Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS67\MTS67_t5z1_4_PDF\mts67_t5z2.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

2, 5 (1966)

O  ZASTOSOWAN IU   ZASAD   TERM OD YN AM IKI D O  OP I SU
M ATERIAŁÓW OD KSZ TAŁC ON YCH

J.  K E STI N   (P ROVID EN CE)

«F izyka —  bez  wzglę du  na  t o , czy  bę dziemy  ją   nazywali
termodynamiką ,  czy  n ie- —n ie  powinna  być  bezsilna
wobec  sytuacji,  które  moż na  w  peł ni  opisać  opierają c  się
na  wynikach  pomiarów makroskopowych*  (P . W.  BR I D G -
MAN   [1]).

1. Uwaga  wstę pna

Wielokrotnie  próbowano  opisać  zachowanie  się   ciał   stał ych  podlegają cych  odkształ -
ceniu  w  ramach  termodynamiki  klasycznej.  Jedną   z  takich  godnych  uwagi  prób  podją ł
P.  W.  BRIDGMAN   [1], który  doszedł  do wniosku,  że program  taki jest  oczywiś cie  moż liwy
do  zrealizowania, ale w tym celu konieczne jest najpierw  pewne uogólnienie termodynamiki.
To  wł aś nie doprowadził o go  do  koncepcji  uogólnionej  entropii i  termodynamicznej  iloś ci
ciał a. Zdaniem autora tej pracy  tak  daleko idą ce  ś rodki  nie są   konieczne, a niezbę dna jest
jedynie  dokł adna i  ostroż na  interpretacja  wyników  doś wiadczalnych  na  gruncie  znanych
idei. Autor  są dzi,  że na tej  drodze moż na bę dzie  skonstruować  logiczny  i zwarty  schemat
opisu. Prawdą  jest jednakż e, że w tym celu trzeba skorzystać  z pewnych obserwacji  o charak-
terze zupeł nie  ogólnym, których  normalnie nie wykorzystuje  się  w  sposób jawny.

Aby  skoncentrować  się   wył ą cznie  na fizycznych  aspektach  zagadnienia,  przedstawimy
nasze  rozumowanie  na  najprostszym  moż liwym  przykł adzie  ukł adu, mianowicie  na  przy-
kł adzie cienkiego prę ta poddanego jednorodnemu naprę ż eniu o1, okreś lonemu jako dodatnie
dla przypadku  rozcią gania, jako  ujemne  zaś  w  przypadku  ś ciskania,  i  ulegają cego  jedno-
rodnemu  odkształ ceniu  e,  także  okreś lonemu  jako  dodatnie  w  przypadku  rozcią gania,
jako  ujemne  zaś  w  przypadku  ś ciskania.  Pominiemy  zupeł nie moż liwość  wystę powania
niestatecznoś ci zwią zanej  z wyboczeniem lub z powstawaniem lokalnych «szyjek». Zał oż ymy
wreszcie,  że nasz  materiał  speł nia prawo  H ooke'a w zakresie  sprę ż ystym  i  że jego  moduł
Younga  E, jego  współ czynnik  liniowej  rozszerzalnoś ci  cieplnej  a  i jego  ciepł o  wł aś ciwe
przy  stał ym  odkształ ceniu  c

E
  są   stał e.  Odnoś nie  do  wielkoś ci  odkształ cenia  bę dziemy

zakł adali, że  są   one nieskoń czenie mał e.
Rozszerzenie  przedstawionej  tu  interpretacji  na  oś rodki  sprę ż yste  przy  wystę powaniu

w  nich zł oż onych  pól  tensorowych  naprę ż eń  i  odkształ ceń  oraz  na  materiał y,  których
wł asnoś ci zależą   od  temperatury  i  dla  których  zwią zki  mię dzy  naprę ż eniami  i  odkształ -
ceniami  są   nieliniowe,  czy  wreszcie  na  przypadek  skoń czonych  odkształ ceń  sprę ż ystych,
wymagał oby  duż ego  nakł adu pracy  i  szczegół owych  rozważ ań;  jeś li  jednak  staną ć  na
gruncie  zasady  lokalnego  stanu, a  nie  tak  zwanej  zasady  pamię ci,  to  rozszerzenie  takie
nie  nastrę cza ż adnych trudnoś ci podstawowej  natury. To  samo moż na powiedzieć  o  opisie



148  J.  KESTIN

lepkosprę ż ystoś ci,  ale  uwzglę dnienie  zwią zków  mię dzy  n aprę ż en iami  a  odkształ ceniami
w  zakresie  plastyczn ym ,  szczególnie  w obecnoś ci  wzmocnienia  m ateriał u, wymaga  wprowa-
dzen iu  dokł adn iejszego  m odelu.  M odel  taki  prowadzi  do teorii  obszarów  (domen)  sprę-
ż ysto- plastyczn ych,  kt ó r a jest w zarysie przedstawion a  w pun ktach  13 i  14.

2. Zakres  sprę ż ysty

Z aczn iem y  od przeglą du  najbardziej  elementarnej  teorii  sprę ż ystego  zachowan ia  się
p rę t a.  U ł at wi  to  n am znacznie  dalsze  rozważ ania,  w  których  bę dziemy  się  powoł ywali
n a  ten p ro st y  przykł ad.

P ierwsze  zadan ie, jakie  nas  czeka  przed przystą pieniem  do  wykorzystania  zasad term o-
dyn am iki,  polega  na ustalen iu formy  równ an ia  stan u ukł adu. W tym  celu  musimy  okreś lić
liczbę i ch arakt er niezależ nych zm iennych opisują cych jego  stan. Z adan ie to m oż na  wykon ać
tylko  przez  odwoł an ie się do  doś wiadczenia.

P rzyjm iem y,  że  stan  ukł adu  sprę ż ystego  okreś lają  dwie  niezależ ne  zmienne  stan u.

M ogą  o n e  być wybran e  zupeł nie  dowolnie  spoś ród  trzech  wielkoś ci term odyn am iczn ych :

t em perat u ry  term odyn am iczn ej  T , n aprę ż en ia a i  odkształ cenia s. Biorąc  pod  uwagę  roz-

szerzenie  opisu  n a przypadek  oś rodka  cią gł ego  m oż emy  już  teraz  stwierdzić,  że  ogólnie

trzeba  ro zró ż n ić te skł adowe  ten sora  odkształ cenia £y,  które  charakteryzują  zmianę  obję-

toś ci  u kł a du  (ś lad — e
u
),  i  te,  kt ó re  opisują  zm ianę  kształ tu  (dewiator  ten sora  odkształ -

cen ia  Bij — Bij—^ - d
tJ
B

kk
,  którego  ś lad jest  oczywiś cie  równy  zeru,  s

H
 =  0) .  D la naszego

u kł adu jedn owym iarowego  rozróż n ian ie takie  nie jest  rzecz jasn a potrzebn e.
A  zat em  istnieje  jedn ozn aczn y  zwią zek

(2.1)  f(p,e,T)  = Oi

kt ó ry  bę dziemy  nazywali  term icznym  równ an iem  stan u  ukł adu.  D la naszego  prostego
u kł a du  ró wn an ie powyż sze  ma p o st a ć :

(2.2)  E  =  ~+ai{T - T
0
),

gdzie  a jest  współ czyn n ikiem  liniowej  rozszerzalnoś ci  cieplnej,  T
o
 zaś dowolnie  wybraną

t em perat u rą  odn iesien ia.  Ozn acza  t o , że ukł ad  przy  T  —  T
o
 może przyjąć  stan, w  którym

e  i  o"  jedn ocześ n ie  równają  się zeru.  Stan  opisany  przez  T  =  T
o
, o1 =   0 i e =  0  wygodnie

jest  n azywać  stan em  n aturaln ym .  D la  prostoty  zakł adam y,  że  zarówn o  współ czynnik
rozszerzaln oś ci  cieplnej  a, ja k i m o d u ł  Youn ga  E są niezależ ne od naprę ż enia i od tem pera-
tury.

R ó wn an ie  (2.2)  przedstawia  pł aszczyznę w  trójwymiarowej  przestrzeni  stan ów  ukł adu
(n aprę ż eriie- odkształ cen ie- tem peratura).  Izotermy  n a wykresie  stan u naprę ż enie- odkształ-
cenie  reprezen tuje  rodzin a  równoległ ych  linii prostych, ja k to pokazan o n a rys. 1.

P rocesy  quasi- statyczn ego  obcią ż an ia  i odcią ż ania  są  odwracalne, a praca  n a jedn ostkę
obję toś ci  u kł a d u,  wykon an a  w trakcie  tych  procesów, jest  równ a

(2.3)  d\ V° =   - tfrfe.

T u  i  dalej  górn y  wskaź n ik  zero w dW a i dQ° bę dzie zawsze stosowany  w celu  podkreś len ia
odwracaln ej  n at u ry  rozpatrywan ego  procesu.  P raca  w  procesie  odwracalnym  dW ° m a



O  ZASTOSOWAN IU   ZASAD  TERM OD YN AM IKI 149

stan dardową   postać  iloczynu  uogóln ion ej  sił y  (wielkoś ci  intensywnej)  i róż n iczki  zu peł n ej
uogóln ion ego  przemieszczenia  (wielkoś ci  ekstensywnej)  i  przedstawia  sobą   wyraż en ie
Pfaffa.  P onieważ  dW "  odn osi  się   do  procesu  odwracalnego,  wię c  obie  wystę pują ce  w t ym
wyraż eniu  wielkoś ci  są  parametrami  stanu.  Jeś li  proces  n ie jest  odwracaln y,  m im o  że  dalej
może  być  ą uasi- statyczny,  dwie  te  wielkoś ci  n ie bę dą   już  kon ieczn ie p a r a m et r a m i st a n u ( i) .

T<Tn

T>T0

Rys.  1. Równanie stanu dla ukł adu  sprę ż ystego

Termiczne  równ an ie  stan u  n ie  jest  równ an iem  p o d st awo wym ^ )  i w zwią zku  z  t ym
nie  zawiera  wszystkich  informacji  o stan ie  równ owagi  u kł ad u .  D la  peł n ego  sch araktery-
zowan ia  stan u równ owagi  trzeba, ja k  wiadom o, p o d a ć energię   wewn ę trzną   u  przypadają cą
n a jedn ostkę   obję toś ci  ja ko  funkcję   gę stoś ci  en t ropii s i  odkształ cen ia  e:

(2.4)  u =  u(s,s).

M oż na  w  tym  celu  posł uż yć  się   też  entalpią

(2- 5)  u- as =  h(s
s
  a),

funkcją   H elm holtza  (energią   swobodn ą )

(2- 6)  u- T s=f(T ,e)

lub  funkcją   G ibbsa  (entalpią   swobodn ą )

(2- 7)  u~ae~T s =  g(T ,d),

przy  czym  każ da  m usi  być  wyraż ona  ja ko  funkcja  odpowiedn ich  zm ien n ych, ja k  t o  zazn a-
czono  wyż ej.  Cztery  powyż sze  ró wn an ia  podstawowe  są   zupeł n ie równ oważ ne i  wyn ikają
jed n o  z  drugiego  przez  zastosowan ie  odpowiedn iej  zam ian y  zm iennych  (tran sform acji
Legen dre'a).

Z atrzym am y  się   obecnie  n a  równ an iu  (2.4) i do ko n am y  obliczenia  energii  wewn ę trzn ej
i  en tropii,  wykorzystują c  w  tym  celu  term iczne  równ an ie  st an u .  E n ergię   wewn ę trzną

(') Ponieważ ostatnie stwierdzenie  może nie być zrozumiał e dla czytelnika,  zilustrujemy  je n a przykł a-
dach w p . 4.

(*) Podstawowe równanie stanu pozwala  obliczyć wszystkie wielkoś ci  charakteryzują ce  stan  równ owagi
ukł adu jedynie na drodze róż niczkowania; por. n p.  [51,  str.  533.



150  J. KH STIN

u  okreś lają  dwie  poch odn e czą stkowe:  (8uj8e)
T
 i (du/ dT )

c
.  Pierwszą  z nich moż na  obliczyć

wykorzystując  pierwszą  zasadę  termodynamiki i pierwszą  czę ść  drugiej  zasady  termody-
nam iki.  P rowadzi  to  do  równ ań :

(2.7)  du =  dQ?- d\ V°

oraz

(2.8)  du =  T ds+ddn,

pon ieważ

dQ<>  =   T ds.

Wynika  stąd  również,  że

(2.9)   ̂ = T - f +<r
\ 8ej

T
  \ 8ejr

i  relacja  wzajemnoś ci  M axwella

- (£ ),- (&).
prowadzi  do  równ an ia:

(2.11)

Relację  wzajemnoś ci  M axwella  moż na otrzymać przez  dokonanie transformacji  Legendre'a
równania  (2.8)  do postaci  odpowiadają cej  (2.6), to znaczy  ze  zwią zku:

(2.12)  df=  d(u-   T s) =   - sdT +crde.

Podstawiając  a1 z równania  (2.2) do  (2.11) otrzymujemy  nastę pują ce  wyraż enie  na pochodną
czą stkową  energii  wewnę trznej  wzglę dem  odkształ cenia  wyraż oną  przez  wielkoś ci  wystę-
pują ce  w termicznym  równaniu  stan u:

(2.13)  \ ~)  =  EB+OET
0
.

Jest  rzeczą  dobrze  znaną,  że  cał kowanie ostatniego  równania prowadzi  do  poszukiwanego
równania  podstawowego,  które jest  zgodne  z przyję tym  przez  nas poprzednio termicznym
równaniem  stanu. W wyniku  cał kowania  otrzymujemy:

u =  y  Eez+uEeT
0
+yi(T ),

gdzie  ip(T ) jest  stał ą  cał kowania, bę dą cą  jedynie  funkcją  temperatury.
C iepł o  wł aś ciwe  c„  przy  stał ym  odkształ ceniu  jest  okreś lone  jako  (8u/ 8T )

B
 i jest

w  zwią zku  z tym  równ e:

Zgodnie  z  naszym  dą ż eniem  do maksymalnej  prostoty  matematycznej  zał oż ymy  naj-
prostszą  formę  funkcji  cE =  y>'(T ), przyjmując  mianowicie, że cB jest  stał e. Mamy  wówczas:

(2.14)
  u

(e, T )  =  • yj&*+ «ftro+ cł (r- :ro) >





152 J.  K E ST I N

Powyż sze  równanie  podstawowe  zawiera  stał e materiał owe E, a i c
s
, które  są  konieczne

i jednocześ nie wystarczają  do okreś lenia wszystkich  wł asnoś ci materiał u w stanie równowagi
termodynamicznej.

Warto  zauważ yć,  że  odwracalne  obcią ż enie  prę ta  przy  stał ej  temperaturze  T  #  T
o

od  a = 0 do c  wymaga  wykonania  nastę pują cej  pracy  i  dostarczenia  nastę pują cej  iloś ci
ciepł a:

(2.23) W Q =   -   /   ads =  - i - £ [ e-  a ( T -   r 0 ) ]
2  -   -   —• ,

(2.24) 2 °=  / =   a£ r[E ~ a(r- r0)]  =  ao- r.

Zauważ ymy  znowu,  podobnie jak  to  uczyniliś my  w  zwią zku  z  równaniem  (2.15),
że  ilość  odwracalnego  ciepł a Q° wymieniona  przez  ukł ad z  otoczeniem podczas  takiego
procesu  izotermicznego  jest  wielokrotnie  wię ksza  od  odwracalnej  pracy  (— W °);  uwaga
ta  jest  o  tyle  istotna,  że w  wielu  elementarnych  ksią ż kach  na temat  teorii  sprę ż ystoś ci
stosunek  ten jest  oszacowany  bł ę dnie. Wzię ta  ze znakiem ujemnym  praca w procesie od-
wracalnym  mierzona  wzglę dem  et — 0  (ale  nie  e =  0),  W °  reprezentuje  energię  od-
kształ cenia  ukł adu, tzn. zmianę funkcji  Helmholtza przy  stał ej  temperaturze.

Rys.  2. Wykresy  stanu dla prę ta sprę ż ystego

Równania  wyprowadzone  w tym punkcie  pozwalają  uzupeł nić wykres  stanu  (rys.  1)
krzywymi  stał ej  energii  wewnę trznej  i stał ej  entropii.  Uzupeł nienie  to przedstawione jest
na  rys. 2, na którym  podany jest  także  wykres  stanu  U—E.  Pomijamy  tu, dla skrócenia
naszych  rozważ ań,  wyprowadzenie  odpowiednich  równań  i  zakres  podanych  wykresów
stanu  ograniczamy  jedynie  do  współ rzę dnych  interesują cych  inż ynierską  teorię  sprę ż y-
stoś ci.



O  ZASTOSOWAN IU   ZASAD   TERMOD YN AMIKI  1 5 3

3. Sprę ż ysty  oś rodek  cią gł y )̂

M oże  być  rzeczą   poż yteczną   przytoczenie  tu równań  liniowej  («infinitezymalnej»)
teorii  sprę ż ystoś ci  w ję zyku  termodynamiki.  Termiczne  równanie  stanu  ma  p o st a ć :

(3.1)  stj  = ~f-   0
U
-  - j  d

tJ
<r

kk
+ d

t]
 a(T -   T

o
)

lub

E  Ev  E
(3- 2)  * u

  + 6
^   ^ <

T T
^

Równanie  powyż sze  odnosi  się   do  izotropowego  oś rodka  cią gł ego, jako  że  opiera  się   n a
zał oż eniu,  iż  zmiana  temperatury  powoduje  tylko  zmianę   obję toś ci.  W  takim  przypadku
równanie zawiera  cztery  zmienne niezależ ne, mianowicie  trzy  skł adowe  ten sora  naprę ż enia
lub  odkształ cenia  (albo  ich niezmienniki)  i  temperaturę   oraz  trzy  stał e  materiał o-
we:  E,  v  i  a.

Zamiast relacji  wzajemnoś ci  Maxwella  (2.10)  mamy teraz równ an ie:

jako  że funkcja  H e lm h o lt z a / =  u— T s musi  speł niać równanie  G ibbsa:

Energia  wewnę trzna jest wię c równa

(3.4)  u(s
kh

  T ) =   ~<rije
u
+^ j^ K(T ~

entropia  zaś  wyraża  się   wzorem:

(3.5)  s(e
kl
,  T ) =  j ^ ^

Jest  rzeczą   godną   uwagi,  że  przy  zmianie  naprę ż eń, wywoł ują cej  jedynie  zmianę   kształ tu,
entropia  nie  ulega  zmianie.  Jest  to  bezpoś rednią   konsekwencją   izotropii,  wyraż onej  zał o-
ż eniem o skalarnym  charakterze  współ czynnika  rozszerzalnoś ci  cieplnej.  Z  tego  wzglę du
odwracalny  proces  izotermiczny  przy  stał ej  obję toś ci  jest  także  procesem  izoentropowym
i przebiega  bez wymiany  ciepł a z otoczeniem, a wię c w takim  procesie

Podstawowe  równanie  stanu  u =  u(s, e
t
j)  moż na teraz przepisać  w  postaci:

(3.6)  u = 4 «W f i  ^ ^

(3.7)  = Y T ^

T
  exp(s/ c.)  __ __

(5) Równania  podan e  w  tym  punkcie  został y  wyprowadzone  przez  profesora  J. R.  R I C E 'A  (Brown
U niyersity).



154 3.  KESTIN

4.  U waga  na  temat pracy  w  procesie quasi- statycznym

Wyraż en ie  dla  pracy  w  term odyn am ice jest  n aturaln ym  uogólnieniem  poję cia  pracy
w  m ech an ice.  Kiedy  proces  przebiega  ą uasi- statycznie,  odwracalnie  lub  nie,  wyraż enie
dla  p rac y  elem en tarn ej  m a  postać  iloczynu  pewnej  zewnę trznej, uogólnionej  sił y i róż niczki
u o gó ln io n ego  przem ieszczen ia  ukł adu.  Kiedy  proces  jest  odwracalny,  to  znaczy  stan owi
cią głą   sekwencję   stan ów  równ owagi,  wówczas  sił a zewnę trzna jest  dokł adnie równ oważ ona
przez  sił ę   wewn ę trzn ą.  Wyn ika  stą d,  że  sił a  uogóln ion a  wchodzi  do  opisu  chwilowego
st an u  u kł a d u  i  w  zwią zku  z  tym  stan owi  param etr  stan u.  Przemieszczenie  odpowiadają ce
sile  zewn ę trzn ej  w  procesie  odwracaln ym  jest  co  do  wartoś ci  równ e  i  przeciwne  co  do
zn a ku  w  st o su n ku  do  przem ieszczenia  ukł adu i  także  stanowi parametr  stanu.  N ajbardziej
zn an ym  p rzykł ad em jest  p raca  wykon an a  przy  odwracalnej  zmianie  obję toś ci  pł yn u

(4.1)  dW °=pdV,

dla  kt ó rego  zarówn o  ciś nienie p,  ja k  i  obję tość  V  są   param et ram i stan u.  To  samo  odnosi
się   do  n aprę ż en ia  i  odkształ cen ia, kt ó re  wystę pują   w  równ an iu  (2.2).

P owyż szego  stwierdzen ia  nie  m oż na  zastosować  do  quasi- statycznych  procesów  nie-
odwracalnych,  gdyż  podczas  takich  procesów  ukł ad  nigdy  nie  jest  w  stanie  równowagi,
ale przech odzi przez cią g  stanów bliskich stanom równowagi. Stany  takie bę dziemy  opisywali
przez przypo rzą dko wan ie  im takich  wartoś ci  odpowiednich  wielkoś ci, jakie  ukł ad  osią gną ł-
by,  gdyby  m u  pozwolić  dojść  do  stan u  równowagi  w  izolacji  adiabatycznej.  Wynika  stą d,
że  co  n ajm n iej  jed en  p aram et r  nie  może  być  param etrem stan u.

O t o  kilka  przykł adó w  ilustrują cych  tę   kwestię .  Rysunek  3  przedstawia  najbardziej
zn an y  u kł a d  term odyn am iczn y,  skł adają cy  się   z  gazu  zam kn ię tego  w  naczyniu  cylindrycz-

Rys. 3. Tł ok  poruszają cy  się  z  tarciem

n ym ,  kt ó rego  obję tość  ulega  zm ian ie  wskutek  ruchu  tł oka.  Z akł adam y w  tym  przypadku,
że  t ł o k  p o ru sza  się   z  tarciem zwią zanym  z  ruchem p rę ta  ;•   w  tulejce  b  (z  której  wypom po-
wan o  powietrze) .  Z akł adam y takż e,  że proces jest  izotermiczny  (lub prawie izoterm iczny),
t o  zn aczy  w  jego  trakcie  n astę puje  wym iana  ciepł a  ze  zbiorn ikiem  o  stał ej tem peraturze.
P roces  kom presji  lub  ekspansji  jest  ą uasi- statyczny,  ale  oczywiś cie  nieodwracalny.  U kł ad



O  ZASTOSOWAN IU   ZASAD   TERMOD YN AMIKI  1 5 5

n ie  jest  dokł adn ie w  stan ie  równ owagi,  ja ko  że przepł yw  ciepł a  d o zbiorn ika  wym aga
istn ien ia  gradien tu  tem peratury.  P raca  wykon an a  w procesie jest  ró wn a

(4.2)  dW =PdV,

gdzie  P  oznacza  ciś nienie  zewn ę trzn e.  Oczywiś cie  ciś nienie  P  nie  jest  równ e  ciś n ien iu  p

gazu;  zachodzi  bowiem,  zwią zek:

(4.3)  P=p±p',   przyczyni  p'=\ F/ A\ .

Sym bol F przedstawia  t u  sił ę  tarcia w ukł adzie prę t- tulejka,  n at o m iast A  p o le  powierzch n i
tł oka.  P odczas  gdy p jest  prawdziwym  param et rem  stan u, P n im n ie jest.  N a st ę p n ie V n ie
jest  dokł adn ie  równ e  obję toś ci  gazu,  jeś li  uwzglę dnić  przesun ię cie  prę ta  /• ; wielkość  tę
m oż na  przedstawić  ja ko  su m ę :

V  =  V
g
+V

obję toś ci  gazu  V
g
 i przesun ię tej  obję toś ci  prę ta  (dodatn iej  lub  ujem n ej).  T ak  wię c  V w  rów-

n an iu  (4.2) reprezentuje  param et r  stan u tylko  wówczas,  gdy  m oż na po m in ą ć przem ieszcze-
nie  p r ę t a;  w przeciwnym  przypadku  V  nie  jest  p aram et rem  stan u.  Z at em  w  wyraż en iu

dW =  (p±p')dV
g
+(p±p')dV

jedynie  czł on

dW <>  =   pdV
g

przedstawia  sobą   p r a c ę   w procesie  odwracaln ym  i co najmniej  jed en  z dwu  p a r a m et r ó w

P  i V nie jest p aram et rem stan u.

L

Ł

Rys.  4. Prę ty sprę ż yste  poruszają ce  się  z  tarciem

D ru gi  przykł ad  przedstawion y  n a  rys.  4 dotyczy  dwu  sprę ż ystych  prę tów,  kt ó r e  m ogą
swobodn ie  poruszać  się   wzglę dem  siebie.  P odczas  ru ch u  prę t ów  wystę puje  sił a  t arcia
F

f
  =  fiN ,  gdzie N  ozn acza  sił ę  poprzeczn ą   do  prę tów  przyciskają cą   je do  siebie.  T u  także

zakł adam y, że  proces jest  izoterm iczn y i m am y

(4.4)  dW   =   - Fdl

bez  wzglę du  n a  to  czy  proces jest  odwracaln y,  czy  n ie. Jedn akże proces bę dzie  odwracaln y
dopóty,  dopóki F <  F

s
,  gdyż w tym  przypadku  m oże  n astą pić jedyn ie  odkształ cen ie  sprę -

ż yste.  Z atem

(4.5)  dW °=Fd/ ,  jeś li  F <  F
f
.

Z  chwilą   jedn ak,  gdy  sił a  zewn ę trzna F stanie  się   równ a  sile tarcia,  m oże  n ast ą pić  poś lizg
w  miejscu  styku  prę t ów  i  wtedy  ciepł o  bę dzie  przepł ywać  d o rezerwuaru  w  sp o só b  n ie-
odwracaln y.  P rzepł yw  ciepł a  był   wszakże  odwracaln y,  jeś li  F  był a  m niejsza  of F

f
.  N iech



156 J.  KESTIN

dalej  sił a przenoszona przez  sprę ż yś cie  odkształ cone prę ty bę dzie równa sile zewnę trznej  F.
Suma  odkształ ceń  obu  prę tów  sprę ż ystych  nie  bę dzie  jednak  dalej  równa  cał kowitemu
przemieszczeniu  /  mierzonemu  od  koń ca  do  koń ca.  W  dalszym  cią gu  moż emy  napisać
wyraż enie  dla  pracy  wykonanej  w takim procesie w postaci  (4.4); musimy jednak  zauwa-
ż yć, że dł ugość /  traci w tym przypadku  charakter parametru stanu. Dł ugość ta jest w przy-
bliż eniu równa  sumie ł ą cznej dł ugoś ci obu odkształ conych prę tów l

r
  i dł ugoś ci  wzglę dnego

przesunię cia  l
d
;  róż nica wynika  stą d,  że przy  zmianie l

d
  inaczej  odkształ cają   się   pokrywa-

ją ce  się  odcinki prę tów. Pomijają c  tę  drobną   komplikację   moż emy napisać:
(4.6)  dW  =  - Fd(l

r
+l

d
)  =  -   (Fdl

r
+Fdl

d
).

W  tym  wyraż eniu  tylko  pierwszy  czł on:  dW ° =  —Fdl
r
  reprezentuje  pracę  w procesie od-

wracalnym.

N

Rys. 5.  Skrę cane powł oki walcowe

Analogiczny  przykł ad przedstawiono  na rys.  5. Mamy tu dwie  bardzo  cienkie powł oki
cylindryczne  dociś nię te do  siebie  i skrę cane  momentem M. Jeś li  nie ma poś lizgu,  to

(4.7)  dW ° =   Mdy,

gdzie  y  oznacza  ką t  obrotu  i  zarówno  M jak  i  y  są   parametrami stanu.  Kiedy  nastę puje
poś lizg,  w dalszym  cią gu  mamy

(4.8)  dW  =  Mdy,

jednakże  w tym przypadku  y  traci charakter parametru stanu.
Jako  ostatni przykł ad  rozważ ymy  cienką   cylindryczną   i  nieskoń czenie  dł ugą  warstwę

cieczy  lepkiej  ulegają cej  jedynie  odkształ ceniu postaciowemu  (a wię c przy  stał ej  obję toś ci)
wskutek  obrotu z prę dkoś cią   ką tową   co pod  wpływem  momentu  M  (rys. 6).  Tu także
moż emy  zał oż yć, że  wymiana  ciepł a  nastę puje  w  sposób  (w  przybliż eniu)  izotermiczny.
Praca jest wykonywana  z szybkoś cią

(4.9)

co moż emy także zapisać jako

(4- 10)

gdzie  y  oznacza ką t  obrotu.

dW   _  dy
~~dT ~

M
~dt'

=-   Mdy,



O  ZASTOSOWAN IU   ZASAD  TERMOD YN AMIKI 157

Jest  rzeczą   dobrze  zn an ą ,  że  stan  pł yn u  opisują   dwa  param etry  stanu —  powiedzmy
tem peratura  T   i  obję tość  V.  W  rozważ an ym  procesie  obydwie  wielkoś ci  pozostają   stał e,
ską d  musimy  wnioskować,  że  stan  ukł adu  nie  ulega  zmianie.  Innymi  sł owy,  dW °  =   0
i param etry  wystę pują ce  w równ an iu  (4.10) nie nadają   się   do  opisu  stanu. E n tropia ukł adu
nie  ulega  zmianie, gdyż  ustalon y jest  stan  ukł adu i —- ponieważ

ds=> dQ°/ T =  0,

przeto  musimy  wnioskować,  że  dQ°  =   0,  chociaż  w  trakcie  procesu  nastę puje  wymiana
ciepł a.  M am y  tu  do  czynienia  ze  stacjon arn ym  procesem  dysypacji  energii.

Rys.  6. Przepł yw  Couette'a

Z auważ m y,  że  w  t ym  przykł adzie  m om en t M  jest  bezpoś rednio  zwią zany  z  szybkoś cią
odkształ cenia  dy/ dt  i  że

M   =   0,  gdy  dyjdt  =  Q.

Ż adna  tego  rodzaju  relacja  mię dzy  uogóln ion ą   sił ą   i  uogólnionym  przemieszczeniem  nie
wystę powała  w  poprzedn ich  przykł adach ,  w  których  zwią zek  mię dzy  uogólnioną   sił ą
i  uogóln ion ym  przemieszczeniem  m oż na  był o  zmieniać  dość  dowolnie  przez  odpowiednie
m anipulacje  z  sił ami tarcia.  D alej, w  ukł adzie z rys.  3 jego  stan podczas procesu  nieodwra-
calnego  zmieniał  się , podczas  gdy  w  ukł adach na rysun kach  4,  5 i 6 procesy  nieodwracalne
przebiegał y  przy  ustalon ym  (lub  prawie  ustalon ym )  stanie ukł adu.

Powyż sze  przykł ady  prowadzą   do  istotn ego  wniosku,  że jako  kryterium  pozwalają cego
okreś lić  wł aś ciwe  param etry  stan u  m oż na  uż yć  wyraż enia  n a  pracę   w  procesie  odwracal-
n ym  dW °.  Odpowiednie  wyraż enie  dla  dW   dla  procesów  nieodwracalnych  moż na  wyko-
rzystać  w  celu  sprawdzenia,  czy  okreś lone  wielkoś ci  są   param etram i  stanu,  czy  też  nie-

5. Idealna  deformacja  plastyczna

D o ko n am y  teraz  analizy  przypadku  idealnej  deformacji  plastycznej  prę ta  sprę ż ystego.
W  p u n kc ie  tym  bę dziemy  rozważ ali  pę tlę   histerezy  odpowiadają cą   procesowi  przebiega-
ją cemu  w  rozważ an ym  ukł adzie  przy  stał ej  tem peraturze.  P ę tla  taka  jest  przedstawiona
n a  diagram ie  stan u  naprę ż enie- odkształ cenie  n a  rys.  7a  jako  proces  0  1 2  3 4 5 0.  Przy-
puś ć m y,  że po peł n ym cyklu  ukł ad osią ga  dokł adn ie  stan n aturaln y 0  oraz że proces  odcią -
ż enia j est  odwracalny  i przebiega  przy  pierwotnej  wartoś ci  moduł u  sprę ż ystoś ci. Zał oż enie
takie  nie zawsze jest prawdziwe;  t o  bowiem  czy  ukł ad po  peł nym cyklu powraca dokł adnie



158 J.  KESTIN

do  stanu  wyjś ciowego,  czy  nie —  zależy  od  wł asnoś ci  prę ta.  N a  przykł ad  m ateriał   prę ta
może  być  w  stanie  zahamowanej  równowagi  chemicznej; w  tym  przypadku  podczas  pro -
cesu  deformacji  zwykle  nastę puje  reakcja  chemiczna,  w  której  wyniku  stan  równ owagi
chemicznej  ulega  zmianie.  Wówczas  począ tkowy  stopień  reakcji  £1 w  stanie  0  m oże  być
inny,  niż  koń cowy  stopień  reakcji  &  także  w  stanie  0.  W  przypadkach  tego  rodzaju  dwie
wielkoś ci  nie  opisują  stanu  w  sposób  kom pletny,  tak  że  dla  peł nego  opisu  stan u  trzeba
do  poprzednich param etrów  doł ą czyć jeszcze  tyle  dodatkowych  param etrów,  ile  niezależ-

~- °Ta=conś t

Rys. 7. Pę tla histerezy dla prę ta  sprę ż ysto- idealnie  plastycznego

nych reakcji  może przebiegać  w ukł adzie. To samo m oż na powiedzieć  o module  sprę ż ystoś ci
podczas procesu  odcią ż ania.  N a razie wykluczymy  takie  moż liwoś ci,  a  w p .  12  wykaż emy,
że  w  przypadku  prę tów  metalowych  powrót  dokł adn ie do  pierwotnego  stan u  p o  peł nym
cyklu  ogólnie rzecz biorąc nie jest  moż liwy.

Trzeba  tu  wyraź nie  podkreś lić,  że  pę tla  histerezy  0  12  3 4  5 0  nie  reprezentuje  cyklu
odwracalnego, jako  że  odwrócenie  kierun ku  obcią ż ania  od  0  do  1', jak  to  pokazan o  n a
rys.  7b, daje  w efekcie  inną pę tlę, mianowicie 0  1' 2'  3' 4'  5' 0. Wskazuje  to n a t o , że procesy
deformacji  plastycznej  1 2 i 4  5  n a  rys.  7a  oraz  1' 2' i  4'  5'  n a  rys.  7b  są  nieodwracalne,
gdyż  odwracalne  są  pozostał e procesy.

N iezależ nie jedn ak  od  tego  m oż na  twierdzić,  że  cał kowita praca

W =  -   fade

dokł adnie jest  zrównoważ ona  przez  cał kowitą  ilość  ciepł a:

=  fdQ,

o  ile  pozostaje  w  mocy  zał oż enie  o  powrocie  ukł adu  dokł adn ie  do  tego  samego  stan u
naturalnego  0  po  peł nym cyklu.  Jest  to  konsekwencją  faktu,  że  pierwsza  zasada  term o-
dynamiki stosuje  się  do procesów  zarówn o  odwracalnych, jak  i nieodwracalnych.  Odwrot-
nie, jeś li doś wiadczenie potwierdza  równość pracy i ciepł a, to z tego wynika,  że przy peł nym
obiegu  pę tli histerezy  energia  wewnę trzna  musi  osią gać  dokł adn ie pierwotną  wartoś ć.



O  ZASTOSOWAN IU   ZASAD   TERMODYN AMIKI  159

D oś wiadczenie  sugeruje  dalej,  że praca podczas  deformacji  plastycznej  dą ży  do zrówno-
waż enia  odpowiedniej  iloś ci  ciepł a  przy  idealnej  plastycznoś ci.  Tak  wię c  dla  przejś cia
idealnie  plastycznego,  powiedzmy  1 2  n a  rys.  7a,  moż emy  n apisać:

t ak  że  m am y:

(5.1)  dQ  =   dW '=   —ade  (dla  idealnie  plastycznej  deformacji).

N a  podstawie  pierwszej  zasady  term odyn am iki  (du =   dQ—dW )  wnioskujemy,  że

(5.2)  du  =  0  (dla  deformacji  plastycznej).

D ochodzim y  zatem  do  wniosku,  że  energia  wewnę trzna  prę ta  deformowanego  plastycznie
w  sposób  izotermiczny pozostaje  stał a.  Oznacza t o , że  energia  wewnę trzna  prę ta  deformo-
wanego plastycznie w zakresie pł ynię cia nie zależy  zupeł nie od wielkoś ci  deformacji  plastycz-
n ej.

P oprzedn ie  rozważ an ia  wykazał y,  że wzdł uż linii  odpowiadają cych  deformacji  plastycz-
nej  (1 2, 4 5,  1' 2'  oraz 4'  5')  pozostają   stał e nastę pują ce  param etry:

<r =   a
y
;  T ;  u.

Z  drugiej  strony,  odkształ cenie  s  może  osią gać  nieskoń czenie  wiele  wartoś ci.  Zwykle
w  zwią zku  z  tym  stwierdza  się ,  że  ta  okoliczność  eliminuje  deformację   plastyczną   z  przy-
padków,  do  których  m oż na  stosować  term odyn am ikę   klasyczną ,  jako  że  równanie  stanu

f(cr,e,T )  = 0

musi przedstawiać  zwią zek  jedn ozn aczn y. W  wyniku  dochodzi się  wię c  do wniosku,  że «nie
istnieje»  termiczne  równ an ie  stan u  dla  takich  ukł adów,  gdyż  poprzednie  równanie  jest
oczywiś cie  wieloznaczne,  i  że  dla  obję cia  tego  przypadku  «trzeba  dokon ać  odpowiedniego
uogólnienia  term odyn am iki»  [1].  Wniosek  ten jest  nieunikniony,  ale  tylko  wówczas,  gdy
zakł ada  się , ż e  cał kowite  odkształ cenie  s stanowi prawdziwy parametr  stanu.

W  celu  znalezienia  wyjś cia  z  sytuacji  musimy  odrzucić to  niczym  nieusprawiedliwione
zał oż enie  bez  wzglę du  n a  t o , jak  do jego  przyję cia  skł aniał yby nas  wyobraż enia  intuicyjne.
F akt , ttdW   —  —ade dla n ieodwracaln ego procesu plastycznego  1 2 i 4 5 powinien  stanowić
wskazówkę ,  że  cał kowite odkształ cenie e nie jest prawdziwym  param etrem stanu.

F akty  doś wiadczalne  interpretujem y  w  tym  sensie,  że  stan  prę ta  w  zakresie  deformacji
plastycznej  w  dalszym  cią gu  opisują   dwie  wielkoś ci  niezależ ne.  Wykazaliś my  poprzedn io,
że podczas każ dego izoterm iczn ego procesu deformacji plastycznej  trzy param etry  pozostają
stał e.  Wniosek  jest  oczywisty:  wszystkie  parametry  stanu pozostają   stale.  Innym i  sł owy,
proces  izotermicznej  deformacji  plastycznej  przebiega  przy  niezmiennym  stanie  ukł adu.
T ak  wię c  wszystkie  pu n kt y  wzdł uż  poziomej  linii  a  =   const  (tf  <  a

y
)  n a  izotermicznym

wykresie  naprę ż enie- odkształ cenie są   identyczne.

D o  prawie  tego  samego  wn iosku  doszedł  P . W.  BRID G M AN   [1], który  wszystkim takim
p u n kt o m przypisał  t ę  samą   wartość  en tropii. Są dził  on jedn ak,  że w ten sposób  wprowadził
«uogólnioną   en tropię »,  pon ieważ  milczą co  przyją ł   zał oż enie,  iż  cał kowite  odkształ cenie
jest  param etrem  stan u.  D okł adn iejsza  analiza  wskazuje  jedn akż e,  że  ż adne  uogólnienie
nie jest  potrzebn e.



160 J.  KESTIN

M usimy  zatem  wyraź nie  odróż niać  wykres  naprę ż enie- odkształ cenie  i  wykres  stan u.
Wykres  stanu  dla  ukł adu  przedstawionego  n a  rys.  7 jest  pokazan y  na  rys.  8.  D la  ukł adów
sprę ż ystych  rozróż nianie takie  oczywiś cie  nie jest potrzebn e.

a

Opl

0

1

f
4 , 5

X2

3

- f f p/

Nieosią galne

P

Nieosią galne

Rys.  8. Wykres  stanu  dla  ukł adu  przedstawionego na  rys.  7

D la  okreś lenia  wł aś ciwego  param etru odkształ cenia wystarczy odcią ż yć  ukł ad od  danego
stanu  deformacji  plastycznej,  powiedzmy  od  stanu  2  n a  rys.  7 wzdł uż linii  2 3.  Z achodzą cy
wówczas proces bę dzie  odwracalny  i praca  w tym procesie  bę dzie  równ a

dW °  =   —  adee,

gdzie  ee  musi  być  mierzone  wzglę dem  pu n kt u  3  odpowiadają cemu  stanowi  n aturaln em u.
Tak  wię c  w  dowolnym  pun kcie  poś redn im,  powiedzmy  w  pun kcie  a  n a  rys.  7a,  musimy
odróż nić odkształ cenie sprę ż yste  e",  które jest param etrem stanu, i odkształ cenie plastyczne  e p

(odkształ cenie  trwał e),  które param etrem stanu  nie jest.  Jest  rzeczą  jasną , że

(5. 3) e  =   e e + e p ,

czyli  że poprzednie  argumenty  wskazują   n a  konieczność  rozł oż enia cał kowitego  odkształ -
cenia  na  czę ść  sprę ż ystą   i  czę ść plastyczną   (odkształ cenia  trwał e).

M usimy  teraz  poś wię cić  kilka  uwag  en tropii.  P onieważ  izotermiczna  deformacja
plastyczna  prę ta  nie  zmienia  stan u  prę ta,  w  takim  razie  nie  zmienia  także  jego  en tropii.
Czę sto  stosuje  się   nastę pują cą   argumentację   [ I ] : rozważ my  dwa  dowolnie  wybrane  pun kty
A  i  D, jak  to  pokazan o  n a  rys.  9.  Wszelka  p ró ba  obliczenia  róż nicy  odpowiadają cych  im
wartoś ci  entropii  musi  być  bezowocna,  gdyż  aby  tego  dokon ać,  trzeba  je  poł ą czyć  lini  ;
odpowiadają cą   odwracalnemu przejś ciu  od jednego  stan u  do  drugiego.  Rzecz  oczywista,  że
nie  m oż na znaleźć ż adnej  takiej  linii ł ą czą cej dwa  takie «stany». W  konsekwencji  nie m oż na
tu  zastosować  równ an ia  (2.16),  gdyż  dQ°  nie  daje  się   okreś lić  ze  wzglę dów  zasadniczych.
Rozumowanie  tego  rodzaju  skł onił o  P. W.  BRID G M AN A  [1]  do  n apisan ia:  «M am y  tu  do
czynienia  z  podwójnym  problem em —  problem em  rozszerzenia  formalnego  schem atu  tak,
aby  był   on  w  stanie  obją ć  nowe  sytuacje,  i  problem em  eksperymentalnym  polegają cym
n a  rozstrzygnię ciu,  które fakty  nie mieszczą   się  w granicach stosowalnoś ci  starego  schem atu,
a  które  obejmuje  schemat  rozszerzony».  Jak  już  wspominaliś my,  dla  wykazania,  że  stany



O  ZASTOSOWAN IU   ZASAD   TERMODYN AMIKI 161

A  i  D  są   identyczne,  zachodzi  kon ieczn ość  dokon an ia  jedynie  zmian  formalnych.  Jest
rzeczą  jasn ą , jak  to  wykazan o  wyż ej,  że  stany  Bi  C  są . identyczne. Ponieważ  dalej  s

B
  =   s

c
  i

=  s
c
- ~s

D
,

wię c także  m am y:

N ie  m a  wię c  ż adnej  potrzeby  szukan ia  procesu  odwracalnego  ł ą czą cego  odpowiednie

pun kty, gdyż róż n ica cał kowitych  odkształ ceń odpowiadają cym  «stanom»  A  i D nie stanowi

róż nicy  stan ów.
Odwracają c  argum en tację   moż emy  n atom iast  stwierdzić,  że

dQ°  =   0  przy  c  =   con st  i  T   =   con st.

T o  jest  wł aś nie  wielkoś ć,  którą   P . W.  BR I D G M AN   nazwał   «termodynamiczną   iloś cią   ciepł a»
dla  odróż n ien ia  od  «empirycznej  iloś ci  ciepł a» —  iloś ci  ciepł a  w  procesie  nieodwracalnym
w  naszej  obecnej  term in ologii.  P . W.  BR I D G M AN   dochodzi  do  poprawnego  wniosku,  że

<5j,

- Bpl

Rys.  9.  Obliczenie entropii

«term odynam iczna»  ilość  ciepł a  w  fikcyjnym  procesie  przy  o1 =   const  i  T  =   const  jest
równ a  zeru.  W  ten  sam  sposób  znikają   też  trudn oś ci  zwią zane  z  «morzem  nieodwracal-
noś ci»  P.  W.  BR I D G M AN A;  wystą pią   one  pon own ie,  ale  w  innej  postaci  w  p .  12.  Wraż enie
«morza  n ieodwracaln oś ci*  odn osi  się   przy  okazji  rozpatrywania  procesu  nieodwracalnego
(takiego  jak  tarcie),  przebiegają cego  izotermicznie  przy  niezmiennym  w  zasadzie  stanie
ukł adu.

Akceptują c  powyż sze  wnioski  dochodzim y  do  stwierdzenia,  że  podstawowe  równanie
stan u dla naszego  ukł adu jest identyczne z równ an iem  (2.21), ale pod warunkiem, że w rów-
n an iu  tym  od  cał kowitego  odkształ cen ia  e  odejmie  się   odkształ cenie  trwał e  eF,  albo  że  e
zastą pi  się  przez  e". T ak  wię c dla  ukł adów poddan ych  deformacji  plastycznej  mamy

u(s, s)  =
1

2  M ech an ika  t e o r e t yc zn a



162 J.  KESTIN

Ponieważ  wszystkie  wł asnoś ci  moż na  okreś lić  n a  podstawie  tego  równ an ia,  więc  dla  roz-
waż anego  tu przypadku  pozostają  w  mocy wszystkie równ an ia pun któw  2 i  3, jeś li zamieni
się w  nich e n a se.  Ogólnie  rzecz biorą c, jeś li cp  oznacza którykolwiek  z potencjał ów term o-
dynamicznych  u, s, h,/ lub  g,  to  moż emy  n apisać:

dq>
de

(5.5) =   0,  ale  ogólnie  rzecz  biorąc  - r—  =
de"

0 ,

gdzie  róż niczkowanie  odbywa  się przy  ustalon ym  drugim  param etrze. Z auważ my  również,

ze

dW °  =   — adee  (zakres  sprę ż ystoś ci),

dW   =  —(ade
p
- \ - ade.'

:
)  (zakres  plastycznoś ci),

- ddeP

(5.6)

podczas  gdy

(5.7)

przy  czym

(5.8)  dQ  =

oznacza  ilość  ciepł a  dysypowanego.
Odkształ cenie  sprę ż yste  m oż na  zawsze  okreś lić  zakł adając  odcią ż enie  ukł adu.  N ie

moż na  zapom inać, że jakakolwiek  teoria zakł adają ca,  że energia  u, en tropia s  (lub  funkcja
H elm h oltza/ ,  albo  którykolwiek  inny  potencjał  term odynam iczny) zależy  od  cał kowitego
odkształ cenia  £  lub  od  odkształ cenia plastycznego  sp,  nie  może  prowadzić  do  rezultatów
zgodnych  z  wynikami  doś wiadczeń.

6.  Odkształ cenia  zwią zane  ze  wzmocnieniem  materiał u

Rozszerzenie  naszych  idei  n a  przypadek  m ateriał ów  ze  wzmocnieniem,  m oż na  prze-
prowadzić n a dwu poziom ach przybliż enia.  W pierwszym  przybliż eniu  bę dziemy  w  dalszym
cią gu  pomijać  zmiany  przekroju  poprzecznego  i  inne  efekty  trójwymiarowe.  W  drugim

a

0

i f

T=const

£

Rys.  10.  H istereza  dla  materiał u  ze wzmocnieniem

przybliż eniu,  które  przedstawimy  w  p .  12,  zaproponujem y  teorię  obszarów  (dom en )
sprę ż ysto- plastycznych  i  weź miemy  p o d  uwagę  owe  efekty  trójwymiarowe  n awet  w  przy-
padku  cienkiego  prę ta poddan ego jednoosiowem u  obcią ż eniu.



O  ZASTOSOWAN IU   ZASAD  TERMODYN AMIKI 163

Wykres  n a rys.  10 przedstawia  idealizowaną   pę tlę  histerezy  z  odcinkami 4  1 i 2 3, odpo-
wiadają cymi  procesom  odwracaln ym  i  odcin kam i  1 2  i 3 4,  odpowiadają cymi  nieodwracal-
nym procesom wzmocnienia. Przyjmujemy,  że pę tla  histerezy  może być  zamknię ta i że prę t
powraca  p o  peł nym  cyklu  do  pierwotnego  swego  stanu  naturalnego  0.  Zdajemy  sobie
jedn ak  sprawę   z  tego,  że  wiele  eksperym entów  wskazuje,  iż  ukł ad  nie powraca  po peł nym
cyklu  do  począ tkowego  stan u  n aturaln ego  0  i  zagadnieniem  tym  zajmiemy  się   póź niej.
W  pierwszym  przybliż eniu  przyjmiemy,  że  t aka  sytuacja  jest  moż liwa,  akceptują c  tym
samym  zwykle milczą co  przyjmowaną   w  term odynam ice zasadę ,  która  stwierdza,  iż  każ dy
ukł ad  może  być  doprowadzon y  do  dowolnego  ustalon ego  stan u  równowagi  za  pomocą
odpowiedniego  cią gu  procesów  (odwracalnych  lub  n ie).

W  celu  okreś lenia  param et ru  n aprę ż en ia  opisują cego  stan  termodynamiczny  uż yjemy
jako  kryterium wyraż enia  n a pracę  w  odwracaln ym procesie  odcią ż enia  zakł adają c, że  stał e
m ateriał owe,  w  tym  także  m oduł   Youn ga,  mają   pierwotn e  wartoś ci.  Wnioskujemy,  że  od-
kształ cenie  sprę ż yste

(6.1) - Ś -
przy  czym

(6.2)  a =   ep+ee

wcią ż  odgrywa  rolę  p aram et ru  stan u.  M etoda  okreś lenia  se  jest  przedstawiona  na  rys.  11,
który  pod  tym  wzglę dem  jest  podobn y  do  rys.  7  z  tą   tylko  róż nicą,  że  naprę ż enia,  przy
których  nastę puje  plastyczne  pł ynię cie, są   zm ien n e;  odpowiednia  zależ ność jest  przy  tym
dan a  empirycznie.

Rys.  11.  N aprę ż enie  sprę ż yste

P onieważ  dla  dwu  stan ów  charakteryzują cych  się   tym  samym  naprę ż eniem  (a  i  a'  na
rys.  11) co najmniej  trzy param etry  stan u d,eeiT   mają   te same wartoś ci, wię c  wnioskujemy
stą d,  że dwa  takie  stany  są   iden tyczn e. Wskazuje  to  n a fakt,  że dwa  kolejne  po  sobie nastę -
pują ce  procesy:  nieodwracalny  proces  1 2 i odwracalny  proces  2  1' stanowią   nieodwracalny
cykl  izotermiczny.

D la  rozważ anego  przypadku  zachoduje  swą   sł uszność  termiczne  równanie  stan u  oraz
wyraż enia  dla  energii  wewnę trznej,  en tropii, pracy  w  procesie  odwracalnym  i  iloś ci  ciepł a,
które  odnoszą   się   do przypadku  prę ta sprę ż ystego,  z  tym  tylko,  że  należy  w  nich  zam iast e



164 J.  KESTIN

podstawić  ee.  P odobn ie  zachowują   waż ność  równ an ia  (5.4)- (5.7).  Wykres  stan u  jest
identyczny z przedstawionym poprzedn io n a rys.  8 (lub  1 i 2) z tym jedn ak, że teraz izoterm y
są   ograniczone przez  naprę ż enia zrywają ce  a

n
  a  nie przez  granicę  plastycznoś ci  c p l jak  dla

ukł adu  sprę ż ysto- idealnie  plastycznego.
Wyraż enia  dla  pracy  i  ciepł a  dysypowanego  —  równ an ia  (5.6)- (5.8) —  m oż na  przed-

stawić jako  pola powierzchni n a wykresie naprę ż enie- odkształ cenie w przypadku  procesów
izotermicznych; przedstawia je  rys.  12. P ole 0  1 2 b reprezentuje  aktualną   pracę   wykon an ą
w ukł adzie

2

/   otfe  =   -   W ,
o

podczas  gdy  pole  alb  pracę   wykonaną   w  ukł adzie w  procesie  odwracalnym.  R óż nica  —
pole  0  1 2 a jest  proporcjon aln a  do  energii  dysypowanej  podczas  procesu  (por.  równ an ie
w  p .  10);  nie jest  on a  równ a  ani  iloś ci  ciepł a  g°  wymienionej  w  sposób  odwracalny,  an i
aktualnie  wymienionej  iloś ci  ciepł a  Q,  ale  ich  róż nicy.  Kiedy  p o  peł nym cyklu  od  stan u
począ tkowego  ukł ad  p o  odcią ż eniu  powraca  do  stan u  a,  wówczas  pole  0  1 2 a  staje  się
równe  energii  dysypowanej  podczas  cyklu,  to  znaczy  ciepł u  oddan em u  otoczeniu.  Ilość
oddanego  ciepł a jest wtedy  równ a  cał kowitej wykonanej  pracy.

1

1
\

1

- 7

I
1

1
11

can

U
1

1

st

f

a

e
p

\

/

K

1t
\
\

—
/\
\
\
\
\

k\\\\

\\><\\\\

?i\
\
\
\
\
\
\
\
b

E

2

f
D

2
6de- - W

—

e

Rys.  12. G eometryczna  interpretacja cał ek  na izotermicznym wykresie naprę ż enie- odkształ cenie

Rysunek  5  przedstawia  prostą   analogię   mechaniczną   prę ta  odkształ canego  pla-
stycznie.  P rzypadek  N   =   const  odpowiada  przypadkowi  idealnej  plastycznoś ci,  podczas
gdy przypadek  ze wzrastają cym  JV powyż szemu  uproszczon em u przypadkowi  wzmocnienia.

7.  Materiał   Iepkosprę ż ysty

Zajmiemy  się   teraz  moż liwie  najprostszym  m ateriał em lepkosprę ż ystym,  mianowicie
takim ,  który  speł nia  prawo  H ocke'a  przy  dowolnie  danej  szybkoś ci  odkształ cenia e.
U wzglę dniają c,  że  szybkość  odkształ cenia  m a  wpł yw  n a  zwią zek  mię dzy  odkształ ceniem



O  ZASTOSOWAN IU   ZASAD   TERMODYN AMIKI 165

i  naprę ż eniem,  przyjmiemy,  że  efekty  bezwł adnoś ciowe  moż na  pominą ć.  Izotermiczny
wykres  naprę ż enie- odkształ cenie  dla  takiego  materiał u  przedstawiony  jest  na  rys.  13;
szybkość  odkształ cenia e wystę puje  tu w roli dodatkowego  parametru. Pierwszą   nasuwają cą
się   myś lą   jest,  że  stan  ukł adu, n a  przykł ad  w  punkcie  A,  opisują   w  sposób  zupeł ny  trzy
spoś ród  czterech  zmiennych:  o", e, T iś .  Innymi  sł owy  «naturalne»  wydaje  się  doł ą czenie
szybkoś ci  odkształ cenia jako  dodatkowego  param etru i przyję cie  w zwią zku  z tym, że stan
okreś lają   nie dwie, lecz trzy niezależ ne wielkoś ci.  Sł usznoś ci tego przypuszczenia  nie moż na
rozstrzygną ć  przez  odwoł anie się   do jakiejś  zasady;  poprawną   odpowiedź  może dać tylko
interpretacja  faktów  doś wiadczalnych.

N a  podstawie  danych  doś wiadczalnych  przyjmujemy,  że  odwracalne  są   tylko  procesy
przebiegają ce  przy  e =   0;  wszystkie  inne  są   natom iast  nieodwracalne.  F akt  ten, jak  to

'e> 0  T=To°=const

Rys.  13.  M ateriał   lepkosprę ż ysty

zaraz  zobaczymy,  wyklucza  moż liwoś ć,  że  e  reprezentuje  prawdziwy  parametr  stanu,
i  prowadzi  do  wniosku,  że  takie  wielkoś ci,  jak  entropia  i  energia  wewnę trzna  lub  jaki-
kolwiek  inny potencjał  termodynamiczny muszą   być  niezależ ne  od  ś.

G dyby  e był o prawdziwym  param etrem stanu i  gdyby  termiczne równanie stanu miał o
postać

(7.1)  / ( tf, M , r)  =   o,

wówczas  moż liwe  był oby  przeprowadzenie  procesu  odwracalnego,  to  znaczy  procesu,
podczas  którego  ukł ad  przechodził by  przez  cią g  stanów  równowagi  przy  dodatkowym
warunku  e =   const.  Wspomnieliś my  już,  że  jest  to  moż liwe  tylko  wówczas,  gdy  e =   0.
A  ten wł aś nie fakt  wyklucza  e jako  zmienną  z równania  (7.1).

Szybkoś ć,  z  jaką   jest  wykonywana  praca  (w  sposób  nieodwracalny)  przy  e  >  0,  jest
równa

(7.2)  dW \ dt  =  - oś ,

co wskazuje  na t o , że o1 może nie mieć charakteru param etru stanu. Równanie (7.2) moż na
także przepisać  w  postaci

(7.3)  dW =- ffde,



166  J.  KESTIN

tak  że praca w procesie  odwracalnym  przy  e =   0, jest  równ a

(7.4)  dW =- aede,

gdzie  tfe< tf.  Równanie powyż sze  identyfikuje  o16 jako  prawdziwy  param etr  stan u. W takim
razie  naprę ż enie  musi  być  rozł oż one n a «odwracalną»  czę ść  sprę ż ystą  tfe  i czę ść  lepką  d°:

(7.5)  et =   ae+av

jak  to sugeruje  rys.  13. W konsekwencji,  z pun ktu  widzenia  term odynam iki  stany  A i A'
n a wykresie są identyczne. W celu obliczenia  energii wewnę trznej  u lub  en tropii s w pun kcie
A  nie  koniecznie  trzeba  ł ą czyć A i, powiedzmy,  pu n kt  reprezentują cy  stan  n aturaln y  linią
odpowiadają cą  procesowi  odwracalnemu  od jedn ego  stan u  do drugiego;  zam iast  p u n kt u
A  m oż na równie  dobrze  posł uż yć  się  pun ktem A'.

Jest  teraz  rzeczą  jasną, że dla rozpatrywanego  przypadku  pozostają  sł uszne  wszystkie
równania  dla  ukł adu  sprę ż ystego.  W  szczególnoś ci  niezmienione  pozostaje  równ an ie
podstawowe  (2.21),  ale we wszystkich  pozostał ych  równ an iach  trzeba  a zastą pić  przez  ae.
N a przykł ad, zamiast  dobrze  znanego  równ an ia

dla  ukł adu sprę ż ystego,  które  wynika  bezpoś rednio z zależ noś ci

du =   T ds+ads,

musimy  napisać

£ )- "•
P odobnie  przy  przeprowadzaniu  transformacji  Legendre'a  równ an ia  podstawowego  (2.21)
nie wolno  zapominać, że  dla  materiał u  lepkosprę ż ystego

(7.8)  h(s, ae)  = u- d'e,  f(T , s) =  u- Ts,  g(T ,  ae) =  u- aee- T s

i że

( 7.9,  i *  î= 0, a , e ie „ a „ gó ,  =   ^ 0

dla  każ dego  potencjał u  termodynamicznego  <p  (róż niczkowanie  przeprowadza  się  przy
ustalonych  innych zmiennych).

P rzedstawiona  obecnie  sytuacja  jest  analogiczna  do  sytuacji  w przypadku  cieczy  lepkiej,
dyskutowanej  krótko w zwią zku  z rys.  6. W tym  ostatn im przypadku  nie był o mowy  o tym ,
że  m om ent M lub  prę dkość  ką towa  a>  powinny  wejść  do równ an ia  stan u.  I n n ym i  sł owy.
ponieważ  m om ent M jest  cał ką z naprę ż enia  ś cinają cego  T W cieczy  lepkiej,  prę dkość  zaś
ką towa  w jest  proporcjonaln a  do  gradientu  prę dkoś ci  w warstwie,  n ikt  nie zapropon ował ,
aby  którą kolwiek  z tych  dwu  wielkoś ci  wstawić  do  równ an ia  stanu  cieczy  lepkiej.  W rów-
naniu  stanu  zachowuje  się jedynie  ciś nienie, to znaczy jedn a  trzecia  ś ladu  peł nego ten sora
naprę ż enia i  obję toś ć,  to znaczy  jedn a  trzecia  cał ki  po czasie  ze ś ladu  ten sora  szybkoś ci
odkształ cenia.



O  ZASTOSOWAN IU   ZASAD   TERMODYN AMIKI  167

W  przypadku  lepkosprę ż ystym  proces  przebiegają cy  przy  e >  0  jest  nieodwracalny

i  en tropia produkuje  się  z  szybkoś cią

,dQ.
(7.10)

dt

zupeł nie  analogicznie ja k  w  przypadku  cieczy  lepkiej.  W  procesie  izotermicznym kompen-
sacyjny  strum ień  ciepł a  zapewnia  utrzym an ie  stał ej  wartoś ci  entropii, to  znaczy  wartoś ci
odpowiadają cej  temu  sam em u  odkształ ceniu, ale przy  równej  zeru  szybkoś ci  odkształ cenia.

D alsza  róż nica  mię dzy  m ateriał em lepkosprę ż ystym  i materiał em plastycznym  polega
n a  tym ,  że  teraz  trzeba  rozważ ać  procesy  przebiegają ce  ze  skoń czonymi  prę dkoś ciami,
podczas  gdy  poprzedn io  dopuszczaln e  był y  jedyn ie  procesy  quasi- statyczne.  M oż liwość
wykorzystywania  w  dalszym  cią gu  równ ań  klasycznej  term odyn am iki  opiera  się  n a hipo-
tezie,  w  myśl  której  w  każ dej  chwili  procesy  przebiegają ce  ze  skoń czonymi  prę dkoś ciami
m oż na  traktować  jako  procesy  quasi- statyczne.  Warto  tu  zauważ yć,  że  n a  tej  hipotezie
bazuje  cał a  m echan ika pł yn ów.

8. Peł zanie i  relaksacja

R ozważ an ia  prowadzon e  w poprzedn ich  pu n kt ach  mogą  sugerować,  że  termiczne

równ an ie stan u m ateriał u, w którym przebiegać  mogą procesy peł zania i relaksacji, powinno

mieć  również  p o st ać:

(8.1)  f(e,a,T )  = 0.

Jedn akże jest  to  oczywiś cie  niemoż liwe, ja ko  że  w  procesie  peł zania zmienia  się odkształ -
cenie,  podczas  gdy  o1 =   con st i  T   =   con st,  n atom iast  w  procesie  relaksacji  zmienia  się  a,
podczas  gdy  e =   con st i  T   =   con st.  M usim y  oczywiś cie  dojść  do  wniosku,  że  równanie

(8.1)  powin n o  zawierać  co  najmniej  jeszcze  jedną  zmienną f, której  zmiana  skompensuje
zm ianę  a  lub  e  zależ nie  od  przypadku.  W  konsekwencji  termiczne  równanie  stan u  musi
przyjąć  p o st ać:

(8.2)  / («,tf,r,fi)- 0,

gdzie  symbol  ff  oznacza  tyle  zmiennych f, ile  nakazuje  przyjąć  doś wiadczenie  w  każ dym
przypadku.

Interpretujem y  tu  wyniki  doś wiadczeń  w  taki  sposób,  że  zakł adamy, iż  zmienna  lub
zm ienne  £  są  tej  samej  n atury, co i stopień reakcji  chemicznej. Wł ą czenie takich zmiennych
do  równ an ia  stan u  przedstawia  cią głą  aproksymację,  która  daje  moż liwość  uwzglę dnienia
przemianchemicznych czy  dyfuzji,  jeś li  takie  mogą  wystą pić  w  ukł adzie w  stanie zahamo-
wanej  równowagi  chemicznej.

Ten  p u n kt  widzenia  przyję ty  jest  w  pracy  J.  M EIXN ERA  n a  tem at  zjawisk  relaksacji
[2,  3],  a także w m on ografii  S. R.  D E G R OOTA i P.  M AZ U R A  [4] w zwią zku  z opisem  relaksacji
sprę ż ystej.  P raca  J.  M EI XN ER A  [2] zawiera  szczególnie  prosty  opis  relaksacji  w  prę cie pod-
dan ym  dział aniu jedn oosiowego  n aprę ż en ia.  Teoria jest  oparta  na  rozwinię ciu  na  szereg
Taylora  funkcji  H elm h oltza  (co  do  której  zakł ada  się,  że  zależy  od jednego  tylko  para-
m etru  wewnę trznego  £) w pobliżu  stan u  równowagi  chemicznej,  dla  którego  przyjmuje
się  £  =   0.



168  J.  K E ST I N

Ograniczając  się do procesów  izo termicznych  moż na  równanie  podstawowe  napisać
w postaci:

(8.3)  / ( £ , 0  =   / (0,0)+EooB+bB^ +

róż niczka/ ma wtedy postać:

(8.4)  df=ade- srtdC,

gdzie £#   jest powinowactwem  sprzę ż onym z  £,
Z relacji  przyję tej  dla funkcji  Helmholtza wynika,  że

(8.5)  a -

oraz

(8.6)  - t

Podczas procesu odwracalnego srf.  — 0 i mamy:

co wskazuje, że moduł  Younga jest  dany  wzorem;

(8.7)  E =  E
(0 0

Postulując  liniowy  zwią zek  mię dzy  powinowactwem  sl  i  uogólnionym  strumieniem
di/ dt,  to znaczy zakł adając

(8.8)  ^ =   C J f '
moż na wyprowadzić  tak zwane dynamiczne równanie stanu(6)

(8.9)  tf+ T.a  =   E(e+t
a
e),

gdzie

(8.10)  T l - £   i  rff  =   ^ .

Rozwią zanie  ogólne równania  (8.9) moż na napisać w postaci

(8.11)  a(t) = Ene®-   Eco~ E  (  e~ ult'e(ł - u)du,
T E  J

gdzie pominię to addytywny,  zanikają cy  czł on  const x exp(—  t/ t
B
).

Interpretacja  tego  równania  prowadzi  czę sto  do pewnych  nieporozumień. Jak widać,
równanie to opisuje  proces  termodynamiczny bę dą cy  wynikiem  «przył oż enia»  z miennego

(«) U ż ycie tu okreś lenia «równanie stanu» jest nieusprawiedliwione, gdyż równanie to zawiera  wielkoś ci,
które nie są prawdziwymi  param etram i  stanu.



O  ZASTOSOWAN IU   ZASAD   TERMODYNAMIKI  169

odkształ cenia e(t)  do koń ców  prę t a. Jeś li  z wyraż eń  dla a(t) i a(t) wyeliminujemy  param etr  t,
t o  powinniś my  otrzym ać  pewną   reprezentację   tego  procesu  n a  pł aszczyź nie  naprę ż enie-
odkształ cen ie; w tej  reprezentacji procesu param etr wewnę trzny  |  nie jest  stał y,  ale  zmienia
się   od  pu n kt u  do  p u n kt u , ja k  tego  ż ą da  równ an ie  (8.5).  Tak  wię c  zwią zek  tego  typu  nie
może  stanowić  równ an ia  st an u ; wszystkie  równ an ia  stan u  dla  izotermicznie  «zamroż onej»
równowagi  wewnę trznej  są   zawarte  w  równ an iu  (8.3).  N ie jest  wię c  rzeczą   zaskakują cą,
że  szczegół y  procesu  zależą   od  wszystkich  «obecnych»  i  «przeszł ych»  wartoś ci  funkcji  e(t)
opisują cej  zależ ność  odkształ cen ia  od  czasu  («historii»  odkształ ceń  na  brzegu).  To  nie
usprawiedliwia  stwierdzenia  in terpretowan ego  czę sto  bardzo  szeroko,  że  rozważ any  ukł ad
jest  obdarzon y  «pamię cią»  (zanikają cą   lub  jaką ś  in n ą )  i  że jego  aktualny  stan  zależy  od
cał ej  historii ukł adu. I lekroć rozpatruje  się  proces termodynamiczny, tylekroć  stwierdza  się ,
że  wszystkie  param etry  stan u  są   funkcjami  czasu  i  że  ich  wartoś ci  w  jakiejś  szczególnej
chwili  zależą   od wszystkich  wartoś ci  wszystkich  param etrów  w danej  chwili  i w przeszł oś ci.
To  jedn ak  nie  oznacza,  że  czas  m usi  wystę pować  w  sposób  jawny  w  równaniach  stanu,
stanowią cych  przecież  zwią zki  mię dzy  param etram i  stan u  w  danej  chwili.  Odwrotnie,
jeś li do opisu przyję te  są  poprawn e  niezależ ne param etry  stanu, czas musi znikną ć z  każ dego
prawdziwego  równ an ia  stan u.

Obecność  param et ru  wewnę trznego  f  w  poprzedn ich  rozważ aniach  sugeruje  wyraź nie,
że  teoria  m ateriał ów  lepkosprę ż ystych,  pot rakt owan a  opisowo  w  poprzedn im  punkcie,
może  być  zbudowan a  n a  zał oż eniu istnienia  wewnę trznych  zmiennych  ukł adu.  Ten pun kt
widzenia  jest  szczególnie  wyraź nie  przyję ty  w licznych  pracach J.  MEIXN ERA  [3].

9. Schemat ogólny

Rozszerzenie  powyż szych  rozważ ań  n a  oś rodki  cią głe  w  przypadku  materiał ów  sprę -
ż ystych  okazuje  się   prost e  i  nie  budzą ce  wą tpliwoś ci.  W  bardziej  skomplikowanych  przy-
padkach  róż ni  autorzy  stosują   róż ne  podejś cia;  w  zwią zku  z  tym  przed  przystą pieniem
do  zbadan ia  zjawiska  wzm ocn ien ia  w  ram ach teorii  obszarów  (domen)  sprę ż ysto- plastycz-
nych  nie  od  rzeczy  bę dzie  rozpatrzen ie pewnych  ogólnych  zasad  analizy.

Autor  jest  przekon an y,  że  dla  skon struowan ia  termodynamicznego  opisu  ukł adów
cią gł ych  trzeba  zaakceptować  zasadę   stan u lokalnego  [5]. Z asada  ta zapewnia,  że wszystkie
zwią zki  mię dzy  wielkoś ciami  term odyn am iczn ym i,  które  są   sł uszne  dla  ukł adów  jedn o-
rodn ych ,  pozostają   w  mocy  w  każ dym  pun kcie  w  przestrzeni  i  w  każ dej  chwili  czasu,
n awet  jeś li  procesy  przebiegają   ze  skoń czonymi  prę dkoś ciam i.  Osią gnię cia  teorii  sprę ż y-
stoś ci  i  mechaniki  pł yn ów  są   zbudowan e  wł aś nie  n a  tej  zasadzie.  Z godność  mię dzy  tym i
teoriam i  i  doś wiadczeniem  sugeruje,  że  zasadę   stan u  lokalnego  moż na  bez  ż adnych  za-
strzeż eń  przyją ć  także  ja ko  podstawowe  zał oż enie  teorii  mają cych  opisać  niesprę ż yste
zachowanie  się   m ateriał ów.  Kwestii  czy  zasadzie  tej  m oż na  n adać  charakter  uniwersalnej
zasady  term odyn am iki  oś rodków  cią gł ych  nie m a potrzeby  tu  dyskutować.

W  każ dej  chwili  czasu  t ukł ad cią gły  znajduje  się  w  okreś lonym  stanie, który  charaktery-
zują   rozkł ady  przestrzen n e jego  (prawdziwych)  param etrów  termodynamicznych  <p;. Stan
jest  zatem  okreś lony  przez  n  p ó l  <p;(x, t)  gdzie  x  jest wektorem  poł oż enia,  zaś  n  oznacza
liczbę   niezależ nych  wielkoś ci  term odyn am iczn ych  odpowiedniego  ukł adu  jedn orodn ego.
Czas  t  odgrywa  rolę   param et ru .  Kiedy  czas  zmienia  się ,  wówczas  mówimy,  że  w  ukł adzie



170  J.  KE STI N

przebiega  proces.  Jeś li  ip jest  dowolną  wielkoś cią  zależ ną,  wówczas  istnieje  jedn ozn aczn e

równanie  stan u:

(9.1)  f(x,  t) =  F f o f o  i),  ...,  cPn(x,  OL

które jest  speł nione w każ dym  punkcie  x i w każ dej  chwili  czasu  t. F unkcja  F  nie  może
zależ eć jawnie  ani  od  wektora  poł oż enia x, an i  od  czasu t.

Wygodne  okaże  się dokon an ie  przeglą du  tych  równ ań  term odyn am iki,  które  muszą
być w zwarty  sposób  uogólnione dla ukł adów trójwymiarowych  ( 7).  We wszystkich  dyskuto-
wanych  poprzednio  przykł adach  analiza  faktów  doś wiadczalnych  dostarcza  n am  wyraż eń
dla pracy  cał kowitej dW \   pracy  w procesie  odwracalnym  dW °.  P ozwala  to n apisać pierwszą
zasadę  termodynamiki w dwu  postaciach.  Rozważ ając  elementarną  quasi- statyczną  zmianę
stanu  mię dzy  dwoma  są siednimi  stanami  moż emy  dla  procesu  odwracalnego  n apisać:

(9.2)  dU=dQ0- dW °

i  osobno  dla  procesu  nieodwracalnego:

(9.3)  dU  =   dQ- dW .

W  równaniach  tych  U przedstawia  cał kę  wzię tą  po obję toś ci  V ukł adu  przy  t =   con st;
dU  reprezentuje  w takim  razie  zmianę tej wielkoś ci  w cią gu  czasu  dt.  Wielkoś ci  dQ, dW ,
dQ°  i  dW ° są  liczone  jako  cał ki ze strumienia  ciepł a  i ze  strumienia  pracy  odpowiednio
po  powierzchni S ukł adu, oczywiś cie przy  zał oż eniu, że n a ukł ad nie dział ają  pola  elektrycz-
ne,  magnetyczne  czy  grawitacyjne;  strumienie  te m oż na przy  tym  opisać  za  pom ocą  odpo-
wiednich  pól  wektorowych.

Równanie  (9.3)  stanowi  równanie  energii  dla procesu  w  ukł adzie.  U jest  t u jedyn ie
funkcją  prawdziwych  param etrów  termodynamicznych  u kł ad u (8) .  Wyraż enia  dla  dQ  i dW
mogą  jedn ak  zawierać  wielkoś ci,  które  nie  muszą  być  wielkoś ciami  term odynam icznym i.
Równanie  (9.2)  może  n atom iast  zawierać  tylko  wielkoś ci  term odynam iczne.  W  róż nych
zmodyfikowanych  postaciach  równanie  (9.2) jest zn an e jako  równ an ie  G ibbsa,  szczególnie
wówczas, gdy przyjmuje  się w nim  dQ° = T dS i podstawia  się odpowiednie wyraż enie  n a  dW °.
N a  przykł ad  dla  ukł adu w stanie  zahamowanej  równowagi  chemicznej,  w  którym  prze-
biega  pojedyncza  reakcja  chemiczna, równanie  (9.2)  zakł ada się w dobrze  znanej  postaci:

(9.4)  dU =  T dS- PdV

gdzie  s/ i jest  powinowactwem  chemicznym,  £  zaś  stopniem  reakcji.  |  jest  tu param etrem
stanu, tak  że  U =   U(S,  V, £ ). Oczywiś cie w tym  przypadku

dW °

i, jak  ł atwo się przekon ać, PdV  przedstawia  wyraż enie  dla pracy  cał kowitej, a nie dla  pracy
wykonanej  w sposób  odwracalny,  poza  przypadkiem  gdy |  =   const  lub  sfl. =  0. W  przy-
padku  ukł adu cią gł ego  S musi  być  liczone jako  cał ka obję toś ciowa  i dS przedstawia  wtedy
zmianę tej  cał ki w cią gu  czasu dt.

(') Szerszą  dyskusję  m oż na  znaleźć  w  [5],  rozdział   13.
(8) W  wielu  pracach  energię wewnę trzną  przyjmuje  się  czę sto  bł ę dnie  jako  funkcję  wszystkich  para-

metrów  wystę pują cych w danym  problemie.



O  ZASTOSOWAN IU   ZASAD   TERMODYN AMIKI  171

P orównując  równania  (9.2) i (9.3)  otrzymujemy:

(9.5)  dQ°- clQ =  dW °~dW ,

co  wyraża  sobą  niezależ ność  zmiany  energii  wewnę trznej  od  procesu.  Pozwala  to  napisać

wyraż enie  dla entropii

dS  = dQ°IT

w postaci

Równanie  to wyraża  fakt,  że róż nica  mię dzy  zmianą  entropii  ukł adu  dS i  tą  jej  czę ś cią,
która  jest  zwią zana  z  wymianą  ciepł a  w  procesie  nieodwracalnym,  wyraż ają cą  się przez
strumień  entropii, jest  równa  wielkoś ci

,
a
  dW °~- dW

(9 . 7 )  dO =   f  ,

którą  moż na  interpretować  jako  ilość  entropii  generowaną  przez  proces  nieodwracalny
w cią gu  czasu  dt. N ierówność Clausiusa  ż ą da, aby  dla procesu nieodwracalnego

,„
  n

  dW °- dW
  ndO > 0  oraz  -   > 0,

czyli  aby obydwie  powyż sze  wielkoś ci  był y  dodatn io  okreś lone.  Równanie  (9.6)  moż na
przekształ cić  do postaci
(9.8)  dQ =  T dS- T de,

M a  mocy  (9.3) równanie to jest równoważ ne  nastę pują cemu:

(9.10)  dU=T dS- dW - T dQ,

co  stanowi  inną  postać  równania  G ibbsa.  Z  porównania  powyż szego  równania  z  (9.4)
widać,  że  dla  ukł adu  chemicznego

dW =PdV,  dO = ̂ rdi  oraz  dW °- dW =  </ ld£.

Kiedy  znane są już  wyraż enia  dla  pracy  wykonanej  w sposób  odwracalny  i nieodwra-
calny,  nie  ma  potrzeby  uogólniania  równania  G ibbsa  n a przypadek  trójwymiarowy(9);
wyraż enie  dla produkcji  entropii moż na bowiem  napisać  od razu —jest  to równanie (9.7).
Wyraż enie  dla wydajnoś ci  ź ródła entropii dO/ dt n a jedn ostkę obję toś ci  (lub masy) i jednostkę
czasu  bę dzie  miał o  szczególnie  prostą  matematycznie postać. W  poprzednich  przykł adach
wykazaliś my, że obydwa  wyraż enia  dla pracy  mają  postać:

dW °  = X<>dy°  oraz  dW =Xdy,

gdzie  X  i X°  są  wielkoś ciami  intensywnymi,  y  i y° zaś wielkoś ciami  ekstensywnymi(10).
Przy  tej  formie  zapisu  wyraż eń  dla pracy  wiadomo, że tylko X° i y°  są  parametrami stanu.
Tak  więc

dd  _ X°dyQ/ dt- Xdy/ dt
~d7 ~  f  '

(')  Ze wzglę du n a wystę powanie  w tym równaniu  T  równanie musi być najpierw  napisane dla  obję toś ci
elementarnej i dopiero potem scał kowane.

(io) w  ogólniejszym  przypadku  może  wystą pić  suma  takich  wyraż eń,  dla prostoty  pomijamy  tu znak
sumowania.



172  J.  K E ST I N

to  znaczy  wydajność  ź ródła  entropii  wyraża  się  przez  iloczyny  uogóln ion ych  sił  X  i X°
przez  uogólnione  strumienie  y  i  y°.  Wyniki  doś wiadczalne  odnoszą ce  się  do  ukł adów
prostych, zawarte  w równaniach  stan u — n a przykł ad w podstawowym  równ an iu  stan u —
dostarczają   jedynie informacji  o zwią zku  mię dzy X° i y°.  Relację   mię dzy X i y trzeba  okreś lić
w  oparciu o doś wiadczenia  innego  ch arakteru.

10. Równania  konstytutywne

P oprzednie uwagi prowadzą   do waż nej  interpretacji równ ań kon stytutywn ych.  P onieważ
naprę ż enie i  odkształ cenie  mogą   wystę pować  jako  wielkoś ci  term odyn am iczn e  oraz  jako
wielkoś ci  wystę pują ce  w wyraż eniu  dla  cał kowitej  pracy  dW   w procesie  n ieodwracaln ym ,
wię c  relacje  mię dzy  nimi  mogą   wynikać  z  dwu  niezwią zanych  ze sobą   zespoł ów  d an yc h
doś wiadczalnych:  tych, które prowadzą   do  równ an ia  stanu, i tych,  które  okreś lają   zwią zki
mię dzy  sił ami  i  strumieniami  w  procesie  nieodwracalnym.  D la wyraź nego  odróż n ien ia
tych param etrów,  które wystę pują   w wyraż eniach  dla  energii,  en tropii i pozostał ych poten -
cjał ów  termodynamicznych,  i  tych,  które  do tych  wyraż eń  nie wchodzą   — najlepiej  jest
obie te grupy  danych doś wiadczalnych  interpretować osobn o. W  równ an ia ruchu  (równ an ia
Cauchy'ego)  wchodzi  peł na  relacja  kon stytutywn a;  w  przeciwień stwie  do tego  wypisują c
równanie  energii  trzeba  zwrócić  baczną   uwagę ,  aby  czł on dU zawierał   tylko  te  param etry,
które  są   okreś lone  przez  równanie  stan u;  w  wyraż eniu  dla pracy  cał kowitej  wystę pują
ponownie  wszystkie  czł ony  relacji.

N a  przykł ad  dla  ukł adu  lepkosprę ż ystego

i  moż emy zał oż yć liniową   relację   mię dzy av  i e:

(10.2)  <f =  ftś ,

gdzie  / / ,  odgrywa  rolę   współ czynnika  lepkoś ci.  W  ukł adzie  m am y  oczywiś cie  zawsze do
czynienia  z dodatkowym  rozkł adem ź ródeł   en tropii, zwią zanym  z przewodnictwem  ciepl-
nym. Z asada C u rie( n ) pozwala jedn ak  stwierdzić,  że te dwa  rodzaje  ź ródeł  en tropii w  oś rod-
ku  izotropowym  nie wpł ywają   na siebie nawzajem,  tak  że  to  ostatn ie moż emy  dla  prost ot y
pom iną ć.  D ochodzimy w takim  razie  do  wniosku,  że kom pletn e  równ an ie  kon stytutywn e
ma  dla  naszego  ukł adu postać:

(10.3)  a =   eE- aE(T - T
0
)+fie.

Jednakże

aEeT
0
+c

t
(T -   T

o
) =(10.4)

oraz

(10.5)

(ii)

u

P or.

=

[4],

1
2

str

Es
2

s -

. 57.

s =   «Ee+c
t
\ n(T / T

0
) =  acf+a,

2
E(T - T o)+c

e
ln(T / n).



O  ZASTOSOWAN IU   ZASAD   TERMODYN AMIKI  173

11. Relacje Onsagera

P rzypom in am y,  że  macierz  współ czynników  fenomenologicznych  jest  konsekwencją
zapisu  zwią zków  mię dzy  uogóln ion ym i  sił ami  i  uogóln ion ym i  strumieniami  w  oparciu
o  wyraż enie  dla  produkcji  en tropii. Twierdzenie  Onsagera  orzeka,  że  macierz  ta  musi  być
sym etryczn a( 12).  W  tym  uję ciu(13)  rozważa  się   mał e  odchylenia  od  stanu  równowagi;  jest
wię c  rzeczą   jasną ,  że  jesteś my  zupeł nie  usprawiedliwieni  mówią c,  iż  dany  strumień  jest
wywoł any  przez  daną   sił ę , jeś li  obydwie  wielkoś ci  znikają   jednocześ nie. Jest  również jasn e,
że  w  tym  uję ciu  t e  strum ien ie,  kt ó re  wystę pują   w  ogólnym  wyraż eniu,  są   pochodnym i
ekstensywnych  wielkoś ci  term odyn am iczn ych .

W  naszych  poprzedn ich  przykł adach  sytuacji  tej  odpowiada  przypadek  lepkiego  na-
prę ż en ia  av  i  sprzę ż onego  z  n im  strum ien ia  e. Wyją tek  stanowi  n atom iast przypadek  prze-
pł ywu  plastycznego  (z  uwzglę dnieniem  wzmocnienia  lub  bez). W  tym  przypadku  sił a  n ie
zn ika, gdy  zn ika  strum ień , i ukł ad jest  wyprowadzony  ze stan u równowagi jedynie  wskutek
zaburzen ia  pola  tem peratury,  pozostają c  jednocześ nie,  że  tak  powiemy,  w  równowadze
wzglę dem  pola  n aprę ż en ia.  T r u d n o  jest  t u  stwierdzić,  czy  rzeczywiste  zachowanie  się
ukł adu  m oż na  opisać  w  ram ach  n orm aln ego  schem atu prowadzą cego  do  macierzy  współ -
czynników  fen om en ologiczn ych;  wydaje  się ,  że  nie  mamy  tu  innej  moż liwoś ci,  jak  tylko
stwierdzić,  że przepł yw  plastyczny  nie  speł nia relacji  Onsagera.

12. Teoria obszarów (domen)  sprę ż ysto- plastycznych

D o kł ad n a  an aliza  faktów  doś wiadczalnych  wskazuje,  że  prę ty  metalowe  nie  są   na-
prawdę   jedn orodn e.  Oglą dane  przez  m ikroskop  przedstawiają   sobą   mieszaninę   obszarów
(dom en)  o  przypadkowych  kształ tach  i  chaotycznie  zorientowanych  wzglę dem  siebie,
które  w  sprzyjają cych  okolicznoś ciach  ulegają   poś lizgowi.  Poś lizgi  te  nastę pują   wzdł uż
wyraź nie  widocznych  pł aszczyzn i  są   wynikiem  ruch u  dyslokacji.

P roponujemy  wyjaś nienie  procesu  wzmocnienia przez  zał oż enie, że każ da  taka domena
wzię ta  osobn o zachowuje  się   sprę ż yś cie  aż  do pewnej  gran icy; p o jej  przekroczeniu domena
deformuje  się   plastycznie  bez  zm ian y  obję toś ci  w  sposób,  który  sugeruje  szkic  n a  rys.  14.
Odn oś n ie  deformacji  plastycznej  zakł adam y, że nastę puje  on a wzdł uż pł aszczyzny  poś lizgu.
Stan  term odynam iczny  obszaru  (dom eny)  sprę ż ysto- plastycznego  jest  wię c  opisany  przez
param etry  zidentyfikowane  w  p .  5  jako  param etry  termodynamiczne  prę ta  ulegają cego
deformacji  idealnie  plastycznej.

Od razu zakł adam y, że ukł ad dom en speł nia warun ek cią gł oś ci; naruszenie tego warun ku
jest  równ oważ ne  powstan iu  okolicznoś ci,  w  których  zapoczą tkowuje  się   proces  zerwania.
Ż ą dan ie  cią gł oś ci  oznacza,  że  dom eny,  które  stykają   się   z  domeną   ulegają cą   deformacji
plastycznej,  p o d d an e  są   dział an iu wewnę trznych  n aprę ż eń sprę ż ystych  i  w  zwią zku  z  tym
same  mogą   ulec  deformacji  plastyczn ej, jeś li  powstan ą   sprzyjają ce  po  temu warunki.  Stan
term odyn am iczn y  cał ego  u kł ad u  opisują   p o la:  n aprę ż eń  tfy(x),  odkształ ceń  sprę ż ystych
e°j(x), tem peratury  T (x)  it d.;  do  opisu  stan u nie wchodzi jedn ak  pole  odkształ ceń plastycz-
n ych  ef,(x).  P roces nastę puje  wówczas,  gdy  pola  te zmieniają   się  w  czasie, ale zasada  stanu

(>2)  Pomijamy tu komplikacje wynikają ce  z istnienia dwu rodzajów  sił  uogólnionych ([2] artykuł  w ency-
klopedii), ponieważ ten fakt  nie ma wpł ywu na nasze rozważ ania.

(») P or.  [4], str.  36, 40 i  57.



174  J.  KE STI N

lokalnego  zapewnia,  że  równ an ia  p .  3  zachowują   swą   sł usznoś ć.  Wystą pienie  poś lizgów
samo  przez  się   nie  powoduje  zmiany  stan u;  zm iana  taka  nastę puje  w  sposób  poś redni
wskutek  wpł ywu  poś lizgów  n a  naprę ż enia  i  wskutek  wpł ywu  ź ródeł   en tropii  n a  rozkł ad
tem peratury.

Róż nice w zachowaniu  się  róż nych ciał  są   uwarun kowan e  róż nymi ś rednimi rozm iaram i
domen  i  róż nymi  kryteriami  poś lizgu.  Z akł adam y,  że  poś lizg  nastę puje  wówczas,  gdy
naprę ż enie  ś cinają ce,  dział ają ce  n a  powierzchni  poś lizgu,  osią ga  wartość  krytyczną   r

kr
.

Aby  sformuł ować  dokł adn e kryteria  okreś lają ce  orientację   pł aszczyzny  poś lizgu  i  liczbę
moż liwych pł aszczyzn poś lizgu  w domenie dla konkretnego m ateriał u, trzeba  przeprowadzić

b  Powierzchnia
I  poś lizgu

Rys.  14.  D eformacja  obszaru  (domeny  sprę ż ysto- plastycznego)
a)  sprę ż ysta — poniż ej granicy poś lizgu, b) czysto plastyczna — powyż ej granicy plastycznoś ci

szczegół owe  i  dokł adne badan ia  doś wiadczalne.  I  choć  nie  jesteś my  w  stanie  p o d a ć  tu
tych  kryteriów,  moż emy  jedn ak  rozważ yć  dwa  przypadki  graniczne,  jako  że  m oż na  je
rozpatrzeć w  sposób  zupeł nie ogólny.

Rozważ my  wyż arzony  materiał   pozbawiony  zupeł nie  wewnę trznych  naprę ż eń.  Jeś li
domeny  nie  mają   ż adnych  wyróż nionych  kierun ków  pł aszczyzn  poś lizgu,  t o  moż emy
przewidzieć  nastę pują cą   kolejność  zdarzeń, kiedy, powiedzmy,  do koń ców  prę ta przył oż one
jest naprę ż enie rozcią gają ce.  N a począ tku  ukł ad  bę dzie  się   zachowywał   zupeł nie  sprę ż yś cie
i  odwracalnie. Kiedy  obcią ż enie zewnę trzne osią gnie  wartoś ć, przy  której  napię cia  ś cinają ce
przewyż szą   T k r , wówczas  cał y  ukł ad  zacznie  pł yną ć.  T ak  wię c  pierwsza  powierzchnia  pł y-
nię cia  ukł adu  bę dzie  odpowiadać  dokł adnie warun kowi  plastycznoś ci  Treski.  Z  drugim
warunkiem  granicznym  bę dziemy  mieli  do  czynienia  wówczas,  gdy  domeny  są   m ał e
i  bardzo  liczne, i  gdy  każ da  posiada  jeden  wyróż niony  kierunek  poś lizgu,  przy  czym  kie-
run ki te są   w  ukł adzie rozł oż one w sposób  zupeł nie przypadkowy.  Taki  ukł ad  n a  począ tku
bę dzie  się   zachowywał   także  idealnie  sprę ż yś cie.  Jedn akże  teraz  pł ynię cie  nie  n astą pi,
gdy  w  pewnym  pun kcie  naprę ż enie  ś cinają ce  osią gnie  wartość  przewyż szają cą   T k r ,  gdyż
w  punkcie tym  wyróż niony  kierunek  może  się   róż nić od  kierun ku  maksymalnego  ś cinania
wywoł anego  przez  obcią ż enie  zewnę trzne.  Ze  wzglę du  n a  zał oż ony przypadkowy  rozkł ad
wyróż nionych  kierunków  i  zał oż ony  brak  zmian  obję toś ci  przy  deformacji  plastycznej
ogólne  kryterium  dla  ukł adu  mogł oby  wyraż ać  warun ek,  że  sił y  zewnę trzne  w  chwili
osią gnię cia  przez ukł ad makroskopowej  granicy pł ynię cia powodują   jedynie  zmiany kształ tu
ukł adu.  Przy  zał oż eniu,  że  współ czynnik  przewodnictwa  cieplnego  jest  bardzo  duż y,
a  wię c —  że  proces  przebiega  przy  stał ej  tem peraturze,  powyż sze  kryterium  pł ynię cia
był oby  prawdopodobn ie  identyczne  w  swej  formie  z  kryterium  postulowan ym  niezależ nie
przez  M .  T.  H U BERA  [6],  R.  M ISESA  [7]  i  B.  P.  H AI G H A  [8].  I n n ym i  sł owy,  powinniś my

oczekiwać,  że  kryterium  pł ynię cia  bę dzie  odnosić  się   do  stan u  osią gnię tego  przez  ukł ad



O  ZASTOSOWAN IU   ZASAD   TERMODYN AMIKI 175

jako  cał ość i  opisanego  przez  pracę , jaką   trzeba  wykonać  izoterraicznie w  sposób  odwra-
calny, aby w kom pletn ie wyż arzonym  materiale wywoł ać krytyczne zmiany kształ tu. Term o-
dynamiczną   n aturę   tego  kryterium  stwierdził   po  raz  pierwszy  G .  A.  KLU ITEN BERG   [9],

Jest  rzeczą   dobrze  zn an ą ,  że  wię kszość  m ateriał ów  w  stanie  wyż arzonym  cechuje  się
pierwszą   izotermiczną   powierzchnią   plastycznoś ci,  która  leży  mię dzy  tymi  dwoma  ekstre-
m am i.  Wskazuje  to  n a  fakt,  że  aby  obliczyć  analitycznie  pierwszą   granicę   plastycznoś ci,
trzeba  dysponować  wystarczają cą   iloś cią   informacji  o  m ikrostrukturze  ukł adu.  Warto
też  zauważ yć,  że  poprzedn i  obraz  sugeruje,  iż  podczas  procesu  pole  tensora  odkształ ceń
plastycznych  e"(x,  f) jest  w  zasadzie  niecią gł e, gdyż  zał oż enie o  nieistnieniu  wyróż nionych
kierun ków  poś lizgu  jest  nie  do  utrzym an ia.

Aby  otrzym ać  nieco  bardziej  przejrzysty  obraz  zachowania  się   takiego  przyję tego
ukł adu,  moż emy  zn owu  rozważ yć  prę t  poddan y jedn orodn em u rozcią ganiu, jak  to  poka-
zan o  n a  rys.  15.  Rozważ my  jego  górną   czę ść ju ż  p o  przekroczeniu  granicy  plastycznoś ci.

- A- IA

Rys.  15. Istota naprę ż eń wewnę trznych

Widzimy,  że  n a  skutek  przypadkowego  rozkł adu  dom en  zdeformowanych  plastycznie
powierzchnia  począ tkowo  pł aska  n ie pozostan ie powierzchnią   pł aską .  Ilustruje  to  rys.  15.
Jest  rzeczą   jasną ,  że  rozkł ad  n aprę ż eń  n orm aln ych,  które  powinny  zapewnić  speł nienie
warun ku  cią gł oś ci, n ie  m oże  być  jedn orodn y,  ale  musi  być  okreś lony  przez  naprę ż enie
ś rednie

02. 1)  S^jMy,

gdzie  P  oznacza jed n o ro d n e  obcią ż enie,  zaś  A
o
  począ tkowe  pole  przekroju  poprzecznego.

P on adt o  w  m ateriale bę dzie  istnieć  niejednorodny  rozkł ad  naprę ż eń o[j o wartoś ci  ś redniej
równej  zeru.  P ole  n aprę ż en ia  Oy(x, t)  jest  polem  wewnę trznym,  znikają cym  n a  brzegu.

P odczas  procesu  odcią ż an ia  n aprę ż en ie  ś rednie  a
u
  bę dzie jednostajnie  maleć  do  zera;

nie  m oż na  jedn ak  tego  powiedzieć  o  polu  n aprę ż eń  wewnę trznych,  które  zachowuje  się
z razu nietknię te.  Po pewn ym  czasie pole n aprę ż eń wewnę trznych  bę dzie zawierać  skł adowe
ś ciskają ce  i  w  tych  okolicznoś ciach  wywrze  wpł yw  n a  powierzchnię   plastycznoś ci  przy
ś ciskaniu,  prowadzą c  tym  sam ym  do  efektu  Bauschingera.



176  J.  K E S T I N

Zgodnie z tą   teorią   po  cyklu  skł adają cym  się   z obcią ż enia  i  odcią ż enia  ukł ad  nie  może
powrócić  do  stanu  pierwotnego.  Stany  0  i  3 na rys.  11 nie  są   wię c  dalej  identyczne, jak  to
zał oż ono w teorii elementarnej  w p. 6. Okoliczność  tę   implikuje  «morze  nieodwracalnoś ci*
P.  W.  BRID G MAN A.  F aktem  bowiem  jest,  że  rzeczywiś cie  nie  moż na,  ogólnie  mówią c,
odtworzyć  pierwotny  stan  zł oż onego  ukł adu  za  pomocą   odpowiednich  sił   przył oż onych
do  jego  powierzchni.  Jednakże  stan  pierwotny  każ dej  domeny  odtworzyć  moż na,  przy-
najmniej  myś lowo,  tak że tracą   swą   moc obiekcje  odnoś nie zastosowania  równań  klasycznej
termodynamiki do  opisu zjawisk  mechanicznych.

13.  Pewne ogólne wyniki J. R.  Rice'a

Profesor  J. R.  R I C E ,  opierają c  się  n a poprzednio przedstawionych  ideach, uzyskał  szereg
interesują cych  rezultatów.  Przytaczamy  je  tutaj  za jego  zgodą .

Wracają c  do przypadku  prę ta przedstawionego  n a rys.  15 znajdujemy,  że n a powierzchni
S  zachodzi:

Mjffy  =   0 ,

gdzie  tij  oznacza  wektor  normalny  skierowany  na  zewną trz.  Równania  równowagi  mają
postać:

8xj

zatem:

y  k  y  \   k!  y

Ale

f  s  '  f  '
J  OXu  J
V  Z

gdzie Z  jest polem powierzchni.  D owodzi  to, że

(13.1)  Ja'
tJ
dV  =  O.

v
Równanie  stanu  (3.6) oraz zasada  stanu lokalnego  pozwalają   n am napisać:

=   / [ i  '̂J+ ^U  /
gdzie  ey  reprezentuje  odkształ cenie ś rednie  wywoł ane  przez  ś rednie  naprę ż enie  cr,j. Zatem

V  — A
o
l

o
  oznacza tu  obję tość prę ta. Równanie to wyraża sobą  podział   energii wewnę trznej

na  dwie czę ś ci:  makroenergię

((13.2)  UM=  ( j ^ e y +   y ^ L  skk\   V,



O  ZASTOSOWAN IU   ZASAD   TERMODYN AMIKI  177

którą   ukł ad  posiada  niezależ nie  od  tego, czy  są   w  nim naprę ż enia  wewnę trzne,  czy  ich
nie  m a, i mikroenergię

(13.3)  Um=zJ  J  a'us'udV
v

zwią zaną   z istnieniem  m ikron aprę ż eń w ukł adzie.

P rzeprowadzają c  takie  same  rach un ki  dla  entropii  w  oparciu  o  równanie  (3.5) znaj-

dujemy,  że

f  a.E  -_  ,  .  aEV _
(13.4)  S—-   \  —.——  \ s.

kk
- \ - e

kk
)dv  =  - —^ s

kk
.

J  1—2v  1—2v
v

R ówn an ie  to  pokazuje,  że  ukł ad  posiada  tylko  m akroen tropię   S
M
;  jego  mikroentropia

S
m
  jest  toż sam oś ciowo  równ a  zeru.

Stan owi  to  podstawę   do  zastosowan ia  równ an ia  G ibbsa  (9.10).  P raca  cał kowita  jest
równ a

dW   =   - Pdl,

przy  czym

dW »  =  - Pdl,

gdzie  I—  oznacza  sprę ż yste  wydł uż enie  prę ta.  Z atem

dU
M
+dU„, =  T dSu+Pdl- T dd.

P onieważ  m ikroen tropia jest  równ a  zeru,  moż emy  również  napisać

dU
M
  =   T dS

M
+Pdl

i  m am y

(13.5)  Pd(l- J)~dU
m
  =   T ddi  >  0.

R ówn an ie t o  dowodzi,  że p rac a  sprę ż ysta  Pdl",  gdzie

/ n  /   7
I"  =   I  —I,

jest wię ksza  od zm iany  «mikroenergii»  prę ta.
Te  wstę pne  i  ja k  do  tej  pory  zupeł nie  ogólne  rezultaty  skł aniają   nas  do  wyraż enia

nadziei,  że  teorię   dom en  sprę ż ysto- plastycznych  m oż na  dalej  rozwiną ć  i  udoskonalić.
Jest  rzeczą   jasną ,  że w  tym celu  konieczn e jest  dokł adniejsze  zbadanie  natury  pł aszczyzn
poś lizgu  oraz  że n at u ra  powierzchn i  plastycznoś ci  ukł adu  musi  być zależ na  nie tylko  od
omówionych  czynników,  ale  także  od  program u  obcią ż enia  n a  powierzchni  ukł adu.
Wyjaś nia  t o , dlaczego  wyniki  doś wiadczeń  odn oś n ie  powierzchni  pł ynię cia  są   t ak trudn e
do  sklasyfikowania  i  in terpretacji.

14.  C ykl  naprę ż eniowy

Jeś li  ukł ad jest  p o d d an y  dział an iu izotermicznego  cyklu  naprę ż eniowego  od począ tko-
wego  stan u  sprę ż ystego  do  koń cowego  stan u  sprę ż ystego,  to p o peł nym  cyklu  nastę puje
odtworzen ie jego  obję toś ci,  a także jego en tropii; ale jeś li cykl obejmuje  deformację   plastycz-

3  Mechanika teoretyczna



178  J.  K E ST I N

ną ,  wówczas  musi  ulec zmianie kształ t ukł adu.  M oż emy  się  również  przekon ać, że  wzrasta

energia  wewnę trzna  ukł adu.  T ak  wię c  dla poszczególnych  czł onów równ an ia  (9.10)  mamy

warunki

dU>0,  T Jdd>0.

W =  -   / d W   =  j>dU+T  jdO- T  jdS

Z atem

oraz

P raca cał kowita jest okreś lona przez  cał kę  krzywoliniową   z pracy  sił  t
t
 n a przemieszczeniach

fi  mierzonych n a powierzchni S. W konsekwencji  otrzymujemy,'

(14.1)

Równanie to przypomina  kryterium  statecznoś ci  D . C.  D R U C KE R A,  ale nie jest  m u  równ o-
waż ne.

Podzię kowanie. Autor  chciał by  wyrazić  w  tym  miejscu  wdzię czność  swoim  kolegom
z  Brown  U niversity  za wiele  wyczerpują cych  dyskusji  n a tem at  zagadnień  stanowią cych
przedmiot  niniejszej  pracy.  Autor  chciał by  podzię kować  szczególnie  profesorom

D .  C.  D R U C KE R OWI ,  J.  M EIXN EROWI  (który  wykł adał   goś cinnie  pod  koniec  1965  r.),
E. T.  ON ATOWI  i  J. R.  RICE'M TJ.  Profesor  J. R.  R I C E  wyprowadził   szereg  równ ań  i tym
samym  wzbudził   przekon an ie  o  ż ywotnoś ci  teorii  dom en  (obszarów)  sprę ż ysto- plastycz-
nych.  Jestem  mu wdzię czny  za  pozwolenie  przytoczenia  tu  przykł adów  jego  wyników
i  mam nadzieję ,  że cał ość tych wyników  ukaże  się  bez  zbytniego  opóź nienia.

D zię kując  moim kolegom  nie chciał bym sugerować,  że zawsze zgadzali  się  on i z przed-
stawionymi  tu poglą dami  albo  że są   oni w jakim kolwiek  stopn iu  odpowiedzialni  za bł ę dy,
jakie  mogą   się  jeszcze  w pracy  znajdować.  Z a  to  m oż na winić  wył ą cznie m nie.

Wykresy  stanu przygotował   p .  R. T .  WO O D .

Literatura  cytowana w tekś cie

1.  P . W.  BRID G M AN ,  Rev. of M od.  Phys., 22 (1950),  56.
2.  J.  MEDCNER,  N atuurk., 26 (1960),  259;  por.  także  artykuł  J.  METXNERA  i  H . G . REIKA  W «Encyclopedia

ofP hysics»,  vol. 111/ 2,413.
3..  J.  M E K N E R ,  Conseą uences  of  an  Ineyuality  in  N oneą uilibrium  T hermodynamics,  Brown  U niversity

ARP A  R eport E25,  1965.
5.  S. R.  D E G R OOT  and P .  M AZ U R ,  N on- Eą uilibriutn  T hermodynamics,  N orth- H olland 1962.

4  J.  KESTIN , A. Course in  T hermodynamics, Blaisdell  1966.
6.  M.  T.  H U BER ,  Czasopismo techniczne, Lwów  1904.
7.  R. M ISES,  G ott.  N ach r.  (M ath- Phys.  XI ) ,  1913,  582.
8.  B. P .  H AI G H ,  R ep.  Brit. Association, 1919, 486.
9.  G .  A.  KLU ITEN BERO,  Physica, 28 (1962), 217.



O  ZASTOSOWAN IU   ZASAD   TERMODYN AMIKI  179

P  e  3  i o  M   e

O  n P H M E H E H H H   n P H H I I H I lO B  TE P M OflH H AM H KH   K  OITHCAHHIO
,HE<t>OPMHPOBAHHLIX  M ATEP H AJIOB

B  pa6oTe  H0Ka3WBaeTC«,  H TO aH ajin3  flecpopH M poBaH H bix  iwaTepnajiOB  ocuoBLiBaeTCHj  npe>Kfle

Bc ero ,  Ha  cooTBeTCTByiomeM   n oA6ope  TepMOflHHaMH^ecKnx  napaiweipoB,  onpeflejifliomnx  cocTOHHHe

M aTepnana.  H an pu M epj  B  TeopHH   nnacrarai- iocTH   cneflyeT  pa3flejiHTb  flecbopM anjtno  Ha  # Be  MBCTH,  oflHa

H3  i<OTopwx  HBJiHeTca  n apaitteipoM   cocToffl- iHHj  Apyran  >Ke —  He- r;  B  TeopHH  BH 3KO- ynpyrocrn  nofl,o6-

H WM  o6pa3OM   cjicflyeT  pa3Jio>KHTb  TeH sop  H anpnweH H Ji;  B  TeopHH   rtoji3jrqecTH   H  pejiaKcaHHH   H eo6xo-

flH M O  BBecTH   oflHH   H JIH   aa»ce  6ojihiue  flo6aBol= [H bix  napaiweTpoB  COCTOH H H H .  3n aieH H e  STH X  djareroB

cocroH T  B  TOMj  1I T O  TepMOflHnaMnyecKHe  n oTeH un an bi  Moî yr  6biTb  TojibKo  CPJHKIIHHMM  napaineTpoB

O C T C H H H H .

B  pa6oTe flaeTCH  o 6m an  cxeMa  MeTOfla  onucaHHH^  flaioman  B03Mo>KHocrb  paciiiH pH
Tcopm o  npocTbix  CHCTCM  Ha  H enpepbiBH bie  CHCTeMti.  3 T O T  iweTOfl  ocHOBMBaeTCH  n a  npHHHTHH
u iin a  jioi<ajlBHoro  COCTOH H H H ,  yc n e u m o  npniweHHeMoro  B  TeopHH   yn p yr o c r a 3  B  MexaHHi<e  >KHAKOCTH

H   B TeopHH  TeilJIOnpOBOflHOCTH.  JJaH H blH  npHHUHn  HBJIHeTCH  OflHHM  H3 OCHOBHfcIX  nOJ10>KeHHH  TepMO-

flH H aM H KH   Heo6paTHMbix  n p o q ec c o B,  npeflcTaBJieH H tix  H an p .  B  M O H o rpacpn aC P .  fle  TpoTa  H   I I .  M a -

sypa  [ 4] .

OcoBoe  BHHMaHHe  o6pam aeTcn  n a  miacTpraecKH e  ^e(})opMaqHH   H   n Bn en n e  ynpoHHeiiHH.

Bcero flOKa3WBaeTCT, ̂ ITO  cooTHOineHHe jwe>Kfly  Hanpa>KeHHeM  H  CKopocTtio  rmacTHHecKOH

HiweeT,  B  o6meM   c jiyia e ,  xapaKTep  3aBHCHM0CTn,  BŁ K osam efi  3a  n pefleubi  Knacca  jpaBH eH H il  0H 3a-

r e p a ,  npaBHjibHOCTt  KOTopbix  orpann iiH BaeTCJr  MajibiMH   OTKJIOH CH H H MH   OT  COCTOHHHH   paBH OBecim.

flajiee,  n pefljiaraeicji  BnojiH e  TpexM epnaH   TeopHH  ynpyronjiacTH liecKH X  o6jiacTeii.  B  CBeTe  HeKOTopbix

pe3yjibTaTOB  P a ń c a,  BepoHTHOj  ^ T O Tai<aa  TeopHH   MTOKCT  npHBecTH   K  $>tt3UuecKK  peajmcT^iecKOMy

onHcaHHio  3d)(peKTa  E ayirraH repa  u  3i|)dpeKTa  n3MeHeHHH  nOBepxHOCTen  TeHeHJM  nofl  BJDiHHHeM   Hfn<na-

TiecKoił   H arpy3KH .

S u m m a r y

ON   TH E AP P LICATION   O F  T H E P R I N C I P LES OF  TH ERM OD YN AM ICS TO
D ESC R I P TI ON   O F  D E F OR M E D   MATERIALS

The paper  snows  that  the  analysis  of  deformed  materials  is  to  be  based  above  all  on  proper  selection
of  independent  thermodynamic  parameters  determining  the  state  of  materiał .  F or  instance,  in  the  theory
of  plasticity  the  deformation  should  be  decomposed  into  two  parts,  one of  them being  a  parameter  of  the
state, the other not. Similar  procedurę   applies  to  the deformation  tensor  in the theory  of  creep  and  relaxa-
tion  it  is  indispensable  to  introduce  one  or  even  morę   additional  variables  of  the  state.  The  meaning  of
these facts  is  that thermodynamic  potentials  can be  only  functions  of  state  parameters.

In  the paper  a  generał   method  of  description  has  been  outlined,  which  allows  to  generalize  the classic
theory  of  simple  systems  to  continuous  systems.  The  method  is  based  on  the  acceptance  of  the  principle
of  the local  state  successfuUy  applied  in  the theory  of  elasticity  in fluid mechanics  or in  the theory  of  heat
transfer.  This  method  is  one  of  the  fundamental  principles  of  irreversible  processes  of  thermodynamics
shown,  for  instance, in S. R.  de G roote's and P . M azur's  mono- graph 4.

Special  attention has  been  devoted  to  the plastic  deformations  and reinforcement  phenomenon. I t has
been  shown  above  all  that  the relation  between  the stress  and  the ratę   of  plastic  deformation  is  generally
of  a character  of  a relation transcending  the class of  Onsager's  eą uations, the correctness  of which  is limited
to  cases concerning smali  deflections  from  the state of eą uilibrium.  F urther, a fully  three dimensional  theory
of elastic- plastic  domains  in proposed.  I n the light  of  some results  obtained by  J. R.  Rice, it seems possible
that  such  a  theory  is likely  to lead  to  a physically realistic  description  of  the Bauschinger  effect  and that of
the  variations  in the yield surface  under  loading  cycles.

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia 27  lipca 1966  r.

3 *