Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS67\MTS67_t5z1_4_PDF\mts67_t5z1.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

1,  S (1967)

ZASTOSOWAN IE  RACH U N KU  ZABU RZEŃ   W  P ROBLEM AC H   STATE C Z N OŚ CI
P ŁYT  PROSTOKĄ TN YCH   O  Z M I E N N E J  G RU BOŚ CI

AN TON I  G A J E W S K I  (KRAKÓW)

1.  Uwagi  wstę pne

W  pracy  niniejszej  wykorzystano  metodę   rachunku  zaburzeń  (metodę   perturbacji)
w  postaci  stosowanej  gł ównie  w  zagadnieniach  mechaniki  kwantowej  do  rozwią zania
problemu  statecznoś ci  pł yty  prostoką tnej  swobodnie  podpartej  o  zmiennej  sztywnoś ci,
wszechstronnie  ś ciskanej  sił ami  o  liniowo  zmieniają cych  się   natę ż eniach,  dział ają cymi
w  pł aszczyź nie  ś rodkowej  pł yty.  Istnieje  niewielka  liczba  rozwią zań  przybliż onych,  doty-
czą cych  statecznoś ci  pł yt  prostoką tnych  o zmiennej  sztywnoś ci,  natomiast w  ogóle  nie  są
znane rozwią zania  cał kowicie  ś cisł e. Powodem  tego jest  nie  tylko  skomplikowana  postać
równania  powierzchni  wyboczonej  pł yty, ale  również  konieczność  rozwią zania  problemu
tarczy  o zmiennej  gruboś ci  i  okreś lenia  rozkł adu dział ają cych  sił  w funkcji  współ rzę dnych
(nawet  w  przypadku  obcią ż enia  brzegów  pł yty  stał ymi  sił ami).  Wś ród  prac  podają cych
rozwią zania  przybliż one  należy  wymienić  przede  wszystkim:  pracę   W. H .  WITTRICKA
i  C. H .  ELLENA  [10], w  której  zbadano  stateczność  pł yty prostoką tnej  o liniowo  i  wykł ad-
niczo zmiennej gruboś ci,  pracę  A.  Sz.  BOŻ ENOWA  [3],  w której  metodą  róż nic skoń czonych
obliczono  sił ę  krytyczną   dla  pł yty  kwadratowej  o  liniowo  zmiennej  gruboś ci  w  jednym
kierunku, ś ciskanej  stał ymi sił a m iN

x
iN

y
o  róż nych  natę ż eniach, pracę   M.  BANASIAKA  [1],

w  której  podano  rozwią zanie  zagadnienia  dla  pł yty  prostoką tnej  o  liniowo  zmiennej
gruboś ci,  obcią ż onej  liniowo  zmieniają cymi  się   sił ami,  wreszcie  pracę   [6],  zawierają cą
ś cisłe  rozwią zanie  równania  powierzchni  wyboczonej  pł yty  prostoką tnej  wszechstronnie
ś ciskanej  stał ymi sił ami o liniowo  zmiennej  sztywnoś ci,  jednak  przy  zał oż eniu  upraszcza-
ją cym, że sił y podł uż ne wewną trz  pł yty są  również stał e.

We  wszystkich  cytowanych  wyż ej  pracach  stosuje  się   przybliż one  metody  do
rozwią zywania  nieś cisł ego  równania  powierzchni  wyboczonej  pł yty,  otrzymanego
przy  zał oż eniu, że  rozkł ad  sił  podł uż nych i  stycznych  wewną trz  pł yty  jest  taki  sam  jak
na  brzegach.  W  niniejszej  pracy  postaramy  się   rozwią zać  zagadnienie  z  uwzglę dnieniem
problemu  tarczowego.  Znacznie  wię cej  rozwią zań  ś cisł ych  i  przybliż onych  jest  dla  pł yt
koł owych; obszerny przeglą d  tych rozwią zań  podano w pracy  [5].

Ponieważ uzyskanie  rozwią zania  ś cisł ego danego problemu jest praktycznie  niemoż liwe,
postaramy  się   wię c podać  przynajmniej  rozwią zania  waż ne  dla  niewielkich  zmian  sztyw-
noś ci  i  niewielkich  zmian  obcią ż enia.  Rozkł ad naprę ż eń  w  pł ycie  okreś limy  rozwią zując
odpowiednie  równanie  na funkcję   naprę ż eń dla  tarczy  zwykł ą   metodą   mał ego param etru,
a nastę pnie zastosujemy  metodę  rachunku zaburzeń do równania  okreś lają cego  powierzch-
nię   wyboczoną   pł yty.  M etoda  ta  zostanie  uogólniona  w  stosunku  do  metod  podanych
w podrę cznikach  [2,4 i 8] oraz w pracy  M.  SOKOŁOWSKIEGO [9].

8  M echanika  teoretyczna



114 A.  G AIEWSKI

2.  Sformuł owanie  zagadnienia

Celem  niniejszej  pracy  jest  obliczenie  sił y  krytycznej  powodują cej  wyboczenie  pł yty
prostoką tnej  swobodnie  podpartej  na wszystkich  brzegach  (rys.  1). Pł yta jest  wszechstron-
nie  ś ciskana  sił ami  przył oż onymi  na  brzegach,  o  liniowo  zmieniają cych  się   natę ż eniach,
okreś lonymi  za pomocą   wzorów:

(2.1) 2 V,   =

dla  x  =   O  i  x  =   a,

dla

dla x  =   O, x  =   a,

y  =  O,y  =  b,

gdzie N o oznacza  wielkość  sił y  n a  jednostkę   dł ugoś ci  dla  x  ==   0 i y  =   0, e oznacza mał y
param etr  (s  <§ 1), r]i i  rj

2
—pewne  dowolne stał e speł niają ce  warunek  |ł ?i| <  1 i  \ rj

y|

1.

Hi

R ys.  1

Zał oż ymy pon adto, że grubość pł yty nie jest stał a i zmienia się  wedł ug wzoru

(2.2)  h(x,y)  = h

gdzie  ho jest to  grubość  pł yty w począ tku  przyję tego  ukł adu współ rzę dnych,  ai i
dowolne stał e speł niają ce  warunek  |cti|+ |ct2|  <  1, % dowolna stał a.

Równanie opisują ce  powierzchnię  wyboczoną   pł yty o zmiennej sztywnoś ci  [10]

pewne

(2.3)
d

2
D  8

2
w

8xdy  8x8y
8

2
D

~~8f

8x
2 dy

2

8xdy



ZASTOSOWANIE  RACHUN KU   ZABURZEŃ   W PROBLEMACH   STATECZNOŚ CI  PŁ YT  115

zawiera  n iezn an e n a  razie  wielkoś ci  sił  N
x
,N

y
,N

xy
  ja ko  funkcje  x i y, kt ó re  n ależy  wyzn a-

czyć z równ an ia n a funkcję  n aprę ż eń dla  tarczy  o zm iennej gruboś ci  [7]

W  równ an iach  (2.3) i  (2.4) wprowadzon o  ozn aczen ia:

£ 7;3  1
( 2.3)  *J\ X, y)  "T^T/i  2 \ '  •-* v^  y)  '—  I- I; ,
v  '  12( 1—v Ł )  Eh

w jest  ugię ciem  pł yty, v współ czyn n ikiem P oisson a  oraz

8
2
F  d

2
F  8

2
F

(2.6)  N
x
 = - r- 2,  iVJ, =  - T T ,  N xy=  —Jak  więc  widać,  n ależy  n ajpierw  z ró wn ań  (2.4)  o r a z  wzorów  (2.6)  obliczjip  wielkoś ci sil,

a  więc rozwią zać  zagadn ien ie  tarczowe  dla  dan ego  u kł a du  obcią ż eń  brzegowych  (2.1).

3.  Zagadnienie  tarczowe

R ozwią zan ia  równ an ia  (2.4) bę dziemy  poszukiwać  m etodą m ał ego p a r a m e t r u w p o st aci

szeregu:

(3.1)  F(x,  y)=^   F
t
(x,  y)ł   =   F

a
(x,  y)+sFx(x,  y)+e

2
F

2
(x,

;= o

przy  dan ej funkcji  S (z ró wn ań  (2.2) i (2.5)), kt ó ra p o rozwin ię ciu przybiera  p o st a ć

(3.2)  S^

P odstawiając  wzory  (3.1)  i  (3.2)  do równ an ia  (2.4)  i  przyrówn ując  współ czyn n iki  p rzy
wszystkich  potę gach  e do  zera  otrzym am y  ciąg  r ó wn a ń :

(3.3)  V2V2/ b  =  0,

(3.4)  V2V2Fi  =  *V2 |  L i ^  +   « 2 y

(3.5)  V2 Vl F 2 =

P o d o bn ie  ze  wzorów  (2.6)  dostajem y  ciąg  waru n kó w  brzegowych  d la  funkcji
# 0- 0,1,2,...):

8f  d f b  df

8
2
F

a
  d

2
Fi  A r  je  8

2
F

2
N  ^ *  • ^2 -   =   0 > -   d l a  y  =



116 A.  G AJEWSKI

dxdy
=   0  dla  JC  =   0,  x =  a,  y =  0,  y = b.

Rozwią zaniami  ś cisł ymi  równań  (3.3)  i  (3.4)  speł niają cymi  warunki  brzegowe  (3.6) są
funkcje:

(3.7)

(3.8)

natomiast rozwią zanie  równania (3.5) przyjmiemy  w postaci  przybliż onej:

(3.9)

gdzie

F
2
=jAN ox(x- a)y(y- b),

F unkcja F
2
{x,  y) speł nia równanie (3.5) oraz warunki brzegowe - ^ j-

8
2
F

2

=  0  *£ =   0 ,

nie  speł nia  natomiast  lokalnie  warunków  brzegowych
dx3y .v= 0,  x*=0

=   0,  dobrana  jest

jednak  tak,  aby był y one speł nione cał kowo, tzn. abyJ7VXJ,(fe =   0n a każ dym brzegu tarczy.

Ostatecznie,  korzystając  ze wzorów  (2.6)  obliczymy  rozkł ad  sił   podł uż nych i  stycznych
na jednostkę  dł ugoś ci w funkcji  współ rzę dnych x i y z dokł adnoś cią  do  trzech wyrazów
szeregu  mał ego  param etru:

(3.11)

N
x
  =  N o I l+s7

]2
^ +s

2
Ax(x~a)+  ...  I,

4.  Stateczność  pł yty

Obecnie  zadaniem  naszym  jest  przybliż one  rozwią zanie  równania  (2.3),  w  którym
sił y  N

x
,N

y
i  N

xy
  okreś lone są wzorami  (3.11) a sztywność  pł yty zmienia  się  wedł ug zależ-

n oś ci:

(4.1)



ZASTOSOWANIE  RACH U N KU   ZABU RZEŃ   W  PROBLEMACH   STATECZN OŚ CI  P Ł YT  117

a więc po rozwinię ciu n a szereg  potę gowy  wzglę dem  m ał ego p aram et ru

(4.2)  D(x,y)  = Do^ i + 3x\ rMj + a
2
^ je+jy.(3x- \ Ą a

i
~   + a

2
^ e^ +  ...J.

Wstawiając  wyraż en ia  (3.11)  i  (4.2)  d o równ an ia  (2.3)  otrzym ujem y  (ogran iczając  się d o
wyrazów  stoją cych  przy potę gach e n ie wię kszych  n iż 2) :

(4.3)  V2V2u+ V2|"3 (̂a1 -̂  +  a2 |- )v
2 vvl£ + {v

2 f|«( 3 «- l)L^+ a2 ^j  w l  - f

V  ÓW  X  O  W

gdzie  X =  —
W  dalszym  cią gu  przyję cie  funkcji  M!(XJ>)  oraz  wartoś ci  wł asnej  A w  p o st aci  szeregu

potę gowego  wzglę dem  m ał ego p aram et ru prowadzi  przy  zastosowan iu  zwyczajnej  m et o d y
m ał ego  param et ru  [9] (jak w  p kt . 3) do szeregu  ró wn ań  róż n iczkowych  czą stkowych  n a
funkcje  w>j oraz wartoś ci  wł asne X

h
  przy  czym  pierwsze  z nich jest jed n o r o d n e,  a wszystkie

n astę pne  są  równ an iam i  n iejedn orodn ym i.  T ru d n o ść  polega  t u t aj  n a  rozwią zywan iu
ró wn ań  n iejedn orodn ych ;  aby  tego  un ikn ą ć,  zastosujem y  rach un ek  zabu rzeń  opart y
n a  uję ciu  uż ywan ym  w  m ech an ice kwan towej,  lecz  zn aczn ie  ogólniejszym  od  p o d a n ego
w podrę czn ikach  [2, 4 i 8].

D o  równ an ia  (2.3) (lub  (4.3) n ależy  doł ą czyć  warun ki  brzegowe,  kt ó r e  w  n aszym
przypadku  dla pł yty swobodn ie  podpartej n a wszystkich  brzegach  są  n astę pują ce:

(4.4)  w =   0  i  V2vt> =  0
n a  wszystkich  brzegach pł yty

Obecnie podam y szkic wyprowadzen ia podstawowych  wzorów  n a p o p rawki  do wartoś ci
wł asnej  X w oparciu o rach u n ek zaburzeń .

4.1.  Rachunek zaburzeń.  C elem  naszym  jest  rozwią zan ie  ró wn an ia  róż n iczkowego
liniowego  n a funkcje  i wartoś ci wł asn e:

(4.5)  Hw =   XMw,

w  kt ó rym  operatory lin iowe H i M m oż na zapisać w post aci szeregu potę gowego  wzglę dem
m ał ego p aram et ru :

(4.6)  H =

( 4. 7)  M  =

gd z i e  Hl  o r a z  M'  (i — 0, 1, 2  . . . )  są  r ó wn i e ż  o p e r a t o r a m i  r ó ż n i c z k o w y mi  l i n i o w y m i .
Wyr a ż a jąc  fu n k c je  wł a s ne  w

n
,  o d p o wi a d a ją ce  w a r t o ś c i om  w ł a s n ym  X„, r ó w n i e ż  p r z e z

sz e r e gi  p o t ę go we  wz gl ę d em  m a ł e go  p a r a m e t r u

( 4. 8)
  W n

(4- 9)  X
n



118  A.  G AIEWSKI

otrzymamy,  po  wstawieniu  (4.8),  (4.9)  oraz  (4.6)  i  (4.7)  do  równania  (4.5)  nastę pują cy
ciąg  r ó wn a ń :

(4.10)

(4.11)

(4.12)

Zał oż ymy, że znamy funkcje  wł asne iv,f,0) i  wartoś ci  wł asne 1^   dyskretnego widma  wartoś ci
wł asnych  dla niezaburzonych operatorów H1- ® i M^ °\  tj.  znamy ś cisłe rozwią zanie równania
(4.10). W  dalszym  cią gu przyjmiemy,  że ż adna z wartoś ci wł asnych /l,(,0) nie jest zwyrodniał a
(tzn.  każ dej  wartoś ci  wł asnej  odpowiada  tylko  jedna  funkcja  wł asna)  oraz  że  funkcje
wł asne wj,0)  speł niają  w pewnym  obszarze  zwią zek

(4.13)

a  więc są  ortogonalne w tym  obszarze do funkcji  M ( o ) w,(,0) (m ^  n) i moż na je unormować
w myśl  wzoru  (4.13). We  wzorze  tym w przypadku  wielowymiarowym  obszar cał kowania
jest  pewną  obję toś cią  przestrzeni  wielowymiarowej,  element dx  oznacza element  obję toś-
ciowy  tej  przestrzeni,  a  symbole  m  i n  oznaczają  cał e zbiory  wskaź ników,  których  liczba
jest  n a  ogół   równa wymiarowi  przestrzeni. Wobec tego że funkcje  w,(,0) speł niają  warunki
brzegowe  (4.4),  poszukiwane  funkcje  w$  (i =  1,2,3,  ...)  przedstawimy  przez  szeregi
funkcji  wł asnych  zerowego  przybliż enia

(4.14)  wp=£ctiM»,  / -   1,2,3,...,

gdzie c^ il są  pewnymi stał ymi współ czynnikami.
Po  podstawieniu  szeregu  (4.14)  do  równania  (4.11)  mnoż ymy je  z  lewej  strony przez

w^   i cał kujemy po cał ym obszarze ortogonalnoś ci.
Korzystając  z warunku  (4.13)  otrzymujemy

(4.15)  AJP - flg},
gdzie  wprowadzono  oznaczenie:

(4.16)  2V®  =   /   w^ N ^ w^ dx,  i =   1, 2, 3, ...
v

oraz podobnie dla H^ l  i
M noż ąc równanie (4.11) przez wj™ i cał kując obliczamy współ czynniki c ^ :

(4.17)  cffi  =
  n

Korzystając  w  dalszym  cią gu  ze wzorów  (4.14), (4.15) i  (4.17) oraz równania (4.12) w po-
dobny  sposób  obliczamy



ZASTOSOWANIE  RACHUNKU   ZABURZEŃ   W  PROBLEMACH   STATECZNOŚ CI  PŁYT  119

V T  A7(1)ATn)  V T  A/ '1'  M^
5(2)  —  N <- 2)+  >  — ' , " ' " " " '  —  jy d )  >   m "  ' ""

A ,

gdzie operatory JV' okreś lone są   wzo ram i:

(4- 19)

Kreska przy zn aku sum y  ozn acza, że należy sum ować po wartoś ciach m  ^  n.
Z e  wzorów  (4.15)  i  (4.18)  wyn ika,  że jeż eli  zn am y u kł a d  funkcji  podstawowych  w^ \

to  obliczenie  pierwszej  poprawki  jest  niezwykle  pro st e  i  zapewn e  mniej  p ra c o c h ł o n n e  n iż
w przypadku  stosowan ia  zwyczajnej  m etody m ał ego p a r a m et r u ; równ ież  obliczen ie  drugiej
poprawki  prowadzi  do  prostych  przekształ ceń i  pozwala  un ikn ą ć  rozwią zywan ia  zwykle
dość skom plikowan ego  równ an ia róż niczkowego  n a funkcję   wf}  a t akże n a  v $ \

Wykorzystam y  obecn ie wyprowadzon e wzory  (4.15) i  (4.18) do rozwią zan ia  zagadn ien ia
podan ego  w  p .  2.

4.2.  Obliczenie siły  krytycznej.  P orówn ują c  wzory  (4.5),  (4.6)  i  (4.7) z  ró wn an iem  (4.3)

widzimy,  że  operatory  róż n iczkowe  H'  oraz  M'  w  p o d a n ym  problem ie  są   n ast ę p u ją ce:

=   V2V2,

< 4 - 2 0 )

- ")  2
dxdy  a

2
'  dy

2
  b

2
  Bx

1
)]'

M  C°>

(4.21)

Rozwią zanie  równ an ia  (4.10),  odpowiadają ce  problem owi  wszech stron n ego  ś ciskan ia
stał ym i sił am i pł yty o stał ej gruboś ci,  a wię c ró wn an ia

(4 22)  V 2 W 0 )  =   hw  V2w(0)



,  rmy
w%i=  C m „ sin  sin- /,

120  A.  G AJEWSKI

jest dobrze" znane i wyraża  się  nastę pują co:

(4.23)

Amn — ~
71  I ~^f +  ~pr  I •

F unkcje wł asne w^ „ speł niają   warunek ortogonalnoś ci (4.13)

a  b

(4.24)  j  J  w(mlM mw$dxdy  = <5„v<5„v
o o

wówczas, gdy począ tkowo dowolna stał a  C,„„ równa się

(4.25)  c,„„ =   .J2;1  ,  i =   ]/ - 1,

W  dalszym  cią gu  wzory  (4.15) i (4.18) należy przystosować do zagadnienia  dwuwymia-
rowego,  a  wię c  cał ki  pojedyncze  zastą pić  podwójnymi  oraz  sumy  po jednym  wskaź niku
zastą pić  sumami  po  wszystkich  wskaź nikach  numerują cych  funkcje  wł asne  zerowego
przybliż enia.  Pierwszą   poprawkę  do wartoś ci wł asnej Aj$J obliczymy bardzo prosto ze wzoru:

a  b

(4.26)  A<;> o. /   /
o  o

ostatecznie  po  scalkowaniu;

(4.27)

gdzie

b
 -

Podobnie drugą  poprawkę  do  wartoś ci wł asnej ^ °,{ moż na obliczyć ze zmodyfikowanego
wzoru  (4.18)

oo  oo  oo  co
1)
v,  mnV

i

który po wykorzystaniu  (4.19) przybiera postać
oo  oo

V i  v~V W^
1'  ffW

^ • ""J  "mn  - '• 'jnn.mii  "• mnlrlnin,mn  " m » M m n ,  M 1  / ,  / ,  o (o)  j(o)

^  7 T B  '""  "v

oo  oo  co  oo

mn,vif'
vl
iiv,  m n T - "p v, m ii™m n , ) iv3( 1)  \ '  \ '  n ^ , mnlvJ- mn,  lxv  1

n  K^ mn^ T ^ mn) y y~
ZJ  Z  m- i



ZASTOSOWANIE  RACHUNKU   ZABURZEŃ   W  PROBLEMACH   STATECZNOŚ CI  PŁYT  121

Ostatecznie  po  wykon an iu  ż m udn ych  lecz  prostych  obliczeń,  w  kt órych  p o d wó jn e  su m y

ze  wzoru  (4.29)  przechodzą   w  pojedyncze,  z  uwagi  n a  warun ek  o rt o go n aln o ś ci  (4.13)

otrzym ujem y:

(4.30)  Aftl  Affi J 3 ( 3  1) [ i  ( f + $  ^  ( + j )  +

gdzie

oo

V
V = l

(4.31)  5 3  =
( 1 = 1

00

~  2 J

Szeregi  Si,  ...,5*6  są   t ak  szybko  zbież ne,  że  do  ich  obliczenia  wystarczy  dla  dowoln ych
niezbyt  duż ych  m  i « przyją ć  3 lu b  4 wyrazy.

Sił ę  krytyczną   dla  dowoln ych  m  i n wyrazimy  w koń cu przez szereg  potę gowy  wzglę dem
mał ego p aram et ru :

(4- 32) M  1 +   - J O TB +  l W e  +   •••   •
\   "I M   Am i i  /

5.  Przykł ady liczbowe

W  przypadkach  szczególnych  wzory  (4.27)  i  (4.30)  ulegają   zn aczn em u  u p r o szc zen iu ;
jako  pierwszy  przykł ad  p o d am y  sił ę   krytyczną   d la  pł yty  wszech stron n ie  r ó wn o m ier n ie



122  A.  G AJEWSKI

ś ciskan ej  stał ą   sił ą   N o n a jed n o st kę   dł ugoś ci brzegu,  o zmiennej  gruboś ci  tylko  w  kierun ku
osi  x  wedł ug  wzo ru

(5.1)

Wo be c  t ego  p o  przyję ciu  T JI  =  v\ i =   0,  en =   1, ct2 =   0  otrzym am y

(5.2)  ^ m „   =   ^ ^ ^ +

P rzech o d zą c  do  przykł ad u  liczbowego  przyjmiemy  p o n a d t o  pł ytę   kwadratową   o  boku
a  (/3 =   1) i lin iowo  zm ien n ej sztywnoś ci  (x  =  1/ 3),  oraz sposób  wyboczenia  odpowiadają cy
ugię ciu  pł yty  w jedn ą   pół falę  w  kieru n ku  osi  x  i y  (jn  =  l,n=  1).  Współ czynnik  P oissona

(5.3)  JVo.ii  =   2 w 2 - °  ( 1+ 0, 500 e - 0 , 0 8 0 e2 +   . . . ) .

W  drugim  przykł adzie  przyjm iem y  pł ytę   prostoką tną   o  stał ej  gruboś ci  (x  — 0,  ai  =   0,
az  =   0)  ś ciskaną   wszechstron n ie  sił ami  o  liniowo  zmieniają cych  się   n atę ż en iach.  Wzór
(4.32)  ulega  t u t aj  zn aczn em u uproszczen iu

(5.4)  N o^ - ^ nW +pn

1_
2

W  przykł adzie liczbowym  przyjmiemy  pł ytę  kwadratową   o bo ku  a  (j3 =   1) ś ciskaną   w  kie-
r u n ku  osi  x  sił ą   o  stał ym n atę ż en iu N o (772 =   0) oraz  w  kierun ku  osi y  o n atę ż en iu liniowo
zm ien n ym  {rji  =  1). Sposób  wyboczenia  zał oż ymy  w  postaci ugię cia  w jedną   pół falę  w  obu
kier u n ka c h  (uzasadn ion e  dla  pł yty  kwadratowej)  tzn .  m =   1,  n  =   1.  M in im aln a  sił a
kryt yczn a  okreś lona jest  tu  wzorem

(5.5)  2Vo u  =   2n2—=-   ( 1—0, 250e + 0, 06I e 2 +   . . . ) .

W  ko ń cu  p o st aram y  się   okreś lić  wpł yw  ś cisł ego  rozkł adu  n aprę ż eń  n a  sił ę   krytyczną
powodują cą   wyboczen ie  pł yty.  N ależy  w  tym  celu  zauważ yć,  że  jedyn ie  drugi  skł adnik
wzo ru  (4.30)  o t rzym an o  wykorzystują c  współ czynniki  przy  e2  we  wzorach  (3.11). P onie-
wa ż  współ czyn n iki te obliczon e są   w pun kcie 3 w sposób  nieś cisł y, wię c  nasza  ocen a wpł ywu
ro zwią zan ia  zagadn ien ia  tarczowego  bę dzie  również  przybliż on a,  niemniej  pozwoli  n a
wycią gn ię cie  pewn ych  wn iosków.  D o  dalszych  rozważ ań  przyjmiemy  wzór  (5.2)  uwzglę d-
n iają cy  t ylko  zm ian ę   sztywnoś ci  pł yty  w  jedn ym  kierun ku.  Bł ą d  procen towy popeł n ion y
bez  uwzglę dn ien ia  rozwią zan ia  zagadn ien ia  tarczowego  m oż emy  wyrazić  wzorem

TJ/"

(5.6)



ZASTOSOWANIE  RACHUNKU   ZABURZEŃ  W  PROBLEMACH  STATECZNOŚ CI PŁ YT  123

gdzie:

(5.8)

( i , M t t + i ) ( i H + » )
y
~  I2(m

2
+p

2
n

2
)  '

N ależy tutaj wobec stosowania  metody mał ego parametru nał oż yć ograniczenie  n a  iloczyn
x£,  który  powinien  zapewniać  dobrą  zbież ność  szeregu  (5.2).  Orientacyjnie  zał oż ymy,
że  |«e|  <  0,2.  Przykł adowo ocenimy wielkość  bł ę du  (5.6)  dla  nastę pują cych  parametrów:
m =   1,  n =  1,  v =  0,3:

D la  e =   - 0,5  i «  =   0,4  5 =   1,04%; dlae =  0,5 i * =  0,4  5 = 0 , 6 3 % ,  dla  e =   - 0 ,2
i  K — 1,0  5  =   0,62%.

Wyniki powyż sze pozwalają  wnioskować,  że w problemach statecznoś ci pł yt o  zmiennej
sztywnoś ci,  rozwią zywanych  metodami przybliż onymi,  nie  ma potrzeby  okreś lać rozkł adu
sił   podł uż nych i stycznych  w pł ycie rozwią zując  równanie  (2.4). Wystarczy  przyjąć  rozkł ad
tych  sił   wynikają cy  z  rozwią zania  zagadnienia  tarczowego  dla  pł yty  o  stał ej  gruboś ci.
W  przypadkach  szczególnych,  gdy  obcią ż enie  na  brzegach  przeciwległ ych  pł yty jest  taką
samą  funkcją  stał ą  lub  liniową,  a  obcią ż enie  styczne  jest  stał e,  moż na  przyjąć  rozkł ad
sił   podł uż nych i stycznych w pł ycie taki sam jak na brzegach. Bł ąd wynikają cy  ze stosowania
metod  przybliż onych  bę dzie  zapewne  wię kszy  niż  wynikają cy  z uproszczenia  zagadnienia
tarczowego  lub pominię cia  go.

6.  Uwagi  koń cowe

W  pracach  cytowanych  we  wstę pie  pomijano  zmienny  rozkł ad  sił   wewną trz  pł yty
o  zmiennej  sztywnoś ci,  istnieją cy  nawet  w  przypadkach,  gdy  obcią ż enie  n a  brzegach  jest
stał e.  W  niniejszej  pracy  podję to  próbę  okreś lenia  wpł ywu  rozwią zania  zagadnienia  tar-
czowego  na  problem  statecznoś ci  pł yty  prostoką tnej  wszechstronnie  ś ciskanej  liniowo
zmiennymi sił ami. Z uwagi na zł oż oność problemu zastosowano  w zagadnieniu  tarczowym
metodę  mał ego  parametru  oraz  w  zagadnieniu  statecznoś ci  metodę  rachunku  zaburzeń
(specjalną  postać metody  mał ego parametru) uzyskując  rozwią zania  nadają ce  się  do  bez-
poś redniego stosowania praktycznego  w przypadkach niewielkich  zmian gruboś ci  pł yty lub
niewielkich zmian moduł u  Younga.

N a  zakoń czenie  pragnę  wyrazić  wdzię czność  prof.  dr  Michał owi  Ż YCZKOWSKIEMU
za pomoc w wykonaniu tej pracy.

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  M .  BANASIAK,  Zagadnienie utraty  statecznoś ci  pł yt  prostoką tnych  o  zmiennej  liniowo gruboś ci,  praca
doktorska  Ł ódź  1964.

2.  D .  BŁ OCH IN CEW,  Podstawy mechaniki kwantowej, P WN   W- wa  1954.
3.  A. Sz.  BOŻ EN OW,  Stijkist  kwadratnojpł astinki  zminnoj  toł szcziny  stisnutoj w dwóch napriamkach,  P rikł .

mech.,  6,  10  (1964),  638- 631.
4.  E.  F ERM I,  N otes  on  Quantum Mechanics,  Chicago  Press,  1960.



124  A.  G AJEWSKI

5.  A.  G AJE WSKI ,  M .  Ż YCZKOWSKI,  Obliczanie  sprę ż ystej i sprę ż ystoplastycznej  statecznoś ci pł yt  koł owych
o  zmiennej  sztywnoś ci  metodą  odwrotną   Rozpr.  Inż yn.  3,  13  (1965),  587- 622.

6.  A.  G AJEWSKI ,  Pewne rozwią zania ś cisł e problemu statecznoś ci pł yt  o  zmiennej  sztywnoś ci,  Arch.  Inż yn.
Lą dów.  3,  11  (1965),  443- 458.

7.  Z .  KAC Z KOWSKI ,  Statics  ofnon- homogeneous rectangular pł ates anddiscs, N on- homogeneity in  elasticity
and  plasticity,  Symposium,  Warsaw,  1958,  Perg.  Press,  1959,  77- 82.

8.  L.  LANDALF,  E.  Lirszic,  Mechanika  kwantowa, PWN , W- wa  1958.
9.  M .  SOKOŁOWSKI,  Zastosowania metody  mał ych parametrów w  zagadnieniach  pł yt,  Arch.  Mech. Stos.,

3,  5  (1953),  415- 436.
10.  W.  H .  WI TTR I C K,  C. H .  ELLEN , Buckł ing of  tapered rectangular pł ates  in compression,  Aeronaut. Quart.

4,  13  (1962),  308- 326.

P  e 3  IO  M  e

I T P H M E H E H H E  M E T O flA  B O 3 M ym E H H fł   B  3AflA^AX  yC T O J fa H B O C T H
n P iI M O yr O J I Ł H B I X  I I JI AC T H H O K n E P E M E H H O H   T O J im H H BI

IIIupoKO  npiiMeH H eMbiii  B  KBaHTOBoft  MexaHHi<e  Meiofl  BO3MyineHHił ,  ncnojiŁ3yeicfl  B
pa6oTe  fljiH   peineH H H   ycToihuiBOCTH   rmacTHHOK  nepeMeH H oii  >KCCTKOCTH .

n o c n e  o6m eft  nocTaHOBKH   Bo n p o c a,  B  TpeTBeń  tiacTii  p a So ibi  npeflCTaBJieHO  perxieKH e3  n o
M an oro  n a p a M e r p a ,  3aflatm  o  IM OCKOM  HanpjiMteuHOM   cocTOfiHHH   CBOSOAH O  onepToi- t,  npH Moyrojn>Koii
ruiacTHHKH   nepeM eH H oii  T o n m aiibi  n o  $o p M yn e  ( 2. 2) ,  nofl  fleftcTBueM   H arpy3KH ,  onpeflejKH H oii  cjropiws-
JIOH   ( 2 . 1 ) .

B  K eiBepT oń  *iacTn 3  flaioTCH   o 6m n e  (JiopMyubi  fljui  nepBoft  H   BTopofi  nonpaBOK  co6cTBeH H oro  3Ha-
A  ypaBKeHHH   ( 4 . 5 ) ,  n on y^eH H bie  n p ii  HcnojiL3OBaiiHH   iweTOfla  BO3MymeHHH.  3 T H   4>opMyjn>i

ji a  on peflejieH ua  KpiiTiwecKoii  c iija i  B  paccMaTpHBaeMOii  3aflaqe  06  ycTOMHBOCTH
i.  P e3yjitTaTbi  H JuiiocTpiipyioTCH   ^H C JI OBBI M H   npHiyiepaMH.  B  3aKmoH eH H e3  Ha qacTH bix n p n -

Xj  onpefleufieTCH   oTHocHTejihHan  norpeniH ocTL  pemeH H H   Bon poca  06  ycTOHHHBOCTH  nnacTHHOK
c  n epeM en H oił  HceciKOCTbiOj  ocHOBaHHŁix Ha npeHe6pe>KeHHH   6e3MOMeimibiM   HanpH>KeHHbiM   cocTOHHHeM,

S u  m  m  a r y

T H E  AP P LI C ATI ON   O F   TH E  P ERTU RBATION  M ETH OD  I N   STABILITY  PROBLEM S O F
R E C TAN G U LAR  PŁATES  WITH   VARIABLE  TH IC KN ESS

The  perturbation  method  widely  applied  in  quantum  mechanics  is  used  to  solve  stability  problems
of  some  rectan gular  pł ates with  variable  rigidity.

After  t h e generał  formulation  of  the  problem, in the third part  of  the study  the case of  plane  elastostatic
problem  of  a  simply  supported rectangular plate with  yariable  thickness  has  been solved by  the method of
smali  param eter, according  to  the formuł a  (2.2.)  with  loading  (2.1).

I n  the  fourth  part  the  generał   formulas  for  the  first  and  second  correction  of  eigenvalue  A (critical
load)  of  eą uation  (4.5)  obtained  by  means  of  perturbation  methods  are  given.  They  are  also  used  for
calculation  of  critical  load  of  the  investigated  problem  of  plate  stability.  The results  are  illustrated  by  the
numerical  examples.  At  th e  end  a  percentage  error  which  appears  in  solutions  of  stability  problems  of
pł ates  with  variable  rigidity  without  taking  into  account  the effect  of  plane  elastic  problem  is  described.

KATEDRA  FIZYKI  POLITECH N IKI  KRAKOWSKIEJ

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  6  maja  1966  r.