Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS68\MTS68_t6z1_4_PDF\mts68_t6z1.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1, 6 (1968) OBLICZAN IE  TARCZ  SIATKOWYCH   P R Z Y  WYKORZYSTAN IU   P RZ YBLIŻ ON EJ  TEOR I I EF EKTU   BRZEG OWEG O K AZ I M I E R Z  P U ST E LN I K  ( Ł Ó D Ź ),  C Z E SŁ AW  WO Ź N I AK  (WAR SZ AWA) Wstę p W pracy  [1] został y p o d an e podstawowe  równ an ia tarcz o strukturze siatkowej. Przykł a- dem  takich  tarcz  są   pł askie  regularn e  i  gę ste  siatki  prę towe,  tarcze  o  gę stej  i  regularnej perforacji  itp.  Wyznaczenie  stan u  naprę ż enia  i  przemieszczenia  w  tarczach  o  strukturze siatkowej  przy  stosowan iu  cią gł ego  m odelu  takich  tarcz  przedstawionego  w  [1]  wymaga rozwią zania  zagadn ien ia  brzegowego  dla  ukł adu  równ ań  róż niczkowych  szóstego  rzę du. R ówn an ia  t e  wykazują   an alogię   do  równ ań  pł askiego  anizotropowego  kon tin uum  Cos- seratów  o  trzech  stopn iach  swobody  (dwie  skł adowe  wektora  przemieszczenia  i  lokalny obrót  w pł aszczyź nie tarczy). W  równ an iach wystę puje  p o n ad t o mał y param etr charaktery- zują cy  «gę stoś ć» siatki  przy  operatorze róż niczkowym  rzę du wyż szego. F akt ten umoż liwia otrzym an ie rozwią zania  przybliż onego  przez zastosowanie  teorii asymptotycznej  (gdy  mał y param et r  przyrówn am y  d o  zera)  oraz  efektu  brzegowego [2]. Celem poniż szej  pracy jest przedstawienie przykł adu obliczeń tarczy siatkowej  w oparciu o  teorię   asym ptotyczn ą   i przy  wykorzystaniu  efektu  brzegowego  oraz  orientacyjna  ocena numeryczna  dokł adn oś ci rozwią zan ia  przybliż onego  w zależ noś ci  od gę stoś ci  siatki. P on ad- to  w  pierwszym  pun kcie  pracy  zestawiono  podstawowe  równ an ia  teorii  korzystają c  z [2]. N ależy  zaznaczyć,  że  oparty  n a  efekcie  brzegowym  przybliż ony  sposób  obliczania  tarcz siatkowych  jest  daleko  prostszy  niż  przybliż ony  sposób  obliczania  pł yt  siatkowych,  wy- korzystują cy  analogiczny  efekt  zachodzą cy  w  pł ytach  [3]. Wszystkie  wskaź niki  ozn aczon e literam i  alfabetu  greckiego  przebiegają   cią g  1, 2  (obo- wią zuje  konwencja  sumacyjna).  P rzecinek  oznacza  pochodn ą   kowariantną ,  a  pł aszczyzna tarczy  jest  param etryzowan a  współ rzę dnymi  krzywoliniowymi  x\   x2. 1, Podstawowe równania P odstawowy  ukł ad  równ ań  teorii  liniowo- sprę ż ystych  tarcz  o  strukturze  siatkowej wyraż ony  w  n aprę ż en iach m a  postać  [1] 3  Mechanika  teoretyczna 34  KAZIMIERZ  PU STELN IK,  CZESŁAW WOŹ N IAK Tutaj  $ =  ^ (x1,  x2)  jest  funkcją   naprę ż eń,  me =  mQ(x\   x1)  są  naprę ż eniami  m om en to- wymi  (w przekroju  xQ  = const), tensory  aal>flv  oraz c^  charakteryzują   strukturę   geometrycz- ną   oraz  materiał ową   tarczy  siatkowej,  e gv   jest  dwuwektorem  Ricciego,  wreszcie  a jest param etrem  o  wymiarze  dł ugoś ci  mał ym  w  porówn an iu z wymiaram i  tarczy.  P aram et r a charakteryzuje  gę stość  siatki,  n atom iast tensory  aal>"v i ć "**, których  skł adowe fizykalne  mają ten  sam  wymiar,  moż emy  traktować  ja ko  niezależ ne  od  gę stoś ci  siatki  charakteryzują cej strukturę   geometryczną   tarczy.  W równaniach  (1.1)  pom in ię to  sił y  i  m om en ty  m asowe. Skł adowe paf  tensora  naprę ż enia  wyraż ają   się   wzorem (1.2)  p'f  =   e ^ Warun ki  brzegowe  dla  ukł adu  (1.1)  mają   postać (1.3)  e ^ e W ^ - m ^K  -  pK  nfn n   =  m, przy  czym  n„ są   skł adowymi  wektora  jedn ostkowego  zewnę trznie  n orm aln ego  do  brzegu tarczy, pp  są  skł adowymi  wektora  gę stoś ci  obcią ż enia  brzegu  tarczy  sił ami  oraz  m  jest gę stoś cią   obcią ż enia  brzegu  tarczy m om en tam i. Zał óż my,  że  m =  0, tj. brzeg  siatki  jest  obcią ż ony  tylko  sił ami. Wtedy  dla  dostateczn ie mał ych wartoś ci  param etru  a ukł ad  (1.1) moż emy zastą pić  przybliż onym  równ an iem  przyj- mują c  w  (1.1)  a  - >•   0.  Z am iast  równ ań  (1.1)  otrzym am y  wtedy (1.4) a  warunki  brzegowe  (1.3)  sprowadzą   się   do (1.5)  e^ ^ 0 Av n % =p». Teorię   opisywaną   równaniem  (1.4)  i  warunkam i  brzegowymi  (1.5)  nazywamy  teorią asymptotyczną   (lub  bezm om entową )  tarcz  o  strukturze  siatkowej;  jest  on a  form alnie podobn a  do  teorii  tarcz  anizotropowych. Jak  wynika  z (1.4)2 i (1.3)2, teorię   asymptotyczną   moż emy  stosować  do  obliczeń  tarcz o  strukturze  siatkowej  wtedy,  gdy  zachodzi  m  =   0,  to jest,  gdy  tarcza  nie jest  obcią ż ona n a  brzegu  m om en tam i.  G dy  m ^  0,  wtedy  uzupeł nić  należy  teorię   asym ptotyczną   (bez- momentową ) tzw.  efektem  brzegowym,  ujmują cym  wpł yw  obcią ż eń  m om entowych m,  przy- ł oż onych  do  brzegu  tarczy  [2].  Teoria  asymptotyczną   uzupeł n ion a  efektem  brzegowym pozwala  zastą pić  rozwią zanie  zagadnienia  brzegowego  dla  ukł adu  równ ań  (1.1)  rozwią - zaniem  zagadnienia  dla  równania  (1.4)  oraz  dla  równ an ia  efektu  brzegowego  (wyprowa- dzonego  w  [2]) - 22 ( 1 6 j  < l  0 Równanie  (1.6)  został o  wyprowadzone  przy  zał oż eniu, że  a)  brzeg  tarczy  pokrywa  się z  linią   parametryczną   xx = x\ 0)   — const,  b)  linie  param etryczn e  x2 =  const  są   prostym i normalnymi  do  brzegu  tarczy  i  wraz  z krzywymi  x1 = const  tworzą   ukł ad  ortogon aln y (parametryzację   taką   wystarcza  wprowadzić  tylko  w  otoczeniu brzegu  tarczy); c) w  pobliżu brzegu  tarcza jest  ortotropowa, a kierun ki  gł ówne  ortotropii pokrywają   się  z liniam i  para- OBLICZAN IE  TARCZ  SIATKOWYCH   Z  EFEKTEM   BRZEGOWYM   35 metrycznymi  xa  =   con st.  N aprę ż en ia m om en towe m 2 w  teorii  efektu  brzegowego  są   okre- ś lone  wzorem  [2] (1.7)  m 2  =   - JĄ - KŻ  [anni22 >2 m\ 1 +(a nn c 22 - ~a iw ~c n )m\ v}> przy  czym  poch odn e wystę pują ce  we  wzorach  (1.6) i  (1.7) należy  traktować jako pochodne czą stkowe.  W  ram ach  teorii  efektu  brzegowego  ś cisłe  rozwią zanie  równania  (1.6) moż na zawsze  zastą pić  asym ptotyczn ą   cał ką  tego  równ an ia  w  postaci  wzoru (1.8)  ml  =   y>  (x2)exp [- j/ f"  (xl- x\ e w  którym ~ 2 2 We  wzorze  tym  należy  przyją ć  %  = s 0,  gdy  w  obszarze  tarczy  mamy  x1  >  x\ Q )  lub  tp ss  0, gdy  w  obszarze  tarczy  zach odzi  x1  <  xjo ).  Wtedy  funkcja  %  lub  i/> jest  gę stoś cią   obcią ż enia brzegu  tarczy  m om en tam i, co  wynika  bezpoś rednio  z  (1.3)2  oraz z  przyję tej  tu parametry- zacji.  N ależy  zaznaczyć,  że  teorię   efektu  brzegowego  t u  przedstawioną   m oż na  stosować tylko  wtedy,  gdy  wskaź n ik  zmiennoś ci  obcią ż enia  brzegowego  m{x2)  jest  niewielki  [2] 2. Pierś cieniowa tarcza siatkowa obcią ż ona na brzegu momentami Rozważ my  tarczę   o  strukturze  siatkowej  przedstawionej  na  rys.  1.  Pł aszczyznę  tarczy parametryzujem y  biegun owym  ukł adem  współ rzę dnych  {r,  cp}.  Przyjmujemy  nastę pują ce warun ki  brzegowe : .  dla  r =  r w :  m r  =   JT 1 M„cosn  P, /*. v,  są   wskaź nikami  przebiegają cymi  cią g  (1,  2). (EA)A  sztywnoś cią   prę ta z rodziny  A n a ś ciskanie  (rozcią ganie), (EJ)A  sztywność  prę ta z rodziny A n a zginanie, I A  odległ oś ci mię dzy  są siednimi  prę tami z rodziny A, IA  odległ oś ci mię dzy  są siednimi  wę zł ami siatki w kierunku A, t%  skł adowe  wektora  jednostkowego stycznego  do prę ta z rodziny  A w ukł adzie {xx}  s  {/• ,  ip}, 7 j  skł adowe  wektora  jednostkowego  normalnego  do prę ta  z rodziny  A  w  ukł adzie  {xa}  = {r,   u  (RT +iRT  8*0  ( ^ T 1  8*0 (2.8)  [K )  - jp- t-   r 2  ~   dr 2 d

2   r 2   8r 1 ' Ą r ~l i   dr Rozwią zania  równ an ia  (2.8)  poszukujemy  w postaci (2.9)  -: \ \   0 =  2[B„{r)smncp. P odstawiają c  (2.9) do równ an ia  (2.8)  otrzymujemy (2.10) 1 )~ 1 } —^   +  n\ Rl)~ 1Ą - n2[- 2{R1)- l- (R})~l~2{RI1)~ 1}  = 0. R ówn an ie powyż sze jest jedn orodn ym  równaniem  Eulera, a jego rozwią zanie  m a postać 4  . (2.11) w której B ni  są  stał ym i, a k nl  są  pierwiastkam i  nastę pują cego  równania  charakterystycznego: (2.12)  (JR II)- Vc*  i +  [ ( )  ( ) ( ) ~ 1 ]  = 0 . Tym  samym  zachodzi oo  4 (2.13)  0  =  ^ ^ B ni r'^ ń nn f p. Z godn ie ze wzorem  (1.2)  skł adowe  stan u  naprę ż enia pttfi  wynoszą p r r   = ( 2 . 1 4 ) 38 KAZIM IERZ  PU STELN IK,  CZESŁAW WOŹ N IAK Stale  B ni   wyznaczamy  z  warun ków  brzegowych  dla  obcią ż eń  brzegów  tarczy  sił ami otrzymują c  nastę pują cy  ukł ad  równ ań - \   y  Bnin 2r*w»> + ~y  Bnikni/ *- «- > +  —  Mnn- (2.15)  - ^ 1  y . M „n  =  0, j- ^^My- ^Mn  =   0, r  y ^ 1  r &- i  =   0, 1 =  1 / - i 1+ Znają c  J?„,  okreś limy  ze  wzorów  (2.14)  skł adowe  ten sora  naprę ż enia  p",  prip,  p*9. W  analogiczny  sposób  rozwią zanie  zadan ia  przebiega  dla  przypadku  tarcz  perforowan ych. Z mianie  ulegają   jedyn ie  wyraż enia  ten sorów  sztywnoś ci  sprę ż ystej  (2.2).  Z adan ie  to  jest także ł atwe do rozwią zania  dla  obcią ż eń  innych rozwijalnych  n a  brzegu  w  szereg  F ouriera. Obcią ż enie  to jedn ak  speł niać musi  warun ki  podan e  w  pracy  [2]. 3. Porównanie metody efektu  brzegowego z rozwią zaniami  ś cisł ymi dla tarcz koł owych o strukturze  siatkowej P orównanie  przeprowadzon o  dla  przypadków  obcią ż enia  podan ych  n a  rys.  2a  i  2b. Charakterystykę   geometryczną   siatki  przedstawia  rys.  3.  Przyjmijmy,  że (3.1) / „ =  W r, = xr, Y = x = Przypadek„a Przypadek„b Rys. 2 gdzie n okreś la  gę stość  siatki  («jest  liczbą   prę tów  obwodowych  i prom ieniowych),  sztywno- ś ci  zginania  (EJ) a   w  pł aszczyź nie  tarczy  są   stał e  oraz O BL I C Z AN I E  T AR C Z  SI ATKOWYC H   Z  EF EKTEM   BRZ EG OWYM 39 Z godnie  z  rys.  2  warun ki  brzegowe  dla  przypadku  a  mają   postać r  =  r w :  m r  =   0,  p"  =  0, a  dla  przypadku  b  są   okreś lone  równ oś ciami r  =   r z :  m r  =   0,  />"•   =   0, =   0. D la  podan ych  powyż ej  dan ych  przeprowadzon o  porówn an ie  wyników  otrzymanych m etodą   ś cisłą   [3]  z  wyn ikam i  otrzym an ym i  m etodą   przybliż oną   efektu  brzegowego.  P o- równ an ie to  przeprowadzon o  dla  siatek  o gę stoś ciach  n  =  12 i  n  =  48. N ajbardziej  poglą - R ys.  3 dowym  sposobem  tego  porówn an ia jest  zestawienie  wielkoś ci  m om entów  promieniowych nf  otrzym anych  za  pom ocą   obydwu  m etod.  Zestawienie  to  przedstawion o  n a  wykresach rys.  4.  D la przypadku  a  m et oda  efektu  brzegowego  prowadzi  do  wyników «  =   12;  m" =   Mg6f, 77  =   4 8 :  mr  =   MQ2S>*; Z  obliczeń  zaś  ś cisł ych  otrzym ujem y: n  =   12: m r   =  M ( l , 0 6 3 9 6 g5 ' 4 + 0 , 0 6 3 9 6 . 4 - 7 ' VM - 0 , 0 6 3 9 6 ) e -1 ) ; n  =   48: m r  =   J W ( l ) 0 0 4 3 e 2 4 + 0 , 0 0 4 3 ^ - 2 V 2 8 1 D la  przypadku  b  m et oda efektu  brzegowego  daje M   =   1 2 :  m r  = 7 2 = 4 8 :  mr  = obliczenia  zaś  ś cisłe n  =   12: m r  =   JW(0 «= 48: W  = 4 0 KAZIMIERZ  PU STELN IK,  CZESŁAW WOŹ N IAK Łatwo  zauważ yć  porównują c  odpowiednie  rzę dne  wykresów,  że  efekt  brzegowy  wy- stę puje  tym silniej, im wię ksza  jest gę stość  siatki  n. Jest  on także zależ ny  od tego, czy  obcią - ż enie  m om entowe  wystę puje  n a  brzegu  wewnę trznym  czy  zewnę trznym.  P orówn an ie  od- powiednich wykresów  prowadzi jednocześ nie do wniosku,  że efektywne  stosowanie  m etody przybliż onej  (efektu  brzegowego)  jest  moż liwe  ze  wzglę dów  praktycznych  dla  siatek mr  i Rys.  4.  Kreską   przerywaną   oznaczono momenty mr  obliczone metodą  przybliż oną, linią   cią głą   obliczone w  sposób  dokł adny dostatecznie  gę stych.  Z a  siatki  dostatecznie  gę ste  m oż na  uważ ać  tu  siatki  o  liczbie  prę tów obwodowych  wynoszą cej  co  najmniej  n  =  48  (przy  tej  samej  liczbie  prę tów  prom ien io- wych).  P opeł niany  wtedy  bł ą d  w  przypadku  obcią ż enia  brzegu  wewnę trznego m om en tam i wynosi  okoł o  1%,  w  przypadku  zaś  obcią ż enia  brzegu  zewnę trznego  m om en tam i  wynosi okoł o  2,6%,  co  stanowi  wystarczają cą   dokł adn ość dla  celów  praktyczn ych. OBLICZAN IE  TARCZ  SIATKOWYCH   Z   EFEKTEM  BRZEGOWYM   41 Literatura cytowana  w  tekś cie 1.  C z.  WOŹ N IAK, L oad- carrying  structures  of  the dense lattice type.  T he plane problem, Arch.  Mech. Stos,. 5,18(1966). 2.  C z.  WOŹ N IAK, Edge effect  in  lattice- type  discs,  Bull.  Acad.  Polon. Sci., Serie  Sci. Tech.,  1,  1967. 3.  S.  KON IECZN Y, C Z . WOŹ N IAK,  Obliczanie pł yt  siatkowych w oparciu  o  teorię efektu brzegowego,  Rozpr. Inż yn., 3,15  (1967). 4.  C z.  WOŹ N IAK,  S.  Z IELIŃ SKI,  On  the solution  of  axially symmetric problems of  plane fibrous media,  Buli. Acad.  Polon. Sci., Serie  Sci. Tech., 10,1966. P  e  3 io  M e PACTET  C E T ^AT tlX  flH CKOB  OCHOBAHHfclH   HA  HCXIOJIB3OBAHHH nPHEJIH5KEHHO£ł   TEOPHH   KPAEBOrO  3*d>EKTA B  cTaTBe [1] 6WJ I H   flaH bi  ocHOBHbie ypaBHeH^H   H H CKOB  C ceraaTOH  cTpyKiypoii.  B Ka^ecTBe  npwvtepoB TaitHX  flnci<0B  M OWH O  n p H Bec r a  nnocKH e  peryjin piibie  H  rycTwe  cTepaoieBbie  CCTKH ,  RH CKH   C  r yc io ii H  peryjiflpH oii  nepcbopivsaijneH   u  T . n . B paiviKax  KOtrarHyaJibHOH   M o^ejin  TaiH Lix  ypaBHeHHH   6- ro  nopflfliePeHI^naJiBH0M   on epaT ope  BŁ icm ero  n o pn ^K a  ŷ ją BCTByeT  M anwii  napaM eTp3  xapaKTepn3yioiniiH «roioTH0CTB»  ceTKK.  E n ą ro flapn  3T0iviy  cTai- ioBHicH   BO3MO>KH Ł IM  n ojioaceiin e  npn6jni> Kemioro  pemeHHH c  Hcnojib3OBaHneM   TaK H a3tiBaeM oii  acHMnTOTmiecKoft  T eopn n  (uorfla  Majrwii  napaivieTp n yjiio)  H  «KpaeBoro  3< pdP e K T a > > [ 2] . B  flaH H oii  c ia T t e  cofl;ep>KaTCH:  1)  n puM ep  p a c ^ e ia  c e m a T o r o flH CKa n pii  HCnojiE30BaHnn MecKoft  Teopun  u  KpaeBoro  sdpdpeKTa;  2)  ^mcneHi- ian  oueiiKa  TO^H OC TH   npuSjoDKCHHoro  peinenH fij  B  3a- BH CH MOCTH   OT rycTOTM   ceTKH.  flanee,  B pa3fl.  1 H acTonrueii  CTaTbH, Ha ocHOBe [2] flaH a csoflKa  OCH OBH LIX ypaBiienH H   T eopim .  CneflyeT  oTMeTHTt,  <ł TO  npH6jiH>i e K T e5  an aiH TejitH o  n p o n je  MeM  npH6jlH3KeHHblti  MCTOA  pac^eTa H cnojib3yiomM ii  aHaJioî H- qHbiit  adpcbcKT  B njiacTH H ax  [ 3] . S u m m a r y E D G E  E F F E C T I N  D EN SE LATTICE- TYPE D ISC  STRU CTU RES Basic  equations  of  the  lattice- type  disc  structures  (such  as  plane  gridworks,  perforated  plates  etc.) were given in [1]. The problem  was  reduced to  a boundary  value problem for  a  6th order  differential  equa- tion, the discrete  structure being  replaced  by  a continuous model. These  equations  are  analogous  to those govermng  a  plane  anisotropic  Cosserat  continuum possessing three  degrees  of  freedom  (two components of  the displacement vector  and the local  rotation). An  additional small parameter characterizing the density of  the lattice appears at the higher  order terms  of the equation. This makes it possible to obtain  an  approx- imate  solution  with  the  aid  of  the  asymptotic  theory —  the parameter  being  made  zero —  and  the  edge effect. 42  KAZIMIERZ PU STELN IK,  CZESŁAW  WOŹ N IAK The paper presents an example of calculations of a  lattice structure, based upon the asymptotic theory and  the edge effect  theory,  and a rough  numerical estimate of the achieve  daccuracy  depending on the lat- tice density. I t should be mentioned that the presented method applied to plane lattice- type discs is consider- ably  simpler than the analogous method applied in  [3] to the problem of bending of lattice- type plate struc- tures. P OLI TE C H I KA  Ł ÓD Z KA, KATED RA  M E C H AN I KI  BU D OWLI U N IWERSYTET  WARSZAWSKI,  KATED RA  T E O R I I  SP R Ę Ż YSTOŚ CI Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  14  kwietnia  1967  r.