Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS68\MTS68_t6z1_4_PDF\mts68_t6z1.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1, 6 (1968) OPTYM ALIZACJA  KSZTAŁTU  ŁU KU  JAKO  P RZ EKROJU   D Ź WIG ARÓW SKLEPIEN IOWYCH Z D Z I S Ł A W  K ,  L E Ś N I AK  ( W AR S Z AW A) 1. Wstę p W  wielu  konstrukcjach  budowlan ych  stosuje  się  przekrycia  dachowe w postaci  sklepień o  zarysie  ł ukowym .  I  t a k  n p .  dachy  obiektów  przemysł owych  (hal  fabrycznych,  magazy- nów  itd.)  miewają   postać  dź wigarów  sklepieniowych  o  przekroju  poprzecznym  zł oż onym Rys.  1. D ach budynku  przemysł owego  w postaci dź wigarów  sklepieniowych z  szeregu  ł uków  (rys.  1).  D ź wigary  t e  pracują   przede  wszystkim  n a  zginanie  jako  belki o  rozpię toś ci  L   oparte  n a  po d po rach w  pł aszczyznach  AB  oraz  CD  (rys.  2). Wzglę dy  ekon om iczn e  nakazują   optymalizację   tych  konstrukcji.  Optymalne  dź wigary sklepieniowe  powinny  zapewniać  speł nienie  wym agań  funkcjonalnych,  wytrzymał oś cio- Rys. 2. D ź wigar  sklepieniowy wych  it p.  w  stopn iu  zadowalają cym,  a  przy  tym  powin n y  być  najlepsze  z pun ktu  widzenia pewnej  ich  cechy  przyję tej  za  kryterium  optym alnoś ci.  Jako  kryterium  optymalnoś ci  przyj- muje  się   najczę ś ciej  ogólną   ekon om iczn ość  budowli. 80 ZDZISŁAW  LEŚ NIAK W zastosowaniu  do dź wigara  sklepieniowego  kryterium  to  da  się   sprowadzić  do  wyma- gania  uż ycia  minimum materiał u w dź wigarze  przy  zachowaniu jego  noś noś ci nie  mniejszej od  wymaganej  (wariant  1)  bą dź  też  do  ż ą dania  uzyskania  maksimum  wytrzymał oś ci dź wigara  przy  uż yciu  nie wię kszej  niż  okreś lonej  iloś ci  materiał u (wariant  2). Z agadnienie to  ujmiemy  teraz matematycznie. Rozważ my jeden element przekroju  poprzecznego dź wigara  sklepieniowego,  mianowicie ł uk  o  szerokoś ci  2p  i  wysokoś ci  ym a x  (rys.  3). Rys, 3. Przekrój  poprzeczny  elementu  ł ukowego dź wigara sklepieniowego Pod  wpł ywem  zginania  wywoł anego  obcią ż eniem  naprę ż enia  w  przekroju  dź wigara nie- powinny  przekroczyć  wartoś ci  dopuszczalnych,  czyli ( U )  M>^ , gdzie  B  oznacza moment  zginają cy,  przypadają cy  na  jeden  element  dź wigara  (rys.  3), e  odpowiednio  e x   i  e 2 ,  tj.  odległ oś ci  skrajnych  punktów  ł uku  (przekroju  dź wigara)  od  osi oboję tnej,  M  moment  bezwł adnoś ci ł uku  (przekroju  dź wigara)  wzglę dem jego osi  cię ż koś ci, k  naprę ż enie dopuszczalne w  materiale ł uku. Kryterium  optymalizacji wariant  1 (1- 2)  /  =   minimum,  (/ jest  dł ugoś cią   ł uku), przy  speł nieniu warunków  a  <  k, co  sprowadza  się   do  warunku (1.3)  M>M d pon adto (1.4)  J > < > W . gdzie  M d   jest  daną   wartoś cią   momentu  bezwł adnoś ci  ł uku,  y  oznacza  rzę dne  osi  ł uku >max dane  ograniczenie  wysokoś ci  ł uku, reszta  oznaczeń jak  wyż ej. wariant 2 (1.5)  M  =  maximum  (M  — j.w.) przy  speł nieniu  warunków (1.6)  I^ i d>   y^ y max , gdzie  /  oznacza  dł ugość ł uku,  /,, daną   wartoś ć,  pozostał e oznaczenia — jak  wyż ej. ,  Z adanie  optymalizacji  polega  n a  znalezieniu  takiego  kształ tu  ł uku  czyli  takiego  jego równania,  aby  był y  speł nione warunki  (1.3)  i  (1.4)  przy  wyborze  kryterium  optymalizacji OPTYMALIZACJA  KSZTAŁTU  ŁUKU   81 wg  warian tu  1 lub  warun ki  (1.6) w przypadku  warian tu  2,  a  pon adto  aby funkcja  kryte- rium  optymalizacji  osią gnę ła  ekstrem um .  W  wariancie  1  funkcja- kryterium  (1.2)  po- winna  osią gnąć  m in im um , a w  wariancie  2  funkcja- kryterium  (1.5) powinna  uzyskać wartość  m aksym alną . Wielkość  M  (m om en t bezwł adnoś ci  ł uku)  wystę pują ca  we wzorze  (1.5) jako  funkcja- kryterium  optymalizacji  oraz  we.  wzorze  (1.3) jako  warunek  zależy  od  funkcji  y  (równa- n ia  ł uku), jest  wię c funkcjonał em. Przy  zastą pieniu  zn aków  nierównoś ci  we wzorach  (1.3),  (1.4)  i  (1.6),  znakam i  rów- noś ci  obydwa  warian ty  optymalizacji  są   równoważ ne  tworzą c  zagadnienie  dualne program owan ia  m atem atyczn ego [1]. Warian t  2  optymalizacji  po  zastą pieniu  we  wzorach  (1.6)  znaków  nierównoś ci zn akam i  równoś ci  stanowi  izoperymetryczne  zagadnienie  rachunku  wariacyjnego,  które nie  jest  dotychczas  rozwią zan e1). P raca  niniejsza  podaje  sposób  rozwią zania  tego  problem u  przez  potraktowan ie go  jako zagadn ien ia  program owan ia  matematycznego i zastosowanie  metody  M onte C arlo do jego rozwią zania.  P o n ad t o  podan o  numeryczne  rozwią zanie  pewnego  przypadku  tego  zagad- nienia. 2. Sformuł owanie  matematyczne zagadnienia  programowania Z adan ie  optymalizacji  kształ tu  ł uku  przedstawimy  teraz  jako  zagadnienie  program o- wania  m atem atyczn ego. Z ał óż my  równ an ie  kształ tu ł uku  w postaci  szeregu  potę gowego (2.1)  y  = a n x"+a„_ 1 x"- ' l - {-  ...   J r a l x+a 0 i  potraktujm y  współ czynniki a n  (n =   0 , 1 ,  . . , , n) ja ko  zmienne decyzyjne,  których wartoś ci m am y  okreś lić  w postę powan iu  optymalizacyjnym. Przyjmują c  warian t  2 optamylizacji  ł uku  moż emy  sformuł ować  zadanie  optymalizacji ł uku  n astę pują co: N ależy  znaleźć takie  wartoś ci  zmiennych a„{n =  0, 1, . . . , ri), aby  m om ent bezwł adnoś ci M  ł uku  wzglę dem  jego  osi  cię ż koś ci  był  maksymalny  przy  równoczesnym  speł nieniu warun ków,  że dł ugość ł uku  /  nie przekroczy  danej  wartoś ci  l d , a wysokość ł uku  nie bę dzie wię ksza  od  danego  wym iaru  y m!L x . Z  uwagi  n a symetrię   ł uku  wzglę dem  osi pionowej  wystarczy  rozpatrywać  tylko  jego poł owę   (rys.  4)  przechodzą cą   przez  począ tek  u kł ad u współ rzę dnych. D zię ki tem u we  wzo- rze  (2.1)  zniknie  wyraz  wolny  a 0 i  wyraz  aYx. R ówn an ie  ł uku  bę dzie  wię c  miał o  postać (2.2)  y  =   a,1x" +  a, 1= 1jc''- 1- |-   ...  +a 2 x 2 . G rubość  dź wigarów  sklepieniowych  jest  nieznaczna w porównaniu z szerokoś cią   ł uku. W  dalszym  cią gu  bę dziemy  wię c  rozpatrywać  samą   oś ł uku  jako  przekrój  dź wigara  skle- pieniowego  (grubość  1). ')  Autor  dzię kuje  doc.  d- rowi  in i.  Zbigniewowi  Mazurkiewiczowi  za  zwrócenie  uwagi  na  nieroz- wią zany  dotychczas problem optymalizacji  ł uku. S M echanika  teoretyczna 82 ZDZISŁAW LEŚ NIAK P oł oż enie  ś rodka  cię ż koś ci  y s   ł uku  znajdziemy  z  warun ku,  że  m om en t statyczny  ł u ku wzglę dem  swego  ś rodka  cię ż koś ci  równ a  się   zeru : (2.3) J Vl+ / 2 dx gdzie  y  =   y(x),  p  oznacza  poł owę   szerokoś ci  ł uku  (granica  cał kowan ia), 5" m om en t  sta- tyczny  ł uku  wzglę dem  osi  x,  1 dł ugość  ł uku. Rys. 4. Łuk optymalizowany M om en t  bezwł adnoś ci  M  ł uku  wzglę dem  osi  cię ż koś ci  wynosi (2.4)  M = gdzie y  =   y(x). Z adan ie  optymalizacji  ł uku  polega  n a  znalezieniu  m aksim um warunkowego  funkcji  M. Warun kam i  są (2.5) oraz gdzie  /,, i y mRX   są   z góry  danymi liczbami.  K rótko mówią c  należy  znaleźć  M  =   m aksim um przy  /  <  l d ,  y  <  y max .  F unkcje M,  I i y  są   nieliniowe  wzglę dem  x. Z agadnienie  to  nie  daje  się   rozwią zać  za  pom ocą   rach u n ku  róż niczkowego.  Z asto- sujemy  wię c  do  jego  rozwią zania  m etody  program owan ia  m atem atyczn ego. Jak  zobaczymy  niż ej,  w  przypadku  kształ tu ł uku  wyraż onego  wielomianem  (2.2)  cał ki wystę pują ce  we  wzorach  (2.3)- (2.5)  nie  dają   się   ogólnie  obliczyć  w  sposób  elem en tarn y i  przedstawić  w  postaci  zamknię tych  wzorów.  M uszą   one  być  okreś lane  w  sposób  przy- bliż ony  metodam i numerycznymi. Ten fakt  wyklucza  zastosowan ie  niektórych  m etod p ro - gram owania  m atem atycznego.  N ie jest  n p .  moż liwe  zastosowan ie  m etod  gradien towych do  znalezienia  m aksim um warunkowego  funkcji  M. D o  rozwią zania  zagadnienia  optymalizacji  ł uku  zastosujemy  m etodę   M on te  C arlo  [2] stosują c  kom puter do  obliczeń numerycznych. OPTYMALIZACJA  KSZTAŁTU  ŁU KU   83 3.  Przykł ad  optymalizacji luku  (obliczony  num erycznie) R ówn an ie  ł uku  wyraża  wielom ian  czwartego  stopn ia  (por.  rys.  4) (3.1)  y^ P oł oż en ie  ś rodka  cię ż koś ci Anx*  4-   hx*  4-   rx2\   1/1  4-   f4flx3  4-   3hx2  A- ^ rx^ dx (3.2)  A  =   ^  —  ^  . J  j/ T+(4a?+3t o 2+2c x) 2  JJC 0 M o m en t  bezwł adnoś ci ł uku  wzglę dem  osi  cię ż koś ci P (3.3) M =  /   ( a x 4 + 6 x 3 + e x 2 - ; ys ) y T+ ( W  +  3 t a 2 + 2 c x) 2 ^. Z ad an ie  optymalizacji  ł uku  polega  n a  znalezieniu takich  wartoś ci  zmiennych  decyzyjnych a, b,  c,  dla  których  wystą pi  m aksim um  funkcji  M  przy  równoczesnym  speł nieniu nastę - pują cych  waru n kó w: warunek  1 p (3.4)  /  =  f  \ / l +  (4axi+3bx2+2cxf  dx^ l d ; o za  I d  przyjmujemy  ć wiartkę   dł ugoś ci  koł a  o  prom ien iu p:  l d   =   - ^-; warunek  2  . - • • . . (3.5)  y  =   ax*+ Z>x3 +  ex2  <   j m a x . Z a  J V X  bę dziemy  przyjmować  kolejno  yMK  =   p  i  j m n . x  =  p/ 2. Jako  wymiar  poł owy szerokoś ci  ł uku  (por. rys.  4) przyjmiemy  p  =   1. D o  rozwią zania  zagadn ien ia  zastosowan o  m etodę   M on te  C arlo.  Szczegół owy  opis m etody  M on te C arlo  wraz  z  opisem  gen eratora  liczb  losowych  podan y jest  w  pracy  [2]. W  om awian ym  t u  przypadku  optymalizacji  ł uku  cał ki  nie  dał y  się   obliczyć m etodam i elem entarnym i  i był y liczone num erycznie wg  wzoru V (3- 6)  J  / ( *) dx  =  —  0>„   +   2y x   +  2y 2 +  ... +  2y„_ i +y ll ), o gdzie  y t   =   y(x t ),  t =   0 , 1  n X o   ~  0,  Xi =   Xi_ x Ą - h,  h  =pjn, czyli ^o  =   f(x 0 )  =   / (O ),  J>i  =   / (A),  y 2   =   / ( 2/ J ) D o bó r  odpowiedniej  liczby  n podział u cał kowanego  odcin ka nastą pił  doś wiadczalnie  przy uż yciu kom putera przez dobieran ie róż nych wartoś ci n i porówn an ie otrzymanych wyników. O kazał o  się ,  że  stosowan ie  mniejszych  odcinków  niż  h  =   p/ 40  nie  daje  już  zwię kszenia dokł adn oś ci  drukowan ych  wyników.  D la  zapewnienia  ja k  najwię kszej  dokł adnoś ci  za- stosowan o  ostatecznie jed n ak  h =   p/ 100. 84  Z D Z I SŁ AW LEŚ N IAK Losowanie  wartoś ci  a,  b,  c  nastę powało  najpierw  w  kostce  < 0 ;  2,  5 > ,  a  n astę pn ie po  otrzymaniu  obrazu  co  do  wartoś ci  a, b, c  dają cych  wysokie  wartoś ci  M  zmniejszono ją   do  przedział u < 0 ;  1 > .  Przyczynił o  się   t o  do  poprawienia  przybliż enia  optim um . Obliczenie  przeprowadzono  na  kom puterze  G I E R .  P rogram  optymalizacji  ł uku  n api- sany  w ję zyku  G I E R  ALG O L  I I I ma postać  nastę pują cą: PROGRAM  . b e g i n  c o m m e n t ' ' p r o gr a m  o b l i c z a  m e t o d a  M o n t e  C a r l o  w s p ó ł c z y n n i k i  l u k u aXxł h+ bXx/ |(3+ cXx/ |2,  z a p e wn i a ją ce  maximum  m om en tu  b e z w ł a d n o ś ci l u k u  wzglę d em  j e g o  o a i  c i ę ż k o ś c i; in t eger  i , n , K , l; r e a l  h,U 1,C2,C3,pJyO,M ,ymax,aa,ad,ag,bb,cc; boolean  ran dom , d, c, b, a;  comment:'procedura  generowania  lic zb  losowych  o  r o zkł a d zie równomiernym  w p e ie d zia le  t o , i ] ,  wywoływana przez  in st r u kc je  gier(ran dom ;; a,0,20,0,20,39,1  )• > U ,0,9,1te,i0,19,111,20,29,155,30,39,961); c,0,19,1,20,25,15,26,35,17,36,39,1,w,ln.3)j 4,0,9,3,10,25,26,26,30,5,31,39,0,U o,ln,o)j &09Kl°195Z0252126Z9*3O36& pack pack pack pack pack in put(ad, ag, n , p, H , ym ax); l : -   0; M:-   0; begin array  y, yi[O :n ]j h : "  P/ n; L: l:»  l + i ; O i l *   C2 : -   C3 : -   0 ; i f  1>K then go  t o  A; a a i"  (ag- ad)Xgier(random)+ a.d; bb:"  (ag- ad)xgier(random)- ttid; cc:=   (ag- ad)Xgier(random)+ ad; i f  aaXjyfJł+bbXp/j\3+ccXpA2  >  ymax  th en  go t o  Ll for  1:-  0  st ep  1 u n t i l  n  do begin yTTi]! y oai-   y } C i : -   C H y[i]Xyi[i] end; CTT-   (C i- (y[o]Xyl[o]+ y[n]Xyi[n])/ 2)Xh; C2=-   (C 2- (yi[0]+ yi[n ])/ 2)XhJ if  C2 > i.5708Xp  th en go  t o Lj 7T= T/ fo r  i : =  0  st e p  1 u n t i l  n  do begin ~ ~ yTT]:- (aaX(hXi)A^+ bbx(bXi)A3+ ocx(hXi)/ W.ys  )/fy2Xsiirt( 1 + CiXa8X(hXi )A3+ 3Xbbx(hXi  )A2 + 2XccXhXi)A2);  '  '  ' C3:«  C3+ y[i] endJ C3T-   (C 3- (y[0]+ y[n])/ 2)Xh; i f  C3>M   th en begin output( , aa);  o u t sp ( 5) ; output(- pid.dddd> , bb, outsp(5), cc)f  o u t ap ( 5) j output (- pidddl1,1J; o u t e r ; end; go  t o  L; end; end  program  arch(xAU ); O P T YM ALI Z AC JA  K SZ T AŁ T U  L U K U Wyniki  obliczeń p o d an e przykł adowo dla  przypadku y max =p*=l,  n =   100 są   n astę pują ce: Wyniki  (ARCH  x4) M 0,138 0,143 0,148 0,150 0,151 0,152 0,153 0,156 0,158 0,159 0,5671 0,3789 0,5991 0,0297 0,5549 0,4557 .0,1490 0,3573 0,5919 0,6826 ' 4 0,2008 0,3637 0,2650 0,9267 0,4035 0,2105 0,6471 0,5105 0,3279 0,2141 c 0,1820 0,2291 0,1070 0,0264 0,0163 0,3319 0,2038 0,1299 0,0767 0,1009 kolejn a  liczba losowan ia 5 104 330 1170 1391 1406 1907 3400 3927 9078 Ł ą czna  liczba  losowań  zespoł ów  wartoś ci  dla  zmiennych  a, b, c  wynosił a  15 563.  N aj- lepszy  wynik  uzyskano  w  9078  losowaniu.  N astę pne losowania  nie dał y już  poprawy  wy- n iku.  Czas  liczenia  wynosił   ok.  3,5  godziny. Optym aln y  kształ t ł uku  dan y  jest  wię c  wyraż eniami  (dla  przypadku  b)  nie  podan o t u  wyników  obliczeń ): (3.7) a)  d l a  y BMX   = b )  d l a  y mnx   = y  =   0 , 6 8 2 6 A ' 4 + 0 ) 2 1 4 1 X 3 H - 0 , 1 0 0 9 X, :  y  = R ys.  5.  Ł u k  o  kształ cie linii  ł am an ej D la  porówn an ia przeprowadzon o obliczenia  dla ł uków: 1.  O  kształ cie linii  ł am an ej  (rys.  5)  wg  poniż szych  wzorów  napisanych  dla  y max   - -=  p. W  przypadku ym a x  =   p/ 2  wzory  są  podobn e. Js  = 2- 2p P_ 4  ' 86 ZD ZISŁAW  LEŚ NIAK 2.  O kształ cie odcinka prostej  (rys.  6). Dla  j m a x  =  p  otrzymuje  się   wzory M  =  J (x- P l2f  ]/ 2 dx =   0,1178/ Rys.  6. Łuk o kształ cie odcinka prostej Rys.  7. Łuk koł owy 3.  O kształ cie ł uku koł a (rys, 7). Odpowiednie  wzory  mają   postać: y=p- }/ p l —x i ,  /   = x 1 = Jlp 2  ' Vs M 0  2 (n- 2) _p(7t- 2) np/ 2 7tpj2 npj2 n = f Ponadto  przeprowadzono  optymalizację   kształ tu  ł uku  okreś lonego  równaniem (3. 8) y  = ax . 2) Przypadek ł uku w kształ cie linii ł amanej wymaga  uwzglę dnienia  ponadto innych wzorów  wytrzymał o- ś ciowych,  które  tu  pominię to, gdyż  ten  przypadek  traktowany  jest  tylko  porównawczo  jako  graniczny kształ t  ł uku. OP TYM ALIZ AC JA  KSZTAŁ TU   Ł U KU   87 Optymalizację  przeprowadzon o  m etodą  M on te  C arlo  przy  uż yciu  kom putera  G I E R an alogiczn ie ja k  w przypadku  luku  wyraż onego  wielomianem czwartego  stopn ia.  Wszystkie cał ki  był y  liczone numerycznie. W  przypadku  j m a x  < / ?  =   1 uzyskan o  dla  kostki  < 0 ;  2,  5 >  oraz  3000  losowań  w  959 losowan iu  jako  najlepszy  wyn ik: a  =   0,9993,  M  =  0, 141. Czas  liczenia  wynosił   okoł o  15  m in ut.  P rzy  zmniejszeniu  kostki  oraz  powię kszeniu liczby  losowań  m oż na  się  spodziewać  poprawienia  wyniku. W  celu  otrzym an ia dokł adnej optymalnej  wartoś ci  współ czynnika  a oraz  dla  okreś lenia dokł adn oś ci  wyników  optymalizacji  m etodą  M on te  C arlo  przeprowadzon o  tablicowanie wartoś ci  funkcji  M  (m om en t bezwł adnoś ci  ł uku)  w  zależ noś ci  od  współ czynnika  a  para- boli  axz. PROGRAM  M (a): begin  comment:Program  o blic za  momenty  bezwł adn oś ci  p a r a bo li y"aXx|2  wzglę dem  je j  ś rodka  c ię ż ko ś ci  jako fun kcje  od  a,  n a  p r ze d zia le  [0,p]> i n t e ge r  ±,ni r e a l  a, h, p, r, ym ax, C i, C 2, M ) wr i t e c r ; writetextC'jMSTARI  dan e:  nJp,ymaxj'- ); n :"t yp e in ) p :»t yp e in l ym ax:"typein i begin a r r a y  R 1, R 2, y[o:n ]} h :- p / n; fo r  a:- O.00O1,  a+ 0.05  yh i l e  aXp^S- Jnnax+ 0.01  d£ begin ~ C ?T- M :»o; ( . p  + ln(p- tx)/ (lU a)  - if  Cl  > 1.57O78i5Kp  then go t o  EA.; ?or~T:"0  st ep  1 u n t i l  n  do begin "~KTTi]s- a  x(hXi)/ te; K2[i] :- sqrt ( i+ ( 2aXh  ) yt i ] : - R U i]  X E 2t i]j C2:- C2+  y [ l 3 endj C5T- (C2- (y[o]- lytn] )/ 2)xhJ r:- C2/ C1j for  i:»0  st ep  1 u n t i l  n  do begin " K l  (  [ ' ] ) / t ó  XR2[i]} end; FTi= '(M- (y[o]+ y[n])/ 2)XhJ outerJ output(,a,outBp(U ))) output (- (nd. ddddd}, M); end al g°t 0  A end  prograa 88 Z D Z I SŁ AW  LE Ś N I AK Aby  zapewnić  wysoką   dokł adn ość  wyników  obliczono  ś ciś le  dł ugość  ł uku  paraboli, tzn .  cał kę  wystę pują cą   w  mianowniku  wzoru  na y s ,  mianowicie (3.9) a I  x 2 \ / i+Aa 2 x 2 dx P ozostał e  wystę pują ce  w  zadaniu  cał ki  obliczono  numerycznie. Obliczenia  wykonano  przy  uż yciu  kom putera  G I E R  wg  program u "M   (a),  s  (87). Otrzymano  nastę pują ce  wyniki: M 0,0001 0,0501 0,1001 0,1501 0,2001 0,2501 0,3001 0,3501 0,4001 0,4501 0,5001 0,5501 0,6001 0,6501 0,7001 0,7501 . 0,8001 0,8501 0,9001 0,9501 1,0001 0,00000 0,00022 0,00090 0,00205 0,00370 0,00590 0,00870 0,01214 0,01628 0,02118 0,02690 0,03350 0,04102 0,04954 0,05910 0,06977 0,08159 0,09462 0,10893 0,12455 0,14155 Czas  liczenia  wynosił   okoł o  15 m in ut. G raficzne  przedstawienie  pierwszego  przypadku  tych wyników,  tj.  przebiegu  zależ noś ci m om en tu  bezwł adnoś ci  M  od  współ czynnika  paraboli a  dla  p  =   1,  y nmx   =   1  («  =   100) podaje  rys.  8. Optymalna wartość  współ czynnika  a we  wzorze  (3.8) przy  y max   — p  =   1 wynosi  wię c  1. Z a  pomocą   metody  M on te  Carlo  otrzym an o  bardzo  bliski  wynik  (a =  0,9993).  P rzy Vma* =   />/2  =   1/2.  a =   0.5. OPTYMALIZACJA  KSZTAŁTU   ŁUKU Optymalny  kształ t luku w postaci  paraboli  drugiego  stopnia  okreś lony jest  równaniem ( 3 - 1 0 )  a) przy  y max   =p  = \ :  y = x 2 , (3.11) .vm ax  ==  p/ 2 =  1/ 2:  y =  — x 2 . M 0,2 OJ 0,1  0,2  0,3  0,4  0,5  0,6  0,7  0,8  0,9  1,0 Rys.  8.  Zależ ność  momentu  bezwł adnoś ci  luku  od  współ czynnika  paraboli  axz 4.  Zestawienie wyników  optymalizacji  i  ich omówienie W  tablicy  1 podan o  zestawienie  wyników  optymalizacji  kształ tu  ł uku  dla  wszystkich przypadków  przedstawionych  poprzednio. Tablica  1  wartoś ci  momentu  bezwł adnoś ci  M  ł uku  " (poł owa  szerokoś ci ł uku p =  1) — P —  1 ZL p b n L p ax* P ax p 0,1178 (79) 0,0233 (87) 40 |0,03125| (116) 3 0,1488 (100) 0,1415 (95) 0,0269 0,159 (107) 0,028 (104) W  pierwszym  przypadku,  gdy wysokość  ł uku  jest  równa  poł owie jego  szerokoś ci, tj. gdy  3 W =p  = 1, porównanych  jest  pię ć  rodzajów  kształ tu poł owy  ł uku, a t o :  odcinek prostej  (1),  linia  ł am an a  (2),  ł uk  koł a  (3),  parabola  drugiego  stopnia  (4) oraz  parabola czwartego  stopnia  (5). W przypadku  linii  ł amanej  (2)  nie  był   speł niony  warunek  ograni- czonej  dł ugoś ci  poł owy  ł uku  /  < l d  =  np/ 2,  obowią zują cy  w pozostał ych  przypadkach. W  drugim  przypadku,  gdy ym a x  = p/ 2 =  1/2,  porównano  cztery  przypadki  bez  ł uku koł a.  Ponieważ  zachowano  t u taką   samą   jak poprzednio  wartość  l d  — npjl,  wszystkie rozpatrywane  kształ ty ł uku  speł niają   warunek  /  <   l d .  N awet w przypadku  ł uku  w kształ cie linii  ł amanej  poł owa jego  dł ugoś ci  wynosi  tylko 1,5. 90 Z D Z I SŁ AW  LE Ś N I AK N ajwię kszy  m om en t bezwł adnoś ci  daje  ł uk w  kształ cie  linii  ł am an ej  (2). P okazuje  t o , do jakiego  najkorzystniejszego  ukształ towania dą ży  oś ł uku. N ajmniejszy  m om en t bezwł ad- noś ci daje  odcinek prostej  (1). Spoś ród  wł aś ciwych  ł uków najmniej  korzystn a jest  parabola drugiego  stopnia.  D obry  wynik  zapewnia  parabola  czwartego  stopn ia,  kt ó ra  przyjmuje korzystniejszy  kształ t  i  daje  lepszy  wynik  niż  ł uk  koł owy  o  tej  samej  dł ugoś ci.  N a  rys.  9 podan o  porówn an ie  trzech  kształ tów  ł uku.  C harakterystyczny  jest  kształ t  przyję ty  przez parabolę   czwartego  stopnia. Ql  02  0,3  0,4  0,3  0,5  0,7  0,8  0,9  1,0  *~ Rys.  9. Porównanie róż nych kształ tów ł uku W  celu wzajemnego  porówn an ia  podan o w tablicy  1 w  n awiasach  procen towe  wartoś ci momentów  bezwł adnoś ci  M  przyjmują c  za  100  w  pierwszym  przypadku  ł uk  koł owy, a  w  drugim  parabolę   drugiego  stopnia. N ajlepszy  wynik  momentu  bezwł adnoś ci  M  wzię to w  ramkę   a drugi  co  do  wartoś ci  wynik  podkreś lono. 5. Zakoń czenie Z agadnienie  optymalizacji  kszt ał t u ł u ku (ze wzglę du  n a m aksim um  m om en tu bezwł ad- noś ci  ł uku)  przy  istnieniu  warunków  ubocznych  nie  daje  się   rozwią zać  rach un kiem  róż- niczkowym  an i rachunkiem wariacyjnym.  W  niniejszej  pracy  rozwią zano  powyż szy  problem przy  uż yciu  m etody program owan ia  m atem atycznego. Przyjmują c  równanie  kształ tu ł uku  w  postaci  wielomianu  potraktowan o  współ czynniki wielomianu  jako  zmienne  decyzyjne,  poszukują c  takich  ich  wartoś ci,  aby  m om en t  bez- wł adnoś ci  ł uku  osią gnął   maksimum  przy  równoczesnym  speł nieniu warun ków  uboczn ych OPTYMALIZACJA  KSZTAŁTU   ŁUKU   91 (nieprzekroczenie  pewnej  dł ugoś ci  luku  oraz  okreś lonej  wysokoś ci  ł uku).  D o  rozwią zania zagadn ien ia  zastosowan o  m etodę   M on te  C arlo.  Obliczenia  numeryczne  wykonano  n a kom pu t erze  G I E R . R ozwią zano  liczbowo  przypadek  ł uku  o  kształ cie wyraż onym  wielomianem  czwartego stopn ia  znajdują c  optym aln e  współ czynniki  wielomianu.  P odan o  program y  i  wyniki obliczeń  kom putera.  D la  porówn an ia  obliczono  przypadki  ł uków  o  kształ cie linii  prostej, linii  ł am an ej,  ł uku  ko ł a  i paraboli  drugiego  stopn ia. 6. Literatura  cytowana  w tekś cie 1.  O. LAN G E, Optymalne decyzje — zasady  programowania,  PWN , Warszawa 1964. 2.  J. G OLIŃ SKI i Z . K. LEŚ N IAK,  W ybór optymalnych  wymiarów konstrukcji za pomocą  metody Monte Carlo, Arch.  I n ż. Lą d., 10 (1964),  341- 356. P  e 3  IO  M e 0n T H M AJlH 3AU , H H   O O P M BI  APCCqH OrO  CE^IEH H H   n E P E K P Ł I T H fl 06  orrrnM ajm3an;nn  dpopMbi  ap raj  (n o ycnoBH io  lwaKCHMyiwa  MOMetrra  nHepiWH) n o 6o iH bix  ycnoBH H   He  iwo>KeT  6Ł I T E  pemeH a. B paMKax  HHdiibepeHHł iaJi&Horo  H JIH   BapiiairHOHHoro cjieH u a.  B HacTOHiueił  paSoTe  BBinie  yi- p a c i e i a .  J J n a  cpaBHeHHH  npoBOflnTCH   pacn eT  p,na cny^iaa  apoK  cjepqeH H bix  n o npaM oft,  n o Jia- H ,  n o  flyre  oKpywH ocTH   H  n a p a 6o n n  BTopoft  cTen eim . S u m m a r y OP TIM U M  D E SI G N   OF  TH E ARC H   SECTION  OF  SH ELL BEAMS The  problem  of th e  optimization of the  arch  shape  (to obtain a maximum  of the moment of inertia) with  the presence of constraints can be solved neither by using  the differential  calculus  nor by the calculus of  variation.  In this  paper  the  problem  has been  solved by using  the mathematical programming  method. Assuming  the arch  shape  equation in the form  of a polynomial, its coefficients  were  treated as  decisive variables.  Such  values  of the  said  variables  have  been  searched  for to obtain the maximum of the moment of  inertia, observing  at the same time some side conditions, such as the constraints, i.e. the length of the  arch an d  its height  should  n ot be longer  than the given values.  To solve the problem, the Monte- Carlo- method was  applied.  The  computations  were  made  using  the G I E R  computer. The  case of the  arch by the polynomial  of the fourth  order was numerically  solved. The optimum values of  its coefficients  were  found.  The programs  and the results  of the computations are given. F or comparison sake,  other arch  shapes  were  also  computed, i.e. straight  line, broken line, the segment  of the  circle and the parabola  of the second  order. INSTYTUT  TECHNIKI  BUDOWLANEJ Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  10  lipca 1967 r,