Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS67\MTS67_t5z1_4_PDF\mts67_t5z2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2, S (1967) O  P EWN YCH  WŁAS N OŚ CIACH  N AP RĘ Ż EŃ  CIEPLNYCH Z BI G N I E W  OLESIAK  (WARSZAWA) Wstę p W  wykł adach  wytrzym ał oś ci  m ateriał ów  rozpatruje  się   kilka  elementarnych  przy- kł adów  obrazują cych  wystę powan ie  n aprę ż eń, powstają cych  wskutek  dział ania tempera- tury. D o takich przypadków  należy liniowe wydł uż enie się  lub skrócenie prę ta  spowodowane zmianą   tem peratury; o ile prę t taki  może wydł uż ać się   swobodnie, naprę ż enia nie powstaną , gdy  n atom iast jest  on pozbawion y  moż liwoś ci  swobodnego  wydł uż enia  się   (lub  skrócenia) powstan ą   n a  ogół  znaczne  n aprę ż en ia  ś ciskają ce  (rozcią gają ce).  Z agadnienia  te  posiadają duże znaczenie praktyczn e i muszą   być  uwzglę dnione  przy  projektowaniu  sieci  przewodów, zwł aszcza przewodów  do przesył an ia pary lub wody  gorą cej, ale również przy  projektowaniu rurocią gów  naftowych.  P odobn ie  w  przypadku  torów  kolejowych  i  tramwajowych,  gdzie mogą   powstać sił y ś ciskają ce,  powodują ce  wyboczenie.  N astę pn ym zagadnieniem, w  którym uwzglę dnia  się   wpł yw  tem peratury,  jest  zagadnienie  obliczania  cię gien.  Tutaj  obniż enie tem peratury  powoduje  zwię kszenie  sił   w  cię gnach,  zwią zane  ze  zmniejszeniem  zwisu. Kolejnym  zagadnieniem  są   n aprę ż en ia w  ban daż ach  nasadzanych  w  podwyż szonej  tempe- raturze  n a  koł a  wagonowe  i  n astę pn ie pracują cych  wspólnie.  P odobn e zagadnienia  spoty- kan e  są   w  technice czę sto. N aprę ż en ia termiczne powstan ą   w  elementach zł oż onych z ma- teriał ów  o róż nych współ czynnikach liniowej  rozszerzalnoś ci  cieplnej i pracują cych  w jednej konstrukcji.  Już  z  tych  kilku  wymienionych  powyż ej  przykł adów  widać,  że  w  zależ noś ci od  rodzaju  konstrukcji  przyrost  tem peratury  może  spowodować  wzrost  naprę ż eń,  ich zmniejszenie  lub  n ie  wywoł a  n aprę ż eń.  D latego  wydaje  się   celowe  rozpatrzenie  bardziej skomplikowanych  przypadków  dwu-   i  trójwymiarowych  z  pun ktu  widzenia  wł asnoś ci naprę ż eń,  jakie  wywoł uje  zm ian a  tem peratury.  Omówione  tu  przypadki  bę dą   dotyczyć zagadnień  liniowej  teorii  sprę ż ystoś ci.  Z m ian y  tem peratury  są   tego  rodzaju,  że  nie  spowo- dują   istotnych  zmian  stał ych m ateriał owych  an i  innych  efektów  jak  n a  przykł ad  peł zania czy  relaksacji. 2. Twierdzenie Muscheliszwilego W  przypadku  dwuwym iarowego  stan u  odkształ cenia we  współ rzę dnych  kartezjań skich otrzymujemy  nastę pują cy  ukł ad  równ ań  róż niczkowych  termosprę ż ystoś ci: (2.1)  ^  +   ^  =   0 ,  ^ - + ^ = 0 , ox  ć y  8x  oy tf  fST +M+2(2.2)  ax  =   - pr+ kd+ 2/ i  ~ ,  tfy  -   - fST +M+2[i  ~ , 182  Z BI G N I E W  OLESIAK gdzie jak  zwykle fi,  1  są   stał ymi  Lamego,  6  oznacza  dylatację ,  /9 jest  pewną   stał ą   zależ ną od  m ateriał u oś rodka,  w i  w są   skł adowymi  wektora  przemieszczeń.  Przy  ustalon ym  stru- mieniu  ciepł a  tem peratura bę dzie  funkcją   harmoniczną  zmiennych x  i  y: Jeż eli  teraz przyjmiemy,  że 8u*  dv*  _  _  8u*  _  dv* {  }   8x  ~  By  ~  '  dy  8x oraz  że gdzie  u'  i  v'  są   nowymi  funkcjami,  a  nastę pnie  podstawimy  do  równ ań  (2.1)  i  (2.2),  to otrzymamy  równania  identyczne  jak  w  dwuwymiarowym  przypadku  teorii  sprę ż ystoś ci, gdy  oś rodek jest  ogrzany  równomiernie  (n p. T  =  0), z  tą   róż nicą,  że wystą pią   tu wielkoś ci u', v'  zamiast przemieszczeń  u i v.  Jeż eli  rozpatrywany  obszar jest jednospójny,  a  warun ki brzegowe  zakł adają   brak  naprę ż eń  n a  brzegu,  to  naprę ż enia  n orm aln e  i  styczne  znikają w  cał ym obszarze,  a  naprę ż enia w  kierun ku  prostopadł ym wyrażą   się   wzorem (2. 5) o, = ^ n atom iast  wzory  n a  skł adowe przemieszczenia  przyjmą   postać (2- 6)  u~w+^ y  w~ 2(i+ ^)- Powyż sze  twierdzenie  jest  znane jako  twierdzenie  M uscheliszwilego  [1].  Sformuł owanie powyż sze  należy  uzupeł nić dwiema  uwagami,  m ian owicie:  1) w  przypadku  obszaru  wielo- spójnego  zmiany  tem peratury na ogół  spowodują   powstanie  naprę ż eń o x   i  y)a®[i(JEx+riy)]dxdy, — co (3.3) Rx,y)  =^ W  ten sposób  ukł ad  równ ań  róż niczkowych  czą stkowych  (3.1) i  (3.2) został   sprowadzony do  u kł adu równ ań róż niczkowych  zwyczajnych [{\ - 2v)(D 2 - r) 2 )- 2(l- v)£ 2 ]u- Criv~iCDw  =  - 2(l+ v)aiST) - $rju+[(l- 2v)(D 2 —S 1 )—2(l~v)if]v—irjDw  =   —2O.+v)«irjT , - iCDu- ir]Dv+[2(l- v)D 2 - (l- 2v)(C 2 +ri 2 )]w  = 2(\ +v)aDT , gdzie D =   djdz. Jeż eli  zał oż ymy,  że  skł adowe  wektora  przemieszczeń  u i  tem peratura  znikają  w  nie- skoń czonoś ci, to rozwią zanie  powyż szego  ukł adu równ ań przyjmie  postać: w  = w  = przy  czym  zachodzą  nastę pują ce  zwią zki: Y ~v)B 2 - A 2 ]  =   (l+v)*A. Z  warun ku,  że n a pł aszczyź nie z =   O  znikają  naprę ż enia  styczne,  otrzymujemy (3.7)  r,Ai =  Ui,  W P+rffa- Ai)  = riAz+iAi. Szóstą  stał ą cał kowan ia okreś limy  z warun ku  brzegowego  dla równania  przewodnictwa cieplnego, a siódmą z warun ku  statyki. P rzypuś ć m y,  że param et r  A  został   znaleziony  oraz  że brzeg jest  wolny  od naprę ż eń, to  zn aczy, że dla z =   O,  - U  1  .  p 2 0  i  £,  'z Rys.  1 szczeliny.  W  przypadku  szczeliny  osiowo- symetrycznej  [5]  naprę ż enia  n orm aln e  a z   są proporcjonalne  do  pewnej  funkcji (4- 1) f($, 0 = 1 1 C O  PEWN YCH   WŁASN OŚ CIACH   N APRĘ Ż EŃ   CIEPLN YCH   185 gdzie V  "Z Q =  —,  f  =   —,  a —  prom ień  szczeliny. Interesują cym  faktem,  udowodn ion ym  tam że  [5], jest  to, że  charakter  naprę ż eń  n ie  zależy od rozkł adu strum ienia  ciepł a  (lub  tem peratury) przył oż onego  n a powierzchniach  szczeliny. Od  rozkł adu  strum ien ia  ciepł a  lub  tem peratury  przył oż onej  do  powierzchni  szczeliny zależy  tylko  współ czynnik,  przez  który  pom n oż ona  jest  funkcja  (4.1).  Wynik  powyż szy ł atwo  udowodn im y,  gdy  weź miemy  pod  uwagę ,  że  w  przypadku  osiowej  symetrii  i  współ - rzę dnych  bezwymiarowych  otrzymujemy  dla  z  =   0 w= o (4.2) gdzie  f(r])  i  q>(rj)  są   param et ram i  podlegają cymi  wyznaczeniu  z  warunków  brzegowych. P aram etr   °  <  ra. N atom iast  param etr  y>(y\ )  wyznaczymy  z  warun ków  mechanicznych:   a, czyli  z  nastę pują cego  u kł ad u  dualn ych  równ ań  cał kowych oo J  rjf  (yj) J 0 (Qrj) di] =  f(q),  O  <  Q  <  1, (4.3) v  y  co gdzie 00  1 o  o Rozwią zaniem  ukł adu tych  ró wn ań  cał kowych  bę dzie: 1  ! t  \   2  r  •   /   w  r  x/ (x)dx 71  ó;  oJ  F j 2 ~ x 1  1 186  Z BI G N I E W  OLESIAK skąd  p o  przekształ ceniach  [5] otrzymamy (4.5)  V fa )  =   (\ +v)aa 2 ( l  C °S ł ?  f  tQ(f)dt- 1  ^  o  o  „ W  przypadku gdy  rozkł ad strumienia ciepł a moż na przedstawić w postaci  szeregu  F ouriera- Bessela (4.6)  Q(Q)=  ]?Q„Mj m Q), gdzie ji,j 2 ,...  są  zerami  funkcji  Bessela  J 0(z),  suma  param etrów  ip(r))+(p(ri) przyjmie postać ( 4 7 )  „ / .N   , _/ .A  _  rt  , .A..„2  N   QmJl(jm)   CO Sł ? 7 m  »7 m=  i P o d st a wia ją c  (4.7)  d o wz o r u  n a  n a p r ę ż e n ia o t r zym a m y  p o szu kiwa n y  wyn ik (4.9)  tf2  = V,j.  —  V) gdzie jest liczbą  niezależ ną  od  Q i f,  a fu n kc ję / ,̂  C)  okreś la  (4.1). Jeż eli  Q(Q)  — const, to wynik powyż szy  otrzymamy  bezpoś rednio, a stał a  C wynosi  —l/ 2 Q 0 . W  identyczny  sposób  zachowują  się  naprę ż enia  styczne  r r z .  M oż na  t o  udowodn ić o  wiele  proś ciej  niż w  pracy  E.  D EU TSCH A  [6],  mianowicie  wystarczy  zauważ yć,  że  r rz (w  tym  zagadnieniu,  to znaczy  p o uwzglę dnieniu,  że dla z =   O  % rz  znika)  również  zależy od  sumy  ip(yj)- \ -   y) A  wię c  moż emy  sformuł ować  nastę pują ce  twierdzenie  [7]: jeż eli  na czę ś ci  pł aszczyzny x, yeQ,  z =  0  ograniczają cej pół przestrzeń  sprę ż ystą jest  przył oż ona  temperatura  T (x, y) oraz jeż eli  normalne przemieszczenie  obszaru Q jest  równe zeru, to a)  naprę ż enia kontaktowe  są  proporcjonalne do  temperatury  i  okreś lone  wzorem  (5.7), b) przemieszczenia w znikają   w cał ej  pł aszczyź nie. Rozpatrują c  zagadnienie kon taktowe  ogrzanego  stempla  dział ają cego  n a  pół przestrzeń (lub warstwę ) sprę ż ystą   moż emy wyróż nić  dwa przypadki. W przypadku pierwszym  stempla utwierdzonego jest  on pozbawiony  moż liwoś ci  przesuwu  pom im o  ogrzania.  Jeż eli  jedyn ym ź ródł em  ciepł a jest  stempel, to zagadnieniu brzegowemu  odpowiadają   nastę pują ce  warun ki mechaniczne w = w(x,y),  x,yeQ, ( 5 - 8 j  KEHHft O6cy>KflaioTCH   HeKOTOptie  flB>x-  H  TpexiwepHŁ ie  3afl;â JH   TepM oyn pyrocM  c  TOMKH   3peH H «  CBOKCTB rtojw  HanpHJKeHHii,  Bt>i3BaHHoro  H3MeHeHneivi TeM nepaTypw.  3 T H   H3MeHeHHH  TaKoro  pofla,  MTO n e  B B I - 3biBaioi  H3MeHeiraa  SHâ ieHHH  nocTOHHHbix M aTepnana,  H H   flpyroro  p o ^ a  3(bKen- H WM  H arpeBy  Ha ^acTa  n o Bep xn o cM ,  aa^a^a  o  TpeujHHe  H   KOHTaKiHaa O  PEWN YCH   WŁASN OŚ CIACH   N APRĘ Ż EŃ  CIEPLN YCH   191 S u m m a r y ON   SOM E PROPERTIES O F  TH ERM AL STRESSES D iscussed  are properties  of  thermal  stress  fields  in  some  two-   and three- dimensional  thermoelastic problems. I t is assumed  th at the variation  of the temperaturę  does  not cause  any  changes in the  materiał constants,  and any other  effccts  as creep  and  relaxation.  The  problems  of  half- spacc  or an elastic  layer heated on a part of their surface,  the crack and contact problems are considered. Z AKŁAD   M E C H AN I KI  O Ś R O D K ÓW C IĄ G ŁYCH I N STYTU TU  P OD STAWOWYC H   P R O BL E M Ó W T E C H N I K I  P AN Praca  został a  zł oż ona  w Redakcji  dnia 2 sierpnia 1966  r.