Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS69\MTS69_t7z1_4_PDF\mts69_t7z4.pdf M E C H A N I K A  TEORETYCZNA  1  STOSOWANA  4,  7 (1969)  S P O S Ó B  E L E K T R Y C Z N E G O  M O D E L O W A N I A  R Ó W N A Ń  R Ó Ż N I C Z K O W Y CH  L I N I O W Y C H  Z W Y C Z A J N Y C H  I  C Z Ą S T K O W Y CH  O  W S P Ó Ł C Z Y N N I K A C H  S T A Ł Y C H  I  C Z Ł O N A C H  R Z Ę DU  P A R Z Y S T E G O  ALEKSANDER  L I S O W S K I  (KRAKÓW)  1.  Ilorazy  róż nicowe  Dowolne  równanie  róż niczkowe  zwyczajne o postaci  d"w  dn~lw  dw  moż na,  przy  spełnieniu  pewnych  warunków,  którymi  nie bę dziemy  się tutaj  zajmowali,  zastą pić  równaniem  róż nicowym  zamieniając  róż niczki  na róż nice  skoń czone  A"w  A"'lw  Aw  ­L/7  U  ­Un.  Ax  .  ,,  A"~­w  i'2  t­l  t  R y s .  1.  O z n a c z e n i a  p u n k t ó w  w  m e t o d z i e  r ó ż n ic  s k o ń c z o n y ch  W  pracy  niniejszej  zajmiemy  się  modelowaniem  dowolnych  równań  róż nicowych  o czło­ nach  parzystych  (1.1)  A"y  ""Ax"  1  a " ­ 2 " z L V ­ 2  gdzie n jest  dodatnią  liczbą  parzystą.  Wyraź my  kolejne  ilorazy  róż nicowe  przez  wartoś ci  funkcji  w w okolicy  punktu  i,  który  przyjmujemy  za  centralny  (dla  którego  pisać  bę dziemy  wyraż enia  róż nicowe).  Oznaczając  wartoś ci  funkcji  и> (zgodnie z oznaczeniem  punktów  na rys.  1, przyjmując  odstę py zmien­ nej  niezależ nej  Ax = const) w punkcie  /' przez  wit  a punktów  są siednich  przez  n>,_i  oraz  i v , + 1 ,  otrzymamy  pierwsze  ilorazy  róż nicowe  «w przód»  Awt  1  ­Ax­ =  A x ^ ­ W t ) >  An~2w  3  Mechanika  teoretyczna  416  A .  LISOWSKI  albo  ilorazy  róż nicowe  centralne  ( L 2 )  A x ~ = 2 ^ ^ l ­ W l ­ l ) ­ Ilorazy  róż nicowe  parzystego  rzę du,  które  bę dą  omawiane  dalej,  wyraż ają  się wzorami  (1­3)  a 2 ^ 2 ­  =  ­^(*v,+1­2Wi+Wi_i),  ( 1 , 4 ^  ° 4 4 ? ~  =  ^ 4  ( ^ ­ 2 ­ 4 W , ­ 1 +  6>V,­4H', +  1  +  I V , + 2 ) ,  A6 w  a6  O­ 5 )  "6~Ax~6  =  ­д £  ( ^ • ­ 3­ 6 w , _ 2 + 1 5 H ' i _ i ­ 2 0 w i + 1 5 t v , 4 1 ­ 6 H ' , ­ + 2 +  w 1 + 3 ) ,  (1.6)  a*~fa?  =  ^ 8 ( w ( ­ 4 ­ 8 v v , _ 3  + 28w,_ 2 ­56)i',_ 1 +  70vv;­56w, + 1 4 r  + 2 8 w I + 2 ­ 8 w 1 + 3 + i v I + 4 ) .  2.  Modelowanie  c z ł o n ó w  równań  r ó ż n i c o w y ch w sieci  elektrycznej  Modelując  np.  człon  róż nicowy  A"w  a  (2.1)  •  a n ^ r  + « „ =  _ ( „ ,  , ­  ... + w. +  „ ) +  * 0  przyjmiemy  nastę pują ce  współczynniki  przeniesienia  analogii:  współczynnik  przeniesienia  prą dowego w ;  (2.2)  1? =  а0щ ,  współczynnik  przeniesienia  napię ciowego  mu  (2.3)  Ui =  w,mu,  współczynnik  przeniesienia  opornoś ci  mr  Ax"  (2.4)  r,tt_1=k  mr,  an  gdzie  Ii,  Ui i  / • , , , ­i  oznaczają  wielkoś ci  elektryczne,  mianowicie  Ą — natę ż enie  prą du  w amperach,  Ut — napię cie  w woltach oraz  i — opór  w omach,  г . к — 1 pewien  współ­ czynnik  proporcjonalnoś ci.  Pomię dzy  współczynnikami  przeniesienia  istnieje  znany  zwią zek  wynikły  z prawa  Ohma  (patrz  np. [3])  (2.5)  m„ =  miinr.  Przejdź my  do podania  schematów  sieci  modelują cych  poszczególne  ilorazy  róż nicowe.  2.1.  R ó ż n i ca  rzę du  drugiego.  Równanie  (1.3)  może  być łatwo  modelowane  w sieci  elektrycz­ nej.  Rozpatrzmy  układ  podany  na rys.  2. Wypiszmy  warunek  równowagi  wę zła  i  (pierw­ sze  prawo  Kirchhoffa)  z  uwzglę dnieniem  wystę powania  wyrazu  wolnego  SPOSÓB  ELEKTRYCZNEGO  MODELOWANIA  RÓWNAŃ   417  Wyraż ając  prą dy  przez  napię cia  w wę złach  sieci  otrzymamy  (zgodnie  z prawem  Ohma)  Ц ­ Ц ­ ' + Ц ­ Ц + ' + д ­ о,  ri,i­l  ri,i  + l  a  przyjmując  stałą  wartość  oporów  /',,,­­1 = r =  const,  moż na  napisać   (2­6)  l ( £ / ł _ 1 _ 2 £ / l + t / ł + 1 ) ­ i ?  = 0.  г /   °—nz к  r,  rStf г—  i  ł  •/  0 6  o  Л И ВР  Я »  ­w//  R y s .  2. M o d e l o w a n i e  r ó ż n i cy  r z ę du  drugiego  w sieci  elektrycznej  Jest  oczywiste, że równanie  (2.6)  spełnia  iloraz  róż nicowy  drugiego  rzę du  (1.3),  gdy  przyj­ mie  się podstawienie  r  =  ­—mr,  Ui  =  wlm„  oraz  If  =  ur0W;.  a2  Odpowiednie  zależ noś ci,  które  narzucają  miana  współczynników  przeniesienia  (w efekcie  opór  /• musi  być wyraż ony  w omach  itd.) podane  zostały  w sposób  ogólny  we wzorach  (2.2) do (2.5).  2.2.  R ó ż n i ca  rzę du  czwartego.  Analizując  równanie  róż nicowe  dowolnego  rzę du  widzimy,  że  suma  współczynników  dodatnich  i  ujemnych  jest  sobie  równa.  Obecnie  rozważ ane  równanie  nie da się zmodelować  w ramach  jednej  siatki,  gdyż  łą cząc  bezpoś rednio  np.  wę zeł к z wę złem  i otrzymamy  wartość  rzę du  .  Ui—Uk  ':,k  ­  ,  r»  nie  moż na  więc  uwzglę dnić  róż nych  znaków  funkcji  w  wę złach  są siednich.  Gdybyś my  jednak  to zrobili  według  schematu  podanego na rys.  З а, to otrzymamy  27,  =  +  Vi­Ui+i  +  Ui­Uj­г  ,  Ui­Ui+2  =  0  ri,i­l  ri,i+i  ri,i­2  ri,i  + 2  Czyniąc  zadość  równaniu  (1.4), przyjmiemy  (a)  r M _ z =  r,., / + 2  =  r  oraz  r,,,_i  =  r,­,,+1  = ^  r  i otrzymamy  j  (t/,­2 + 4L/,_ 1­10Ł7 i + 4i7, +  1 + (7,_2) = 0.  418  A .  LISOWSKI  W  celu  uwzglę dnienia  ujemnych  znaków  przy  niewiadomych  C/,_i oraz  Un+1  zastosować   moż na  układ  dwóch  siatek  podany na rys.  3b (górnej  i  dolnej)1.  Napiszmy  warunek  równowagi  wę zła  i  siatki  górnej  (oznaczenia  bez  indeksów)  Ui­Ui_2  ,  U—Ui+1  ,  Ut­Eo  (b)  Zli=Ii,i­2  +  Ii,i  + 2 +  Il  =  R  0 .  1­2  Tjl­2  П л *2  =2  /////// =3  R y s .  3.  M o d e l o w a n i e  r ó ż n i cy  r z ę du  c z w a r t e g o  w  sieci  elektrycznej  Odpowiednio  warunek  równowagi  dla wę zła  i'  siatki  dolnej  da  zależ ność   TT —  T  л­т  i —  u<'~uQ­iy  i  Ui­ — U(i+iy  ,  E/<­—Д> _  n ^­J;­ — —  j  1  J  1  ^ — —  u>  4  4  a  stąd  (c)  Ц ' ­ Д >_  iHUi—Uy­iy)  ,  4(Ł/,­,­cT(l +  1 ) , ) \  Przyjmujemy  nastę pnie,  że odpowiednie  potencjały  wę złów  siatki  górnej i dolnej są sobie  równe,  czyli w rozważ anym  przypadku  (d)  U,.  =  Ut,  U v . l y  =  U M  oraz  U v + 1 y  =  U i + 1 .  Podstawiając  wyraż enie  (c) do  równania  (b) z  uwzglę dnieniem  (d)  otrzymamy  1  (2.7)  Widzimy  zatem,  że  warunek  analogii  został  spełniony2.  ' )  S p o s ó b  ten  w  z a s t o s o w a n i u  d o  r ó w n a n i a  b i h a r m o n i c z n e g o  o r a z  r ó w n a ń  p r z e m i e s z c z e n i o w y c h  p ł a ­ skiej  t e o r i i  s p r ę ż y s t o ś ci  p o d a n y  jest  n p . w p r a c a c h  [1, 3].  2 )  W a r t o ś ć  siły  e l e k t r o m o t o r y c z n e j  E0  jest  z a s a d n i c z o  bez  z n a c z e n i a .  W  p r a k t y c e  regulujemy  z m i e n n ą   w a r t o ś ć  z a s i l a n i a  n a p i ę c i o w e go  d o  tego  m o m e n t u ,  a ż o b a  p o t e n c j a ł y  s i a t k i  g ó r n e j  i  dolnej  się  w y r ó w n a j ą ,  c o  ł a t w o  s t w i e r d z i ć  n a  w o l t o m i e r z u .  SPOSÓB  ELEKTRYCZNEGO  MODELOWANIA  RÓWNAŃ   419  Należy  podkreś lić,  że  w  moż liwoś ciach  modelowania  równania  róż nicowego  w  sieci  elektrycznej  decydują cą  rolę  odgrywa  symetria  współczynników  wzglę dem  punktu  ś rod­ kowego,  dla  którego jest  to  równanie  wypisane  oraz  warunek,  aby  suma  współczynników  przy  odpowiednich  rzę dnych  funkcji  w  równaniu  była  równa  zeru.  Jeż eli  zatem  moż na  uzyskać  właś ciwe  wartoś ci  wszystkich  współczynników  dla  punktów  są siednich,  to  i  war­ tość  współczynnika  dla  punktu  i musi  być  spełniona.  Wyjaś nione  założ enia  pozwalają  już  bez  trudu  podać  układ  sieci  elektrycznej  spełniają­ cej  równanie  róż nicowe  dowolnego parzystego  rzę du.  2.3.  R ó ż n i ca  rzę du  s z ó s t e g o .  Uwzglę dniając  znaki  współczynników  przyrównaniu  (1.5)  od  razu  moż na  powiedzieć,  że  do  wę złów  górnej  siatki  bę dą  należ eć  punkty  /—3,  /—1  i  i + l  R y s .  4.  M o d e l o w a n i e  r ó ż n i cy  r z ę du  s z ó s t e g o  w  sieci  elektrycznej  oraz  г '+З  (bierzemy  te  niewiadome  wartoś ci  funkcji,  przy  których  współczynniki  są  do­ datnie  oraz  dodatkowo  punkt  i,  który  jest  sprzę gnię ty  z  punktem  dolnej  siatki  i').  Nato­ miast  do  wę złów  dolnej  siatki  bę dą  należ eć  punkty,  które  mają  współczynniki  ujemne  tj.  i ­ 2 ,  i,  i+2.  R y s .  5.  M o d e l o w a n i e  r ó ż n i cy  r z ę du  ó s m e g o  w  sieci  elektrycznej  Układ  sieci  modelują cej  równanie  (1.5)  podany  został  na  rys.  4.  Moż na  również  pod­ kreś lić,  że  wartoś ci  oporów  łą czą ce  odpowiednie  wę zły  siatki  z  wę złem  ś rodkowym  i  są   odwrotnie  proporcjonalne  do  współczynników  przy  tych  niewiadomych.  I  tak,  przyjmując  opór  dla  skrajnego  połą czenia,  pomię dzy  wę złami  /—3  lub  / + 3  a  wę złem  i  jako  420  A .  LISOWSKI  dla  pozostałych  połą czeń  otrzymamy  1  1  ri,,(i­iy  —  Л',(;+2)' — g­T  oraz  r,­tf_i  —  — ~[s r' Przyję cie  równych  oporów  R  łą czą cych  wę zły  dolnej  i  górnej  siatki  konieczne jest  dla  spełnienia  warunku  równoś ci  prą dów  spływają cych  z  wę złów  /  oraz  z"  na  masę.  2.4.  R ó ż n i ca  rzę du  ó s m e g o .  Uwzglę dniając  wyż ej podane objaś nienia  od  razu moż emy  przejść   do  modelowania  równania  (1.6)  w  sieci  elektrycznej.  Wę złami  górnej  siatki  bę dą  punkty  /—4,  i—2,  z, i+2  oraz  /+4,  a  wartość  oporu  А х1  Połą czenia  wę złów  siatki  oraz  wartoś ci  oporów  podane  zostały  na  rys. 5.  ri,  <­4 — ri, 1+4 —  r  —  ~  mr  •   "8  3.  Modelowanie dowolnego  równania  r ó ż n i c o w e go  z ł o ż o n e go  z  c z ł o n ó w  rzę du  parzystego  Rozważ my  dla  przykładu  równanie  róż nicowe  Л6щ  A4w,  '  Л2щ   (a)  a6  + a Ą  —  ­a2­^­  + kw,+a,  =  0.  W  równaniu  powyż szym  oprócz  członów  rzę dów  parzystych  dodano  człon  zawierają cy  samą  funkcję  wt.  Z  nastę pują cego  rozważ ania  okaże  się,  że  ten  dodatkowy  człon  łatwo  jest  zmodelować  w sieci.  Równanie  (a) z uwzglę dnieniem  wartoś ci  poszczególnych  członów  (1.3)­(1.5)  i  uwzglę d­ nieniem  znaków  przyjmie  postać   j ­ 3  (wi­3  ­  6wi  ­ г +  1 5 w; _, ­  20H\ +  15 w,+,  ­  6vv,+2 + w;+3)  ­f  • (w, _ 2 — 4 u',­ _ i +  a2  +  6 wi ­  4wi+1 + wi+2) —  (wi_, — 2wi +  w,r+1) ­f kw, + o0  =  0.  Po  zgrupowaniu  wyrazów  otrzymamy  <Ь>  ^ ^ + 6 ^ + 2 ^ ) + ^ ( l 5 ^ ­ 4 ^ ­ ^ )  +  ­ " ' + 2  ­  Л ?)  + W i + i  AS  + в °  ­  °­ Połą czenia  wę zła  i z  wę złami  i—1, z'—2, i—3 oraz  z+1,  1+2,  i'+3  zależy  od  znaków  przy  odpowiednich  członach.  Oznaczając  wartość  oporu  łą czą cego  punkt  z z  wę złami  skraj­ nymi  przez  SPOSÓB  ELEKTRYCZNEGO  MODELOWANIA  RÓWNAŃ   421  oraz  przyjmując  wartoś ci  w  nawiasach  za  dodatnie  (w  konkretnym  przypadku  należy  to  sprawdzić)  Ax6  Ax4  Ax2  otrzymamy  dodatnie  współczynniki  funkcji  dla  punktów  /—3,  i—l,  i+l  oraz  i+3,  wobec  czego  wę zły  te  (razem  z  punktem  i)  należ eć  bę dą  do  siatki  górnej,  a  wę zły  pozostałe  tj.  i—2,  /+2  — do  dolnej.  Model  równania  (b)  w  sieci  elektrycznej  z  uwzglę dnieniem  przy­ ję tych  założ eń  (d)  podany  został  na  rys.  6.  Należy  jeszcze  wyjaś nić  modelowanie  przed­ ostatniego  członu  równania  (a),  czyli  kwt.  Człon  ten  wchodzi  do  równania  wę zła  dolnego  i '  i w równaniu  równowagi  wę zła pojawi  się jako  człon  Ł/j/e.  Przyjmując  zależ ność   (3.1)  Q  =  ^mr,  równanie  (b)  bę dzie  w  sieci  spełnione.  Należy  podkreś lić,  że  przedstawiony  sposób  modelowania  róż nicowych  członów  rzę du  parzystego  zastosować  moż na  także  do  równań  czą stkowych,  gdzie  wystę puje  wię cej  niż  jedna  zmienna,  zależ na  lub  niezależ na,  wraz  z  uwzglę dnieniem  członów  róż nicowych  wzglę dem  dwóch  (lub  wię cej)  niewiadomych.  Rozpatrzmy  dla  przykładu  człon  rzę du  parzystego  (przy  przyję ciu  Ax  — Ay  =  c)  Ax2Ay2  +  (Wi +  1,j  +  1  +  Wi +  1,j­l  +  Wi­Uj + l + Wi­l,j­l)]­ 422  A .  LISOWSKI  Oznaczenia  wę złów  siatki  w układzie  osi х , у  wraz z podaniem  współczynników  równania  (3.2) podane zostały  na  rys.  7a.  Zgodnie  z  oznaczeniami  poprzednimi  przyję to  dla  siatki  górnej  c 4  r  — ri,j­.'+ij+i —  ~ymr  oraz  dla siatki  dolnej  1  rV.P'+iJ+iY  —  у  r ­ Schemat  układu  podany  został  na  rys. 7b.  Zagadnieniem  modelowania  elektrycznego  warunków  brzegowych  i  począ tkowych  nie  bę dziemy  się  w  tej  pracy  zajmowali;  jest  ono  przedmiotem  osobnego  opracowania.  4.  Zastosowania  w  zakresie  teorii  s p rę ż ys toś ci  Po  przedstawieniu  moż liwoś ci  modelowania  elektrycznego  równań  róż nicowych  przej­ dziemy  do  podania  kilku  praktycznych  zastosowań  w zakresie  teorii  sprę ż ystoś ci.  Układy  sieci,  które  bę dą  podane  dotyczyć  bę dą  punktów,  w których  nie  są  modelowane  warunki  brzegowe  lub  począ tkowe.  4.1.  R ó w n a n i e  belki  na  s p r ę ż y s t ym  podłoż u.  Równanie  belki  na  sprę ż ystym  podłożu  winkle­ rowskim  ma  postać   (4.1)  EJ^+ky=p(x),  gdzie  EJ—sztywnoś ć  zginania  belki  (przyjmiemy  ją  jako  stałą ),  к — stała  podłoża  (wartość  siły  powodują ca  jednostkowe  ugię cie  sprę ż yny  modelują cej  podłoże  sprę ż yste),  p(x) •— obcią ż enie  zewnę trzne  działają ce  na  belkę  prostopadle  do  jej  osi.  SPOSÓB  ELEKTRYCZNEGO  MODELOWANIA  RÓWNAŃ   423  Równanie  (4.1) w zapisie  róż nicowym  przyjmie  postać   EJ  (4"2)  2 ^ ^ ' ­ 2 ~ А у !­ 1 + 6 у 1 ~ А у< + 1 + у ' + 2 ) + к ' у ' ~ Р '  =  °*  gdzie Pi przedstawia wypadkowe  obcią ż enie  przypadają ce  na wę zeł i .  R y s .  8.  M o d e l o w a n i e  r ó w n a n i a  b e l k i  n a  s p r ę ż y s t ym  p o d ł o ż u  Układ  sieci  modelują cej  równanie  (4.2)  podany  został  na  rys. 8.  Odpowiednie  wielkoś ci  oznaczone na rysunku  wynoszą   R y s .  9.  M o d e l  b e l k i  leż ą cej  n a  s p r ę ż y s t ym  p o d ł o ż u  ( c z ę ść  ś r o d k o wa  b e l k i )  Układ  sieci  dla kilku  punktów  podany  został  na rys. 9.  4 . 2 .  R ó w n a n i e  zginania  p ł y t y .  Róż niczkowe  równanie  powierzchni  odkształconej  płyty  ma  postać   (4  Ъ Л  ­W­  4­7  ­  " , v _  л ­  e*w  ­  q(X'y)  '  }  д х4  lJ + W,. J + 1 +W|,y_0+(W| + l,y + I  + W ; + i , j _ 1 + W , _ 1 > i + i + " • , ­ l . j ­ l ) + ^ 4  (MV.J­2 +  ­ 4 w i I y _ 1 ­ T ­ 6 w u ­ 4 w ł > < / + 1 + w w + a )  =  nj  U  i'fj  i'lj  x  r/j'/ U*>  i'tj'l  i­2.j  fry  R y s .  10. M o d e l o w a n i e  r ó w n a n i a  p ł y t y  Przy  założ eniu  siatki  o oczkach  kwadratowych,  czyli  dla  А х = Ay = c, otrzymamy po  zsumowaniu  1  (4.4)  A^№ "'ij­­%(Wi­ij+Wij­i + wi+ij+wij+i) +  2(wi_u^ +  Wi­1  ,j+ l) +  (Wi­2,j  +  Wij­2  +  Wi +  2,j  +  Wi,J+2)]  — —У­  =  0.  Model  powyż szego  równania  w sieci  podany  został  na rys.  10b1'.  Odpowiednie  wielkoś ci  oznaczone na rysunku  wynoszą   Ax4  r =  ^­mr,  I?,j =  Qijmi  oraz  Ui,j — Wi,jmu,  gdzie Q,j przedstawia  obcią ż enie  zewnę trzne  działają ce  na wę zeł  ')  R o z w i ą z a n ie  w  sieci  elektrycznej  r ó w n a n i a  p ł y t y  p o d a n o  n p . w  p r a c a c h  [1, 2,  4].  SPOSÓB  ELEKTRYCZNEGO  MODELOWANIA  RÓWNAŃ   425  4.3.  R ó w n a n i a  przemieszczeniowe  teorii  sprę ż y st o ś ci  ciał  izotropowych.  Przemieszczenia  dowolnego  punktu  wewną trz  ciała  liniowo  sprę ż ystego,  izotropowego  spełniają  układ  równań   82u  82u  8  F) m  ~8x2  \8y2  '  8z2l  8x8y  1  8x8z  '  I+G  (4.5)  5) d2M  d2w  8x2  1  8z2)  '  ą yebc  1  5j>dz  Л + G  a2w  / 82w  m~8z2+nW  + o .  o,  8y2j 1 aza«  Sząy  X+G  gdzie  A', У, Z — składowe  sił masowych  wzdłuż  odpowiednich  osi układu  ortogonalnego  x, y, z w odniesieniu  do  jednostki  obję toś ci  materiału,  G — współczynnik  sprę ż ystoś ci  Rys.  11. Oznaczenia  p u n k t ó w  w  u k ł a d z i e  ortogonalnym  osi  x,  y,  z  poprzecznej  (moduł  Kirchhoffa)  u, © i w  —  składowe  przemieszczenia  wzdłuż  osi x, y, z.  Współczynniki  w, и i A okreś lone  są wzorami  (4.6)  A+2G  G  2v  M"=­^G'  " = A + G  ° r a Z  Я  =  ­Г=27С'  gdzie v — współczynnik  Poissona.  426  A .  LISOWSKI  Przepiszmy  równania  (4.5)  w postaci  róż nicowej  dla punktu  i,], к   m  XiJ,k  А х А у  г  А х А у  A + G  A2wu,k  Y'J,k  Л у Л х  1  AyAz  1 A + G  d2Ui,j,k  A2vij,k  ZiJ,k  AzAx  AwAy  A + G  f4  7)  m Ź ^llUL  ­ n I A2Vi­j'k  4­  A 2 V i J ' k  I 4­  4­  n ' W l J ­ k  4­  'U*  ­  fi  K  ' '  Ay2  \  Ax2  ~*~ Az2  Г ~  '••  '•• '­  •  "  J z 2  +  \  J x 2  +  z l / / +  AzAx  +  J w J y  +  A + G  '  gdzie  ^ij.ik  Z / J . J — wypadkowe  obcią ż enia  działają ce  na  wyodrę bniony  wę zeł  siatki  przestrzennej o oczkach Ax  • А у  • Az.  Dalej  rozpiszemy  pierwsze  równanie  (4.7) zgodnie z oznaczeniami  punktów  podanymi  dla  układu  ortogonalnego  osi x,y,z  (patrz  rys. 11). Dla uproszczenia  przyję to  podział  stały  i jednakowy  wzglę dem  wszystkich  trzech  osi, czyli  Ax — Ay = Az = c, przy  czym  współrzę dna  i okreś la  położ enie  punktu  wzglę dem  osi x, współrzę dne j  •—• wzglę dem  osi у   oraz к —  wzglę dem  osi z.  Pierwsze  równanie  (4.7)  moż na  zapisać  w  postaci  771  H  2Ĵ 2 ("'­1 .J'.* —  2w.­,j,fc +  Kl+lJ,*) +  ­ Д ~2  ( M i ' , j ­ U — 2ll;Jtk  +  M;,j­+l,«c) + Ay  n  1  д #  Ku:,l,k­i — 2«,'j,* + «,­,^+i)+  YAxlAy  (Vi+1J+1*~  1  ­Oi_i,j_i,fc—Oi+i,y­i,*)+  YAxlAz  (Wi+1>J>k+1~łV'+iJ.*­i  +  w ' ­ i . j ' . * ­ i  gdzie / =  1/(A+G).  Grupując  wyrazy  otrzymamy  przy  uwzglę dnieniu  zlx =  zły =  zlz = с   ( m  и \  m  /и  и  w  2  c 2  +  4  ^2  I "'.J.* +  c 2  " i  ­  1.7'.* +  ^2  + 1 .J,k +­^Ui,j­Uk+—2  U',j  +1Л  +  /д  оч  П  П  1  4 ^  (wl+Uj.k+l~wi"+l./,*­l  +  wl­l,j,k­l  —  ^ J , *  =  0.  W  rozpatrywanym  punkcie  i,j,k  obszaru  mamy  układ  trzech  równań  róż nicowych,  gdzie  wystę pują  niewiadome uiJik,  viiJtk  i witi,k.  Dla wyznaczenia  każ dej  składowej  prze­ sunię cia  punktu  к poprowadzimy  potrójne  siatki,  które  oznaczone są  w odrę bny  spo­ sób  na rys.  12:  wzglę dem  osi x — w  sposób  cią gły,  osi у — przerywany i osi  z —  kropko­ wany.  Równania  (4.8) zostały  zmodelowane  w sieci  przy  przyję ciu  с 2  c2  Ac2  (4.9)  rx = — mr,  r2 — —mr  oraz  ri = ~~r­mr;  m  n  1  obcią ż enie  sieci  okreś la  wartość  I°Jik  =  lXijtkm,.  SPOSÓB  ELEKTRYCZNEGO  MODELOWANIA  RÓWNAŃ   427  W  analogiczny  sposób  zapisać  moż na  dwa  pozostałe  równania  (4.7)  i  zmodelować   w  sieci  elektrycznej.  Wówczas  centralnymi  punktami  bę dą  wę zły  к  dla  siatki  oznaczo­ nej  linią  przerywaną  (współrzę dne  f/j,*)  oraz  linią  kropkowaną  (współrzę dne  w i > J j t ).  Modelowanie  przesunięć  układu  przestrzennego  jest  niewą tpliwie  dość  pracochłonne,  gdyż  każ dy  wę zeł  posiada  w  ogólnym  przypadku  trzy  składowe  przesunięć  u, v, w,  czyli  dla  modelowania  n  wę złów  potrzebna  bę dzie  sieć  złoż ona  z  3n  wę złów.  R y s .  12.  M o d e l o w a n i e  r ó w n a ń  p r z e m i e s z c z e n i o w y c h  t e o r i i  s p r ę ż y s t o ś ci  c i a ł  i z o t r o p o w y c h  Na  przykład  modelowanie sześ cianu  z  podziałem  krawę dzi  na  połowy,  czyli  Ax  =  Ay  =  —Az  =  a/2  według  rys.  11  wymagać  bę dzie  sieci  elektrycznej  o  2 7 x 3  =  81  wę złach.  W  praktyce  wykorzystać  naturalnie  moż na  ewentualny  warunek  symetrii,  co  pozwała  rozważ yć  przy  tej  samej  liczbie  niewiadomych  układy  kilkakrotnie  bardziej  złoż one.  Oddzielną  sprawą  jest  uwzglę dnienie  warunków  brzegowych  lub  począ tkowych.  Wy­ korzystuje  się  tu  te  same zwią zki,  które  wystę pują  w metodach  obliczeniowych,  a  więc  np.  warunek  zerowego  ugię cia,  czy  zerowej  wartoś ci  momentu  zginają cego  lub  siły  poprzecz­ nej.  Sprawa  ta  bę dzie  rozważ ona  w  oddzielnym  artykule.  428  A .  LISOWSKI  Literatura  cytowana  w  t e k ś c ie  1.  К .  К .  К Е Р О П Я Н,  П .  M .  Ч Е Г О Л И Н,  Э л е к т р и ч е с к о е  м о д е л и р о в а н и е  в  с т р о и т е л ь н о й  м е х а н и к е ,  Г о с с т р о й­ и з д а т,  М о с к ва  1 9 6 3 .  2.  A .  LISOWSKI,  Analogowe  maszyny  matematyczne  ( s k r y p t ) ,  P W N ,  K r a k ó w ,  W a r s z a w a ,  Ł ó d ź  1967.  3 .  М а т е м а т и ч е с к о е  м о д е л и р о в а н и е  и  т е о р и я  э л е к т р и ч е с к и х  ц е п е й ,  А к а д е м ия  Н а ук  У к р а и н с к ой  С С Р,  И н с т и т ут  К и б е р н е т и к и,  в ы п у ск  I I I ,  К и ев  1 9 6 5 .  4 .  Г .  Е .  П У Х О В,  В .  В .  В А С И Л Ь Е В,  А .  Е .  С Т Е П А Н О В,  О .  Н .  Т О К А Р Е В А,  Э л е к т р и ч е с к о е  м о д е л и р о в а н и е   з а д а ч  с т р о и т е л ь н о й  м е х а н и к и ,  И з д.  А .  Н .  У к р а и н с к ой  С С Р, К и ев  1 9 6 3 .  Р е з ю ме   М Е Т ОД  Э Л Е К Т Р И Ч Е С К О ГО  М О Д Е Л И Р О В А Н ИЯ  О Б Ы К Н О В Е Н Н ЫХ   Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н ЫХ  У Р А В Н Е Н ИЙ  И  У Р А В Н Е Н ИЙ  С  Ч А С Т Н Ы МИ   П Р О И З В О Д Н Ы МИ  С  П О С Т О Я Н Н Ы МИ  К О Э Ф Ф И Ц И Е Н Т А МИ   И  Ч Л Е Н А МИ  Ч Е Т Н О ГО  П О Р Я Д КА   О п и с ы в а е т ся  м е т од  п о с т р о е н ия  э л е к т р и ч е с к их  м о д е л ей  д и ф ф е р е н ц и а л ь н ых  в ы р а ж е н ий  с о­ д е р ж а щ их  п р о и з в о д н ые  ч е т н о го  п о р я д к а.  П р и м е н е ны  д ве  о т д е л ь н ые  с е ти  ( в е р х н яя  и  н и ж н я я ).  Р а с с м о т р е ны  т а к же  н е о д н о р о д н ые  д и ф ф е р е н ц и а л ь н ые  у р а в н е н и я.  П р и в о д и т ся  р яд  п р и м е р о в:  д и ф ф е р е н ц и а л ь н о го  у р а в н е н ия  и з г и б а е м ой  б а л ки  н а  у п р у г ом  о с н о­ в а н и и,  и з г и ба  т о н к ой  п л и ты  а  т а к же  д ля  с и с т е мы  у р а в н е н ий  н а  п е р е м е щ е н ия  о б щ ей  т е о р ии  у п р у­ г о с т и.  S u m m a r y  E L E C T R I C  N E T W O R K .  M O D E L S  O F  O R D I N A R Y  A N D  P A R T I A L  D I F F E R E N T I A L  E Q U A T I O N S  W I T H  C O N S T A N T  C O E F F I C I E N T S  A N D  E V E N  O R D E R  T E R M S  T h e  m e t h o d  o f  c o n s t r u c t i n g  the  electric  m o d e l s  o f  a n  even  o r d e r  finit e  difference  expression  has  been  described,  t w o  separate  n e t w o r k s  (the  upper  a n d  l o w e r  ones)  b e i n g  i n t r o d u c e d .  N o n ­ h o m o g e n e o u s  differen­ t i a l  equation s  are  taken  i n t o  c o n s i d e r a t i o n .  E x a m p l e s  o f  several  types  o f  m o d e l s  are  g i v e n ;  the  equations  o f  b e n d i n g  o f  a  beam  o n  elastic  f o u n d a ­ t i o n ,  b e n d i n g  o f  a  t h i n  elastic  plate  a n d  the  displacement  equations  o f  general  elasticity  t h e o r y  have  been  discussed  i n  p a r t i c u l a r .  POLITECHNIKA  KRAKOWSKA  Praca  została  zlofona  w  Redakcji  dnia  18  kwietnia  1969  r.  —  przeredogowana  (po  raz  pierwszy  wpłynę ła  dnia  15  lipca  1968  r.)