepcji sprę ż ystoś ci  cieczy  moż na  nadać właś ciwe racjonalne znaczenie.  Znaczenie  takie  posiada  wprowadzona  przez  TRUESDELLA  [47]  definicja  cieczy  z kon­ wekcyjną  sprę ż ystoś cią ,  dla  której  konfiguracją  odniesienia  jest  konfiguracja  zajmowana  przez punkt  materialny  w czasie t—t*,  przy  czym  t  oznacza czas aktualny,  zaś  t* jest  stałą   cieczy  nazywaną  czasem charakterystycznym {response  time). Równania  konstytutywne  tego szczególnego  przypadku  nieś ciś liwej  cieczy prostej  moż na  zapisać w postaci  (por.  [48])  t  =  ­Pi+tfB,­t.(t))  =  ­pi+tfĄ­"(?))  Z  uwagi  na  pewne ogólne  zwią zki,  które  obowią zują  w oś rodkach  sprę ż ystych  (por.  [1]),  funkcje  wiskometryczne  cieczy  z  konwekcyjną  sprę ż ystoś cią  muszą  być  zwią zane  nastę­ pują cą  zależ noś cią   (10.2)  a2(x)­al(x)  =  t*x 2rj(x).  Stąd  widać,  że  dla  przepływów  wiskometrycznych  równania  takich  cieczy  mogą  nie  opisy­ wać  w  sposób  wystarczają co  ogólny  zachowania  się  cieczy  prostych.  Natomiast  dla  tej  klasy  przepływów  wyniki  przewidziane  przez  teorię  cieczy  drugiego  stopnia  są  identyczne  z  wynikami  dla  teorii  cieczy  z  konwekcyjną  sprę ż ystoś cią,  jeś li  t*  =  —2a1/r70 1)­ Jeś li  historia  wzglę dnego  gradientu  deformacji  wystę pują cego  w  (10.1) jest  analityczna,  równania  konstytutywne  nieś ciś liwej  cieczy  z  konwekcyjną  sprę ż ystoś cią  przyjmują  postać   alternatywną   (Ю .З)  t  =  ­pi+ią +щ  Ł — K + P  Ł  }  т \п \  п = 1  m=l  л =1  w  której  a  i  fi  są  funkcjami  nastę pują cych  niezmienników  tensorów  Rivlina­Ericksena:  (r*)*trAt,  (t*) k+,trAkKi.  LOCKETT  i  ZAHORSKI  [48]  pokazali,  że  nieś ciś liwa  ciecz  typu  róż niczkowego,  w  ustalonych  przepływach  wiskometrycznych,  nie  moż e  być  odróż niona  od  ')  Z g o d n i e  z  z a s a d ą  p r z y c z y n o w o ś ci  t*  >  0,  a  zate m  а ,  <  0 ;  s t a n o w i  t o ,  o b o k  w y n i k ó w  d o ś w i a d c z a l­ n y c h ,  jeszcze  j e d n ą  m o t y w a c j ę  z n a k u  s t a ł e j  а ,.  CIECZE NIENEWTONOWSKIE  09  cieczy z  uogólnioną postacią  konwekcyjnej sprę ż ystoś ci.  To samo odnosi się do  nieś ciś liwych  cieczy trzeciego  stopnia w  dowolnych  przepływach  i  cieczy czwartego  stopnia w dwuwy­ miarowych  przepływach,  jeś li  tylko  odpowiednie  historie  deformacji  są  analityczne.  Uogólnienie  równania  (10.1) na ciecze proste moż na  otrzymać  wprowadzając  całe widmo  charakterystycznych  czasów  tf  (i =  1,  л)  i  przechodząc  do  zależ noś ci  funkcjonalnej  dla  n  •­>  oo.  11.  S t a t e c z n o ś ć  przepływów  ś c i n a j ą c y ch  Zagadnienie  statecznoś ci  przepływów  cieczy  nienewtonowskich  posiada  znaczenie  nie  tylko  teoretyczne,  ale  i  praktyczne,  zwłaszcza  w  technologii  polimerów,  masy  papier­ niczej  itp. Towarzyszą ce  takim przepływom  anomalie  (przepływy  wtórne,  zjawisko  Tomsa  w  przepływie  zaburzonym,  efektywny  poś lizg  na  ś ciankach,  itp.)  mogą  mieć  zwią zek  z  utratą  statecznoś ci  (np.  [49]),  chociaż  nie  istnieje  jednolity  poglą d,  czy  anomalie  takie  dadzą  się wyjaś nić  na  gruncie  teorii  kontynualnych,  czy  też  rozważ ań  czysto  struktural­ nych.  N a  przykład,  zjawisko  Tomsa  (por.  [50]) —  wyraź ną  redukcję  oporów  przepływu  nawet  dla  bardzo  rozcień czonych  roztworów  polimerów  w  porównaniu  z  przepływem  czystego  rozpuszczalnika — niektórzy  autorzy  wią żą  z  takimi  czy  innymi  własnoś ciami  sprę ż ystymi  cieczy  (por.  np.  [51]),  inni  doszukują  się  głównych  przyczyn  w  zjawisku  poś­ lizgu  w warstwie przyś ciennej  tworzą cej  się  na  skutek  odpowiedniej  orientacji  struktury  (por.  np.  [52]).  Ogólną  teorię  niestatecznoś ci  wywołanej  falami  ś cinania  w  ustalonych  przepływach  cieczy  prostych  przedstawili  niedawno  COLEMAN  i  GURT IN  [53].  Stwierdzili  oni  m.in.,  że  w  obszarach  poddanych  ś cinaniu  amplitudy  fal  przyspieszenia  mogą  w  sprzyjają cych  warunkach  dą ż yć  do  nieskoń czonoś ci  w  skoń czonym  przedziale  czasu.  Im  wię ksza  jest  prę dkość  ś cinania,  tym  mniejsza jest  krytyczna amplituda,  której  odwrotność  zależy  pro­ porcjonalnie  od  chwilowego  modułu  drugiego  rzę du  zdefiniowanego  przez  drugą  pochodną   funkcjonalną  od  funkcjonału  konstytutywnego  (por.  p.  3).  Krótki  przegląd  zagadnień  statecznoś ci  dla płaskich  ustalonych  przepływów  ś cinają cych  z  okreś lonymi  warunkami  brzegowymi zamieszczono  w  pracach  [49,  54];  przedstawimy  obecnie  tylko  niektóre  wyniki.  Wię kszość  rozwią zanych  przypadków  dotyczy  dwuwymiarowych  zaburzeń  nałoż onych  na płaski  przepływ podstawowy  (por.  np.  [55, 56, 57, 58]), co wobec nieistnienia odpowied­ nika  twierdzenia  Squire'a  dla  cieczy  nienewtonowskich  ogranicza  ich znaczenie.  Okazuje  się  bowiem, że  obszar  statecznoś ci  dla  zaburzeń  trójwymiarowych  może  nie  zawierać  się   w  analogicznym obszarze  dla  zaburzeń  dwuwymiarowych (por.  [59, 60]).  W  zagadnieniach  płaskich  przepływów  cieczy  ze  swobodną  powierzchnią  rozróż nia  się   dwa  rodzaje  fal  zaburzenia:  raczej  krótkie fale  ś cinania  o  duż ej  czę stoś ci  i  długie fale po­ wierzchniowe propagują ce  się stosunkowo  wolno (por.  [61]). Dla cieczy  typu  róż niczkowego  drugiego  lub wyż szego  stopnia,  rozważ enie  fal ś cinania prowadzi zawsze do  niestatecznoś ci  przepływu  lub fizycznie  niedopuszczalnych wniosków  (por.  [57, 62]), co jest  konsekwencją   przybliż onego  charakteru  równań  konstytutywnych  (por.  p.  8). Uniknąć  tego moż na  przez  właś ciwie  uwzglę dnioną  pamięć  oś rodka.  410  S.  ZAHORSKI  Rozwią zania  zagadnień  statecznoś ci  dla  płaskich  przepływów  Poiseuille'a  (np.  [55,  58])  oraz  dla  warstw  cieczy  spływają cych  po  nachylonych płaszczyznach  (np.  [56,  57])  wykazują   raczej  destabilizują cy  charakter  parametrów  odpowiedzialnych  za  sprę ż yste  lub  lepko­ sprę ż yste  własnoś ci  cieczy  drugiego  stopnia,  cieczy  sprę ż ysto­lepkich  typu  Oldroyda  itp.  (por.  rys.  11,  12).  Liczba Reynoldsa  R  R y s .  11.  K r z y w a  neutralnej  s t a t e c z n o ś ci  d l a  p ł a s k i e g o  p r z e p ł y w u  P o i s e u i l l e ' a .  5 —  o b s z a r  s t a t e c z n o ś c i,  N  —  o b s z a r  n i e s t a t e c z n o ś ci  Rozważ ania  przeprowadzone  przez  ZAHORSKIEGO  [49]  nad  nieś ciś liwą  cieczą  z  kon­ wekcyjną  sprę ż ystoś cią  stopnia  trzeciego  (por.  p.  10),  spływają cą  po  płaszczyź nie  nachylo­ nej  pod  ką tem  &  do  poziomu,  doprowadziły  do  nastę pują cej  krytycznej  liczby  Reynoldsa  dla  zaburzeń  powierzchniowych:  (11.1)  /Wctgtf  ( t ­ 4  ­­  ­—— M­ 105  1 2 8  Л ,2  45  ­Q  +  l i  Т У   M­ 417  80  M  gdzie  parametr  Q  >  0  reprezentuje  sprę ż yste  własnoś ci  cieczy  (Q  jest  proporcjonalny  do  stałej  ot]  dla  cieczy  drugiego  stopnia),  zaś  mały  parametr  M  okreś la  w przybliż eniu  zmianę   Rkr  Liczba  Reynoldsa  R  R y s .  12.  K r z y w a  neutralnej  s t a t e c z n o ś ci  fal  p o w i e r z c h n i o w y c h  d l a  p ł a s k i e g o  p r z e p ł y w u  p o  n a c h y l o n e j  p ł a s z c z y ź n i e.  S  —  o b s z a r  s t a t e c z n o ś c i,  N—obszpr  n i e s t a t e c z n o ś c i,  Rkr  —  p u n k t  b i f u r k a c j i  lepkoś ci  w  zależ noś ci  od  prę dkoś ci  ś cinania.  Dla  M  >  0,  moż na  spodziewać  się  efektów  stabilizują cych,  zwłaszcza  dla  silnie  spłaszczonych  profili  prę dkoś ci  i  wię kszych  gruboś ci  warstwy.  Zagadnienia utraty  statecznoś ci  znacznie się komplikują  dla dwuwarstwowych przepływów  po  nachylonej płaszczyź nie,  wykazując  róż norodny  wpływ  parametrów  charakteryzują cych  CIECZE  NIENEWTONOWSKIE  411  rozwarstwienie  gę stoś ci  i  lepkoś ci  (por.  [63,  64]).  W  pracy  [54],  w oparciu  o  pewne wyniki  K A O  [65],  wykazano,  m.in.,  że  dla  fal  powierzchniowych  w  dwuwarstwowym  przepływie  cieczy  z  konwekcyjną  sprę ż ystoś cią  stopnia  drugiego,  krytyczna  liczba  Reynoldsa  wy­ raża  się  nastę pują co:  (П ­2)  /?lkr/ctg#  =  m[F(d,m)+Qlr*]­\  gdzie  Fjest  pewną  znaną  funkcją  parametrów  д  i  m  okreś lają cych  odpowiednio  stosunek  gruboś ci  i  lepkoś ci  warstwy  dolnej  do  górnej,  a  Qx  charakteryzuje  wpływ  własnoś ci  sprę ż y­ stych. Stabilizują cy  lub  destabilizują cy  (w  porównaniu  z  warstwą  jednorodną)  wpływ  tych  własnoś ci  zależy  istotnie od  wielkoś ci  т*  definiują cej  stosunek  czasów  charakterystycznych  (por.  p.  10)  w  cieczy  dolnej  i  górnej.  Pomimo  dość  złoż onego  obrazu  zjawiska,  moż na  spodziewać  się efektu  stabilizują cego,  gdy  r*  <  0,  tj.  dla  bardziej  sprę ż ystej  warstwy  górnej.  Odpowiadałoby  to  z  grubsza  rzecz  biorąc  roli  jaką  odgrywają  zanieczyszczenia  powierzchniowe  (por.  [66])  i  rozwarstwienie  cieczy  obserwowane  przy  przepływach  roz­ tworów  i  stopów  polimerów  oraz  bardzo  drobnych  zawiesin  (por.  [67,  68]).  L i t e r a t u r a  cytowana  w  t e k ś c ie  1.  C . TRUESDELL,  W .  N O L L ,  The  Non­Linear  Field  Theories  of  Mechanics,  Handbuch  der  Physik,  v o l .  I I I / 3  B e r l i n ­ H e i d e l b e r g ­ N e w  Y o r k  1965.  2.  B .  D .  COLEMAN,  H .  MARKOVITZ,  W .  NOLL,  Viscometric  Flows  of  Non­Newtonian  Fluids.  Theory  and  Experiment,  B e r l i n ­ H e i d e l b e r g ­ N e w  Y o r k  1966.  3.  A .  S.  LODGE,  Elastic  Liquids,  L o n d o n ­ N e w  Y o r k  1%4.  4 .  W .  L .  WILKINSON,  Non­Newtonian  Fluids,  L o n d o n ­ O x f o r d ­ N e w  Y o r k ­ P a r i s  1960.  5.  Rheology,  Theory  and  Applications,  v o l .  1  i  2.  P o d  r e d .  F .  R .  EIRICHA,  N e w  Y o r k  1956  i  1958.  6.  M .  REINER,  Rheology,  Handbuch  der  Physik,  v o l .  V I ,  B e r l i n ­ G o t t i n g e n ­ H e i d e l b e r g  1958.  7.  JOHN  D .  FERRY,  Lepkosprę ż ystoś ć  polimerów,  W a r s z a w a  1965.  8.  W .  NOWACKI,  Teoria  pełzania,  W a r s z a w a  1963.  9.  F .  H .  GARNER,  A .  H .  NISSAN,  Rheological  properties  of  high­viscosity  solutions  of  long  molecules,  N a t u r e ,  158  (1946)  6 3 4 ­ 6 3 5 .  10.  K .  WEISSENBERG,  A  continuum  theory  of  rheological  phenomena,  N a t u r e ,  159  (1947),  3 1 0 ­ 3 1 1 .  11.  G .  F .  WOOD,  A .  H .  NISSAN,  F .  H .  GARNER,  Viscosity  of  soap­in­hydrocarbon  systems,  J .  Inst.  P e t r o ­ l e u m ,  3 3  (1947),  7 1 ­ 1 0 2 .  12.  K .  WEISSENBERG,  Abnormal  substances  and  abnormal  phenomena  of  flow,  P r o c .  Int.  C o n g r .  R h e o l . ,  ( 1 9 4 8 ) ;  I,  1949,  2 9 ­ 4 6 .  1 3 .  C .  BARUS,  Isothermals,  isopiestics  and  isometrics  relative  to  viscosity,  A m e r .  J .  S c i . ,  45  (1893),  8 7 ­ 9 6 .  14.  A .  C .  MERRINGTON,  Measurements  of  anomalous  viscosity  by  the  capillary  tube  method,  N a t u r e ,  152  (1943),  2 1 4 ­ 2 1 5 .  15.  Man­Made  Fibers.  Science  a n d  T e c h n o l o g y ,  v o l .  1.  P o d  r e d .  H .  F .  MARKA,  G .  M .  ATLASA  i  E .  CERNII,  N e w ­ Y o r k ­ L o n d o n ­ S y d n e y  1967.  16.  W .  N O L L ,  A  mathematical  theory  of  the  mechanical  behavior  of  continuous  media,  A r c h .  R a t i o n a l  M e c h .  A n a l . ,  2  (1958),  1 9 7 ­ 2 2 6 .  17.  B .  D .  COLEMAN,  W .  N O L L ,  Simple  fluids  with  fading  memory,  P r o c .  Int.  S y m p .  S e c o n d ­ o r d e r  Effects,  H a i f a  (1962),  N e w  Y o r k  1964,  5 3 0 ­ 5 5 2 .  18.  J .  G .  OLDROYD,  On  the  formulation  of  rheological  equations  of  state,  P r o c .  R o y .  S o c ,  A 2 0 0  (1950),  5 2 3 ­ 5 4 1 .  19.  B .  D .  COLEMAN,  Thermodynamics  of  materials  with  memory,  A r c h .  R a t i o n a l  M e c h .  A n a l . ,  17  (1964),  1 ­ 4 6 .  412  S.  ZAHORSKI  20.  С .  С .  WANG,  A  general  theory  of  subfluids,  A r c h .  R a t i o n a l  M e c h .  A n a l . ,  20  (1965),  1­40.  2 1 .  B . D .  COLEMAN,  W .  NOLI.,  An  approximation  theorem  for  Junctionals,  with  applications  in  continuum  mechanics,  A r c h .  R a t i o n a l  i M e c h .  A n a l . ,  6  (1960),  3 5 5 ­ 3 7 0 .  2 2 .  B . D .  COLEMAN,  Kinematical  concepts  with  applications  in  the  mechanics  and  thermodynamics  of  incom­ pressible  viscoelastic  fluids.  A r c h .  R a t i o n a l  M e c h .  A n a l . ,  9  (1962),  2 7 3 ­ 3 0 0 .  23.  H .  MARKOVITZ,  Normal  stress functions  from  Couette  flow  measurements,  J .  P o l y m e r  S c i . ,  B 3 (1965),  3 ­ 5 .  24.  K . WEISSENBERG,  Specification  of  rheological  phenomena  by  means  of  a  rheogoniometer,  P r o c .  Int.  C o n g r .  R h e o l . ,  (1948),  II,  1949,  114­118.  25.  H .  MARKOVITZ,  D .  R .  BROWN,  Normal  stress  measurements  on  a  polyisobutylene­cetane  solutions  in  parallel  plate  and  cone  plate  instruments,  P r o c .  Int.  S y m p .  S e c o n d ­ o r d e r  Effects,  H a i f a  (1962),  N e w  Y o r k  1964,  585­602.  26.  A .  JOBLING,  J . E .  ROBERTS,  An  investigation,  with  the  Weissenberg  rheogoniometer,  of  the  stress  distri­ bution  in  flowing  polyisobutylene  solutions  at  various  concentrations  and  molecular  weights,  J . P o l y m e r  S c i . ,  36  (1959),  4 3 3 ­ 4 4 1 .  27.  H . W .  GREENSMITH,  R .  S.  RIVLIN,  Measurements  of  the  normal  stress  effect  in  solutions  of  polyisobuty­ lene,  J .  A m e r .  C h e m .  S o c ,  73  (1951),  1901­1904.  28.  H .  MARKOVITZ,  Normal  stress  measurements  on  polymer  solutions,  P r o c .  Int.  C o n g r .  R h e o l . ,  1  (1963),  N e w  Y o r k  1965,  189­212.  29.  H .  MARKOVITZ,  The  normal  stress  effect  in  steady  torsional  flow,  predicted  and  experimental  values,  P h y s .  F l u i d s ,  8  (1965),  200.  30.  J . W .  HAYES,  R . I.  TANNER,  Measurements  of  the  second  normal  stress  difference  in  polymer  solutions.  P r o c .  Int.  C o n g r .  R h e o l . ,  3,  (1963),  N e w  Y o r k  1965,  389­399.  31.  J . E .  ERICKSEN,  Overdetermination  of  the  speed  in  rectilinear  motion  of  non­Newtonian  fluids,  Q u a r t .  A p p l .  M a t h . ,  14  (1956)  3 1 8 ­ 3 2 1 .  32.  A . E . G R E E N ,  R .  S.  RIVLIN,  Steady  flow  of  non­Newtonian  fluids  through  tubes,  Q u a r t .  A p p l .  M a t h . ,  14  (1956),  2 9 9 ­ 3 0 8 .  33.  W . E .  LANGLOIS,  R .  S.  RIVLIN,  Slow  steady­state  flow  of  viscoelastic  fluids  through  non­circular  tubes,  R e n d .  M a t . ,  22  (1963),  164­185.  34.  R .  S.  RIVLIN,  Second  and  higher  order  theories  for  the  flow  of  a  viscoelastic  fluid  in  a  non­circular  pipes.  P r o c .  Int.  S y m p .  S e c o n d ­ o r d e r  Effects,  H a i f a  (1962),  N e w  Y o r k  1964,  668­677.  35.  R .  S.  RIVLIN,  77/e relation  between  the flow  of  non­Newtonian  fluids  and  turbulent  Newtonian  fluids,  Q u a r t .  A p p l .  M a t h . ,  15  (1957),  2 1 2 ­ 2 1 5 ,  36.  B . D .  COLEMAN,  W .  N O L L ,  Steady  extension  of  incompressible  simple  fluids,  P h y s .  F l u i d s ,  5  (1962),  8 4 0 ­ 8 4 3 .  37.  R .  S.  RIVLIN,  J .  E .  ERICKSEN,  Stress­deformation  relations  for  isotropic  materials,  J .  R a t i o n a l  M e c h .  A n a l . ,  4  (1955),  3 2 3 ­ 4 2 5 .  38.  A . J .  M .  SPENCER,  R .  S.  RIVLIN,  The  theory  of  matrix  polynomials  and  application  to  the  mechanics  of  isotropic  continua,  A r c h .  R a t i o n a l  M e c h .  A n a l . ,  2  (1959),  3 0 9 ­ 3 3 6 .  39.  A . J .  M .  SPENCER,  R .  S.  RIVLIN,  Finite  integrity  bases for  five  or fewer  symmetric  3x3  matrices,  A r c h .  R a t i o n a l  M e c h .  A n a l . ,  2  (1959),  4 3 5 ­ 4 4 6 .  40.  Z . MOSSAKOWSKA,  Z . WESOŁOWSKI, S.  ZAHORSKI, Niezmienniczoś ć  w mechanice  kontinuum  materialnego,  M e t o d y  G e o m e t r y c z n e  w  F i z y c e  i  T e c h n i c e ,  W a r s z a w a  1968,  2 4 1 ­ 2 6 1 .  4 1 .  K . WALTERS,  The  solution  offlow  problems  in  the  case  of  materials  with memory,  I, J .  M e c a n i q u e , 1 (1962),  469.  4 2 .  A .  E .  GREEN,  R .  S.  RIVLIN,  The  mechanics  of  non­linear  materials  with  memory,  A r c h .  R a t i o n a l .  M e c h .  A n a l . ,  1  (1957),  1­21.  4 3 .  B . D .  COLEMAN,  W .  N O L L ,  Foundations  of  linear  viscoelasticity,  R e v .  M o d e r n  P h y s . , 33  (1961),  239­249.  44.  R .  S.  RIVLIN,  Viscoelastic  fluids,  B r o w n  U n i v e r s i t y  R e p o r t ,  D i v . A p p l .  M a t h . ,  1963.  4 5 .  C .  TRUESDELL,  77ie  natural  time  of  a  visco­elastic  fluid:  its  significance  and  measurement,  P h y s . . F l u i d s ,  7  (1964),  1134­1142.  46.  B . D .  COLEMAN,  R .  J .  DUFFIN,  V .  J .  MIZEL,  Instability,  uniqueness,  and  non­existence  theorems  for  the  equation  u,  =  u x x  — u x t x  on  a  strip,  A r c h .  R a t i o n a l  M e c h .  A n a l . ,  19  (1965),  100­116.  CIECZE  NIENEWTONOWSKIE  413  47.  С .  TRUESDELL, Fluids  of  the  second  grade  regarded  as fluids  of  convected  elasticity,  P h y s .  F l u i d s ,  8  (1965),  1936­1938.  48.  F .  J .  LOCKETT,  S.  ZAHORSKI,  On  fluids  with  convected  elasticity.  T h e  N a t i o n a l  P h y s i c a l  L a b o r a t o r y  R e p o r t ,  M a .  71,  A p r i l  1968.  49.  S.  ZAHORSKI,  Instability  depending  on  elastic  properties  of  fluids  in  plane  steady  shearing  flows,  A r c h .  M e c h .  Stos.,  21  (1969).  50.  J .  L .  LUMLEY,  The  Toms phenomenon:  anomalous  effects  in  turbulent  flow  of  dilute  solutions  of  high  mole­ cular  weight  linear  polymers,  A p p l .  M e c h .  R e v . , 2 0  (1967),  1139­1149.  51.  Л . B .  METZNER,  M . G .  PARK,  Turbulent  flow  characteristics  of  viscoelastic  fluids,  J .  F l u i d  M e c h . ,  2 0  (1964) ,  2 9 1 ­ 3 0 3 .  52.  P .  S.  VIRK,  E . W .  MERRIL,  H .  S.  MICKLEY,  K . A .  SMITH,  E . L .  MOLLO­CHRISTENSEN,  The  Toms  pheno­ menon:  turbulent  flow  of  dilute  polymer  solutions,  J .  F l u i d  M e c h . ,  3 0  (1967),  305,  328.  53.  В . D .  COLEMAN,  M . E . GURTIN,  On  the  stability  against  shear  waves of  steady flows  in  non­linear  viseo­ elastic  fluids,  J .  F l u i d  M e c h . ,  3 3  (1968),  165 ­181.  54.  S.  ZAHORSKI,  Role  of  elasticity  stratification  in  two­layer  flows  down  an  inclined  plane,  A r c h .  M e c h .  Stos.,  21  (1969)  (w  d r u k u ) .  55.  С .  F .  CHAN  M A N FONG,  К .  WALTERS,  The  solution  of  flow  problems  in  the  case  of  materials  with  me­ mory.  I I .  The  stability  of  plane  Poiseuille  flow  of  slightly  viscoelastic  liquids,  J .  M e c a n i q u c , 4  (1965),  4 3 9 ­ 5 5 3 .  56.  C . S.  Y I H ,  Stability  of  a  non­newtonian  liquid  film  flowing  down  an  inclined  plane,  P h y s .  F l u i d s ,  8  (1965),  1257­1262.  57.  A . S.  GUPTA,  Stability  of  a  viscoelastic  liquid  film  flowing  down  an  inclined  plane,  J .  F l u i d  M e c h . ,  2 8  (1967),  17­28.  58.  D .  H .  CHUN,  W .  H .  SCHWARZ,  Stability  of  a  plane  Poiseuille  flow  a  second  order  fluid,  P h y s .  F l u i d s ,  11  (1968),  5­9.  5 9 .  А .  Т .  Л И С Т Р О В,  О б  у с т о й ч и в о с т и  п а р а л л е л ь н ы х  т е ч е н и й  н е н ю т о н о в с к и х  с р е д ,  Д АН  С С С Р,  1 6 4  (1965) ,  1 0 0 1 ­ 1 0 0 4 .  60.  F . J .  LOCKETT,  On  the  Squire's  theorem,  P r o c .  Int.  C o n g r .  R h e o l . ,  K y o t o  (1968),  w  d r u k u .  6 1 .  С .  S.  Y I H ,  Stability  of  liquid  flow  down  an  inclined  plane,  P h y s .  F l u i d s ,  6  (1963),  321­334.  62.  A . D .  D .  CRAIK, A  note  on  the  static  stability  of  an  elasticoviscous  fluid,  J .  F l u i d  M e c h . ,  33  (1968),  3 3 ­ 3 8 .  63.  Т . W .  K A O , Stability  of  two­layer  viscous  stratified  flow  down  an  inclined  plane,  P h y s .  F l u i d s ,  8  (1965),  812­820.  64.  C . S.  Y I H , Instability  due  to  viscosity  stratification,  J . F l u i d  M e c h . ,  2 7  (1968),  337­352.  65.  Т . W . K A O ,  Role  of  viscosity  stratification  in  the  stability  of  two  layer flow  down  an  incline,  J . F l u i d  M e c h . ,  33  (1968),  5 6 1 ­ 5 7 2 .  66.  Т . В . BENJAMIN,  Effects  of  surface  contamination  on  wave formation  in falling  liquid  films,  A r c h .  M e c h .  Stos.,  1 6  (1964),  6 1 5 ­ 6 2 6 .  67.  В . A .  TOMS,  Detection  of  a  wall  effect  in  laminar  flow  of  solutions  of  linear  polymers,  J . C o l l o i d  S c i . ,  4  (1949),  5 1 1 ­ 5 2 1 .  68.  J .  J . BENBOW,  R .  V .  CHARLEY,  P .  LAMB,  Unstable  flow  of  molten  polymers,  N a t u r e ,  1 9 2 (1961),  2 2 3 ­ 2 2 5 .  Р е з ю ме   Ы Е Н Ь Ю Т О Н О В С К НЕ  Ж И Д К О С ТИ  В  С В Е ТЕ  М Е Х А Н И КИ  С П Л О Ш Н ЫХ  С Р ЕД   В о з р а с т а ю щ ий  и н т е р ес  к  н е н ы о т о н о в с к им  ж и д к о с т я м,  м е х а н и ч е с к ие  с в о й с т ва  к о т о р ых  з н а ч и­ т е л ь но  о т л и ч а ю т ся  о т  с в о й с тв  к л а с с и ч е с к их  ж и д к о с т е й,  т е с но  с в я з ан  с  н а у ч н ы ми  и  п р о м ы ш л е н н ы­ м и  н у ж д а м и.  В  н а с т о я щ ей  р а б о те  д а е т ся  о б з ор  н а и б о л ее  с у щ е с т в е н н ых  т е о р е т и ч е с к их  и  э к с п е р и­ м е н т а л ь н ых  р е з у л ь т а т о в,  п о л у ч е н н ых  н а  о с н о ве  м е х а н и ки  с п л о ш н ых  с р е д.  М н о г о ч и с л е н н ые  в о­ п р о сы  к ак  н а п р.  с т р у к т у р н ые  м е т о д ы,  т е р м о д и н а м и ка  и  т е п л о п е р е д а ч а,  д и ф ф у з и я,  в о з м у щ е н н ое   т е ч е н ие  и  д р.  н е  в о ш ли  в  о б з ор  н а р а в не  с  в о п р о с а ми  и н ф и н и т е з и м а л ь н ой  в я з к о у п р у т о с т и.  4 1 4  S.  ZAHORSKI  В  н а ч а ле  р а б о ты  п р е д с т а в л е ны  о г р а н и ч е н ия  к л а с с и ч е с к ой  т е о р ии  Н а в ь е ­ С т о к с а,  к о т о р ая  с п р а­ в е д л и ва  л и шь  д ля  н ь ю т о н о в с к их  ж и д к о с т е й.  З а т ем  п р е д с т а в л е на  б о л ее  п о д р о б но  т е о р ия  н е с ж и­ м а е м ых  п р о с т ых  ж и д к о с т ей  в  п р и м е н е н ии  к  в и с к о м е т р и ч е с к им  т е ч е н и я м.  О б с у ж д а ю т ся  т а к же   д р у г ие  в и ды  т е ч е н ий  д ля  у п р о щ е н н ых  м о д е л ей  ж и д к о с т е й.  В  о д н им  и з  д а л ь н е й ш их  р а з д е л ов  п р е д­ с т а в л е на  о б щ ая  к л а с с и ф и к а ц ия  ж и д к о с т ей  н е п о с р е д с т в е н н о,  и ли  к о с в е н н о,  с в я з а н н ых  с  п р о с т ы ми   ж и д к о с т я м и.  К р а т ко  р а с с м о т р е ны  т .  н а з.  ж и д к о с ти  в т о р о го  п о р я д ка  и  ж и д к о с ти  с  к о н в е к т и в н ой   у п р у г о с т ь ю.  Н а к о н ец  о б с у ж д е ны  н е к о т о р ые  в о п р о сы  у с т о й ч и в о с т и,  о с о б е н но  д ля  с л у ч ая  п л о с к их   у с т а н о в и в ш и х ся  т е ч е н ий  с о  с д в и г о м.  S u m m a r y  N O N ­ N E W T O N I A N  L I Q U I D S  I N  T H E  L I G H T  O F  C O N T I N U U M  M E C H A N I C S  T h e  g r o w i n g  interest  i n  n o n ­ N e w t o n i a n  l i q u i d s ,  the  m e c h a n i c a l  b e h a v i o u r  o f  w h i c h  c o n s i d e r a b l y  differs  f r o m  that  o f  classical  l i q u i d s ,  rem ai n s  i n  close  c o n n e c t i o n  w i t h  scientific  a n d  i n d u s t r i a l  purposes.  T h e  present  paper  gives  a  general  survey  o f  the  most  i m p o r t a n t  results  achieved  so  far  o n  the  basis  o f  c o n t i n u u m  mecha­ nics.  M a n y  p r o b l e m s  o f  m o r e  s p e c i a l i z e d  v a l i d i t y ,  e.g.  structural  methods,  t h e r m o d y n a m i c s  a n d  heat  t r a n ­ sfer,  d i f f u s i o n ,  turbulent  flows  etc.,  are  not  i n c l u d e d  i n t o  the  survey  as  w e l l  as  the  p r o b l e m s  o f  i n f i n i t e s i m a l  l i n e a r  viscoelasticity.  T h e  paper  begins  w i t h  presentation  o f  some  l i m i t a t i o n s  o f  the  classical  theory  o f  N a v i e r ­ S t o k e s  v a l i d  o n l y  to  N e w t o n i a n  l i q u i d s .  N e x t ,  the  theory  o f  i n c o m p r e s s i b l e  simple  fluids  as  a p p l i e d  to  the  class  o f  v i s c o ­ m e t r i  flows  is  developed  i n  greatei  d e t a i l .  S o m e  other  types  o f  f l o w s  for  s i m p l i f i e d  models  are  also  dis­ cussed.  A  general  c l a s s i f i c a t i o n  o f  l i q u i d s  u r e c t l y  o r  i n d i r e c t l y  related  to  i n c o m p r e s s i b l e  s i m p l e  f l u i d s  is  presentca  i n  one  o f  further  sections.  S o  c a l l e d  fluids  o f  the  second  grade  a n d  f l u i d s  w i t h  c o n v e c t e d  elasticity  are  briefly  o u t l i n e d .  A t  the  e n d  o f  the  i_apcr  some  p r o b l e m s  o f  s t a b i l i t y  are  discussed,  especially  for  the  case  o f  plane  steady  shearing  f l o w s .  INSTYTUT  PODSTAWOWYCH  PROBLEMУW  TECHNIKI  PAN  WARSZAWA  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  11  kwietnia  1969  r.