Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS69\MTS69_t7z1_4_PDF\mts69_t7z4.pdf M E C H A N I K A  TEORETYCZNA  I  STOSOWANA  4,  7 (1969)  D O Ś W I A D C Z A L NA  A N A L I Z A  D R G A Ń  W Ł A S N Y C H  R U S Z T Ó W  C Y L I N D R Y C Z N Y C H  EDWARD  M A C I Ą G  (KRAKÓW)  1.  W s t ę p  W  niniejszej  pracy  omówione  bę dą  doś wiadczalne  badania  czę stoś ci  i  postaci  drgań   własnych  modeli  rusztu  cylindrycznego.  Jak  wiadomo,  ruszty przestrzenne typu  cylindrycz­ nego  lub  też  innego  mogą  wystę pować  w postaci  przekryć  hal  przemysłowych,  hangarów,  a  także  mogą  tworzyć  konstrukcję  noś ną  hal  sportowych,  targowych  itp.  W  szeregu  przy­ padków,  dla  oceny  tego  rodzaju  budowli  pod  wzglę dem  dynamicznym  wystarczy  zbadać   ich  podstawowe charakterystyki dynamiczne, tj.  czę stoś ci  i postaci drgań  własnych.  Czasem  wystarczy  ograniczyć  się  tylko  do  tzw.  obliczania  budowli  na  rezonans,  tj.  porównanie  drgań  własnych  z  wymuszonymi,  gdyż  może  to  już  wystarczyć  do  stwierdzenia  nieprzydat­ noś ci  konstrukcji  nawet  bez  szczegółowego  wyliczenia  amplitud  przemieszczeń  i  naprę ż eń.  Teoretyczne  badania  wspomnianych  wyż ej  charakterystyk  dynamicznych  rusztów  cylin­ drycznych  były  przedmiotem  pracy  [9].  Obliczenia  dynamiczne  tego  rodzaju  złoż onych  układów  prę towych  najczę ś ciej  prowadzi  się  w  sposób  przybliż ony.  Mię dzy  innymi  przyj­ muje  się  nastę pują ce  założ enia  upraszczają ce:  masy  pochodzą ce  od  cię ż aru  własnego  i  uż ytkowego  skupione  są  w  wę złach  krzyż ują cych  się  prę tów;  krzyż ują ce  się  prę ty  po­ łą czone  są  przegubowo;  prę ty  zakrzywione  (np.  koliste)  zastę puje  się  odcinkami  prostych.  Mimo  przyjmowania  wymienionych  upraszczają cych  założ eń  obliczenia  są  złoż one  oraz  pracochłonne  i  nastrę czają  duże  trudnoś ci  rachunkowe.  W  zwią zku  z  wyż ej  podanymi  uwagami  celowe jest  prowadzenie  badań  modelowych,  służ ą cych  do  weryfikacji  lub  uzupełnienia  obliczeń  teoretycznych.  Niekiedy  wystarczy  przeprowadzić  badania  modelowe  zamiast  obliczeń  i  z  kolei  opierając  się  na  prawach  podobień stwa,  znając  czę stoś ci  rezonansowe  modelu,  moż na  podać  czę stoś ci  drgań   własnych  obiektu  rzeczywistego.  Obliczanie  rusztów  walcowych  od  obcią ż eń  statycznych  podane jest  w  [1],  a  zagadnienia  statecznoś ci  tego  typu  konstrukcji  omówione  są  w  [2].  Problem  obliczania  statycznego  oraz  statecznoś ci  tzw.  siatkowych  powłok  cylindrycznych  (rombowa siatka prę tów,  w szczególnym  przypadku  przechodzą ca  w ortogonalną)  omówio­ no  w  [11].  446  E .  M A C I Ą G  2.  U s t a l e n i e  praw  modelowych  Zanim  przejdziemy  do  badań  rusztów,  należy  ustalić  warunki,  jakie  powinien  spełniać   model  obiektu  rzeczywistego,  którego  własnoś ci  chcielibyś my  poznać  na  podstawie  badań   modelu.  Wiadomo,  że  technika  modelowania  opiera  się  na  fizycznym  podobień stwie,  oznacza to przede wszystkim,  że model  (M) powinien  być geometrycznie podobny do  obiek­ tu  rzeczywistego  (O)  i  że  jednakowe  fizyczne  procesy  w  modelu  i  obiekcie  powinny  być   opisywane  tymi  samymi  matematycznymi  równaniami.  Nie  zajmujemy  się  tu  metodą   analogii,  która  nie  wymaga fizycznego  podobień stwa  modelu  i obiektu  i opiera  się  na  dwo­ jakim  zastosowaniu  tych  samych  matematycznych  funkcji,  opisują cych  badany  proces  w  naturze  na  podobnym  jej  modelu.  Mówimy,  że  stany  obiektu  naturalnego  i  modelu  oraz  zachodzą ce  w  nich  procesy  są  fizycznie  podobne  w  tym  przypadku,  kiedy  w  naturze  i  modelu  przyczyny  o  tym  samym  charakterze  wywołują  odpowiednio  równe  skutki.  Przy  tym  geometryczne  podobień stwo  obiektu  i  modelu  bę dą ce  koniecznym  warunkiem  podo­ bień stwa  powinno  być  zachowane także  wtedy,  kiedy  stany  obiektu  i modelu  są  funkcjami  czasu.  Spełnienie  tych  warunków  umoż liwia  przenoszenie  wyników  pomiarów  z  modelu  na  obiekt  przy  uwzglę dnieniu  tzw.  skal  wynikają cych  z praw  podobień stwa  [5].  Prawa  podobień stwa  wyraż ają  zależ noś ci  mię dzy  podstawowymi  wielkoś ciami  okreś la­ ją cymi  przebieg  procesów  w  rzeczywistym  obiekcie  i modelu.  Prawa  podobień stwa  moż na  otrzymać  na  podstawie  analizy  wymiarowej  [3,  5,  10].  Rozważ ania  ograniczamy  do  przypadku  ś cisłego  podobień stwa  geometrycznego  modelu  do  obiektu  rzeczywistego.  Takie  założ enie  przyjmuje  się  zwykle,  gdy  przechodzi  się  do  konkretnych  rozwią zań.  Zakładamy,  że  materiał,  z  którego  wykonujemy  model  i  kon­ strukcję  jest jednorodny,  izotropowy  i  liniowo  sprę ż ysty.  Z  interpretacji  fizycznej  wynika,  że czę stość  drgań  własnych  rusztu  zależy  od  L,  E,G  i m,  gdzie L  okreś la  wszystkie  wymiary  geometryczne układu,  Ei  G stałe  materiałowe,  a m jest masą  skupioną.  Powyż sze zapiszemy  w  postaci  funkcji  L,  E,  G i  m  wyrazimy  w  układzie jednostek  k G ,  cm,  sek,  czyli:  [L] =  [kG° cm1  sek0],  [E] =  [kG 1 cm" 2  sek0],  [m] =  [kG 1 c m 4  sek2],  [G]  =  [kG 1 cm" 2  sek0],  [co]  =  [kG° cm 0  sek"1].  Wszystkie  wielkoś ci,  od  których  zależy  w,  moż na  wyrazić  za  pomocą  trzech  jednostek  k G ,  cm,  sek;  mogą  zatem  wystą pić  najwyż ej  trzy  wielkoś ci  wymiarowo  niezależ ne.  Przy­ ję to,  że  są  nimi  L,  E,  m.  Tworzymy  wyznacznik  z  wykładników  przy  wymiarach  wielkoś ci  przyję tych  za  wymiarowo  niezależ ne  (w  układzie  k G ,  cm,  sek)  Utworzony  wyznacznik  z  wykładników  przy  wymiarach  tych  jednostek jest  róż ny  od  zera.  więc  spełniony  jest  warunek  wymiarowej  niezależ noś ci.  Pozostała  wielkoś ć,  tj.  G jest  od  nich  wymiarowo  zależ na.  Z  twierdzenia  я  stosowanego  w  analizie  wymiarowej  wynika,  (2.1)  co  =  Ф (Ь ,  E,  m,  G).  0  1  0  1  ­ 2  0  1  ­ 1  2  =  ­ 2 ^ 0 .  DOŚ WIADCZALNA  ANALIZA  DRGAŃ  WŁASNYCH  447  że jeś li  w wymiarowo  niezmienniczej i jednorodnej  funkcji  Ф (Е , L, m,  G)  argumenty E, L  i  m są wymiarowo  niezależ ne, a argument  G wymiarowo  zależ ny,  tzn.  wyraża  się  w  sposób  nastę pują cy  (2.2)  G =  щ Ее*и г те*,  gdzie щ jest  wielkoś cią  bezwymiarową  (liczbą ), a wykładniki ex, e2 i e3 są liczbami  rzeczy­ wistymi,  to funkcja  Ф musi  mieć  postać   Ф (Е ,  L,m;G)  =  <р {щ )Ее>Ье*те\  gdzie  д >(щ ) jest  zwykłą  funkcją  liczbową  argumentu  bezwymiarowego ni i nie zależy od  E, L i m, a wykładniki  , e2 i e3  (rzeczywiste) nie zależą  od  JTI  ani od E, L, m.  Wyraż amy  wymiary  pozostałej  wielkoś ci, tj. G za pomocą  wymiarów  [E],  [L],  [ni]  [ k G ^ m ^ s e k 0 ]  =  [ k G ^ c m ­ ^ c m ^ k G ^ c n r ^ s e k 2 * 3 ] .  Z  porównania  stronami  wykładników  potę gowych  przy  jednakowych  wymiarach  otrzy­ mujemy  układ  równań,  którego  rozwią zaniem  jest  (2.3)  e, =  1,  e2 = 0,  e3 =  0;  [G] —  [Е ].  Z  definicji  wymiaru  wynika, że  (2.4)  ^  =  ^ ­ Wielkość bezwymiarowa щ bywa  nazywana niezmiennikiem  podobień stwa.  Stosując  twier­ dzenie n mamy  (2.5)  co =  Ą^Ee[Le'2m'3.  Wykładniki  potę gowe e\, e2,  e'3 nie  zależ ą  od  TI,  ani  od E, L, m.  Wykładniki te  wyznaczymy  z  warunku  (2.6)  [oĄ =[Ee'lLe'2m'3],  w ten sposób,  że podstawimy za  wymiary  [E], [L],  [m], [co] ich wyraż enia  w układzie jedno­ stek  k G ,  cm,  sek  [ k G W s e k ­ 1 ]  =  [ k G e ' c m ~ 2 e W * k G e > c n f ' W *  j .  Porównując  wykładniki przy k G , cm,  sek i rozwią zując  otrzymany układ  równań  dostajemy  (2­7)  e[ = ~,m   ei  = ­^,  е з = —y>  zatem  (,8,  ~ ' ( T ) I / ¥ ­ Modelowanie  zjawiska  opisywanego  za pomocą  funkcji  Ф polega  na tym,  że wartoś ci  Eo,Lo,m0,  G0  mnoż ymy  przez pewne liczby  A x , k2,  h  i «i tzn., że  (2.9)  EM  ­ ̂ E0,  LM  =  X2L0,  mM  =  Хът0,  GM =  exG0,  5  Mechanika  teoretyczna  448  E .  M A C I Ą G  gdzie  Aj, A 2 , A3 i  e,  są  tzw.  skalami modelu  [3].  Poszukujemy  stosunku coM/co0.  Z  warunku  jednorodnoś ci  wymiarowej  тм/ш0  jest  liczbą.  N a  podstawie  twierdzenia  л  napiszemy,  że  skoro  zachodzi  (2.8)  to  (2.10)  OJ0 =  9(nuo)E0 l2L0 l2mź112,  я , ,0 = ^ ,  Eo  /•л 114  /  \  cl/Zr 1/2  ­1/2  e ! Go  £|  Wobec tego  na  podstawie  (2.9), (2.10), (2.11)  bę dzie  (2.12)  =  M » l J f )  Д 1/2  A I,2  ^  ./2  « о  ^0(^1  ,o)  Z  uwagi  na  to,  że  z  analizy  wymiarowej  nie  da  się  wyznaczyć  <р {лх), na  skale  A b  A 2 , A3 i  ex  nakładamy  dodatkowy  warunek  wynikają cy  z  twierdzenia,  że  zjawiska  opisane  za  pomocą   tej  samej  funkcji  nazywamy  podobnymi, jeś li  ich jniezmienniki  podobień stwa  są  równe  [3]  (2.13)  яи 0  =  Щ ,м ­ Na  cztery skale  A t , A 2 , A3 i  st  nakładamy jeden warunek, pozostałe  tj.  tyle,  ile jest  wielkoś ci  wymiarowo  niezależ nych  wybieramy  dowolnie.  Warunek  (2.13)  nazywamy  kryterium  podobień stwa.  Z  (2.12) przy  uwzglę dnieniu  (2.13)  otrzymamy  (2.14)  в  =  ^ ­  =  A}'2 A | f  A j 1 ' 2 ,  gdzie  0  jest  skalą  czę stoś ci  drgań  własnych.  Jeś li  zakładamy,  że  materiał  obiektu  i  modelu  jest  ten  sam,  to  masy zmieniamy  w  tej  samej  skali  co  obję toś ci,  czyli  A3 =  A2 oraz  X{  =  1,  zatem  (2.15)  @ = % ­ N a  przykład  dla  modelu  rusztu  100  razy mniejszego  od  obiektu  naturalnego,  A2 =  1/100  i  na  podstawie  (2.15) 9  =  100,  zatem z  (2.14) wynika,  że  czę stoś ci  drgań  własnych  obiektu  naturalnego  bę dą  sto  razy  mniejsze  od  czę stoś ci  drgań  własnych  modelu  \ w0  =  •   Bardziej  szczegółowe  omówienie  niektórych  innych  zagadnień  modelowania moż na  znaleźć   w  literaturze,  np.  w  [5,  10].  3.  O p i s  m o d e l u  Dla przeprowadzenia pomiarów  czę stoś ci  i postaci  drgań  własnych  rusztu cylindrycznego  wykonano  stalowy  model.  Wymiary  modelu  są  podane  na  rys.  1.  Rzut  z  góry  tworzy  prostokąt  90,0x59,0  cm  o  ortogonalnej  siatce prę tów.  Łuki  w  liczbie  dwóch  wykonane  są   z  odcinków  prę tów  prostych  (po  pięć  cię ciw  w każ dym  łuku).  Osiowa  długość  cię ciw teore­ tycznie wynosi  11,98  cm  (długość łuku  odpowiadają ca  wymienionej długoś ci  cię ciwy  wynosi  12,0  cm).  Odcinki  proste  załamanego  prę ta  poprzecznego  tworzą  cię ciwy  odcinka  koła  DOŚ WIADCZALNA  ANALIZA  DRGAŃ  WŁASNYCH  449  o  promieniu  R  =  95,4 cm; kąt  ś rodkowy  odpowiadają cy  odcinkowi  koła  tworzą cemu  łuk  kolisty  wynosi  cp  =  36°, zatem  kąt    ' Д У ^ ' Ч Ч ' Ш Щ !И   R y s .  8  powierzchniowych  (np.  dla  powłok  w  [6]).  Okazało  się jednak, że  może  on  z powodzeniem  być  stosowany  do  wzbudzania  drgań  modeli  układów  prę towych.  Amplitudy  drgań  wy­ muszone głoś nikiem  są jednak znacznie mniejsze, niż w przypadku posługiwania  się głowicą   ®  8  o  • 4  ' . W / . V W \ V A ' A W , V A ' , \ V A W . V N W » W — W > ^ " > A / » * » ' ' ' A \ V . ' . V . ' , V . ' . ' . ' . ' . , ' 3 . '  A W . V . V , ; V ; , V .  Л . . . . ..  •  7.*,.'Л £.'  R y s .  9  elektrodynamiczną.  Warto nadmienić, że gdy  w pracy  [9] posługiwano  się głoś nikiem 40­wa­ towym,  wówczas  dla  pierwszej  czę stoś ci  drgań  amplitudy  były  tak  duż e,  że  z  łatwoś cią   wyczuwało  się je  palcami.  Znacznie  wię ksze  amplitudy  drgań  zarówno  dla  « i jak  i  n2  uzys­ 456  E .  M A C I Ą G  к а по  nawet  przy  pomocy  głoś nika  25­watowego,  dzię ki  zastosowaniu  prostego  zabiegu.  Dla  n,  z  uwagi na  antysymetrię  odkształcenia  wzglę dem  osi у  zasłonię to  połowę  głoś nika  (wzglę dem  osi у ),  a  dla n2  z  uwagi na  antysymetrię  wzglę dem  obu  osi zasłonię to 3/4  tuby  głoś nika.  Wibrogram pokazany  na  rys.  9 przedstawia  przebiegi drgań  wzbudzone  głoś ni­ kiem  o czę stoś ci 263  Hz.  ® 8  4  R y s .  10  Wzbudzając  drgania  w punktach  /?z i « otrzymano  dwie dalsze  czę stoś ci  drgań  własnych  «з  =  285 Hz i n4  =  340 Hz. Postacie  odkształcenia  układu,  towarzyszą ce  tym  czę stoś ciom,  są  symetryczne  wzglę dem  osi у  oraz  dla /;., symetryczne  wzglę dem  osi x  i dla w4  antysyme­ 8  i  ­  ..  7  * t ^ V ; ^ V ^ \ ^ ^ 5 ^ A * V A ^ ­ ' ­ ł ^ ' ^ ^ л ­ i i L . ' ^ a n r uw  ••  '•'  ­  •"'»"•'»•~™—i  3  R y s .  11  tryczne  wzglę dem  tejże  osi. Dla przykładu  na  rys.  10 zamieszczono wibrogram, odpowia­ dają cy  и 4  (wzbudzenie  drgań  głoś nikiem).  Wzbudzając  drgania  w punktach  w i и nie  udaje  się  zmierzyć  nx  i n2;  przez  wymienione  punkty  przechodzi wówczas  linia  wę złów  o  zero­ DOŚ WIADCZALNA  ANALIZA  DRGAŃ  WŁASNYCH  457  wej  amplitudzie. Te  same  czę stoś ci  n3  i n4  uzyskano  wzbudzając  drgania  głoś nikiem.  Dla  zwię kszania  amplitud drgań  przy n4  zasłaniano  pół głoś nika  (wzglę dem  osi x). Wprawienie  rusztu  w  drgania,  odpowiadają ce  wyż szej  postaci  odkształcenia,  jest  coraz  trudniejsze.  Drgania  mają  mniejszą  amplitudę  oraz  wymagają  lepszego  dostrojenia  czynnika  pobudza­ ją cego  do  drgań  o  czę stoś ci  rezonansowej  rusztu.  Mimo  tego  udało  się  wykryć  zarówno  przy  pomocy  głowicy jak  i  głoś nika  dalsze  strefy  rezonansowe  przy  czę stoś ci  n =  430 Hz,  a  nawet  przy  n =  580  H z  (tylko  głowicą ).  Wibrogram  na  rys.  11  przedstawia  przebiegi  drgań  wywołane  głoś nikiem  dla n =  430 Hz. Postacie  odkształcenia  są symetryczne  wzglę­ dem  obu  osi; charakterystyczne  jest,  że  ś rodkowe  wę zły  krzyż ują cych  się prę tów  osią gają   w  stosunku  do  bocznych bardzo  małe  amplitudy. D l a okreś lenia  postaci  odkształceń  przy  wyż szych  czę stoś ciach  osiem  punktów  pomiarowych już  nie  wystarcza,  bowiem  zarówno  w kierunku podłuż nym  (y), jak i przede  wszystkim  poprzecznym (x) tworzy się kilka  półfal.  Pomiar  odkształcenia  układu  jest  wówczas  również  moż liwy.  Jeden  punkt  przyjmuje  się   jako  stały,  a zmieniając  w sposób  cią gły  położ enie  drugiego  punktu  badawczego  i  rzucając  oba  przebiegi na  dwustrumieniowy oscyloskop moż na  wizualnie ustalić  postacie  odkształ­ R y s .  12  cenią.  Jest  to  sposób  bardzo  ż mudny  i  pracochłonny.  Wiadomo,  że  jednak  z  punktu  widzenia  technicznego  najważ niejsza  jest  najniż sza  czę stość  drgań  własnych,  jej  też towa­ rzyszą  najwię ksze  amplitudy  drgań.  W pracy  [6] w oparciu  o  rozważ ania  teoretyczne  nad  układami  prę towymi  i  płytami  oraz  na  podstawie  pomiarów  drgań  na  modelach  powłok  sformułowano  założ enie  wią ż ą ce  wyboczenie  układu  z jego  postacią  drgań.  Według  tego  założ enia  pierwsza  najniż sza  (podstawowa)  postać  drgań  układu  jest  zgodna  z  postacią   wy boczenia  tego  układu.  Ponadto  stwierdzono  tam,  że  postać  wy boczenia  układu  ma  charakter  podobny  do  odkształcenia  tego  układu  pod  działaniem  siły  skupionej.  Miejsce  zaczepienia  siły  skupionej jest  zasadniczo  dowolne.  Zatem, jeś li  się  okreś li  odkształcenia  układu  pod  działaniem  siły  skupionej, to  znana  bę dzie  zarazem  podstawowa  postać  drgań   układu.  N a podstawie  pomiarów  na  modelu  rusztu,  przy wzbudzaniu drgań  głowicą  elek­ trodynamiczną,  która  spełnia  tu  rolę  siły  skupionej,  udało  się  okreś lić  postać  odkształ­ cenia  nie  tylko  dla podstawowej,  ale  i  dla  wyż szych  czę stoś ci  drgań.  Przy  najwolniejszym  458  E .  M A C I Ą G  przesuwie  taś my  rejestratora  (0,16  m/sek)  w  trakcie  szybkiego  zmieniania  wzbudzonych  czę stoś ci  głowicą  w  strefie  nx  i  n2  uzyskano  odcinki  przebiegów  drgań  odpowiadają ce  tzw.  efektowi  Sommerfelda  obserwowanemu  w  układzie  drgają cym  o  jednym  stopniu  swobody  (z  tłumieniem)  przy  zmiennym  obcią ż eniu  siłą  bezwładnoś ci,  pochodzą cą  od  niezrównoważ onych  mas  silnika,  pracują cego  ze  zmiennymi  czę stoś ciami  w  strefie  rezonansu  (porównaj  np.  [4,  12,  13]).  Wibrogram na  rys.  12 jest  tego  przykładem  — nie­ ustalony  proces  (dla  strefy  n2  =  262  Hz) przejawia  się  silnymi  dudnieniami.  Przy  pomiarach  przeprowadzonych  w pracy  [9] z  uwagi  na  skromne  ówczesne  wyposa­ ż enie  aparaturowe  nie  rejestrowano  wyników  pomiarów,  a  czę stoś ci  drgań  oceniano  na  podstawie  generatora  zmiennych  czę stoś ci  służ ą cego  do  wymuszania  drgań  wzbudnikiem.  Postacie  odkształcenia  oceniano  przez  obserwację  dwu przebiegów  na  oscyloskopie; jeden  przebieg  przyjmowano  jako  porównawczy,  drugi  przebieg  pochodzi  od  czujnika,  którego  położ enie  zmieniano.  Na tej  podstawie  oceniono  fazowość  wszystkich  badanych  punktów  i  okreś lono  odpowiednie  postacie  odkształcenia.  W  toku  pomiarów  mierzono  wówczas  tylko  dwie  najniż sze  czę stoś ci.  Otrzymano  nx  =  220  Hz  i  n2  =  248 Hz. Postacie  odkształ­ cenia  były  takie  same, jak  w toku  obecnych  pomiarów.  5.  Pomiary  statyczne  Traktując  ruszt  jako  schemat  ustroju  z  oś mioma  masami  skupionymi w  wę złach  krzy­ ż ują cych  się  prę tów  otrzymujemy  układ  o  oś miu  stopniach  swobody.  Powyż sze  przyję cie  R y s .  13  w  omawianym  przypadku  jest  moż liwe,  ponieważ  ruszt  ma  małą  wyniosłość  (fjl  =  0,08)  i  składowe  poziome  sił  bezwładnoś ci  moż na  wówczas  pominąć  (założ enie  stosowane  dla  powłok  o  małej  wyniosłoś ci).  Dla przyję tego  wyż ej  modelu  układu  z  masami  skupionymi  DOŚ WIADCZALNA  ANALIZA  DRGAŃ  WŁASNYCH  459  moż liwe jest  wyznaczenie  czę stoś ci  i  postaci  drgań  własnych,  jeś li  znane  są  jednost­ kowe przemieszczenia punktów  przyłoż enia  mas. Dla otrzymania tych wielkoś ci przeprowa­ dzono  badania  pozwalają ce  wyznaczyć  pionowe  ugię cia  wę złów  krzyż ują cych  się  prę tów.  5.1.  Stosowana  aparatura.  Pomiary  ugięć  wę złów  wykonano  dwukrotnie  przy  pomocy  dwu  róż nych  zestawów  aparatury.  Pierwszy  zestaw  obejmował  aparaturę  elektryczną.  D o  pomiaru  ugięć  badanych  punktów  zastosowano  indukcyjne  czujniki  przemieszczeń  linio­ wych  typu  OT 12 o  zakresie  ± 1  mm  (4  sztuki)  i typu  OT 14 o  zakresie  ± 5  mm  (4  sztuki)  produkcji  Z P D Inst.  Lotn.  (1966  г .). Przy  pomocy  tych  czujników  mierzono  przemieszcze­ nia  rzę du  ułamka  mikrometra.  Czujniki  te  przymocowywano  do  omówionej  już  w p.  4.1  konstrukcji  wsporczej  przeznaczonej  dla  czujników  bezdotykowych  OT 18.  Czujniki  te  współpracują  z  aparaturą  RF01. Czujniki  te  wywierają  minimalny  nacisk  na  przedmiot.  Szkic  czujnika  OT12 podaje  rys.  13,  czujnik  OT14 ma  podobny  wyglą d.  Do  «wyzerowa­ nia»  czujników  stosowano  cały  zestaw  8­kanałowego  miernika  RF­01,A,B  o  którym  była  już  mowa  w р . 4.1.  Rys.  14  Rys.  14  przedstawia  komplet  aparatury  elektrycznej  wraz  z  modelem.  Drugi  zestaw  aparatury  składa  się  ze  zwykłych  czujników  zegarowych  o  dokładnoś ci  0,001  mm.  K o n ­ strukcja  wsporcza  posłuż yła  do  umocowania  podstaw  czujników.  5.2.  Opis  i  wyniki  p o m i a r ó w .  Pomiar  przemieszczeń  przeprowadzono  przy  obcią ż eniu  wę złów  krzyż ują cych  się  prę tów  siłami  2,0,  3,0,  5,0  i  7,0  k G . Wę zły  obcią ż ano  kolejno  l ­ r 8 .  Pomiary  powtarzano  kilkakrotnie  dla  obu  zestawów  aparatury.  Zamieszczone  po­ niż ej  wielkoś ci  ugięć otrzymano  z pomiarów  przy pomocy  czujników  OT12 i OT14.  Wyniki  otrzymane  z pomiarów  czujnikami  zegarowymi były  bardzo  bliskie  lub  równe  otrzymanym  aparaturą  elektryczną.  Stwierdzono  zupełną  liniową  zależ ność  ugięć  od  obcią ż enia  oraz  460  E .  M A C I Ą G  spełnienie  prawa  o  wzajemnoś ci  przemieszczeń.  I  tak  np.  dla  pomiarów  czujnikami  zegaro­ wymi  było  d22  =  14,6/mi,  d3i  =  14,0/urn,  d66  =  14,7  /urn,  <577 =  14,3/«ri.  W  zwią zku  z  tym  dla  prostoty  dalszych  obliczeń  wyznaczono  ś rednie  wielkoś ci  ugię ć.  Tabela  współczynników  dik  mm  przy  założ eniu  obcią ż enia  siłą  1,0  k G  ó n  =  ó 4 4  =  ó 5 5  =  «88  =  0,0112,  «22  =  «зз  =  «66  =  «77  =  0,0141,  « 1 2  =  d2l  =  «31  =  Ó43  =  «56 =  «Л5  =  «78  =  «87  =  0,0049,  «13  =  «э.  =  (324  =  <542  =  д 5 1  —  д75  =  «68  =  086  =  ­0,0056,  Ó14  =  «4,  =  5̂8  =  «85  =  ­0,0053,  <515  = =  «51  = =  «48 =  ó 8 4 ­=  0,0014,  «16  =  «ei  =  <525  =  «52  =  «38 =  «83  =  <574  =  0,7  =  0,0011,  «5.7  =  «571  =  «35  =  053  =  «46  =  «64  =  «28  =  «82  =  ­0,0007,  «18  =  «81  =  ó 5 4  =  <545  =  ­0,0009,  «23  =  «32  =  «67 =  076  =  0,0012,  «26  =  «62  =  «37  =  Ó73  =  0,0017,  <527  =  «72  =  036  =  «63  =  0,0001.  Podstawiając  z  = —̂=f>  gdzie m jest  masą  skupioną  w  wę ź le,  a  co czę stoś cią  kołową  drgań   własnych  otrzymamy  układ  równań  dla  metody  sił  pozwalają cy  obliczyć  czę stoś ci  drgań   własnych  i postacie  odkształcenia  im  odpowiadają ce.  ( 1 , 1 2 ­ г ) С1 ­ г ­ 0 , 4 9 С 2 ­ 0 , 5 6 С з ­ 0 , 5 3 С4 + 0 , 1 4 С 5 + 0 , 1 1 С 6 ­ 0 , 0 7 С 7 ­ 0 , 0 9 С 8  =  0  0,49  Ci +  (1,41 ­ z )  C2+0,12 C j ­ 0 , 5 6  C4+0,11 C5+0,17 C6+0,01 C 7 ­ 0 , 0 7 C 8  =  0  ­ 0 , 0 9 С , ­ 0 , 0 7 С2 + 0 , 1 1 С з + 0 , 1 4 С4 ­ 0 , 5 3 С 5 ­ 0 , 5 6 С 6 + 0 , 4 9 С 7 + ( 1 , 1 2 ­ г ) С8  =  0.  Uwzglę dniając  krzyż ową  symetrię  układu  oś miu  równań  dochodzi  się  do  znacznych  uproszczeń  w  obliczeniach.  Dla  symetrii  Cx  =  C 8 ,  C 2  =  C 7 ,  C 3  =  C 6 ,  C 4  =  C 5  otrzy­ mujemy  dwa  układy  po  cztery  równania.  Uwzglę dniając  w  dalszym  cią gu  symetrię   krzyż ową  każ dy  układ  rozłoż ymy  na  dwa  dalsze  układy  (po  dwa  równania)  symetryczny  i  anty symetryczny.  Przyjmując  Cx  =  C 4 ,  C 2  =  C 3  mamy  ( 0 , 6 4 ­ z ) d ­ 0 , 0 3 C 2  =  0  ­ 0 , 0 3 d  +  ( l , 7 1 ­ z ) C 2  =  0.  Z  przyrównania  wyznacznika  do  zera  mamy  z{  =  1,712, z 2  =  0,638.  Tą  drogą  wyznaczono  i  pozostałe  wartoś ci  własne.  Uwzglę dniając  dane  materiałowe  у  =  0,00785  k G / c m 3 ,  E  =  2,1  • 106  k G / c m 2  oraz  wymiary  modelu  znajdziemy  m  =  k G  s e k 2  =  0,00016804  —  .  Z  kolei  jest  cm  .2  1000  CO; Щ  = 1 r ­ ,  i  =  1,  8.  mzi  2n  Niż ej  podano cztery pierwsze czę stoś ci,  dalsze z  uwagi  na  przyję ty  model  układu  z masami  skupionymi  są  obarczone  duż ymi  błę dami.  «,  =  224  Hz,  n2  =  263  Hz,  щ  =  297  Hz,  n4  =  333  H z .  DOŚ WIADCZALNA  ANALIZA  DRGAŃ  WŁASNYCH  461  Obliczone  z  odpowiednich  równań  jednorodnych  postacie  odkształcenia  są  takie  same,  jak  pomierzone  w  toku  pomiarów  dynamicznych.  Przykładowo  na  rys.  15  schematycznie  zaznaczono  postacie  odkształcenia  dla  пъ  i  я 4  wyznaczone  na  podstawie  pomiarów  statycznych.  Porównując  rys.  15b  odpowiadają cy  и 4  =  333  Hz  z  wibrogramem  na  rys.  10,  odpowiadają cym  « 4  =  340  Hz  stwierdzamy  na  tym  ostatnim  rysunku  róż nicę  w  fazie  w jednym  skrajnym  wę ź le;  punkt  ten  praktycznie  R y s .  15  nie  podlega  drganiom;  stąd  prawie  zerowa  jego  amplituda,  a  poza  tym  trudno  okreś lić   fazowość  tego  punktu  z  uwagi  na  jej  niezupełnie  ustalony  charakter.  Najniż sza  czę stość   drgań  obliczona  na  podstawie  przemieszczeń  wyznaczonych  czujnikami  zegarowymi  wy­ niosła  229  Hz.  6.  P o r ó w n a n i e  w y n i k ó w  pomiarów  i  o b l i c z e ń   Z  porównania  wyników  badań  dynamicznych  i  statycznych  widzimy,  że  róż nią  się  one  w  granicach  nie  przekraczają cych  10%.  Jako  szczególnie  przydatne  należy  ocenić  badania  dynamiczne,  które  z  powodzeniem  moż na  stosować  i  dla  rusztów  cylindrycznych  o  duż ej  wyniosłoś ci.  W  pracy  [9]  przeprowadzono  dwoma  sposobami  obliczenia  dwu  pierwszych  czę stoś ci  drgań  własnych  i postaci  odkształceń  im  odpowiadają cych  omawianego  tu  modelu  rusztu.  Prowadząc  obliczenia  metodą  sił z uwzglę dnieniem  wpływu  sił podłuż nych  (dla  dwu  pierw­ szych  czę stoś ci  mają  one  znikomy  wpływ  mimo  małej  wyniosłoś ci  układu),  poziomych  składowych  sił  bezwładnoś ci  (ich  wpływ jest  również  niewielki)  i  momentów  skrę cają cych  (sztywne  połą czenia  w  wę złach)  otrzymano  n{  =  220  Hz.  Licząc  w  sposób  przybliż ony  otrzymano n2  =  258  Hz.  N a  podstawie  badań  przeprowadzonych  dawniej w  [9], jak  wspo­ mniano  w  p.  4.2,  z  pomiarów  dynamicznych  otrzymano  щ  =  220  H z  i  nz  — 248  H z ;  z  pomiarów  statycznych  (prowadzonych  tylko  czujnikami  zegarowymi  o  dokładnoś ci  0,01  mm)  я,  =  235  Hz  i  n2  =  258  Hz.  Wynik  z  pomiarów  dynamicznych  dla  n.  dokładnie  zgadzał  się  z  obliczeniowym,  co,  jak  należy  są dzić,  było  dziełem  przypadku.  Z  kolei  n2  z  pomiarów  statycznych  było  zgodne  z  obliczeniowym.  Obecnie,  z  uwagi  na  znacznie  lepsze  wyposaż enie  laboratorium  w  aparaturę  pomiarową  ponownie  przeprowadzono  4 6 2  E .  M A C I Ą G  badania,  lecz w nieporównanie wię kszym zakresie, na  nowym,  identycznym  modelu.  Z  obu  badań  otrzymano  porównywalne  wyniki,  co  pozwala  sformułować  wniosek  o  celowoś ci  i  przydatnoś ci tego  rodzaju  badań  na  modelach.  Okazuje  się,  że  dynamiczny  pomiar  na  modelach  rusztów  cylindrycznych  pozwala  okreś lać  nie  tylko  podstawową  ale  i  kilka  nastę pnych  czę stoś ci  i  postaci  drgań  własnych.  L i t e r a t u r a  cytowana  w  t e k ś c ie  1.  F .  B L E I C H ,  E .  M E L A N ,  Die  gewohnlichen  und  partiellen  Differenzengleichungen  der  Baustatik,  B e r l i n ­ W i e n  1927.  2.  J .  C Z U L A K ,  Statecznoś ć  rusztu  walcowego,  A r c h .  M e c h .  Stos.,  V I / 1 9 5 4  3.  S.  DROBOT,  O  analizie  wymiarowej,  Z a s t o s o w a n i a  M a t e m a t y k i ,  z .  4 ,  1954.  4 .  А .  П .  Ф и л и п п о в,  К о л е б а н и я  у п р у г и х  с и с т е м ,  К и ев  1 9 5 6 .  5 .  К .  Ф и н к,  X .  Р О Р Б А Х,  И з м е р е н и е  н а п р я ж е н и й  к  д е ф о р м а ц и й ,  М о с к ва  1961  ( t ł u m a c z e n i e  z  nie­ m i e c k i e g o )  6.  A .  LISOWSKI,  Statecznoś ć  i  drgania  powłok  w  oparciu  o  wyniki  badań  modelowych,  R o z p r .  I n ż y n.  t.  III ,  z .  89,  1957.  7.  A .  LISOWSKI,  A .  ORMICKI,  B .  MIĄ SIK,  Czujnik  pojemnoś ciowy  do  pomiaru  drgań ,  I n i .  i  B u d o w n . ,  n r  8'  1956.  8.  A .  LISOWSKI,  A .  ORMICKI,  B .  MIĄ SIK,  Pomiary  drgań  modeli  powłok  za  pomocą  aparatury  elektroaku­ stycznej,  I n ż .  i  B u d o w n .  n r  8,  1957.  9.  E .  M A C I Ą G,  Analityczne  i  modelowe  wyznaczanie  czę stoś ci  i  postaci  drgań  własnych  pewnych  układów  prę towych,  R o z p r .  d o k t o r s k a ,  B i b l .  G ł .  P K ,  1963.  10.  L .  M U L L E R ,  Teoria  podobień stwa  mechanicznego,  W N T ,  W a r s z a w a  1961.  1 1 .  Г .  И .  П Ш Е Н И Ч Н О В,  Р а с ч е т  с е т ч а т ы х  ц и л и н д р и ч е с к и х  о б о л о ч е к ,  М о с к ва  1 9 6 1 .  1 2 .  А .  П .  С У Б А Ч,  Э к с п е р и м е н т а л ь н о е  и с с л е д о в а н и е  в л и я н и я  с и л  в я з к о г о  с о п р о т и в л е н и я  н а  о б л а с т и   н е у с т о й ч и в о с т и  к о л е б а т е л ь н ы х  с  д в и г а т е л е м  о г р а н и ч е н н о й  м о щ н о с т и ,  В о п р о сы  д и н а м и ки  и  п р о ч­ н о с т и,  В ы п у ск  V I I I .  1 3 .  А .  П .  С У Б А Ч,  Э к с п е р и м е н т а л ь н о е  и с с л е д о в а н и е  в л и я н и я  с и л  с у х о г о  т р е н и я  н а  о б л а с т и  н е у с т о й ч и ­ в о с т и  к о л е б а т е л ь н ы х  с и с т е м  с  д в и г а т е л е м  о г р а н и ч е н н о й  м о щ н о с т и ,  В о п р о сы  д и н а м и ки  и  п р о ч­ н о с т и,  В ы п у ск  V I I I .  Р е з ю ме   Э К С П Е Р И М Е Н Т А Л Ь Н ЫЙ  А Н А Л ИЗ  С О Б С Т В Е Н Н ЫХ  К О Л Е Б А Н ИЙ  Ц И Л И Н Д Р И Ч Е С К ИХ   Р Е Ш Е Т ОК   Н а  о с н о ве  а н а л и за  р а з м е р н о с т ей  о п р е д е л ен  з а к он  м о д е л ь н о го  п о д о б ия  д ля  к о л е б а н ий  р е ш е т о к.  О п и р а я сь  н а  э т от  з а к он  м о ж но  о п р е д е л я ть  ч а с т о ту  к о л е б а н ий  д е й с т в и т е л ь н ой  к о н с т р у к ц ии  и з м е р яя   с о о т в е т с т в у ю щ ие  ч а с т о ты  н а  м о д е л и.  П р и в о д я т ся  р е з у л ь т а ты  с т а т и ч е с к их  и  д и н а м и ч е с к их  и с с л е­ д о в а н ий  с т а л ь н ой  м о д е ли  ц и л и н д р и ч е с к ой  р е ш е т к и.  О п и с ы в а е т ся  т а к же  с а ма  м о д е ль  и  п р и м е н я­ е м ая  а п п а р а т у р а.  Э к с п е р и м е н т а л ь н ые  д а н н ые  с р а в н и в а ю т ся  с  р е з у л ь т а т а ми  п о л у ч е н н ы ми  т е о р е­ т и ч е с к им  п у т е м.  DOŚ WIADCZALNA  ANALIZA  DRGAŃ  WŁASNYCH  463  S u m m a r y  E X P E R I M E N T A L  A N A L Y S I S  O F  F R E E  V I B R A T I O N S  O F  C Y L I N D R I C A L  G R I D S  U s i n g  the  d i m e n s i o n a l  analysis  the  l a w  o f  m o d e l  s i m i l a r i t y  f o r  v i b r a t i o n s  o f  grids  is  d e t e r m i n e d .  T h u s  the  frequencies  o f  v i b r a t i o n s  o f  the  n a t u r a l  object  m a y  be  c a l c u l a t e d ,  i f the  frequencies  o f a  m o d e l  are  m e a ­ sured.  Presented  are  static  a n d  d y n a m i c  investigations  o f  a  steel  m o d e l  o f  a  c y l i n d r i c a l  g r i d .  D e s c r i b e d  is  the  m o d e l  a n d  the  m e a s u r i n g  e q u i p m e n t .  E x p e r i m e n t a l results  are  c o m p a r e d  w i t h  those  o b t a i n e d  f r o m  the  l u o r e t i c a l  a i a l y s i s .  POLITECHNIKA  KRAKOWSKA  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  21  lutego  1969  r.  6  Mechanika  teoretyczna