Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\MTS67\MTS67_t5z1_4_PDF\mts67_t5z2.pdf M E C H A N I K A TE OR E TYC Z N A I  STOSOWAN A 2, 5 (1967) O  WYBOCZEN IU   BIEG U N OWYCH   SIATEK  PRĘ TOWYCH C z.  WO Ź N I AK  (WAR SZ AWA),  S.  ZIELIŃ SKI  ( Ł Ó D Ź) W  pracy  wyprowadzon o  wyraż enia  dla  sił  krytycznych  w pierś cieniowych,  radialnie ob- cią ż onych  gę stych  biegunowych  siatkach  prę towych.  Rozważ ono  tylko  przypadek  wybo- czenia  koł owo- symetrycznego.  P osł uż ono się kon tyn ualn ym  modelem  siatki  korzystając z  równ ań  pł askiego  oś rodka  wł óknistego  o biegunowej  siatce.  Zagadnienie  rozpatrywano w  ram ach teorii  liniowej. 1, Równania podstawowe G ę ste  i  regularne  siatki  prę towe  (ruszty)  stanowią  jeden  z przypadków  szczególnych tzw.  pł yt  o  strukturze  siatkowej  [1].  P odstawowe  równ an ia  kontynualnej  teorii  drugiego rzę du  takich  pł yt  skł adają  się z poniż szych  równ ań  równ owagi(J)  (sił y  masowe  pomijamy) oraz z równ ań  fizycznych .z)  p  —  A  y^ ,  m  — c  x/ lv i  geometrycznych (1,3)  y„ =   M ' . „ + £ ; > V ,  x„ v  =  *>„.„. W  powyż szych  równ an iach/ )" i  / M'1^ są kolejno  wektorem  gę stoś ci  sił  poprzecznych i tenso- rem  gę stoś ci  m om en tów  w  pł ycie,  pal>  jest  tensorem  napięć  bł onowych  dział ają cych w  pł aszczyź nie  pł yty  oraz  nf  jest  wektorem  napięć  momentowych  również  dział ają cych w  pł aszczyź nie  pł yty  siatkowej.  Z akł adam y, że sił y  i  momenty  tarczowe p*f  i nf  został y uprzedn io  wyznaczone  (por.  n p.  [2, 3]).  Stan  przemieszczenia  jest  okreś lony  ugię ciem pł yty  w oraz  niezależ nymi  od ugię cia  ką tami  obrotu  wv.  Wszystkie  wielkoś ci  wystę pują ce w  (1.1)—(1.3) zależą  od  zmiennych x\   x2, którym i  param etryzowan a jest  pł aszczyzna  ś rod- kowa  pł yty. Jeż eli rozpatrywaną  pł ytą o strukturze siatkowej jest gę sta siatka  prę towa  (ruszt) o sztyw- nych wę zł ach, to tensory  sztywnoś ci  sprę ż ystej  A"1  i  Ca?lly  wystę pują ce  w  (1.2)  mają  po- stać [1]: A =  y  t  t  R ( L 4 )  c -̂ Yt- r/ f  s  ??  ś (.') Wszystkie  wskaź niki  przebiegają  ciąg  1,2;  ś rednik  oznacza  pochodną  kowariantną,  przecinek — pochodną  czą stkową. 4  M echanika  teoretyczna 194  CZESŁAW  WO Ź N I AK,  STAN ISŁAW  Z I E LI Ń SKI Wektory  t\ A ) i  t* A)  są   wektorami  jednostkowym i;  wektor  t" A)   jest  styczny,  a  wektor  ffa normalny  do rodzin  (A), tworzą cych  siatkę   (gdy siatka  skł ada  się  z  dwóch  rodzin  krzy- wych,  wtedy  (A) =   (I), (II)),  P on adto n   «  „   n(^ J) A   _ (GC),  ~„   (EJ) A (i- j)  'HA)  =   r~   >  «( J )  =   ~   > «( d)  =   —=   , M 'J  '(/ I)  '(/ I) gdzie (JS/ )^ i (GC) A   są  kolejno  sztywnoś cią   gię tną   i skrę tną   prę tów  (A) siatki, l A  jest  odległ oś- cią  są siednich prę tów  (A) siatki  oraz / j jest odległ oś cią   są siednich  wę zł ów prę ta (A). P odan e powyż ej  wzory  dotyczą   tylko  przypadku,  w  którym  gł ówne  centralne  osie  bezwł adnoś ci wszystkich  przekrojów  prę tów  leżą   na jednej  pł aszczyź nie  (pł aszczyzny  oboję tne  prę tów leżą   na pł aszczyź nie  oś rodka). 2.  Zagadnienie koł owo- symetryczne D la  siatki  biegunowej  oraz  koł owo- symetrycznego  stanu  odkształ cenia  równ an ia (1.1)- (1.3)  we  współ rzę dnych  biegunowych  (r,q>)  po  prostych  przekształ ceniach  moż na doprowadzić  do postaci (  ^  ( / • 2 wr ' 0 j r + ™' p r - ^r  =  0; p r =A"(w yr +v), (2.2)  m"" =   Crifrlfn tf , m i"  =  ~- C ę rlfr v, w  której  v  = v ę / r  jest  obrotem  elementu  siatki  w pł aszczyź nie  prostopadł ej  do linii  para- metrycznej  ;' =  const. Pomnóż my równanie (2.2)i przez r i dodajmy  stronam i do  równ an ia (2.1)2. Wyznaczmy  nastę pnie 2 (2.1)2 wielkość rpr. Otrzymamy  wtedy  kolejno rw, r  =   - ^ [(Af*)+n (2. 3) A rp r =  (f- m "^ Scał kujmy  równanie  (2.1) f.  Oznaczają c  przez c =   const  stał ą  cał kowania  napiszemy (2.4)  rpT+rprrw, r <=c. Podstawiają c  prawe  strony  (2.3)  do powyż szego  równania  uzyskamy (2.5)  M ,   r +rmn  i 1 +  ̂ j  - p»v  =  c. Wyraż ając  w  (2.5) momenty mrę   i mę r  zgodnie z (2.2)2 i (2.2)3 po prostych przekształ ceniach dochodzimy do równania (2.6)  (C'- «"Vw   r ) ,,- rC""- '" ̂ - Ł -   =   C- - - -. Podstawiają c  nastę pnie do (2.4) prawą   stronę   wzoru  (2.2)j  napiszemy (2.7) O  WYBOCZEN IU   SIATEK  PRĘ TOWYCH   195 R ówn an ia  (2.6)  i  (2.7)  są  podstawowym i  równ an iam i  koł owo- symetrycznie  odkształ conej pł yty  o ortotropowej  strukturze  siatkowej. Jeż eli  równ an ia  (2.6) i (2.7)  mają  opisywać  koł owo- symetrycznie  odkształ coną  biegu- nową  siatką  prę tową, wtedy wielkoś ci C " w , C'l>rę r, ^ "p o wi n n y  być okreś lone wzorami (1.4). Otrzym am y  wtedy o przy  czym  (EJ) r   i  (£ / ),,, jest  kolejno  sztywnoś cią  gię tną  prę tów  promieniowych  i  obwodo wych  siatki,  / , =   l v   jest  odległ oś cią  są siednich  prę tów  promieniowych  (lub  odległ oś cią są siednich  wę zł ów  w  prę tach  obwodowych)  oraz  /,p =   lr  jest  odległ oś cią  są siednich  prę tów obwodowych  siatki  (lub  odległ oś cią  są siednich  wę zł ów  w  prę tach promieniowych). R ówn an ie  (2.6)  dla  przypadku  biegunowej  siatki  prę towej  przyjmie  teraz  postać Rr  I  Rr lub  p o przekształ ceniach (2.9)  v,„Ą R ówn an ia  (2.9)  i  (2.7)  dla  A"  =   R ir)   są  podstawowymi  równaniam i  wyboczonej  kolistej biegunowej  siatki  prę towej. 3. Przypadki szczególne i rozwią zania Ograniczymy  się  dalej  do  rozpatrywan ia  waż nego  przypadku  szczególnego  siatki, w  której  sztywnoś ci  zgin an ia  prę tów  prom ieniowych  i obwodowych  są  stał e: (EJ) r   =   const,  (EJ) ip   =  const. Oznaczmy  przez  f  kąt  pom ię dzy  prę tami  promieniowymi  siatki;  wtedy  l ę   =  l r   —  yr. Przyjmijmy  nastę pnie, że  kształ t «oczek» jest  stał y, tj. (3.1)  - y -=   con st. 196 CZESŁ AW  WOŹ N IAK,  STANISŁ AW  ZIELIŃ SKI Warun ek  (3.1) zachodzi, gdy  / , =  ~l ę   =   M, gdzie  H jest  stał ą  bezwymiarową.  Z tego  powodu zgodnie  z  (2.5)  otrzymamy  wtedy -   (EJ) r   1  (EJ), U (3. 2) r  xp 1  (EJ) r x 1"  12C JS7), Z ał óż my,  że  rozpatrywana  przez  n as  biegunowa  pierś cieniowa  siatka  prę towa  jest obcią ż ona n a wewnę trznym  obwodzie  r  =   r w   obcią ż eniem  radialn ym p w   oraz  n a  zewnę trz- nym  obwodzie  r  =   r z   obcią ż eniem  radialnym p z .  Wielkoś ci  napięć radialnych  p'r  w  takiej siatce  m oż na obliczyć  n a  podstawie  wzorów  podan ych  w  pracy  [3]. Z akł adają c, że  sztyw- noś ci  podł uż ne  (EA) r ,  (EA),,,  prę tów  siatki  są  stał e  oraz  że (3. 3) *" i %(EA) r otrzymamy  rozkł ad napięć radialnych prr  wyraż ony  wzorem  (por.  [3]) (3. 4) prr  =  — - 3-,  yj  =   c o n st . Zgodnie  ze  wzorem  (3.4)  ograniczymy  się  więc  do  badan ia  statecznoś ci  takiej  biegunowej siatki  prę towej,  w  której  pomię dzy  obcią ż eniami  radialnym i  wewnę trznego  i  zewnę trznego brzegu  siatki  zachodzi  zwią zek Podstawiając  prawe  strony  wzorów  (3.2) i  (3.4) do równ an ia  (2.9), otrzymamy (3- 5) y> r 2 ( £ 0 . (EJ), P 1/JJtT \ 2(EJ) r \ 2(EJ) r Zał óż my,  że brzeg  r  =   r w   siatki  jest  podparty  w  sposób  uniemoż liwiają cy  obrót,  lecz dopuszczają cy  swobodę  przesunię cia  w  kierunku  n orm aln ym  do  pł aszczyzny nieodkształ - conej  siatki.  Wtedy (3- 6)  , ,  .  v(r w )  =  0  oraz  / ( r w )  =   0, Zał óż my  nastę pnie, że  brzeg  zewnę trzny  r  =   r z jest  doskon ale  sztywno  utwierdzon y: (3- 7)  v(r z )  =   0  oraz  w(r z )  =  0. Z  warunków  (3.6)  oraz  wzoru  (2.2)  wynika,  że  dla  r  =   r w   zachodzi  w,,  =  0.  Z godn ie z równaniem  (2.4)  stał a  c wystę pują ca  w  (3.5) jest  równ a  zeru.  Oznaczając ~(EJ), P x (3. 8) 1-   V " =   (EJl I \ 2(EJ) r O  WYBOCZEN IU   SIATEK  PRĘ TOWYCH   197 równ an ie  (3.5) napiszemy  w  postaci A v,rr  2  v  —  0 . C ał ka  ogólna  powyż szego  równ an ia  m a  postać (3.9)  v  =  ]/ 7[C l cos(/ L i\ nr)+C 2 sin( f i\ nr)], gdzie (3.10)  n  =   —  i/ ]l + 4A|,  1+ 4A <  0. Warun ki  brzegowe  (3.6)! i  (3.7)! dla w ̂   0 mogą   być  speł nione tylko  w przypadku,  gdy yr z   cos (filnr z ),  yr t   sin (uln Powyż szy  warunek  istnienia nietrywialnych  rozwią zań  (3.9) rozpatrywanego  tu zagadnienia brzegowego  sprowadza  się   do  warun ku z  którego  wynika,  że (3.11) =   0 . sin I piIn- —I =   0, ,  / c = l , 2 , ... Ze wzorów (3.10) i  (3.11) dla  k =   1 otrzymamy (3.12) I  =   - - +/ ln - Wyznaczmy  ze  wzoru  (3.8) p a r a m e t r y: (3.13) P  — (EJ) ę   x (EJ) r +   "l2  (EJ) r   '  12 P odstawiają c  do  (3.13)  wyraż enie  (3.12) dla  źl otrzymamy  krytyczną   wartość  p. G dy  przekroje  belek  prom ien iowych i  obwodowych  są   takie  same, {EJ) lp   =  (EJ),  =  EJ,  (Ę A) ę   =   (EA) r , wtedy  dla rozpatrywanej  siatki  zgodn ie z  (3.3) mamy także %  =   f/ 2.  Wzór  (3.13) ma wtedy postać 2- 1  EJ PKR  —  ~2  ~  ' 198 CZESŁAW  WOŹ N IAK,  STANISŁAW  ZIELIŃ SKI przy  czym  X jest  okreś lone wzorem  (3.12). N a rysunku  1 przedstawiono  dla tego  przypadku wykresy  param etru bezwymiarowego  p KR y>jEJ  w  zależ noś ci  od  stosunku  r u / r z   oraz  dla ką ta  ip =  n/ 6  pomię dzy  prę tami  radialnymi. PKB ' EJ BO 40 1 0 0 . 1 0 . 5 0.7 Rys.  i Literatura  cytowana  w  tekś cie C z.  WOŹ N IAK,  Bending andstability of'lattice- type plates,  Arch.  Mech. Stos., 6, 18 (1966). Cz.  WOŹ N IAK,  S. ZlELIŃ SKI, Some problems of  plane fibrous  media,  Buli.  Acad.  Polon.  Sci., Serie Sci. Techn.,  7(1966). C z.  WOŹ N IAK,  S. ZIELIŃ SKI,  On the solution  of  axially- symmetrical problems of plane fibrous  media,  Buli Acad. Polon. Sci., Serie  Sci. Techn., 8 (1966). P  e  3 io  M  e O  n O T E P E  YC T O H ^ H BO C T H   CTEP)KH EBfcIX  CETOK B  pa6oTe  o6cy>KflaeTCH   Bon poc  ycToiiTOBocTH   Kojn>qeBbix  p a ^ n a n t iio  H arpyn