Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS67\MTS67_t5z1_4_PDF\mts67_t5z1.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

1, 5  (1967)

KORELACJA  CECH   WYTRZYM AŁOŚ CIOWYCH   I  WYTĘ Ż EN IE  M ATER I AŁ U

JAN U SZ  M U R Z E W S K 1 ,  Z BI G N I EW  M E N D E R A  (KRAKÓW)

1.  Statystyczne  okreś lenie  wytę ż enia

Rozpatrujemy  materiał ,  który  pod  dział aniem  naprę ż enia  może  ulec  zniszczeniu
bą dź  to w  formie  uplastycznienia,  bą dź  to  pę knię cia.  M ateriał   pozostaje  niezniszczony,
jeś li  jednocześ nie  zachodzą   nastę pują ce  nierównoś ci:

(1.1)  C/ H  <Q,  O
O
<  R,

gdzie  c/
H
  jest  to naprę ż enie zastę pcze  ze wzglę du  na uplastycznienie, a  c/

a
 naprę ż enie za-

stę pcze  ze wzglę du  na pę knię cie. N aprę ż enie zastę pcze  rozumie się  tak, jak w  klasycznej
teorii  wytę ż enia;  Q  jest  granicą   plastycznoś ci,  a  R  granicą   wytrzymał oś ci  rozdzielczej.
G ranice  te są   skorelowanymi  zmiennymi  losowymi.

Prawdopodobień stwo,  że  materiał   pozostaje  niezniszczony  przy  ustalon ym  stanie
naprę ż enia,  równa  się   prawdopodobień stwu  speł nienia  ukł adu  nierównoś ci  (1.1):

(1.2)  W  =  P(a
B
  <  Q, a

0
  <  S),

a  prawdopodobień stwo  zniszczenia:

(1.3)  w =  l- W =F(Q*,R*)  dla  Q* =   a
a
,  R*  =   a

a
.

Prawdopodobień stwo  w nazywamy  wytę ż eniem  m ateriał u, a F(Q, K) jest  dystrybuantą
dwuwymiarowego  rozkł adu  zmiennych  losowych  Q  i  R.

Probabilistyczną   definicję   wytę ż enia  wprowadził   pierwszy  z  autorów  dla  oś rodków
mikro- niejednorodnych  [7]. Oznaczają c  prawdopodobień stwo  mikro- uplastycznienia sym-
bolem  »,  a prawdopodobień stwo  mikro- spę kania  symbolem  X i zakł adają c  stochastyczną
niezależ ność  granic  mikro- plastycznoś ci  i  mikro- wytrzymał oś ci,  podał   on  wzór:

(1.4)  jł = l—( 1—«) ( 1—A) =   «—«A+ A,

gdzie  \ x  jest  wytę ż eniem  w  sensie  mikroskopowym,  czyli  miarą   koncentracji  mikro- ele-
mentów  uszkodzonych  w jednostce  obję toś ci.

Tenże  autor w rozdziale  zamieszczonym  w monografii  o  konstrukcjach  aluminiowych.
[4] interpretuje  wzór  (1.4) w sensie  makroskopowym  w  zastosowaniu  do zł om u  kruchego
lub  poś lizgowego.

W  obecnej pracy  autorzy  rozumieją   wytę ż enie  (1.3) również w  sensie  m akroskopowym
i  jako  przykł adową   bazę   empiryczną   przyjmują   zbiór  doś wiadczeń  wykonanych  n a prób-
kach  makroskopowych  przez  drugiego  z autorów  [2]. A  wię c wytę ż enie  w dla ustalon ego
naprę ż enia  i  materiał u  równa  się  granicy,  do której  dą ży  czę stość  zniszczenia  w n orm al-



36  J.  M U RZEWSKI,  Z.  MENDERA

nych  próbach  wytrzymał oś ciowych.  Róż nica  merytoryczna  mię dzy  wzorem  (1.3)  i  (1.4)
polega  na  tym,  że  dystrybuanta  F(Q, R)  dla  skorelowanych  Q  i  R  nie  da  się  napisać  za
pomocą  prawdopodobień stw  brzegowych  %  i  A, tak  jak  to  ma  miejsce  we  wzorze  (1.4).
P onadto  w  pracy  niniejszej  zwrócona jest  uwaga  na  rozbież ność  pojęć  wytę ż enia  i  wadli-
woś ci.  Wprawdzie  wadliwość  partii  materiał u  moż na  okreś lić  tym  samym  wzorem  (1.3)
co wytę ż enie, ale wtedy przez Q*, R* należy rozumieć nie naprę ż enie zastę pcze, a minimalne
gwarantowane  wartoś ci  granicy  plastycznoś ci  i  wytrzymał oś ci:

(1- 5)  G * =   Gmi„.  **  =   J W
Jeś li  brakiem  nazwiemy  materiał   o  cechach  nie  speł niają cych  ukł adu  nierównoś ci,

analogicznych  do  (1.1),

(1- 6)  fi>6min,  R>R
mi

n,
to  wadliwość  w, okreś lona wzorami  (1.3) i  (1.5), jest  prawdopodobień stwem  wypuszczenia
braku  pod  warunkiem,  że  nie  ma  kontroli  jakoś ci.

W  dalszym  cią gu  pracy  przedstawione  bę dą  konsekwencje  wynikają ce  z  róż nego
interpretowania  wartoś ci  granicznych  Q* i  i?*  w  przypadku  wytę ż enia  i  wadliwoś ci.

2.  Rozkł ad  losowych  cech  wytrzymał oś ciowych

F unkcje  rozkł adu cech wytrzymał oś ciowych  są  przedmiotem wielu prac teoretycznych
i  doś wiadczalnych  [1, 9 i  11]. Najczę ś ciej  jednak rozkł ady tych cech analizuje  się z osobna
nie  przypuszczając  istnienia  stochastycznej  zależ noś ci.

Mając  przede wszystkim  na  uwadze  stal  konstrukcyjną  przyjmujemy  normalny ł ą czny
rozkł ad prawdopodobień stw  granicy plastycznoś ci  Q i wytrzymał oś ci  R o gę stoś ci  prawdo-
podobień stw  jak  nastę puje:
£2.1)  f(Q,R)  =

®  2;-   Q  i

A  QR  na  P*.  + ~  ni
gdzie  Q,  R  oznaczają  wartoś ci  ś rednie,  f.i

Q
,  J.L

R
  odchylenia  standardowe,  r

QR
  =

=   cov(g,  R)IHQ  HR współ czynnik  korelacji.
Odpowiednie  rozkł ady  brzegowe  przedstawia  rys.  1.
Przy  takich  zał oż eniach abstrahujemy  od tego, że cechy wytrzymał oś ciowe  są  funkcją

stochastyczną  punktu  oś rodka.  Ogranicza  to  nasze  rozważ ania  do  elementów  konstruk-
cyjnych  o wymiarach  mniej wię cej  tego rzę du, co badane doś wiadczalnie próbki, i naprę ż o-
nych równomiernie, choć niekoniecznie jednoosiowe  W ten sposób eliminujemy  tzw.  efekty
skali.

W  celu  jaś niejszego  przedstawienia  sprawy  i  moż liwoś ci  zilustrowania  wywodów re-
alnymi wykresami  wyspecyfikowano  przykł adowe parametry rozkł adu prawdopodobień stw.

Analizę  statystyczną  przeprowadzono  na  podstawie  doś wiadczeń  rozcią gania  874
próbek  losowo  wycię tych  z  arkuszy  blach  o gruboś ci  6 mm  stali  niskostopowej,  manga-
nowo- krzemowej  18G 2A  [2].

Stal  ta  zyskuje  coraz  wię ksze  znaczenie  w  zastosowaniach  do  niektórych  rodzajów
konstrukcji  stalowych,  mianowicie  tam,  gdzie  może  być  wykorzystana  jej  podwyż szona
wytrzymał oś ć.



KORELACJA  CECH   WYTRZYMAŁ OŚ CIOWYCH   I  WYTĘ Ż ENIE  MATERIAŁ U 37

Próby  rozcią gania  przeprowadzono  przy  kontrolowanych  naprę ż eniach.  Wyniki do-
ś wiadczeń  zestawiono  w  tablicy  1 podając  jednocześ nie  zależ ność  stochastyczną  mię dzy
granicą  plastycznoś ci  Q i  granicą  wytrzymał oś ci R.

iO 12  34•   3C  38  40  1*2  44  46  48  50  32  \   54  56  58  GO  62  64  66  60
41,Sp  44,73  &  53,19  56?7  60,35

CtS/ mm]  K- Mx  *  ^ V*z

R ys.  1

Tablica  1

kG / mm 2

Qi  " N ^
kG / mm2  ^ - ^

30- 32
32- 34
34- 36
36- 38
38- 40
40- 42
42- 44
44- 46
46- 48
48- 50
50- 52

»J

48- 50

2

2

2

6

.  Rozkł ad  empiryczny

50- 52

2

12

30

10

1

55

52- 54

4
51

74

16

3

148

54- 56

1
17

57

90

23

5

193

wartość

56- 58

1

14

81

62

15

5

178

Q  i R

58- 60

1
1

26

70

20

8

126

stali  18G 2A  i

60- 62

1

10

20

56

9

96

62- 64

2

13

29

1

45

Hj

64- 66

1
4
9

14

66- 68

1

11

1

13

" i

2

4

19

100

157

224
180

110

56

21
1

874

Parametry  rozkł adu  prawdopodobień stw  oszacowano  na podstawie  rozkł adu  empi-
rycznego  jak  nastę puje:

wartoś ci  ś rednie

(2.2)

1  £,
2  ~ -   Z  "' 2 i =  41,50  kG/ mm2,

n  (- i

R  « —
n

=  56,77  kG / mm.2;



38  J .  M U RZEWSKI,  Z .  MEN SDERA

odchylenia  ś rednie

J"G  ~ 1 /   "" £n
t
Ql—Q

2  =  3,226  kG/ mm*,

(2- 3)  JZ^
i/ l  h

HR «  1 /   — 7  njRj- R?-  =  3,584

współ czynnik  korelacji

( 2 . 4 )  ^

D ystrybuanta  rozkł adu  normalnego  wyraża  się  wzorem  symbolicznym
Q*  R*

(2.5)  F(Q*,R*)=  f  ]  f(Q,R)dQdR,
—CO  — 0 0

i  jej  wartoś ci  oblicza  się dla ustalonych  Q*>  R*  za  pomocą  tablic  dwuwymiarowego
rozkł adu  normalnego [10].

3.  Warunki  plastycznoś ci  i  wytrzymał oś ci

Zagadnienie  najtrafniejszego  wyboru  hipotezy  wytę ż eniowej,  a  więc  warunku  plas-
tycznoś ci i warunku  wytrzymał oś ci, jest w zasadzie  zagadnieniem odrę bnym  [5 i 6].

D la prostoty przyjmiemy  klasyczne hipotezy. Jako pierwszą, najlepszą  naszym  zdaniem
kombinację, przyjmiemy  warunek plastycznoś ci Hubera- Misesa- Hencky'ego  (a

H
) i warunek

wytrzymał oś ci  G alileusza  (rfG). N aprę ż enia zastę pcze wyraż ają  się nastę pują cymi  wzorami:

d
n
  =   l / y  l/ (CTi- ff2)

2+ ((T2- o'3)2+ (ff3- o'1)2,

aG  =   Ci,  di   ̂ di   ̂ di.

Równanie

(3.2)  w(d„,  d
G
) =  F(d

H
,  a

0
) =  const

okreś la  powierzchnię  równych  wytę ż eń,  która  pokrywa  się  z  powierzchnią  graniczną
naprę ż eń  dla poziomu  wytę ż enia  w wedł ug  definicji  probabilistycznej  [7].

Powierzchnię  graniczną  naprę ż eń  wyrazimy  analitycznie  przy  uż yciu  ukł adu  walco-
wych  niezmienników  naprę ż enia  d

A
, cr

D
,  a>

u
.

Walcowym  ukł adem  niezmienników  wzglę dnie  współ rzę dnych w przestrzeni  naprę ż eń
nazywa  się  nastę pują cą  transformację  naprę ż eń  gł ównych:

(3.3)  <Ti, =   l / 4 ł / ( f f i-

^ 2 — f f 3  tf2—0^3

coCT =   a r c si n —p = — =   arct g  —=



KORELACJA  CECH   WYTRZYMAŁ OŚ CIOWYCH   I  WYTĘ Ż ENIE  MATERIAŁ U 39

Z apis  analityczny  waru n ku  plastyczn oś ci  i  waru n ku  wytrzym ał oś ci  we  wspó ł rzę d n ych
walcowych  jest  n astę pują cy:

(3.4)

a  in terpretację  geometryczną  podaje  rys.  2.

\
s

\

X

\
\

X

V

X

X
X

\
\

X
v

\

X ,

k

\

x ^N

&H  d/ g  G.

i  /

\ \
W(6H,GS)=0,0222  -

\
N

\

X

s

- 80  - 70  - 60  - 50  - 40  - 30  '20  - 10

\
120

110

100

w
80,

SO

40

3 0

SO

10/

[ kS/ n

\

V

/
/
N

\
y

' /

N

zż .

X

V

- ^

(5Q  d/ a  ^

1

K
/
X
X

y

V
\

A
\ 6

\ 0  10  20  30  40  50  60  70  £0  90  700 710  120  SA.

Rys.  2

Ś lady  przecię cia  powierzch n i  granicznej  z  pę kiem  pł aszczyzn  przech odzą cych  przez
oś  a

A
  dla  róż n ych  ką tów  a>„  dają  prost e  crH  dla waru n ku  plastyczn oś ci  i p r o st e  <yG  dla  wa-

ru n ku  wytrzym ał oś ci.

Wprowadzam y  p aram et r  t:

(3.5) t  = -

i  przyporzą dkowujemy  każ dej  prostej  drodze  obcią ż enia  wychodzą cej  z p u n k t u  począ t ko-
wego  a

A
  =   0, a

D
  =  0  okreś loną  wartość tego p aram et ru . A  zatem p rzy  u st alo n ym  ką cie  ca

a

m am y  równ ież  linię  prostą  n a  pł aszczyź nie  n aprę ż eń  zastę pczych  cf
n
,  <y

G
. Jej  r ó wn a n ie

uzyskujemy  ze  wzoru  (3.4):

n  ̂ IV*  ,  2
(P- o)  tfG  =  I ——\ -   —  cos OJ,
co  obrazuje  rys.  3.

Analogicznie,  przy  zał oż en iu in n ych  warun ków  wytrzym ał oś ciowych  m o ż na  zbu d o wa ć
in n e  warian ty  powierzchn i  gran iczn ych  w  przestrzen i  n aprę ż eń  gł ówn ych  i  p ę ku  p ro st yc h
n a  pł aszczyź nie  n aprę ż eń  zastę pczych.



40 J .  M U R Z E WS K I ,  Z .  M E N D E R A

< * '

50

45

40

35
n

3 0
• <]

2 5

20

15

10

Z

7 \

5  10  15  20  25  30  35  40  45  50  55__  £O  65  70  75
R*5&,77

Rys.  3

~ os/ e  g
elipsy

\

~~\

N

N

—

\
\

cO- O.- fi

*^

s

^ ^

S*r dla  &

i—X

\
\

"**

- 7o  - 60 - są  - 4o  - 30  - eo  - ;

x

13O

120

N
100

90

80

70

\ .

50

40

ss
10 /

[kd/ mm
1 1

—f-

/

1

/

• J

7
/

6

/ /

1

N

($v  dla  R  ,

/

0
  10  20  30  40

/

/

/

/

- ^  •

<

^ ; —

N
N ,
—ii • ^ —

s

50  60  70  80  90  100  W   120 130  140  150  160  6

[kG/ mm
1
]

Rys.  4

N a  przykł ad  dla  kombinacji  warunku  plastycznoś ci  Treski- G uesta  i warunku  wytrzy-
mał oś ci St Yenanta:

(3.7) =  01  —  01,  Oy  =  Cfl —



K O R E L AC J A  C E C H   WYTR Z YM AŁ OŚ C I OWYCH   I  WYT Ę Ż E N IE  M ATER I AŁ U   4 1

otrzymuje  się  proste  proporcjon aln ego  obcią ż enia  n a pł aszczyź nie  n aprę ż eń  zastę pczych

wg  wzoru:

(3.8)  „ „ =
- !1y- si

Warun ek  analogiczn y  do  (3.2):

(3.9)  w(p
T
,  a

v
)  =   con st

okreś la  odpowiednią   powierzchn ię   graniczną   w  przestrzen i  n aprę ż eń,  co obrazuje  rys. 4.

4.  Ustalenie  poziomu  wytę ż enia

Wykresy  w =  con st n a rys. 2, 3, 4 wykon an e  są   dla  ustalon ego  ko n kret n ego  p o zio m u
wytę ż enia  w — 2,22  %  (tabl. 2).

R óż n ice  krzywoliniowych  wykresów  granicznych  w  stosun ku  d o  linii ł am an ych  wyni-
kają cych  z  determ inistycznych  «zjednoczonych»  h ipotez  był yby  in n e  dla  n iż szych  lub
wyż szych  poziom ów  wytę ż en ia.

Wartość  2,22 % obliczon o  przyjmują c,  że dla  jedn oosiowego  st an u  n aprę ż en ia  argu-
m en t  dystrybuan ty  wynosi  35 kG / m m 2, a  zat em :

oo  c o

(4.1)  w =  P(Q <  k*, R <  k*) =  1 -   /   /   f(Q,  R)dQdR =   0,0222
k*  k*

dla  k* =   35 kG / m m 2 i f(Q,  R) wg  wzorów  (2.1), (2.2), (2.3), (2.4).
P rzyję ta  wartość k* jest nieco mniejsza  niż n orm atywn a m in im aln a gran ica  plastyczn oś ci

fimin  =   36 kG / m m 2  dla stali  18G 2A  i  gruboś ci  4—16  m m ,  ale  wię ksza  niż  tzw.  n aprę ż en ie
graniczne  K=  30  kG / m m 2  (dla  m etody  obliczeń  uwzglę dniają cej  współ czyn n iki  prze-
cią ż enia)  i  wię ksza  n iż  n aprę ż en ie  dopuszczaln e  k =  25 kG / m m 2  (okreś lone  z  zastosowa-
n iem  peł nego  współ czyn n ika  bezpieczeń stwa).  Wart o ść  k*  m a  zn aczen ie  p rzykł ad o we.
R acjon aln e,  obiektywn e  jej  wyznaczenie  wym agał oby  sprecyzowan ia  przezn aczen ia  ko n -
strukcji  i  kosztu  awarii  oraz  zastosowan ia  m etod  optym alizacyjnych  teorii  bezpieczeń -
stwa  [8].

I stotn ą   i  waż ną   rzeczą ,  którą   szczególnie  chcem y  podkreś lić,  jest ,  że  wytę ż en ie  w =
2,22  % został o  obliczon e  wg  (4.1)  po podstawien iu  we  wzorze  (1.3)  równ ych  wart o ś ci:

(4.2)  a
H
  =  a

G
^ k*,

co  odpowiada  pun ktowi  poł oż on emu n a prostej  n ach ylon ej  p o d  ką t em  45°  wzglę dem  osi
ukł adu  n aprę ż eń zastę pczych  (rys.  3). R ówn ość  n aprę ż eń zastę pczych  (4.2) jest t u kon iecz-
n a, bo przy jedn oosiowym  stan ie n aprę ż en ia wynika  on a z definicji  n aprę ż en ia  zastę pczego.

N atom iast  jeś libyś my  okreś lali  wadliwoś ć,  t o  m oż emy  ustalić  dowoln e  p ro p o rc je
2mm i  - Rmm i  n a  ogół   ustala się :

(4.3)  2 m l n  ,4  Rmin,
bowiem  racjon aln e  podejś cie  do  sprawy  ustalen ia  n om in aln ych  wartoś ci  Q

min
  i  R

mllL

w  ś wietle  pracy  [3]  polega  raczej  n a tym ,  by  zrówn ać  czę stość  wyst ę po wan ia  br a kó w



Lp.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

O

9.

10.

11.

12.

13.

Okreś lenie

Jednoosiowe
rozcią ganie

D wuosiowe
rozcią ganie

Czyste
ś cinanie

Jednoosiowe
ś ciskanie

D wuosiowe
ś ciskanie

Trójosiowe
rozcią ganie

Trójosiowe
rozcią ganie

Trójosiowe
rozcią ganie

Trójosiowe
rozcią ganie

Trójosiowe
rozcią ganie

Trójosiowe
rozcią ganie

Trójosiowe
rozcią ganie

Trójosiowe
rozcią ganie

Tablica  2 Numeryczne  wyliczenie  granicznych  tensorów  naprę ż enia  dla

Stan  naprę ż enia

N aprę ż enie  gł ówne

er,

a  •

a

a

0

0

a

a

a

a

a

a

a

a

Ol

0

a

0

0

—a

a

a

a

1
2

9

1
4  °

T
a

0, 28C T

(T3

0

0

— a

—a

— a

a

1
2  °

1

1

9

T
a

0,28(7

Współ rzę dne  walcowe

I /   (J

2

0

- l/ ł"
2

yTo-

5

2 yT
9

4j/ 3~ "

1,23(7

3

5

3  |/ 3  ^

0,90cr

ł / ł "
"i  /
1/   *— ^

]/ 2~<r

YT°

0

6

T

0,36(7

0,59ff

0°

60°

30°

60°

0°

dowolne

60°

60°

0°

0°

0°

0°

0

"A

V  "2"

O O

- A

0

yT
5

Tl/ r
0,291

1

j/ 2~

AT / 2

0,655

Wzór  ogólny

C fj  =   O*FJ  ^ =   Je

<y
G
  =   o

O-G   =   O

ffff  —  2 ^

cr G   -   1, 5C T H

o
a
  =   2 C T W

cr G   =   2, 287( T #

_  4

3

CTG   =   l , 5 o r H

a
G
  =  i,3Sla

a

W (GII,  <TG) =   con st

/  j / T  2

Wartość

<?H  (kG / mm 2)

35,00

35,00

35,00

35,00

35,00

0

24,75

33,00

24,75

21,60

35,00

33,00

34,70

Wartość
a

G
  (kG / mm 2)

35,00

35,00

20,20

0

0

49,57

49,50

49,50

49,50

49,50

46,70

49,50

48,10

0,0222

0,0222

0,0222

0,0222

0,0222

0,0222

0,0222

0,0222

0,0222

0,0222

0,0222

0,0222

0,0222



KORELACJA  CECH   WYTRZYMAŁOŚ CIOWYCH   I  WYTĘ Ż ENIE  MATERIAŁU   43

o zaniż onym Q lub R, a uzyskuje  się  to wtedy, gdy  Q
min

  i i?m ł n są   kwantylami tego  samego
rzę du  rozkł adów  brzegowych,  czyli

( 4.4)  Qmin =  Q—  V<2>  ^min  =   ^ — ^ R >

gdzie  1 =   const jest  standaryzowanym  odchyleniem granicznym,  bę dą cym  funkcją   wad-
liwoś ci  parametrycznej.

N a  zakoń czenie  poruszymy  jeszcze  kwestię   zwią zku  wytę ż enia  z  bezpieczeń stwem.
Otóż uważ amy, że nawet w  najprostszym jednorodnym'polu  naprę ż eń,  dział ają cym w ele-
mencie konstrukcyjnym,  nie są   to poję cia  ś ciś le  z  siebie  wynikają ce.  Bowiem  ten sam ele-
ment projektowany  dla wielu  powtarzalnych budowli, mają cych  pracować w  tych samych
warunkach,  naraż ony  bywa  w  rzeczywistoś ci  n a  niekoniecznie  takie  same  obcią ż enia.
Trzeba  wię c  zrezygnować  z  postulatu  stał oś ci  naprę ż enia  i  analizować  bezpieczeń stwo
traktują c  także  obcią ż enia  jako  zmienną   losową .

L it e r a t u r a  cytowan a  w  t ekś cie

1.  A.  M .  J^JI H H ,  MameMamunecKiiH  cmamucmuKa  e  ?nex»ui<e, CoBeTCKaa  H ayK a,  M o cK Ba  1958.
2.  Z .  MEN D ERA,  W ytę ż enie  spoiny  czoł owej  w  poł ą czeniach  stali  konstrukcyjnej  o podwyż szonej  wytrzy-

mał oś ci,  Rozprawa  doktorska,  Politechnika  Krakowska,  Kraków  1964.
3.  Z .  MEN D ERA,  Korelacja  cech wytrzymał oś ciowych stali i jej  wpł yw na wadliwoś ć ,  Arch.  I n ż yn. Lą dowej,

1966.
4.  R.  M ROM LIŃ SKI,  Konstrukcje  aluminiowe,  Wyd.  I I , Arkady,  Warszawa  1964.
5.  J.  M U RZEWSKI,  Z.  M EN D ERA,  Yield  surface of  steel deiermined  by  semi- empirical  method, Buli.  Acad.

Polon.  Sci.,  Sć rie  Sci.,  Techn.,  7,  11  (1963).
6.  J.  M U RZEWSKI,  Z .  M EN D ERA,  W ytrzymał oś ć stali i ż eliwa w ogólnym stanie  naprę ż enia, P AN  i  P Z I TB,

Konstrukcje  stalowe  w  budownictwie  i  mostownictwie,  Księ ga  pokonferencyjna,  Arkary,  Warszawa
1960,  243.

7.  J.  M U RZEWSKI,  A  probabilistic theory of  plastic  and brittle  behaviow  of  quasi- homogeneous  materia/ s,
Arch.  Mech.  Stos.,  2,  12(1960),  203.

8.  J.  M U RZ EWSKI,  W prowadzenie  do  teorii  bezpieczeń stwa  konstrukcji,  P WN ,  Warszawa  1963.
9.  J.  R YŚ,  Zależ noś ć  statystyczna  R

r
  i  a

B
  od  skł adu chemicznego w  stalach  konstrukcyjnych  wę glowych

wyż szej jakoś ci,  Arch.  H utn .,  2,  4  (1961),  147.
10.  H . B.  C M H P H O B ,  JI . H .  BO JI I H E B,  T a6jiuubi  ÓAH eunucnejmn  (ftymituu  bayMepmzo  HopMa/ tbiiOŁ O

pacnpede/ ieHUH,  AH   C C C P ,  M ocKBa  1962.
11.  W.  WIERZ BIC KI,  Obiektywne  metody  oceny  bezpieczeń stwa  konstrukcji  budowlanych, P WN ,  Warszawa

1961.

P  e  3  IO  M e

KOPPEJMLLHfl  IIPOtIH OCTH ŁIX  CBOftCTB  H   HAIIPfl)KEHHOCTL  MATEPH AJIA

fljiH   KOHCTpyKiiHOHiioH   cTajiH   npeflnojiaraeTCsi  flByM epH oe,  H opMajiEitoe  p a c r ip en ejiem ie  n pep;ejia
Q  H  npeflejra  npo^H ocTH   R, f(Q,  R)  H  onpenejiH ioTCJi  Bce  I I H TB  napaiweTpoB  3Toro  p a c n p e -

a  H M C H KO:  cpeflH H e  3HaHCHHH  Q  u  R,  cpe,miee  OTKjioHeHHe  / .IQ H  JIR,  a  Tatoice
QR —  c



44  J.  M U RZEWSKI,  Z.  MENDERA

ił   an ajM 3  npoBOfliuicn  Ha ocHOBe  pe3yjii>TaTOB  H cnbrranH H  Ha pacTOMcenne  874  o 6p a3-
c jiyja ił u o  Bbipe3aim bix  H3  JH ICTOB  HH3i<ojiernpoBaHHOH,  MaprairqeBO- KpeittHneBOH   CTajin  TOJI -

IHHHOH   6 MM.
rio n yiieH H bie  pe3yjitTaTŁi  flaioT  BO3iMC»KHOcTb  onpeAejił iTb  npefleji  pa3pyiueH H H   n p n  OAHOOCHOM

Hanpn>t<eHHOM   cocTOHHHH,  noHHAiaeMwS  I O K 06- beflnneH He  ( B CMbicjie  TeopnH   BepoHTHOcTH)  npeflejia
njiacTHMHOCTii  Q  u  n p eAen a  n po^uocT H   R  jijin  3aaaH H oro  yp a siM   n a T yr u .

H a r y r a  noH H MaeTcn  i<ai<  BeponTHOcTB u MOweT  6WT Ł  Bbipa>Keira  n p ii  n oM om u  HByMepHwx  4>yHi<UHH
n a  TewytiecTH   H   n peflen a  n p o ^ H o c r n ,  Ha ocHOBe  (|)opMyjibi  ( 4. 1) .

n peflejia  pa3pyiueH H H   o6o6maeTCH   Ha  cjiy^aii  cno>KH oro  Hanp5i>KeHHoro  COCTOH H IIJI.
3 T O  npuBOAH T  K  rpaiwwiibiM   noBepxiiocTffM ,  nocTpoeHHbiM   fljiH   3aflaH H oro  ypoBH fi  H aTyn i  2 , 2 2 %
H   ffrra  KOMSHHauHH  ycjioBH H   njiacTHiiHocTH   H  npoHHOCTH  ry6epa- M H 3eca- reH KH   H   F ajiH ueH ,  a  3aTeM
TpecKa  H   CeH- BeHaHa.

e,  yionna&T ca  B3aiiM0CBH3b  noiiflTHH   H aTyru  B  BepcmTHOCTHOM   cM bicne  H  H OH H TH H  n p
n p a  CTaTHCTH êcKOM   KOHTpone  KaqecTBa.

S  u m  m a r y

T H E  C OR R E LATI ON   O F   STREN G TH   PROPERTIES  AN D   M ATERIAŁ  U N SERVICEABILITY

Two  dimensional  norm al  distribution  of  yield  limit  Q,  and  cleavage  limit  R, f(Q,  R),  has  been
assumed  for  structural  steel,  A  set  of  five  parameters  of  the  distribution  has  been  found  by  raeans  of
statistical  analysis,  n am eiy:

mean  values  Q  and  R,  mean  deflection  ną   and  / / R  as  well  as  the  correlation  coefficient  CQR.
The  statistical  analysis  was  carried  out  on  the  basis  of  874  test  specimens  cut  out  from  Iow  alloy

manganese  silicon  steel  sheet  6  mm thick.
The  results  allow  to  define  a  failure  limit  in  uniaxial  stress  meant  as  an  alternative  of  yield  limit  Q

an d  cleavage  lim it  R  (in  probabilistic  meaning)  for  given  unserviceability  level.
The  unserviceability  is  considered  as  probability  and  may  be  expressed  with  the help  of  the cumu-

lative  fun ction  of  the  two- dimensional  yield  limit  and  cleayage  distribution  by  the  formuł a  (4.1). The
definition  of  th e failure  limit is  generalized  for  three- axial  stress  states  and  limit  surfaces  are  derivedfor
t h e  given  unserviceability  level  2.22%  and  for  the  combination  of  either  H uber- Mises- H encky  and
G alileo  or  Tresca  and  St.  Venant  yield  and  fracture  conditions.

F urth er  a  relation  between  unserviceability  in  probabilistic  meaning  and  defectiyeness  as  applied  in
statistical  control  of  ą uality  has  been  defined.