Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS68\MTS68_t6z1_4_PDF\mts68_t6z4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4, 6 (1968) O  N I E U S T A L O N E J  D Y F U Z J I  T L E N U   W  P R O C E S I E  S P AL AN I A  Z I AR N A  W Ę G L O W E GO M I E C Z Y S Ł A W  Z E M B R Z U S K I  ( W R O C Ł A W ) Wa ż n ie jsze  o zn a c ze n ia c  st ę ż e n ie  t le n u  [ k g/ c m 2 ] , c 0   st ę ż e n ie  t le n u  w  o t o c z e n i u , c, a   st ę ż e n ie  t le n u  n a  p o wi e r z c h n i  z i a r n a , c Op   st ę ż e n ie  t l e n u  p o c z ą t k o w e, D  w s p ó ł c z y n n i k  d yfu zji  [ c m 2 / se k ] , F  p o w i e r z c h n i a  z i a r n a  [ c m 2 ] , Cj  m asa  tlen u  [kg], G w   m asa  wę gla [kg], k  stalą   prę dkoś ci  reakcji  [cm/ sek], /•   współ rzę dna w ukł adzie kulistym  [cm], ;• „  p r o m ie ń  z ia n ia , 'op  p r o m ie ń  zia r n a  p o c zą t ko wy, R  p r o m ie ń  p r zest r zen i  sp a la n ia , T   t e m p e r a t u r a [°K ], «  wsp ó ł c z yn n ik  n a d m i a r u  p o wiet r za , P  wsp ó ł c zyn n ik  st ech io m et ryczn y, A  st o su n e k  k/ D, v 0   st ę ż en ie  t len u  o bję t o ś cio we, Q t   gę s t o ść  t l e n u  [kg/ fam 3], Q W   gę stość wę gla  [kg/ cm 3], X  czas  [sek], r a p  czas spalan ia  ziarn a. 1.  Wprowadzenie Z wykł a  koncepcja  teoretyczn a  pł om ienia  pył owego  (fizykalny  model  pł om ienia) polega  na traktowan iu pł om ien ia ja ko  zbioru ziaren spalają cych  się  we wspólnej  przestrzeni, przy  jedn oczesn ym  przyję ciu,  że  odległ oś ci  mię dzy  ziarnam i  są   tak  duż e,  że  każ de  ziarn o spala się  jak gdyby  w przestrzen i nieograniczonej.  T H R I N G   i  ESSEN H IG H   [1] podali  koncepcję odmienną , zgodnie  z którą   pł om ień  uważ any  jest  za  zbiór  ziaren  spalają cych  się   w  oddziel- n ych  przestrzeniach ogran iczon ych.  Obydwie  koncepcje  był y przedyskutowane  w  [2], gdzie wskazan o,  że w przeciwień stwie  do  pierwszej—kon cepcja  Tnringa  i  Essenhigha  posiada in terpretację   doś wiadczalną,  pozwalają cą   n a  wyznaczenie  sumarycznych  stał ych  kin e- tycznych,  za  pom ocą   prostego  doś wiadczenia.  T o  ostatnie  polega  na  spalaniu  ziarn a wę gla  w  zam kn ię tym  naczyniu  o  pojemnoś ci  odpowiadają cej  zadanej  wartoś ci  a  [2,  3]. 418  M .  Z E M BR Z U SK I W  niniejszej  pracy  omówiona jest  dyfuzja  tlenu  do  ziarna  przy  spalaniu  zachodzą cym w  przestrzeni  ograniczonej  (w zamknię tym naczyniu). Celem pracyjest  rozstrzygnię cie,  czy równania  spalania  ziarna  wyprowadzane  w  kinetyczno- dyfuzyjnej  teorii  spalania  wę gla dla  przestrzeni  nieograniczonej  i  oparte  na  zał oż eniu  o  dyfuzji  ustalonej  [4]  mogą  być stosowane  również  dla  spalania  w  przestrzeni  ograniczonej. 2.  Wyjś ciowy  u kł ad  równ ań Spalanie  ziarna wę glowego, zarówno  pojedynczego  jak  i  w  pł omieniu  pył owym,  przyj- mowane  jest  za  izotermiczny  proces  ustalony  w  przestrzeni  nieograniczonej.  P rzy  tym zał oż eniu  dopł yw  tlenu  (lub  innego  gazu  czynnego  chemicznie)  może  być  traktowan y jako  molekularna  dyfuzja  w  przestrzeni  nieograniczonej  [1],  opisana  równ an iem : (21)  * £ + 2 < f c - o ar  r  dr z  warunkami (2.2)  r=r 0   D dc/ dr  =  kc(r 0 ), (2.3)  r  =  oo  dc/ dr =   0. Rozwią zaniem  równania  (2.1)- (2.3) jest  znana zależ ność  mię dzy  stę ż eniem tlenu n a  ś cianie ziarna  a  wielkoś cią  ziarna  i  kinetycznymi  charakterystykami  paliwa (2 . 4 )  ' Jeż eli  spalanie przebiega  przy  skoń czonej  wartoś ci  a, jak  to m a n p. miejsce  w pł omieniu pył owym, t o c0 jest zmienne w czasie  spalania  i  wyznaczenie  funkcji  co(r)  lub  czę ś ciej  co(r) wymaga  dodatkowych  zał oż eń  okreś lają cych  wymianę  masy  w  pł omieniu. Zarówno  analiza  modelu  pł omienia  pył owego  wedł ug koncepcji  Thringa  i  Essenhigha, jak  i  spalania  ziarna  w  naczyniu  zamknię tym  wymaga  uwzglę dnienia  dwóch  zał oż eń, których  nie  ma  potrzeby  brać  pod  uwagę  przy  analizie  spalania  ziarn a  w  przestrzeń nieograniczonej.  U wzglę dnić  mianowicie  trzeba, że spalanie  ziarna  wprowadza  w chemicz- nym  skł adzie  otoczenia  zmiany  zależ ne  od  czasu  oraz  że  zewnę trzna  granica  obszaru uniemoż liwia  wymianę  masy  z  dalszym  otoczeniem.  Odpowiadają cy  tym  zał oż eniom schemat  dyfuzji  wyjaś niony  jest  n a  rys.  1.  Ponieważ  przy  wynikają cych  ze  schematu  wa- runkach  brzegowych  równanie  [1]  nie  posiada  rozwią zania  (poza  przypadkiem  c  =   0) konieczne jest  przyję cie  bardziej  ogólnego  równania  dyfuzji  nieustalonej (2 5) z warunkami  brzegowymi (2.6)  r  =   r 0  dc/ dr  =   Ac(rQ), (2.7)  r  =  R  dcjdr  =   0 oraz  warunkiem  począ tkowym (2.8)  c(r,  0)  =   co,. O  N IEUSTALON EJ  D YF U ZJI  TLEN U   W  PROCESIE  SPALANIA 419 Przyjmują c,  że  przestrzeń  spalan ia  jest  kulista,  jej  prom ień  bę dzie  wynosił gdzie przez  /? ozn aczon o rzeczywisty, stechiom etryczny  stosun ek  dla  reakcji  C + O 2  - >  C O 2 . W  przyję tym  m odelu  spalan ia  ziarn a  reakcje  wtórn e  h om o-   i  heterogeniczne  oraz  pier- wotn a  reakcja  C + V2  O2  - *•  C O są   pom in ię te,  a  odpowiednią   korekturę   wprowadza  się dopiero  przy  ustalan iu  zależ noś ci  mię dzy  m asowym i  wydatkam i  tlenu  i  wę gla  przez  przy- ję cie,  że  w  równ an iu  bilan sowym (2.10) dG^   __  „   dG, dr  ~  '  dr współ czynnik  /3 jest  sum aryczn ą   wielkoś cią   uwzglę dniają cą   pom in ię te  uprzedn io  reakcje [5]. Granica  obszaru (ś cianka  naczynia) Ziarno IIP Warunek  spalania 'o J r Warunek  nieprze- nikliwaś ci • S dr/ R " •   CR(r) D  r a   R Rys.  1. Schemat dyfuzji  tlenu przy  spalaniu  ziarna w  przestrzeni  ograniczonej R ówn an ie  (2.5)  z  waru n kam i  (2.6)- (2,8)  jest  form aln ie  identyczne  z  równ an iem  prze- wodn ictwa  cieplnego  z  warun kiem  brzegowym  I I I  rodzaju.  Omawiane  w  dalszym  cią gu pracy  rozwią zanie  zadan ia  (2.5)- (2.8)  otrzym an o  przez  podstawienie  er =   z  i  r  =  x+r 0 , sprowadzają ce  równ an ie  d o  postaci  jedn owym iarowej  i  n astę pne  zastosowanie  m etody rozdzielan ia  zm ien n ych . 3.  S tę ż enie  tlenu  na  powierzchni  ziarna P rzy  skoń czonej  wartoś ci  a,  wielkość  przestrzen i  spalan ia  okreś lona  równaniem  (2.9) jest  równ ież  skoń czon a.  W  tym  przypadku  rozwią zaniem  równ an ia  (2.5)  z  warun kam i (2.6)- (2.8) jest  szereg (3.1) c (r,  r)  =  c Qll  —  V  A t a t   exp  (- X\  Dr), ( - 1 420  M.  ZEMBRZUSKI gdzie ( 3.2)  A, =   - y-  sin A, ( r—ro )] + c os  A; (/ • —r0), (1 —WJ)  cos  A, (R~ro)+ (Rk+ bftd  sin A, (.R— (3 . 3 ) W  powyż szych  równaniach  oznaczają :  b  =  AĄ - ljr^ ,  A  =  k/ D,  a  wartoś ci  wł asne A((ż =   1, 2,  3 ...)  są   kolejnymi  pierwiastkami  równ an ia  przestę pnego sin  A, (R- r 0 )  _  A,  ( ffr o / l+ flr 0 ) 1  ;   cosA^ R- ro)  X]Rr o +r o A+] Wielkoś ci  R,  r 0 ,  k,  D  są   przyję te  jako  stale. D la  teorii  spalania  ziarna  wartoś ciami  waż nymi  są :  stę ż enie  tlen u  n a  powierzchni ziarn a  c r ,  i  na  granicy  przestrzeni —  c R . D la  r  =   r Q   otrzymuje  się (3.5)  A1'=l; dla  r  =  R  otrzymuje  się (3.6)  Af  =   ~  sin  A, ( i?- r0)+ cos A; (i?- r0). Wartoś ci  fl;  pozostają   wspólne  dla  c,-0  i  cR. U wzglę dniając  równania  (3.5) i  (3.6)  otrzymuje  się (3.7)  cra  (T) =  c  ~ y a i  exp  ( - CO (3.8)  C jJ  (T)  =   S  ~  ^  ^f  fl,  e xp ( - ' = i  : Równanie  (3.7)  po  uwzglę dnieniu  równ ań  (2.6)  i  (2.10)  daje  wzór  n a  masową   prę dkość spalania  ziarna • CO ( i9 )  w= f ^°( T )  -  ft"* * *  T I —1 •   •   > • P rzeprowadzone  obliczen ia(1)  funkcji  c u (x),  uwzglę dniają ce  cztery  pierwsze  wyrazy szeregu  (3.7),  których  przykł ady  w  postaci  wykresów c u   ( T ) / C 0  = / ( T )  przedstawion o  n a rys.  2,  wskazują ,  ż e: a) w  pobliżu  pun ktu  T =   0,  szereg  (3.7)  jest  wolno zbież ny;  róż nica  c 0   — c0  (0)  jest zależ na  od A  i roś nie  z jego  zwię kszeniem, 0)  Obliczenia  num  eryczne szeregu  c,- 0, na które powoł ujemy  się  w nmiejszr/ rr  artykule,  został y  wyko- nane  na maszynie  «Odra  1013» w  Zakł adzie Obliczeniowym  Politechniki  Wrocł awskiej. O  N IEUSTALON EJ  D YF U ZJI  TLEN U   W  PROCESIE SPALANIA 421 b)  nawet  dla  bardzo  m ał ych czasów  (T  »  0), wyraz  drugi  i  nastę pne są   mał e  w  porów- naniu  z  wyrazem  pierwszym. We  wszystkich  dalszych  obliczeniach  ogran iczon o  się   do  wyrazu  pierwszego.  D o- puszczalność  tego  uproszczenia  m oż na  wykazać,  biorą c  pod  uwagę ,  że w  przedziale  czasu (0,  oo) przez  powierzchnię   ziarn a  musi  przepł yną ć  cał a  ilość  tlenu  zawarta  w  przestrzeni spalania,  tzn . musi  być (3.10) — [ J a t  exp  (~1} dr. 0,1  - 100 300 400  500 T [S] B00  700  800 Rys.  2. c r jc o   w funkcji  czasu  dla r 0   =   0,1 Rjr 0   =  50 Oznaczenia  krzywych:  1~  A  =   1,(2)  =   3,9); 2 — A  =   \ ,(D  =  5,4); 3 — A  =   1,(D   =   7, 2) ; ^ —  A  =   1,(D   =   9,3); 5 — A  =   10, (Z)  =   3,9)  6 —  A  -   10,  (D  -   5,4);  7 —A  m  10,  (D  =   7, 2);« —  A  =   10, (D  = 9 , 3 ) Jeż eli  w  powyż szym  równ an iu  ograniczyć  się   do  pierwszego  szeregu,  to  po scał kowaniu i  p o  prostych  przekształ cen iach otrzymuje  się   warun ek (3.11) Ą _ (R ?  2M 3  \ r o j  l\   ' 422  M .  Z E M BR Z U SK I Obliczenia  przeprowadzone  dla  r 0   =   0,01- ^0,1;  R/ r 0   =   5- ł - l50;A  =  l- i- 50  wykazał y, że  warunek  (3.11), dla  uwzglę dnionego  zakresu  wartoś ci  r 0 ,  R/ r Q   i A,  jest  speł niony z bł ę - dem  nie  przekraczają cym  0,5%,  przy  wartoś ciach  At  wyznaczanych  z  dokł adn oś cią   10~ 6. 4.  Wpł yw  n ieustalen ia dyfuzji  n a  czas  spalan ia  ziarn a Wpł yw  nieustalenia  dyfuzji  tlenu  n a  przebieg  spalania  ziarn a  wę glowego  okreś limy stosunkiem (4.1)  9>  =   j f dla  ziarna  o r 0   =   const. Wyznaczymy  najpierw  czas  spalania  w  warun kach  dyfuzji  nieustalonej,  wychodzą c z  równania  (3.9).  Jeż eli  w  tym  równaniu  ograniczyć  się   do  pierwszego  wyrazu  szeregu, to  otrzymuje  się   równanie  (3.9.1) dG v (r)  =   - tnroADą  C- ^ - Qxp\ (~- X\ Dr)ch, Qw które  po  scał kowaniu  i  uwzglę dnieniu  warun ku:  G w (0)  =  0,  daje: (4- 2)  G w ( T ) ^ Koniec  spalania  nastą pi  w  chwili  T^P ,  gdy (4- 3)  Gw( 4)  =   y Podstawiają c  powyż sze  do  (4.2), otrzymuje  się   ostatecznie (Ą  4 \   T N  —  In AJJ  Q  Ai  r0 B   6a t A Wyznaczenia  czasu  spalania  ziarn a  w  warun kach  dyfuzji  ustalonej,  przy  skoń czonej wartoś ci  a,  wymaga,  jak  to wspomniano  w  punkcie  2,  dodatkowych  zał oż eń  okreś lają cych sposób, w jaki  zmienia się   stę ż enie tlenu w  przestrzeni. Aby  zachować warunek,  że  spalanie zachodzi przy tej  samej  wartoś ci  a, przyjmiemy  m odel pł om ien ia monofrakcyjny,  o  dobrym mieszaniu  [2], dla  którego, jak  wiadomo Podstawiają c  (4.5)  do  (2.4)  otrzymuje  się (4.6)  - T  = - ^ A Powyż sze  równanie  okreś la  prę dkość  spalania  ziarn a  o  zmiennym  prom ieniu,  podczas gdy  równanie  (4.4)  odnosi  się   do  ziarna  o  r g   =   con st.  Z  tego  wzglę du  (4.6)  należy  prze- O  N IEUSTALON EJ  D YF U ZJI TLEN U   W  PROCESIE SPALANIA 423 kształ cić w  ten sposób,  aby  i  on o  odn osił o się   do  ziarn a  o  stał ym promieniu. Odpowiednie przekształ cenie  daje ( 4 7)K  J dGw(T)  =   - AnĄ AD w  J exp  ( - - ^ °Ł AD  T l T . r 0 Q w ctl+r Q A Cał kują c  je  i  zachowują c  warun ek  G w(0) =   0  otrzymuje  się : 1 (4 . 8 ) yl) ~   l n 6w  / ' o P odstawiają c  równ an ia  (4.4)  i  (4.8)  do  (4.1)  otrzymuje  się   szukany  stosunek (4.9) Pc OB 6a t A /• „/   3AD In  1 1 - W 2 0   3 0 R/ ra 50 R ys.  3.  Wykresy  (K/ r 0 )  dla r 0   =   0,1  przy  róż nych A C zraczcn ia  kl2jv.ych :  J—A  m  1,  2 —  A  -   10,  J —/ I  =   30,  4 — A  =  50,  5 —  A  =   100,  6 —  A  = 2 0 0 Wobec  wykazanej  uprzedn io  równoś ci  (3.11)  równ an ie  (4.9)  przybiera  prostą   postać 1 w. (4.9.1)

  C O 2 ; liniami  a2,  b2  —  to  samo  dla  czystego  tlen u  (v0  =   1); a  linia- mi  a 3 ,b 3   —  również dla czystego  tlenu, ale z uwzglę dnieniem  tylko reakcji  C + V2  °2  - * C O. Jak  widać  n a  rys.  2,  przy  stosowanych  obecnie  wartoś ciach  a,  c O p , A  (obszar  n a  prawo od  linii  a 2 ),  wpł yw  nieustalenia  dyfuzji  tlen u  n a  czas  spalania  ziarn a  nie  przekracza  kilku Ł 0 10000  4 1000  3 100  1 10  1 '  1  0 Wę giel  elektrodow;/ Antracyt • — , Wę giel  brunatny 0,0005 1973 0.0006 1773  1573 0,0007 0,0008 f1373  1173 Rys. 4. Wartoś ci kjD  =  A  we współ rzę dnych  Arrheniusa  dla róż nych paliw procen t,  nawet  dla  bardzo  duż ych  ziaren  (r 0   =   1000^).  D la  mniejszych  ziaren,  te  róż nice są   odpowiednio  mniejsze.  P rzykł adowo, jeż eli  przy  A  =   10,  Rjr Q   =  50,  dla  r 0   =   1000/ *,   =  0,985 przy  tych  samych  wartoś ciach A  i R/ r 0 .  N atom iast przy  spalaniu  w  czystym  tlenie  (obszar  n a  prawo  od  linii  b 2 ),  zwł aszcza  z  uwzglę dnieniem reakcji  tworzenia  CO  (obszar  n a  prawo  od  linii  Z>3),  bł ą d  w  wartoś ciach  czasu  spalan ia może  przekroczyć  10%,  przynajmniej  dla  duż ych  ziaren. 5. Wnioski Z  przeprowadzonej  analizy wynika,  że przy  stosowanych  obecnie w  pł om ieniu  pył owym wartoś ciach  T ,  ot, c Qv ,  r 0 ,  wpł yw  nieustalenia  dyfuzji  tlenu  n a  czas  spalania  ziarn a  jest niewielki  i  może  być  pominię ty. Ewentualne róż nice w  czasach  spalania,  nawet  dla  bardzo duż ych  ziaren  rzę du  1000/<,  nie  przekraczają   kilku  procen t,  co  wobec  mał ej  dokł adn oś ci podobnych  obliczeń  jest  wartoś cią   cał kowicie  dopuszczalną .  U wzglę dnienie  dyfuzji  nie- ustalonej  bę dzie  n atom iast  uzasadnione  w  przypadku  bardzo  duż ych  ziaren,  stosowan ia powietrza  wzbogaconego  tlenem, przy  wysokich  tem peraturach procesu  i duż ych  energiach O  N IEUSTALON EJ  D YF U ZJI TLEN U  W PROCESIE SPALANIA  4 2 5 aktywacji.  W  takim  przypadku:  bł ą d  wynikają cy  z  przyję cia  dyfuzji  ustalonej  może  prze- kroczyć  10%. Ogólnym  wnioskiem  z  przeprowadzon ych  rozważ ań  jest,  że  w  analizie  spalania  ziarna wę glowego  równ an ie  dyfuzji  nieustalonej  z  warun kiem  brzegowym  odpowiadają cym spalaniu  może  być  zastą pione  równ an iem  dyfuzji  ustalonej  z  tym  samym  warunkiem i  odpowiednimi  równ an iam i  bilansowymi,  okreś lają cymi  zmienność  w  czasie  wielkoś ci dyfundują cej.  P rzykł adam i  zadań ,  do  których  powyż sze  uproszczenie  się   odnosi,  są : teoria  pł omienia pył owego  wg  koncepcji  Thrin ga  i  Essenhigha;  wyznaczanie  stał ych kine- tycznych  n a  podstawie  spalan ia  ziarn a  w  zam knię tym  n aczyn iu;  analiza  spalania  ziarna przy  skoń czonych  wartoś ciach  a,  uwzglę dniają ca  reakcje  wtórne. Literatura cytowana w tekś cie 1. M . W.  TH R I N G , W. W.  ESSEN H IG H ,  T hermodynamics  and  kinetics of  combustion of solid fuel, Chemistry of  Coal  U tilization,  John  Wiley,  N . Y.,  London  1963, 754- 772. 2. M.  ZEMBRZUSKI,  O stosowaniu  kinetyczno- dyfuzyjnej  teorii spalania  wę gla  do zagadnień pł omienia  pył o- wego, I I Konferencja  Kotł owa,  Zeszyty  N aukowe  Poi.  Wrocł awskiej,  nr 172, Energetyka  VII,  23- 32. 3. M. ZEMBRZUSKI,  Urzą dzenie  do wyznaczania  czasu zapł onu i spalania  ziaren pył u wę glowego,  Zgł oszenie patentowe  P- l 19347. 4. L. A.  VU LIS,  T hermal  regimes of  combustion, M cG raw- H ill,  N . Y.  London  1961, (przekł .  z j .  ros.). 5.  XH TPH H   JI . H . :  H S B . AH   C C C P .  O T H . ;  4  (1953),  543- 561. 6. D . A.  F RAN K- KAMEN ETZKI,  Stoff-   u.  W armeiibertragung  in der  chemischen  Kinetik, Springer- Verlag, Berlin  1959 (przekł . z j . ros.). 7.  KAHTopoBiw  B. B.j  Beedeuue e  meopuio eopenux u  lasufiuKauuu  meepdoio  momma,  MOCKBB 1961. P  e 3  IO  M e O  H E yC TAH OBH BI H E fł C fl  H H fl > *y3 H H   KHGJIOPO,H,A. B ITPOLIECCE  C rOP AH H fl 3E P H A O6cy>KflaeTca  H eycTanoBH BmeiicH  fln4>4>y3H H  KHCjiopofla  B npon,ecce  cropaHHH B  pH fly  HBJMiomeMcn  pem em ieM   9Toro  ypaBHeHHH,  pocTaTomiO  coxpaneH H e  TOJIŁKO  n epBo ro 3a ieM ,  HCXOflH   113 SToro  yTBepwflenH H j  flOKa3bisaeTCH ,  *ITO  BJiHHHHeiu H eycTanoBH BmerocH   xap ai«ep a KH CJiopo^a n a n p o iiec c  cropaH H H  ( n p « Tex TeiyinepaTypax  ii KoimeHTpaqHHX, KaKne  Bcrpeija- B  nTjineBbrx  lyiaM eH nx)  MO>KHO  npeH e6pe^tb.  T O J I L K O  n p n OHCHB  BLICOKH X  TeiwnepaTypax  n poqecca H   n pH  6ojn>irtOH   KOimeiiTpau;HH   KHCnopofla  M0HKeHHH   o TOM, *ITO  flH dpdpy3H H B  3epHO  HiweeT  ycTaHOBHBOiHHCH  xapaKTep.  3 T O cnpaBennH BO  KaK  n o  OTHOŁUCHHIO  K  MOflejm (cornacH O  KOHî enqHH   T p n H r a  H  3 c c e n xn r a  [ 1] 5 Tan H  n p n onpeflejieHHH   cyMMapHbix KOHcraHT  yrjiH   Ha ocHOBe  BpeineHH   cropaH H H   3epim  B 3awKHyT0M   cocyfle)  corjiacHO npefljioH