Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS68\MTS68_t6z1_4_PDF\mts68_t6z2.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

2,  6 (1968)

EFEKT JACQA

WIESŁAW  G O G Ó Ł  (WARSZAWA)

1. Wstę p

W  p racyO  przedstawiono  wyniki  badań  doś wiadczalnych  JACQA  wskazują ce  na  ist-
nienie  pewnych  niezgodnoś ci  mię dzy  rzeczywistym  polem  temperatury  w  ciele  stał ym
(metalu)  a  polem  tem peratury  wynikają cym  z  prawa  F ouiiera.  N iezgodność  pól  tem-
peratury  obserwowana  przez  Jacqa  (anomalia  rozkł adu  temperatury)  wystę pować  ma
tylko  w  obszarach  leż ą cych  w  pobliżu  powierzchni  metalu  (warstwa  podpowierzchniowa).
W  niniejszym  opracowaniu,  opartym  n a  cytowanej  bibliografii,  podan o  również  próby
teoretycznego  wyjaś nienia  tego  zjawiska  nazywanego  efektem  Jacqa.

N a  wstę pie  należy  podkreś lić,  że  omawiane  tutaj  zagadnienie jest  bardzo  dyskusyjne
i  zjawiska  Jacqa  nie m oż na  uważ ać  w  chwili  obecnej  za  cał kowicie wyjaś nione.  Efekt  ten
stanowi  niewą tpliwie  nowy  i  interesują cy  problem, jakkolwiek  wnioski  wynikają ce  z jego
istnienia  nie  są   w  pewnych  przypadkach  zupeł nie zgodne  z  niektórymi  dość  dobrze  zba-
danymi  zjawiskami  w  wymianie  ciepł a.

W  celu  zdefiniowania  efektu  Jacqa  na  rys.  1 pokazano  rozkł ad temperatury  t(x)  przy
przewodzeniu  strumienia  ciepł a  q  w  stanie  ustalonym  przez  pł ytę   o  gruboś ci  6  (zagad-
nienie  jednowymiarowe);  n a  górnej  czę ś ci  rysunku  pokazano  pole  temperatury  zgodne
z  prawem  F ouriera, a  n a  dolnej  czę ś ci —  rozkł ad  temperatury  otrzymywany  eksperymen-
talnie  przez  Jacqa;  nadmierny  wzrost  temperatury  od  strony  ogrzewanej  i  nadmierny
spadek  od  strony  ochł adzanej jest  bardzo  wyraź nie  widoczny.

Róż nica  mię dzy  tymi  dwoma  polami  temperatury,  czyli  istotna  anomalia  pola  tem-
peratury,  pokazan a  jest  n a  rys.  2.

Pomiary  przeprowadzone  przez  Jacqa  wykazał y  proporcjonalność  spię trzenia  tem-
peratury  AT

m
  do  przewodzonego  strumienia  ciepł a  q

(1.1)  AT
m
  =  kq,

przy  czym  współ czynnik  proporcjonalnoś ci  k  może  być  nazwany  współ czynnikiem  nad-
miernego  wzrostu  tem peratury  albo  współ czynnikiem  spię trzenia  temperatury.  Wartoś ci
tego  współ czynnika  od  strony  ogrzewanej  k+ i  od strony  ochł adzanej k~ nie są   jednakowe.

C1)  N iniejsza  praca  stanowi  rozwinię ty  fragment  referatu  o  granicach  stosowalnoś ci  równania  F ou-
riera, wygł oszonego przez autora  na zebraniu  naukowym Instytutu  Techniki Cieplnej  w Warszawie, w  dniu
19.IV. 1966  r.

2  Mechanika  teoretyczna



134 W.  G OG ÓŁ

Zjawisko  to nie  pojawia  się  od razu  (natychm iastowo) z chwilą   rozpoczę cia dział ania
strumienia  n a powierzchnię   ś cianki  przewodzą cej  ciepł o  (stan  nieustalony).  N a  dolnej
czę ś ci  rys. 2  pokazany  jest  wzrost  w  czasie  spię trzenia  tem peratury  AT  =   AT (r),  przy
czym  zależ ność  ta jest  wedł ug  Jacqa  zbliż ona  do  wykł adniczej

(1.2)  zir= / cJl- expl-~

gdzie  T 0 jest  pewną   stał ą   o  wymiarze  czasu.

1
6

Rys. 1 Rys.  2

Jacq  przeprowadził   tylko  badan ia  eksperymentalne  i  obserwował   om awiany  efekt
w  metalach i ich  stopach. P róby  teoretycznego  uzasadn ien ia  tego  interesują cego  zjawiska
był y  przeprowadzone — w  sposób  zupeł nie  odmienny — przez  KAISERA  i  LU C ASA.

2.  Badania  eksperymentalne  Jacqa  [1,  2]

Anomalia  rozkł adu  tem peratury  w  warstwie  podpowierzchniowej  został a  zauważ ona
przez  Jacqa  przypadkowo  w  trakcie  dokonywanych  przez  niego  pom iarów  wł asnoś ci
cieplnych  (współ czynników  przewodnictwa  X, a) m etali.

P rzedmiotem  dalszych  badań  eksperymentalnych  Jacqa  zwią zanych  z  zauważ onym
efektem  był y  tylko  metale  czyste  i ich stopy,  przy  czym  powierzchnie  badan ych  próbek
był y  gł adkie  i  chemicznie  czyste.

D oś wiadczenia  był y  przeprowadzan e  tak,  aby m oż na  był o  zastosować  do n ich  roz-
wią zania  równ ań  jednowymiarowego  procesu  przewodzenia  ciepł a.  G ruboś ci  badan ych
próbek  wynosił y  od kilku  do  kilkudziesię ciu  milimetrów.  Ogrzewanie  próbek  był o zwykle



EF EKT  JACQA 135

dokon ywan e  przez  n aprom ien iowan ie  ich  powierzchni  stał ym  strumieniem  E;  stosowane
był o  również  ogrzewanie  i  ochł adzan ie powierzchni  próbek  w  warunkach  konwekcji  wy-
muszonej  w  powietrzu  przez  wylewanie  roztopion ego  m etalu,  silne  tarcie  itp.

N a  rys.  3  pokazan a jest  pł ytka  o  gruboś ci  ó,  n a  której  powierzchnię   x  — 0 pada  stru-
mień  ciepł a  E  — con st;  druga  powierzchn ia  x  =  6 jest  izolowana.  M ateriał   próbki  uwa-

Rys.  3

ż any jest za jedn orodn y, izotropowy  i o  wł asnoś ciach  niezmiennych  z  tem peraturą .  X ozna-
cza  przewodn ość  cieplną ,  a  stał a  a —  dyfuzyjność  cieplną   m ateriał u.

Rozwią zanie  równ an ia  F o u riera

(2.1) ii
dx

2

przy  warun kach  brzegowych  i  począ tkowych

(2.2)
dx

( 2 3 )
  Sx

(2.4)  t(x,  0)  =   0

przedstawia  się   nastę pują co  [2, 5]

n = i

- j-   cos  inn——

2 *



136 W.  G OG ÓŁ

N a  rys. 4 podany jest  wykres  zredukowanej  (bezwymiarowej)  tem peratury  & w  zależ-
noś ci  od  liczby  F ouriera [2],

Z  równania  (2.5) wynika,  że z upł ywem  czasu  wyrazy  zawierają ce  funkcje  wykł adnicze
szybko  dą żą   do 0  i  dla  liczb  F ouriera

(2.6)  F o =   ^ > 0 , 3

(odpowiada  to  czasom  r  X  1,3 s  dla próbki  stalowej  o  gruboś ci  <5  =   6 mm i  T s  0,1 s

dla  próbki  miedzianej)  ustala  się   niezmienna  w  czasie  róż nica  tem peratur  mię dzy  po-

wierzchniami  próbki

6
(2.7)  At=^ t(O,r)~t(d,r)  —  E- j,

a  prę dkoś ci  wzrostu  temperatury  wszystkich  pun któw  próbki  są   jedn akowe  (rys. 4).

W arstwa  Jacg'a

0.3

0.6

fl- f

0.2

n

/

/

U

//
Ą

• 4/

7

V

/

/
/

 /

/

/

• j/>

n

(

z

- A

/

/

t  -
400

300

200  -

0.2  0.4  0.6

Rys.  4

0  100 300

Rys.  5

500

[

U moż liwia  to ł atwe wyznaczenie  strumienia  E, jeś li  zn an a jest gę stość  Q i ciepł o wł aś ciwe c
badanego  materiał u

(2. 8)
dx

Wyniki  pomiarów  przeprowadzonych  przez  Jacqa  wykazał y  niezgodność  rzeczy-
wistego  pola  temperatury  t(x, T ) Z polem  opartym  n a prawie  F ouriera  t

F
(x,  T) i  wynika-

ją cymi  z  niego  zależ noś ciami  (2.5),  (2.6)  i  (2.7). W warstwie  podpowierzchniowej  o  gru-
boś ci  okoł o  100 mikronów  (rys. 5) wystę puje  spię trzenie  tem peratury,  które  po  upł ywie
pewnego  czasu  od  począ tku  ogrzewania  pł ytki  osią ga  stał ą   wartość  maksymalną

(2.9)  AT
m
  =   t(p, t)- fr(0,  r)  ^  t(x = 0, z)- t(x  a  0, T),

gdzie  przez  t(x  a  0) oznaczono  temperaturę  w  odległ oś ci  okoł o  100 ,wm od  powierzchni
próbki.  Z uwagi na istnieją cy  w próbce w  ogóle  mał y  spadek  tem peratury  m oż na  napisać
w  przybliż eniu

(2.10)  AT
m
  x  t(x =  0)- t(x  =  8).



EFEKT  JACQA 137

P oza  obszarem  warstwy  Jacqa  rozkł ad  tem peratury  jest  zgodny  z  prawem  F ouriera.
R ówn ież  rzeczywiste  czasy  T ', po  upł ywie  których  ustala  się   prę dkość  wzrostu  tempe-

ratury  powierzchni,  okazał y  się   wyż sze  od  czasów  teoretycznych

(2.11)
0,3< 5 z

Wyniki  n iektórych  pom iarów  Jacqa  zestawiono  w  tablicy  1.

Tablica  1 [2]

M aterial

Ż elazo armco
Miedź
Aluminium
Aluminium

<5

mm

6
7

10
20

E

kcal/ m2h

21  500
19 000
30  000
32  500

At
(teoret.)

°C

1,3
0,20
0,95
2

AT
m

(eksper.)

°C

24
16
18
19

r'
F

(teoret.)

s

0,7
0,12
0,37
1,5

T'

(eksper.)

s

9
9

10
10

Otrzym an e  wyniki  wskazują   n a  zasadnicze  róż nice  mię dzy  wartoś ciami  teoretycznymi
At  i  r'

F
  a  eksperym en taln ym i  AT

m
  i  T '\   róż nice  te  nie  zależą   od  gruboś ci  próbki  (był y

badan e  pró bki  do  d  =  100  m m ) .

t[°c]
80

6 0

W

t[°C]
80

6 0

40

10 • (5 20 25
T [S]

/

Ogrzewanie  -,

tr'

.Przerwanie
(ogrzewania

IS
fir

Rys.  6 Rys.  7

N a  rys.  6  pokazan y  jest  przebieg  tem peratur  w  próbce  z  ż elaza  arm co  o  gruboś ci
<S =   6  m m  przy  strum ien iu  E  =   21  500  kcal/ m 2h.  N adm iern y —  w  porówn an iu  z  teore-
tycznym  —  wzrost  tem peratury powierzchn i  zm ienia się  w  czasie  wedł ug zależ noś ci  w  przy-
bliż eniu  wykł adniczej

(2.12)

gdzie  T J  ozn acza  stał ą   o  wym iarze  czasu  przy  ogrzewaniu.
N a  rys.  7  pokazan y  jest  przebieg  tem peratur  w  pł ytce  aluminiowej  o  gruboś ci  6 —

=  10  m m .  P o przerwan iu  w  pewnej  chwili  ogrzewania  próbki  nadm ierny  wzrost  tempera-



138 W.  G OG ÓŁ

tury  w  warstwie  podpowierzchniowej  zan ika  również  wedł ug  zależ noś ci  w  przybliż eniu

wykł adniczej

(2.13)

Wartoś ci  stał ych  T J  są  jedn akowe  przy  ogrzewaniu  i p o  przerwan iu  ogrzewania  pł ytki

i  wynoszą   okoł o  2  sekund.

M ię dzy  nadmiernym wzrostem  tem peratury  AT
m
  a  padają cym  n a  powierzchnię   stru-

mieniem  energii  E  istnieje  wedł ug  Jacqa  prosta  zależ ność  (1.1)

*  E  '

przy  czym  współ czynnik  k  charakteryzuje  rodzaj  m ateriał u ;  n a  wartoś ci  k  wpł ywa  rów-
nież rodzaj  obróbki  termicznej m ateriał u. N atom iast stał e  T 0 okazał y się   prawie  jedn akowe
dla  wszystkich  materiał ów  badan ych  przez  Jacqa.

Badania  doś wiadczalne  był y  przeprowadzon e  n ie  tylko  przy  ogrzewaniu,  ale  także
przy  ochł adzaniu próbek  (albo  też  bad an a  był a  również  st ron a  próbki  oddają ca  ciepł o
n a  zewną trz).  Spię trzenia  tem peratur  przy  ochł adzaniu  AT „  okazał y  się   mniejsze  od
spię trzeń  przy  ogrzewaniu  AT %,  ale  proporcjon aln ość  ustalon a  zależ noś cią   (1.1)  pozo-
stał a  zachowana.  M oż na  wię c  napisać  dla  ogrzewania

(2.14)  k+  =

i  dla  ochł adzania

(2.15)  k-   =
AT -

Wartoś ci  współ czynników  nadmiernego  wzrostu  tem peratury  i  stał ych  czasowych
wyznaczone  doś wiadczalnie  przez  Jacqa  przy  ogrzewaniu  i  ochł adzan iu róż nych  m ateria-
ł ów  podan o  w  tablicy  2.

Tablica  2 [2]

Materiał

Nikiel  (czysty)
Miedź  (czysta)
Ż elazo  armco  (surowe)
Ż elazo  armco  (wyż arzone)
Stal

Ogrzewanie
k

+

m2h°C/ kcal

10,8- 10-"
8,3- 10-"

6,25- 10-"
9,7- 10-"
6,8- 10-"

tt
s

2,10
1,90
2,25
2,40
2,70

Ochł adzanie

k-
m2h°C/ kcal

2,7- 10-"
4,5- 10-"

2- 10-"
3,05- 10-"
5,8- 10-*

tó
s

0,75
1,10
0,90
0,95
2,10

N ie  ulega  wą tpliwoś ci,  że  n a  przedstawione  powyż ej  interesują ce  wyniki  bad ań  do-
ś wiadczalnych  zasadniczy  wpł yw  może  mieć  sam a  tech n ika  wykonywania  pom iaru  i jego
poprawnoś ć. Zagadnieniu temu, dość  wyczerpują co  opisan em u w  pracy  [2], Jacq poś wię cił
szczególną   uwagę ,  przeprowadzają c  specjalne  doś wiadczenia  kon troln e.



E F E K T  JAC QA  139

Badan a  pró bka  był a  um ieszczana  w  obudowie  ze  szkł a  kwarcowego.  Jeż eli  ogrzewanie
próbki  badan ej  dokon ywan e  był o  przez  prom ien iowan ie,  to  był a  on a  ł ą cznie z  obudową
umieszczona  bardzo  blisko  pł ytki  metalowej  ogrzewanej  równomiernie  palnikiem  gazo-
wym  do  kilkuset  °C  (n p.  d o  900°C)  i  stanowią cej  czę ść  specjalnego  urzą dzenia  badaw-
czego.  Ozię bianie  próbki  był o  dokon ywan e,  mię dzy  innymi,  strumieniem  sprę ż onego  po-
wietrza.  Badan ia  był y  przeprowadzan e  w  stan ach  nieustalonych  i  w  stanie  ustalonym .
D oś wiadczenia był y przeprowadzon e  również w  próż ni przy  ciś nieniach  do  3 •  10~2 mm H g.
Sposób  ogrzewania  lub  och ł adzan ia  próbki  nie  wpł ywa  wedł ug  Jacqa  n a  wielkoś ci  cha-
rakteryzują ce  an om alię   rozkł adu  tem peratury.

P om iar  tem peratury  powierzchn i  dokon ywan y  był   czterema  sposobam i.

P om iar  za  pom ocą   term oelem en tów  przeprowadzan y  był  zwykle przy  uż yciu  par  chro-
mel- alumel  o  gruboś ci  0,3  m m  podł ą czon ych do  autom atyczn ego  potencjometru  o  zakre-
sach  0—100°C  i  0—1000°C .  Sposób  umieszczenia  spoin  termoelementów  był   rozm aity:
spoiny  był y  wlutowan e  srebrem  n a  gł ę bokoś ci  ok.  2  m m ;  pary  termoelementów  był y  roz-
dzielane  i  lutowan e  osobn o  w  odległ oś ci  okoł o  1 cm  od  siebie,  przy  czym  zwracano  szcze-
gólną   uwagę ,  aby  zam kn ię cie  obwodu  n astę powało  w  pł aszczyź nie  powierzchni  próbki;
termoelementy  był y  wyprowadzan e  zarówn o  od  strony  powierzchni  ogrzewanej,  jak  i  od
strony  przeciwnej  otworam i  wierconym i  ukoś n ie  przez  cał ą   grubość  pró bki;  stosowano
także  wprasowywanie  p o d  ciś nieniem  term oelem en tu ze  spoiną   rozpł aszczoną  i  izolowanie
elektryczne  obwodów  ż ywicą   epoksydową ,  aby  uzyskać  wyprowadzenie  termoelementów
w  powierzchni  izoterm iczn ej.

D oś wiadczen ia  ko n t ro ln e  m etodą   opartą   n a  pom iarze  pun ktu  topnienia  przeprowa-
dzan e  był y  przez  badan ie  efektu  Jacqa  w  próbkach  z czystej  cyny,  oł owiu lub  okreś lonych
stopów  eutektycznych  o  zn an ej  tem peraturze  topn ien ia.  Przy  ogrzewaniu  takich  próbek
w  pewnym  m om en cie  t em perat u ra  powierzchni  osią gała  tem peraturę   topn ien ia  danego
m ateriał u,  co  m ogł o  być  zaobserwowan e.  Jednocześ nie  wykonywane  był y  pomiary  tem-
peratury  term oelem en tam i, przy  czym  n a  krzywej  t(r)  uzyskiwano  zał amanie  ś wiadczą ce
o  zm ian ie  stan u  skupien ia.

P rzeprowadzon o  także  doś wiadczenia  kon troln e  przy  uż yciu  oł ówka  «tempilstik»,
którym  m oż na  pokryć  bardzo  cienką   warstewką   powierzchnię   m etalu;  róż nego  rodzaju
oł ówki  mają   róż n e,  lecz  ś ciś le  okreś lon e,  tem peratury  topn ien ia.

M etoda  m etalograficzn a  uż ywana  był a  do  badań  w  stanie  ustalon ym ;  polega  on a  na
pom iarach  twardoś ci  pró bki  uprzedn io zah artowan ej,  której  róż ne warstwy  wskutek  ogrze-
wania  zostają   odpuszczon e  w  mniejszym  lub  wię kszym  stopniu,  zależ nie  od  ich  tempe-
ratury.  Wyniki  ba d a ń  przy  uż yciu  tej  m etody  został y  przedstawione  przykł adowo  na
rys.  5.  Każ dy  p u n kt  pom iarowy  odpowiada  ś redn icom  styku  przy  pom iarze  twardoś ci
rzę du  8 —10  ftm.  M et o d a t a  pozwala  n a  ustalenie  trzech  dość wyraź nych  stref; w  pierwszej
o  gruboś ci  od  0  do  40—60  ^ m  tem peratura jest  prawie  stał a;  w  drugiej  poł oż onej  w  od-
legł oś ci  od  50  / mi  do  100  / urn  od  powierzchni  tem peratura  gwał townie  m aleje;  w  trzeciej
strefie  powyż ej  100  / *m rozkł ad  tem peratury jest  zgodn y  z  klasycznym  prawem  F ouriera.
M etoda  t a  umoż liwiła  przez  bezpoś redni  pom iar  ustalenie  wartoś ci  okoł o  100  firn  jako
wartoś ci  odpowiadają cej  gruboś ci  warstwy  podpowierzchniowej,  w  której  istnieje  ano-
malia  rozkł adu  tem peratury.



140 W.  G OG ÓŁ

P omiary  przeprowadzone  przez  Jacqa  przy  uż yciu  powyż szych  m etod  (a  także  przy
róż nych  ich  modyfikacjach)  dawał y  oczywiś cie  wyniki  nieco  róż nią ce  się   mię dzy  sobą ;
jednakże rozbież noś ci te wedł ug Jacqa nie był y n a  ogół  duże  (n p. 2—3°C ),  a był y  one znacz-
nie mniejsze  od  badanego  efektu  spię trzenia  tem peratury;  p o n ad t o  rozbież noś ci  te m ogł y
być  zwykle  wyjaś nione  n a  podstawie  rozważ ań  teoretycznych  dotyczą cych  samej  tech-
niki  wykonywania  pom iarów.

Badania  w  stanie  ustalonym  przeprowadzon e  przez  Jacqa  potwierdził y  istnienie  an o-
malii  rozkł adu  tem peratury  w  warstwach  podpowierzchniowych  (rys.  8).

Rys.  8

Strumień  cieplny,  przenikają cy  przez  pł ytkę   zgodn ie  z  prawem  F ouriera,  m oże  być

wyraż ony  nastę pują co

(2.16)  g
r
 =  ^ P^

1  A  1  "
U wzglę dniając  efekty  spię trzenia  tem peratur  p o  stron ie  ogrzewanej

(2.17)  AT +(x  =  0) =  k+q
i  ochł adzanej

(2.18)  A T ~ (x  =  6) —  k~q

strumień  cieplny  przenikają cy  przez  pł ytkę ,  w  której  istniał yby  efekty  Jacqa,  m ógł by  być

okreś lony  nastę pują co

(2.19)
  g j

= ~  'nzki  _ .

X  a
2

Z atem  współ czynniki  nadm iernego  wzrostu  tem peratury  k  wyraż ają   pewne  opory  ter-
miczne  zmniejszają ce  natę ż enie  strum ienia  mię dzy  dwom a  oś rodkami  o  ustalon ych  tem-
peraturach

QJ  1(2.20)

1-
k++k~

1  +  1
X ^   a

2



EF EKT JACQA 141

Te  dodatkowe  opory  term iczn e są   n a  ogół  dość  duże  w  stosun ku  do  oporów  termicz-
nych  samego  m etalu. N a  rys.  9  pokazan y  jest  uproszczony  rozkł ad tem peratury w  ś ciance
(tylko  od  stron y  ogrzewanej)  oraz  wielkość  A 6  odpowiadają ca  dodatkowej  gruboś ci  war-
stwy  tego  samego  m etalu,  kt ó ra  wykazywał aby  taki  sam  opór  termiczny  jak  warstwa
Jacqa.  Wartość  Ad  wynosił aby,  n a  przykł ad, dla  miedzi  okoł o  300  m m , a  dla  ż elaza  okoł o
30  m m .

Rys.  9

M oż na  by  równ ież  uważ ać,  że  warstwa  podpowierzchn iowa  charakteryzuje  się   pewną
umowną   przewodnoś cią   cieplną ,  kt ó ra  przy  zał oż eniu  stał ej  gruboś ci  tej  warstwy  rzę du
100  firn  wynosił aby  okoł o  0,1 — 0,2  kcal/ mh°C .

3.  Próby  teoretycznego  wyjaś nienia  efektu  Jacqa

R ozważ ana  an om alia  rozkł adu  tem peratury  w  warstwie  podpowierzchniowej  nie był a
przewidywana  uprzedn io  n a  drodze  teoretycznej,  a  został a  odkryta  przypadkowo  n a dro-
dze  doś wiadczalnej.  Oczywiś cie  p ró bo wan o  póź n iej  znaleźć  uzasadnienie  teoretyczne  tego
zjawiska,  przy  czym  wysuwany  był   cał y  szereg  hipotez.  Tak,  n a  przykł ad,  D ARRIEU S  wy-
suną ł   hipotezę , że  w  warstwie  podpowierzchniowej  m etalu przy  absorpcji  promieniowania
elektrom agnetycznego  m ogł aby  istnieć  lokaln a  róż n ica  mię dzy  tem peraturą   elektronową
a  tem peraturą   odpowiadają cą   ruchowi  cieplnemu  atom ów.  Jedn akże  tego  rodzaju  przy-
puszczenia  nie był y w  jakikolwiek  sposób  um otywowan e  teoretycznie  i dlatego  w  dalszym
cią gu  nie  bę dą   om awian e.

Z ostan ą   n at om iast  po d an e  w  skrócie  próby  teoretycznego  wyjaś nienia  efektu  Jacqa
przez  Kaisera  i  Lucasa,  kt ó re  wydają   się   zasł ugiwać  n a  uwagę   ze  wzglę du  n a  ciekawy
sposób  uzasadn ien ia  istn ien ia  an om alii  pola  tem peratury  w  pobliżu  powierzchni  ogra-
niczają cych  ciał o  stał e.

T e o r i a  L u c a s a  [4].  Efekt  Jacqa  próbował   wyjaś nić  Lucas,  opierają c  się   n a
teorii  D ebaya  i  wprowadzają c  h ipotezę   istnienia zjawiska  retrodyfuzji  (dyfuzji  wstecznej).
Teoria  Lucasa  w  pracy  [4] n ie został a przedstawion a  w  sposób  wyczerpują cy,  jest to  raczej
szkic  teorii.

Rozważ ając  m ech an izm  przewodzen ia  ciepł a  w  ciele  stał ym  Lucas  wyodrę bn ia  dwa
typy  fal  D ebaya,  lub  odpowiadają ce  im  kwanty  energii —  fon on y,  a  m ian owicie:



142  W.  G OG ÓŁ

—  fale  o  niskiej  czę stotliwoś ci  (sprę ż yste),  dla  których  oś rodek  przewodzą cy  ciepł o
przedstawia  się  jako  jednorodny  i  izotropowy;

—  fale  wysokiej  czę stotliwoś ci,  bliskie  granicznej  czę stotliwoś ci  D ebaya,  których  dł u-
goś ci  zbliż ają  się  do  rzę du  odległ oś ci  są siednich  atom ów  i  dla  których  oś rodek  nie  może
być  uważ any  za  jednorodny  i  izotropowy.

W  przypadku  fal  o  niskiej  czę stotliwoś ci  Lucas  rozważa  moż liwoś ci  zagięć  ich  torów
w  oś rodku,  w  którym  istnieje  gradient  temperatury,  n a  skutek  zmiennoś ci  wł asnoś ci
oś rodka  z  temperaturą,  a  w  szczególnoś ci  stał ej  Lamego  (m oduł u  ś cinania)  / u.  P rzy  zał o-
ż eniu,  że  wzglę dne  zmiany  prę dkoś ci  rozchodzenia  się  fal  podł uż nych  i  poprzecznych  są
tego  samego  rzę du,  zostaje  okreś lony  promień  krzywizny  R  toru

y  }
  R  "  2/ t  dt  dx  '

przy  czym  wklę sł oś ci  tych  torów  strumienia  energii  skierowane  są  w  stron ę  obszarów
o  wyż szej  temperaturze,  co  wedł ug  Lucasa  stanowi  przejaw  tendencji  do  powstawania
(niewielkiego)  strumienia  dyfuzji  energii,  skierowanego  odwrotnie  do  kierunku  natę ż enia
pola  termicznego,  czyli  powstania  zjawiska  retrodyfuzji.

W  przypadku  fal  o  wysokiej  czę stotliwoś ci  Lucas,  nie  rozporzą dzając  odpowiednimi
danymi  doś wiadczalnymi,  przeprowadza  tylko  analogię  do  pewnych  zjawisk  z  zakresu
optyki  (na  przykł ad  sposób  rozpraszania  strumienia  ś wiatła  we  mgle),  opierając  się  n a
podkreś lonej  już  powyż ej  niejednorodnoś ci  oś rodka  dla  tych  fal.

Zatem  w  oś rodku  nieograniczonym,  w  którym  istnieje  ustalony  w  czasie  gradient  tem-
peratury,  istniał yby  dwa  strumienie  energii.  Oprócz  strumienia

(3.2) ft =   - b* L

wystę pował by  strumień  wynikają cy  ze  zjawiska  retrodyfuzji

,~  ,..  .  dt
(3- 3)  ft- ^d£ '

przy  czym  strumień  cał kowity  był by  zgodny  z  prawem  F ouriera

(3.4)  ^ - ( A , - ^ ,

a  przewodność  cieplna  (mierzona)  był aby  wyraż ona  wartoś cią  (At—X2).
N atom iast  istnienie  powierzchni  ograniczają cych  oś rodek  zmienia,  wskutek  wystę-

powania  zjawiska  retrodyfuzji,  warunki  brzegowe;  nastą pi  to  zwł aszcza  wtedy,  jeś li  po-
wierzchnia  ograniczają ca  oddziela  dwa  oś rodki  zasadniczo  róż nią ce  się  wł asnoś ciami  (n a
przykł ad  próż nia  i  ciał o  stał e).  Jeś li  fale  reprezentują ce  strumień  retrodyfuzji  n ie  mogą
rozchodzić się poza powierzchnię  ograniczają cą,  to odbijają  się  od niej  i rozpraszają  w  war-
stwie  podpowierzchniowej,  która  staje  się  obszarem  dodatkowego  spię trzenia  tempera-
tury;  efekt  dodatkowego  wzrostu  gradien tu  tem peratury  w  pobliżu  powierzchni  x  =   0
bę dzie  powię kszał   się  aż  do  osią gnię cia  pewnego  stan u  równowagi.  Analogicznie  m oż na
by  wyjaś nić  dodatkowe  obniż enie  się  temperatury  w  pobliżu  drugiej  powierzchni  ogra-
niczają cej  x  =  <5.



E F E K T  J AC Q A  143

C hcą c  wyrazić  iloś ciowo  an om alię  rozkł adu tem peratury w  warstwie  podpowierzchnio-
wej,  Lucas  posł uguje  się   jedn ą   ś rednią   dł ugoś cią   (swobodną )  /  róż nych  fal  wysokiej  czę -
stotliwoś ci,  którym  przypisuje  w  tym  zjawisku  najwię kszą   rolę .  Oznaczają c  przez  t  tem-
peraturę   rzeczywistą   w  warstwie  granicznej  Jacqa,  a  przez  t

F
  tem peraturę   wynikają cą

z  prawa  F ouriera,  dodatkowy  przyrost  tem peratury  w  obszarze  0  <  x  <  I bę dzie

(3.5) dt=t-t¥.

Ilość  energii  zakum ulowan a  w  wyniku  dział an ia strum ienia  retrodyfuzji  bę dzie  równa
energii  rozproszon ej  w  tym  obszarze,  przy  czym  Lucas  postuluje,  aby  proces  rozpraszania
był   proporcjon aln y  do  róż nicy  dt  i  scharakteryzowany  pewną   stał ą   dodatnią   K,

(3.6)  - X
Z
~  =  KM.

W  wyniku  cał kowan ia  tego  równ an ia  Lucas  otrzymuje  wyraż enie

(3.7)  030*= o =   —  tf- Tj  p

l/ I<
kt ó re  potwierdza  proporcjon aln ość  mię dzy  n adm iern ym  wzrostem  tem peratury  w  war-
stwie  podpowierzchniowej  a  strum ien iem  cieplnym.

Rozważ ając  podobn ie zjawiska  w  warstwie  granicznej  od  strony  powierzchni  oddają cej
ciepł o  n a  zewną trz,  Lucas  dochodzi  do  wniosku,  że

(3 . 8 )  "̂"i

Wniosek  ten  n ie  jest  cał kowicie  zgodny  z  wynikami  doś wiadczalnymi  otrzymanymi
przez  Jacqa.

Z  teorii  Lucasa  wyn ika,  że jeś li  powierzchnia  ograniczają ca  x  — 0  rozdziela  dwa  ciał a
o  tej  samej  lub  zbliż onej  strukturze,  to  przy  doskon ał ym  styku  nie  powinien  wystą pić
efekt  Jacqa,  pon ieważ  strum ien ie  retrodyfuzji  n ie  bę dą   n apotykał y  n a  swej  drodze  n a
ż adną   barierę .  N at o m iast  przy  n iedoskon ał ym  styku  powinien  wystą pić  termiczny  opór
kon taktowy,  wywoł any  równ ież  przez  zjawiska  w  warstwie  Jacqa,  przy  czym  wpł yw  n a-
cisku  mię dzy  obydwom a  ciał am i  n a  te  zjawiska  jest  oczywisty.

T e o r i a  K a i s e r a  [3]. Kaiser  próbował  wyjaś nić  efekt  Jacqa  rozważ ając  w  pro-
cesie  przewodzen ia  ciepł a  poprzez  elektrony  wolne  m etalu  fluktuacje  tem peratury  gazu
elektronowego  podlegają cego  statystyce  F E R M I - D I R AC A.

P raca  Kaisera  [3], oprócz wykazan ia  przyczyn  powstawania  anomalii pola tem peratury
w  warstwie  podpowierzchn iowej  m etalu,  stanowi  również  próbę   przedstawienia  ogólniej-
szej  teorii  dotyczą cej  pewnych  podstawowych  zagadnień  tran sportu w fizyce  ciał a stał ego.

Kaiser  rozważa  moż liwoś ci  istnienia fluktuacji  tem peratury w  gazie  swobodnych  elek-
tron ów,  przyjmują c  dla  n ich  rozkł ady  zgodne  ze  statystyką   F ermi- D iraca. F luktuacje  te
mogą   być  znaczne, jeś li  weź mie  się   p o d  uwagę   niską   wartość  ciepł a  wł aś ciwego  gazu elek-
tron owego.  Z  rozważ ań  Kaisera  wynika,  że  fluktuacje  te  są   umiejscowione  w  warstwie



144 W.  G OG ÓL

podpowierzchniowej  metalu  (zlokalizowane),  przy  czym  nie  powstają  one  od  razu  p o d
wpł ywem dział ania strumienia cieplnego,  lecz  do  peł nego ich  rozwinię cia wymagany  był by
pewien  okres  czasu.  W  metalu przedstawiają cym  ukł ad  sieciowy  nieruchomych ją der,  oto-
czonych  ł adunkami,  obecność  strumienia  cieplnego  (m akroskopowo  cią gł ego,  lecz  który
mógł by  być  wyobraż ony  jako  nastę pstwo  szeregu  bardzo  mał ych impulsów)  miał aby po-
wodować  zakł ócenia  (zniszczenie  symetrii)  potencjał u  sferycznego  otaczają cego  każ de
ją dro,  a wynikają cego  z  obecnoś ci elektronów  swobodnych  m etalu. Rozważ ane  są  drgania
gazu  elektronowego  zarówno  w  kierunku  zgodnym  z  kierunkiem  strumienia,  jak  też
i  w  kierunkach  do  niego  prostopadł ych; jedną  z  cech  charakterystycznych  tak  pomyś la-
nego  oś rodka  był by  ś redni  czas  relaksacji  T jakiego  oś rodek  wymaga  do  uzyskania  nowej
konfiguracji  równowagi  statystycznej  w  obecnoś ci  strumienia  energii;  uważa  się  za  do-
puszczalne utoż samianie tych  ś rednich czasów  relaksacji  t  ze  stał ymi czasowymi  Jacqa T 0.

T  M
0,B45[ A)

kcal

11

10

9

s

7

6

5

Cuo

oPb

1,5

Rys.  10

8 12 16 Z.
n

Rys.  I I

Kaiser  sugeruje  również,  że  efekt  Jacqa  stanowi  jedyny  przypadek  w  fizyce  potwier-
dzają cy  doś wiadczalnie  fluktuacje  temperatury  gazu  elektronowego  zgodne  ze  statystyką
F ermiego.

W  wyniku  tych  rozważ ań  Kaiser  wyprowadza  pewne  zależ noś ci,  które  dał yby  się  p o -
równać  z  wynikami  eksperymentalnymi,  uzyskanymi  przez  Jacqa.  Współ czynnik  k  spię-
trzenia  temperatury  zależ ny  był by  od  prom ienia  atomowego  r  (danego m etalu).

( 3- 9)  0 fe - / t c c ) ( r - ro ) = C ,

gdzie  feM,  r0  i  C  są  pewnymi  stał ymi niezależ nymi  od  rodzaju  metalu,  a  mianowicie

(3- 10)  ( £ - 5, 96- 10-4) 0—1,17) =   0,24- 10-4;

r  wyraż one  jest  w  Angstroemach,  a ł w  ukł adzie  technicznym jedn ostek  m iar.
P orównanie  wyników  teorii  Kaisera  wyraż onych  powyż szą  zależ noś cią  (linia  cią gł a)

z  wynikami  doś wiadczalnymi  Jacqa  (punkty)  przedstawiono  n a  rys.  10;  zgodność  tych
wyników  jest  zaskakują ca,  jeś li  weź mie  się  pod  uwagę  stopień  komplikacji  teorii  Kaisera.



E F E K T  J AC Q A  145

D la stał ych czasowych t  Kaiser ostatecznie otrzymuje zależ ność wią ż ą cą je z gę stoś cią Q,
masą  atomową  A,  liczbą  atomową  Z  i  pewną  liczbą  kwantową  n

1  Je\ 116  w ,  3,4
(3.11)  0,465  " U /   " " " '  hzx2

\ 7  n

Zgodność  tej  zależ noś ci  (linia  cią gł a)  z  wynikami  otrzymanymi  przez  Jacqa  (punkty)
przedstawiona  na  rys.  11 jest  również  uderzają ca.

D la  współ czynników  spię trzenia  temperatury  przy  ogrzewaniu  k+ i  ochł adzaniu  kr
Kaiser  otrzymuje  wartoś ci  róż ne, co potwierdzał oby  wyniki  Jacqa;  zależ ność  wynikają ca
z teorii Kaisera jest nastę pują ca

(3.12)  £   =  0,4+ 6,65 lo g£ - .

4.  Wn ioski

Opisane  powyż ej  badania  eksperymentalne  oraz  próby  teoretycznego  wyjaś nienia
efektu  Jacqa  opracowane  został y  na  podstawie  cytowanej  bibliografii.  W  zakoń czeniu
należ ał oby  zwrócić  szczególniejszą  uwagę  na  wnioski  jakie  mogł yby  wynikać  z  powyż-
szych  rozważ ań.

Przede wszystkim  nasuwa  się  pytanie, dlaczego  efekt  Jacqa został   zauważ ony  dopiero
w  ostatnich latach  mimo  bardzo  dł ugiego już  przecież  okresu  badań  eksperymentalnych
w wymianie ciepł a, a w szczególnoś ci  w zagadnieniach przewodzenia ciepł a, jak  też w cią gu
również  dł ugiego  okresu  eksploatacji  rozmaitych  urzą dzeń  technicznych, w  których  przy
duż ych  strumieniach  cieplnych  powinny  wystę pować  zauważ alne  anomalie rozkł adu  tem-
peratury.  Jacq  i jego  współ pracownicy  tł umaczą  to  faktem  [2], że  w  urzą dzeniach tech-
nicznych  przewodzenie  ciepł a  nastę puje  najczę ś ciej  przez  zanieczyszczone  (np. utlenione)
i nierówne powierzchnie ś cianek metalowych, a w badaniach doś wiadczalnych  w wymianie
ciepł a  nie poś wię cano  dostatecznej  uwagi  dokł adnemu pomiarowi  temperatury  samej po-
wierzchni metalowej,  który jest  dość trudny. Uwagi  te  są  na  ogół   sł uszne, jakkolwiek nie
moż na  uważ ać  je  za  cał kowicie  wyczerpują ce.

Z  powyż szych  wzglę dów wydaje  się  celowe  eksperymentalne  ustalenie, czy  efekt  Jacqa
może wystę pować  tylko  w metalach, czy  również  i w dielektrykach  (teoria Lucasa wydaje
się  nie wykluczać  takiej  moż liwoś ci)  oraz  czy  efekt  ten może wystę pować  także w  ś cian-
kach  metalowych  o  powierzchniach  utlenionych,  zanieczyszczonych  lub  szorstkich.

N ależy  podkreś lić,  że  opisywany  efekt  nie  został   potwierdzony  póź niej  przez innych
eksperymentatorów  oraz zagadnienie to nie był o —jak  się wydaje — opracowywane w dal-
szym cią gu przez Jacqa; jednakże nie był y również publikowane  [6] — o ile wiadomo — do-
ś wiadczenia  kontrolują ce badania Jacqa i wskazują ce  na ewentualnie inną przyczynę otrzy-
mywanych  przez  niego  wyników.  Wydaje  się,  że  takie  badania  pozwalają ce  w  rezultacie
otrzymać  pozytywną  albo  negatywną  ocenę  efektu  są  konieczne.

Doś wiadczenia  Jacqa  moż na  na  ogół   uznać za  poprawne, jakkolwiek  na  podstawie
pracy  [2] w stosunku  do niektórych elementów tych doś wiadczeń moż na by wysunąć pewne
zastrzeż enia.



146  W.  G OG ÓL

Interesują ca  teoria  Lucasa  nie  wydaje  się   opracowan a  w  sposób  cał kowicie  wyczer-
pują cy.  N a podstawie  swojej  (bardzo  subtelnej  i  wnikliwej)  teorii  Kaiser  otrzym ał   wyniki
zastanawią ją co  zgodne  z  wynikami  doś wiadczeń  (cał kowicie  m akroskopowych)  Jacqa.

N ależy zwrócić  uwagę ,  że teorie  Lucasa  i  Kaisera  —jakkolwiek  tworzon e  w  wyraź nym
celu  uzasadnienia  zaobserwowanego  już  faktu  doś wiadczalnego  • —•  m oż na  by  z  drugiej
strony  wł aś ciwie  traktować  ja ko  teoretyczne  przewidywanie  tego  zjawiska;  potwierdza-
ł oby  to  dodatkowo  prawdziwość  wystę powania  efektu  Jacqa.  Jednocześ nie  jedn ak  na-
leży  podkreś lić,  że  Kaiser  i  Lucas  przedstawili  teorie  wyjaś niają ce  ten  sam  efekt  n a  pod-
stawie  zupeł nie  odmiennych  mechanizmów  procesu  przewodzenia  ciepł a.

Znaczenie  efektu  Jacqa  w  wymianie  ciepł a  wydaje  się   bardzo  istotn e.
P rzede wszystkim  z  pun ktu  widzenia  poznawczego  ogranicza  on  stosowanie  równ an ia

przewodzenia  ciepł a  opartego  n a  prawie  F ouriera  tylko  do  wnę trza  ciał a  m etalowego;
n atom iast  w  ograniczają cej  to  ciał o  warstwie  podpowierzchniowej  proces  przewodzenia
ciepł a  opisywany  był by  zupeł nie  innymi  równ an iam i.

N astę pnie  należy  podkreś lić,  że  w  wię kszoś ci  eksperymentalnych  badań  zjawisk  wy-
miany  ciepł a  tem peratura powierzchni  metalowych  (najczę ś ciej  wł aś nie  gł adkich  i  wzglę d-
nie  czystych)  okreś lana jest  n a  podstawie  ekstrapolacji  pom iarów  tem peratur  kilku  pun k-
tów  poł oż onych wewną trz  ś cianki,  a  zatem  róż nił aby  się   o n a znacznie  od  tem peratury  po-
wierzchni  uwzglę dniają cej  efekt  Jacqa;  dotyczy  to  zwł aszcza  badań  przy  duż ych  natę ż e-
niach  strumienia  ciepł a  (na  przykł ad  wrzenie,  intensywna  konwekcja  wymuszona  itp.),
w  których  poprawność  wyznaczonych  dotychczas  pewnych  param etrów  cieplnych,  współ -
czynników  i niektórych  zależ noś ci  mogł aby  zostać  zakwestionowana.  W  przypadku,  gdyby
efekt  Jacqa istotnie w  prawdziwy  sposób  opisywał   rzeczywisty  proces przewodzen ia  ciepł a,
wiele  obecnych  poję ć  dotyczą cych  przen ikan ia  m usiał oby  ulec  zm ian ie;  czę ść  oporu  ter-
micznego  przypisywana  warstwie  granicznej  pł ynu  należ ał oby przenieść  do warstwy  Jacqa.
Z  drugiej  strony,  metody  sondowania  pola  tem peratury  w  warstwie  granicznej  pł yn u
i  oparte  na  nich  teorie  są   obecnie  n a  tyle  rozwinię te,  że  zagadnienie  t o  wydaje  się   bardzo
dyskusyjne.

Wreszcie  należy  zwrócić  uwagę   n a  zasadnicze  znaczenie,  jakie  m ógł by  m ieć  efekt
Jacqa  przy  wyjaś nieniu  problemów  zwią zanych  z  termicznym  oporem  kon taktowym  ciał
stał ych  [7].

Reasumują c  powyż sze  uwagi  dotyczą ce interesują cego  zjawiska  odkrytego  przez  Jacqa
należ ał oby  chyba —  wł aś nie  ze  wzglę du  n a  jego  znaczenie —  traktować  t o  zagadn ien ie
bardzo  ostroż nie  i  nie  uważ ać  go  w  chwili  obecnej  za  cał kowicie  rozstrzygnię te.

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  J.  JACQ,  M.  CHATEAU,  Anomalie de la distribution  de  temperature  dans  les  couches  superficielles  d'un
solide,  Compte  Rendu  de 1'Academie  des  Sciences,  255,  1961.

2.  J.  JACQ,  Anomalie  de la distribution  des temperatures  dans les couches  superficielles  d'une paroi  chaffee
ou  refroidie,  Journć es  internationales  de la  transmission  de la  chaleur — Juin  1961;  Institut  F rancais
des  Combustibles  et  de PEnergie,  Paris 1961.

3.  L.  KAISER,  Essai d'une thiorie  ilectronique  de Veffet Jacq, Revue  G ć nć rale  de Thermique,  1962,  5.



EFEKT  JACQA  147

4.  R.  LU CAS,  T heorie  du phenomene Ć T anomalie  de  temperature  dans les  couches superficielles des  materiaux,
Journees  Internationales  de  la  transmission  de  la  chaleur—•  Juin  1961,  Institut F rancais  des  Combus-
tibles  et  de  l'Energie,  P aris  1961.

5.  A.  B.  JIwKOB,  T eopun  men/ ionpoeodHocmu,  F H TTJT,  MocKaa  1952.
6.  A.  MISSEN ARD ,  Conductivity  thermique des  solids, Hquides,  gaz  et  de  lews  melanges,  Editions  Eyrolles,

P aris  1965.
7.  H .  IIIJIM KOBJ  E.  FAHHHJ  KomnaKmuuu  men/ ioo6Aten,  roc3Hepron3p;aT, MocKBa  1963.

P  e 3  IO  M e

3<J><t>EKT  5KAKA

B  cTaT^e  n pefldaBjieH   o63op  pa6oT  n o  H ccjiefloBaH iiaM,  cBfl3ai- iHLiM   c adnbeKTOM
SchdieKT  >Kai<a  3aKJiio*jaeTCH   B  cymecTBOBaiffiii  ai- ioMajiHH   pacnpeflejieH iM   TeiwnepaTyp  B  noBepx-

HOCTHOM  cjioe  (TojimnH oii  nopH flKa  100  W n) MeTajuii^ecKOH   cieH Kii;  rpaflH eH Tbi  TemnepaTyp  B  STOM
CJioe  He cjienyioT  3ai<ony  TenjionpoBOflHOCTH   O y p t e .  IIpeflCTaBJieHŁi  pe3y^ŁTaTbi  SKcnepHMeHTanbHwx
nccjieflOBaHUH   >K. >KaKa,  a  TaK>Ke  U OIIBITKH   leopeT im ecK oro  oSŁHCHeHHH  3Toro  HBneroiH   Ha  ocH ose
TeopHH   3JieKTpoH H oro  ra.3a  B meTajinax  ( K an cep )  H JI H   rn n o T e  3ticymecTBOBaHHH   c n e ^ i a n t n o r o
flH <l)<t)y3H H   (BeTpe^HWH   IJOTOK flH tJldPySH K) B TBgpflLIX  TejMX  (JlKIKa).

PacaviaTpiiBaeTCH   3H aqeH ae  3<Ji<|)eKTa  >KaKa  B TeopH ii  TeimooSiweHa  H   nojrqepKiiBaeTCH
H OCTŁ  3 T 0 H

S u m m a r y

TH E  JACQ'S  E F F E C T

A  survey  is  given  of  the  investigations  concerned  with  the  Jacq's  effect.
The  Jacq's  is  an  anomaly  of  temperature  distribution  within  thin  sub- surface  layer  (100  / J.m)  of  the

metal  wall;  the  temperature  giadients  within  this  layer  are  n ot  in  accordance  with  F ourier's  law  of  heat
conduction.  The results  of  experiments  performed  by  Jacq  and  his  attemps  to  interpret  the phenomenon
theoretically  taking  as  a basis the theory  of fluctuations  of free- electron  gas  in  metals  (Kaiser)  or  a  hypo-
thesis  of  retrodifision  in  solids  (Lucas)  are  described.

The  importance  of  Jacq's  effect  in  heat  transfer  has  been  dealt  with  and it has  also been stressed that
the  problem  provides  forum  for  discussion.

POLITECHNIKA  WARSZAWSKA
INSTYTUT  TECHNIKI  CIEPLN EJ

Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  26  czerwca 1967  r.