Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS68\MTS68_t6z1_4_PDF\mts68_t6z1.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

1. 6 (1968)

AN ALIZA  UKŁADU  WIBRO- U D ERZEN IOWEGO Z TARCIEM  SU CH YM

BOH D AN   KOWALC Z YK  ( G D AŃ SK)

W  pracy  niniejszej  przeprowadzon o  analizę   ruchu  i  stabilnoś ci  ukł adu  wibro- ude-
rzen iowego  przedstawion ego  n a  rys.  1

N a  poziomej  chropowatej  suchej  pł aszczyź nie  (współ czynnik tarcia  p)  porusza  się   pod
dział an iem  sił y  okresowej  Pcos(tot+(p)  ciał o  M  o  m asie  m.  Ciał o  M jest  przytwierdzone

Rys. 1

d o  nieruchomej  ś ciany  pion owej  A  za  pom ocą   sprę ż yny  o  sztywnoś ci  c.  P odczas  ruchu
ciał o  M  uderza  o  n ieruchom y  ogranicznik  a—a  oddalon y  o  X

o
  od pun ktu  O  poł oż enia,

w  którym  sprę ż yna jest  w  stanie n ien apię tym.

P rzy  analizie  d rgań  rozważ an ego  ukł adu przyję to  nastę pują ce  zał oż enia:
1)  uderzenie  m asy  o  ogran iczn ik  a—a  odbywa  się   nagle  n a  odcinku  czasu  bardzo

mał ym  w  porówn an iu  z  okresem  ru ch u ;
2)  prę dkość m asy  po  odbiciu  od ogranicznika  a— a  charakteryzuje  się  współ czynnikiem

restytucji  R(0  <  R  <  1),  który  zgodnie  z  hipotezą   N ewton a  n ie  zależy  od  prę dkoś ci,
lecz jedynie  od  m ateriał ów zderzają cych  się   ciał ;

3)  m asa  ogran iczn ika jest  nieskoń czenie duża  i nie bierze  udział u w  drganiach u kł ad u ;
4)  moż liwe  są   drgan ia  m asy  m  o  okresie  równym  okresowi  sił y wymuszają cej  lub jego

kr&tnoś ci.

R ówn an ie  ruch u przy X  ^  0  m a  p o st ać :

(1.1) m-
2

R ozpatrywać  bę dziemy  ruch  m asy  m  w  dwóch  przedział ach czasowych  o  «dł ugoś ci»
ty  i  t

2
,  gdzie  ty jest  czasem,  który  upł yn ie  od  chwili  uderzenia  do  osią gnię cia  przez  masę



64  BOHDAN   KOWALCZYK

maksymalnej  amplitudy  L ,  t
2
  zaś  czasem,  który  upł ynie  od  osią gnię cia  maksymalnej

amplitudy  do nastę pnego  kolejnego  uderzenia. Czas  w  każ dym  z tych przedział ów  liczymy
od  zera.

1.  Po  uderzeniu —  ruch  w  stronę   dodatniej  czę ś ci  osi  X:

X>0,  s i g n Z = l ;

d
2
Xi

Podstawmy

y  -
  P  _  -  .  _  .  / 2  -   C

'  moł   "  '  m  '
(1.3)

k  .  /</Kg
/   =   — ,  a  =   —- —.

ca  P

Otrzymujemy  po podstawieniu (1.3)

(1.4)  Xi- \ - 'A2Xx  =  —  <2- |- COS(T +   <PI),

Cał ka  ogólna  równ an ia  róż niczkowego  (1.4)  w  przypadku  A  ^  1  m a  p o st ać :

a  .  .  ,  _  .  .  1

(1.5)

Xi =  —XAi sin  Xx  - j-\B\  cos  h:  —  - r=—— sin (T +   <pi)
A  —  1

Podstawiają c  warunki  na  krań cach  rozpatrywanego  przedział u

(1.6)
gdzie

(1.7)
mm

2

  r  mm
2  , ,   ̂ _

V  zaś jest  moduł em prę dkoś ci  punktu M  w chwili  uderzenia masy  o przegrodę .

Otrzymamy  nastę pują ce  zwią zki  dla  stał ych cał kowania:

a  1
Ai  =   x0+ - j2  — "jrzi

cos
  V

1
'

(1- 8)
i  Rv

o r a z

,  _  a  a_  ,  x
Q
  cosyi  co sfo  +   ffij  s i n ^  +  yQ  .

A2cos^Tl  A
a " t " c o s A T 1  ( A

2 - 1 ) c o s A T J  "t "'  A 2 - l  "  ̂ A ( A 2 1 )  b  x '

Ax0  ,  a  ,  ACOSCJ,  sinę Pi  sin



U K Ł AD   WI BR O - U D E R Z E N I O WY  Z  TARC IEM   SU CH YM  65

2.  N a  drugim  odcin ku —  ruch  w stron ę   ujemnej  czę ś ci  osi  X: X < 0  —  ruch ukł adu
dan y jest  równ an iem  róż n iczkowym:

d
2
X

(1.10)  m~d/ '

lub  po  podstawien iach  (1.3)

(1.11)  x
2

C ał ka  ogólna  równ an ia  róż niczkowego  (1.11) w  przypadku  A  j=-   1 ma  postać:

x
2
  =  - 7«" + A

2
cosXr  - \ - B

2
sinh  - {-  - r»—•

A  A  —  1

(1.12)

x
2
  =  ~AAito+%Bfa - T2—-

P odstawiają c  warun ki  n a  krań cach  drugiego  przedział u:

(1.13)  x
2
(0)  =  / ,  X

2
(Q)  = Q,  x

2
(x

2
)  = x

0
,  x{%

2
)'=—v,

gdzie
T i + T 2  —  2nn,

n=  1, 2, 3  ...  zaś  jest  stosun kiem  okresu  ruchu  masy  m do  okresu  sił y  wymuszają cej,
otrzym am y:

n  ^ A\   A  l
  00S(p2

  -   R
  s i n ? > 2

gdzie

oraz
,_  o  a  cos<p

2
  sin<p

2
  .

T2~ ~ IWk" +  "F^T~ Aa 2 1 )  g  T 2 ~

-

W  zwią zkach  (1.9)  i  (1.15)  niewiadom ym i  są  t
t
  oraz  9?!.  Porównują c  zwią zki  (1.9)i

i  (1.15)!  oraz  (1.9) 2 i (1.15)2  stron am i  otrzymujemy  nastę pują ce  równ an ia:

(1.16)  a x c o s !?>!+ &! sin 9?! =  cx,  a2cos(pi
J

r
b

2
sm(p

1
  = c

2
,

gd zie

T 2 r  ( c o sAz !—C O S AT 2 )  +   ^ I
A  • —  1  A  —  1

p
A 2 X 0 ( C O S A T I — C O S A T 2 ) — ^ (

A2  A
- o——^(sm AT^osATj—i^cosATjsin Atj)—  - 75—- ( co sAT2+ - K co sAT1) sin T 1;A  — 1  A  — 1

b
2
  =  —p —p -

c
2
  =   A 2 ( i A A A

5 Mechanika teoretyczna



66 BOHDAN   KOWALCZYK

Rugują c  z  równ ań  (1.16) param etr  9̂  dochodzimy  do  zwią zku

(1.17),
^2  ^2 b2c2

—
a

2
b

2

=  0 .

M oż na  wykazać,  że  rozwią zania  ukł adu  (1.16)  istnieją , jeż eli

Równanie  przestę pne  (1.17)i  rozwią zujemy  graficznie  kreś ląc  wykres  funkcji

(1.17)2

w przedziale  [0; 2nń \ .
Przy  analizie  stabilnoś ci  ruchu  rozpatrywanego  ukł adu  posł uż ymy  się   m etodą   prze-

kształ ceń  punktowych  [1], D la  rozpatrywanego  ukł adu  dynamicznego  pł aszczyznę   fazową
(x,  x)  dzielimy  pół prostym i S,  Ą ,  S

2
  n a  obszary  I  i I I .  W  każ dym  z  tych  obszarów  ruch

ukł adu  opisany jest  liniowym  równaniem  róż niczkowym.

a
2
c

2

2

tc2
2

tb,

Rys.  2

Trajektorie  fazowe  rozpatrywanego  ukł adu  okreś lają   przekształ cenie  pun ktowe  pół -
prostej

S  w  Si  w  obszarze  I ,

w  S
2
  w  obszarze  I I ,

zwią zek  zaś

przekształ ca pół prostą

• s'  =   - i

prowadzą c do wzajemnie- jednoznacznej  i cią gł ej  odpowiednioś ci pun któw tych poł prostych .
Oznaczmy  te  przekształ cenia  pun ktowe  odpowiednio  przez  n

lt
  n

z
,  %  a  przez  s,  s

lt
  s

2

i  s'  pun kty  przesunię cia  fazowych  trajektorii  z  odpowiedn im i  pół prostym i.  Znajdziemy
obecnie funkcje  przyporzą dkowan ia,  które  okreś lają   om ówione przekształ cenia pun ktowe.
W  tym  celu  do  rozwią zania  równania  róż niczkowego  (1.14)  podstawiam y  waru n ki:

(1.18) przekształ cenie



U K Ł AD   WI BR O - U D E R Z E N I O WY  Z  TAR C I EM   SU CH YM 67

P o  prostych  operacjach  matematycznych  otrzymamy  ukł ad  równań,  po  rozwią zaniu
którego  wzglę dem  s  i  s

x
  znajdziemy  funkcję   przyporzą dkowania  w  postaci  parametrycz-

nej.  D la przekształ cenia  n
t

- t X2- ] ,  .  sinoJitsAr1- ĝ
( U 9 )

C O S AT J  ( A2 —

1
c o s  (T

- 1)

N astę pnie  podstawiają c  do  rozwią zania  równania  róż niczkowego  ( ł . l l )  warunki:

(1.20) przekształ cenie  n2

i  rozwią zując  otrzymany  ukł ad równ ań  wzglę dem  s
z
  i Si znajdujemy  funkcję   przyporzą d-

kowania  (w postaci parametrycznej)  dla przekształ cenia  n
2
:

s,  =
X2xa—a

(1.21)

a
  t

  C O S C J 2

I2
1

5 2

a2—i  X{X2- \ )

X  ,  sin(93i— T 2 )
i—- c o sę ?!  r

t g / . T 2 s m c > 2 —  •
( A 2 —1 ) C O S Ź I T2  '

A  '  A 2 - l " " "r i J Ł & " ^  '  ( A2 - 1 ) C O S AT2  A
2 - r

P un kt  nieruchomy s*  omawianego  przekształ cenia punktowego  znajdujemy  z  warunku

Stabilność  pun ktu  nieruchomego  i  odpowiadają cego  mu  ruchu  okresowego  znajdujemy
z twierdzenia  Koenigsa  [1], a  wię c ruch jest  stabilny, jeż eli

i  niestabilny,  gdy

ds

O.
di-

< 1

> 1

D la  omawianego  ukł adu analityczny warunek  stabilnoś ci  ma postać:

ds'

ponieważ

ds'  (dsjdrjidsildii)  ds'
ds  (dsjdtijidSijdzi)  ds

2

P r z y k ł a d .  Rozpatrzono  ruch  i  stabilność ukł adu  w  przypadku  gdy

X =   0,4,  a  =   0,1,  xo  =   l,O,  i?  =   0,5,  «= = 1,



68 BOHDAN   KOWALCZYK

D la  tych  dan ych  wykreś lono  wykres  funkcji  Ffa)  ( U 7 ) 2 ,  rys.  3.  P un kty  przecię cia  się

krzywej  z osią   odcię tych wyznaczają   te wartoś ci dla których Ffa)  =   0. W dan ym przypadku

uzyskano  dwa  rozwią zania:

Tj  = 3 , 2 0 ,  Tj  = 3 , 5 6 .

\   /

Rys. 3

W  przypadku  %
l
 nie istnieje  okresowe  rozwią zanie  rozpatrywan ego  ukł adu. W  przypadku

?!  =   3,56  ruch ukł adu jest  stabilny,  gdyż

ds_
ds

=   0,557 <  1

Rys.  4

Zależ ność  przemieszczenia  bezwymiarowego  i  bezwymiarowej  prę dkoś ci  od  czasu  p o d a n a

J
.est  n a  wykresach  (rys. 4).



U K Ł AD   WI BR O - U D E R Z E N I O WY Z  TAR C I EM   SU CH YM   69

L it er a t u r a  cytowan a  w  tekś cie

A.  A.  AH APOH OB,  A.  A.  BH T T ,  I L 3 .  H Ań K H H,  T eopun  K0jie6aMiu,  Moci<Ba 1959.

P  e 3  IO  M  e

AHAJIH3  BHBPOyflAPHOfł   CHCTEMBI IIPH   H AJIIMH H  CYXOrO  TPEHHfl

B  paBoTe  paccMaTpusaeTCH  flBH >i<eH ne cnpoMaccoEOH  Bn6poyflapH oS  CHCieniu  C jiniieftuofi  yn py-

roft  xapaKTepmcTEiKOH.  n pefln on araeT C H ,  ^ T O i<ojie6aHHH   cucieM bi  3aTyxai0T  3a  cqeT  cyxoro  i p e n n n .

(jjopM yjiti  fljiH   nepeiwemeHUH   H  CKOPOCTH   KOJieSjuou^eił cH   Maccbi  cooTBCTCTByioin;ne  cny- iaw

cKHX  KOJieSaiiHH,  c  iiepHOAOM   paBHbiM   n epn ofly  BO3Mymaiomeń  c n n w  H JIH   ero KpaTHOCTH.

yflapa  Maccbi  o  n p e r p a ^ y  yMHTWBaeTca  n pH  noiwomu  KOS^^HUiieH

C KOP OC TH .  AHajiH,3  ycTOOTHBocTH   nepH Oflu^ecKoro flBH >i<eH H H  paccMaTpuBaeMoii

n p n  n oM om n  Meiofla  ToqetjH bix  npeo6pa3OBaH iiH .

S u m m a r y

AN ALYSIS  O F  A  VIBRATORY- IMPACT  SYSTEM   WITH   SOLID  F RICTION

The  paper  deals  with  investigation  of  a  vibratory- impact  system  with  one degree  of freedom  assuming

that  the vibrations  of the system  are damped. The equations describing  displacement and velocity  of vibrat-

ing mass are given in the case when the frequency  of vibration is equal or multiple of exciting force frequency.

The  effect  of  impact is  described  by  means of the coefficient  of  restitution of  velocity.

The  stability  of  periodic motion was  investigated  by  means of point- transformation  method.

P O L I T E C H N I K A  G D AŃ SKA

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  21  czerwca  1967  r.