Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS68\MTS68_t6z1_4_PDF\mts68_t6z4.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

4,  6 (1968)

N OŚ N OŚĆ  G RAN ICZN A ROZ CIĄ G AN YCH   OSIOWO- SYM ETRYCZN YCH
P R Ę T ÓW  OSŁABION YC H   SZ E R E G I E M  KARBÓW  KĄ TOWYCH

LECH   D I E T R I C H ,  KAROL  T U R  S K I  (WARSZAWA)

1. Wstę p

Jak  wykazał   H I L L  [1],  przy  zał oż eniu  warun ku  plastycznoś ci  H ubera- M isesa  otrzy-
muje  się   dla  osiowo- symetrycznego  zagadnienia  niehiperboliczny  ukł ad  równ ań ,  którego
nie  udaje  się   rozwią zać.

N atom iast  SH IELD   [2] uzyskał  efektywne  rozwią zanie  dla  przypadku  walcowego stempla
wciskanego  w  pół przestrzeń  przy  zał oż eniu  warun ku  plastycznoś ci  Treski.  W  pracy  [4]
stwierdzono,  że  rozwią zanie  to  odpowiada  liczbowo  z  przeciwnym  znakiem  przypadkowi
rozcią gania.

N astę pn ie  przy  tych  samych  zał oż eniach, jakie  poczynił   Shield,  opublikowano  [5]
rozwią zania  dla  rozcią ganych  prę tów  osł abionych  wycię ciami  o  róż nych  kształ tach
zajmują c  się   gł ównie  oceną   n oś n oś ci  granicznej.

W  niniejszej  pracy  w  oparciu  o  warunek  Treski  i  stowarzyszone  prawo  pł ynię cia po-
dan o  kom pletn e  graficzne  rozwią zanie  dla  osiowo- symetrycznego  rozcią ganego  prę ta
osł abionego  ką towym  wycię ciem  oraz  sposób  oszacowania  noś noś ci  granicznej  dla  prę ta
z  wieloma  ką towymi  karbam i  przy  róż nych  odległ oś ciach  mię dzy  nimi  i  przeprowadzono
doś wiadczalną   weryfikację   uzyskanych  rozwią zań.

2. Zasadnicze równania

Rozwią zanie  problem u  osiowej  symetrii  jest  okreś lone  przez  cztery  skł adowe  tensora
n aprę ż en ia  i  dwie  skł adowe  prę dkoś ci  pł ynię cia.  Przez  wprowadzenie  postulatu  peł nej
plastycznoś ci  H aara- K arm an a,  warun ku  plastycznoś ci  Treski  i  stowarzyszonego  z  nim
prawa  pł ynię cia  dla  m ateriał u izotropowego  i  idealnie  plastycznego  moż na  najpierw  roz-
wią zać  ukł ad  czterech  równ ań  okreś lają cych  naprę ż enia,  a  nastę pnie  z  warunku  izo-
tropii  i  warun ku  nieś ciś liwoś ci  okreś lić  dwie  skł adowe  prę dkoś ci  pł ynię cia.

W  przypadku  rozcią gania,  stan  n aprę ż en ia  bę dzie  wię c  odpowiadał  pun ktom  leż ą cym
n a  krawę dzi  pryzmy  odwzorowują cej  warun ek  plastycznoś ci  Treski  w  przestrzeni naprę ż eń
gł ównych,  dla  której  prę dkoś ci  odkształ ceń bę dą   speł niał y  nastę pują ce  nierównoś ci:

(2.1)  8 i > 0 ,  e 2 < 0 ,  e 3 < 0 .

Przy  zał oż eniu  a
t
  >  a

2
  stan  naprę ż enia  bę dzie  speł niał   zależ noś ci:

(2.2)  oi—<r2 =   2k,



438  L.  D IETRICH ,  K.  TU RSKI

Wprowadzają c  dwa  param etry  p,  ft,  których  znaczenie  podan e  jest  n a  rys.  1  otrzy-

muje  się   podan e przez  SH IELD A  [2] równ an ia  charakterystyk  i  zależ noś ci,  które  muszą   być

wzdł uż nich speł nione

- 7 - = t g#   dp—2kd&—-   ( sin#- - cos  # )is K  =   0  dla  rodziny  a

(2. 3)
dz  k
—.  =  —ctg#   dp+2kd&+  —  ( —sin # + c o s &)ds

p
  =  0  dla  rodziny /S.

P o  przekształ ceniu  równ ań  dla  prę dkoś ci,  m oż na  w  prosty  sposób  wykazać,  że  ich
linie  charakterystyczne  pokrywają   się   z  charakterystykam i  dla  naprę ż eń.

Rys. 1

Oznaczamy  przez  w  prę dkość  w  kierunku  osi  z,  przez  u  prę dkość  w  kierun ku  r,  przez
U  i  W  oznaczymy  odpowiednio  prę dkoś ci  wzdł uż linii  a i /?.

Wówczas  zależ noś ci  mię dzy  tymi  prę dkoś ciami  bę dą   nastę pują ce

(2.4)  U =  u c o s# + w sin # ;  W   —  w cos&—u sin??

i  zależ noś ci  odwrotn e:

(2.5)  u —  U c o s # -   W  sin??;  W =  U  si n # +  W  cos??.

Analogicznie  jak  dla  naprę ż eń  uzyskuje  się   również  zwią zki  dla  prę dkoś ci  wzdł uż
charakterystyk

dU— W d$ =   — —ds
a
  dla  rodziny  a,

(2.6)

dW +  Ud&=- ^ ds
p
  .dla  rodziny  0.

U kł ady równań róż niczkowych dla naprę ż eń  i  prę dkoś ci  [2.3];  [2.6]  m oż na  rozwią zać
przy  konkretnych  problem ach  brzegowych  n a  drodze  num erycznej.

W  niniejszej  pracy  w  obszarze  pł ynię cia obliczenia  wykon an o  za  pom ocą   arytm om etru
elektrycznego,  n atom iast przedł uż enie w  obszar  sztywny  oraz  h odograf  wykon an o  m etodą
graficzną   zapropon owan ą   przez  M R O Z A  [6].



N O Ś N O ŚĆ  G R AN I C Z N A  R O Z C I Ą G AN YCH  OSIOWO- SYM ETRYCZ N YCH  P R Ę T ÓW  439

3.  R ozwią zan ie  dla  n aprę ż eń

Rozwią zanie  dla  rozcią ganego  osiowo- symetrycznego  prę ta  osł abionego  ką towym
wycię ciem  o ką cie  n achylen ia tworzą cej  co =   45°  rozpoczynam y  od powierzchni  swobodnej
karbu,  n a  której  m am y  okreś lone  naprę ż eniowe  warun ki  brzegowe.  N a  krawę dzi  A- B
(rys.  2) mamy  dan e  kierun ki  i wartoś ci  n aprę ż eń gł ównych:

a
x
  =   2/c oraz  ką t  &  =   0°.

Posł ugują c  się   róż nicowymi  zwią zkami  rekurencyjnymi  wyprowadzonymi  z  równań
(2.3)  moż emy  w  obszarze  A3B  rozwią zać  zagadnienie  C auchy'ego.  N astę pnie  okreś lamy
linie  charakterystyk  oraz  wartoś ci  p  i $  w  obszarze  ,434.

C  8  14

Z agadnienie  mieszane  jest  okreś lone  przez  wartoś ci  p  i  • &  n a  linii  AA  oraz  wartość
$  =   JT/ 4 n a  linii  AC.

C harakterystyka  a, kt ó r a  przechodzi przez  począ tek  ukł adu  r,  z  okreś la  n am poł oż enie
pun ktu  B  n a  swobodnej  krawę dzi  karbu.  D la  okreś len ia  minimalnych  wymiarów  czę ś ci



440  L.  D IETRICH , K.  TU RSKI

prę ta poza  karbem zbudowan o przedł uż enie  pola  naprę ż eń, które"'speł nia równ an ia równ o-
wagi,  warunki  brzegowe  i  nie  przekracza  warun ku  plastycznoś ci.

N a  linii  a- BC  mamy  dane wartoś ci p  i • &,  n atom iast z  warun ku  symetrii  m am y  okreś lo-
ny  ką t  #   =   n/ 4  n a  osi  z.  D an e  te  pozwalają   okreś lić  pole  n aprę ż eń  w  cał ym  obszarze
BCEG.  W  pobliżu  osi  symetrii  zależ noś ci  wzdł uż  charakterystyk  (2.3)  po  rozwinię ciu
upraszczają   się   do  postaci:

dp—4- k d§  =   0  dla  rodziny  a,

dp- \ - 4k  d$  =   0  dla  rodziny  §.

P un kt  G  jest  począ tkiem  linii  niecią gł oś ci  naprę ż eń  i  jest  okreś lony  przez  przecię cie
się   dwóch  charakterystyk  wychodzą cych  z  pun któw  B  oraz  3.  M ają c  dane  wartoś ci  p  i  #
na  linii  BG  oraz  warunek,  że  na  swobodnej  powierzchni  panuje  stan jedn oosiowego  roz-
cią gania,  a  wię c  p  =  k,  moż emy  okreś lić  poł oż enie  linii  BF.  Wychodzą c  z  pun ktu  F,
w  którym  styczna  do  linii  BF  jest  równoległ a  do  osi  z,  ograniczamy  przedł uż enie  pola
naprę ż eń  powierzchnią   niecią gł oś ci  FE  budowaną   w  ten  sposób,  że  po n ad nią   panuje  stan
jednoosiowego  rozcią gania  lub  ś ciskania.  Wartoś ci  tych jedn oosiowych  n aprę ż eń są  podan e
na  rys.  2 jako  wielokrotnoś ci  stał ej  materiał owej k.  Linie niecią gł oś ci  są   oznaczone liniam i
przerywanymi.

N a  podstawie  tak  okreś lonego  pola  n aprę ż eń  moż emy  wyznaczyć  wartość  współ -
czynnika  zwię kszenia  noś noś ci  granicznej,  który  jest  zdefiniowany  jako  stosunek

R

(3- 2)  / =

gdzie  R jest  promieniem najmniejszego  przekroju.
D la  prę ta z  karbem  o ką cie  wycię cia  2co  =   90°  współ czynnik  ten  wynosi / 4 5 O  =   1,953.
Obliczają c  wypadkowe  sił y  w  najwę ż szym  przekroju  karbu  oraz  powierzchni  nie-

cią gł oś ci  EF  moż emy  ocenić  dokł adn ość  numerycznego  okreś lenia  pola  charakterystyk.
W  omawianym  przypadku  wielkość tych  sił  róż niła  się   o  2%.  W  rozwią zaniach  podan ych
przez  SH IELD A  [2]  oraz  EASON A  i  SH IELD A  [3]  wykon an ych  n a  maszynie  liczą cej  an alo-
giczna  róż nica  wynosił a  odpowiednio  1% i  3,5%.

N a  podstawie  przedł uż enia  w  obszar  sztywny  moż emy  okreś lić  m inim alną   wielkość
dwu  param etrów  geometrycznych,  niezbę dną   do  realizacji  rozwią zania  ograniczonego
charakterystyką   B34C.

Są  t o :
—  ś rednica czę ś ci  cylindrycznej  prę ta,
—  dł ugość  CE.
D la  obliczonego  przypadku  param etry  te  odniesione  do  prom ien ia  R  wynoszą :

(C/ R)
45
°  =   1,95;  (/ / i?)45° =   2,34.  Wykorzystują c  wyniki  uzyskan e  w  pracy  SH IELD A  [2]

dla  karbu  szczelinowego  (co =   0),  moż emy  zbudować  wykres  zależ noś ci  CjR  oraz  l/ R
w  funkcji  ką ta  w  (rys.  3).  Rzę dne  wykresu  C/ R  są   wię ksze  od  analogicznego  wykresu
uzyskanego  w  sposób  przybliż ony  w  pracy  [7]. N ajwię ksza  róż n ica  wystę puje  dla  co =   0°
i  wynosi  8,1%.

M ają c  rozwią zanie  dla  prę ta  osł abionego  pojedynczym  wycię ciem  moż emy  ł atwo
okreś lić  takie  najmniejsze  wymiary  prę ta  z  szeregiem  analogicznych  wycię ć,  ż eby  jego



N OŚ N OŚĆ  G RANICZNA  ROZCIĄ GANYCH   OSIOWO- SYMETRYCZNYCH  PRĘ TÓW 441

15°  30°  45"  ~B0°  75°  W "
to  **

Rys. 3

Rys.  4

n oś n ość  graniczna  nie  był a  mniejsza  od  noś noś ci  granicznej  prę ta  z  pojedynczym  karbem.
Zestawiają c  mianowicie  dwa  symetryczne  rozwią zania  (rys.  4)  otrzymuje  się   tę   niezbę dną
najmniejszą   odległ ość  m ię dzy  dwom a  wycię ciami.  M ię dzy  liniami  niecią gł oś ci  EF  panuje
stan jednoosiowego  rozcią gania  lub  ś ciskania.



442  L.  D IETRIC H , K.  TU RSKI

4. Rozwią zanie dla prę dkoś ci

Przyjmujemy,  że  pł ynię cie m ateriał u odbywa  się   w  polu  ograniczonym  liniam i  AC43B
(rys.  2).  P unktem  wyjś cia  do  okreś lenia  prę dkoś ci  pł ynię cia  są   warun ki  brzegowe,  jakie
muszą   być  speł nione w  otoczeniu pun ktu  C. Z agadnienie to był o szczegół owo  dyskutowane
przez  SH IELD A  [2].

Przyjmijmy,  że  czę ść  sztywna  n ad  linią   B34C  porusza  się   z  prę dkoś cią   o  skł adowych
równych  u  =  0,  iv  =   1.  Wykorzystują c  warunek  cią gł oś ci jaki  musi  być  speł niony n a  linii
B34C  otrzymujemy  z  równania  (2.4),  że  prę dkość  n orm aln a  do  tej  linii  bę dzie  równ a
W   =   cos??.  Wstawiają c  to  do  zwią zku  (2.6),  który  musi  być  speł niony  wzdł uż  linii  oraz
wykorzystują c  (2.5)  i  zależ ność  ds

x
  =  dr/ cosfi  otrzymujemy  równ an ie  róż n iczkowe:

(4.1)

którego  rozwią zaniem  jest

djU- sinti)
U—sinft

dr
~2r

}

(4. 2)

21

Aż eby  prę dkość  U  był a  skoń czona  dla  r  =   0  stał a  A  musi  być  równ a  zeru.  Wzdł uż
linii B34C  otrzymujemy  wię c:

W  pobliżu  osi  symetrii  charakterystyki  nachylone  są   pod  ką tem  45°,  a  wię c  panują
tam warunki  podobn e ja k  w  przypadku  rozcią ganego  gł adkiego  prę ta, dla  którego  istnieje



NOŚ NTOŚĆ G RAN ICZN A  ROZCIĄ G AN YCH  OSIOWO- SYMETRYCZNYCH   PRĘ TÓW 443

rozwią zanie  w  postaci  zam kn ię tej  [2].  Korzystają c  z  tych  zależ noś ci  otrzymujemy  dla

rm n ktu  8  prę dkoś ci:pu n kt u  8  prę dkoś ci:

u  = W = 0.

M ają c  wartoś ci  prę dkoś ci  n a linii  B34C  moż emy  wykreś lnie  m etodą   hodografu  [6]  wyzna-

czyć  prę dkoś ci  w  cał ym polu  pł ynię cia.

P rę dkoś ci  danego  pu n kt u  siatki  linii  poś lizgu  są   odwzorowane  n a rys.  5 przez  wektory
ł ą czą ce  biegun  0  z  odpowiedn im  pu n kt em  hodografu.  M ają c  okreś lone  pole  prę dkoś ci
moż emy  obliczyć  prę dkoś ci  odkształ cen ia  wzdł uż  kierun ków  gł ównych  i  sprawdzić  nie-
równoś ci  (2.1).  Stwierdzono,  że  nierównoś ci  t e  są   speł nione w  cał ym  obszarze.

Z prę dkoś ci  odkształ ceń i n aprę ż eń gł ównych  obliczono  ze wzoru  D  =  a^ i  (i =   1,2,3)
m oc  dysypacji  dla kilku  pun któw pola pł ynię cia  i  stwierdzono,  że  jest  wszę dzie  dodatn ia.
M iejsca  te,  zakreskowan e  n a  rys.  2,  t ak  wybran o,  aby  dokon ać  sprawdzenia  w  każ dym,
jakoś ciowo  róż n ym  obszarze  pola pł ynię cia.

5.  Wyniki  doś wiadczeń

D oś wiadczenia  miał y  n a  celu  weryfikację   podan ych  rozwią zań  i  oszacowań  noś noś ci
granicznej  dla  prę tów  z  dwom a  ką towymi  wycię ciami  o  zmiennej  odległ oś ci  mię dzy  nimi.
Z badan o  17  próbek  podzielon ych  n a  dwie  serieO),  wykonanych  ze  stopu  aluminium
(PA6  w  stanie  pół twardym ). N a  rys.  6 przedstawiono  zasadnicze  wymiary  próbek  w  mili-
m etrach .  D la  wszystkich  prę tów  ś rednica  dn a  karbu  był a  stał a,  stosunek  CjR  wahał   się
w  granicach  1,95- 1,97.

P róbki  m ocowan o  za  pom ocą   przegubów  kulowych  n a  uniwersalnej  hydraulicznej
maszynie  wytrzymał oś ciowej.  D o  pom iaru  odkształ ceń  uż yto  mechanicznego  ekstenso-
m etru typu AM SLE R  o najmniejszej  podział ce 0,01  m m  i  mocowanego  do  próbki  n a  bazie
pom iarowej  120  m m .

90"

32 21
215

Rys. 6

N a  wykresie  (rys.  7)  po dan o  przykł adowo  począ tkowe  czę ś ci  krzywych  rozcią gania
dla  jednej  serii  próbek.  Strzał kam i  oznaczono  wartość  n aprę ż eń  gdzie  tangens  nachylenia
stycznej  do  krzywej  rozcią gania  wynosi  0,275(2)  wartoś ci  tangensa  pochylenia  krzywej

(') Poszczególne  serie  wykonane  był y  z  innych  prę tów,  których  wł asnoś ci  mechaniczne  róż niły  się
nieznacznie  (rys.  7).

(2) Jako  kryterium  wyboru  wartoś ci  0,275  przyję to  najlepszą   zgodność wyników  dla obu  serii.



444 L.  D IETRICH ,  K.  TU RSKI

w  zakresie  sprę ż ystym.  Wielkoś ci  tych  naprę ż eń  n an iesion o, jako  m ał e  kół eczka n a  rys.  8
w  funkcji  stosunku  l/ R.

Przy  zmniejszeniu  odległ oś ci  21  po  przekroczeniu  wartoś ci  teoretycznej  l/ R  =   2,34
zaznacza  się   wyraź ny  spadek  noś noś ci  granicznej  próbek.  Przy  dalszym  n atom iast zmniej-

P/ fh
kB- mm'

2

10

Rys. 7

4 / o
kG- mm'

2

szeniu  wymiaru  11 dla  wartoś ci  l/ R  <  ~  0,5  nastę puje  zwię kszenie  noś noś ci  granicznej.
Z auważ ono  przy  tym  zmianę   mechanizmu  zniszczenia.  D la  próbek  l/ R  >  1  zniszcze-
nie  nastę powało przez  rozdzielenie  wzdł uż  najmniejszej  ś rednicy  jedn ego  z  wycię ć,  a  dla



N OŚ N OŚĆ  G RANICZNA  ROZCIĄ GANYCH   OSIOWO- SYMETRYCZNYCH   PRĘ TÓW 445

próbek  o  stosunku  0  <  IJR <  1  przez  rozdzielenie  n a  powierzchni  stoż kowej  leż ą cej
mię dzy  karbam i.

N a  rys.  8  liniam i  cią gł ymi  okreś lono  wartoś ci  teoretycznych  oszacowań  noś noś ci
granicznej  uzyskanych  w  tej  pracy.

6. Ocena noś noś ci  granicznej

Posł ugują c  się   otrzym an ym  rozwią zaniem  dla  karbu  pojedynczego  m oż na  uzyskać
kom pletn e  rozwią zanie  dla  prę ta  z  szeregiem  ką towych  wycię ć,  o  ile  stosunek  IJR i  CjR
nie jest  mniejszy  od  pewnej  wielkoś ci  zależ nej  od  ką ta  wycię cia  co.  Wpł yw  wielkoś ci  CjR
n a  n oś n ość  graniczną   dla  prę ta  z  pojedynczym  ką towym  wycię ciem  był  badany  w pracach
[5,  7]  gdzie  p o d an o  sposób  oszacowania  noś noś ci  granicznej.  Wnioski  wysnute  tam  są
oczywiś cie  prawdziwe  również  dla  prę ta  z  szeregiem  wycię ć  w  przypadku  zbyt  mał ych
wartoś ci  C/ R.

Obecnie  zajmiemy  się   okreś leniem  górnej  i  dolnej  oceny  noś noś ci  granicznej  prę tów
z  kilkom a  wycię ciami  o  ką cie  90°  umieszczonymi  blisko  siebie  (0  <  1/ R  <  2,34)  przy
zał oż eniu,  że  wartość  C/ R  jest  wystarczają ca.  Oceny  te  odnoszono  do  noś noś ci  próbki
z  pojedynczym  karbem  (na rys.  7  krzywa  I/ R =   0).  D la  danej  wartoś ci  IJR  w  granicach
1,1  <  IJR <  2,34  ja ko  dolną   ocenę  noś noś ci  granicznej dla  prę ta  z  wycię ciami  o  ką cie 2a>
przyję to  n oś n ość  graniczną   prę ta  z  wycię ciami  o  takim  najwię kszym  moż liwym  ką cie
2a>!,  dla  którego  udaje  się  jeszcze  zbudować  kom pletn e rozwią zanie  (rys.  9).

Ryg.  9

G dy  odległ ość mię dzy  karbam i jest  bardzo  m ał a,  m oż na uzyskać  dolną   ocenę  noś noś ci
granicznej  przez  wpisanie  mię dzy  zewnę trzne  tworzą ce  wycię cia  takiego  najmniejszego
prom ien ia  r, ż eby  ł uk DE  obejmował   ł uk wpł ywu  dla  pun ktu  F  (rys.  10,  11). W  tym  przy-
padku  n oś n ość  graniczna  dla  prę ta  z  pojedynczym  koł owym  wycię ciem  o  promieniu  r
bę dzie  dolną   oceną   noś noś ci  granicznej  dla  prę ta  z  dwoma  blisko  umieszczonymi  karbam i
ką towymi.

U zyskano  praktyczn ie jedn akowe  dolne  oceny  otrzym ane w  oparciu  o  rysunki  10  i 11,
przy  czym  w  tym  ostatn im  przypadku  współ czynnik  zwię kszenia  noś noś ci  granicznej  /
odn oszon o  do  ś rednicy  2R  dla  karbu  ką towego.

Z a  pom ocą   wykresu  z  rys.  12  moż emy  ł atwo  okreś lić  zarówno  promień  r  speł niają cy
podan y  wyż ej  warun ek,  ja k  i  współ czynnik  /   zwię kszenia  noś noś ci  granicznej  dla
prę ta  z  koł owym  wytoczeniem .



446 L  D IETRICH ,  K.  TU RSKI

G órną   ocenę   noś noś ci  granicznej  dla zbyt  mał ych  wartoś ci  l/ R m oż na  uzyskać  z roz-
wią zania  ograniczonego  linią   B34C  (rys. 2), które jest przecież  kinematycznie dopuszczalne
o  ile  stosunek  l/ R nie jest  mniejszy  od 0,525,  kiedy  to  rozwią zanie  dla jedn ego  wycię cia
n akł ada  się   n a  rozwią zanie  dla  wycię cia  są siedniego.  D la  wartoś ci  0,35 <  IJR <  1,3

Rys. 10

\
\

\
\ V

Rys. 11

90'

BO'

3 0 '

0,4  0,8  1,2  1,6  2,0

Rys. 12

lepsze górne  graniczne  obcią ż enie  moż na otrzymać zakł adają c, że zniszczenie  prę ta  nastą -
pi  przez poś lizg w pł aszczyź nie A- A  (rys.  13), której ką t  nachylenia do  osi  r jest  okreś lony
jako y  =   arctg l/ R.



N OŚ N OŚĆ  G RANICZNA  ROZCIĄ GANYCH   OSIOWO- SYMETRYCZNYCH  PRĘ TÓW 447

Rys.  13

D la  0  <  l/ R  <  0,35  jako  górną   ocenę   przyję to, rozwią zanie  dla  karbu  z  pojedynczym
wycię ciem  o takim samym ką cie  co.  Wartoś ci  uzyskane  z tego  rozwią zania  są   w tym  zakresie
n a  pewno  wię ksze  od  rozwią zan ia  ś cisł ego  dla  prę ta  osł abionego  dwoma  karbam i.

7.  Wnioski

P rzeprowadzon e  w  ram ach  mniejszej  pracy  badan ia  dla  prę tów  z  karbam i  ką towymi
wykazał y,  że  propon owan e rozwią zania  teoretycznie  odpowiadają   pod  wzglę dem  jakoś cio-
wym  i  iloś ciowym  wyn ikom  doś wiadczalnym.

P odan e  wykresy  param etrów  geometrycznych  C/ R  oraz  l/ R  (rys.  3) wraz  z  wykresem
współ czynnika /   charakteryzują cym  noś ność  prę ta  [7]  pozwalają   n a  szybką   ocenę   opty-
m alnych  wymiarów  kon strukcji  tego  typu.

D la  okreś lenia  noś noś ci  granicznej  w  zakresie  0  <   1/ R  <  (/ / i?),ni„   (gdzie  {l/ R)mln
oznacza  wartość  z  rys.  3) należy  znaleźć podan ym i t u  m etodam i ocenę  górną   i  dolną .

Z astosowany  w  niniejszej  pracy  sposób  postę powan ia  może  być  wykorzystany  przy
okreś laniu  noś noś ci  granicznej  prę ta  z  wieloma  jedn akowym i  wycię ciami  o  dowolnym
kształ cie.  P raca  pozwolił a  stwierdzić,  w  porówn an iu  do  analogicznego  zadania  wykony-
wanego  za pom ocą  maszyn  liczą cych  [2,3],  przydatn ość i wystarczają cą   dokł adność metody
wykreś lnej  [6].

Autorzy  dzię kują   doc.  dr  W.  SZCZEPIŃ SKIEMU   za  zasugerowanie  tem atu  i  dyskusje
w  toku  pracy.

Literatura  cytowana  W tekś cie

1.  R. H I LL,  T he  mathematical theory  of  plasticity, Oxford 1950.
2.  R.  T.  SH IELD , On the  plastic flow  of  metals under conditions  of axial- symmetry,  Proc.  Roy.  So c,  233A,

N o  1193  (1955), 267- 287.
3.  G .  EASON ,  R.  T.  SH IELD ,  T he  plastic indentation  of  a semi- infinitive  solid by a perfectly rough  circular

punch,  Z AM P  11  (1960), 33- 43.
4.  F .  A.  M CCLIN TOCK,  On notch sensitivity,  Welding  Journal  Research  Supplement, May  1961.
5.  L. D IETRICH ,  W.  SZCZEPIŃ SKI,  Plastic yielding of  axially- symmetric  bars with non- symmetric  v- notch,

Acta  Mechanica, 4 (1967), 230- 240.
6.  Z .  M R Ó Z ,  Grafical  solution of  axially  symmetric problems  of  plastic flow,  ZAMP,  18  (1967), 219- 236.
7.  W.  SZCZEPIŃ SKI, L.  D IETRIC H ,  E.  D RESCH ER,  J.  MIASTKOWSKI, Plastic flow  of  axially- symmetric  notched

bars pulled in tension,  I n t .  J.  Solid,  Struct.,  2  (1966), 525- 541.



448  L.  D IETRICH , K.  TU RSKI

P  e 3  10  M e

CIIOCOEH OCTB  P AC TiirH BAE M BI X  U , H JI H H AP H ^E C KH X
CTEPKH EKI  OCJIABJ1EH H BIX  P flflOM   H A# P E 3O B

,D,aeTCfi  n on H oe  pem eH n e  3aflaqn  o  pacTawenH H   ipnnn- m piM ecKoro  cTep>i<HH   ocjiaSneH H oro  pn^OM
yraoBBix  naflpe30B.  ITy'reM   npoflonH<eiiHH   JI H H H H   CKOJiBH<eiiHH  B >KecTKyio  30Hy  HafifleHO  orrraiviajiLHoe
paccToairae  Me>Kfly  Haflpe3aiHH.  flnH   paccTOHHiiH  MeriLiUHX qeM   onTHManbi- iwe  ji;aHbi  H H >KH H H   H  BepxiM Ji
oqeHKH  n ecym eii  CIIOCOSH OCTH .  npon3Be,neH a  3KcnepnMeiiTą jiBHaH   n p o Bep n a  BJI H H H H H   paccioflH iiH   MC>K-
p,y  na/ j;pe3aMH   n a  n ecyin yio  cnocofiHocTB  cxepwH H .

S u m m a r y

LOAD - CARRYING   CAPACITY  OF  TEN SILE AXIALLY- SYM M ETRIC  BARS
WEAKEN ED  BY  SERIES OF  V- N OTCH ES

A  complete solution  of  axially- synunetric  bar  with  the series  of  V- notches  subjected  to  tension  is pre-
sented.  The  optimum distance between notches has  been  obtained  by  means  of  extension  of  slip  lines  into
the rigid  region. F or shorter distances than the extreme ones the upper and lower  bound of  the  load  carrying
capacity  is determined.

The  influence  of  distance  between  two  equal  notches  on  the  load- carrying  capacity  has  been  verified
experimentally.

IN STYTU T  P OD STAWOWYCH   P R OBLE M ÓW
TE C H N I KI  P AN

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia 20 grudnia  1967 r.