Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS69\MTS69_t7z1_4_PDF\mts69_t7z4.pdf M E C H A N I K A  TEORETYCZNA  I  STOSOWANA  4,  7 (1969)  R Ó W N A N I A  S T A T Y K I  D W U R Z Ę D O W E GO  K U L K O W E G O  Ł O Ż Y S KA  W I E Ń C O W E GO  TERESA  G I B C Z Y Ń S K A,  MICHAŁ  Ż Y C Z K O W S KI  (KRAKÓW)  1.  W s t ę p  Konstrukcja  łoż ysk  wień cowych  znacznie  róż ni  się  od  konstrukcji  katalogowych  łoż ysk  tocznych,  powszechnie  stosowanych  w  budowie  maszyn.  Charakterystyczną  cechą  dwu­ rzę dowych  łoż ysk  wień cowych  są  duże  wymiary  ś rednic,  wynoszą ce  od  około  0,5  m  do  około  3,5  m  [23],  przy  czym  jeden  z  pierś cieni  łoż yska.—  wewnę trzny  lub  zewnę trzny —  posiada  wieniec  zę baty  (rys.  1).  Łoż yska  te  dzię ki  swej konstrukcji  przenoszą  siły  osiowe,  R y s .  1  promieniowe  (kąt  działania  0  <  a  <  90°)  i  momenty  oraz  zapewniają  dużą  dokładność   i  pewność  przenoszonego  ruchu.  W  stosunku  do  tradycyjnych  rozwią zań  z  czopem  cen­ trują cym,  posiadają  zwartą  budowę  i  są  lż ejsze.  Wymagają  jednak  znacznie  sztywniejszych  konstrukcji  wsporczych oraz  nie  mogą  być  obcią ż one  bezpoś rednio  siłami  skupionymi.  Za­ tem  uogólnione  siły,  przenoszone  przez  łoż ysko,  są  wypadkowymi  wszystkich  obcią ż eń   zewnę trznych,  działają cych  na  czę ść  obrotową  maszyny,  zwią zaną  z  łoż yskiem.  Analizą  rozkładu  sił  na  poszczególne  kulki  w  łoż ysku  wień cowym  oraz  okreś leniem  ich  maksymalnych  wartoś ci  zajmowali  się  GOLDSZTEIN  [7],  OHNRICH  [15],  KAZANSKIJ  [10],  MATTHIAS  [11],  oraz  SZUCKI  [21].  Przy  czym  GOLDSZTEIN,  MATTHIAS  i  SZUCKI  podali  metodę  obliczania  łoż ysk  o  ką cie  działania  cc — 90°  (wzdłuż nych  dwukierun­ 466  Т .  GlBCZYŃ SKA,  М .  Ż YCZK0WSK1  kowych)  obcią ż onych  siłą  osiową  i  momentem.  Natomiast  KAZANSKIJ  i  OHNRICH  uwzglę dnili  działanie  siły  promieniowej  na  łoż ysko,  lecz  obliczanie  maksymalnych  nacis­ ków  na  kulki  oparli  na  zasadzie  superpozycji  sił.  Stosowanie  w  tym  przypadku  zasady  superpozycji  jest  niewłaś ciwe,  gdyż  na  podstawie  wzorów  Hertza  [9]  dla  styku  punk­ towego  w  zakresie  odkształceń  sprę ż ystych  mamy  nieliniową  zależ ność  mię dzy  odkształ­ ceniem  a  siłą  nacisku  (1.1)  / = C 7 > 2 ' 3 ;  С  jest  stałą  zależ ną  od  geometrii  i  od  materiału  stykają cych  się  elementów.  Jak  z  powyż szego  wynika,  do  tej  pory  brak jest  dostatecznie  dokładnych  metod  pozwa­ lają cych  na  okreś lenie  sztywnoś ci  łoż yska  i  sił  działają cych  na  poszczególne  kulki.  Nie  zo­ stał  również  wyjaś niony  wpływ  ką ta  działania  a  <  90°  na  pracę  łoż yska.  2 .  Z a ł o ż e n ia  Opierając  obliczenia  na  teorii  Hertza  [9]  oraz  na  metodzie  Stribecka  [20]  przyjmiemy  nastę pują ce  założ enia:  R y s .  2  1.  Naprę ż enia  zastę pcze  nie  przekraczają  granicy  proporcjonalnoś ci.  2.  Powierzchnie  stykają cych  się  ciał  są  idealnie  gładkie  (nie  wystę puje  tarcie)  oraz  po­ siadają  idealne  kształty  geometryczne.  RÓWNANIA  STATYKI  ŁOŻ YSKA  WIEŃ COWEGO  467  3.  Odkształcenie  wystę puje  tylko  w miejscach  styku  kulek  z  bież niami.  Powierzchnia  styku jest płaska,  a jej  wymiary  są  małe  w porównaniu  z promieniami krzywizn  stykają cych  się  elementów.  4.  Pierś cienie  łoż yska  są sztywne.  Pierś cień  zewnę trzny  nie  przemieszcza  się,  natomiast  pierś cień  wewnę trzny  przemieszcza  się  jako  ciało  sztywne.  5.  Obcią ż enie  działa  w jednej  płaszczyź nie.  Oprócz  powyż szych  założ eń  przyję to  dodatkowo:  mały  stosunek h/R  (rys.  2), co  pozwala  na  pominię cie  poziomych  składowych  przemieszczenia  kulek  zwią zanych  z obrotem  pier­ ś cienia;  luz łoż yskowy  —  równy  zeru.  3.  O k r e ś l e n ie podstawowych  w i e l k o ś ci  W  pracy  zajmować  się  bę dziemy  łoż yskiem  obcią ż onym  uogólnionymi  siłami  Q, H i M,  leż ą cymi  w jednej płaszczyź nie.  Siły te są wypadkowymi  wszystkich  obcią ż eń  zewnę trznych  działają cych  na  czę ść  obrotową  maszyny  zwią zaną  z  łoż yskiem.  Za  wielkoś ci  dodatnie  uogólnionych  obcią ż eń  bę dziemy  uważ ali  ten  moment M i te siły  Q, H, których  zwroty są zgodne  ze  zwrotami  uogólnionych  sił, przedstawionych na rys. 2.  Rozkład  nacisków  na kulki  w łoż ysku  zależy  od  wartoś ci i znaków  (zwrotów)  poszczegól­ nych  sił zewnę trznych.  Dla  uję cia  całoś ci  zagadnienia  rozkładu  sił  wystarczy  rozpatrzyć  dwa  układy  obcią ż eń   zewnę trznych,  mianowicie  jeden  układ  taki,  jak na  rys.  2,  oraz  drugi  róż nią cy  się od  pierwszego  jedynie  znakiem  siły  H.  Dla  innych  moż liwych  wariantów  obcią ż eń  zewnę trznych  rozkład  sił na  kulki  bę dzie  symetryczny  lub  antymetryczny  w stosunku  do rozkładu  sił  wewnę trznych,  wynikają cego  z  wyż ej  wymienionych  dwóch  układów.  N a  skutek  działania  obcią ż eń  zewnę trznych  pierś cień  wewnę trzny  wraz z kulkami  prze­ mieś ci się w kierunku  osi x i z odpowiednio o x 0  i z0, a ponadto obróci się jako bryła sztywna  dookoła  osi  у  o kąt rj (rys. 2).  W  łoż ysku  nieobcią ż onym,  ś rodek  każ dej  kulki  leży  na prostej  łą czą cej  punkty  styku  kulki  z poszczególnymi  pierś cieniami  i  przechodzą cej  przez  ś rodki  krzywizn  dwu  bież ni  w  płaszczyź nie  południkowej.  Kąt  działania  zawarty  mię dzy  tą  prostą  a  osią  x  (rys. 2)  jest  stały  dla  wszystkich  kulek  znajdują cych  się  w jednym  rzę dzie  i  dla  rzę du  pierwszego  wynosi  xt,  a dla  drugiego  a2. W  praktyce  najczę ś ciej  stosuje  się  łoż yska,  w których  ką ty  działania  w obu rzę dach  są  sobie  równe  (3.1)    am,  wówczas  pierś cienie  w punktach  styku  z  /­tą  kulką  oraz  kulka  ulegają   odkształceniu  sprę ż ystemu,  które  odpowiada  zbliż eniu  tych  pierś cieni/,„•  =  fmi;  m  =  1,2.  Gdy  ami  <  am,  przyjmujemy,  że  odkształcenie  /­tej  kulki  i  pierś cieni  jest  równe  zeru  fmi =  0.  Odległość  ami  moż emy  wyznaczyć jako  funkcję  uogólnionych  przemieszczeń  x0,  z0  i »?,  z  zależ noś ci  geometrycznych  przedstawionych  na  rys.  3.  Zbliż enie  /,„;  wyrazimy  zależ noś cią   (3.3)  /„,; =  [(a„,sinam Zbzo+i?sin»7cos93m0 2+(amcosamT^oCOS99„„) 2]1 / 2—am;  m  =  1,  2.  Znaki  górne  obowią zują  dla  rzę du  pierwszego,  znaki  dolne  dla  rzę du  drugiego.  W  przypadku,  gdy am  =  oo, tzn. gdy  krzywizna  co najmniej  jednej  bież ni w  płaszczyź nie  południkowej  jest  równa  zeru,  zbliż enie  okreś limy  wzorem  prostszym  (3.4)  fmi  =  ±z 0 sina m T^oCOsa m coscp m i ­|­i?sin»7sina m cos99 m i.  G d y  /mi <  0,  przyjmujemy  /„„• =  0.  RÓWNANIA  STATYKI  ŁOŻ YSKA  WIEŃ COWEGO  469  Stosując  wzór  Hertza  [9] wią ż ą cy  odkształcenie  fmi  z siłą  Pmi  działają cą  na  i­tą  kulkę,  wyrazimy  Pmi  w funkcji  uogólnionych  przemieszczeń  pierś cienia  wewnę trznego  x0,  z 0 , tj,  mianowicie  (3.5)  Pmi  =  CfUf.  4.  S t a t y k a  ł o ż y s ka  Zwią zki  mię dzy  obcią ż eniami  zewnę trznymi  a  uogólnionymi  przemieszczeniami  x0,  z0  i  щ  znajdziemy  z  warunków  równowagi  pierś cienia  wewnę trznego,  które  dla układu sił  przedstawionego na rys. 2  są  nastę pują ce:  i =  l  i =  l  i =  l  i =  l  (4.1)  n  n  n  n  PlitRcosH  jest  rzutem  siły,  działają cej  na i­tą kulkę  rzę du pierwszego,  na oś x; P2iz  =  P2iń n(x2i  jest rzutem  siły,  działają cej  na i­tą kulkę  rzę du  drugiego,  na oś z;  PUK  =  P2iCosa2;Cos9?2i jest  rzutem  siły,  działają cej  na i­tą kulkę  rzę du  drugiego,  na oś x;  n  oznacza  liczbę  kulek  w jednym  rzę dzie.  Sumowanie  obejmuje  wszystkie  kulki  (praktycznie — kulki  obcią ż one),  zaś  R,  h  i  cc  oznaczają  wymiary  łoż yska  oznaczone  na  rys. 2.  Kąt  działania  2) 2 +  (a2 cos a2+x0 cos 2  Г  X (a2sin я 2 — z 0 +  Rsin7]cos(p2)d(p2  J  | / ( a 2  sin a 2 — z 0 + Л  sin rj cos е р2 ) 2 +(a 2 cos a 2 + * 0 cos  c ? 2 ) 2  _  [[/(a 1 sina 1 +z 0 +/?sinłicoscn l ) 2 +(aicosa 1 —л ­ocoscp!) 2  ­ c j 3 ' 2 X  л Н  _  Г  X (aicosa,—A'oCOScpOcos^!  Ję Pi ̂   си  J  [/(aisinai+zo+^sin^coscji^+^jcosai—Xocosg?!)2  ­  []/(a2  sin a2—z0+R sin »7 cos 2) 2—a2J 3 / 2 X  ?>2  Г  X (ur2cosa2+^0coscp2)coscp2(/c?2  У j / (a2 sin a 2 — z 0 + R sin 77 cos cp2) 2 +  (a2 cos a2+x0 cos g?2) 2  _  ^ ( a i S i n a ^ Zo + ^ s i n Ti c o s ę p î ­ r ­ ^ c o s a ! — x 0 c o s 9 ?, ) 2  — o j 3 ' 2 X  л М  Г  X  (^sinai+Zo +Ksin^cosipOcosę pirfę i?,  =  R  I  •  +  с / г  у  j/(a 1 sina 1­| ­Zo +i?sin»;c o s 9 9 1 ) 2 +(fl 1 cosa 1 —JC 0 COSC)I) 2  ­  [l/(a 2 sin a 2 — z 0 + Л  sin ?? coscp2) 2 +  (a2cosa2+x0cosx i  t  =  180°.  Równania  (4.3.)  bę dą  jednak  w dalszym  cią gu  obowią zywały  z tym  tylko,  że  w całkach  odnoszą cych  się  do rzę du  pierwszego  należy  zmienić  dolną  i  górną  granicę  całkowania.  Granica  dolna  bę dzie  równa    0.  Rozwią zując  układ  (4.3.) i  od­ [471]  472  Т .  GlBCZYŃ SKA,  М .  Ż YCZKOWSKI  wracając  go wyznaczylibyś my  uogólnione przemieszczenia x0,  z0,rj  — a tym samym  rozkład  nacisków  na kulki  w łoż ysku — w funkcji  uogólnionych  sił  zewnę trznych  (4.4)  x0  =  Fi(Q,  H,  M),  zo =  F2(Q,  H,  M),  rj — F3(Q,  H,  M).  Równania  (4.3)  nie  nadają  się jednak  do dalszej  analizy, zarówno  z uwagi na trudnoś ci  całkowania,  jak i  konieczność  póź niejszego  rozwią zywania  układu  równań  przestę pnych  ze złoż onymi  funkcjami  nieelementarnymi.  Moż na je  rozwią zać  metodą  przybliż oną  przed­ stawiając  wyraż enia niewymierne  w postaci  potrójnych  szeregów  potę gowych. N a przykład:  ( .  oo  oo  co  7 sin a cos с ?)3'2 cos 95̂ /99­p  o  +  J  (—z0sina+x0 co s aco s 9 ?+i?sin/ 7s i n aco s 9 5) 3/ 2co s 9 9 ( / 9 9 .  W  równaniach  tych przyję to  a =  di =  a2,  а  ponadto  obie  zmienne  c>i i 2sin5'2a  \dę \  cn  J  stąd  (4.9)  z0  =  [  Я щ ­)  .  \  с « sin 5 '  a /  2.  W  przypadku  działania  momentu  M  я /2  я /2  t .  —— =  2 s i n 3 / 2 a ( i ? s i n ł ? ) 3 / 2  (ivsinoe J  cos5/2c5u?c5+/zcosa  j  cos5/2ceJcc);  stąd  , A  \ы  „  .  Г  TiM  1 Z / 3  (4.10)  Rsmn  =  y  C B ( J t + A c t g B ) r i n ł / , a j  •   3.  W  przypadku  działania  siły  poziomej  H  H  Я'2  =  2xo / 2 cos 5 / 2 a  I  cos5'22 =  arc  cos  l—J.  Równania  (4.5)  po uwzglę dnieniu  zależ noś ci  (5.1)—(5.3) zapiszemy  nastę pują co:  3/2  V  f2  q%2  =  —  \[  (l+ucos2d|.  1 , 4 3 / 8  L Ó  ­0  J  Z  analizy  funkcji  podcałkowych  wynika,  że  parametr  u  dla  przyję tego  układu  obcią ż eń   zewnę trznych  może  przyjmować  dowolne  wartoś ci,  natomiast  parametr v winien  spełniać   warunek v > 1.  RÓWNANIA  STATYKI  ŁOŻ YSKA  WIEŃ COWEGO  475  Wartoś ci  parametru  u  wskazują  na  rodzaj  obcią ż enia  rzę du  górnego.  Szczególnie  inte­ resują ce  są jego  wartoś ci graniczne,  odpowiadają ce  takiemu obcią ż eniu,  przy jakim/1(0°)  =  =  0  albo/,(180°)  =  0.  Rozpatrzymy przypadek  pierwszy, tzn. gdy /1(0°)  =  0. Wówczas  korzystając  z  zależ noś ci  (5.4),  otrzymamy  ­  * ° c t g a  +  R s m r l  =  ­1,1  a  więc  dla  /,(0°)  =  0,  mamy  u =  ­ 1 .  Podobnie  dla  z 0  z„  /1(180°)  =  0,  mamy  u =  1.  Analizując  w  dalszym  cią gu  wyraż enie  podcałkowe  (5.6)  moż emy  stwierdzić,  że  dla  |w| ^  1  cały  pierwszy  rząd  kulek  bę dzie  obcią ż ony  (górna  granica  całkowania  ęx  =  л ),  a  dla  \u\ >  1 tylko  czę ść  tego  rzę du  bę dzie  przenosić  obcią ż enie.  Wartość  bezwzglę dna  parametru  u wskazuje,  która  czę ść  rzę du  pierwszego  przenosi  obcią ż enie.  N a rys. 6 przed­ stawiono  rzuty  odkształceń  na  oś z w zależ noś ci  od  wartoś ci  parametru  u.  u<­1  %>0  ----- —,  Г  Г Т Тг   R  ^  R y s .  6  Dla  dodatnich  wartoś ci  parametru  u  maksymalne  odkształcenie  w  rzę dzie  pierwszym  wystą pi  przy  ^  =  0°, a  dla  ujemnych  przy  (px =  180°  (duża  siła  Я ).  Widzimy  wię c,  że  równania  (5.6)  bę dą  obowią zywały  tylko dla dodatnich  wartoś ci parametru  u. D l a wartoś ci  ujemnych  należy  zmienić  granicę  całkowania  we  wszystkich  całkach,  zawierają cych  ten  parametr.  W  odniesieniu do  wartoś ci  parametru  v,  winien  on  spełniać  warunek  v >  1, co  wynika  z  poprzednio  przyję tego  założ enia /г (0°) >  0.  476  Т .  GlBCZYŃ SKA,  М .  Ż YCZKOWSKI  Równania  dla  ujemnych  wartoś ci  parametru  u  zapiszemy  nastę pują co:  3/2  *  4>2  gff  =  —[J  (l­UCOS],  3/2  *  92  дъм  =  :  ^ ° 3 7 8  [ /  (1 —Mcoscc) 3/2cosg5t/co+J  (—1+acosco)3/2coscc  rfcc].  Z  uwagi  na  fakt,  że  w  powyż szych  równaniach  uwzglę dniono  już  znak  ujemny  para­ metru  u,  to  w  dalszym  cią gu  rozważ ań  całki  te  bę dziemy  rozwią zywali  tylko  dla  wartoś ci  dodatnich  tego  parametru,  przy  czym  w  definicji  (5.1)  należy  zmienić  znaki  po  prawej  stronie  wyraż enia.  Dolna  granica  całkowania  w przypadku,  gdy  z0  (px  =  arc cos  —.—  =  q>!  x0  ctgee—л sin?/  x0ctga—Rsinr]  wynosi  i <  1, co odpowiada 0 <  u <  1; 2) dla bx >  1, co odpowiada  u >  1.  W  przypadku,  gdy 0 <  z / ^ 1 {q>i  = n),  całka  (5.9)  zgodnie  z katalogiem  całek  [18]  bę dzie  miała  rozwią zanie  я /2  /  ( l ­ 6 2 s i n 2 y ) 3 ' V y  =b2­bb4b1)­ ]­^K(bi),  o  gdzie Щ к )  jest  całką  eliptyczną  pełną  pierwszego  rodzaju,  E(/c ) jest  całką  eliptyczną  pełną   drugiego  rodzaju,  a  moduł к   =  bx.  Podstawiając  za bx  wyraż enie  (5.10)  otrzymamy  (5.12)  / ( l + M c o s ^ >  = 4  , / 1 + ^ 4 Е ( | / ^ ­ ( l ­ u ^ j / ^ ­ J ] .  Całkę  (5.9)  w przypadku н >  1 rozwią ż emy  [18]:  J  ( l ­ » 2 s i n 2 y ) 3 ^ y  =  {1  (2­bĄ bĄ2,l)  +  ^F(y2,j­)  1 ­ й 2  J .  1\  , ft?  3/J!  ^ p ^ j  + ^ s i n y c o s y  | / l ­ / 3 2 s i n 2 y |  j ,  gdzie  f | y 2 , ^ ­ |  jest  całką  eliptyczną  pierwszego  rodzaju,  £|y 2 ,^­j — całką  eliptycz­ ną  drugiego  rodzaju, zaś   (5.13)  y 2 =  arc sin ( i ,  siny).  D l a  dolnej  granicy całkowania  wartość y 2 =  0, a dla górnej y 2 =  я /2.  Ostatecznie  całkę  (5.9)  dla u >  1 przedstawimy  nastę pują co  (5.14)  / ( 1 + И с о » >̂  = ^ = [ ( ^ ­ 4 М + 3 )к ( |/  ^ ) + 8 « Е ( | /  ! £ ) ] .  Nastę pną  całkę  f  ( l + zvcosc5)3/2coscpdy  rozwią ż emy,  wykorzystując  poprzednio  stoso­ ó  wane  podstawienia.  Ponieważ  sposób  rozwią zania  jest  analogiczny, podamy  tylko  wzory  koń cowe.  I  tak dla 0 <  u <  1  (5.15)  /  (l+Mcos 1  (5.16)  J  ( l + t / c o s c ^ c o s ę ^  =  ^ | T 2 i 7 [ 2 ( 3 m 2 + 1 ) E ( I / Ч Ь Г)  +  ­ ( W ­ 1 ) ( 3 « ­ 1 ) K ( ^ ) ] .  47S  Т .  GlBCZYŃ SKA,  М .  Ż YCZKOWSKI  Nastę pnie  przystą pimy  do  rozwią zania  całek  układu  równań  (5.7)  zawierają cych  para­ metr  u.  W  tym  przypadku  zamiast  podstawienia  (5.8)  korzystniejsze  jest  podstawienie  cosec =  2cos2y—1,  gdzie  у  =  cc/2;  a  zatem  K/2  (5.17)  f  (l­ W coscc) 3 / Vco  =  2 ( 1 + ы )3 ' 2  /  (1­/32cos2 y ) 3 / 2 J y .   bi)­  *; s^c°7 1 +  ó  l 3  L  j / l ­ / 3 2 c o s 2 y J  j  2̂  ^  J  j  j­^F(y3,bi)+~  sinycosy v/l­/> 2 sin 2 y \  |  ,  ,  .  .  siny  gdzie  уз =  arc sin  \ / \ — /32cos2y  Dla  dolnej  granicy  całkowania  y 3  =  0,  dla  górnej  y 3  =  т т /2.  Wobec  tego  po  wstawieniu  granic  całkowania  otrzymamy  (5.18,  / ( , ­ „ C O S ^ 4 / I T M [ 4 E ( J /  Ж )­а ­И )ж (|/^)].  Z  uwagi na  to,  że znak  minus parametru  u został już uwzglę dniony  w wyraż eniach  pod­ całkowych  układu  równań  (5.7),  do  rozwią zania  (5.18)  wprowadzono  jego  wartość  bez­ wzglę dną.  Wartość  całki  (5.18) jest  równa  wartoś ci  wyraż enia  (5.12) i podobnie  dla  u >  1  całka  (5.17)  bę dzie  równa  całce  (5.14).  Ponadto  moż na  sprawdzić,  że  dla  wszystkich  wartoś ci  parametru  u bę dzie  obowią zywała  równość   Я  c>,  (5.19)  — j  (1—Hcosc/>)3/2cosc9ufy>  =  /  (1+WCOSCP)3/2COS99.  =  o  4 3 7 8  ,  „3/2 _  J/Z *э (««\ »)  4 u  ~ Z o  1,4378"­ Nastę pnie  każ de  z  powyż szych  równań  podniesiemy  do  potę gi  2/3  i  dodamy  stronami  do  siebie.  W  ten  sposób  wyznaczymy  gdzie  q =  qQ+qH+qM­ Wstawiając  (5.26)  do  (5.25)  i podnosząc  równania  do  potę gi  2/3  otrzymamy  (5.27)  C,Q  \\.  n  I  L 1A378  J  '  I  1,4378 J  I  [  л  J  '  ^ ­ ( L  я  J  ^  L 1,4378 J  +  L 1,4378 J  |  L 1,4378"J  '  przy  czym  wielkoś ci  qQ  =  qQ/q,  qH  =  (/// ) ] 2 / Э Г '  9  2  U .  я  J  Ч  1,4378 J  " ^ L 1,4378 J  J  '  (5.28)  Rs'mtj  ' '  <  . i  i  ­  ­ . . i  !  •  i  i  2  ([  л  +  |_ 1,4378 J  L 1,4378 _  RÓWNANIA  STATYKI  ŁOŻ YSKA  WIEŃ COWEGO  481  6.  Z a k o ń c z e n ie  W  niniejszej  pracy  podaliś my  rozwią zanie  ś cisłe  ( 5 . 2 2 ) ,  ( 5 . 2 3 )  równań  statyki  łoż yska  w  przypadku  pominię cia zmiany  ką ta  działania na skutek  odkształcenia się  kulek  i bież ni  (przyję cie  stałego  ką ta  działania  odpowiada  stosowanej  w  wytrzymałoś ci  materiałów  zasadzie zesztywnienia).  Równań tych nie da  się odwrócić — wykorzystać je  jednak  moż na,  korzystając  z wyraż eń  ( 5 . 2 6 ) ,  ( 5 . 2 7 )  i  ( 5 . 2 8 )  do przedstawienia  graficznego  lub  tabelarycz­ nego zależ noś ci  ~  =  Ф ^(Я м ,Я н ),  ( 5 . 2 9 )  x 0 ctga  .  _̂  _  .  Rsinri  ,  ,_  _ .  =  Ф г (Я м , Я н ),  —у  =  Фз (Я м ,  Я н ),  tzn.  do  przedstawienia  uogólnionych  przemieszczeń  w  funkcji  obcią ż eń  zewnę trznych  wyraż onych  za poś rednictwem zmiennych  qH  i Я м ­ Stosowanie  wyraż eń  ( 5 . 2 9 )  jest  szcze­ gólnie wygodne, gdyż zmienne ~qH i Я м zmieniają  się w granicach  od  zera do jednoś ci.  Wyniki  obecnej  pracy  znajdą  przede  wszystkim  zastosowanie  przy  ocenie  dokładnoś ci  wzorów  aproksymacyjnych,  okreś lają cych  sztywność  łoż ysk  w sposób  jawny;  wyprowa­ dzenie  tych  wzorów  bę dzie tematem  oddzielnego  opracowania.  L i t e r a t u r a  cytowana  w  t e k ś c ie  1.  J .  B A T , Odkształcenia  i  naprę ż enia  w  łoż yskach  tocznych,  P r z e g l ą d  M e c h a n i c z n y ,  nr 9,  1961.  2 .  Р . Д .  Б Е Й З Е Л М А Н,  Б . H .  Ц Ы П К И Н,  П о д ш и п н и к и  к а ч е н и я ,  М о с к ва  1 9 5 9 .  3 .  С . А .  Х А Р Л А М О В,  О  ж е с т к о с т и  р а д и а л ъ н о ­у п о р и о г о  ш а р и к о в о г о  п о д ш и п н и к а  с  о с е в ы м  н а т я ­ г о м ,  И з в. А к а д.  Н а ук  С С С Р,  М е х. и  М а ш и н .,  н р.  5 , 1 9 6 2 .  4.  ESCHMAN,  HASBARGEN,  WEIGAND,  Die  Wałzłagerpraxis,  O l d e n b u r g ­ V e r l a g ,  M i i n c h e n 1953.  5.  T .  GiBCZYŃ SKA,  Konstrukcja  i zastosowanie  łoż ysk  tocznych  o  duż ych  ś rednicach,  C z a s o p i s m o  T e c h n i c z ­ ne,  nr  6  M ,  1965.  6.  T .  GIBCZYŃ SKA,  Obliczanie  łoż ysk  wień cowych  obcią ż onych  jednocześ nie  momentem  i  niewielką  silą   o  dowolnym  kierunku,  A r c h .  B u d o w y  M a s z y n ,  n r  3,  1967.  7 .  В . M .  Г О Л Ь Д Ш Т Е Й Н,  В о п р о с ы  и  м е т о д и к а  р а с ч е т а  о п о р н о ­п о в о р о т н ы х  к р у г о в ,  С т р о и т,  и  Д о р о ж н ое   М а ш и н .,  н р.  1, 1 9 5 8 .  8.  Н .  FRETER,  Kugeldrehverbindungen  Aufnahme  von  Kraften  und  Momenten,  K l e p z i g  F a c h b e r i c h t e ,  n r 6,  1962  (cytowane  z a  E . I.  D e t a l i  M a s z i n  n r  39, 1962).  9.  M . T .  HUBER,  Teoria  sprę ż ystoś ci,  Ci.  I.  P W N ,  W a r s z a w a  1954.  1 0 .  А .  M .  К А З А Н С К И Й,  М е т о д ы  р а с ч е т а  к р у п н о ­г а б а р и т н ы х  п о д ш и п н и к о в  д л я  о п о р н о ­п о в р а т н ы х  у с т ­ р о й с т в ,  В е с т.  М а ш и н .,  н р. 7 ,  1 9 6 1 .  11.  К .  MATTHIAS,  Beitrag  zur  Bercchnung  von  Kugeldrehverbindungen,  Hebezeuge  u n d  F b r d e r m i t t e l , N 6 .  1961.  12.  K . MATTHIAS,  Sonderfdlle  bei der  Berechnung  von Kugeldrehverbindungen,  Hebezeuge  u n d  F o r d e r m i t t e l ,  N 8 ,  1962.  13.  K . MATTHIAS,  Berechnung  von  Kugeldrehverbindungen,  Hebezeuge  u n d F o r d e r m i t t e l ,  H 9 , 1963.  1 4 .  Л .  3 .  Н о в и к о в,  С т а т и к а  р а д и а л ь н о ­у п о р н о г о  ш а р и к о в о г о  п о д ш и п н и к а ,  И з в.  А к а д.  Н а ук  С С С Р,  М е х.  и  М а ш и н .,  н р.  5 , 1 9 6 3 .  15.  S.  OHNRICH,  Berechnung  der  zweireihigen  Kugeldrehverbindungen,  V e r o f f e n t l i c h n u n g  d .  Instituts  f.  F ó r d e r t e c h n i k ,  H 2 , L e i p z i g  1960 ( t ł u m a c z e n i e  C B K U B  n r 31).  7*  482  Т .  GlBCZYŃ SKA,  М .  Ż YCZKOWSKI  16.  A . PALMGREN,  Łoż yska  toczne,  P W T , W a r s z a w a 1951.  17.  A .  PALMGREN,  Grundlagen  der  Wałzlagertechnik,  F r a n c k h i s c h e  V e r l a g s h a n d l u n g .  Stuttgart  1969.  1 8 .  И .  M .  Р ы ж и к,  И .  С .  Г Р А Д Ш Т Е Й Н,  Т а б л и ц ы  и н т е г р а л о в ,  с у м м  р я д о в  и  п р о и з в е д е н и й ,  М о с к ва  1 9 6 2 .  1 9 .  Н .  А .  С п и ц и н,  М .  3 .  Н л р о д Е ц к и й,  И .  А .  Л Ы С Е Н К О,  Н о в о е  в  т е о р и и  р а с ч е т а  п о д ш и п н и к о в  к а ­ ч е н и я ,  Т р у ды  И н с т.  В Н К Т И П П,  н р.  3  ( 3 5 ) ,  1 9 6 3 .  20.  R .  STRIBECK,  Kugellager  fur  beliebige  Belastung,  Z .  V D I ,  B d 45,  1961.  2 1 .  T .  SZUCKI,  Obliczenie  odkształceń  łoż ysk  stopowych  ż urawi  budowlanych,  Z e s z y t y  N a u k o w e  P o l i t e c h n i k  W a r s z a w s k i e j ,  n r  109,  1965.  2 2 .  В .  M .  Ш У С Т О Р О В И Ч,  О п р е д е л е н и е  н а г р у з о ч н о й  с п о с о б н о с т и  о п о р н о г о  п о д ш и п н и к а  к а ч е н и я  п р и   э к с ц е н т р и ч е с к о м  п р и л о ж е н и и  о с е в о г о  у с и л и я ,  В е с т.  М а ш и н .,  н р.  9 ,  1 9 6 2 .  23.  Łoż yska  kulkowe  wień cowe  z  wień cem  zę batym  zewnę trznym,  Z N ­ 6 5 / M P C / 1 0 ­ C B ­ 0 0 1 2  ( N o r m a  Z a ­ k ł a d o w a C B K U B ) . Р е з ю ме   У Р А В Н Е Н ИЯ  С Т А Т И КИ  Д ЛЯ  Д В У Х Р Я Д Н О ГО  Ш А Р И К О В О ГО  П О Д Ш И П Н И КА   В  р а б о те  д а ю т ся  т о ч н ые  р е ш е н ия  у р а в н е н ий  р а в н о в е с ия  д в у х р я д н о го  ш а р и к о в о го  п о д ш и п н и к а.  О п р е д е л е н ие  н а г р у з ок  о с н о в а но  н а  т е о р ии  Г е р ц а,  в  с в я зи  с  ч ем  п р и н я ты  п р е д п о л о ж е н ия  к л а с с и­ ч е с к ой  т е о р ии  у п р у г о с т и,  с в е рх  т о го  п р е п о л а г а е т с я:  1.  П о с т о я н с т во  у г ла  д е й с т в ия  п о д ш и п н и ка  ( п р е н е б р е г а е т ся  и з м е н е н и ем  э т о го  у г ла  с в я з а н н ым   с  д е ф о р м а ц и ей  п о д ш и п н и к а ),  2 .  Ж е с т к ие  к о л ь ца  п о д ш и п н и к а,  3 .  Н е б о л ь ш ое  о т н о ш е н ие  h/R  ( р и с.  2 ) ,  4 .  З а з ор  в  п о д ш и п н и ке  р а в ен  н у л ю.  С н а ч а ла  о п р е д е л е на  у п р у г ая  д е ф о р м а ц ия  / ­ т о го  ш а р и к а,  у ч и т ы в ая  и з м е н е н ия  у г ла  д е й с т в ия   в с л е д с т в ие  д е ф о р м а ц ии  ш а р и к ов  и  д о р о ж ки  (3.3)  а  з а т ем  п р е н е б р е г ая  э т им  и з м е н е н и е м.  О п р е д е л е на   с и ла  д е й с т в у ю щ ая  н а  i ­ т ый  ш а р ик  и  п о с т р о е ны  у с л о в ия  р а в н о в е с ия  д ля  в н у т р е н н е го  к о л ь ца   п о д ш и п н и ка  ( 4 . 1 ) .  С  ц е л ью  о п р е д е л е н ия  о б щ е го  р е ш е н ия  н е  з а в и с и м о го  о т  ч и с ла  ш а р и к ов  с у м м и­ р о в а н ие  з а м е н я е т ся  и н т е г р и р о в а н и е м.  П р е д е лы  и н т е г р и р о в а н ия  о п р е д е л е ны  и з  у с л о в ия  fmi  =  0 .  П о л у ч е н н ые  у р а в н е н ия  (4.3)  н е  п р и г о д ны  д ля  д а л ь н е й ш е го  а н а л и з а,  т ак  и з  з а  з а т р у д н е н ий  п ри   и н т е г р и р о в а н и и,  к ак  и  н е о б х о д и м о с ти  р е ш е н ия  с и с т е мы  т р а н с ц е н д е н т н ых  у р а в н е н ий  с о  с л о ж н ы ми   н е э л е м е н т а р н ы ми  ф у н к ц и я м и.  Д ля  д а л ь н е й ш е го  р а с с м о т р е н ия  н е  у ч и т ы в а л о сь  и з м е н е н ие  у г ла   д е й с т в и я;  у р а в н е н ия  с т а т и ки  з н а ч и т е л ь но  у п р о с т и л и сь  ( 4 . 5 )  и  с в е л и сь  к  т р а н с ц е н д е н т н ым  у р а в­ н е н и ям  (5.22)  и  (5.23)  с о д е р ж а щ им  п о л н ые  э л л и п т и ч е с к ие  и н т е г р а лы  п е р в о го  и  в т о р о го  р о да   з а в и с и м ые  о т  п а р а м е т р ов  и  и  v  о п р е д е л е н н ых  ф о р м у л а ми  (5.1)  и  ( 5 . 2 ) .  Р е з у л ь т а ты  н а с т о я щ ей  р а б о ты  н а й д ут  п р е ж де  в с е го  п р и м е н е н ие  д ля  о ц е н ки  т о ч н о с ти  п р и б л и­ ж е н н ых  ф о р м ул  о п р е д е л я ю щ их  я в но  ж е с т к о с ть  п о д ш и п н и к о в;  в ы в од  э т их  ф о р м ул  б у д ет  т е м ой   о т д е л ь н ой  р а б о т ы.  S u m m a r y  E Q U A T I O N S  O F  S T A T I C S  O F  D O U B L E ­ R O W  R A D I A L ­ T H R U S T  B A L L  B E A R I N G  P a p e r  gives  a n  exact  s o l u t i o n o f  the  e q u i l i b r i u m  equations  o f  d o u b l e ­ r o w  r a d i a l ­ t h r u s t  b a l l  b e a r i n g .  T h e  d e t e r m i n a t i o n  o f  l o a d i n g  a c t i n g  o n  i n d i v i d u a l  b a l l s  is  based  o n  H e r t z ' s  t h e o r y ,  thus  the  c l a s s i c a l  a s s u m p t i o n s  o f  the  theory  o f  elasticity are  a c c e p t e d ;  further  a s s u m p t i o n s  are  as  f o l l o w s :  1)  T h e  pressure  angle  (rake  angle)  a  is  constant  (the  change  o f  this  angle  due  t o  elastic  d e f o r m a t i o n  o f  the  b a l l s  is  neglected),  RÓWNANIA  STATYKI  ŁOŻ YSKA  WIEŃ COWEGO  483  2)  T h e  b e a r i n g  rings  arc  r i g i d ,  3)  T h e  r a t i o  h>R  is  s m a l l  ( F i g . 2),  4)  T h e  bearin g  clearance  equals  to  z e r o .  T h e  elastic  d e f o r m a t i o n  o f  the  г '­th  b a l l  is  determine d  at  first  w i t h  the  change  o f  the  pressure  angle  a  b e i n g  t a k e n  i n t o  account  (3.3),  a n d  then  w i t h  b e i n g  neglected,  (3.4).  T h e  force  a c t i n g  o n  the  ;­th  b a l l  is  t h e n  determine d  a n d  the  equations  o f  e q u i l i b r i u m  o f  the  i n n e r  r i n g  o f  the  b e a r i n g  are  f o r m u l a t e d ,  (4.1).  T o  o b t a i n  a  general  s o l u t i o n  independent  o n  the  n u m b e r  o f  b a l l s  the  s u m m a t i o n  is  replaced  by  the  i n t e g r a t i o n .  T h e  l i m i t  o f  i n t e g r a t i o n  is  determine d  by  the  c o n d i t i o n  o f  n o  d e f o r m a t i o n  o f  the  b a l l ,  /",„; =  0.  T h e  o b t a i n e d  equations  (4.3)  are  a l m o s t  useless  t o  the  further  analysis  because  o f  the  difficulties o f  i n t e g r a t i o n  as  w e l l  as  the  necessity  o f  s o l u t i o n  o f  the  system  o f  transcendental  equation s  w i t h  i n v o l v e d  non­elementary  f u n c t i o n s .  T h u s  i n  the  further  analysis  the  change  o f  the  pressure  angle  a  is  neglected;  the  equation s  o f  statics  take  then  c o n s i d e r a b l y  s i m p l i f i e d  f o r m ,  (4.5),  a n d  m a y  be  reduced  to  transcendental  equations  (5.22)  a n d  (5.23)  c o n t a i n i n g  e l l i p t i c  integrals  o f  the  first  a n d  o f  the  second  k i n d ,  d e p e n d i n g  o n  the  parameters  //  a n d  v,  defined  b y  the  f o r m u l a e  (5.1)  a n d  (5.2).  T h e  results  o f  the  present  paper  w i l l  be  a p p l i e d ,  above  a l l , to  the  e s t i m a t i o n  o f  the  accurac y  o f  the  a p p r o ­ x i m a t i v e  f o r m u l a e  d e t e r m i n i n g  the  stiffness  o f  the  b e a r i n g  i n  an  e x p l i c i t  f o r m ;  the  d e r i v a t i o n  o f  s u c h  for­ m u l a e  w i l l  be  given  i n  a  subsequent  paper.  POLITECHNIKA  KRAKOWSKA  Praca  zosta/a  złoż ona  w  Redakcji  dnia  28  marca  1969  r.