Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS69\MTS69_t7z1_4_PDF\mts69_t7z4.pdf M E C H A N I K A  TEORETYCZNA  1  STOSOWANA  4, 7(1964)  PRZYKŁADY  MODELOWANIA  ELEKTRYCZNEGO WARUNKÓW BRZEGOWYCH  I  POCZĄ TKOWYCH  RÓWNAŃ  RÓŻ NICZKOWYCH  WYSTĘ PUJĄ CYCH  W  ZAGADNIENIACH  MECHANIKI  ALEKSANDER  L I S O W S K I  (KRAKÓW)  W  pracy  [4] podał  autor podstawy  modelowania  w sieci  elektrycznej  równań  róż niczko­ wych  liniowych  zwyczajnych i czą stkowych  o współczynnikach  stałych  i pochodnych  rzę du  parzystego.  Obecnie  rozważ onych  bę dzie  kilka  typów  równań  wystę pują cych  czę sto  w za­ gadnieniach  technicznych:  równanie  Laplace'a,  równania  Lamć go  oraz  równanie  falowe  i  równanie  drgań  swobodnych. Podane bę dą  przykłady  elektrycznego  modelowania  równań   z  uwzglę dnieniem  warunków  brzegowych  i  począ tkowych.  1.  Przykłady  zastosowań  równań  róż niczkowych  do zagadnień mechaniki  l . l .  Równanie  drgań  swobodnych  nietłumionych.  Rozpatrzmy  równanie  róż niczkowe  drugiego  rzę du  o  postaci  ( 1 . 1 )  m^+kt]  =  0,  gdzie  m — masa  drgają cego  ciała  o  jednym  stopniu  swobody,  tj — wychylenie, od  poło­ ż enia  równowagi,  к — wartość  siły  powodują cej  jednostkowe  ugię cie.  Równanie  (1.1)  napisane dla  punktu  i w zapisie  róż nicowym  przyjmie  postać   „.  m l  2m  Л  m  (1­2)  A F ^ ­ W *  ­kjn+AF**1  =  °­ Pisząc  równania  dla  kolejnych  momentów  o  odstę pie  czasu  At  otrzymamy  m  12m  , \  m  dla  / 0  =  0  ­jp;  4 i — I ­ j p : ­ K j V o +  ­jp;  Vi  =  0.  (1.2a)  dla  /,  =  1/1;  ^ 4 ° ­ ( ^ ~ k ) r l i  +  ­%zV2  =  0,  ~  л  m  12w  , \  m  .  ,  dla  t2  =  2At  ­fti  ł j . ­ l ^ . ­ f c l ^ ­ L .  —  V i  =  0  ttd.  430  A .  LISOWSKI  Przyjmując  warunki  począ tkowe  dla  t  — 0,  mianowicie  Arj0  yi—yv  (1.2b)  »?(o) =  Vo  oraz  At  2 At  C,  otrzymamy  z  równania  pierwszego  (1.2a)  wartość  wychylenia  rjx  (w  czasie  t{),  nastę pnie  z  równania  drugiego  (l­2a)—­wychylenie  rjz,  z  równania  trzeciego  (1.2a)—­wychylenie  »;3 itd.  Niż ej  podamy przykład  konkretny.  P r z y k ł a d  1.1.  Zmodelować  w sieci  równania  drgań  swobodnych  (1.2)  oraz  obliczyć   kolejne  wychylenia­  masy,  przyjmując  dane  układu  (m  =  P/g,  gdzie  g  przyspieszenie  ziemskie  981  cm/sek2)  (1.2c)  m  ~Ati  oraz  warunki  począ tkowe  (1.2d)  =  1  k G  c m  • sek2  sek2  i  * = 0,5[—1  Lem  J  J?O  =  1 [cm]  i  t]ó  =  0.  Uwzglę dniając  (1.2c)  w  równaniu  (1.2)  otrzymamy  b?j_i—1,5J7,­+1J7,+1  =  0.  \ i 5  R y s .  1.  W y k r e s  d r g a ń  s w o b o d n y c h  masy  d o  p r z y k ł a d u  1.1  Z  drugiego  warunku  (1.2b)  Yi.  Г ).  .  0;  2At  z  uwzglę dnieniem  (1.2d)  otrzymamy  zwią zek  okreś lają cy  wychylenie  w  pomocniczym  punkcie  Г  (patrz  rys.  1)  (1.2e)  rji­  =  Vi­ Uwzglę dniając  (1.2d) i  (1.2e) w równaniach  (1.2a) otrzymamy  wychylenie masy  w  kolej­ nych  odstę pach  czasu,  mianowicie  tjo =  lem,  rji =  0,75  cm,  7j2 =  0,125  cm,  т ?3 =  —0,5625 cm,  r/4  =  —0,96875 cm,  t]s  =  ­0,89062 cm,  щ  =  ­0,36719 cm,  ??7  =  0,33984 cm,  щ, =  0,87695 cm,  rj9  =  0,97559 cm  itd.  PRZYKŁADY  MODELOWANIA  ELEKTRYCZNEGO  431  Wykres  podany  na  rys.  1  przedstawia  wychylenie  masy.  Jak  wiadomo,  rozwią zanie  równania  (1.1) przedstawia  zależ ność  sinusoidalną,  co wyraź nie jest uwidocznione w otrzy­ manym  przebiegu  (jest  to  przypadek  drgań  niegasną cych  o  stałej  amplitudzie).  Przejdź my  do modelowania równań  (1.2a) w sieci z uwzglę dnieniem  warunków  począ tko­ wych.  Przyjmiemy  nastę pują ce  współczynniki  przeniesienia  modelowego  mr  i  mu,  (1.2f)  r =  mr,  Q  =  j­mr,  Ui =  7jimu;  m  к   wówczas  równanie  (1.2)  moż na  zapisać  w postaci  u , . i ­ 2 u , +  u l + l  vEL  =  Q  Г  Q  Układ  sieci  spełniają cy  powyż sze  równanie  podany jest  na  rys. 2.  in  ii  r  \i  T  i+1  R y s .  2 .  E l e k t r y c z n y  m o d e l  r ó w n a n i a  r ó ż n i c o w e go  d r g a ń  s w o b o d n y c h  n i e t ł u m i o n y c h  i 2  r  i  !  r  t  T  L'!  V  L'?  T  L'i  R y s .  3.  E l e k t r y c z n y  m o d e l  u k ł a d u  r ó ż n i c o w e go  d r g a ń  p r z y  z a ł o ż o n ym  o d s t ę p ie  At  Wstawiona  siła  elektromotoryczna  E0  ma  za zadanie  wyrównanie  potencjałów  i  oraz  i'.  Dołą czony  do  wę zła  prąd  It  modeluje  obcią ż enie  zewnę trzne  [np.  siłę wymuszają cą  w  rów­ d2ri  naniu  m —2 L  +kr)  =  P(t)]. Dla przedstawienia  układu  równań  (1.2a) należy  odpowiednie  schematy  modelują ce  poszczególne  równania  odpowiednio  połą czyć  ze  sobą  (patrz  rys. 3).  4  Mechanika  teoretyczna  432  A .  LISOWSKI  Q =  — mr  =  200 О ,  К   Przejdź my  do modelowania warunków  począ tkowych.  Jako warunki począ tkowe  zadania  przyjmujemy,  że w chwili  /  =  0 znane jest wychylenie щ  oraz  prę dkość  rjó.  Uwzglę dniając  (1.2e)  oraz  (1.2f)  otrzymamy  wartoś ci  napięć  modelują ce  wychylenia  masy  (1.2g)  Ł/o =  щ ти  oraz  Uv  =  Ł/,  =  Do  dalszych  rozważ ań  przyjmiemy  wartoś ci  współczynników  przeniesienia  (1.2h)  mr  =  100 ĵ ™ oj  oraz  ra,  =  1  ^ J . Ze  znanej  zależ noś ci  mu  =  Ш ;ШГ  obliczymy  współczynnik  przeniesienia  prą dowego  (1.2i)  W ,  =  0 , 0 l [ k G ' 2 A l .  L  C M  J  Obecnie  okreś lić  moż emy  wielkoś ci  wchodzą ce  w  obwód  sieci.  Podstawiając  do  (1.2f)  otrzymamy  (1.2k)  Ł/0 =  i) 0 m, =  1 [cm] • 1  | ^  j  =  1  V ;  dodatkowo  zakładamy  Л =  1000 Q.  Modelując  równanie  róż nicowe  drgań  poczynając  od  punktu  0  należy  do  tego  wę zła  przyłoż yć  napię cie  U0  (w  rozpatrywanym  przypadku — 1  V)  modelują ce  wychylenie  po­ czą tkowe.  Drugi  warunek  uzyskamy  rozpisując  pierwsze  równanie  (1.2a),  które  z  uwzglę d­ nieniem  przyję tych  wielkoś ci  (1.2f)  i  (1.2c) — przyjmie  postać   IŁ/,, ­ ( 2 ­ 0 , 5 ) £ / 0 + l I / ,  =  0.  Uwzglę dniając  ponadto  warunki  począ tkowe  (Uv  =  Ł/,  oraz  U0  =  1 V)  otrzymamy  (1.21)  С /! =  =  0,75 V .  Układ  sieci  poczynając  od  punktu  0  podany  został  na  rys.  4.  Po  zasileniu  układu  napię ciem  równym  1  V  tak  manipulujemy  siłą  elektromotoryczną  Ea  należ ą cą  do  wę zła  1,  aby  uzyskać  w wę ź le  siatki  dolnej  Г  napię cie  równe  0,75  V . Nastę pnie  przechodzimy  do  wę zła  2  i  tak  regulujemy  napię ciem  E0  (należ ą cym  do  tego  wę zła),  aby  potencjały  po  obu  stronach  oporów  R  wę złów  l i i ' zrównały  się  ze  sobą.  Dokonujemy  pomiaru  w wę ź le  2  i  na  to  zmierzone  napię cie  ustalamy  (ponownie  regulując  siłą  elektromotorycz­ ną  E0)  potencjał  wę zła  2'.  Przechodzimy nastę pnie  do  siły  elektromotorycznej  EQ  należ ą cej  do  wę zła  3,  którą  ustalamy  z  warunku  zrównania  potencjałów  w wę złach  2  i  2'  i  opisaną   poprzednio  czynność powtarzamy.  W opisany sposób  otrzymuje  się rozkład  prą dów  w sieci,  przy  czym  napię cia  w  wę złach  górnej  (lub  dolnej)  siatki  z  uwzglę dnieniem  współczyn­ ników  (1.2/г)  okreś lają  wartość  wychylenia  masy  w kolejnych  odstę pach  czasu  (1.2g).  Rozkład  napięć i wartoś ci  prą dów  dla kilku  pierwszych punktów  rozważ anego  przykładu  podany  został  na  rys. 4.  PRZYKŁADY  MODELOWANIA  ELEKTRYCZNEGO  433  P r z y k ł a d  1.2.  Zmodelować  układ  według danych przykładu  poprzedniego,  przyjmu­ jąc  warunki  począ tkowe  (1.2ł)  Щ =  1 cm,  tjó  0,3  cm  At  sek  U0­W  02500  JE2  ]  ш я я >  U,=0.75V  16250^  W0Q  *Т з 750//А   2 6875  В Я   34062  4,50V  625/J A  [ 2810}/A  1 U  450  | U  337  x̂~© Hi &~© Ht x̂-0Hl if fl75C6 \3750pA  Oi I I  575/(Л   2810 (i A  н /hw/  R y s .  4.  E l e k t r y c z n y  m o d e l  u k ł a d u  r ó w n a n i a  d r g a ń  w e d ł u g  d a n y c h  p r z y k ł a d u  1.1  Z  ostatniego  warunku  otrzymamy  rjv  =  rj^—0,6.  Piszemy  równanie  róż nicowe  (1.2)  dla  punktu  począ tkowego  m  ~At2  ( 2m  .\  m  ~AtJ~  jrio~'Atfr]l  =  U 0 =iV  U | « l , 0 5 V  0  ,  ,  50&>Л  ' 4750  o  — I  •  —  Г   7mm  1.01  0.5]  At  \ A t  Rys.  5.  Elektryczny  model  r ó w n a n i a  d r g a ń  oraz  wykres  d r g a ń  swobodnych  masy  do  p r z y k ł a d u  1.2  4*  file:///3750pA 434  A .  LISOWSKI  Uwzglę dniając  dane  zadania  (1.2c)  oraz  warunki  począ tkowe  (1.21)  w  równaniu  iji­—l,5)7o+*?i  =  0  otrzymamy  r]x =  1,05  cm.  Przyjmując  współczynniki  przeniesienia takie jak  w zadaniu poprzednim (1.2f) otrzymano  wielkoś ci  napięć  dla punktów  począ tkowych  U0 =  1 V i  Ui  —  1,05  V , a  wielkoś ci  napięć   z  pomiarów  na analogu  U2 =  0,575 V,  U, =  ­0 ,1 8 8 V,  U4 =  ­0,856 V,  Us =  ­ 1 , 0 9 7 V ,  U6 =  ­0,789 V,  t/7 =  ­ 0 , 0 8 7 V ,  Ut =  0,659V,  U9 =  1,075V  itd.  Układ  sieci,  warunki  począ tkowe  oraz  wartoś ci  napięć  i rozdział  prą dów  podany  został  dla  kilku  począ tkowych  punktów  sieci na rys.  5a. Wykres  drgań  podano na rys.  5b.  Z wy­ kresu  widać, że w chwili  począ tkowej  zachodzi  ruch  masy  w kierunku  dodatnich  wychyleń   i  po osią gnię ciu  wartoś ci  »? m a x  ^  1,1 cm  nastą pi  ruch  w kierunku  przeciwnym.  W  odróż nieniu  do  wykresu  podanego  na rys. 1,  fazy  ruchu  są  przesunię te  oraz  ruch  nastę puje  przy  wię kszej  amplitudzie,  natomiast  czę stotliwość  drgań,  która  nie zależy od  warunków  począ tkowych,  została  ta sama.  1.2.  R ó w n a n i e  drgań  struny.  Rozpatrzmy  równanie  falowe  г2  , з2 , j M _i d2r)  Bz2)n  ć  fox2  t  By2 T  dz2j  1  c2  ct2  jako  zagadnienie jednowymiarowe  (odpowiadać  to  bę dzie  drganiom  poprzecznym  struny)  0.3)  Й ­ 4 £ ­ о.  д х2  c2  ct2  W  zapisie  róż nicowym  A2rj  1 Ah]  ~Ax2  ~ ~c2 0­4)  Równanie  powyż sze  rozpisane dla punktu  /, j  (patrz  rys.  6a) przyjmie  postać   0­5) -^2  2 » ? i j + » ? i + i j ) ­  ­^д ­г  (Vi,j­i~2Vi.j+Vi,j+i)  =  0.  Układ  sieci  spełniają cy  powyż sze  równanie  podany jest na rys.  6b. Napię cie  modelować   bę dzie  (jak poprzednio)  wychylenie,  a  opornoś ci  — parametry  równania  według  wzorów  (1.5a)  UUJ  =  г )и ти,  (1.5b)  i\  =  —j—mr,  r 2 =  — — / ? z r .  Układ  sieci  modelują cej  równanie  (1.4) omówimy  na przykładzie  konkretnym.  P r z y k ł a d  1.3.  Okreś lić  wychylenia  punktów  wę złowych  struny  stosując  podział  na  4  równe  czę ś ci,  przyjmując  stan  począ tkowy  przy  obcią ż eniu  struny siłą  w punkcie 1  według  rys. 7a.  Jako  dane  zadania  przyję to  , , , , i , i i_ _, , _L U  Ax2  cm­'  c2\t2  •  cm 2  436 A .  LISOWSKI  Równanie  (1.5)  przyjmie zatem  postać   (1.5d)  Vi­ij+Vu+Vi+ij—  l»5j?JtJ­_i— l,5t)tJ+1  =  0.  Zgodnie  z  rys.  7a  przyjmiemy  wychylenia począ tkowe  (dla  t  =  0)  (1.5e)  7/1,0=  lem, »; 2 i o  =  0,667cm,  r; 3 | 0  =  0,333 cm.  Warunki  brzegowe  okreś lają  w dowolnej  chwili  zerowe  wychylenia  struny  na  podporach  (1.5f) »/o.r =  0, J?4.« =  0.  Jako dodatkowe  warunki począ tkowe  przyję to  zerowe prę dkoś ci  punktów  1, 2,3  w chwili,  od  której  bę dziemy  mierzyć  czas,  czyli  dla  t =  0  d»/i  _  Srj2  _  ć hji  _  dt  ~  dt  dt  Z  zależ noś ci  ostatnich  wynika  0­5g) »?i< = J?M>  V2­  —  V2.1,  Vy  =  ViA>  gdzie  oznacza  teoretyczne  wychylenie  punktu  i  dla  t  =  —At.  Napiszemy  równania  (1.5d)  dla punktów  1,2x3  dla chwili  t =  0  dla  punktu  1  0+1+0,667­1,5»?,,­1,5*71,,  =  0,  (1.5h)  dla punktu  2  1 + 0 , 6 6 7 + 0 , 3 3 3 ­ 1 , 5 » ? 2 . ­ l , 5 ł ? 2 , ,  =  0,  dla  punktu  3  0,667+0,333+0— l,5q y —l,5ifr,i  =  0,  gdzie np. »7i, oznacza wychylenie  punktu  /  w chwili t =  —At oraz 771,, — dla chwili t  —  At.  Uwzglę dniając  zależ noś ci  (1.5g)  wynikłe  z  założ onych  warunków  począ tkowych  z  rów­ nań  (1.5h)  obliczymy  (1.5i)  r?,,, =  0,555,  »72,, =  0,667,  t]3>1  =  0,333.  Oznaczając  wychylenia  poszczególnych  punktów  układu  w  czasie  zgodnie  z  rys.  7b  otrzymano  wartoś ci  dalszych  wychyleń   ł/l,2  =  ­0,185,  7/2,2  =  0,370,  7/3,2  »/l,3  =  ­0,431,  7/2,3  =  ­0,320,  7/3,3  7/1.4  =  ­0,316,  7/2,4  =  ­0,782,  7/3,4  Przejdź my  do  modelowania  układu  w  sieci  elektrycznej. Przyjmiemy nastę pują ce  współ­ czynniki  przeniesienia  mr  =  150 Q/cm 2,  mu  =  1  V / c m ,  wówczas  Ax2  c2At2  r , = ^ w r = 1 5 0 Q ,  r2  =  ~ ^ m r  =  100  i i .  Dodatkowo  zakładamy  R  =  500 Q.  Układ  sieci  dla  kilku  począ tkowych  chwil  (w odstę pach  czasu At)  podany jest  na  rys. 8.  Rozwią zując  układ  na  drodze  eksperymentalnej  najpierw  modelujemy  warunki  począ t­ kowe  przykładając  do  punktów  / ,  0;  2,0 i  3,0  napię cia  odpowiednio  Uii0=  I V ,  U2,o  =  PRZYKŁADY  MODELOWANIA  ELEKTRYCZNEGO  437  =  0,667 V ,  t/3 > 0  =  0,333 V,  zgodnie  z  przyję tymi  wychyleniami  począ tkowymi  (1.5e).  Wychylenia  koń ców  struny  w dowolnym  czasie  są  równe  zeru,  co  uzyskujemy  podłą czając  do  masy  wę zły  0,1;  0,2;  0,3  itd.  oraz  4,1;  4,2;  4,3  itd.  R y s .  8.  E l e k t r y c z n y  m o d e l  u k ł a d u  r ó w n a n i a  r ó ż n i c o w e go  d r g a ń  struny  w e d ł u g  d a n y c h  p r z y k ł a d u  1.3  Warunek  począ tkowych  prę dkoś ci  uję ty  jest  w  zależ noś ci  (1.5i).  Modelowanie  tych  wartoś ci  w elektrycznym analogu  uzyskujemy  w ten  sposób,  że tak  regulujemy  wartoś ciami  sił elektromotorycznych  E0  należ ą cych  do  wę złów  1,1,  2,1  i 3,1,  aby  uzyskać  w tych  wę złach  wymagane  napię cia  w  stosunku  do  masy  równe  С Л.1 =  0,555V,  U2iX  =  0,667V  oraz  t/3 ),  =  0,333V.  Po  ustaleniu  wyjś ciowych  napięć  w  wę złach  górnych  dla  chwil  t0  oraz  tx  (patrz  rys.  8)  przechodzimy  do  zasilania  wę złów  (włą czania  sił  elektromotorycznych  E0)  dla  chwili  t2  poczynając  np.  od  wę zła  1,2.  Tak  regulujemy  zmienną  siłą  E0  należ ą cą  do  wę zła  1,2,  aby  wyrównać  róż nicę  napięć  pomię dzy  wę złami  1,1  i  (1,1)'  górnej  i  dolnej  siatki.  Dalej  prze­ chodzimy do  siły E0  wę zła 2,2,  której  wartość ustalamy z warunku wyrównania  potencjałów  2,1  i  (2,1)'.  Opisaną  czynność powtarzamy  dla  wę zła  3,2.  Po  skontrolowaniu,  czy  warunki  równowartoś ci  potencjałów  odpowiednich  wę złów  górnej  i  dolnej  siatki  są  spełnione  dla  chwili  ti,  przechodzimy  do  ustalenia  sił  elektromotorycznych  E0  dla  wę złów  chwili  ?3  z  warunku  wyrównania  potencjałów  górnych  i dolnych  wę złów  chwili t2.  Opisaną  czynność   powtarzamy  dla  dalszych  nastę pują cych  chwil.  Wynik  przykładu  dla  dwunastu  chwil  podany jest  na  rys.  9.  Z  przebiegu  kolejnych  wy­ kresów  widać  ciekawy  przebieg  odkształceń,  gdy  od  chwili  począ tkowej  t0  punkt  1  o  naj­ wię kszym  wychyleniu  uzyskuje  najwię kszy  przyrost  prę dkoś ci  powodując  wygię cie  struny  w  stronę  przeciwną,  podczas  gdy  pozostałe  punkty  mają  jeszcze  wychylenie  dodatnie  (dla  /  =  2At).  Dalej  nastę puje  ruch  w  dalszym  cią gu  do  dołu  z  tym,  ze  dla  t  =  5At  uzyskujemy  438  A .  LISOWSKI  niemal  antysymetryczną  postać  podkształcenia  w  stosunku  do  schematu  wyjś ciowego.  Dalej  cykl  powtarza  się  powodując  ruch  poszczególnych  punktów  w  górę.  t„­12At  R y s .  9.  P o s t a c i e  d r g a ń  s t r u n y  w  k o l e j n y c h  o d s t ę p a ch  c z a s u  At  1.3.  R ó w n a n i e  zginania  płyt  cienkich.  Ugię cia  w(x,  y)  powierzchni  ś rodkowej  płyty  spełniają   równanie  biharmoniczne  84w  .  „  84w  ,  84w  g(x,  y)  (1.6)  dx4  + 2  8x28y2  '  8y4  D  PRZYKŁADY  MODELOWANIA  ELEKTRYCZNEGO  439  W  zapisie  róż nicowym  /14,;  , ,  A4w,,j  ,  A*w,j _ 0 , j  Rozpisując  powyż sze  równanie  dla  punktu  i, j  (patrz  rys.  10а) oraz  przyjmując  dodat­ kowe  uproszczenie,  że  Ax  = Ay,  otrzymamy  (1.8)  2 0 w , ­ j — 8 ( w , _ i , i + w i i i _ 1 + H ' i + i j + w u + i ) + 2 ( H ' i _ i J + W i + i j _ i + w , + , ) J + i +  л  ,zlx 4  +  W | ­ l j ) + W J _ 2 J + W | j _ 2 + W | + 2 J + W , j + z  =  2)  •  R y s . 10. E l e k t r y c z n y  m o d e l  r ó w n a n i a  r ó ż n i c o w e go  p ł y t y i o z n a c z e n i a  p u n k t ó w  s i a t k i  Widzimy,  że współczynniki  wystę pują ce  przy  ugię ciach  punktów  są siednich  tworzą   układ  symetryczny  wzglę dem  punktu  centralnego  z', y'.  Elektryczny model  równania  płyty  podany  został  na  rys.  10b.  Odpowiednie  zależ noś ci,  pozwalają ce  modelować  w  sieci  elek­ trycznej  równanie  płyty  wynoszą   Ax*  (1.9)  r = ­ D  mr,  Iij = gijnii,  Uu  =  wttJmu.  Mię dzy  współczynnikami  przeniesienia  istnieje  znana  zależ ność   (1.10)  mu = т{тг.  Przejdź my  do  modelowania  warunków  brzegowych.  1.3.1.  Powierzchnia odkształcenia  płyty  posiada  oś  symetrii a—b  (rys.  1 la).  Wówczas  z  warunku  symetrii  moż na  przyjąć   (a)  =  Wi_hJ,  Wi +  i J  =  Wt_ij,  Wi+2J  =  Wt­2.J,  Wi + l.j+l =  Wj­lJ+l­ Uwzglę dniając  powyż sze  zależ noś ci  w  (1.8)  otrzymamy  równanie  (1.11)  [20wij­^wi_lj+wij_1  +  wij+1)+2(2wi^tj+2wi_1j+1)+  4 4 0  A .  LISOWSKI  którego  model, zgodnie z oznaczeniami (1.9), podany został  na  rys.  l i b .  Biorąc  pod  uwagę   powią zanie  punktów  położ onych  na  osi  symetrii  z  punktami  wewnę trznymi  (punkt  i,  j  łą czy  się  z  punktami  i—2,j;  i — o r a z  wę złami  dolnej  siatki  należy  dą ż yć  do  tego,  aby  były  równocześ nie  spełnione  równania  (1.8)  i  (1.9),  czyli  punkty  te  R y s .  11.  M o d e l o w a n i e  p u n k t ó w  p o ł o ż o n y ch  n a  osi  s y m e t r i i  winny  łą czyć  się  za  poś rednictwem  tych  samych  oporów.  Moż emy  to  uzyskać  dzieląc  wszystkie wyrazy  równania  (1.9)  przez  dwa  — wówczas  analogiem  dla  punktu  położ onego  na  osi  symetrii  bę dzie  układ  podany  na  rys.  1 lc.  Porównując  schemat  sieci  podanej  na  rys.  10b  oraz  l i c  widać,  że  przy  modelowaniu  siatki  płyty  przyjmować  bę dziemy  dla  punktów  wewnę trznych  układy  według  schematu  podanego  na  rys.  10b,  a  dopiero  dla  punktów  położ onych  na  osi  symetrii  odkształconej  powierzchni  płyty —  układy  wedle schematu  podanego  na  rys.  1 lc.  PRZYKŁADY  MODELOWANIA  ELEKTRYCZNEGO  441  W  przypadku  podwójnej  symetrii wzglę dem  osi x  oraz у  wynikają  zależ noś ci  ( Ь )  Wi +  2 J  =  W ; _ 2 J ,  WUj  +  2  =  W,j_2,  Wi + l.j­1  =  Wi +  i J + i  =  Wi­lj  + 1 =  Wi­lJ,  WUJ  +  i  =  Wij_u  Wi +  h J  =  Wi_ij.  Uwzglę dniając  (b) w (1.11)  otrzymamy  równanie  (1.12)  2 0 w l j ­ 8 ( w ł _ 1 j . 2 + w i J _ 1 . 2 ) + 2 ( w l _ 1 J . 4 ) + i v l _ 2 j . 2 + ł v , j _ 2 . 2  =   4 i j A x  w  którym  podzielimy  wszystkie  wyrazy  przez  cztery.  Układ  sieci  modelują cej  równanie  rozpisane  dla  punktu  centralnego  (przez  który  przechodzą  obie  osie  symetrii)  podano na  rys.  l i d .  Przejdź my  nastę pnie  do  modelowania  warunków  brzegowych.  Rozpatrzmy  dwa naj­ czę ś ciej  wystę pują ce  przypadki — krawę dź  płyty  oparta  w sposób  przegubowy  oraz  całko­ wicie  utwierdzona.  1.3.2.  Krawę dź  swobodnie  oparta na podporze.  Z warunku  oparcia  płyty  wzdłuż jej  kra­ wę dzi przyjmuje  się, że ugię cia  wzdłuż tej  krawę dzi  są  równe  zeru.  Dla przykładu  rozpatrz­ my  krawę dź  a—b  płyty  (patrz  rys.  12a). Z warunku  przylegania  płyty  do podpory  moż na  zapisać   (C)  Wa  =  Wj + l . j ­ l  =  Wi +  ij  =  Wi +  1 J + l  =  wb  =  0.  Drugim  warunkiem  okreś lają cym  przegubowy  sposób  podparcia  jest  zerowa  wartość   momentu  zginają cego  w danym  przypadku  wzglę dem  osi y.  UW  L/  Г У   (1.13)  My =  —D  ^T+VITT  = 0 .  Pw"  dx2  ' ' 8y2  W  zapisie  róż nicowym  dla wę zła  i+l,j  leż ą cego na krawę dzi  otrzymamy  (1.14)  M ( i + W ) , =  ­ Д ( ^ ­ 2 4 v  ^ ^ r 2 ^ u + ^ t w ± i )  =  o.  Uwzglę dniając  (c)  otrzymamy  (d)  Wi +  2J=  ­Wij.  Równanie  powierzchni  odkształconej  płyty  (1.8)  rozpisane  dla  punktu  oddalo­ nego o Ax od  krawę dzi  opartej  w sposób  przegubowy  z uwzglę dnieniem  (c) i (d)  przyjmie  postać   qijAx4  D  Uwzglę dnienie  warunku  zerowych  ugięć  na  krawę dzi  podparcia  prowadzi  w  modelu  elektrycznym  do zapewnienia  tym  wę złom  zerowych  potencjałów.  Uzyskuje  się  to  przez  połą czenie  punktów  i  i+1,7  przewodem  bezoporowym z  masą   (patrz  rys.  12b).  Warunek  (d)  łatwo jest  spełnić  w sieci  łą cząc  wę zeł  i, j  z  masą  za poś rednictwem  oporu  równego r/2.  442  A .  LISOWSKI  Łatwo  sprawdzić,  że  wartość  prą du  łą czą cego  wę zły  /',  j  i  i+2,  j,  zgodnie  z  założ e­ niem  (d),  wynosi  R y s .  12.  M o d e l o w a n i e  w a r u n k ó w  b r z e g o w y c h  o p a r c i a  p ł y t y  n a  p o d p o r z e  p o z w a l a j ą c ej  n a  s w o b o d n y  o b r ó t  o r a z  c a ł k o w i c i e  u t w i e r d z a j ą c ej  PRZYKŁADY  MODELOWANIA  ELEKTRYCZNEGO  443  1.3.3.  Krawę dź  całkowicie  utwierdzona.  Rozpatrzmy jak  wyż ej  krawę dź  równoległą  do  osi  y.  Z  warunków  podparcia  otrzymujemy  Wl.j­Wn.2J  =  0  2Ax  co  prowadzi  do zależ noś ci  ( 0  Wi +  2 J = W i J .  Przy  spełnieniu  warunku  (f) nie popłynie  prąd  przez  opór  r łą czą cy  wę zły  i, j  i /+2, j.  W  sieci  elektrycznej  najwygodniej  to  spełnić  nie dając  połą czenia  mię dzy  tymi  wę złami.  Układ  sieci  podany  dla wę zła  /', j  oddalonego  od Ax  od krawę dzi  utwierdzają cej  podany  został  na rys. 12c.  W  zakoń czeniu podamy kilka uwag dotyczą cych  celowoś ci modelowania w sieci  elektrycz­ nej  równań  róż nicowych.  Zasadniczym  zakresem  stosowalnoś ci  analogowych  maszyn  uniwersalnych jest  rozwią­ zywanie  równań  róż niczkowych.  Maszyny  analogowe mają  tu tę wyż szość nad  cyfrowymi,  że  oprócz  czterech  działań  arytmetycznych  potrafią  jako  jedną  operację  wykonywać  cał­ kowanie,  a  w  ograniczonych  zastosowaniach — róż niczkowanie.  Maszyny  analogowe,  przez  uż ycie  członów  całkują cych  i  sumują cych,  zezwalają  na  modelowanie  poszczegól­ nych  członów  równania  róż niczkowego  oraz otrzymanie w postaci wykresów  lub  odczytów  cyfrowych  zarówno  ostatecznego  rozwią zania,  jak  i  wszystkich  kolejnych  pochodnych  funkcji  do  rzę du  najwyż szej  pochodnej  równania  włą cznie [3].  Przedstawiony  w  pracy  niniejszej  sposób  modelowania  w  sieci  równań  róż nicowych  wymaga  montażu  sieci  złoż onej  ze znacznej  nieraz  liczby  wę złów  (wymaganej  dla otrzy­ mania  wystarczają co  dokładnego  rozwią zania).  Zmontowanie  układu  dla równania  drgań   swobodnych  (1.1)  czy  tłumionych  na maszynie  uniwersalnej jest  stosunkowo proste  (przy­ kład  1.1 i 1.2) i ma tę ponadto zaletę, że rozwią zanie  uzyskuje  się w  postaci  cią głej  funkcji.  Jest jednak szereg takich  zjawisk  opisanych równaniami  róż niczkowymi, w których modelo­ wanie równania jest  kłopotliwe na maszynie uniwersalnej,  a więc przede wszystkim  w rów­ naniach  czą stkowych,  które  moż na  rozwią zać  stosując  metodę  róż nic  skoń czonych; wy­ maga  to jednak  z  kolei  duż ej  liczby  wzmacniaczy  operacyjnych.  W takich  przypadkach  przedstawiony  sposób  może być szczególnie uż yteczny, choć by przy  rozwią zywaniu  równań   falowych  (przykład  1.3)  czy równania  biharmonicznego.  Dodatkowym  aspektem,  który  moż na  podkreś lić jest  fakt,  że montaż  układu  analogowego w sieci  elektrycznej  może  być   wykonany  w niemal  prymitywny  sposób  w każ dym  laboratorium  przy  uż yciu  elementar­ nego  wyposaż enia,  a cena  uniwersalnych  maszyn  analogowych jest  nieporównanie  wyż sza.  Literatura  cytowana  w  t e k ś c ie  1  •  M .  T .  H U B E R :  Teoria  sprę ż ystoś ci,  t.  I  i  I I .  P o l s k a  A k a d e m i a  U m i e j ę t n o ś c i,  K r a k ó w  1948,  1950.  2 .  К . К ,  К е р о п я н.  П .  M .  Ч е г о л и н,  Э л е к т р и ч е с к о е  м о д е л и р о в а н и е  в  с т р о и т е л ь н о �  м е х а н и к е ,  Г о с с т­ р о й и М д а т,  М о с к ва  1963.  ( О   Aw  А х   http://Wl.j-Wn.2J 444  A .  LISOWSKI  3.  A .  LISOWSKI,  Analogowe  maszyny  matematyczne,  (skrypt)  P W N , K r a k ó w ,  W a r s z a w a ,  Ł ó d ź  1967.  4.  A .  LISOWSKI,  Sposób  elektrycznego  modelowania  równań  róż niczkowych  liniowych  zwyczajnych  i  czą stko­ wych  o  współczynnikach  stałych  i  członach  rzę du  parzystego,  M e c h a n i k a  T e o r e t y c z n a  i  S t o s o w a n a , P W N ,  W a r s z a w a ,  7  (1969),  z.  4,  425­438.  5 .  М а т е м а т и ч е с к о е  м о д е л и р о в а н и е  и  т е о р и я  э л е к т р и ч е с к и х  ц е п е й ,  А к а д е м ия  Н а ук  У к р а и н с к ой   С С Р,  И н с т и т ут  К и б е р н е т и к и;  в ы п у ск  I I I ,  К и ев  1 9 6 5 ,  в ы п у ск  V ,  К и ев  1 9 6 7 .  6 .  Г .  Е .  П У Х О В,  В . В .  В А С И Л Ь Е В,  А .  Е .  С Т Е П А Н О В,  О .  Н .  Т О К А Р Е В А,  Э л е к т р и ч е с к о е  м о д е л и р о в а н и е   з а д а ч  с т р о и т е л ь н о й  м е х а н и к и ,  И з д.  А .  Н .  У к р а и н с к ой  С С Р ., К и ев  1 9 6 3 .  Р е з ю ме   П Р И М Е РЫ  Э Л Е К Т Р И Ч Е С К О ГО  М О Д Е Л И Р О В А Н ИЯ  К Р А Е В ЫХ  И  Н А Ч А Л Ь Н ЫХ   У С Л О В ИЙ  Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н ЫХ  У Р А В Н Е Н ИЙ  Д ЛЯ  В О П Р О С ОВ  М Е Х А Н И КИ   П р и в о д и т ся  р яд  п р и м е р ов  м о д е л и р о в а н ия  в  э л е к т р и ч е с к ой  с е ти  т а к их  я в л е н и й,  к ак  с в о б о д н ые   н е д е м п ф и р о в а н н ые  к о л е б а н ия  с т р у н ы,  и з г иб  т о н к ой  у п р у г ой  п л и ты  с  р а з н ы ми  к р а е в ы ми  у с л о в и­ я ми  ( б и г а р м о н и ч е с к ое  у р а в н е н и е)  и  д р.  П р е д с т а в л е н н ый  м е т од  м о ж ет  б ы ть  о с о б е н но  п р и г о д н ым   д ля  р я да  ч а с т н ых  с л у ч а е в,  к о г да  п р и м е н е н ие  б о л ее  у н и в е р с а л ь н ых  а н а л о г о в ых  м а ш ин  н е е к о­ н о м и ч н о.  S u m m a r y  E X A M P L E S  O F  E L E C T R I C A L  N E T W O R K  M O D E L S  S I M U L A T I N G  T H E I N I T I A L  A N D  B O U N D A R Y  V A L U E  P R O B L E M S  O F  A P P L I E D  M E C H A N I C S  Several  examples  o f  electrical  n e t w o r k  models  are  g i v e n  for  s u c h  p r o b l e m s  as  free  u n d a m p e d  v i b r a t i o n s  o f  a  s t r i n g ,  b e n d i n g  o f  a  t h i n  plate  w i t h  v a r i o u s  b o u n d a r y  c o n d i t i o n s  ( b i h a r m o n i c  differential  e q u a ­ t i o n )  etc.  T h e  m e t h o d  presented  i n  the  p a p e r  seems  t o  be  p a r t i c u l a r l y suited  i n  m a n y  cases  w h e n  the  a p p l i ­ c a t i o n  o f  m o r e  u n i v e r s a l  a n a l o g u e  c o m p u t e r s  proves  inefficient.  POLITECHNIKA  K R A K O W S K A  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  18  kwietnia  1969  r.  —  przeredagowana  {po  raz  pierwszy  wpłynę ła  dnia  15  lipca  1968  r.)