Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS68\MTS68_t6z1_4_PDF\mts68_t6z4.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4, 6  (1968) STAN  N APRĘ Ż EŃ  I P R Z E M I E SZ C Z E Ń  W TARCZY KOŁ OWEJ O STAŁEJ  G RU BOŚ CI, WYWOŁANY  I M P U LSE M   CIEPLN YM  N A WYCINKU  TARCZY  Aa JAN U SZ  L I P I Ń S K I,  JAN U SZ  Z I Ó Ł K O W S K I  ( Ł Ó D Ź ) 1. Podstawowe równania R ozpatruje  się   tarczę   koł ową   o  stał ej  gruboś ci,  podlegają cą   pł askiemu  stanowi  na- prę ż eń  osiowo- niesymetrycznych,  który  wywoł any  został   przył oż eniem  niejednorodnego pola  tem peratury  T (Q, 6)  n a  pł aszczyznach  bocznych  tarczy.  W  tym  przypadku  naprę ż e- Rys. 1 n ia  prom ieniowe,  obwodowe  i  styczne  w  tarczy  m oż na  okreś lić  nastę pują cymi  zależ noś cia- mi JE  \ du  u_  1  _to_]  1 r   (\ —v 2 )b  \ _dq  Q  Q  80  J  1— v nn  «   E   \ u  i  l *•   '   s  =   (l—v 2 )b E  /   1  8u  dv  v gdzie  b  —  prom ień  zewnę trzny  tarczy, Q  —  bezwymiarowa  współ rzę dna  biegunowa  prom ien ia  Q =  r/ b, ©  —  współ rzę dna  biegun owa  ką ta, dv 5* 472 J .  LlP I Ń SK I,  J .  ZlÓŁKOWSKI u  —  przemieszczenie promieniowe, v  —  przemieszczenie  obwodowe, E  —  m oduł   Youn ga, v  —  współ czynnik P oissona, X  —  współ czynnik  cieplnej  rozszerzalnoś ci  liniowej. Przyjmuje  się ,  że  dla  rozważ anego  zakresu  tem peratury  współ czynniki  E,  v,  X  są   stał e. Rys. 2 Równania  równowagi  wewnę trznej  tarczy  mają   postać  (rys.  2) (1.2) 8a,  . — cos («<9) P o zróż niczkowaniu wyraż enia  (2.3), raz wzglę dem  Q i  raz wzglę dem  0  i podstawieniu do  równ ań  (1.3), otrzym an o dla rozpatrywanego  zagadnienia  ukł ad równań  róż niczkowych 8 2 u  1  8u  u  j _ l - v  1  82u  l+v  1  82v  3—v  1  8v _ 2  ~~Q~  8Q80  2  ~Q8~9~~ 00  2 si n ' n = l nAa C 0 S (2.4) 1—v  \ 82v  .  1  dv  v I 3 - y  1  < 2  e 2  5 =   - 2 / 9 > 2  . N n= \ A* gdzie Rozwią zanie  ogóln e  ukł adu równ ań  róż niczkowych  (2.4) przewiduje  się  w  nastę pują cej postaci u(Q,  6)  = un(e) (2.5) n A a „  .  nAa 2  sin c o s 2 si n - l P odstawiają c  przewidywane  rozwią zania  ogólne  wyraż one  równaniam i  (2.5) do  ukł adu równ ań  róż niczkowych  (2.4)  otrzym an o 474  J.  LI P I Ń SKI, J. ZIÓŁKOWSKI a) dla zagadnienia  osiowo- symetrycznego  — ukł ad równ ań  róż niczkowych N du 0   1  du 0   u 0 (2.6) d \   |  1  dv0  v0  _ Q ^ którego  rozwią zania  ogólne  mają   postać N (2. 7) gdzie  C i, C 2, C 3, C 4 — stał e  znajdowane  z  warun ków  brzegowych  zagadn ien ia; b) dla  zagadnienia  osiowo- niesymetrycznego  —  ukł ad  równ ań  róż niczkowych  zwy- czajnych (2.8) 1  dv n   vĄ   v n   3- v  u n   1 + y  1 rfM„ Rozwią zanie  ukł adu  równ ań  róż niczkowych  (2.8) skł ada  się   z  rozwią zania  ogólnego ukł adu  równ ań  jedn orodn ych  oraz  rozwią zania  szczególnego  u kł ad u peł n ego. D la  ukł adu równ ań jedn orodn ych d 2 u  1  du  I  l- v  \ u  \ +v  1  dv„  3- v  p . 2  Je2  2  n  e  dQ (2.9) —v\ d 1 v n  :  1  dv„  v„\   2vn  3—v  u„ 2 rozwią zanie  m a  postać 2 j 1= 1 (2.10) 4 /-i gdzie JSln — stał e znajdowane  z warunków brzegowych  zagadnienia. Wykł adnik  potę gi  przy  Q okreś lony jest  zależ noś cią (2.11)  tu =   ( - l ) ' - i _ ( P - 5 / + 5 ) «,  n -   1, 2, 3,  . . . , / -   1, 2, 3, 4, STAN   N APRĘ Ż EŃ   I PRZEMIESZCZEŃ  W  TARCZY  KOŁOWEJ  475 a  współ czynnik (2  IT )  =   3 - V  '  ;  '"  2 ( Rozwią zania  szczególne  ukł adu  równ ań  róż niczkowych  (2.8)  znaleziono  w  nastę pu- ją cej  postaci a)  dla  k  =   1, 2,  3,  ... N   oraz  k  =   0  i  n  ź  2 gdzie *"  n2- (rjk+2f (2.14) b)  dla  k  =  0  i  «  =   2 1 =  | J  1 Otrzym an o  ostatecznie  rozwią zanie  ogólne  ukł adu  (2.4),  które  jest  rozwią zaniem w  przemieszczeniach rozpatrywan ego  zagadnienia. oo  r  4  N  - I " f o  ®) =   M o ( < ? ) + , / ;  ^ j  BlnQ''"- \ -  ^ j  Mftn (e)  COS  (ll0), ( 2 . 1 6 )  " = 1  L ' " 1  fc= ° oo  r  4   JV  "j 3. N aprę ż enia  w tarczy  koł owej, warunki  brzegowe  zagadnienia P odstawiają c  do  (1.1)  rozwią zania  w  przemieszczeniach  zagadnienia  osiowo- synietrycz- nego  (2.7)  oraz  osiowo- niesymetrycznego  (2.10) i  (2.13)  lub  (2.15)  otrzym ano  nastę pują ce wyraż enia  dla  n aprę ż eń  prom ieniowych,  obwodowych  i  stycznych  w  tarczy cos 476  J .  LlPIŃ SKI, J . ZlÓŁ KOWSKI \ 1 co  p  4 n = l £j\ ); dla  ?! =   2 EXT   27t\ 0,l K   '  *  0,7 dla  n  ^  2 1 • "—7p=) sin (Aa)  c o s( 20) ; EAT  ^ j  3, 5( «2~ 4) n = l dla  n  =   2 [- (3>5«2+ 3)5«- 40)e- 2+ "+ (3)5» 2+ 3,5«- 33)e» R ozkł ady  n aprę ż eń  w  wykon an ym  przykł adzie  liczbowym  dla  wycinka  tarczy  o  ką cie wierzchoł kowym  Aa, —  TI / 18  pokazan o  dla  n aprę ż eń  promieniowych  n a  rys.  3,  obwodo- wych  n a  rys.  4  i  stycznych  n a  rys.  5.  Obliczenia  przykł adu  ilustrują cego  podan ą   metodę wykon an o  n a  elektronowej  maszynie  cyfrowej  Z AM 2. i,  »<- łft* 0,2  0,Ą   0,6  018  1,0 STAN   N APRĘ Ż EŃ  I PRZEMIESZCZEŃ  W TARCZY  KOŁOWEJ  479 Literatura  cytowana  w  tekś cie 1. Procznost'  i deformacja  w  nierównomiernych  temperaturnych polach,  M I F I  Moskwa,  1962,  (praca  zbio- rowa). 2. B. E.  G ATEWOOD ,  T emperaturnyje  napriaż enia,IIL ,  Moskwa  1959. 3.  B.  SHARMA,  T hermal stress  in  infinites elastic discs, J.  Appl-   M ech., 23,  (1956),  4,  527. 4. J.  WEIN ER,  An  elastoplastic  thermal —  stress analysis of free  plate,  J.  Appl.  Mech., 23, (1956), 3, 395. 5. D . W.,  WAJN BERG ,  O. M .  R U BAC Z ,  Konstruktiwno  ortotropni  krugli plastini, Izd.  A.  N . U SSR,  Kijów 1959. P  e  3  JO  M  e H AITPiD KEH H OE C OC TOflH H E H  n E P E M E I U , E H H a  B flH CKE n O C T O ilH H O fł   TOJIH IH H LI, BBI3BAH H ŁIE  TE I U I OBBI M  H M n yjI L C O M   irp H JI O K E H H BI M   K  CEKTOPY  flH CKA B  pa6oTe  Ą aiOTCH   o 6 m a e  jtn- HpfbepeHijHaJibHbie  ypaBH emiflj  onncbiBaiom;H e n epein em en jra  B KpyroBom flriCKe H OCTOH H H OH   TOjimi- iHbi  Harpy>i