Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS68\MTS68_t6z1_4_PDF\mts68_t6z4.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

4, 6  (1968)

WYTRZYMAŁOŚĆ PŁYTY KOŁOWEJ JED N OSTRON N IE UŻ EBROWANEJ
POD D AN EJ ANTYSYMETRYCZNEMU  ZGINANIU

AN D R Z E J  M Ł O T K O W S K I  ( Ł Ó D Ź )

Waż niejsze oznaczenia

A
x
  — A

%
  stał e,

a  promień zewnę trzny pł yty,
5,  - r  Ą   stał e,

b  grubość  ż ebra,
b

0
  grubość  ż ebra  n a  prom ien iu zewnę trznym,

C1! - r-  C
s
  stał e,
c  prom ień wewnę trzny  pł yty,

D
o
  sztywn ość  obwodowa  pł yty,

D
r
  sztywn ość  prom ien iowa pł yty,

E  moduł  Younga,
F  powierzch n ia  przekroju  poprzecznego  ż ebra  przypadają ca  n a jedn ostkę   obwodu

pł yty,
F

x
  współ czyn n ik,

G  m o d u ł   sprę ż ystoś ci  postaciowej,
H

c
  wysokość ż ebra  n a prom ien iu wewnę trznym,

h  grubość  pł yty,
/   m o m en t bezwł adn oś ci  przekroju  ż ebra  przypadają cy  n a jedn ostkę   obwodu  pł yty,

M  m o m en t  obcią ż ają cy,
M

r
  m o m en t gną cy  prom ien iowy  przypadają cy  n a jedn ostkę   obwodu  pł yty,

M f l  m o m en t  gną cy  obwodowy  przypadają cy  n a  jedn ostkę  prom ienia,
M

r
e  m o m en t  skrę cają cy,

N
r
  sił a prom ien iowa  przypadają ca  n a jedn ostkę   obwodu  pł yty,

N
6
  sił a  obwodowa  przypadają ca  n a jedn ostkę  prom ien ia,
n  liczba  ż eber,

Qr>  Qg  sił y  t n ą ce  —  p r o m ie n io we  i  o bwo d o we ,
r  p r o m i e ń  bież ą cy  pł yt y,
S  ilo c zyn  m o d u ł u  Yo u n ga  i  m o m e n t u  st at yczn ego  ż ebra  wzglę dem  pł aszczyzn y

ś r o d ko wej  p r zyp a d a ją cy  n a je d n o st k ę   o b wo d u  pł yty,
T   sił a  st yc zn a  ( p o ł o ż o na  w  p ł aszczyź n ie  ś ro d ko wej  pł yt y) ,

U
o
  p r zem ieszc zen ie  p r o m ie n io we  pł aszczyzn y  ś ro d ko wej pł yt y  zależ ne  o d  p r o m ie n ia ,

u  p rzem ieszc zen ie  p r o m ie n io we ,
»o  p rzem ieszc zen ie  p r o m ie n io we  pł aszczyzn y  ś ro d ko wej p ł yt y,
V

o
  p rzem ieszc zen ie  o bwo d o we pł aszczyzn y  ś r o d ko wej  pł yt y  zależ ne  o d  p r o m ie n ia ,

v  p rzem ieszc zen ie  o bwo d o we ,
v

0
  p rzem ieszc zen ie  o bwo d o we  pł aszczyzn y  ś r o d ko wej  pł yty,

W   ugię cie p ł yt y  zależ ne  t ylko o d  p r o m ie n ia ,



482 A.  M Ł OTKOWSKI

w  ugię cie  pł yty,
z  współ rzę dna  okreś lają ca  odległ ość  rozpatrywan ego  p u n kt u  od pł aszczyzny  ś rod-

kowej,
a,  -~ a 8  stał e,

/S  wsp ó ł c z yn n i k ,
y

r g
  ką t odkształ cenia  postaciowego,

e
r
  odkształ cenie  prom ien iowe,

eg  odkształ cenie  obwodowe,
0  współ rzę dna  ką towa  rozpatrywan ego  p u n kt u ,
v  liczba  P oisson a,

Q  — rja  p r o m i e ń  b e z wym i a r o wy,
a,  n a p r ę ż e n ie  p r o m i e n i o we  w p ł yc ie ,
~a,  n a p r ę ż e n ie  w  ż ebrze,
GO  n a p r ę ż e n ie  o b wo d o we  w p ł yc ie ,

%
t
e  n a p r ę ż e n ie  st yc z n e  w p ł yc i e .

1.  W st ę p

Rozpatrywane  pł yty  koł owe  wzmocnione  ż ebrami  prom ieniowym i  i  obcią ż one  w  spo-
sób  podan y  na  rys.  1  spotykane  są   w  szeregu  konstrukcji  maszynowych,  ja k  n p . :  d n a
bę bnów  linowych,  mł ynów kulowych  czy  bę bn ów  suszarek.

M

1 H

R ys. 1

Jeż eli  pł yta  wzmocniona  jest  gę sto  rozstawionymi  ż ebram i,  m oż na  traktować  ją   ja k o
ortotropową   (ortotropia  konstrukcyjna).  P rom ien iowa  sztywność  zginania  pł yty  w  ogól-
nym przypadku jest zmienna wzdł uż prom ien ia i znacznie wię ksza niż sztywność  w  kierun ku
obwodowym.



WYT R Z YM AŁ O ŚĆ  P Ł YTY  K O Ł O WE J JE D N OSTR ON N I E U Ż EBR OWAN EJ 483

Koł owym i  pł ytam i  uż ebrowanymi  zajmował o  się   szereg  autorów,  mię dzy  in n ym i:
WAIN BERG   [I ,  2],  D O Ł G O W  [3],  R U BAC  [4,  5],  D U C H OWN YJ  [6,  7,  8].  Rozpatrywali  oni

pł yty  koł owe  z  ż ebrami  prom ien iowym i  obcią ż one  symetrycznie.  Rozpatrywane  w  ni-
niejszej  pracy  obcią ż enie  należy  do klasy  obcią ż eń  antysymetrycznych.  Pł yty  izotropowe
obcią ż one  parą   sił  przył oż oną, ja k n a rys. 1, był y  przedm iotem  rozważ ań  KOWALEN KI

[9] i TlMOSHENKI [10].
W  pracy  [11]  obliczono  odkształ cenia i naprę ż enia w pł ycie uż ebrowanej  symetrycznie

p o  obu  stron ach pł aszczyzny  ś rodkowej.

Rys. 2

Celem  niniejszej  pracy jest  obliczenie  n aprę ż eń i  odkształ ceń w pł ycie koł owej  osiowo
symetrycznej  wzmocnionej  ż ebrami  p o jednej  stronie  pł aszczyzny  ś rodkowej  i  obcią ż o-
nej,  jak n a rys. 1. P rzy  takim  wzmocnieniu  powierzchnia  ś rodkowa  pł yty  nie  jest  po-
wierzchnią   oboję tną.  P rzyję to,  iż ż ebro  pracuje  w jednokierunkowym  stanie  naprę ż enia.
Jeż eli  ż ebra  są  wysokie i cienkie,  zał oż enie takie jest  sł uszne, przy  czym dodatkowo moż na
pom in ą ć  wpł yw  skrę cania  ż eber.  Wł aś ciwa  pł yta znajduje  się  w dwukierunkowym  stanie
n aprę ż en ia.

2.  P odstawowy  ukł ad równ ań róż niczkowych

Wydzielmy  z  uż ebrowan ej  pł yty  element  okreś lony  prom ien iem r i  ką tem  & (rys. 2)
Sił y i m om en ty wewnę trzne  dział ają ce  n a ten element sprowadź my  do  ś rodkowej  powierz-
chn i  pł yty.  Jeś li  pom in ą ć  sztywność  zgin an ia  ż eber  w  kierun ku  obwodowym  oraz ich
sztywność  skrę cania,  wówczas  T

r
—T

e
—  T , M

rB
 = Mc

r
.



484  A.  MŁOTKOWSKI

Równania  równowagi  dla  tego  elementu przyjmą   postać

8\ M
r
r)_8M

±
  1 32M

e
  2  8

2
{M

r9
r)

dr
2
  dr

  +
  r  80

2
  r  dr  80

dr  80  r  dr  r  8©

Zał óż my,  że proste  n orm aln e do powierzchni  ś rodkowej  pł yty  po odkształ ceniu  po-
zostają   normalnymi do odkształ conej  powierzchni  ś rodkowej  i  ulegają   jedynie  obrotowi
i przesunię ciu. P on adto przyję to,  że przemieszczenie w  kierun ku  osi z wszystkich  pun któw
leż ą cych  n a  normalnej  do  powierzchni  ś rodkowej  pł yty  są   jedn akowe.  Stą d  przemieszcze-
nia  w kierunku  promieniowym,  obwodowym  oraz  ugię cia  wyrażą   się  zależ noś ciami

(2.2)  u=u
o
- z^ ,  v = v

Q
-  — — ,  w= w0 ,

gdzie  u
0
, v

Q
,  w

0
 —  przemieszczenie  w kierunku  prom ieniowym ,  obwodowym  i  ugię cie

ś rodkowej  powierzchni pł yty.

Odkształ cenia  wzglę dne  wyraż ają   się  w sposób  nastę pują cy:

8u  duo 8
2
w

1  dv  u _  1 /   dw  z  S 2w Sv
o
\

ee
~T 'd0

  +
  T ~T r

Z
'8r'~T Sr

2
+-  ̂ '

(2.3)  ^  '
dv  v

  t
  1 8u  n  z  ( 1  dw  8

2
w \  , /  1  <9w„__ v0  8v2

r  80~~  T \ 7W ~8r~80)
 +

  \ T '80  T
+
~8f

Z godnie  z  uogólnionym  prawem  H ooke'a  dla dwukierunkowego  stan u  naprę ż enia
zależ noś ci  mię dzy  odkształ ceniami i naprę ż eniami  dla  pł yty  mają   postać

(2- 4)  a
e
 =  j ^  (e

o
+ve

r
),

x
rB
  =   Gy

re
\

zaś  dla  ż ebra  zał oż ono jednokierunkowy  stan naprę ż enia

(2.5)  l t
r
.  e,E.

Przyję to  przy  tym,  że  pł yta i ż ebra są  wykonane z tego  samego m ateriał u.
P o  podstawieniu  (2.3) do  (2.4) otrzymano

E  .. «o  , <9w0 ,  v  8v0
Z

v  dw ,  v  82w\ \
r  3r  r2  802J\ '

r
  +fr+T 80

  Z
\ 8r

2

E
  \

u
o^   Su

0
 .I8v

o
  I  8

2
w .  1 dw .  1  82w



WYT R Z YM AŁ O ŚĆ  P Ł YTY  K O Ł O WE J  JE D N OSTR ON N I E  U Ż E BR OWAN EJ  485

d w

K
8r  dr

2
)

M om en ty  gną ce  i  sił y  wystę pują ce  w  równ an iach  (2.1)  otrzymujemy  z  zależ noś ci

+A/2

M r  =   J  arzdz- {- f  ~arzdF,
/ / 2  F

=   ]  a
e
zdz,

- A/2

, o =   -   j  rrezdz,
- h\ i

+A/2

(2.7)  N
r
<=Ja

r
dz+fa

r
dF,

- ft/2  F

N
a
  =  J Godz,

- A/2

+A/ 2

T =  Jt
r8
dz,

- A/2

gdzie  F  oznacza  powierzchn ię   przekroju  poprzecznego  ż ebra  przypadają cego  n a  jednostkę
dł ugoś ci  przekroju  r  =   con st.  Wyznaczone  wyż ej  sił y  wewnę trzne  i  momenty  odniesione
są   do jedn ostki  dł ugoś ci  odpowiednich  przekrojów  pł yty.

P o  podstawien iu  zależ noś ci  (2.6)  do  równ ań  (2.7)  otrzym an o

D
o
v  8w  ,  D

o
v  d

2
w\

x
  Br

,  82w  1  dw  ,  1  82w



486  A.  MŁ OTKOWSKI

(2.8)

gdzie  D o —  sztywność  pł ytowa  w  kierun ku  obwodowym,  Dr  —  sztywność  pł ytowa  w  kie-

runku  promieniowym,  S=  EJ z dF—  iloczyn  m oduł u  Youn ga  i  m om en tu  statycznego
F

ż ebra  wzglę dem  pł aszczyzny  ś rodkowej  odniesionego  do  jedn ostki  dł ugoś ci  przekroju
r  =   const, j8, Fi  —  współ czynniki.

Powyż sze  wielkoś ci  okreś lone  są  nastę pują cymi  wzoram i:

Eh
3

0  12( 1—v2) '

(2.9)  D
r
  =  DA- EI=l

lH+h
\   2  2nr'

Y

Eh
r  ~  2(1—v2)  '

Wprowadzono  pon adto oznaczenie n a  bezwymiarowy  prom ień

(2.10)
  Q

  =  L
a

Przemieszczenia  w, u
Q)

  v
0
  bę dą ce funkcją  prom ien ia r i ką ta  © m oż na w  rozpatrywan ym

przypadku  obcią ż enia  antysymetrycznego  przyjąć  w  postaci

w  —  W  cos &,
(2.11)  W o = £ / o c o s 0 ,

v
0
  =   V

o
  sin© ,

przy  czym  W ,  U
Q
,  V

o
  są  funkcjami  tylko  zmiennej  r.

P o  podstawieniu  (2.11)  do  (2.8)  otrzymujemy  wyraż enia  n a  m om en ty i sił y wewnę trzne

w  postaci  nastę pują cej:

. .  c o s 0 [
n

d
2

W
L n

  v  dW   vD
0w/

  - dUo]
M

r
=  2~  D

r
  — T  +   Do  -j  s-   W —Sa  —j—  ,a 2  L  dQ2  Q  dQ  QZ  dg  \



WYT R Z YM AŁ O ŚĆ  P Ł YTY  K O Ł O WEJ  JE D N OSTR ON N I E  U Ż EBR OWAN EJ  487

cos©
Mg=

[  d2W  ,  1  dW  WA
a

2

_ Q.- v)D
o
sm6\ W   \ _dW _

(2.12)

N a  podstawie  wzorów  (2.6),  (2.11)  naprę ż enia  okreś lone  są  nastę pują co:
naprę ż enia promieniowe  w pł ycie

(2,3.!)  „
t  =

  ^ 6 U  ę _
±
I^ W

(l—v^ a  \ _  Q  dQ  a  \ dq
naprę ż enie w  ż ebrze

(2.13.2)  ffp= = £ cos0  [ 1 ^ -
v
  '  ya  dQ

naprę ż enie obwodowe  i  styczne w pł ycie

£ c o s0  [ l  ._.  :  . . .  dU
0
  z  I  d

2
W   ,  1  dW   W, „ „  £ co s0  [ l  ._.  :  . . .  dU

0
  z  I  dW   ,  1  dW   W

( 2 . 13 . 3 )  <Je  =  T <  jr- \  —  (.U
Q
+V

0
)+v- ~  [v- fr  ̂ J  z

{l—v
2
)a IQ  dc  a\   dQ

2
  Q  dq  Q

z

L  a  Q2  ag  dS  Q
Xr0

  ~  2(l+v)a  L  a  Q2  ag  d
S
  Q  dg

Podstawiając  wzory  (2.12)  do  równań  równowagi  (2.1)  otrzymujemy  nastę pują cy
ukł ad  równań  róż niczkowych  dla  niewiadowych  funkcji  W , U

o
,  V

o
  zmiennej  Q.

- v)e
3 F o  =   0.

Współ czynniki  wystę pują ce  w  tych  równaniach  róż niczkowych  w  ogólnym  przypadku  są
pewnymi  funkcjami  promienia  g.  *



488 A.  MŁOTKOWSKI

3. Przypadek  pł yty o stał ej sztywnoś ci  zginania w kierunku  promieniowym

Rozwią zanie  ukł adu  równ ań  róż niczkowych  (2.14)  jest  prostsze  jeś li  przyją ć  pł ytę
wzmocnioną   ż ebrami  o  specjalnym  kształ cie takim ,  by  sztywność  w  kierun ku prom ien io-
wym  D

r
  oraz  wielkoś ci  S  i Fi  był y  stał e.

A - A

Rys. 3

Rozpatrzmy  pł ytę  o  stał ej  gruboś ci  h wzmocnioną   ż ebrami  o  stał ej  wysokoś ci  H  i  gru-
boś ci  zwię kszają cej  się   proporcjonalnie  do  prom ien ia  r  =   aq.

G rubość  ż ebra  zmienia  się   wówczas  wg  zależ noś ci

(3.1) r
a

Pole,  m om en t  statyczny  oraz  m om en t  bezwł adnoś ci  przekroju  poprzecznego  ż ebra  od-
niesione  do  jedn ostki  dł ugoś ci  obwodu  okreś lają   nastę pują ce  wzory:

b
0
Hn

-   =   const,

(3 . 2 )

bHn

Inr  '  2na

„„H+h  Eb
a
Hn

/=   ~ - const.



WYT R Z YM AŁ O ŚĆ  P Ł YTY  KOŁ OWE J  JE D N OSTR ON N I E  U Ż EBROWAN EJ  ,  489

Sztywnoś ci  pł ytowe w kierun ku prom ien iowym i obwodowym  wynoszą

(3.3)  D
r
 =   Ą + ^ 2

Po  podstawieniu  tych  zależ noś ci  do równań  róż niczkowych  (2.14)  otrzymujemy

9  d^ W   <\   d2W   r!2T J  All

a  dcr"  a  dp

dV
^  Q)fcV

0
  =  0,

gdzie

(3.5)  *
ł I  1- v2  '  2jt«  •

Rozwią zań  powyż szych  równ ań  róż niczkowych  bę dziemy  poszukiwali  w postaci

(3.6)  U
0
.=  BQ

a
,

gdzie A, B, C oraz a oznaczają   pewne  stał e.
Po  wstawieniu  tych  rozwią zań  do równań  róż niczkowych  (3.4)  otrzymano:

[ • Dr a
2 ( a 2 - l) - 3 D0 a

2 M - . W( a - l)J B =  0,

(3.7)  ^ a2(a+l)A+[(l+v)a+(3- v)]B+[(l+v)Pa- (3- v)P]C  = 0,

^)a+ (3- v)]5- [(l- r)a2- (3- v)]C =  0.

Aby  powyż sze  równ an ia  miał y  dla  A, B i  C rozwią zania  niezerowe,  wyznacznik  charak-
terystyczny  musi  równ ać  się  zeru.  Stą d  wynika  nastę pują ce  równanie  sł uż ą ce  do  wyzna-
czenia param etru a

(3.8)  -
+ 3^ D

0
)- (3- v)(F

1
D

r
+3F

1
D

0
- S

2
)}  =  0.

Otrzymaliś my  wię c  równanie  ósmego  stopnia.  Cztery  pierwiastki  tego  równania wy-
noszą

( 3.9)  <xi  =   a 2  =   0(3  =   a 4  =   0,

6  M echanika  teoretyczn a  i stosowana



490  A.  M Ł O T K O WS KI

zaś  pozostał e  pierwiastki  a 5 - r a8  wynikają  z  rozwią zania  równ an ia  dwukwadratowego
znajdują cego  się  wewną trz  nawiasu  klamrowego  w  równ an iu  (3.8).  Istnieje  zatem  pięć
róż nych  rozwią zań  typu  (3.6).  M ię dzy  stał ymi  A

t
,  B

t
,  Q  istnieją  zwią zki  wynikają ce

z  równ ań  (3.7).  G dy a
t
  jest  równe  jednem u  z  pierwiastków  równ an ia  (3.8),  wówczas

zwią zki  (3.7) są liniowo  zależ ne.
Podstawiając  do pierwszego  i  trzeciego  równ an ia  (3.7)  a =  a

t
  znajdujemy

C
t
<=  qiBi =

gdzie

a ? l P r ( q ? - l ) - 3 AJ

(3.11,  P ' =

«  (i—io«t—o—v) •
D rugie  równanie  ukł adu  (3.7)  jest  speł nione  toż sam oś ciowe  Ponieważ  dla  pierwszego
z  równań  (3.7) «r =  0  jest  rozwią zaniem  trywialnym,  przeto  zależ noś ci  (3.10),  (3.11)
rnię dzy  stał ymi A

u
  B

;
,  Ci dla  tego  przypadku  nie  obowią zują.

D la  przypadku,  gdy a ( =  0  (i =   1, 2, 3, 4) przyję to  nastę pują ce  rozwią zania:

W '=   A,Q+A
2
Qln()+A

3
Qln

2
Q+A

4
Qla

3
Q,

(3.12)  U
o
 =  B

1
+B

2
ln

e
+B

i
Q+B

4
\ n

2
Q,

V
o
  =  d+CilnQ+C^ +C^ Q.

P o  podstawieniu  powyż szych  rozwią zań  do  ukł adu równ ań  (2.4)  stwierdzono, że ukł ad
speł niony  bę dzie  wówczas gdy

.83  =   C3  =   B4 =  CĄ  =   0,

(3.13)  C
1
 =

C
2
  =   — B?_.

Stał e Bi i B
2
 zależ ą od  Ci i  C 2 , n atom iast są niezależ ne od stał ych Ati  A2.  P oczwórnem u

pierwiastkowi  cc; =  0  równania  (3.8)  odpowiada  więc  rozwią zanie,  w  którym  wystę pują
cztery  niezależ ne  stał e A

u
  A

2
,  B

u
  B

2
.

W  rozwią zaniu  ogólnym  (3.6) ukł adu  równ ań  róż niczkowych  (3.4)  wystę puje  więc
ogół em  osiem  stał ych dowolnych  A

u
  A

2
,  B

u
  B

2
, A

5
,  A

6
,  A- ,,  A

s
.  Wspom n ian e  rozwią za-

nie  ogólne  ma nastę pują cą  postać:
8

8

(3.14)  Uo  =  B
1
+B

2
]nQ+£

1 = 5

(
ó  v  I  1= 5



WYT R Z YM AŁ O ŚĆ  P Ł YTY  K O Ł O WEJ  JE D N OSTR ON N I E U Ż EBR OWAN EJ 491

Przemieszczenia poszczególnych pun któw powierzchni ś rodkowej  pł yty obliczamy  uwzglę d-
niając  (2.11),  wówczas:

w = cos<9,
«= 5

(3.15) Ho  =   Bj.+B
2
\ nQ+  £piA

t
Q?*  cos© ,

^ sin<9.

Stał e  wystę pują ce  w  powyż szych  wzorach  m oż emy  wyznaczyć  z  warunków  brzegowych.
P o  uwzglę dnieniu  (3.14)  wzory  (2.12) przyjmą  postać

M
r
  =

cos©

i"= 5

A) cos (9

i = 5

Afri

J
2
1 = 5

j =   5

i  e '̂ î  .

4. Wa r u n ki  brzegowe  d la  pł yty  podpartej  przegubowo  n a  obwodzie  zewnę trznym  i  mają cej  sztywną  piastę

W  ś rodku

D la  pł yty  podpartej  przegubowo  n a  obwodzie  zewnę trznym  ugię cie,  m om ent  gną cy
prom ieniowy,  sił y  n o rm aln e i  styczne  dla  r  =  a,  czyli  Q =  1 muszą  równać  się  zeru.  Stąd
warun ki

(4.1.1)

(4.1.2)

(4.1.3)

(4.1.4)

( w) c _ t  =   0,

C *fP ) 0_ i  =   0,

(#,)„_, =   0,
( T ) e = i  -   0.



492 A.  MŁOTKOWSKI

Z  kolei n a obwodzie  wewnę trznym  Q =   Q
0
 =   a/ c przy  zał oż eniu, że piasta jest nteodkształ -

calna, a ugię cie  m ał e

dw

(4.1.5)

P rzy  tym samym  zał oż eniu pun kty  poł oż one  przy  piaś cie  przemieszczają   się   równolegle
do  osi x. Z rys. 4 wynika

(u)
e
=

e
,  =  <5cos<9,

stą d  kolejny  warunek

(4.1.6)

V=- ósin8

(M)e_e„  sin ©  =   (- v)s„gt  cos© .

Szczegół   „K"

" Z

Rys. 4

Oprócz tego  sum a m om en tów wzglę dem  osi y  (rys. 4)  sił  przył oż on ych do  zewnę trznego
brzegu  pł yty musi równ ać się  danemu m om entowi M  przył oż on emu  w  ś rodku pł yty.

Stą d  otrzymujemy  n astę pny warun ek

+71

(4.1.7) a}  (M
re
)

e=1
  sm6d0- a

2
j  ( Q r ) e = 1 cosOd& =   M,



WYT R Z YM AŁ O ŚĆ  P Ł YTY  K O Ł O WEJ  JE D N OSTR ON N I E  U Ż EBROWAN EJ  493

gdzie

n  1  I**  , /   ,  dM
r
  dM,.

B
\   ~

Q
r
  =   —  \ M

r
-   M

0
Ą - Q  - y- !•   —  - j~  cos  &,

CIQ\   CIQ  d&  /
przy  czym  sił a  tn ą ca  został a  otrzym an a  z  równ an ia  sumy  m om entów sił   dział ają cych  na
element  przedstawiony  na  rys.  2,  wzglę dem  osi  prostopadł ej  do  promienia  r.  We  wzorze
(4.1.8) uwzglę dniono  (2.11).

W  równaniach  (3.14)  stał a  B
x
  okreś la  przemieszczenie  pł yty  jak  ciał a  sztywnego

w pł aszczyź nie xy.  Jeś li  przyją ć,  że pł yta przemieś ci  się o wielkość  B
x
  [cm] w kierunku osi  x

wówczas  skł adowe  w  kierunku  promieniowym  i  obwodowym  wynoszą

" O  =   i

v
0
  on —^ s i n  0.

Powyż sze  wyraż enia  odpowiadają  pierwszym  czł onom  rozwią zań  ogólnych  (3.15)  dla
u

o
i  v

0
.  Stąd  wynika,  że  stał ą  B

x
  m oż na  przyjąć  dowolnie, n p .

(4.1.8)  B
l
  =  0.

Od  wartoś ci  tej  stał ej  nie zależą  wartoś ci  ugię cia  oraz  sił y wewnę trzne. Ł ą cznie mamy do
dyspozycji  osiem  warun ków  brzegowych  (4.1).

P o  podstawieniu  rozwią zań  ogólnych  (3.15)  do  warunków  brzegowych  (4.1)  otrzy-
mujemy  nastę pują cy  ukł ad  równ ań  liniowych:

8

(4.2.1)  A
1
+£A,  =  0,

1= 5

8

(4.2.2)  D
o
vA

1
+(D

o
v+D

r
)A

2
- SaB

2
+  J}  [D

r
a}+(D

r
+D

Q
v- p

i
Sa)a

i
+Dov]Ai  =   0,

i= 5

(4. 2. 3)
8

(4.2.4)  + ^ T T - ^  *2 + J [ W l + a ( l - O i ) Mi  =  0,
J  V  1= 5

8

(4.2.5)  ^

(4.2.6)  ^   ^
J  v  (- 5

(4.2.7)  - (3- v)D
0
A

l
- (3- v)D

0
A

2
+

+  2 1  [D
t
<Ą (a,+  i)_(3- i;)2)0  (, ai+l)- SaPioĘ \ At  =

(4.2.8)  Ą  -   0.



494  A.  MŁ OTKOWSKI

5.  Warunki brzegowe dla  pł yty utwierdzonej  na  obwodzie zewnę trznym
i mają cej  sztywną  piastę w  ś rodku

D la  pł yty utwierdzonej  n a  obwodzie  zewnę trznym ugię cie,  kąt  ugię cia  oraz przemiesz-
czenia  w  kierunku  promieniowym  i  obwodowym  dla  r  — a,  czyli  § =   1,  muszą  równ ać
się zeru.  Stąd warunki

(5.1.1)

(!)..,- »•

(5.1.3)  (w)5= i  =   0,

(5.1.4)  H = I  =   0.

N a  obwodzie  wewnę trznym  muszą  zachodzić zwią zki  (4.1.5)  i  (4.1.6), jak  w  p .  4,  a  mia-
nowicie

(5.1.5)  ( w ) - '  =

(5.1.6)  («)«,_„„   sin©  =   (- © )e- s, cos@.

Oprócz  powyż szych  warunków  muszą  być  speł nione  równ an ia  równowagi  dla  cał ej
pł yty  (suma  momentów wzglę dem  osi  y  i  suma  rzutów  sił   n a  oś  x)

+ n  + JI  + 3i

(5.1.7)  a J  ( M r) e = ico s  0d6+a  j  (M re)e=,ism0d0- a
z
  J(Q

r
)

i=1
cos0d0  ==  M,

(5.1.8)  /   (JVr)e« i cos 0 d0 -   /   (T%_i  sin 0d0  = O.
—n  —n

N a  podstawie  tych  warunków  otrzymujemy  nastę pują cy  ukł ad  równań  liniowych:

(5.2.1)  ^

8

(5.2.2)  A
1
+A

2
+  £  («ł + l) î -   0,

1= 1

(5.2.3)

8

(5.2.4)  - J i- qz;  **

(5.2.5)
i—S



WYT R Z YM AŁ O ŚĆ  P Ł YTY  KOŁ OWE J  JE D N OSTR ON N I E  U Ż EBR OWAN EJ 495

(5.2.6)
J  "

(5.2.7)

(5.2.8)

(D
r
+3Do)A

2
+SaB

2
  =

Ma

n  cos  @'

-   —  A2+   (F1-a

8  r
] ?  F, aiPi-   — «,  ( a, + 1)+
/ = 5  L  et

t
  =   0.

P o  wyznaczeniu  stał ych,  odkształ cenia  m oż na  obliczyć  ze  wzorów  (3.15),  zaś  naprę ż enia
po  znalezieniu  odpowiednich  pochodn ych ze  wzorów  (2.13).

6.  P r zykł a d liczbowy  obliczen ia  pł yty  koł owej  o  st ał ej  sztywnoś ci  zgin an ia  w  kierun ku

prom ien ia  obcią ż onej  parą   sił  przył oż oną  w  ś rodku

Obliczono  pł ytę   o  sztywnej  piaś cie  w  ś rodku  i  podpartą   przegubowo  n a  obwodzie
zewnę trznym  (rys.  5).  Obliczenia  powyż sze  wykon an o  n a  maszynie  elektronowej  ZAM- 2
Beta,  przy  czym  wyniki  obliczeń  dotyczą   ką ta  © =   0°  (jedynie  o  i  r

rB
  obliczono  dla  0  —

=   n/ 2).

'  T ensometry
elektrooporowe

Rys.  5

Wyniki  obliczeń  przedstawion o  w  tablicy  I B  i  1C  oraz  n a  rys.  7.  P rzeprowadzon o
pom iary  n aprę ż eń  w  ż ebrach  i  pł ycie  za  pom ocą   elektrycznych  tensometrów  oporowych
naklejonych,  ja k  n a  rys.  5.  P ł yta  um ieszczana  był a  w  stanowisku  badawczym  umoż li-



Rys.  6

Naprę ż enia  promieniowe  w  ż ebrze
(8- 0,  M = 2000  kG/ cm  )

0,4  0,5  0,B  0,7  0,8  0,9  W   p

0,25

- 200

6
M.

0,4  0,5 0.B 0,7  0,8  0,9  1,0

N aprę ż enia na  powierzchni pł yty
(8  = 0,  M =   2000 kG/ cm)

Rys.  7.  N aprę ż enia w pł ycie wzmocnionej  n  ==   6 ż ebrami  podpartej  przegubowo na obwodzie  zewnę trznym
N aprę ż en ia  teoretyczne n a  zewnę trznej  krawę dzi  ż ebra —  linia  przerywana;  n a  wysokoś ci  naklejenia  t en som et rów1—lin ia cią gła

Wyniki  pomiarów  naprę ż eń promieniowych  ( O )  '  obwodowych  ( 0 )



WYTRZYMAŁOŚĆ  PŁYTY  KOŁOWEJ JEDNOSTRONNIE UŻ EBROWANEJ  497

Tablica  1. Wyniki  obliczeń  przemieszczeń  i  napr ż eń dla  pł yty  o stał ej  sztywnoś ci  zginania  podpartej
przegubowo  na obwodzie  zewnę trznym

A)  D an e:
a  =   22,0  cm,  c =   5,5  cm,  h =   0,5 cm,  H  =   3,0 cm

b„ =  0,4  cm,  v =   0,29,  n =   6

B)  Wartoś ci  przemieszczeń:

Promień

Q

+ 0, 25
+ 0, 3
+  0,4
+ 0, 5
+ 0, 6
+  0,7
+ 0, 8
+ 0, 9
+  1,0

Przemieszczenia

W

M/ E
l/ cm 2

+  3,06997
+  3,56651
+  3,99744
+ 3,90140
+  3,45200
+ 2,76442
+  1,92095
+  0,98338
+ 0,00000

u0
M{E
l/ cm2

+ 0,42047
+ 0,39001
+ 0,33627
+ 0,29416
+ 0,26177
+ 0,23696
+ 0,21813
+  0,20409
+ 0,19396

Vo
M/ E
l/ cm2

- 0,42047
- 0,35275
- 0,25709
- 0,18594
- 0,12512
- 0,06828
- 0,01202
+ 0,04567
+ 0,10616

C) Wartoś ci  naprę ż eń:

Promień

e

+ 0,25
+ 0,3
+ 0,4
+ 0,5
+ 0,6
+ 0,7
+ 0,8
+ 0,9
+  1,0

N aprę ż enia w pł ycie

promień.

Or

M
l/ cm 3

- 0,08800
- 0,07494
- 0,05360
- 0,03837
- 0,02720
- 0,01868
- 0,01194
- 0,00643
- 0,00183

obwodowe
a@
M

l/ cm 3

- 0,02552
- 0,02318
- 0, 01775
- 0,01240
- 0,00752
- 0,00311
+ 0,00088
+ 0,00456
+ 0,00798

styczne
r

r
&

M
l/ cm 3

+ 0,02774
+ 0,02398
+ 0,01927
+ 0,01617
+ 0,01396
+ 0,01234
+ 0,01115
+ 0,01028
+ 0,00964

N aprę ż enia w ż ebrach
dla 0  =  0°

na  kraw.
zewn.

a,
M

l/ cm 3

+ 0,65725
+ 0,50908
+ 0,32615
+ 0,21747
+ 0,14530
+ 0,09376
+ 0,05504
+ 0,02481
+ 0,0052

n a wysok.
ś r. tens.

%
M

l/ cm5

+ 0,58346
+ 0,45135
+ 0,28869
+ 0,19225
+ 0,12827
+ 0,08261
+ 0,04831
+ 0,02155
+ 0,00005

wiają cym  realizację   warun ków  brzegowych  oraz  obcią ż enia.  N a  rys.  6 pł yta umieszczona

jest  w  jedn ym  z  pół pierś cieni,  w  którym  wykon an o  rowek  obwodowy  (podparcie  prze-

gubowe).

W  ten  sam  sposób  wykon an o  obliczenia  teoretyczne  i pom iary  dla pł yty z  liczbą   ż eber

n  =  12.  Wyniki  obliczeń  i  pom iarów  przedstawion o  n a  rys.  8.

M om en t  obcią ż ają cy  M  dobieran o  tak,  by  najwię ksze  naprę ż enia  w  ż ebrach  nie  prze-

kroczył y  n aprę ż eń dopuszczalnych  dla  m ateriał u pł yt.



498 A.  MŁOTKOWSKI

Naprę ż enia  promieniowe  w  ż ebrze

(dla  8- 0,  M**  4000 KG cm)

0.25  Ofi  0,5  0,6  0,7  0,8  0,9  1,0

- 200

6
M .
cm'

Naprę ż enia  na  powierzchni  pł yty

(dla  8=0,  M  • "  4000  kGcm)

1.0  P.0,25  0,4  /
B0,5  0,6  0,7

Rys. 8. N aprę ż enia w pł ycie wzmocnionej  n =   12 ż ebrami, podpartej  przegubowo  na obwodzie zewnę trz-
nym

N aprę ż enia  teoretyczne n a  zewnę trznej  krawę dzi  ż ebra—- lin ia  przerywana;  n a  wysokoś ci  naklejenia  tensometrów• —linia  cią gła
Wyniki  pomiarów naprę ż eń promieniowych ( O ) i obwodowych  ( 0 )

7. Wnioski

P rzeprowadzone  badan ia  tensometryczne  n aprę ż eń  w  ż ebrach  pł yt  podpartych  prze-
gubowo  n a  obwodzie  zewnę trznym  wykazują   dobrą   zgodn ość  z  wynikami  teoretycznym i.
Rozbież noś ci  mię dzy  naprę ż eniami  obliczonymi  teoretycznie  a  wynikami  pom iarów  dla
powierzchni  pł yt  są   procen towo  wię ksze  niż  dla  ż eber.  N aprę ż en ia  te  są   jed n ak  kilka-
krotn ie mniejsze  od  naprę ż eń  maksymalnych  w  ż ebrach  w  zwią zku  z czym  bł ę dy  pom iarów
mogą   być  znaczne.

Stwierdzono  stosun kowo  mał y  wpł yw  zmiany  liczby  ż eber  z  n  =   6  d o  n  =  12  n a
róż nice  mię dzy  obliczeniami  teoretycznymi  i  wynikami  bad ań .  M a  t o  duże  znaczenie
praktyczne  ze  wzglę du  n a  stosowane  w  praktyce  pł yty  (dn a  bę bn ów)  wzm ocn ion e  mał ą
liczbą   ż eber.



WYT R Z YM AŁ O ŚĆ  P Ł YTY  KOŁ OWE J  JE D N OSTR ON N I E U Ż EBROWAN EJ  499

L it er a t u r a  cytowan a w tekś cie

1.  ,H . B .  BAH H BE P I 1,  O . M .  P ySAi,  Kpyz/ iue  iwucmpyKrnuem  opinomponnue  n/ iacmuHU.  HanpnvceuHoe

cocmomue  xo/ iec  npoKamnux  ananoe  u  tuaxmnux  Mexauu3Moe, Pfafl.  AH  YC C P , 1959.

2.  J\ . B.  Bat t aSep r,  Memody  pacuema  Kpyinux  pe6pucmux  nnacmun.  P a c ^ e i  npocTpaiicTBeH H tix  K O H -

t; cTpyi?KHH 3  Bbm .  5.

3 .  H . H .  J J O J I T O B ,  O  pacueme  Kpyznux  njtacmuH  nodKpenjieiiuux  paduasibHUMU  pe6paMU.  T eopunnsiacmim

u  o6oAoneK, H 3fl.  AH  YC C P , 1962.

4 .  O . M . PyBAq,  H3!u6  Kpyznux  n/ iacmuu  ycujiemmx  pabua/ iuiuMU  peópauu,  CSopiiH K  TpyflOB  H H C T .

CTpoH Tejiwioft  MexaH H KH ,  Ws 2 0 , 1955,  VISĄ .  AH   Y C C P .

5.  O . M .  P yE Aij  B . M .  ArPAHOBpra, K  eonpocy  o uanpnoiceHHOM  cocmonnuu  Kpyznux  nnacmunyuuemiax

paduaMHUMU  pedpaMu,  ITpjiKJiaaH a M exaimKa, Bbin . 1, 1957, H 3fl.  AH  YC C P .

6.  A. H .  flyxoBH biii,  Pacnem  Ha npoumcmb  ynpyeux  u  Kosibifeeux n/ iacmun  nodxpenjieHHuxpaducuiuHbutu

pedpaMU,  T pyflbi  B H H H   THflpoMamHHOCTpoenHH,  19 6 1, Bbin . 29.

7.  A. H . flyxoBH WH , npuOAuoiceuiiuu  Memod onpebejieuun  Hanpnoiceiiuu npu U3iu6e Kpytjiux  u KoMifeeux

nAacmuH ycuAeiiHux  paduaMiMMu  peBpaMU,  T pyxbi  B H H H   ruflpOMauiHHOCTpoeHHn,  1962,  Bbin.  30.

8.  A. H .  flyxoBH wa,  IIpuÓMmiceHHbie peiuenue  3adav.u o nposuGe Kpye/ iux u KOAbifeeux  njiacmuu  ycuAemtux

paduajibHbum  pe6paMu,  T pyflbi  B H H H   THflpoiviamHHocTpoeHMH,  1962, Bbin . 30.

9. A. J\ .  KOBAJIEHKO, KpyiMie  nnacmunu  nepeuamou mojiią uHU,  MocKBa 1959.

10. S. TIMOSHENKO, S, WOJN OWSKY- KRIEG ER,  T eoria pł yt  i powł ok, wyd. Arkady, 1962.

11. J.  LEYKO, A.  M ŁOTKOWSKI,  Zginanie osiow osy  metrycznej ortotropowej pł yty  koł owej o zmiennej sztyw-

noś ci zginania,  obcią ż ony  par.i sił p;zyloż oną  w ś rodku, Archiwum  Budowy  Maszyn  nr 3,  (1962).

P  e 3  IO  M e

I I P O ^ H O C T B  K P yr O B O H   n J I AC T H H K H   YCH J1EH H OH   OflH OC TOP OH H BIM H

P AflH AJ lt H BI M H   P E BP AM H ,  nOflBEP> KEH H OH   AH T H C H M M E T P H ^ H O M Y  H 3r H BY

B  H acTOH ineii  p a6o T e  p e m e n a  aafla^ia  06 onpeAejieH H H   naupH H ceH H H  u  fle(bopM aą H H  B K pyroBoił  n n ą -

CTHHKe  yCHJieHHOH   paflH ajIWttlM H   peSpaiWH   paCnOJIOJKeHHŁIMH   OCeCHMMeTpHHHO  HO OflHOS  CTOpOHe

n o Bepxiio cT H .  n n acT H H K a  n o flBep rH yra  aHTHCHMMeTpiraecKOMy  n s r a S y  n a p o ił   CH JI

B  u, en T pe.  n n acTH H K a  paccM aTpuBaeTCH   Kat-c  KOHCTpyKTHBHO- opTOTpoilHaji.  3apiatia  p e -

B  nepeiviemeH H H X.  P em eH H e  HMeeT  B H H   C TeneimoH   4>yHKn;nH.  P accM O ipeiiH   cjiy^iaii  o n ep T o r o

I I  JKecTKO  3aflen an H o ro  K p a a  miacTH H KH .  fljia  c n yia fl  n n acTwuoK  c 6 H  12 peSpaiwa  >KCCTKOCTH  cnen,H aJiŁ-

HOH   dpOpMbl  BbmOJIH eH bl  Bbl^H CJieH H H   H  npOH 3BefleH bI  TeH30MeTpH^eCKHe H 3MepeiIH H .

S u m m a r y

STREN G TH   O F   CIRCU LAR PLATE  WITH  ON E- SID ED   RIBS SU BJECTED  TO

AN TISYM M ETRIC  BE N D I N G

The  paper  solves the problem  of  elastic  strain  and stress in a  circular  plate  which  has radial  ribs on

one  side of the middle  surface.  The plate  is bended  skew- symmetrically  by a couple  aching  at the centre.

The  problem  is  solved  in displacements  using  the theory  of  orthotropic  plates.

Th e  system  of three differential  equations  with respect t o radial  circumferential  and transversal  displa-

cements have  been  obtained.

The  solution has the form  of a polynomial.  The plate can be simply  supported  or built  in. As a nume-

rical  example  this  paper  shows the plate  with  6 and 12 ribs of special  shape.

POLITECH N IKA  ŁÓDZKA

Pracę   zł oż ono  w Redakcji  dnia 10 stycznia  1968 r.