Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS68\MTS68_t6z1_4_PDF\mts68_t6z1.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1,6  (1968) O  E F E KC I E  SKALI  CIAŁA  KRU CH EG O WYTRZYM U JĄ CEGO  U STALON Ą KON C EN TRAC JĘ  M IKRO- U SZ KOD Z EŃ JAN U SZ  M U RZEWSKI,  JÓZEF   SOJKA  (KRAKÓW) 1.  Model  oś rodka i mechanizm  zniszczenia Jedn ostkowa  gran ica  wytrzymał oś ci  oś rodka  kruchego  zależy  od absolutnych  rozmia- rów  ciał a, w tym  sensie,  że jej  wartość  oczekiwana  jest  maleją cą   funkcją   obję toś ci  ciał a. P rawidł owość  ta, zwan a  efektem  skali,  został a  zbadan a  doś wiadczalnie  i wytł umaczona n a  gruncie  rach u n ku  prawdopodobień stwa  przez  W.  WE I BU LI A  [12],  J. I.  F REN KIELA  [5], B. B.  C Z E C Z U LI N A  [2] i  in n ych  autorów  [1,  3].  P odstawą   heurystyczną   teorii  efektu skali  jest  t ak zwan a  h ipoteza  «najsł abszego  ogniwa  w  ł ań cuchu», wedł ug  której  noś ność graniczną   cał ego  ciał a  okreś la  się  wytrzymał oś cią   miejscową   jego  najsł abszego  elementu oraz  hipoteza, że w  m ateriale  znajdują   się  przypadkowe,  bezł adnie rozmieszczone  uszko- dzen ia  lokaln e, czyli  miejsca  o zaniż onej  wytrzymał oś ci. M etody  rozważ ań, jakie są  przedstawicn e  n a  podstawie  tych hipotez, moż na by z grub- sza  rzecz  biorą c  podzielić  n a dwa kierun ki.  D o kierun ku  pierwszego  zaliczymy  te prace, w  których wprowadza  się  cią głe funkcje  rozkł adu minimalnych wartoś ci  lokalnej  wytrzyma- ł oś ci  m ateriał u.  W.  WEIBTJLL  ja ko  pierwszy  t a k wł aś nie  postą pił   [12],  a zapropon owan e przez  niego  prawo  rozkł adu wartoś ci  m inim alnych  okazał o się  trafne  i  zyskał o  duże roz- powszechnienie  [13]. D alszy  rozwój  tego  kierun ku,  dla  którego  charakterystyczne  jest traktowan ie  m ateriał u ja ko  oś rodka  cią gł ego,  polegać  chyba  bę dzie  na  zastosowaniach teorii  stacjon arn ych  funkcji  stochastycznych  [8]. D rugi  kierun ek — to  uż ycie  klasycznych  schematów  losowania  i «dyskretnych»  funkcji rozkł adu,  n p .  funkcji  ro zkł ad u  Bernoulliego.  Stosują c  tę  m etodę   należy  sobie  wyobrazić ciał o  ja ko  zbiór  czą stek,  w  których  mogą   wystę pować  defekty.  Z reguł y  uwzglę dnia  się n iejedn orodn ość tych defektów  i charakteryzuje  sieje  funkcją   prawdopodobień stw  G aussa, P earson a  lub inną .  Ten  p u n kt  widzenia  został  przedstawiony  n p . w pracy  T. A.  K O N T O - ROWEJ i J. I. F R EN KI ELA  [5].  W tym uję ciu  poszukiwan ia  teoretyczne zwrócone są  w kierun ku okreś len ia  prawdopodobień stwa  rzadko  wystę pują cych,  najbardziej  osł abionych  czą stek m ateriał u,  bo  te  determinują   wytrzymał ość  cał ego  zbioru.  Jednakże  w  znanych n am pracach  nie spotkaliś my  konsekwentnie zastosowanego  schematu rzadkich zdarzeń i  prawa prawdopodobień stw  P oisson a.  N awet  S. D .  WO Ł K Ó W  [14],  który  przedstawia  w  gruncie rzeczy  P oissonowski  schem at  losowania,  dokonuje  ostatecznie  bł ę dnego  przejś cia  gra- nicznego  i  aproksym uje  koń cowe  wyniki  G aussowskim  rozkł adem  asymptotycznym (str.  93 m on ografii  [14]). 44  JAN U SZ  M U RZEWSKI,  JÓZEF  SOJKA W  niniejszej  pracy zjawisko kruchego pę knię cia analizować bę dziemy  w  oparciu o  uogól- nioną   (tak  jak  u  S. D .  WOŁ KOWA)  hipotezę   najsł abszego  ogniwa  w  ł ań cuchu  i  hipotezę przypadkowego  rozł oż enia  defektów  przy  uwzglę dnieniu  dyskretnej  struktury  m ateriał u. Z arodek m akropę knię cia w  oś rodku  traktować bę dziemy ja ko  zdarzen ie rzadkie,  wywoł ane nadzwyczajną   lokalną   kumulacją   mikrorys,  i  prowadzą ce  ostatecznie  do  zastosowan ia prawa  prawdopodobień stw  P oissona.  Wyniki,  które  przedstawimy,  bę dą   ogólniejsze  od klasycznych  wzorów  opisują cych  efekt  skali  i  dlatego  ich  zakres  stosowalnoś ci  w  praktyce może być  szerszy. Przy  analizie  efektu  skali  ograniczymy  się   do  oś rodków  quasi- jednorodnych,  sprę - ż ysto- kruchych,  począ tkowo  doskonale  izotropowych.  P rzez  quasi- jednorodność  rozu- miemy jedn orodn ość  w  skali  makroskopowej  przy  jednoczesnej  niejednorodnoś ci  w  skali mikroskopowej.  Sprę ż ysto- krucha  wł asność  m ikroelem entu  polega  n a  tym ,  że  p o  od- kształ ceniu  sprę ż ystym  i  osią gnię ciu  przez  m ikronaprę ż enie  s  odpowiedniej  granicy  P nastę puje  momentalnie opadnię cie  mikro- naprę ż enia  do  zera.  Sprę ż ysto- krucha  wł asność makroelementu  polega  n a  tym,  że  aż  do  granicy  sprę ż ystoś ci  Q  m ateriał   podlega  prawu H ooke'a,  nastę pnie  mogą   zachodzić  nieliniowe  odkształ cenia  n a  skutek  spę kan ia,  czyli tzw.  plastycznoś ci  destrukcyjnej  i  dopiero  po  osią gnię ciu  przez  naprę ż enie  er granicy  wy- trzymał oś ci  R  nastę puje  rozerwanie  ciał a.  Rozpatrywany  jest  stan  naprę ż enia  doskon ale jednoosiowy  i  quasi- jednorodny,  a  wię c  s  jest  zmienną   losową   a  a —  wielkoś cią   w  peł n i okreś loną. Przy  zał oż eniu  doskonał ej  izotropii  począ tkowej  m ateriał u  m ikrorysy  wystę pować bę dą   w  pł aszczyznach  prostopadł ych  do  kierun ku  dział an ia  n aprę ż eń  rozcią gają cych; N a  skutek  takiego  spę kania  m ateriał   nabywa  wł asnoś ci  an izotropowych.  Z agadn ien ie nabytej  anizotropii «destrukcyjnej»  w  przestrzennym  stanie  n aprę ż en ia był o już  przedm io- tem  badań  doś wiadczalnych  i teoretycznych. Przy  uproszczon ym  podejś ciu  do  tego  zagad- nienia, przedstawionym  w  pracy  [9] i  ograniczeniu  się   do jednoosiowego  stan u n aprę ż en ia jedynym  efektem  tej  anizotropii  bę dą   wyż ej  wspom niane  odstę pstwa  od  prawa  H ooke'a.. Z akł adamy,  że  m ateriał   ma  m ikrostrukturę   podobn ą   do  tej, jaką   opisywali  w  swoich pracach  J.  M U R Z EWSKI  [9]  i  S. D .  WO Ł K Ó W  [14],  tzn .  polegają cą   n a  podziale  oś rodka n a  elementy  obję toś ciowe  m akroskopowe  ii  (I rzę du)  i  m ikroskopowe  O  (I I rzę du),  czyli n a  tzw.  punkty  fizyczne  pierwszego  i  drugiego  rodzaju,  w  stosun ku  do  których  stosuje  się róż ne prawa fizyczne.  Wymiary  elementów m akroskopowych  szacowane  są   [9]  n a  0,1  m m , czyli  10~2  cm,  tak  ż eby  podlegać  badan iom  laboratoryjnym ,  elementów  zaś  m ikroskopo- wyc h —  n a  103  A,  czyli  10~5  cm,  t ak  ż eby  zachować  jeszcze  wł asnoś ci  m aterii  cią gł ej. Przy  tak  pomyś lanym  geometrycznym  podziale  oś rodka  ilość  elementów  O  w  elemencie  Q wynosi ilość  zaś  pun któw  pierwszego  rodzaju  jest  tego  samego  rzę du ju ż  przy  stosun kowo m ał ych rozm iarach  elementów konstrukcyjnych,  bo  ~  10 cm, (1.2)  N- EF EKT  SKALI PRZY  KONCENTRACJI  MIKROUSZKODZEŃ   45 M oż na  się  zatem spodziewać,  że przy  tak  duż ej  liczbie  elementów zachodzą   prawa  wielkich liczb,  które  zastosujemy  w dalszych  rozważ aniach  tej  pracy.  Wielkoś ci  mikroskopowe  O i  makroskopowe Q, a zatem i M  bę dziemy  w dalszym  cią gu  traktować jako  stał e dla danego oś rodka  kruchego,  ale  nie  bę dziemy  konkretyzować  ich  wartoś ci.  Bę dą   to wię c  parametry zależ ne  od  rodzaju  m ateriał u. W  zwią zku  z t ak  przyję tym  modelem oś rodka  rozróż niamy zniszczenie  oś rodka  mikro- skopowe,  czyli  drugiego  rodzaju,  i  makroskopowe,  czyli  pierwszego  rodzaju,  przy  czym t o  ostatnie przy jedn orodn ym  stanie  naprę ż eń jest  równoznaczne z utratą   noś noś ci cał ego ciał a.  O wytrzymał oś ci  materiał u  decydują   losowo  rozł oż one mikrouszkodzenia  (mikro- rysy) wewnę trzne, powstają ce  w nim w procesie  obcią ż enia.  Element obję toś ciowy  drugiego rzę du  traci  wytrzymał ość  z  chwilą   pojawienia  się  w  nim  jednej  mikrorysy.  N atomiast pę knię cie  elementu  pierwszego  rzę du  nastę puje  przy  pewnej  granicznej  liczbie  mikrorys r uważ anej  za  jedną   m akrorysę .  Liczba  n aturaln a r traktowana  jest jako  specyficzna  stał a materiał owa. Z akł adam y,  że  ciał o  o obję toś ci  V znajduje  się  w stanie  mikronaprę ż eń 5 i że s k , k = —  1, 2,  ...,  L ,  oznaczają   naprę ż enia  panują ce  w  elementach  mikroskopowych  O k .  Jeż eli granica  mikro wytrzymał oś ci  elementu O k  wynosi  P k ,  to  mikroskopowy  warunek  pę knię cia tego  elementu zapisujemy  w  postaci (1.3)  s k >P k - Jest  to warunek  wystarczają cy  dla  powstania  stacjonarnej  mikrorysy.  Jeś li  w &- tym  ele- mencie  m ikroskopowym  nie  był o  mikrorysy,  to jest  to  również  warunek  konieczny.  Wa- runek  mikrospójnoś ci  m a  wówczas  postać  nierównoś ci  przeciwnej (1.4)  s k

  1,  która  charakteryzuje  kruche  zachowanie się materiał u,  jest  podstawową   hipotezą   tej pracy.  N ie jest  to hipoteza  nowa,  gdyż  m. in. S. D .  WOŁ K ÓW  [14],  ja k  już  wspomniano, w ten  sposób  wł aś nie  uogólnił  koncepcję   naj- sł abszego  ogniwa  w ł ań cuchu.  Istnieje  wiele  argumentów  przemawiają cych  za celowoś cią wprowadzenia  takiego  uogólnienia.  D o nich  zaliczyć  należy  powszechnie  znane  fakty doś wiadczalne,  że pojedyncze  mikropę knię cia  rozcią ganego  oś rodka kruchego, wykrywane n p .  przez  osł uchiwanie  stetoskopem,  nie  powodują   cał kowitego  rozerwania  ciał a.  Prze- mawia  za tą  hipotezą   także  fakt,  że  materiał y  kruche  n a  granicy  wytrzymał oś ci  z reguł y wykazują   odstę pstwa  od prawa  H ooke'a, mimo że odkształ cenia plastyczne  typu  poś lizgo- wego lub lepkiego  nie wchodzą   w rachubę  z uwagi  n a niskie naprę ż enie i krótki czas  próby. Jeś li  doś wiadczalnie  stwierdza  się  w tym przypadku,  że odkształ calność graniczna  charak- teryzuje  wytrzymał ość  m ateriał u,  t o ze statystycznej  teorii  plastycznoś ci  destrukcyjnej  [9] wynika,  że m aksym alna  koncentracja  spę kania jest specyficzną   stał ą  oś rodka, a stą d z kolei wniosek,  który  bę dzie jeszcze  w tej  pracy  szczegół owo  wyprowadzony,  że  istnieje  liczba r 46  JAN U SZ  M U RZ EWSKI,  JÓZEF   SOJKA ograniczają ca  ilość  m ikrorys  w  jedn ym  makroelemencie.  N adm ien ić jedn ak  należ y,  że hipoteza  o  stał ej liczbie  r  nie jest jedyn a,  która  pozwala  wytł umaczyć  fakt,  że  granica  wy- trzymał oś ci  może  przewyż szać  granicę   proporcjonalnoś ci  ciał a  kruchego.  D la m ateriał ów kruchych  o  silnie  nieliniowym  prawie  odkształ cenia  m oż na  in terpretować  utratę   wytrzy- mał oś ci jako  niestateczność stanu naprę ż enia  [9], ską d  wcale  nie wynika  r  =   con st. W  ogólnym  przypadku  zarówno  m ikro wytrzymał ość  P  ja k  też  m ikron aprę ż en ie  s są   zmiennymi  losowymi.  D la  uproszczenia  obliczeń  i  przejrzystoś ci  rozważ ań  tylko  jedn ą z  tych  wielkoś ci  bę dziemy  uważ ać  za  zmienną   losową   o  skoń czonej  wariancji,  a  drugą   — ustalimy.  Kwestia,  którą   wielkość  przyją ć  za  losową   przy  wyprowadzan iu  statystycznego kryterium pę knię cia, czy mikrowytrzymał ość P, jak  czę sto  zakł ada w  swych  pracach  pierw- szy  z  autorów,  n p.  [7,  9], czy  też —  mikronaprę ż enie s, ja k  to  czyni  S. D .  WO Ł K Ó W  [14], pozostaje  otwartą .  W pracy  rozpatrzymy  obydwa  warianty, jakkolwiek  bardziej  uzasadn io- nym  wydaje  się  przyjmowanie  za zmienną  losową   mikrowytrzymał oś ci, gdyż rozrzut m ikro- naprę ż eń  zależy  gł ównie  od  zmiennoś ci mikroskopowych  m oduł ów sprę ż ystoś ci,  które  n ie podlegają   tak  duż ym  fluktuacjom  jak  cechy  wytrzymał oś ciowe. Z akł adam y,  że  rozkł ady  prawdopodobień stw  m ikron aprę ż en ia  s  i  logarytm u  m ikro- wytrzymał oś ci  In P  są   typu  gaussowskiego.  P rawo  G aussa  bywa  z  reguł y  przyjm owane dla  scharakteryzowania  rozkł adu m ikron aprę ż eń lub  mikrodefektów  w  pracach teoretycz- nych na tem at efektu  skali  [5, 14]. Potwierdzają   je  ostatn io przeprowadzon e  m ikroskopowe badan ia  eksperymentalne  [4]. Logarytmiczno  n orm aln e prawo  rozkł adu dla  m ikrowytrzy- mał oś ci jest czę ś ciej  stosowane niż n orm aln e prawo  rozkł adu, gdyż usuwa  prawdopodobień - stwa  ujemnych  wartoś ci  granicy  mikrowytrzymał oś ci,  nie mają ce  sensu  realnego. P oza  tym róż nice  mię dzy  normalną   i  logarytmiczno  norm alną   funkcją   rozkł adu  przy  nieduż ych współ czynnikach zmiennoś ci są  bardzo m ał e.  W  ogóle  m oż na mówić, że  rozkł ad n orm aln y i log- normalny jest rozkł adem asymptotycznym dla wielu  symetrycznych  i niesymetrycznych rozkł adów  prawdopodobień stw  [11]  i  stosowanie  jego  m a  w  pierwszym  przybliż eniu  zn a- czenie do pewnego  stopnia  uniwersalne. 2.  Wpł yw  skali  na  granicę   sprę ż ystoś ci Korzystamy  z  nastę pują ch  oznaczeń: V  obję tość ciał a, O  obję tość elementu makroskopowego, O  obję tość  elementu  mikroskopowego, L   ilość elementów O w  ciele o obję toś ci V, N   ilość elementów O w ciele o obję toś ci V, M  ilość elementów O w elemencie o obję toś ci Q, I  ogólna ilość mikrorys w ciele o obję toś ci V, n  losowa  ilość makropę knięć w ciele o obję toś ci V, m  losowa  ilość mikrorys w elemencie Q, m  ś rednia ilość mikrorys w elemencie Q, r  graniczna ilość mikrorys w elemencie O, mię dzy  którym i  zachodzą   zwią zki: (2.1)  L   =  M- N , (2.2)  Q  =  M- O, (2.3)  V  =  N - Q  =  M- N - O  =  L - O, (2.4)  l=m- N . E F E K T  SKALI  P R Z Y  KON C E N TR AC JI  M I KR OU Ś Z KOD Z EŃ   47 G eometryczne  prawdopodobień stwo  m ikrorys  X, czyli  ś rednia  koncentracja  zniszczo- nych  m ikroelem entów  O  w  obję toś ci  ciał a  V wyraża  się  wzorem W  pracach  [7,  9]  propon uje  się  nazwać  prawdopodobień stwo  X spę kaniem.  Spę kanie m ateriał ów  czysto- kruchych,  nie  wykazują cych  efektów  cią gliwoś ci  (plastycznoś ci  poś li- zgowej  itp.),  równ a  się  wytę ż eniu  w  probabilistycznym  sensie  tego  sł owa. Przyjmujemy  najpierw  za  zmienną  losową  m ikronaprę ż enie  s  i  charakteryzujemy  je n orm aln ym  prawem  rozkł adu N (s,  / A),  O wartoś ci  ś redniej  ~s  i  odchyleniu  standardowym  fi. Wartość  ś rednia  s  równ a  się  w  przybliż eniu  m akroskopowem u  naprę ż eniu  gł ównemu  a, co  wynika  z prawa  akcji  i  reakcji  [9, str. 268], (2.6)  .  * = r = T K a - Powyż szą  przybliż oną  równ ość  wprowadzam y  dlatego,  że  X w  naszych  rozważ aniach jest liczbą  bardzo  m ał ą, pon ieważ  m  jest  liczbą  skoń czoną,  a  M  jest  bardzo  duż e.  Wariancja m ikron aprę ż eń  w  oś rodku  quasi- jednorodnym  wg  twierdzenia  S. D .  WOŁ KOWA  [14, str.  29] jest  proporcjon aln a  do  wł aś ciwej  energii  sprę ż ystej,  a  więc gdzie  E o   >  0  jest  stał ą  m ateriał ową,  okreś lają cą  stopień  niejednorodnoś ci  sprę ż ystej oś rodka. Energia  poten cjaln a  odkształ cen ia  sprę ż ystego  dla  oś rodka  izotropowego  w  rozpatry- wanym jedn oosiowym  przypadku  n aprę ż eń  wynosi (2.8)  0  =  j - , gdzie  E jest  ustalon ym  m oduł em  Youn ga.  A  więc  odchylenie  stan dardowe mikronaprę ż eń wynosi (2.9) Wprowadzając  sym bol  v  dla  oznaczenia  współ czynnika  zmiennoś ci  dostajemy  wzór (2.10)  v  =  - ~- s=  *|/   - £•   =   co n st . W  pierwszym  warian cie  obliczeń  traktujemy  mikrowytrzymał ość  P k   mikroelementu  a k ja ko  jedn akową  wielkość  dla  każ dego  k, (2.11)  P k   cn  P  =  c o n st . Biorąc p o d  uwagę  (1.4), (2.6) i  (2.11)  oraz rozkł ad n orm aln y, wyraż amy  prawdopodobień- stwo  m ikrospójnoś ci,  czyli  koncentrację  m ikroelem entów  niezniszczonych  nastę pują cym wzorem : (2.12)  9(sP)  =  l- F(t) i  kojarzy  się  ze strukturą   oś rodka za pomocą  wzoru  (2.5). Tak wię c porównujemy  prawdo- podobień stwo  (2.13)  z  geometrycznym  prawdopodobień stwem  mikrouszkodzenia (2.5 i  otrzymujemy (2.14)  A =   l - ! o - nam - 2 - 8 - 16 - - Y 1 f 1 1 II ci / / / / / \ / 1 1 / 1 7 rł / / 1 JL 1 g P i 1 — Rys. 1 Zależ ność  A od c  przy  wybranych  wartoś ciach  param etru u przedstawiono  na rys.  1, W granicznym  przypadku  »- > 0,  a  wię c  dla stanu  naprę ż enia  idealnie  jednorodnego prawdopodobień stwo  mikropę knię cia  wynosi (2.15) A =  0,  czyli  1 = 0  dla  a

  P . W ogólnym  przypadku  natomiast (2.16)  /  =  o  dla  a !  dla  er 5 EFEKT  SKALI  PRZY  KONCENTRACJI  MIKROUSZKODZEŃ   49 Symbolem  Q  oznaczyliś my  granicę   sprę ż ystoś ci.  Rozgranicza  ona  stan  doskonale spójny,  liniowo  sprę ż ysty,  od mikrozarysowania,  czyli plastycznoś ci  destrukcyjnej  materia- ł u.  D la skoń czonej  liczby  L , ilość  mikrorys  /, a  także granica sprę ż ystoś ci  Q są  zmiennymi losowymi.  M edianę  Q  oblicza  się   z równania (2.17)  ( l - Ai )L  =   y , gdzie  \   wyraża  się   wzorem  (2.14)  dla  a =   Q,  a  modę   Q —  metodami  podanymi p o  raz pierwszy  przez  T. A.  KON TOROWĄ   i  J. I.  FREN KIELA  [5]. D la  wielkiej  liczby  L   —  M- N , wg  (2.1) i (2.2), i ustalonej  ś redniej  iloś ci mikrorys  I — 1-  L  wyprowadzamy  wzór asympto- tyczny, z  którego  okreś limy  kres  górny  Q',  realizowany  z prawdopodobień stwem równym jednoś ci, (2.18)  l - ( l - J t ; )L - > l,  stą d  X[- >\ , N admieniamy  przy  tym, że dla  wielkiej  liczby  L  wartość ś rednia  At  dą ży  do tej  samej  gra- nicy (2.19)  Ź L, =L j  h(l- X)L- 1dX  = 1  J_ L +l  ~  L A  wię c  teoretyczna  granica  liniowej  sprę ż ystoś ci,  czyli  granica  proporcjonalnoś ci, jest znikomo  mał a  dla  ciał   duż ej  obję toś ci, jak  wynika  z równań  (2.14)  i (2.18), (2.20)  g ' - >0  dla  L ~ > o o . W  praktyce okreś la  się  Q"  >  Q', jako  naprę ż enie konwencjonalne, wywoł ują ce umowną odchył kę   As  od  prawa  H ooke'a  (n p. As. =   0,0002).  Ponieważ przy  plastycznoś ci  destruk- cyjnej  odkształ cenie  nieliniowe  wywoł ane  jest  redukcją   powierzchni  przekroju  spójnego (przenoszą cego naprę ż enia) [9], wię c  praktycznie (2.21)  l"=%,  gdzie  « " - X. S  .Er G raniczny  warunek  proporcjonalnoś ci  formuł ujemy  jak  nastę puje: (2.22)  %\  =   l- Fit')  lub  t'  =   W {\ - X[), gdzie  t'  — —^   , a  W (x)  jest funkcją   odwrotną  do dystrybuanty  G aussa, tzn .  y  =   W (x) v gdy  .  =   F(y),  (rys. 2). Wartoś ci  x  bliskie  jednoś ci,  odpowiadają ce  duż ym,  niestabelaryzowanym  wartoś ciom argumentu  y,  wyznacza  się   ze  wzoru  asymptotycznego  [6, str.  595], rys.  2, (2.23) Oznaczają c  symbolem  Q' o  granicę  proporcjonalnoś ci próbki  o obję toś ci  V o   oraz 4  Mechanika  teoretyczna 50 JAN U SZ  M U RZ EWSKI,  JÓZEF   SOJKA przy  czym  t' o  =   W (l~P^ ),  dostajemy  zależ ność  granicy  proporcjonalnoś ci  Q'  od  obję toś ci ciał a  V, (2.24)  Q'  =  Q exp(- t 2 m - «  —«  - 20 - Zł0  _ z  - 4  - ff  ^ f l  HÓ  - «  ^ Rys.  2 Zależ ność  (2.24)  dla  róż nych  wartoś ci  param etru  v  i  przykł adowej  wartoś ci  X' o   =   l/ L   = =   10~18  przedstawiono  na  rys.  3. N atomiast  konwencjonalna  granica  sprę ż ystoś ci  Q",  okreś lona  równaniami  (2.21) i  (2.14) dla  a  ==   Q",  nie zależy  od obję toś ci  ciał a. 1,08 1,04 1,00 0,98 no? Hi r— ti Qo  1+VV(1- A'O uia ) | * - 3 - 2 0 Rys.  3 3   ig  v/ v 0 Przyjmijmy  teraz  w  drugim  wariancie  obliczeń,  że  m ateriał   quasi- jednorodny  charak- teryzuje  się   zmienną   losowo  mikrowytrzymał oś cią  P,  a mikronaprę ż enie s k  mikroelementu O k   moż na  w  przybliż eniu  zastę pować  w  peł ni  okreś loną   wartoś cią, (2.25)  s k   K ?  «  a, EF EKT  SKALI  PRZY  KONCENTRACJI  MIKROUSZKODZEN 51 i  zał óż my, t ak  jak  t o  p o d an o  w  p .  1,  że  rozkł ad zmiennej  losowej  P  opisuje  prawo  loga- rytm iczn on orm aln e (2.26) gdzie  P  oznacza  m edian ę   m ikrowytrzym ał oś ci,  v  logarytmiczny  wskaź nik  zmiennoś ci, P o  =   vP  «  vP  jest  odchyleniem  stan dardowym . Jeż eli  uwzglę dnimy  m ikroskopowy  warunek  pę knię cia  (1.3), to  dystrybuanta  okreś lona wzorem, (2.27) a - 0,30-f - 2 - - 12 - 18 f // f  - < H i / / / / l\ ł i I/ 1 \ 1 Ą4 / —-— // iS C i 1/ j / 1/ \\ 1 i 1 *̂ - G \ i 1 P ! —»• V Rys.  4 okreś la  prawdopodobień stwo  m ikrorys  dla  n aprę ż en ia  a.  P orównują c  ze  sobą   formuł y (2.5)  i  (2.27)  otrzymujemy  zależ ność  mię dzy  n aprę ż en iami  a  i  koncentracją   m ikrode* fektów  I, (2.28)  A =   l - F ( 0, przy  czym  stan daryzowan a  zm ien n a  losowa  m a  w  tym  przypadku  postać, _  In P/er v 52 JAN U SZ  M U RZEWSKI,  JÓZEF   SOJKA Zależ ność  I  od    P. M akroskopową   granicę   proporcjonalnoś ci  Q'  okreś la  warunek, (2.30) gdzie  t' In  P/ C Efekt  skali  dla  granicy  proporcjonalnoś ci  ilustrują   wykresy,  rys.  5,  nastę pują cej  funkcji, (2.31)  <2'  = gdzie przy  czym  param etry  20.  "> 'ó niekoniecznie muszą   być  okreś lone  na  podstawie  doś wiad- czalnego  wyznaczenia  granic  proporcjonalnoś ci,  bowiem  m oż na je  okreś lić  n a  podstawie 1,16 1,08 1,00 0,92 -   — V = • ?, OfiO \ ^ . • — — I I -   - rlln ~* °V°/ V)] — —— - —~« —- - 3 - 2 0 Rys. 5 igv/ v 0 ł atwiejszych  do  przeprowadzenia  prób  wytrzymał oś ci  rozdzielczej  R,  gdyż  param etry  te figurują   (bezpoś rednio  lub  ich  funkcje)  we  wzorach  nastę pnego  pu n kt u . Wzór  (2.14) jest  znany  n p .  z  pracy  [14] ja ko  statystyczne  kryterium  m ikropę kn ię cia, a  wzór  (2.28) jest pewną  jego modyfikacją .  N owym aspektem jest interpretacja tych  wzorów jako  makroskopowego  warun ku  proporcjonalnoś ci  i  sformuł owanie  wpł ywu  skali  n a  gra- nicę   proporcjonalnoś ci  Q'  (2.24)  i  (2.31),  odrę bnie  od  tych  formuł ,  które  dotyczyć  bę dą granicy  wytrzymał oś ci  R. EF EKT SKALI PRZY  KONCENTRACJI  MIKROUSZKODZEŃ   53 3. Wpływ skali  na granicę   wytrzymał oś ci Analizujemy  wytrzymał ość  elementów  konstrukcyjnych  o  róż nej  obję toś ci,  ale  posia- dają cych  jedn akową   m ikrostrukturę , czyli wykonanych  z tego  samego  m ateriał u. Wówczas wielkoś ci:  r, Q,  O  (a  zatem  i  M)  oraz  P, P a   wzglę dnie  E,  E o   —  są   stał e,  tzn .  nie  zależą   od rozm iarów  ciał a,  u kł ad u  odniesienia  i  obcią ż eń,  a  wielkość  X  (a  zatem  i  rn)  zmienia  się w  zależ noś ci  od  n aprę ż en ia  a, zaś  L   (a zatem i N )  zmienia  się   ze zmianą   obję toś ci  ciał a  V. Weź my  p o d  uwagę   ciał o  o  obję toś ci  V  pozostają ce  w  quasi- jednorodnym,  jednoosio- wym  stanie  n aprę ż en ia  i  potraktujm y  je  jako  zbiór  elementów  mikroskopowych  O k , k  =   1, 2,  ..., L ,  które  mogą   m ieć jedn ą   z  dwóch  cech,  mianowicie  mogą   być  spójne  lub pę kn ię te.  Cechę   pę knię cia  m a  /  =   X •   L   elementów,  cechę   zaś  spójnoś ci  L —l=  L (l  — X) elem entów.  Ze  zbioru  L- elementowego  (z  obję toś ci  V)  losujemy  jednorazowo  (a  wię c bez  zwracania  moż liwego  przy  losowaniu  kolejnym)  próbę   liczą cą   M  mikroelementów  Oj w  postaci  jedn ego  m akroelem en tu Q t ,  zawierają cego  m  elementów  O  pę knię tych  i  M—m elem entów  spójnych,  i  pytam y  się , jakie  jest  prawdopodobień stwo  zdarzenia,  że  wyloso- wany  element  Q v   zawiera  dokł adn ie  m  m ikrorys.  Opisany  powyż ej  schemat  losowania zależ nego  [11]  prowadzi  do  hipergeometrycznego  rozkł adu prawdopodobień stw,  9 ( m ; M,  I,  L ).  P onieważ  liczebność  zbioru  L  jest  bardzo  duża  w porówn an iu z  okreś loną   liczeb- noś cią   próby  M: M  1 zgodn ie  ze  wzorem  (1.2),  przeto  moż emy  aproksym ować  rozkł ad  hipergeometryczny rozkł adem  dwum ian owym  9  (m;  M,  X)  przy  zachowan iu  ustalonej  wartoś ci  ś redniej kon cen tracji  m ikrorys, ( 3 - D  A - l . Z  kolei  rozkł ad dwum ianowy,  w  warun kach  gdy \ jM<\ zgodnie  ze  wzorem  (1.1),  moż emy  aproksym ować  rozkł adem  P oissona  !?( m ;  m)  przy zachowan iu  ś redniej  iloś ci  m ikrorys  w  m akroelem encie (3.2)  m  =   IM. Chcielibyś my  tutaj  zwrócić  uwagę   n a  fakt,  że  dzię ki  poprawnie  sformuł owanemu schem atowi  losowan ia  ś rednie  chrakterystyki  spę kan ia  X i  m  zachowują   swe  skoń czone, ustalon e  wartoś ci  przy  kolejnych  przejś ciach  granicznych. W  monografii  [14] w  tym  zagad- nieniu  zachodzą   osobliwoś ci:  X - »  0,  a  n astę pn ie  m - *•   oo, i  wyniki  mim o  dalszych  korekt i  adiustacji  nie  są   wolne  od  sprzecznoś ci. P oissonowski  rozkł ad  asymptotyczny  zastosujemy  do  oszacowania  prawdopodobień - stwa  pę knię cia m akroelem en tu, r- \ V—1   —  i (3.3)  9{m^ r)  = \ - e~^ 2 54  JAN U SZ  M U RZ EWSKI,  JÓZEF   SOJKA Wzór  (3.3) podaje  kombinatoryczne prawdopodobień stwo  pę knię cia,  n atom iast  geomet- ryczne  prawdopodobień stwo makrorys  równa  się   ś redniej  koncentracji  zniszczonych  ele- mentów O  w  obję toś ci  ciał a  V, Porównują c  ze  sobą   wzory  (3.3) i (3.4) otrzymujemy  zwią zek m 1 który  po  uwzglę dnieniu  uogólnionej  koncepcji  najsł abszego  ogniwa  w  ł ań cuchu  (stoso- wanej  w myśl zał oż eń  tylko  do  makroelementów), (3.6)  R =   1, daje  statystyczne  kryterium  makropę knię cia,  czyli  warunek  graniczny  zniszczenia  cał ego ciał a.  Oznaczmy  symbolem  X r   graniczną   wartość  spę kania,  speł niają cą   równ an ia  (3.5) i  (3.6). Warunek  wytrzymał oś ci  ma  wówczas  nastę pują cą   post ać: (3.7)  \ - 9{r- \ ,KM)  = ̂ , gdzie 9>(m;m) jest  dystrybuantą   Poissona. Wartość graniczna K jest uzależ niona od granicznego naprę ż enia R,  czyli  wytrzymał ość makroskopowej  przez  statystyczny  warunek  mikrozniszczenia  (2.14)  lub  (2.28),  który zapiszemy  w  ogólnej  postaci (3.8)  l- F(t r )=K  lub  t r  =  W {\ - K), gdzie F(x) jest standaryzowaną   dystrybuantą   G aussa, a  W (y) jak  poprzednio (2.16)  funkcją do  niej  odwrotną , zaś J/ R- l dla  losowych  m ikronaprę ż eń, '- —  dla  losowych  mikrowytrzymał oś ci. v U kł ad równań  (3.7) i  (3.8) moż na ł atwo  rozwią zać  ze wzglę du  n a  zmienną   V, mianowicie ( 1 9 )  V ~l- 9{r- l,[l- F{t r )]M}' gdzie  t T  znaczy jak  wyż ej. Wzór  (3.9)  podaje  zależ ność  mię dzy  obję toś cią   V  i  wytrzymał oś cią   R  i jest  nowym, ś cisł ym  rozwią zaniem  zagadnienia  wpł ywu  skali  na  granicę   wytrzymał oś ci  dla  przyję tych zał oż eń.  Przy  korzystaniu  z tego  wzoru  należy  rozporzą dzać  dostatecznie  obszernymi (kilkunastocyfrowymi)  tablicami  dystrybuanty  Poissona i G aussa  [16]. D la  bezpoś rednich  obliczeń  granicy  wytrzymał oś ci z uwzglę dnieniem  współ czynnika skali  najwygodniej  był oby  korzystać  z  tablic  lub  wykresów  funkcji  (3.9), rys.  6 i 7,  albo wzór  (3.9) odwrócić i przedstawić  wytrzymał ość i? jako  funkcję   zmiennej  V, co jedn ak  nie EF EKT  SKALI PRZY  KONCENTRACJI MIKROUSZKODZEŃ 55 fr Bfl 7,0 6,0 5,0 4,75 —̂• ——r  • i O S * •   . r—- .  " . — — m l ' ^—- i r- 10 cs "̂"—h\ —̂- — - i - — , — • — " - - in r • r s 2 T ®=°1- p(r- 1,[ i- F(1r)] li}  dlaM=1O g dlaM- 108 I i — — 10 i • »- •• —  " - 12 Rys.  6 Rys.  7 jest  moż liwe  w  wyraź nej  i  ś cisł ej formie  analitycznej. D latego przedstawimy uproszczone formy  przybliż one tego wzoru,  które czę ś ciowo sprowadzają   się  do zależ noś ci znanych już z literatury przedmiotu. Zapiszmy najpierw,  że (3.10) R dla  losowych  mikronaprę ż eń, l+vt r P exp( —vt r )  dla  losowych  mikrowy trzy mał oś ci. 56 JAN U SZ  M U RZEWSKI,  JÓZEF   SOJKA Z agadnienie  polega  obecnie  na  znalezieniu  odpowiedniej,  uproszczonej  zależ noś ci  t r   od obję toś ci  V.  W  tym  celu  rozwijamy  dystrybuan tę   P oisson a  w  szereg  potę gowy rm r+1  / • ('"+. (3.11) Okazuje  się ,  że  dla  m  <ś  1  (czyli  1/JV  <ś  1) bez  zbytniej  szkody  dla  dokł adn oś ci  ( por. rys.  8) wystarczy  zachować  formę   liniową   we  wzorze  (3.11). A  wię c (3.12) 9{r- \ ,m)  ta  I - r\ AO A / b- '- / / , — SOK* .—• / — — / dm. / r ^ dlaj^Ł / .— - -- ——- .—— -   • - — a  -»  «  -M Rys.  8 - JS IgN Stą d  przy  uwzglę dnieniu  równania  (3.7)  otrzymujemy  wzór,  który  pokrywa  się   z  relacją wyprowadzoną   z  prostszych  zał oż eń  przez  N . N .  AF AN ASJEWA  i  S. D .  WOŁ KOWA  [14, str. 95], (3.13) Wprowadziwszy  oznaczenie  O r   =   r\ Q/ M r, zredukowaliś my  liczbę   param etrów  z  pię ciu {r,v,M,P,Q)  do  czterech  (r, v,  P,  O r );  jest  to  niewą tpliwie  korzystn e  z  praktyczn ego pun ktu  widzenia.  G ran iczn a  czyli  nieprzekraczalna  dla  ś redniej  koncentracji  m ikrorys X wartość  X r   jest  dla  skoń czonej  iloś ci  m ikroelem entów  L   zmienną   losową .  D la  wielkiej liczby  L ,  zmienna  l r   jest  zbież na  stochastycznie  do  ustalonej  wzorem  (3.13)  wartoś ci granicznej  (przy  matematycznym  poję ciu  sł owa  «graniczny»).  Wzór  (3.13)  speł nia  wyra- ż ony  w  pracy  [9]  wniosek  o  zależ noś ci  specyficznego,  krytycznego  prawdopodobień stwa spę kania  l uU   od  obję toś ci  ciał a.  W  dyskusji  wzoru  (3.13)  rozpatrzym y  najpierw  przypadek r  =\ .  Jest  to  przypadek,  w  którym  podział   n a  elementy  I  i  I I rzę du  traci  znaczenie  i p o - EFEKT  SKALI  PRZY  KONCENTRACJI  MIKROU SZKOD ZEŃ 57 win n a  zachodzić  ś ciś le  reguł a  o  decydują cej  roli  najsł abszego  mikroelementu  w  oś rodku, W  istocie  w  tym  przypadku  m am y (3.14) 1,  = 1 1  O MN M i  rozwią zanie  pokrywa  się   z  rozwią zaniem  klasycznym,  które  w  rozdziale  poprzednim przyję liś my  jako  wł aś ciwe  dla  granicy  sprę ż ystoś ci.  D la  r  >  1 obję tość  ciał a  V  wchodzą ca do  wzoru  (3.14)  podlega  redukcji  w  t ym  sensie,  że  zam iast  liczby  N   figuruje  JVroa,  rys.  8, (3.15)  X r  = gdzie  JVred  as  y  N jr\   <  N .  Stą d  wniosek,  że  przyję cie  zł oż onej struktury  oś rodka  i granicz- nej  liczby  m ikrorys  r  >  1  pozwoli  zastosować  otrzym an e  wyniki  do  materiał ów,  które R/ Ri 1,02 1,00 0,98 0,96 L \ • — : i — i  ™ i R_ k° dla i 1+vt0 1+VV(1- AC fl—S 2 ,  t D- 6,97 =—- ^  h. — - ~ " ^ . ig  v/ v 0 Rys.  9 charakteryzują   się  bardziej  ł agodn ym wpł ywem  skali  n a  granicę  wytrzymał oś ci. Ostateczne wzory  zapisujemy  biorą c  p o d  uwagę   (3.8),  (3.10)  i  (3.13)  w  nastę pują cej  postaci (3.16)  R = r -   dla  losowych  m ikron aprę ż eń v r  /   r/ ~o~- \ ~\ P e x p  —vxF\ l—  1 /   - ^-1  dla  losowych  mikrowytrzymał oś ci albo  w  innej postaci przy  ozn aczen iach : R o  jest wytrzymał oś cią   próbki  normowej  o  obję to- ś ci  V o , 58 JAN U SZ  M U RZEWSKI,  JÓZEF  SOJKA i  po  wyrugowaniu  param etru P  lub  P,  a  także  param etru  O r , (3.17) Zależ ność  JR/i?0  od  F / F o dla  przykł adowych  wartoś ci  param etrów  ;• , ^  i  kilku  wartoś ci współ czynnika  zmiennoś ci  m ikron aprę ż eń  v,  lub  m ikrowytrzym ał oś ci  v  przedstawiają wykresy  n a  rys.  9  i  rys.  10.  Waż ność  powyż szych  wzorów  i  wykresów  ogran iczon a  jest do  ciał   niezbyt  mał ej  obję toś ci  (V  >  Q)  i  do  mał ej  koncentracji  m ikrorys  (Ar  <̂  1).  D la R/ Ro 1 , 0 6 • 1 , 0 4 1,02. 1,00  — 0,94 \ las < \ s s —. \ dieJ ~ —- s • —^ • - ^ N —~, \ - 3 - 2 0 Rys.  10 } V/ V0 wyznaczenia  param etrów  R o ,  Ao,  r,  v  lub  v  potrzeba  czterech  doś wiadczeń  polegają cych n p.  n a  okreś leniu  wytrzymał oś ci  czterech próbek  o  róż n ych  obję toś ciach. N a  zakoń czenie  wprowadzimy  dalsze  uproszczenia  przybliż ając  funkcję   (3.9),  rys  6 funkcją   liniową   w  skali pół logarytmicznej, (3.18)  t r   =  a+  —  \ % —  . Tego  rodzaju  przybliż enie jest  celowe  dla  przypadku  losowych  mikrowytrzymał oś ci,  wtedy bowiem  koń cowy  wzór  (3.16)  upraszcza  się   d o  postaci (3.19) gdzie R 10 =  P(Q r   10- ")- a\ vlnlO V P> vb In  10 EFEKT  SKALI PRZY  KONCENTRACJI MIKRO- USZKODZEŃ 59 - 16 - 10 i Rys. I I R[kG/ cm z ] 16700 16600 - 16500 164)0 16300 16200 \ R= \ P =39760 kS/ cm2, v=0,2D [  r - 2,  0r~2- 10~ 24 • #•  punkty  doś wiadaalne  [ 15] Rys. 12 Wzór  (3.19) jest taki sam ja k  wzór  WeibuU a  [12],  ponieważ an i R a ,  an i wykł adnik potę gowy B n ie zależy  od  obję toś ci  ciał a  V.  Stał e  a i b zależą   od  dwóch param etrów r i M,  a  wartoś ci ich  m oż na  w  przybliż eniu  odczytywać  z  powię kszonego  rys.  6  lub  obliczać  n p. m etodą najmniejszych  kwadratów  t ak,  ja k  t o  zrobion o  dla  zestawienia  tablicy  1.  Bł ą d,  jaki  się c a l a o co CM O O O T—1 O O ł-H O 1—1 o o o o oT—1 o o o o CM — in ťi- i CO U-i CO V© oo >n 00 o CO cô o ON VI 00 00 "^ u-T o_ vo" s os rt o" O\ ô ro o" ON co o" O co o" r-- co o" vo co o" co o" CS o" co o" o\ Ol o" s co o" t— co o" .O [60] E F E KT  SKALI  P R Z Y  KON CEN TRACJI  MIKRO- U SZKOD ZEŃ   61 popeł n ia  stosują c  wzór  uproszczon y  (3.10)  zam iast  wzoru  dokł adnego  (3.14),  przedsta- wion o  n a  rys.  11. D la  przykł adu,  po ró wn an o  rezultaty  uzyskan e  w  tej  pracy  n a  drodze  teoretycznej wg  wzoru  (3.16)  z  wyn ikam i  ba d a ń  doś wiadczalnych  wysoko wę glowej  stali  kablowej [15] i  przedstawion o  n a  rys.  12. Literatura  cytowana w tekś cie 1.  B. B. EOJIOTH H , CmamucmuHECKue jnemoda s  cmpoumenuwu  juexauuKe,  H 3 # .  I I , M ocKBa  1965. 2 .  B. B. ^ l E ^ yjn ł H ,  KcmamucmimecKou  meopuu xpynicou  npomocmu,  >KypH. Tex.  n3.,  2,  24  (19S4) 5 292- 298. 3 .  B. B. 1 L lE I lyJ iH H J  Macuimaómiu  (jjaianop u cmamucmimecKan  npupoda  npOHnocmu Memcuuioe,  M eTaji- JiyprH 3flaT,  M ocKBa  1963. 4.  A.  E SI N ,  W. J. D .  JON E S,  A  statistical  approach  to  micro- plastic  strain  in metals, J.  Strain  Anal.,  5, 1 (1966), 115- 421. 5.  T . A.  KOHTOPOBA  H  Si. H .  PEHKEJlBj  CmamucmunecKan meopun  xpyrmou  npouwcmu  pea/ ibnux Kpucmanjioe,  2Kypn.  Tex. 4>u3.,  "i,  11( 1944) ,  173. 6.  K. K N O P P , Szeregi  nieskoń czone,  P WN , Warszawa  1956. 7.  J.  M U R Z E WSK I ,  O statystycznej  teorii prawie jednorodnego  oś rodka kruchego, Czas. Techn., 5, 63 (1958), 1- 3. 8.  J.  M U R Z E WSK I ,  Elastic- plastic  stochastically  non- homogeneous bodies,  N on- homogeneity  in Elasticity an d  Plasticity, P roceedings of  I U T AM   Symposium in Warsaw  1958, P ergamon  Press  1959, 479- 489. 9.  J.  M U R Z E WSK I ,  Plastycznoś ć  i  wytrzymał oś ć  mikroskopowa  niejednorodnych oś rodków  stał ych, Arch. Bud.,  P olitechnika  K rakowska, Z eszyt specjalny  n r 1, P WN ,  Kraków  1966, 257- 308. 10.  W.  SAD OWSKI  (red.),  T ablice  statystyczne,  P WN , Warszawa 1957. 11.  N . W.  SM I R N OW,  J. W.  D U N I N - BAR K O WSK I,  Krótki  kurs  statystyki  matematycznej dla zastosowań tech- nicznych, P WN ,  Warszawa 1966. 12.  W. WE I BU LL,  A  statistical  theory  of  strength of materials,  P roc.  R oy. Swedish Inst. R es., n r  151,  Stock- holm  1939. 13.  W.  WE I BU LL, A statistical  distribution function  of  wide applicability, J. Appl. M ech. 3,18  (1951), 293- 297. 14.  C . J\ .  BOJIKOB,  CmamucmunecKan meopun  npomwcmu,  M a n ir n 3. ,  MocKBa 1960. 15.  W.  Z I OBR ON ,  Statystyczna  ocena  noś noś ci  cię gien sprę ż ają cych  w konstrukcjach  kablowych, Rozprawa doktorska,  Kraków 1964. 16.  M athematical  Tables  Project  of the  Work  Projects  Administration  for  the City  of  New York,  Tables of  probability  functions,  1 (1941), 2 (1942). P  e 3  IO  M e O  M AC IH TAEH OM   34>EKTE  flJM   XP YI I K O rO  TE JI A,  BBIflEP>KH BAK)IH ErO yC T AH O BJlE H H YI O  KOH LJEH TPAU fflO  M H KPO- riOBPEECflEH H ft npefleji  nponopn,noH ajibH ocTH   n  npeflejr  npoH H Ocra  xpyn K oro  Tena3 aHajiH3npyeTCH   OT e r o o6i.eM a,  n p n Hcnojib3OBaHHn  T eopan  Bep o jro io c ra. HcnojiB3yeTCH   MOflent  cpeflM   c  MHKpocTpyKTypoS  onH caH an  H  B  pa6oTax  E .  MYJKEBCKOro  [9] H   C . J\ .  B O J I K O B A  [14]  H  cocxoH in an  B pa.3fleneHHH   cp e^bi  n a  MaKpo- sneiweHTbi Q,  KOiopbie  B  CBOIO n a  MHKpo3JieivseHTbi  O.  rioBpe>KfleHHe  ofln oro  MUKposneMeHTa  Bbi3biBaei TOU LKO 62  JAN U SZ  M U RZ EWSKI,  JÓZEF   SOJKA npeBŁinieH H e  npeflejią   nponoprwonajr&H ocTH   Me>Kfly  HarrpH>KeHnaMH   u  fledpopiwairufiM U .  flra  flocTH >Ke- H H H   n peflen a  n p o ^ n io c m  Tejia  V,  TpeSyeTcn  noBpemfleH ne  r  MuKpo- ajieivteHToB  B  ORH OM B  pa6oTe  paccMaipHBaeTCH   TOJIBKO  cpe^a  B  O;THOOCHOM   HarrpH>KeHHOM   COCTOHHHH   a.  PacfipefleneH H e BepoHTHOCTelł   npHHHTbi B ppyx  BapaaH Tax:  HopiwaJiBHoe  pacnpeflejieH iie  ( 2.12)  n u n  MHKpo- HairpHHKflaeicH   BO3MO>KHOCTB  flajiBH eniiiero  ynpomeH H fi  u npuM eH eimH   H aii6oJiee npocTOH   dpopMyjiw  (3.19)  flJin  sdpcpeKTa  macuiK.6a. S u m m a r y ON   TH E SIZE EF F EC T  IN  BRITTLE BOD IES CAPABLE  TO  SU STAIN  A CERTAIN CON CEN TRATION   OF   M ICRO- D AM AGE The  limit  of proportionality  and  the  strength  of micro- non- homogeneous brittle  bodies  is considered as a function of the volume and analysed  on the basis of the probability  theory. The  model  assumed  of the medium with  microstructure is similar  to that  introduced in the papers by J.  MU RZEWSKI  (9)  and  S. D .  VOLKOV  (14)  and  consists  in dividing  the  body  into  macro- elements P,  and subdividing  them into micro- elements O. A single  micro- element  damaged,  the limit  of  proportionality between  the  stresses  and  strains  is exceeded; to reach  the ultimate strenght  of the  body  V, a number r of micro- elements O belonging  to the same macro- element Q has to be  damaged. One- dimensional  states of stress  a are considered in the paper. Two  probability  distributions are taken into  account: the  normal  distribution  (2.12) for micro- stresses  J at the given  micro- strength P = P,  and the  logarithmic  normal  distribution  (2.26) for the micro- strength P at the fixed micro- stress  s  —  a. Statistical  criteria of micro- cracking  (exceeding  the proportionality  limit)  are  then  developed  for these two  cases, Eqs. (2.24) and (3.1), respectively;  they are illustrated by F igs.  3 and 5. I n deducing the statistical criteria for  macro- cracks forming, the hypergeometric probability  distribution was  used. This  distribution is then approximated  by the binomial  distribution  which  tends  asymptotically to  the Poisson  distribution  (3.3). The relationship  between  the volume  V and  the strength limit R is  finally expressed  by Eq. (3.9), F ig. 6 and 7. The result differs  from  th at found  by S. D . Volkov [14] who — having: made  similar  assumptions — erroneously  introduced  the G auss  asymptotic  distribution. Certain simplifications  make it possible  to invert formula  (3.12) and to represent it in the form  of (3.16> or  (3.17), F igs. 9 and  10.  The discussion  concerning the possibility  of further  simplifications  and  applica- tion  of the simplest  formula  expressing  the size  effect  (3.18)  conclude the paper. P OLI TEC H N I KA  KRAKOWSKA Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  7  czerwca  1967  r.