Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS68\MTS68_t6z1_4_PDF\mts68_t6z2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2,  6  (1968) OCENA NAJWIĘ KSZYCH NAPRĘ Ż EŃ W WIEŃ CU ŁOPATEK M .  A.  G L I Ń S K A,  L.  Ł U K A S Z E W S K A ,  J.  O D E R F E L D ,  E.  PLESZCZYŃ SKA (WAR SZ AWA) 1.  Zagadnienie techniczne N a  tarczy  turbin y  jest  N   ł opatek,  n om in aln ie jedn akowych,  równomiernie  rozstawio- nych  i  jedn akowo  osadzon ych. Z mieniają c  stopn iowo  prę dkość  obrotową   turbin y  obserwujemy,  że  w  ł opatkach  wy- stę pują   drgan ia  o  postaci  i  am plitudzie  zależ nej  w  zł oż ony  sposób,  mię dzy  innymi,  od tej  prę dkoś ci,  od  warun ków  eksploatacyjnych  (n p.  tem peratury),  od  wyboru  pun ktu  ob- serwacji  n a  ł opatkach ,  od  n ieun ikn ion ych  róż n ic  mię dzy  poszczególnymi  ł opatkam i (np. m ateriał ,  odchył ki  wykonawcze  ł opatki  i  jej  osadzenie)  itd.  D rgan ia  powodują   wystą pie- n ie  n aprę ż eń  w  ł o pat kach  i  ostatecznym  celem  postę powan ia  jest  stwierdzenie,  czy  na- prę ż en ia  te  nie  przekraczają   dopuszczalnych,  w  ż adn ym  pun kcie  ż adnej  z  N   ł opatek. Aby  zmniejszyć  liczbę   zm ien n ych  param etrów  m oż n a,  n a  przykł ad,  (opieramy  się   n a pracy  ŁAP IŃ SKIEGO  [1])  ustalić  p u n kt  p o m iaru ;  zwykle  lokuje  się   go  w  1/3  wysokoś ci ł opatki,  blisko  krawę dzi  spł ywu.  N a  n  ł opatkach  spoś ród  ł ą cznej  liczby  N   przykleja  się w  wybranych  pu n kt ach  ten som etry  oporowe,  które  w  znany  sposób  pozwalają   rejestrować zm ienne  n aprę ż en ia  w  funkcji  czasu. D la  dalszych  rozważ ań  waż na  jest  okolicznoś ć,  że  n jest  liczbą   dużo  mniejszą   od  N . P owody  tego  są   n atury  tech n iczn ej;  wymienimy  z  nich  tylko  n iektóre:  trudn ość  komu- tacji,  to  jest  przenoszenia  im pulsów  elektrycznych  z  wirują cych  tensometrów  do  nieru- ruchom ej  aparatury  mierniczej  i  t ru d n a  techn ologia  klejenia  tensom etrów. Turbin ie  nadaje  się   taką   prę dkość  obrotową ,  ż eby  am plitudy  n aprę ż eń był y  moż liwie duże  (rezonans)  i  rejestruje  się   je.  Oznaczmy  przez  X  zmienną   losową   zdefiniowaną   jako am plituda  n aprę ż eń  w  opisanych  warun kach .  Otrzymujemy  wię c  cią g  wielkoś ci  doś wiad- czalnych  Xj, x 2>   ..., x„.  N a  tej  podstawie  należy  sformuł ować  orzeczenie  o  nieznanej  naj- wię kszej  am plitudzie  xjyax  n a  zbiorze  wszystkich  N   ł opatek.  Oczywiś cie  orzeczenie  to m oże  mieć  tylko  ch arakter  probabilistyczny,  ujawniony  lub  nieujawniony. Ł AP I Ń SKI  [1]  cytuje,  mię dzy  innym i,  reguł ę   n ie  wymienionego  autora,  który  zaleca przy  n  =   5, 6, 7  przyjm ować  po  prostu Xtf  —  X n   K., gdzie  k  jest  współ czynnikiem  empirycznym  wynoszą cym  od  1,25  do  1,35;  x™ax  = =   max(xx,  Xj,  ...,  x„);  x# a x  jest  oszacowaniem  X^ ax.  Warun ki,  w  których  t a  reguł a  jest 156  M .  A.  G L I Ń SK A,  L. Ł U K ASZ E WSK A,  J. O D E R F E L D ,  E . P LE SZ C Z YŃ SKA przydatna i zwią zane  z nią  prawdopodobień stwo  niedocenienia  naprę ż eń  rzeczywistych nie  był y  podane. W  pracy  [1] jest  również  wzmianka  o metodzie  zaproponowanej  przez  K.  R .  N AIRA (danych  bibliograficznych  pracy  N aira  nie  udał o  się  ustalić) i opartej  na zał oż eniu roz- kł adu  logarytmo- normalnego  zmiennej  losowej  X, z czego  m oż na  znaleźć  rozkł ad  przy- bliż ony  skrajnej  statystyki  pozycyjnej  X^ %,  której  wartość  oznaczamy  przez  x$ a x . Istotnym  etapem w tej  metodzie jest  znalezienie  takiej  najmniejszej  liczby  x 0 , ż eby  moż na był o  z zadanym  prawdopodobień stwem  P powiedzieć,  że  xjyax  < x 0 .  Korzysta  się   przy tym z pomocniczego  prawdopodobień stwa  P i =   1— [(1—P)/ (N—«)].  Wzór  n a  P i  budzi pewne  wą tpliwoś ci,  bo traci  on  sens,  gdy  n - » N  i  nie  wiadom o,  w jakim  zakresie  wolno go  stosować.  M etoda t a jest  metodą   przybliż oną;  nie są   n am  znane  konsekwencje  jej stosowania.  W pracy  [1]  podan o  jedynie  sposób  przeprowadzania  rachun ków. Z  pracy  [1]  notujemy  jeszcze  interesują cą   wskazówkę ,  że rozkł ad zmiennej  losowej  X jest  rzeczywiś cie  zbliż ony  do logarytmo- normalnego.  W  pewnym  przypadku  Łapiń ski otrzymał   doś wiadczalny  rozkł ad log w X:  N  (2,9689;  0,0635)  (na  podstawie  tabeli  2  pracy [1]). Z e  wzglę du  n a znaczenie  techniczne  zagadnienia,  o  które  kilkakrotnie  w  ostatnich latach mieliś my zapytania ze strony przemysł u turbinowego, postanowiliś my  zbadać  sprawę gruntownie.  Ponieważ  metody  analityczne  zawiodł y,  zdecydowaliś my  się  n a modelowa- nie  na maszynie  cyfrowej. Czytelnik zainteresowany  tylko  odpowiedzią   praktyczną   może  znaleźć ją   w punkcie 5. 2.  Sformuł owanie  orzeczenia  statystyczn ego Przyjmujemy  zał oż enie, że zmienna  losowa  X  m a  rozkł ad logarytmo- normalny  z nie- znaną   ś rednią   m x  i nieznanym  odchyleniem  standardowym  a x .  Amplitudy  naprę ż eń  ł o- patek  zamocowanych  n a turbinie  są  JV- elementową   próbką   prostą   pobran ą   z populacji o  tym  rozkł adzie. Inaczej  mówią c,  każ da  am plituda jest  zmienną   losową   X t   o takim sa- mym  rozkł adzie, jak X. Zmienne losowe  X t   są  niezależ ne.  U stalamy  n <  N .  Oznaczamy Xp x  =  max X h   X™* =  max X t . Zbudujemy  zmienną  losową   G a   jako  funkcję   argumentów X u   X 2 , ..., X n  w taki  sposób, ż eby  dla  każ dej  pary  dodatnich rzeczywistych  liczb  (m x , a x ) speł niony  był   warun ek (2.1)  iWx< < 7J= l- a, gdzie  cc jest  dowolnie  wybraną   mał ą   liczbą   (n p. 0,05).  Przy  tym  w przepisie  funkcyjnym funkcji  G a   nie  powinny  wystę pować  nieznane  nam  wartoś ci  m x  i a x   (natom iast  rozkł ad G x  i rozkł ad  Z # "a x  zależą   od m x  i  a x ). Wartość  g x   zmiennej  losowej  G a   obliczamy  znają c  x%,  ..., x n   z  pom iarów  n a badanej turbinie.  N a  podstawie g a  moż na  wydać  orzeczenie  o  wartoś ci  x^ x  zmiennej  losowej Xff ax  stwierdzają ce,  że  *$**  < g a .  Z godnie z  (2.1)  frakcja  bł ę dnych  orzeczeń  ś rednio  jest równa a. Konstrukcją   zmiennej  losowej  G a   zajmiemy  się  w  rozdziale  3. Obecnie  zastanowimy się   nad  konsekwencjami  stosowania  takich  orzeczeń  w  praktyce. OCEN A  N AJWIĘ KSZYCH   NAPRĘ Ż EŃ   W  WIEŃ CU   ŁOPATEK  157 Zazwyczaj  praktyk  chciał by  porównać  jc$ax  z  dopuszczalną   amplitudą   naprę ż eń  a. Chciał by wię c  uzyskać  orzeczenie:  «x$ a x  <  a»  lub  «x™ox >  a».  W  pierwszym  przypadku uznał by,  że  może  nie  interweniować,  w  drugim  przypadku  uznał by  za  konieczną   inter- wencję   polegają cą,  na  przykł ad,  n a  wymianie  ł opatek.  Jeś li  orzeczenia  te  są   uzyskane n a  drodze  rozważ ań  statystycznych,  mogą   się   zdarzać  pomył ki  polegają ce  na  wydaniu pierwszego  orzeczenia,  gdy  x^ "x  >  a,  lub  wydaniu  drugiego  orzeczenia,  gdy  x™x  <  a. Bł ą d  I  rodzaju  powoduje  powstanie  strat  przy  eksploatacji  turbiny,  a  nawet  niebezpie- czeń stwo.  Bł ą d  I I  rodzaju  powoduje  koszty  wynikł e  z  niepotrzebnej  interwencji. Wyznaczona  przez  nas  wartość  g a   majoryzują ca  XjJax  może  być  bą dź  mniejsza,  bą dź wię ksza  od  a.  Przypuś ć my,  że  postanawiamy  nie  interweniować,  jeś li  g a   <  a, natomiast interweniować,  jeś li  g x   >  a.  Wobec  tego  na  mocy  (2.1)  prawdopodobień stwo  bł ę dnego braku  interwencji  oczywiś cie  nie  przekroczy  a.  N atom iast prawdopodobień stwo  zbę dnej interwencji  może  przy  takim  postę powaniu  być  bardzo  duż e,  a  nie  moż na  podać jego oszacowania, jeś li  nie zn a  się   wartoś ci  m x   i  a x ,  co  zał oż ono.  Ta  uwaga  krytyczna  odnosi się   nie  tylko  do  naszej  metody.  N iepewność  w  orzeczeniu jest  konsekwencją   ską pej  in- formacji  doś wiadczalnej  i  nie  m oż na  usuną ć  jej  ż adnymi  operacjami  matematycznymi. 3.  Konstrukcja  zmiennej  losowej  G a M oż na  by  rozpatrywać  problem  optymalnej  konstrukcji  zmiennej  losowej  G x   przyj- mują c  któryś  ze  znanych  modeli  statystycznej  teorii  decyzji.  Z e wzglę du  n a  wielkie trud;- noś ci,  jakie  nastrę cza  rozwią zywanie  takich  problemów,  oraz  arbitralność  wyboru  mo- delu  (np. wyboru  funkcji  charakteryzują cej  straty  itp.)  odrzucono tę   drogę   postę powania. Zmienna losowa  G a ,  której  konstrukcję   opiszemy, jest tylko jedną   z dopuszczalnych  funkcji argumentów  X u   X 2 ,  ...,  X„, to  znaczy  speł nia warunek  (2.1) i  nie zależy  od  m x   i  a x . Oznaczmy:  Y t   =   logc- ST;  (i  =   1,  2,...,N )  (dla  dowolnie  ustalonej  dodatniej x ,  liczby  c), i Z mienne  losowe  Y t   mają   z  zał oż enia jedn akowe  rozkł ady  normalne o  nieznanych  pa- rametrach  m y \ a y   . R ozkł ad zmiennej losowej  C/ nie zależy  od m y   i a y , jest wię c  jednakowy przy  wszelkim  rozkł adzie  normalnym  zmiennej  losowej  logcX.  G dy  Yff" x  =   Y™x,  to U  =  0,  przy  czym  P(U  =   0) =   n/ N . D la  u >  0  rozkł ad  U jest  cią gł y. Jeś li  wię c  njN   <  1—a,  t o  istnieje  dodatn ia  liczba  rzeczywista  u a   taka,  że (3.1)  P ( J 7 < « « ) = l - a. Bę dziemy odtą d zakł adać,  że  n/ N  <  1—a,  takie  bowiem  tylko  przypadki  są   w  praktyce interesują ce. 158  M .  A.  G L I Ń SK A,  L .  Ł U KASZ E WSKA,  J.  O D E R F E L D ,  E .  P LE SZ C Z YŃ SKA Tak  zdefiniowana  wielkość  u a   zależy  od  a, N ,  n.  P eł ne  oznaczenie był oby  u x>N t „;  dla wygody  pomijamy  oczywiste  symbole  N ,  n  w  indeksie. D efiniujemy  funkcję   G x   =  X™ &x - c" x ' s ".  Jej  argum en tam i  są   wię c  X u   X 2 ,  ...,  X„; pon adto  G a   n ie  zależy  od  m x   i  o x .  P okaż em y,  że  G a  speł nia  warun ek  (2.1). Z  definicji  U  oraz  u a   wiadom o,  że =*-   «.)- .- .. a  stą d czyli <  Xrxcs»"«)  =   1- a,  cbdo. Rozkł ad  zmiennej  losowej  U  nie jest  znany  (zwracamy  uwagę ,  że  w  m ian own iku  wy- raż enia  definiują cego  U  wystę puje  odchylenie  stan dardowe  z  n- elementowej  próbki). Wą tpimy  zresztą ,  czy  rozkł ad ten  daje  się   wyrazić  w  postaci  wyraź nej.  M oż na n atom iast ł atwo  dla róż nych n i JV wyznaczyć  rozkł ad empiryczny  U posł ugują c  się  maszyną   cyfrową . Przyjmujemy  mianowicie, że  niezależ ne zmienne losowe  F ; mają   jedn akowe  rozkł ady  n or- malne  7V(0,l),  gdyż  wybór  param etrów  nie  wpł ywa  n a  wartość  zmiennej  losowej  U. G e- nerujemy  N   wartoś ci  tych  zmiennych  losowych,  obliczamy  wartość  u  i  zaliczamy  ją   do odpowiedniej  klasy  w  zbiorze  wartoś ci  zmiennej  losowej  U.  P ostę powan ie  to  powtarzam y k  razy.  Zwykle  im  wię ksze  k,  tym  rozkł ad  empiryczny  mniej  róż ni  się   od  teoretycznego. N a  podstawie  rozkł adu empirycznego  nie  moż emy jedn ak  znaleźć  dokł adn ie wartoś ci u x   wystę pują cej  w  definicji  G a .  Wobec  tego  zdefiniujemy  obecnie  wielkość  u x   [(nieco  ina- czej,  niż u tt   T A. pomocą   wzoru  (3.1)].  Rozpatrujemy  cią g  {uj}  górnych  klas  w  rozkł adzie empirycznym  U.  Przez  u a   oznaczamy  najmniejszą   liczbę   w  cią gu  {ilj}  speł niają cą   wa- run ek: (3.2)  P[P{U  <  uj) >  1 - a]  >  0,99. Wielkość 0,99 jest tu wybrana  arbitralnie. P onieważ jest bliska  1, to nierówność P(U  <  « J > ^  1—cc  bę dzie  speł niona  z  praktyczną   pewnoś cią. Z m ien n a  losowa  u x   jest  funkcją   nie tylko  argumentów  n  i N ,  lecz  także  zależy  od  wy- boru  cią gu  {uj}  oraz  od  k  i  wartoś ci  dystrybuanty  empirycznej. Oznaczmy  pj  =   P(U  <  Uj)  i  niech  Pj  oznacza  wartość  dystrybuanty  empirycznej w  punkcie  Uj. N a  podstawie  prawa  wielkich  liczb  Bernoulli'ego  lim  P(\ pj—pj\  <  e) =   1. A- ł- 00 Jeś li  oznaczymy  przez  <5  maksymalną   dł ugość klasy  w  rozkł adzie  empirycznym,  to  praw- dopodobień stwo,  że  wielkość  il x   róż ni  się   od  wielkoś ci  u x   wię cej  niż  o  6,  dą ży  do  zera przy  k  - x  oo. Opiszemy  szczegół owo  sposób  wyznaczania  wa  przy  ustalonych  n, N ,  k,  {iij}.  N iech  q} oznacza  granicę   takiego  przedział u ufnoś ci  dla pj,  że  P(j>j  >  qj)  =   0,99.  Wiadom o  (patrz n p.  [2]),  że  w  przybliż eniu kpj+ 2,705- 1,163  j/ 5, 41 +4kpj(l  ~Pj) qj   k+5,4l OC E N A  N AJWIĘ KSZYCH   N APRĘ Ż EŃ  W  WIEŃ CU  ŁOPATEK  159 Wzór  ten  wyprowadzony  jest  przy  zał oż eniu, że  rozkł ad  dwumianowy  aproksymuje  się rozkł adem  n orm aln ym , co jest  uzasadn ion e przy  duż ych  wartoś ciach  k  (n p. przy  a  =   0,01 k  powin n o  być  wię ksze  od  1000).  W  przeciwnym  razie  trzeba  korzystać  z  dokł adnych wzorów,  podan ych  n p .  w  [3],  Poszukujemy  wię c  w  rozkł adzie  empirycznym  klasy  o  nu- m erze  j  takiej,  że  q 3   ^  1—a,  a  qj_i  <  I—a.  G órn ą   granicę   / - tej  klasy  oznaczamy  u a . U w a g a :  D la  pj  m o ż na  był o  również  zbudować  przedział   dwustron n y;  t o  jedn ak prowadził oby  do  wartoś ci  u x   nie  mniejszych  niż  wynikają   z  opisanego  postę powania, a  wię c  n ie  był oby  poż yteczn e. N iech  6 a   — X™*- *cs""x.  Z m ien n a  losowa  G x   speł nia  warun ek (3.3)  P[P W x  <  $«)  >  1 - a]  >  0,99. Warun ek  (3.3)  m oż na  n azwać  probabilistycznym  odpowiednikiem  warunku  (2.1). Za- stą pienie  warun ku  (2.1)  warun kiem  w  rodzaju  (3.3) jest  konieczne  w  przypadku  znajdo- wan ia  rozkł adu  em pirycznego. W  pun kcie 4  podam y  otrzym an e wartoś ci  w„  dla  wybranych  wartoś ci  n, N , a.  Obecnie powrócimy  jeszcze  do  zagadn ien ia  wyboru  G„. Ł atwo  zauważ yć,  że  m oż na  budować  dowolnie  wiele  zmiennych  G x   speł niają cych  wa- run ek  (2.1)  opierają c  się   n a  zm iennych  losowych  o  konstrukcji  podobn ej  do  U,  a  wię c n a  przykł ad: ymax  vm&x N   - Łn y max  xrmin  J H  - L  n1  n gdzie  Y™ia  =   m in  7; .  R ozkł ad  V  również  nie  zależy  od  my  i  ar  a  wię c  jest  jednakowy 1 przy  wszelkim  rozkł adzie  n orm aln ym  zmiennej  losowej  lo gc X Wybór  mię dzy  zm ien n ym i  losowymi  G a   a  G' a   zbudowanym i  n a  podstawie  U  i  U' nastrę cza  podobn e  trudn oś ci  pozam atem atyczn e, jak  wyznaczenie  optymalnej  zmiennej losowej  G x ,  toteż  n ie  bę dziemy  tego  om awiać  dokł adn ie. Wydaje  się   jedn ak,  że  prawdo- podobień stwo  bł ę dnej  decyzji  interwencji  przy  dowolnych  ustalonych  a,  n, N ,  a  powinno być  wię ksze  przy  G' x   niż  przy  G a ,  gdyż  m ian own ik  wyraż enia  U'  m a  wię kszą   wariancję niż  m ian own ik  wyraż en ia  U.  Z  tego  powodu  zdecydowaliś my  się   n a  zmienną   losową   G a . Z auważ my  jeszcze,  że  jeś li  dowoln a  zm ien n a  losowa  G a   speł nia  warunek  (2.1),  to dla  każ dego  e >  0  równ ież  zm ien n a  losowa  G a +  e  speł nia  ten  warunek.  P rawdopodo- bień stwo  bł ę dnej  decyzji  interwencji  przy  dowolnych  ustalonych  a,  n, N ,  a  dla  zmiennej losowej  G a + e  jest  oczywiś cie  n ie  maleją cą   funkcją   e.  Toteż  wydaje  się   sł uszne  uzupeł - nienie  warun ku  (2.1)  nastę pują cym  warun kiem : D la  każ dego  e >  0 (3.4)  P ( J r x  <  G a -   s)  <  1- a. Z e  wzglę du  n a  definicję   u x   za  pom ocą   wzoru  (3.1),  zmienna  losowa  G a ,  której  kon- strukcję   przedstawion o  w  tej  pracy,  speł nia  oczywiś cie  warunek  (3.4). D la  zmiennej  losowej  ó„  zdefiniowanej  za  pom ocą   u a   nie  bę dziemy  wprowadzać  od- powiedn ika  warun ku  (3.4),  gdyż  miał by  on  dość  skomplikowaną   postać,  uwzglę dniają cą opisaną   wyż ej  zbież ność  u x   do  n x   przy  k  - *  co  i  <5  - > 0. 160 M .  A.  G L I Ń SK A,  L.  Ł U K ASZ E WSK A,  J.  O D E R F E L D ,  E .  P LE SZ C Z YŃ SKA 4.  R ozkł ad  empiryczny  U N a  maszynie  cyfrowej  G I E R  wyznaczono  dystrybuan ty  empiryczne  U  dla  TV =   80, n =  5,  10,  15, 20.  Z a  każ dym  razem  generowano  k  =   3000  wartoś ci  zmiennej  losowej  U 1.00 0.98 0.96 0.91 om 0.90 J  1  I  I  L. 8  10 Rys.  1 12 1  L. • M  U W   2.0 1.00 0.98 0.96 OSA 0.92 0.90 om 1 :  // :  / / '  / / / ",   u J n=20  n- 15 \1 <  '  '  k . 5.0  60  u Rys.  2 iiidowano  rozkł ad  empiryczny.  Wykresy  dystrybuan t  empirycznych  przedstawion o  n a lysunkach  1  i  2  (dla  wartoś ci  dystrybuan t  poczynają c  od  0,88).  N a  podstawie  tych  wy- kresów  obliczono  (tablica  1)  wartoś ci  u a   zdefiniowane  za  pom ocą   (3.2). OCEN A  NAJWIĘ KSZYCH   NAPRĘ Ż EŃ   W  WIEŃ CU   Ł OPATEK 161 n 5 10 15 20 Tablica  1.  Wartoś ci a 0,10 4,50 2,45 1,90 1,60 Ua  d l a  N   < 0,05 5,80 3,10 2,40 2,00 =   80 0,01 10,10 5,00 3,75 2,80 Z  tablicy  widać,  że  dla  ustalon ego  a  wartoś ci  u a   szybko  rosną,  gdy  n  maleje.  Znaczy t o ,  że  oszczę dność  n a  eksperymencie  (zmniejszenie  ń )  zmusza  do  bardzo  ostroż nego  sza- cowania  górn ego  ogran iczen ia  n aprę ż eń. W  niniejszej  pracy  ustaliliś my  N   =   80.  M oż na  by  uł oż yć tablice  podobn e do  tablicy  1 dla  in n ych wartoś ci  N .  N ie zrobiliś my  tego  tylko  ze  wzglę du  n a  koszt  obliczeń. D la orien- tacji  podajemy,  że  przy  wykorzystaniu  program ów,  którym i  obecnie  dysponujemy,  prze- widywany  czas  m aszyny  G I E R  n a  tablicę  podobn ą  do  tablicy  1 wynosi  okoł o  6  godzin. 5.  Zastosowanie D la  wygody  C zytelnika  zain teresowan ego  tylko  aspektem  praktycznym  zbieramy reguł y  stosowania. U stalić  N ,  n,  a  (nasze  wyniki  liczbowe  ograniczają  wybór  do  N   =  80;  n =  5,  10,  15, 20;  a  =   0,10,  0,05,  0,01). Z mierzyć  x(  (i =   1,  2,  ...,«)• • Obliczyć:  y t   =  logiox t ; y= - Z  tablicy  1  odczytać  u a . Obliczyć  logio£«  =   lo gio x m a x + s„  - u x ,  g a . Wydać  orzeczenie  xjyax  <  g a . P r z y k ł a d.  U st alo n o TV  =   80,  n  =   10,  a  =   0,05.  Z m ierzon o  x t   w  kG   cm~ 2  i uł o- ż ono  tablicę  2. Tablica  2 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Xl 995 1028 996 865 848 957 892 913 928 591 yi  =  logio xi 2,9978 3,0120 2,9983 2,9370 2,9284 2,9809 2,9504 2,9605 2,9675 2,7716 162  M. A.  G LIŃ SKA, L. ŁUKASZEWSKA, J. OD ERFELD , E.  PLESZCZYŃ SKA y  =   2,905044,  f  =   8,70933, s  =   j/ 8, 70933- 2, 9050442  =   0,0650, Ma =   3,10, lo gga  =   3,0120+ 3,10  •   0,0650 =   3,2135, L   -   1635, xfo ax  <  1635  k G   c m "2. D ecyzję   o  dalszym  postę powaniu  technicznym  uzależ niamy  od  porówn an ia  g a   z  n a- prę ż eniem  dopuszczalnym  w  danych  warun kach . Literatura  cytowana  w tekś cie 1.  Z . ŁAPIŃ SKI, Pomiary i  obliczenie  naprę ż eń  od drgań w  ł opatkach  lotniczych turbin spalinowych,  Tech- nika  Lotnicza  1-2 i  3- 4  (1961). 2.  W. OKTABA,  Elementy statystyki  matematycznej i  metodyka  doś wiadczalnictwa,  Warszawa 1966. 3.  A. H . BOWKER,  G . J. LIEBERMAN,  Engineering  Statistics, Englewood  Cliffs,  N . Y.  1960. P  e 3  io  M  e OU.EHKA  MAKCH MAJIBH LIX  H AI I P JD KE ffilił   B  J I O n AT O ^ H O M cjiyqaH H oii  BejnroiH bi  X flBjweTCH  jiorapudpMiMecKH   HOpiwajiBHbiM  c HeH3BecTHWMH .  H 3 coBOKynnocTH   c  T3KH M   pacnpeflejieHHeiw  npoH3BOflHTCH   n pocT aa  Bbi6opKa  c N ,  a H3 H ee, B CBOIO  oqepeflB,  n pocTan  BbifiopKa  c OSBBMOM n. Yi  =  loglcJr,  U «  1,2, „ ., JV;  c>  0);  Y%*x = rfle Xjy a x  H  A"™"31  cooTBeTcBeHHO  o6o3navaioT  npoH3BOJiBHHbie  Bapaaił H H ,  n pefln on araioiiiH e Bbi6opiI  0);  7jJ a x  =  l o g c ^ B X ;  Y%** =   l o g c ^ a x ; where  X'$*x  and X™ax  denote  the random  variable  assuming  the largest  value  in the samples  of  the N  and n,  respectively. Let OCEN A  NAJWIĘ KSZYCH   NAPRĘ Ż EŃ  W WIEŃ CU  ŁOPATEK  163 The  random  variable  U  is  independent  of  parameters  in  the  distribution  of  the  variable  X. U sing  a  computer, the  distributions  of  U for  N   =  80, n  =   5,  10,  15, 20  hawe  been  determined. The  paper  presents  a  solution  of  the  following  technological  problem:  out  of  N   blades  of  a  turbine disc  only  n blades  can be tested for  maximum  stress.  The question  arises  what  can be said  about  maximum stress  in  the  blades  not  subjected  to  experimental  investigation. I N ST YT U T  M ATE M ATYC Z N Y  P AN Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  23  listopada  1967  r.